滨城高中联盟2025-2026 学年度上学期高一期中考试
数学试题参考答案
单选
1.D
【详解】B={x∈N |1<x<5}={0，1，2，3，4}，而
0,1,2,4,5
A
，所以
0,1,2,4
A
B
.
2.A【详解】根据不等式性质得到充分性成立，取a=1，b=4，得到必要性不成立
3.C
【详解】函数
( )
f x 的定义域为[0,2]，则在函数
2 (2 ) 1
y
f
x
中，0
2
2
x
，解得0
1
x
，
因此函数
2 (2 ) 1
y
f
x
的定义域为[0,1] ；
由函数
( )
f x 的值域为[0,2]，得函数
(2 )
f
x 的值域为[0,2]，即0
(2 )
2
f
x
，
则1
2 (2 ) 1
5
f
x
，故函数
2 (2 ) 1
y
f
x
的值域为[1,5].
4.B
【详解】因
1
7
0
2
e
6
f
，
1
1
0
3
f
，
0
0
e
2
3
f
，
2
1
0
3
e
4
f
，
3
2
0
6
e
7
f
，
则由零点存在性定理可知，函数
f x 在区间
1,0
内一定有零点。
故选：B
5.A
【详解】当0
1
a
时，指数函数
1
t
y
a
在R 上单调递增，
2
t
x
ax
在
, 2
a
上单调递增，在
,
2
a
上单调
递减，
由复合函数的单调性可知
f x 在区间
,
2
a
上单调递减，不符合题意；
当
1
a 时，指数函数
1
t
y
a
在R 上单调递减，
2
t
x
ax
在
, 2
a
上单调递增，在
,
2
a
上单调递减，
由复合函数的单调性可知
f x 在区间
,
2
a
上单调递增，结合题意可知
2
2
a
，则
4
a
，
所以a 的取值范围为
1,4 ．
6.C
【详解】
( )
(
)(
)
f x
x
a x
b
的图象与x 轴的交点的横坐标为方程(
)(
)
0
x
a x
b
的两个根，
由(
)(
)
0
x
a x
b
可得两根为,a b ，
又a
b
，所以
1, 1
0
a
b
，
由
1
a 可知，
x
y
a
为增函数，
又由1
0
b
，得0
1 1
b
，所以
( )
g x 的图象与y 轴的交点在x 轴上方，
只有C 选项满足题意，
7.C
【详解】根据题意，不妨
1
2
x
x
，则
1
2
x
x
，
当函数
f x 单调递增时，可得
1
2
f
x
f
f
f
x
，
所以
2
1
0
f
x
f
x
f
f
，所以
1
2
f x
f x
f
f
；
当函数
f x 单调递减时，
1
2
f x
f
f
f x
，
所以
1
2
0
f x
f x
f
f
，所以
1
2
f x
f x
f
f
；
综上可得，
1
2
f x
f x
f
f
.
故选：C.
8.D
8【详解】当
0
x
时，
2
1
2
,0
2
4
2
3
,
2
x
x
f x
x
x
，
因为
1
4
y
f
x
是奇函数，所以
y
f
x
的图象关于
1
0,
4
对称，且
1
0
4
f
，
由此画出
f x 的图象如下图所示，直线
1
4
y
kx
过点
1
0,
4
，
因为
2
2
1
1
2
,2 2
3
2
4
2
，
所以过点
1
0,
4
和点
1
2, 2
的直线的斜率为
1
1
3
2
4
2
0
8
，对应直线方程为
3
1
8
4
y
x
，
过点
1
0,
4
和点
2,2 的直线的斜率为
1
2
9
4
2
0
8
，对应直线方程为
9
1
8
4
y
x
，
由图象以及对称性可知，要使
1
7
4
i
i
m f x
，则需
3 9
,
8 8
k
，
一、多选
9.AB
【详解】对于选项A，由a
b
可推出a3‐b3=(a‐b)(a2+ab+b2)>0 故A 正确；
对于选项B，由指数函数y = (
1
2 )x
是减函数，则由a
b
可推出(
1
，故B 正确；
对于选项C,取a=‐1,b=‐1 则1
1
a
b
，故选项C 错误.
对于D 选项，取
0
c
，则
2
2
0
ac
bc
，即由a
b
不能推出
2
2
ac
bc
，故D 错误．
故选：AB
10.ABD
【详解】选项A.根据命题否定的概念，可得命题“∆ABC 的内角都大于60o ”的否定是“∆ABC 中至少有一个内角不大
于60o ”.即选项A 不正确；
对于B 当
0
x
时，
2
0
x
，因此
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
，
当且仅当
4
2
2
x
x
，即
0
x
或
4
x 时等号成立，但
0
x
，故无法取等号.故选项B 错误.
