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2022年甘肃省兰州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）计算： ＝（ ）
A．±2 B．2 C．± D．
2．（3分）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝
52°，则∠2＝（ ）
A．52° B．45° C．38° D．26°
3．（3分）下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥会、
1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）计算：（x+2y）2＝（ ）
A．x2+4xy+4y2 B．x2+2xy+4y2 C．x2+4xy+2y2 D．x2+4y2
5．（3分）如图，△ABC内接于 O，CD是 O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
⊙ ⊙A．70° B．60° C．50° D．40°
6．（3分）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y ），（4，y ），则y 与y 的大小关系是（
1 2 1 2
）
A．y ＜y B．y ＞y C．y ≤y D．y ≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
7．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
8．（3分）已知△ABC∽△DEF， ＝ ，若BC＝2，则EF＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
9．（3分）无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚
酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无
色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一
瓶液体后呈现红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，
∠ABC＝60°，BD＝4 ，则OE＝（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
11．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（
）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞212．（3分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意
图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，
若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25 m2 B．3.25 m2 C．3 m2 D．2.25 m2
二、填空题π（本大题共4小题，每π小题3分，共12分π） π
13．（3分）因式分解：a2﹣16＝ ．
14．（3分）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公
园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是 ．
15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点
F落在AE上．若CE＝3cm，AF＝2EF，则AB＝ cm．
16．（3分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是
这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
（棵）
幼树移植成活的频 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
率
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 .（结果精确到0.1）
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解不等式：2（x﹣3）＜8．
18．（4分）计算：（1+ ）÷ ．
19．（4分）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝
AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．
20．（6分）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的
测角仪DE测得∠ADC＝31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m
的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，
AC⊥ CD ， CD ＝ BE ， BC ＝ DE ． 结 果 精 确 到 0.1m ）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，
tan42°≈0.90）
21．（6分）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准
确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国
家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国
第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）
信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一
组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 百万人．
（2）下列结论正确的是 ．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变
化趋势谈谈自己的看法．22．（6分）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出
土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的
角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标
记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与的
交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相
交于点O，即O为圆心．问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确
定圆心O．如图3，点A，B，C在 O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O．（保留作图痕
迹，不写作法） ⊙
类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的
方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在
O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
⊙拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，
用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是 O上任意三点，
请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出⊙你确定圆心的
理由： ．
23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，
BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm
（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到
了y与x的几组对应值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算，补全表格：a＝ ；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数
y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ；
（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是 cm．（结果保留两位小数）
24．（6分）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投
实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系
如图2所示，掷出时起点处高度为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点
到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是
否得满分，请说明理由．图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
25．（6分）如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B（3，0），过C
（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x+b的图象于D点，交反比例函数的图象
于E点，S△AOB ＝3．
（1）求反比例函数y＝ （x＞0）和一次函数y＝ x+b的表达式；
（2）求DE的长．
26．（7分）如图， O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，
AC与OD相交⊙于点E．
（1）求证：AD是 O的切线；
⊙
（2）若tan∠OAC＝ ，AD＝ ，求 O的半径．
⊙27．（8分）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k ＝ 和k ＝
1 2
两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意
一点，且点P的“倾斜系数”k＜ ，请直接写出a的取值范围．
28．（9分）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，
AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并
加以证明；
【思考尝试】
（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形
ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，
连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方
