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荆州中学 2025~2026 学年高一上学期期中考试
数学试题
（全卷满分150分.考试用时120分钟）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：求出集合 后可求 .
【详解】[方法一]：直接法
因为 ，故 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合 ，可得 ，不满足，排除A、D；
代入集合 ，可得 ，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
2. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到，代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：
证明充分性可由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ” 充的要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
3. 已知函数 （其中 ）的图象如图所示，则函数 的图像是（
）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次函数图象可得 ，然后利用排除法结合指数函数的性质分析判断即可
【详解】由函数 （其中 ）的图象可得 ，
所以 ，所以排除BC，
因为 ，所以 为增函数，所以排除A，
故选：D
4. 现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些
药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，
使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（ ）
A. 等于20g B. 大于20g C. 小于20g D. 以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】利用平衡条件得出 的表达式，结合基本不等式可得答案.
【详解】设天平左臂长为 ，右臂长为 ， 且 ，左盘放的药品为 克，右盘放的药品为
克，
则 ，解得 ，
，
当且仅当 时，取到等号，而 ，所以 .
故选：B5. 已知函数 是幂函数，且在 上单调递增，则 （ ）
A. 3 B. －1 C. 1或－3 D. －1或3
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的概念及性质即得.
【详解】因为 是幂函数，
所以 ，解得 或3；
又 在 上单调递增，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，符合题意，
故 ．
故选：A．
6. 已知 ，若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求证其奇偶性以及其在 上的单调性即可比较大小.
【详解】因 ，则 为偶函数，
因 时， ，在 上单调递增，
.
又 ，故
故选：D
7. 已知 是定义在 上的增函数，若对于任意 ，均有 ，
，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，把不等式 ，转化为 ，结合函数的单调性，得出相应
的不等式组，即可求解.
【详解】根据 ， ，
可得 ，
由 ， ，
可得 ，则 ，
又 是定义在 上的增函数，所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A.
【点睛】本题的易错点是不能利用 对已知不等式进行转化.
8. 已知函数 其中 且 .若 时，恒有
，那么实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根据已知条件及函数单调性的定义，利用一次函数、指数函数和分段函数单调性，列出不等式组
求解即可.
【详解】因为当 时，恒有 ，
所以当 时，恒有 ，
不妨设 ，则 ，即 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】通过特殊值、作差法及不等式性质，逐一判断各选项命题的真假.【详解】选项A，当 时， ，故A错误；
选项B， ，因 ， ，则 ，
故 ，B正确；
选项C，由 得 ，又 ，故 ，C正确；
选项D，由 得 ，故 ，D错误.
故选：BC
10. 已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则 的最小值是9
C. 的最小值为2
D. 若 ，则 的最大值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】基本不等式求出各个选项中代数式的最值，即可得到结果.
【详解】A选项， ，当且仅当 ，即 时，取等号，A选项正确；
B选项， ，当且仅当 ，即 时，
取等号，B选项正确；C选项， ，当且仅当 时，取等号，但当
方程无解，C选项错误；
D选项， ，
，
当且仅当 时，即 时，取等号，D选项正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 和 的定义域均为R， 为奇函数， 为偶函数，
，则（ ）
A. B.
C. D. 的图象关于直线 对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 为奇函数，令 ，可判断B，由 ，令 可判断
A，由 是偶函数，通过方程组法可判断C，由对称性的概念可判断D.
【详解】由 为奇函数，得 ，令 ，得 ，B正确．
对于 ，
令 ，得 ，A错误．
因为 是偶函数，所以 ，
对于 ，以 代替x得 ①，
则 ②，所以 ，C正确．
①与②相减得 ，
即 ，则 的图象关于直线 对称，D正确．
故选：BCD
二､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是____________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得 ，解得即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
则对于函数 ，令 ，解得 ，所以函数 的定义域是 ．
故答案为：
13. 已知 ，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先设出 ，求出 ，再结合不等式的性质解出即可；
【详解】设 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
又
所以上述两不等式相加可得 ，
即 ，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
14. 若对于函数 定义域内的每一个 ，都有 成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数
是定义域为 的“互倒函数”，且当 时， ，若存在区间 满足： ， ，使得 ，则 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据“互倒函数”可以求出函数 在 上的解析式，将 ， ，
使得 转化为函数 与函数 值域的包含问题，对 进行分类讨论即可求解.
【详解】因为当 时， 且 为“互倒函数”，
故当 时， ，
当 时， 在 上为增函数，
且 在 上的值域为 ，
而 在 上的值域为 ，
而 ，故 且 ，
所以 ，其中 ，所以 ，
而 ，故 ，所以
因为 ，由双勾函数的性质可得 为减函数，
，所以 ，所以 .
