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考点 01 实数
一、实数的相关概念
正数 大于0的数叫做正数
意义：表示具有相反意义的量
负数 在正数前面加上“－”号的数叫做负数
数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
只有符号不同的两个数，叫做互为相反数
（1）若a,b互为相反数，则a+b=0;
相反数
实 （2）0的相反数是0;
数 （3）在数轴上，互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等.
的
|a|
数轴上点a与原点的距离叫做a的绝对值，记作
相
绝对值 { a (a>0)
关 |a|= 0 (a=0)
概 −a (a<0)
绝对值具有非负性：
念
乘积为1的两个实数互为倒数
（1）ab=1⇔a,b互为倒数;
倒数
（2）0没有倒数;
（3）倒数等于它本身的数是1和-1.
科学计数法 把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式
无理数 无限不循环的小数叫做无理数±√a
① 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作 ；
平方根
② 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方
根.
① 如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的算术平方根,
√a
记作 .
算术平方根
√a2 =a(a≥0) √a 2 =|a|
② 非负性：
，
3
√a
① 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，记作 .
② 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方
立方根
根.
③
√ 3 a3 =a √ 3 −a=−√ 3 a
，
1
零指数，负 a−n = (a≠0)
a0 =1(a≠0) an
指数幂
；
1．常见的三种非负数：|a|≥0，a2≥0，≥0(a≥0)．
2．非负数的性质：
非负数 ① 非负数有最小值是零；
② 任意几个非负数的和仍为非负数；
③ 几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.
二、实数的分类
有理数 整数
实 分数
按定义分
数 无理数 正无理数
的 负无理数
分 正实数
类 按正负分 0
负实数
三、实数的运算
实 同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。
数 加法 异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号，并用较大数的绝对值减失较小数的绝对
的 值。
运 减法 减去一个效等于加上这个数的相反数两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘
几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当
乘法
负因数有奇数个时，积为负
n个数相乘，有一个因数为0，积为0.
两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除
除法
0除以任何一个不等于0的数都得0
算
几个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an（a≠0，n为正整数）开方与乘方互为逆
乘方
运算
分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三
运算顺序 二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进
行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）
【考点1】实数的概念与分类
【例1】下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得．
【解答】
A、 是有限小数，属于有理数，此项不符题意；
B、 ，是有理数，此项不符题意；
C、 是无理数，此项符合题意；
D、 是分数，属于有理数，此项不符题意；
故选：C．
无理数常见的四种类型”：
√2 √ 3 6
（1）开不尽的数，如 ，π
5
（2）含有π的绝大部分数，如π，
（3）具有特定结构的数，如0.10100000(两个1之间依次增加1个0)
sin60° cos20° tan60°
（4）三角函数数中的一些数，如 ， ， .
1．（2022·安徽）下列为负数的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据正负数的意义分析即可；
【详解】解：A、 =2是正数，故该选项不符合题意；
B、 是正数，故该选项不符合题意；C、0不是负数，故该选项不符合题意；
D、-5＜0是负数，故该选项符合题意．故选D.
