文档内容
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为
第2页 | 共7页C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
10.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A. B. C. D.
11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A. B.
C. D.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为 ，且
，定义X的信息熵 .（ ）
.
A 若n=1，则H(X)=0
B. 若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C. 若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则
H(X)≤H(Y)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第3页 | 共7页13.斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =________．
14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n项和为________．
n n
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆
心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂
足为C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半
径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
体现了五育并举的育人方针.
16.已知直四棱柱ABCD–ABC D 的棱长均为2，∠BAD=60°．以 为球心， 为半径的球面与侧面
1 1 1 1
BCC B 的交线长为________．
1 1
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角
形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，
________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
第4页 | 共7页18.已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 天空气中
的 和 浓度（单位： ），得下表：
32 18 4
6 8 12
3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中 浓度不超过 ，且 浓度不超过 ”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的 列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 的把握认为该市一天空气中 浓度与 浓度有关？
第5页 | 共7页附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
21.已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
第6页 | 共7页22.已知函数 ．
（1）当 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
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