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江苏省南通市2025-2026学年高一上学期期中质量监测
数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．设 ，则 的分数指数幂形式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
6．已知偶函数 的定义域为 ，对任意的 ，都有不等式 成立.设
，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．任何一个正实数 可以表示成 ，此时 ， .当 时，是 位数，则 是（ ）
（参考数据： ）
A．24位数 B．33位数 C．34位数 D．43位数
8．已知 ，若对于正数 ，满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，已知矩形 表示全集， 是 的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 ，且满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为
11．已知函数 若 ，且 ，则（ ）
A． 的最小值
B． 的最大值为1
C． ，使D．存在唯一 ，使
三、填空题
12．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 .
13．若不等式 的一个充分不必要条件为 ，则实数 的取值范围是 .
14．若 ，其中 ，则 .
四、解答题
15．（1）计算 的值；
（2）已知 ，求 的值.
16．已知函数 .设 的定义域为集合 ， 的值域为集合
，集合 .
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
17．已知函数 .
(1)若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；
(2)若 在 上单调递减，求 的取值范围；
(3)若函数 在 上的最大值为6，求 的值.
18．研究发现：函数 在区间 上单调递减，在区间 上单
调递增.请根据以上结论解决下列问题：
(1)求函数 的值域；(2)已知函数 .
①写出 的单调减区间，并用定义法证明；
②若 ，满足 ，证明： .
19．设集合 .若 ，且 ， 至少有一个成立，则
称集合 为“ ”集.
(1)已知 ，直接判断集合 是否为“ ”集.
(2)若 为“ ”集， ，求 的值；
(3)若 为“ ”集， ， ，求 .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A B C C D AC BCD
题号 11
答案 AC
1．B
根据题意结合集合的并集运算求解即可.
【详解】因为集合 ，所以 .
故选：B.
2．C
利用全称命题的否定法则可得答案.
【详解】命题“ ”的否定是“ ”.
故选：C
3．B
利用根式与分数指数幂的互化可得出结果.
【详解】当 时，则 .
故选：B.
4．A
根据充分必要条件的定义从充分性，必要性两个方面分析即可.
【详解】判断 是否是 的充分条件（即 是否成立）：
由 ，得 ，
由 和 ，得 ，
因此， ，
故 成立， 是 的充分条件；
判断 是否是 的必要条件（即 是否成立）：
反例：取 ，则 ，满足 ，即 成立，
但 ，不满足 中的 ，
因此， 不成立， 不是 的必要条件.
故 是 的充分不必要条件.故选：A
5．B
应用赋值法计算求解.
【详解】因为 ，令 ，则 .
故选：B.
6．C
根据给定条件，利用单调性定义确定函数单调性，再利用单调性、偶函数性质比较大小.
【详解】由对任意的 ，都有不等式 ，得函数 在 上单调递增，
由 是R上的偶函数，得 在 上单调递减，而 ，
因此 ，所以 的大小关系为 .
故选：C
7．C
先利用对数的性质进行化简，再根据题干即可求出.
【详解】先对 取常用对数， ，
又 ，
又 ， ，
则 ，
设 ，根据 ， ，
这里 ， 时， 是 位数， 是 位数.
故选： .
8．D
先判断出 的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于 的等量关系，利用“ 的代换”求解出的最小值，则 的最大值可知.
【详解】因为 ，且 的定义域为 关于原点对称，
所以 为 上的奇函数，
又因为 均在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ，
又因为 ，所以 的最大值为 ，
故选：D.
9．AC
利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.
【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合 ，而不属于集合 ，
即在阴影部分区域内任取一个元素 ，则满足 ，且 ，即 且 ；
因此阴影部分可表示为 ，即A正确；
且 ，因此阴影部分可表示为 ，C正确；
易知阴影部分表示的集合是 和 的真子集，即B错误，D错误.
故选：AC.
10．BCD利用对数的运算法则化简可得到 ，再令 ，经计算可得到
，通过代换化简可判断选项A，B，C，对于D利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】由对数的运算法则可得： ，
所以： ，
所以： ，
令 ， ，则 ， ，且 ，
得： ，即： ，
令 （因为 )，则： ， ，
由于 ，得： ，
解得： ，
又因为 ，故 .
于是： .
选项 A：假设A选项正确，
即： ，代入得： ，由 得： ，
即 ， ，而 ，当 时， ，两者不相等，故A错误；
选项 B： ， ，由 ，，
所以 ，故 B 正确；
选项 C：由 ， ，得：
计算： ，
，
，
所以 ，故 C 正确；
选项 D：令 ，则 ， ，
由基本不等式得： .
