数学试卷答案_2025年12月高一试卷_251206浙江省杭州市地区(含周边)重点中学2025学年第一学期高一年级期中考试（全）

2025 学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高一年级数学学科参考答案 1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C 9．B、C、D 10．A、B、D 11．C、D 12．6 13．5 14．1 15．解： （1）B=  x∣x2 −4x+30  ={x∣1x3}——2分 所以A B={x∣2x3}，---5分 C A=x|x2或x4，  U 高一数学参考答案 第 1 页 共 3 页 ( C U A )  B = x | x  3 或 x  4  ．——8分 （2）由 A  B = A 可得 A  B ，——10分 f(2)0 令 f(x)=x2 −4x+a所以 ，解得 f(4)0 a  0 。——13分 16．解： （1）依题意，a2−2a−2=1，解得 a = 3 或 a = − 1 ，——3分 而a0,a1，故 a = 3 ，所以 f ( x ) = 3 x ．——6分 （2）由（1）知，F(x)=3x−3−x定义域为R，——9分 F(−x)=3−x−3x =−F(x)，所以函数 F ( x ) 是奇函数．——12分 3x −3−x （3）h(x)= ——15分 2 17．解： （1）当x∈[200,300]时，设该项目获利为S， 1  则S＝200x－ x2－200x＋80 000 2  1 1 ＝－ x2＋400x－80 000＝－ (x－400)2，——2分 2 2 所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利．——4分 当x＝300时，S取得最大值－5000， 当x＝200时，S取得最大值－20000， 所以国家每月补贴的范围是5000元到20000元．——7分 （2）由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为  1 x2－80x＋5 040，x∈[120，144)， y 3 ＝ ——9分 x 1 80 000  x＋ －200，x∈[144，500]. 2 x y 1 ①当x∈[120,144)时， ＝ x2－80x＋5 040 x 3 1 ＝ (x－120)2＋240， 3y 所以当x＝120时， 取得最小值240.——11分 x ②当x∈[144,500]时， y 1 80 000 1 80 000 ＝ x＋ －200≥2 x× －200＝200， x 2 x 2 x 1 80 000 y 当且仅当 x＝ ，即x＝400时， 取得最小值200.——13分 2 x x 因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． ——15分 18．解： （1）由题知：f(1)= ，得 = ,即a+b=1——1分 1 ax+bx2 ax+b f( )= = f(x)= ，——3分 x x2 +1 x2 +1 x ∴a=1,b=0. f(x)= ——5分 x2 +1 （2）在[1,∞)中任取 < ，则f( )-f( )= -- = = -------8分 由 < ，∴ >0， >0，∴ f(x ) f(x ) ∴f(x)在[1,∞)上单调递减--10分 1 2 （3）由（2）同理可知，f(x)在(0,1)单调递增。——12分 易知f(x)为奇函数，又由f(x)=f( )，要使f(x)+f(3x-a)≤0，即f(x)≤f(a-3x)，--------13分 ∴x≤a-3x≤ ---------------15分 ∴4x≤a≤3x+ ，∴3≤a≤2 -------------17分 19．解： （1）记h(x)=|f(x)-g(x)|=| |=| |，当x∈[-1,2]时， ∈[- ,1]---------3分 = 此时x= ，∴偏差为 ，--------4分 偏差点为 ----------5分 （2）h(x)=|f(x)-g(x)|=|x+ |，当x∈[1，4]时，x+ ∈[4-b,5-b],-------------7分 ∴ =max{|4-b|,|5-b|}= ,----------9分， 要使h(x)最小，则b= ，此时偏差最小值为 -----11分 （3）法1：要证g(x)是f(x)在x∈[0，4]上在切比雪夫意义下的最佳逼近直线， 则 | |= | |恒成立。------------12分 高一数学参考答案 第 2 页 共 3 页令h(x)=| |=| |=| ∈[0, ]，-------------13分 x∈[0，4]。∴只要证 | |= ，即证 | |≥ 设M =max x−ax−b ，则M  b,M  2−4a−b,M 1−a−b --------15分 x[0,4] 所以8M  3b-（2−4a−b）+（41−a−b）=2，即 高一数学参考答案 第 3 页 共 3 页 M  1 4 1 1 当且仅当-b=（2−4a−b）=-1+a+b，即a= ,b= 等号成立。-------17分 2 4 法2：假设存在另一条直线 y = a x + b ，它与函数 f(x)= x ，x∈[0，4]的偏差小于 1 4 ，则对 于任意x∈[0，4]有 1 1 -  x −ax−b 4 4 1 1 1 1 1 1 即- b --(1)，- 2−4a−b ----(2)，- 1−a−b --(3) 4 4 4 4 4 4 1 3 1 1 由（1）（3）得 a ，由（2）（3）得 a 矛盾 2 2 6 2 1 1 所以假设不成立，从而直线g(x)= x+ 是函数 2 4 f ( x ) = x 在 x  [ 0 , 4 ] 上的最佳逼近直线。 1 1 法3：记直线g(x)=ax+b,设h(x)= f(x)−g(x)= x −ax−b=−a( x − )2 + −b 2a 4a 因为x0,4，所以 x  0 , 2  ，要使 m x a[0 x,4 ] h ( x )  1 =1  2a 取到最大值，则 1  −b = b  4a 1 1 1 1 解得a= ,b= ，所以直线g(x)= x+ 是函数 2 4 2 4 f ( x ) = x 在 x  [ 0 , 4 ] 上的最佳逼近