当 时， 在 上的值域为 ，
而 在 上的值域为 ，
同理 ，
若 ，则 ，故 即 ，
故 ，而 ，且 ；
若 ，则 ，故 即 ，
故 ，而 ，且 ；
综上，
故答案为： .【点睛】思路点睛：对于新定义问题，应根据新定义寻找函数值域的对应的关系，在关系处理的过程中，
注意根据值域的不同形式分类讨论.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
的
15. 已知不等式 解集为A，且集合 .
（1）若 ，求实数k的取值范围；
（2）若 ，求实数k的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）先解出不等式 的解集得到 ，再根据 得到 ，列出关于
的不等式求解；
（2）根据 得到 ，分 和 两种情况讨论，列出关于 的不等式求解.
【小问1详解】
， ， ， ，
， ，
， ， ，
实数k的取值范围为 ；
【小问2详解】
， ，
， ，当 时，则 ，解得 ，满足 ， 符合题意；
当 时，则 ，解得 ，
， ，此不等式无解；
综上可知，实数k的取值范围为 .
16. （1）计算： ；
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）由指数的运算即可计算出结果；
（2）将条件等式两边同时平方得到 的值，再两边同时平方即可求出 的值，代入代数式即
可求得结果；
（3）对条件等式各项同除 ，化简得到关于 的二次方程，然后解二次方程求得 的值.
【详解】（1）原式 ；
（2）原方程两边同时平方得： ，解得 ，
方程两边再平方得： ，解得 ，所以 .
（3）由 可得 ，即 ，
又 ，令 ，则 ，
解得 ，即 .
17. 2025年5月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全国文明校园”的再次蝉联
者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在天问广场旁一矩形
空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同
的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】（1）16 （2） .
【解析】
【分析】（1）设草坪长和宽，根据条件得到关系和不等式，解不等式即可求得草坪宽的最大值；
（2）设整个绿化面积为 平方米，根据题意列出 表达式，并通过基本不等式求得最小值.
【小问1详解】
设草坪的宽为x米，长为y米，
因为两块绿草坪 的面积均为400平方米，所以 ，因为矩形草坪的长比宽至少多9米，则 ，即 ，
解得 ，所以草坪宽的最大值为16米；
【小问2详解】
设整个绿化面积为S平方米，
由题意可得，
，
当且仅当 时取等号，
所以整个绿化面积的最小值为 平方米.
18. 已知奇函数 的定义域为 .
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 的单调性，并用定义证明；
（3）存在 ，使得 成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）单调递增，证明见解析；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据函数 是奇函数，由 求得 ，再根据定义域关于原点
对称求解 ；
（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）存在 ，使得 恒成立，令 ， ，转化为 ，存
在 时成立求解.
【小问1详解】
因为函数 是奇函数，所以 ，即 ，则
，整理可得 ，所以 ，
又因为定义域 关于原点对称，所以 ，即 ，
所以 ;
【小问2详解】
在 上单调递增，
设任意 ，且 ,
则 ,
因为 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增；
【小问3详解】
因为 ，所以 ，由存在 ，使得 成立，
则 ，存在 时成立，
令 ， ，
则 ，存在 时成立，
构造函数 ，
故 ，
而 ，当且仅当 ，即 取等号，
对于 单调递减，在 单调递增，
所以 ， ,
所以 ,
∴
故 的取值范围为 .
19. 对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，使得函数 在x∈ 时，值域是
，则称 为 的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数 在x∈ 时值域是 ，
则称 为 的“完美区间”.
（1）证明：函数 在定义域里存在“完美区间”；（2）如果二次函数 在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b；
（3）是否存在实数 ，使得函数 ( )在区间 单调，且
的
为 “k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2） ， .
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据完美区间的定义，结合 的单调性与区间端点值证明即可；
（2）设定义域为 ，值域为，再列方程组求解即可；
（3）作出 的图像，讨论 与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即
可.
【小问1详解】
在 与 上均为增函数，若 存在完美区间 ，则有
，即 为 的两根．
即 的根，故 ，即存在“完美区间”.
【小问2详解】若 存在“2倍美好区间”，则设定义域为 ，值域为
当 时，易得 在区间上单调递减，
则 ，两式相减可得 ，得 ，
则 ，即 ，因为 ，解得 ， .
【小问3详解】
，图象如图所示，令 ，解得 或 ，
（ⅰ）当 时， ，由 ，两式相除，
，
，
，可得 ,与a,b范围矛盾，即实数 不存在
（ⅱ）当 时， ，由 可得， ，即 ，
，由 ，即 ，解得 ，
又 ， ， ，
由 ，可得 ，
综上，符合条件的k的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对 进行分类讨论，最后分离出 结合二次函数的性质即可
求出最值.