2．（2022·浙江金华）在 中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据无理数的定义判断即可；
【详解】解：∵-2， ，2是有理数， 是无理数，故选： C．
3．（2022·江苏连云港）写出一个在1到3之间的无理数：_________．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】由于12=1，32=9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解．
【详解】解：1和3之间的无理数如 ．故答案为： (答案不唯一)．
【考点2】正负数的意义
【例2】若盈余2万元记作 万元，则 万元表示（ ）A．盈余2万元 B．亏损2万元 C．亏损 万元 D．不盈余也不亏损
【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．
【解答】
解：∵盈余2万元记作 +2 万元，
∴-2万元表示亏损2万元，
故选：B．
正负数的意义：表示具有相反意义的量
1．（2022·广西桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走2km记做
“+2km”，那么向西走1km应记做（ ）
A．﹣2km B．﹣1km C．1km D．+2km
【答案】B
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：若把向东走2km记做“+2km”，那么向西走1km应记做﹣1km．故选：B．
2．（2022·云南）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作
+10℃，则零下10℃可记作（ ）
A．10℃ B．0℃ C．-10 ℃ D．-20℃
【答案】C
【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论．
【详解】解：若零上 记作 ，则零下 可记作： ．故选：C．
3．（2022·广西）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数
“数量相等，意义相反”，如果向东走了5米，记作＋5米，那么向西走5米，可记作______米．
【答案】
【分析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量，如果向东走了5米，记作＋5米，那么向西走5米，
可记作 米．
【详解】解：∵向东走了5米，记作＋5米，
∴向西走5米，可记作 米，
故答案为： ．【考点3】数轴的运用
【例3】若 ，则实数 在数轴上对应的点的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
【分析】首先根据a的值确定a的范围，再根据a的范围确定a在数轴上的位置．
【解答】
解：∵
∴ ，
∴ ，
∴点A在数轴上的可能位置是：
，
故选：A．
【例4】（2022·贵州黔东南）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如： 的几何意义是
数轴上表示数 的点与表示数 的点的距离， 的几何意义是数轴上表示数 的点与表示数2的点的距
离．当 取得最小值时， 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解．
【详解】解：如图，由 可得：点 、 、 分别表示数 、2、 ， ．
的几何意义是线段 与 的长度之和，当点 在线段 上时， ，当点 在点 的左侧或点 的右侧时， ．
取得最小值时， 的取值范围是 ；故选B．
1．（2022·陕西）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a______ ．（填“>”“=”或“<”）
【答案】<
【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案．
【详解】解：如图所示：-4＜b＜-3，1＜a＜2，
∴ ，∴ ．故答案为：＜．
2．（2022·广西）如图，数轴上的点A表示的数是 ，则点A关于原点对称的点表示的数是
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据数轴上表示一对相反数的点关于原点对称即可求得答案．
【详解】∵数轴上的点A表示的数是−1，
∴点A关于原点对称的点表示的数为1，故选：C．
3．（2022·黑龙江大庆）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得c＜0＜d，
A、 ，原结论错误，故此选项不符合题意；
B、 ，原结论错误，故此选项不符合题意；C、∵c＜0＜d，且 ，∴ ，原结论正确，故此选项符合题意；
D、∵c＜0＜d，且 ，∴ ，原结论错误，故此选项不符合题意；故选：C．
【考点4】绝对值、相反数与倒数
【例5】 的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用绝对值的定义直接得出结果即可
【解答】
解： 的绝对值是：9
故选:A
1
1
2
【例6】﹣ 的相反数是 ，倒数是 ．
【分析】根据相反数与倒数的概念解答即可．
1 1
1 1
2 2
【解答】解：∵﹣ 的相反数是 ，
1 3
−1 −
2 2
∵ ＝ ，
1 3 1 3
−1 − 1 −
2 2 2 2
∴ 倒数是 ． 故答案为： ， ．
1．（2022·四川成都） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】直接根据相反数的求法求解即可．
【详解】解：任意一个实数a的相反数为-a由 − 的相反数是 ；故选A．
2．（2022·广西梧州） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据倒数的定义：如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数，进行求解即可
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ，故选：A．
3．（2022·江苏泰州）若 ，则 的值为__________.
【答案】
【分析】将 代入 ，由绝对值的意义即可求解．
【详解】解：由题意可知：当 时， ，
故答案为： ．
【考点5】科学计数法
【例7】（2022·湖南邵阳）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000
亿元，11000亿用科学记数法可表示为 ，则 的值是（ ）
A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1
即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．
故选：B．科学记数法的表示方法：一般形式:a×10n.
1．a值的确定:1≤|a|<10.
2．n值的确定:
① 当原数的绝对值大于或等于10时,n等于原数的整数位数减1;
② 当原数的绝对值小于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数
点前的零).
注意:若含有计数单位,则先把计数单位转化为数字，再用科学记数法表示.