形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝
90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求
出△ADP周长的最小值．2022年甘肃省兰州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）计算： ＝（ ）
A．±2 B．2 C．± D．
【分析】利用算术平方根的性质求解．
【解答】解：∵ ＝ ＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键．
2．（3分）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C．若∠1＝
52°，则∠2＝（ ）
A．52° B．45° C．38° D．26°
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC＝52°，根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后利用直
角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠ABC＝52°，
∵AC⊥b，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠ABC＝38°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（3分）下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥会、
1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴
对称图形．
【解答】解：A．不能沿一条直线折叠完全重合；
B．不能沿一条直线折叠完全重合；
C．不能沿一条直线折叠完全重合；
D．能够沿一条直线折叠完全重合；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项
作出正确判断．
4．（3分）计算：（x+2y）2＝（ ）
A．x2+4xy+4y2 B．x2+2xy+4y2 C．x2+4xy+2y2 D．x2+4y2
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
5．（3分）如图，△ABC内接于 O，CD是 O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）
⊙ ⊙
A．70° B．60° C．50° D．40°
【分析】由CD是 O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角
⊙三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．
【解答】解：∵CD是 O的直径，
∴∠CAD＝90°， ⊙
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，
注意掌握数形结合思想的应用．
6．（3分）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y ），（4，y ），则y 与y 的大小关系是（
1 2 1 2
）
A．y ＜y B．y ＞y C．y ≤y D．y ≥y
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣3＜4即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点（﹣3，y ）和（4，y ）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，﹣3＜4，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答
此题的关键．
7．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，然
后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（3分）已知△ABC∽△DEF， ＝ ，若BC＝2，则EF＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【分析】利用相似三角形的性质可得 ，代入即可得出EF的长．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴ ，
∵ ＝ ，BC＝2，
∴ ，
∴EF＝4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题
的关键．
9．（3分）无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚
酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无
色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一
瓶液体后呈现红色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】总共5种溶液，其中碱性溶液有2种，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵总共5种溶液，其中碱性溶液有2种，
∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是 ，
故选：B．
【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，
∠ABC＝60°，BD＝4 ，则OE＝（ ）A．4 B．2 C．2 D．
【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2 ，再利用含30°角的直
角三角形的性质可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，
∴BO＝2 ，
∴AO＝ ＝2，
∴AB＝2AO＝4，
∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，
∴OE＝ AD＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形
的性质是解题的关键．
11．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（
）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
12．（3分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意
图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，
若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）A．4.25 m2 B．3.25 m2 C．3 m2 D．2.25 m2
【分析】π根据S阴 ＝S扇形DOA ﹣πS扇形BOC ，计算即可．π π
【解答】解：S阴 ＝S扇形DOA ﹣S扇形BOC
＝ ﹣
＝2.25 m2．
故选：πD．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝ 是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：a2﹣16＝ （ a ﹣ 4 ）（ a + 4 ） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2﹣16＝（a﹣4）（a+4）．
故答案为：（a﹣4）（a+4）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
14．（3分）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公
园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是 （﹣ 4 ， 1 ） ．【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根
据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；
【解答】
解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，
∴黄河母亲像的坐标是 （﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系
中特殊位置点的坐标特征．
15．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点
F落在AE上．若CE＝3cm，AF＝2EF，则AB＝ 3 cm．
【分析】根据将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF＝CE＝3cm，CD＝
DF，∠DEC＝∠DEF，∠DFE＝∠C＝90°＝∠DFA，而AF＝2EF，即得AF＝6cm，AE＝
9cm，由四边形ABCD是矩形，可得AB＝CD＝DF，AD∥BC，从而AD＝AE＝9cm，在
Rt△ADF中，用勾股定理得DF＝3 cm，从而AB＝DF＝3 cm．
【解答】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，
∴EF＝CE＝3cm，CD＝DF，∠DEC＝∠DEF，∠DFE＝∠C＝90°＝∠DFA，
∵AF＝2EF，∴AF＝6cm，AE＝AF+EF＝6+3＝9（cm），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝DF，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠DEF，
∴AD＝AE＝9cm，
在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2，
∴62+DF2＝92，
∴DF＝3 （cm），
∴AB＝DF＝3 （cm），
故答案为：3 ．
【点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定
理列方程解决问题．
16．（3分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条
件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是
这种幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000
幼树移植成活数 87 893 4485 7224 8983 13443 18044
（棵）
幼树移植成活的频 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
率
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 0. 9 .（结果精确到0.1）
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越
来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
【解答】解：∵幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，
∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳