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故 的最小值为 .故D正确.
故选：BCD
11．AC
令 ，易得 ，对于A，换元后构造成二次函数 求其在 中的最小值
即可判断；对于B，换元构造新函数 ，判断其在 中的最大值即可判断；对于C，举例
即可判断；对于D，分类讨论，根据其根是否符合题意进行判断.【详解】 在 上的值域为 ， 在 上的值域为 ，
令 ，易得 ，且 ， ，
对于A， ，
令 ， ，
所以 是开口向上，对称轴为 的二次函数，
所以 在 上的最小值为 ，故A正确；
对于B， ，
令 ， ，
则其为开口向下，对称轴为 即 的二次函数，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上的最大值为 ，故B错误；
对于C，取 ，则 ， ，因此 ，使得 ，故C正确；
对于D，当 时， ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
所以存在两解，故D错误；
故选：AC．12．
应用抽象函数的定义性质计算求解.
【详解】由函数 的定义域为 ，
则函数 中 ，即得 ，
则函数 的定义域为 .
故答案为： .
13．
先求解不等式 ，再根据充分不必要条件的性质得到关于 的不等式，进而求出实数 的取值范围.
【详解】由题意得 ，即 ，解得 ，
当 时，不等式 无解；当 时，不等式 的解集为 ，
不等式 是不等式 的充分不必要条件，
不等式 的解集是不等式 解集的真子集，
当 时，不等式 的解集为空集，不符合要求，
当 时，不等式 的解集为 ，需满足 ，解得 .
实数 的取值范围是 .
故答案为： .
14． 或由题意可得 与 有公共的正零点，设为 ，则可得 ，可得
且 ，结合 可得 或 ，再分类计算即可得.
【详解】当 时， ，则 ，
由 ，
则 单调递减，且 在 上单调递增，
则 时， ，当 时， ，
则 与 有公共的正零点，设为 ，
则 ，即有 ，
解得 ，且有 ，
则 在 上单调递减，又 在 上单调递增，
当 时， ， ，满足题意；
当 时， ， ，满足题意；
由 ，则 ， ，又 ，则 或 ；
若 ，则 ，此时 ；
若 ，则 ，此时 .
故答案为： 或 .
15．（1） （2）
（1）利用换底公式以及指对数的运算法则可得答案；
（2）利用完全平方公式以及立方和公式可得答案.
【详解】（1）原式（2）因为 ，所以 .
所以
16．(1)
(2) .
（1）求出 的定义域与值域，把集合 具体化，然后利用集合的运算法则可得答案；
（2）由 ，得 ，解一元二次不等式可得到 ，利用集合的基本关系可得答案.
【详解】（1）由 ，得 ，即 .
由 ，
因为 ，所以 ，即 .
所以 .
（2） ，得 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .17．(1)
(2)
(3) 或 .
（1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案；
（2）利用二次函数的单调性可得答案；
（3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案.
【详解】（1）由条件， 在 上恒成立，
当 ，不符合；
当 时，显然也不符合，
所以 ，且 ，
解得 .
综上， 的取值范围是 .
（2）由条件， 在 上单调递减，
当 ，符合；
当 时，显然不符合，
所以 ，且 ，
解得 .
综上， 的取值范围是
（3）由 ，即 .
由条件 在 上的最大值为6，
当 ，即 时， ，
即 ，解得 ，符合；当 ，即 时， ，
即 ，解得 ，符合.
所以符合条件的 的取值为 或 .
18．(1)
(2)①单调减区间为 ，证明见解析；②证明见解析
（1）利用题目中给的结论得到函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得答案；
（2）①利用题目中给的结论得到函数的单调性，并用函数单调性定义证明；
②由 得 ，再化简即得答案.
【详解】（1）由 ，知 ，所以 ，
所以当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
又 ，
所以 是奇函数，
所以当 时， .
所以 的值域为 .
（2）① 的单调减区间为 .
证明如下：设 ，（*）
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 的单调减区间为 .
②因为 ，由 知， .
又 ，所以 ，
所以 ，所以 .
19．(1) 为“ ”集， 不为“ ”集.
(2)32
(3)
【详解】（1）对于集合 ，当 时， ；当 时， ；
当 ， ；当 ， ；故 为“ ”集.
对于集合 ，当 时， ，故 不为“ ”集.
（2）因为 ，所以 .
又因为 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
（3）因为 ，
所以 .
又 ，
所以 ，
所以 ，同时 .
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以 ，
