文档内容
2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 n
m
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = - x
n
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
10.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
π π π 5π
A. sin(x+ ） B. sin( -2x) C. cos(2x+ ） D. cos( -2x)
3 3 6 6
11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
1 1
A. a2 +b2 ³ B. 2a-b >
2 2
C. log a+log b³-2 D. a + b £ 2
2 2
第2页 | 共5页12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,
L
,n，且
n n
P(X =i)= p
i
>0(i=1,2,
L
,n),åp
i
=1，定义X的信息熵H(X)=-åp
i
log
2
p
i
.（ ）
i=1 i=1
A 若n=1，则H(X)=0
.
B. 若n=2，则H(X)随着 p 的增大而增大
1
1
C. 若 p i = n (i=1,2, L ,n)，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2, L ,m，且P(Y = j)= p j + p 2m+1-j (j=1,2, L ,m)，则H(X)≤H(Y)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.斜率为 3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 AB =________．
14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a }，则{a }的前n项和为________．
n n
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心
，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，t
3
an∠ODC= ，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1
5
cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
16.已知直四棱柱ABCD–
A B C D 的棱长均为2，∠BAD=60°．以D 为球心， 5为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1 1 1 1 1 1
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在①ac= 3，②csinA=3，③c= 3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三
角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
p
问题：是否存在 ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA= 3sinB，C = ，_______
V
6
_?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8．
n 2 4 3
（1）求{a }的通项公式；
n
第3页 | 共5页（2）求aa -a a +¼+(-1)n-1a a .
1 2 2 3 n n+1
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的
PM2.5和SO 浓度（单位：μg/m3），得下表：
2
SO
2 [0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150”的概率；
2
（2）根据所给数据，完成下面的2´2列联表：
SO
2 [0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关？
2
n(ad-bc)2
附：K2 = ，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2 ³k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6 . 635 10.828
20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
第4页 | 共5页（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
x2 y2 1
21.已知椭圆C： + =1(a >b>0)过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
a2 b2 2
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
22.已知函数 f(x)=aex-1-lnx+lna．
（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
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