选项C，由题意知，1
和2 是方程
2
2
0
ax
x
c
的两根，所以
2
1 2
( 1) 2
a
c
a
，
解得
2
a ，
4
c
，所以
2
a
c
，C 正确
对于D，函数
2
1
( )
x
f x
x
的定义域为{
R |
0}
x
x
，
( 1)
(1)
0
f
f
，所以函数
( )
f x 在定义域上不是增函数，D 错
误；
11.ACD
【详解】对于A，当
0
b
时，
f x
x x
x
，则
(
)
(
)
f
x
x
x
x
x x
x
f x
，
所以存在
0
b
，使得
f
x
f x
，所以A 正确；
对于B，当
0
x
时，
2
f x
x
x
b
，其图象开口向上，且对称轴的方程为
1
2
x
，
所以
f x 在[0,
)
上单调递增，则
0
f x
f
；
当
0
x
时，
2
f x
x
x
b
，其图象开口向下，且对称轴的方程为
1
2
x
，
所以
f x 在(
,0)
上单调递增，则
0
f x
f
，
所以函数
f x 为R 单调递增函数，所以不存在
1
2
x
x
，使得
1
2
f x
f x
，所以B 不正确；
对于C，要证
1
1
2
2
1
2
2
1
( )
(
)
(
)
( )
x f x
x f x
x f x
x f x
，
即证
1
1
2
2
1
2
[ (
)
(
)]
[ (
)
(
)]
0
x f x
f x
x
f x
f x
，即证
1
2
1
2
(
)[ ( )
(
)]
0
x
x
f x
f x
，
由B 项知，函数
f x 为R 单调递增函数，所以
1
2
1
2
(
)[ ( )
(
)]
0
x
x
f x
f x
恒成立，所以C 正确；
对于D，令
h x
f x
b
，则
h x
x x
x
，
可得
h
x
h x
，所以
h x 为奇函数，且
h x 为R 上的递增函数，
由
3
1
1
2
f
a
f a
b
，可得
3
1
1
0
f
a
b
f a
b
，
即
3
1
1
h
a
h a
，即
3
1
1
h
a
h
a
，
因为
h x 为R 上的递增函数，所以3
1
1
a
a
，解得
1
2
a
，所以D 正确.
二、填空
12.
1
解：由
2,
0
2 ,
0
x
x
x
f x
x
，则
2
2
2
2
2
2
1
f
f
.
13.( 2, 1)
解：不等式
2
3
2
0
mx
x
m
可整理为
2
(
2)
3
0
x
m
x
，即
2
3
2
x
m
x
对
0,1
m
恒成立，
所以
2
3
1
2
x
x
，即
2
3
2
0
x
x
，解得2< < 1
x
，
14.
1
8,
8
解:根据题意可知，函数
1
8
x
y
a
与函数
8x
y
a
在区间
1,2026 上同增或者同减，
①若两函数在区间
1,2026 上单调递增，则
1
0,
8
8
0
x
x
a
a
在区间
1,2026 上恒成立，
函数
1
8
x
y
a
在定义域上单调递减，若
1
8
x
y
a
在某区间上单调递增，只能绝对值里面小于等于0，
即1
0
8
x
a
，可得
1
1
1
0,
8
8
0
a
a
解得
1
8
8
a
；
②若两函数在区间
1,2026 上单调递减，则
1
0,
8
8
0
x
x
a
a
在区间
1,2026 上恒成立，
即
2026
2026
1
0,
8
8
0
a
a
此时不等式组无解
综上所述，
1
8,
8
a
．
三、解答题
15.解
（1）
4
6
0
3
3
2 ( 2
3)
( 2 2 )
( 1024)
4
1
3
6
1
1
1
2
1
3
2
2
2 2
3
2
1
2
3
2
2
3
2
1
219
‐‐‐‐‐‐‐‐4 分
（2）由
1
1
2
2
3
a
a
，得
1
2
9
a
a
，则
1
7
a
a
，
两边平方得
2
2
47
a
a
，所以
1
2
2
2
9
1
2
47
2
5
a
a
a
a
．
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐8 分
（3）原式
3
3
3
2
2
2
2 2
10
10
10
3
2
3
3
m
n
m
.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐13 分
16.解
（1）方法一：配凑法．因为
2
2
1
1
1
(
)
2
1
3
f
x
x
x
x
x
x
，所以
2
3
f x
x
．
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐3 分
方法二：换元法．令
1
t
x
x
，t R ，则
2
2
2
1
2
x
t
x
，则
2
2
2 1
3
f t
t
t
，所以
2
3
f x
x
．
（2）因为
( )
2 (2
)
f x
x
f
x
，所以
( )
2 (2
)
f x
f
x
x
，
用2
x
替换x 可得，
(2
)
2 ( )
2
f
x
f x
x
，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐5 分
联立可得
4
( )
3
x
f x
，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐8 分
（3）①当
0
x
时，
1
g x
x
，此时
0
g x
，
2
2
1
1
1
f
g x
f
x
x
x
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐10 分
②当0
1
x
时，
g x
x
，此时
0
1
g x
，
2
f g x
f
x
x
x
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐12 分
③当
1
x 时，
g x
x
，
1
g x ，
2
1
f g x
f
x
x
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐14 分
综上所述，
2
1 ,
0
,0
1
2
1,
1
x
x
f g x
x
x
x
x
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐15 分
17.解（1）根据题意知
2
84
2
16
200
5
0
2
21
16
200
5
756
16
200
5
2
6
1
x
x
x
x
f x
P x
x
x
x
x
x
x
x
，
整理得
2
84
21
32 0
2
756
21
200 2
6
1
x
x
x
f
x
x
x
x
x
；
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐5 分
（2）当0
2
x
时，
2
84
21
32
f x
x
x
，
由一元二次函数图象可知在
2
x
时
f x 取得最大值
2
262
f
，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐8 分
当2
6
x
时，
756
21
200
1
x
f
x
x
x
756
1
756
21
1
179
1
x
x
x
756
577
21
1
1
x
x
756
577
2
21
1
1
x
x
577
