文档内容
2024—2025 学年度茂名市七校联盟高一联考
数学试题
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次不等式的解法求得 ，利用具体函数的定义求得 ，再利
用集合的运算，即可求解.
【详解】由 ，得到 ，所以 ，
又 ，得到 ，所以 ，得到 ，
故选：A.
2. 命题：“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.【答案】B
【解析】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到答案.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题知：
“ ”的否定是“ ”.
故选：B.
3. 函数 的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的单调性，求 ， ， ， ，结合零点存在性定理确定零点所在的区
间.
【详解】因为函数 和函数 在 上都单调递增，
所以函数 为增函数，
又 ， ， ， ，
由零点存在性定理可得函数 的零点所在的区间是 .
.
故选：C
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用正切的差角公式，求得 ，再利用正切的倍角公式，即可求解.【详解】因为 ，解得 ，
所以 ，
故选：B.
5. 已知函数 的图象相邻的两条对称轴间的距离为 ，为得到 的图
象，可将 的图象上所有的点（ ）
A. 先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变
B. 先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变
C. 先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D. 先向右平移 个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】
【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求 ，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加
右减，图象伸缩变换的规律即可得解．
【详解】由题意可知 ，
所以 ，
所以可将 的图象上所有的点先向右平移 个单位长度得到 ，再将所得点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变得到 的图象，
即 的图象，
故选：A
6. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解.
【详解】由 可得 ，
由 ，
故 ，故 ，由于 ，故 ，
故选；B
7. 设 ，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找中间值 ，得到 ， ， ，即可求得结果.
【详解】因为 ，故 ；因为 ，故 ；因为 ，故 ；
故
故选：D
8. 已知 ，函数 在 上单调，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用 的性质，利用整体代入法分别求出 的单调递增和
单调递减区间，然后分函数 在 上单调递增和递减两种情况讨论，可得
和 且 ，即可求出结果.
【详解】若函数 在 上单调递增，
由 ，
得 ，所以 ，又 ，
取 ，得 ，
若函数 在 上单调递减，
由 ，
得 ，
所以 ，
又 ，
取 ，得 ，
所以 的取值范围是 ，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 是 的必要不充分条件B. 若 ，则 的最小值为
C. 若 ，则
的
D. 若幂函数 图象经过点 ，则函数 的图象恒过定点
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A利用充要条件的推导关系判断；选项B利用正切的和差公式和均值不等式判断；选项C注
意 正负和取 ；选项D考查了幂函数求参数，以及对数函数的定点问题；
【详解】选项A： 能推出 ，反之 可以推出 或 ，所以
是 的必要不充分条件，故A正确；
选项B：由 可得 ，
，所以 ，当且仅当
时,等号成立，故B正确；
选项C：当 或 或 时，不成立，故C错误；
选项D： 经过点 ，代入 ，则 ， 恒过定点 ，所以
恒过定点 ，故D正确；
故选：ABD..
10 已知 ，则（ ）
A. 的最小正周期是 B. 的图象关于 对称
C. 的值域为 D. 在 上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性
质可判定C、D.
【详解】对于A，根据诱导公式可知： ，
所以 也是 的周期，故A错；
对于B，根据诱导公式可知：
，
所以 的图象关于 对称，故B对；
当 时， ，
又 在在 上都单调递增，所以 在 上单调递增，
故C对；
如图
由 ，所以 是偶函数，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增， 的最小正周期是 ，
所以 时， ，
所以 ，又 的最小正周期是 ，
所以 是一个周期，所以 的值域为
故D对；
故选：BCD
11. 定义在 上的函数 ，且 ，则（ ）
A. 是偶函数
B. 的图象关于点 对称
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法，根据奇偶性的定义判断A；举出反例判断B；求解判断C，D.
【详解】令 ，得 ，
令 ，得
，
又 ，所以 ，所以 是偶函数，故A对；
令 ，令 ，得 ，
，
所以 的图象不关于点 对称，故B错，C对；
令 ，得
，
令 ，
令 ，
同理可得 ，
所以 ，故D对；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数 ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】由分段函数解析式，由内向外求解即可；
【详解】 ，
所以 ，
故答案为：
的
13. 不等式 对一切实数 都成立，则实数 取值范围________
【答案】
【解析】【分析】对不等式的二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】当 时，原不等式变为 ，显然对一切实数 都成立；
当 时，要想不等式 对一切实数 都成立，则满足：
且 ，解得
综上所述：实数 的取值范围是 .
