辽宁省重点高中沈阳市郊联体2025-2026学年高二上学期期末数学答案_2026年02月高二试卷_260201辽宁省重点高中沈阳市郊联体2025-2026学年高二上学期期末（全）

2025-2026学年度高二上学期期末考试数学试题答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C D C D B B C C 二、多项选择题 题号 9 10 11 选项 AB AC ACD 三、填空题  3 1 12 3 13 [0, ) ( ,) 14 3 4 5 四、解答题 15. 解析 (1) 因为A5=252C7，所以n7 n n n! n! 又 =252 …………..3分 (n−5)! 7!(n−7)! 所以n2−11n+10=0， ……………5分 即n=10 ……………6分 (2) 由（1）问知 n=10 1 1 1 40−5r 所以T =Cr( x2)10−r(− )r=(−1)r( )10−rCrx 2 ……………9分 r+1 10 2 x 2 10 40−5r 令 =5，解得 r=6 ………………11分 2 1 105 所以x5项的系数是(−1)6C6( )4= ………………13分 10 2 8 16. 解析 c 1 a 3 (1). 由离心率e= = ,得c= 且b2=a2−c2= a2. a 2 2 4 焦距2c=2c=1,则a=2,b2=3. …………3分 x2 y2 故椭圆方程为 + =1 ………….6分 4 3 x2 4y2 3 (2). 将y=2x+1带入椭圆 + =1(由b2= a2),整理得 a2 3a2 4 19x2+16x+4−3a2=0 ……………..8分 {#{QQABBQop5giwkIbACZ4rQ0U0CkiYkIIiJEgMBUCUuA4KwZFIBCA=}#}设A(x,y),B(x,y )则 1 1 2 2 16 4−3a2 x +x =− xx = . ……………9分 1 2 19 1 2 19 由OA⊥OB得xx +yy =0 ……………10分 1 2 1 2 计算yy =(2x +1)(2x +1)=4xx +2(x +x )+1,代入垂直条件,得 1 2 1 2 1 2 1 2 5xx +2(x +x )+1=0 …………….12分 1 2 1 2 7 代入x +x与xx 解得a2= . ……………..13分 1 2 1 2 15 2 105 所以长轴长 2a= . ……………..15分 15 17. 解析 （1）设小明第3次购买是恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为 ， 则分为有空盒和无空盒两种情况， ． …………5分 （2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X． X的可能取值为80，110． 则 ， ． ……………8分 所以 ． ……………10分 方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y． 依题意，Y的可能取值为70，100，130， 则 ， ， ． …………13分 所以 ． 因为 ，所以小明应该选择方案一． ……………15分 {#{QQABBQop5giwkIbACZ4rQ0U0CkiYkIIiJEgMBUCUuA4KwZFIBCA=}#}18. 解析 1 （1） PD=FD−FP=FC+ CA−FP 2 又BA=BE且EF//AC，CA=FE   PD=FC+ FE−FP=a+ b−c. ………….3分 2 2 3 （2） BA= BE且ABC为等腰直角三角形 2  EF:BF:CF=2:2:1，EFC= 2 设PF = 2m，则EF = 2m，CF = m. 3 9 29 |PD|= (a+ b−c)2 = m2+ m2+4m2 = m ………….6分 4 4 2 因为FC⊥平面ACFE ，所以CF为平面ACFE的法向量. 3 (a+ b−c)c cosPD,FC= PDFC 4 =− 4 29 …………..8分 |PD||FC| 29 29 m2m 2 4 29 所以平面与平面ACFE夹角的余弦值为 …………...9分 29 （3） 分别以FE，FC所在直线为x轴、y轴，过F作垂线为z轴建立空间直角坐标系， 设CF = t，则PF=2−t，C(0,t,0),A(2,t,0),D(1,t,0) …………….10分 批注 [鑫聂1]: 如果答题卡上没有坐标系要扣1分 由（1）得，二面角P−EF−C得平面角为PFC，  即PFC= ……………12分 3 1 3 3t 3 P(0, (2−t), (2−t)),PD=(1, −1, (t−2)). ……14分 2 2 2 2 由题意得，平面ACFE的法向量为a=(0,0,1)， 3 | (t−2)| sin  =|cosPD,a|= |PDa| = 2 = 2 ， ………15分 4 |PD||a| 3 3 2 1+（ t−1)2+ (t−2)2 2 4 {#{QQABBQop5giwkIbACZ4rQ0U0CkiYkIIiJEgMBUCUuA4KwZFIBCA=}#}6 解得t= 3 6 存在点F，此时CF= . …………..17分 3 19. 解析 9 2 （1） 当=3时，定直线l:x= ,比值为 . 2 3 2 9 设P(x,y)，由已知得 (x−2)2+y2 = |x− |， ………….2分 3 2 x2 y2 两边平方，整理得 + =1，即为曲线H的方程. …………..4分 9 5 (x−2)2+y2 2 （2） 设P(x,y)，由已知，得 = ， 2  |x− | 2 x2 y2 整理得， + =1，即为曲线H的方程. ……………6分 2 2−4 设M(x,y ),A(x,y),B(−x,−y)， 0 0 1 1 1 1 y −y y +y 则k = 1 0,k = 1 0, 1 x −x 2 x +x 1 0 1 0 x2 x2 (2−4)(1− 1)−(2−4)(1− 0) k k = y 1 −y 0 y 1 +y 0 = y 1 2−y 0 2 = 2 2 =− 2−4 . ……….9分 1 2 x −x x +x x2−x2 x2−x2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 2−4 4 4 则2+1+k k =2+1− =2+  2 =4 1 2 2 2 2 4 当且仅当2= ，即= 2时，等号成立. 2 所以存在= 2使得2+1+kk 取得最小值4. ………….11分 1 2 y2 （3） 证明：由（2）知，当=1时，曲线H：x2− =1，它是焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方 3 程为y= 3x，不妨设S在渐近线y= 3x上，如图， 设l 2 :y=kx+b，因为直线l2 与双曲线的两条渐近线分别交于点S，T，所以k 3. {#{QQABBQop5giwkIbACZ4rQ0U0CkiYkIIiJEgMBUCUuA4KwZFIBCA=}#} −b x= , y=kx+b,   3+k −b 3b 由 解得 ，即S( , ) ， y=− 3x  3b 3+k 3+k y= ,   3+k b 3b bk 3b 同理得T( , )，所以N( , ) ………….14分 3−k 3−k 3−k2 3−k2 3b ( )2 代入双曲线方程x2− y2 =1，得( bk )2− 3−k2 =1, 3 3−k2 3 整理得k4−(b2+6)k2+9+3b2=0，即(k2−3)(k2−3−b2)=0 解得k2=3(舍）或k2=3+b2 …………15分 y=kx+b  当k2=3+b2时，由 y2 ，消去y得(3−k2)x2−2kbx−b2−3=0， x2− =1  3 此时，=4k2b2+4(b2+3)(3−k2)=12(b2+3−k2)=0，故方程由两个相等得解. 故直线l2 与曲线H有且仅有一个公共点N. ……………….17分 {#{QQABBQop5giwkIbACZ4rQ0U0CkiYkIIiJEgMBUCUuA4KwZFIBCA=}#}