2 126
325
，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐11 分
当且仅当
756
21
1
1
x
x
，即
5
x
时等号成立，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐13 分
∴
2
5
f
f
，∴
f x 的最大值是
5
325
f
，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐14 分
∴当单株施肥量为5 千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325 元.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐15 分
18 解（1）令
1
2
x
y
，得
1
1
1
2
1
1
2
2
2
f
f
f
f
．
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐3 分
（2）①因为
2
g x
h x
x
，且
2
h x
y
h x
h y
xy
，
所以
2
g x
y
h x
y
x
y
2
2
h x
h y
xy
x
y
2
2
h x
x
h y
y
g x
g y
．
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐6 分
②因为
h x 的图象在R 上连续不断，所以
g x 的图象在R 上连续不断，
又
g x
y
g x
g y
，结合题目条件可知，
1
g x
g
x
．
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐8 分
又
2
1
1
1
2
g
h
，所以
2
g x
x
．
从而
2
2
h x
x
x
．
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐10 分
2
2
h x
x
x
的对称轴为
1
x ．
当0
1
t
时，
h x 在
0,t 上单调递减，
所以，当x
t
时，
2
min
2
h x
h t
t
t
；
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐13 分
当
1
t 时，
h x 在
0,1 上单调递减，在
1,t 上单调递增，
所以，当
1
x 时，
min
1
1
h x
h
；
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐16 分
综上，当0
1
t
时，
h x 取最小值
2
2
t
t
，当
1
t 时，
h x 取最小值1
．
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐17 分
19.【答案】(1)
1
a ；
f x 在R 上单调递增；
(2)
2
b
，
0,2 ；
(3)存在，
1
{ |
}
7
k k
解（1）因为
2
2
1
x
x
a
f
x
是定义在R 上的奇函数，所以
1
0
0
2
a
f
，解得
1
a ，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐1 分
当
1
a 时，
2
1
2
1
x
x
f x
，函数
f x 的定义域为R 关于原点对称，
且
2
1
1
2
2
1
1
2
x
x
x
x
f
x
f
x
，满足
f x 是奇函数，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐3 分
又由
2
1
(2
1)
2
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
f x
，
所以函数
f x 是R 上的单调递增函数.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐4 分
（2）解：由（1）得
2
1
2
1
x
f
x
，
可得
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
b
b
b
b
b
g x
b
，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐5 分
因为函数
2
2
2
x
x
b
g x
的图象可以由函数
f x 的图象通过平移得到，
可得
2
b
，所以
1
2
2
2
1
x
g x
，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐7 分
因为
1
2
0
x
，所以
1
2
1
1
x，所以
1
2
2
0
2
1
x
，所以
1
2
0
2
2
2
1
x
，
所以函数
g x 的值域为
0,2 .
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐9 分
（3）解：由
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
k
k
k
h x
f x
在区间[1，2]上任意三个实数, ,
r s t ，
都存在以
,
,
h r
h s
h t 为边长的三角形，
等价于
min
max
1,2 ,2 ( )
( )
x
h x
h x
且
min
( )
0
h x
恒成立，
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐11 分
①当
2
k
时，即
min
max
1, ( )
1, ( )
1
h x
h x
h x
，符合.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐12 分
②当
2
k
时，
h x 在
1,2 上单调递减，
所以
max
min
2
2
( )
1
1
, ( )
2
1
3
5
k
k
h x
h
h x
h
，
由
min
max
2 ( )
( )
h x
h x
且
min
( )
0
h x
，即
2
2
2 1
1
5
3
k
k
且
2
1
0
5
k
，
解得
3
k ，又因为
2
k
，所以
2
k
.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐14 分
③当
2
k
时，
h x 在
1,2 上单调递增，
所以
max
min
2
2
( )
2
1
, ( )
1
1
5
3
k
k
h x
h
h x
h
，
由
min
max
2 ( )
( )
h x
h x
且
min
( )
0
h x
，即
2
2
2 1
1
3
5
k
k
且
2
1
0
3
k
，
解得
1
7
k
，又因为
2
k
，所以
1
2
7
k
.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐16 分
综上所述，实数k 的取值范围为
1
{ |
}
7
k k
.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐17 分