1．（2022·浙江杭州）国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1412600000人，数据1412600000用
科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整
数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1412600000= ．故选：B．
2．（2022·内蒙古呼和浩特）据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金
1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整
数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1100亿＝110000000000＝ ，故选：B．
3．（2022·湖北武汉）科学家在实验室中检测出某种病毒的直径的为0.000000103米，该直径用科学记数法表示为___________米．
【答案】1.03×10-7
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同
的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000103=1.03×10-7．
故答案为：1.03×10-7
【考点6】实数的大小比较
【例8】比较大小： __________ （填写“＞”或“＜”或“＝”）．
【分析】直接用 ，结果大于0，则 大；结果小于0，则 大．
【解答】
解： ，
∴ ，
故答案为：＞．
比较实数大小的五种方法
（1）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小
（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
（3）平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据a>0,b>0时，可由a2>b2得到a>b来比较大小。
（4）取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小，
（5）差值比较法
1．（2022·四川雅安）在﹣ ，1， ，3中，比0小的数是（ ）A．﹣ B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】根据实数的大小比较法则（正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数）及无理数的估算进行分
析求解．
【详解】解：∵﹣ <0< <1<3
∴在﹣ ，1， ，3中，比0小的数是﹣ ．故选：A．
2．（2022·江苏苏州）下列实数中，比3大的数是（ ）
A．5 B．1 C．0 D．－2
【答案】A
【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：因为－2＜0＜1＜3＜5，所以比3大的数是5，故选：A．
3．（2022·四川南充）比较大小： _______________ ．（选填＞，＝，＜）
【答案】<
【分析】先计算 ， ，然后比较大小即可．
【详解】解： ， ， ，
∵ ∴
故答案为：<．
【考点7】平方根、算术平方根与立方根
【例9】数4的算术平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．√2
【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．
【解析】∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选：A．
【例10】实数8的立方根是 ．
【分析】根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．
【解析】实数8的立方根是：
√38=2．故答案为：2．
1．（2022·四川泸州） （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义可求．
【详解】解： -2，故选A．
2．（2022·四川凉山）化简： ＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．
【详解】解： ，故选：D．
3．（2022·浙江杭州）计算： _________； _________．
【答案】 2 4
【分析】根据算术平方根的性质，乘方的运算法则，即可求解．
【详解】解： ； ．
故答案为：2，4
【考点8】实数的估算与运算
【例11】实数 在数轴上的对应点可能是（ ）
A． 点 B． 点 C． 点 D． 点
【分析】先求出 的近似值，再判定它位于哪两个整数之间即可找出其对应点．【解答】
解：∵ ，
∴ ，
∴它表示的点应位于2和3之间，
所以对应点是点D，
故选：D．
【例12】（2022·湖北鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在
营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：
21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律进而得出答案．
【详解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴尾数每4个一循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的个位数字应该是：4．故选：C．
1
23 1 (13)
【例13】计算： 2 ．
【分析】先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果．
【解答】
1
23 1 (13)
解： 2
1
8 (2)
2
4(2)
2．
关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。
1．（2022·江苏宿迁）满足 的最大整数 是_______．
【答案】3
【分析】先判断 从而可得答案．
【详解】解：
满足 的最大整数 是3．故答案为：3．
2．（2022·四川泸州）与 最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵12.25＜15＜16，∴3.5＜ ＜4，
∴5.5＜2+ ＜6，∴最接近的整数是6，故选：C．
3．（2022·黑龙江大庆）函数 叫做高斯函数，其中x为任意实数， 表示不超过x的最大整数．定
义 ，则下列说法正确的个数为( )
① ；② ；③高斯函数 中，当 时，x的取值范围是 ；
④函数 中，当 时， ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据 表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】解：① ，故原说法错误；
② ，正确，符合题意；③高斯函数 中，当 时，x的取值范围是 ，正确，符合题意；
④函数 中，当 时， ，正确，符合题意；
所以，正确的结论有3个．故选：D．
4．（2022·山东烟台）如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 _____．
【答案】13
【分析】根据题意可得，把 ， 代入 进行计算即可解答．
【详解】解：当 ， 时，
．
故答案为：13．
5．（2022·山东烟台）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小
王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果
等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．
【答案】（5-3+2）×6（答案不唯一）
【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
（5-3+2）×6＝24，
故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）．
6．（2022·广西）计算： ．【答案】3
【分析】先计算括号内的，并计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式=1×3+4-4
=3+4-4
=3．
7．（2022·广西贺州）计算： ．
【答案】5
【分析】根据 解答．
【详解】解：原式
8．（2022·陕西）计算： ．
【答案】
【分析】先算绝对值、算术平方根，零指数幂，再算乘法和加减法，即可求解．
【详解】解：
9．（2022·浙江杭州）计算： ．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是 ，请计算 ．(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)-9(2)3
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得 ，解方程即可；
(1)解： ；
(2)设被污染的数字为x，由题意，得 ，解得 ，
所以被污染的数字是3．