故答案为：
14. 已知实数 满足 ，则 的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由条件得到 ，再由三角函数换元求解即可；
【详解】由 ，
可得： ，
设 ，
可得： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 ；
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴正半轴重合，终边经过点 ．（1）求 和 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）2，
（2）1
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义和正弦二倍角公式即可求解；
（2）由诱导公式及同角商的关系即可求解；
【小问1详解】
因为角 的终边经过点 ．由三角函数定义知
， ．
∴ ．∴ ．
【小问2详解】
由诱导公式得
16. 已知函数 ．
（1）若 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若 在 上具有单调性，求实数 的取值范围；
（3）当 时，对任意 恒成立，求实数 的取值范围．【答案】（1）
（2）
（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据 的解集得到方程 的两根，然后利用韦达定理计算；
（2）根据二次函数的单调性列不等式，解不等式即可；
（3）将 恒成立转化为 恒成立，然后利用单调性的定义判断单调性求最值即可.
【小问1详解】
∵ 的解集为 ．
∴ 是方程 的两根．
∴ ， ．
【
小问2详解】
的对称轴方程为 ．
∵ 在 上具有单调性．
∴ ，
∴ 或 ．
∴实数 的取值范围为 ．
【小问3详解】
，∴ ，
设 ，任取 ，且
．
当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ ．
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ．所以当 时， ，
所以 ，即 取值范围为 ．
17. 已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若 ，求 的最小值；
（3）若方程 有四个不等实根，求实数 的取值范围．
【答案】（1）增区间为 ，减区间为
（2）
（3）【解析】
【分析】（1）根据 的单调性，结合函数图象即可求解；
（2）根据对数的运算可得 ，即可利用基本不等式求解；
（3）利用换元法，将问题转化为 ， 有两个正的实数根，即可由一元二次
方程根的分布求解.
【小问1详解】
，
由于 在 上单调递增，
所以 的增区间为 ，减区间为 ；
【小问2详解】
由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
∴ 的最小值为 ．
【小问3详解】有四个不等实根，即 有四个不等实根，
设 ，得 ，
只需方程 有两个不等正实根 ，
，解得 ，
∴ 的取值范围为 ．
18. 已知函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 的图象与直线 在区间 上恰有三个交点，其横坐标分别为 ，求
的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】1）利用倍角公式及正弦的和角公式得到 ，把 看成一整体，利用的性质，得 ，即可求解；
（2）根据条件，利用平方关系求出 ，再通过构角 ，利用正弦的差角公式，
即可求解；
（3）利用（1）结果得到 在区间 上的单调性，进而得出图象，再数形结合，即可求解.
【小问1详解】
因为 ，
由 ，得到 ，
所以 的单调递增区间为 ， ．
【小问2详解】
由（1）知 ，则 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，
又 ，
．【小问3详解】
当 时，由（1）知 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ，
则 在区间 上的图象如图所示，
又直线 与 的图象有三个交点．则 ，
不妨设三个交点为 ，且 ，则 ，
又易知 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，
其中双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 ， 是自然对数的底数（
…）
（1）解方程 ；
（2）求不等式 的解集；（3）对于任意 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值
范围．
【答案】（1）
（2）
（3） ．
【解析】
【分析】（1）解指数方程即可；
（2）说明函数的奇偶性和单调性，再解不等式；
（3）分别求出的 , 最值，构造不等式即可求解．
【小问1详解】
即 ， ，
设 得 ，
∴ 解得 或 （舍去），
∴ ，∴ ．
【小问2详解】
∵ ，∴ 为偶函数，
任取 ， ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴ 即 在 上单调递增，
又 是偶函数，∴ 在 上单调递减，
即 ，
∴ 即 ，解得 ，
∴不等式的集体为 ．
【小问3详解】
，
只需 ，
设 ，
由 的单调性可知 在 上单调递减，
∴ ，
（当 时取等号），
∴ 即 ．∴ 的取值范围为 ．