定值即概率．
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解不等式：2（x﹣3）＜8．【分析】先去括号，再移项、合并同类项，不等式两边同乘以 ，即可得出不等式的解集
【解答】解：去括号，得：2x﹣6＜8，
移项，得：2x＜8+6，
合并同类项，得：2x＜14，
两边同乘以 ，得：x＜7．
故原不等式的解集是x＜7．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，
都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
18．（4分）计算：（1+ ）÷ ．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的加减运算以及乘除运算法则是解题的
关键．
19．（4分）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝
AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．
【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全
等三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D＝∠C＝50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问
题，属于中考常考题型．
20．（6分）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的
测角仪DE测得∠ADC＝31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m
的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，
AC⊥ CD ， CD ＝ BE ， BC ＝ DE ． 结 果 精 确 到 0.1m ）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，
tan42°≈0.90）
【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5m，DF＝GE＝3m，∠ACF＝90°，然后设CF＝
xm，则CD＝（x+3）m，先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5m，DF＝GE＝3m，∠ACF＝90°，
设CF＝xm，
∴CD＝CF+DF＝（x+3）m，
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31°＝ ＝ ≈0.6，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
21．（6分）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准
确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国
家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国
第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）
信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一
组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 4 0 百万人．
（2）下列结论正确的是 ①② ．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变
化趋势谈谈自己的看法．
【分析】（1）根据已知发现中位数在第三组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数
即可求出中位数；
（2）①根据频数分布直方图进行判断即可；
②根据条形图与折线图即可判断；
③根据折线图即可判断；
（3）根据条形图与折线图可写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长
率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．
【解答】解：（1）将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40
百万人，因此中位数是40百万人，
故答案为：40；
（2）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原
结论正确，符合题意；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣
2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②；
（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．
【点评】本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量
之间的关系是正确解答的前提．
22．（6分）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出
土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的
角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC，在圆上标
记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另一条边与的
交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点，连接AD，BC相
交于点O，即O为圆心．
问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确
定圆心O．如图3，点A，B，C在 O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O．（保留作图痕
迹，不写作法） ⊙类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的
方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在
O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
⊙拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，
用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是 O上任意三点，
请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出⊙你确定圆心的
理由： 垂直平分弦的直线经过圆心 ．
【分析】问题解决：
（1）以B为顶点，以AB为一边，用三角板作∠ABD是直角，∠ABD的另一边与圆交于D，
连接AD，BC，AD，BC的交点即是圆心O；
类比迁移：
（2）方法同（1）；
拓展探究：
（3）连接AC，AB，作AC，AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，根据是垂直
平分弦的直线经过圆心．
【解答】解：问题解决：
（1）如图：
O即为圆心；
类比迁移：（2）如图：
O即为所求作的圆心；
拓展探究：
（3）如图：
O即为所求作的圆心，理由是垂直平分弦的直线经过圆心，
故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及用三角板或尺规确定圆心，解题的关键是掌握若圆
周角是直角，它所对的弦是直径及垂径定理与推论的应用．
23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，
BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm
（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到
了y与x的几组对应值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算，补全表格：a＝ 3. 2 ；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数
y关于x的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： y 随 x 的增大而减小 ；
（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是 1.6 7 cm．（结果保留两位小数）
【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案；
（2）先描点，再连线，即可画出图象；
（3）根据图象直接得出结论；
（4）利用表格和图象估算出AM的长度．
【解答】解：（1）如图，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，
过点C作CM'⊥AB于M'，
∴S△ABC ＝ AC•BC＝ AB•CM'，∴CM'＝ ，
在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝ ＝1.8，
当x＝1.8时，点M与点M'重合，
∴CM⊥AB，
∵BN⊥CM，
∴点M，N重合，
∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，
故答案为：3.2；
（2）如图所示，
（3）由图象知，y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
（4）借助表格和图象得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm，
故答案为：1.67．
【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图象的画法，画出函数图象是解本
题的关键．
24．（6分）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投
实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点
到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是
否得满分，请说明理由．
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即
可．
【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，
把（0， ）代入解析式得： ＝a（0﹣3）2+3，
解得：a＝﹣ ，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣ （x﹣3）2+3；
（2）该女生在此项考试中是得满分，理由：
令y＝0，则﹣ （x﹣3）2+3＝0，
解得：x ＝7.5，x ＝﹣1.5（舍去），
1 2
∵7.5＞6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
25．（6分）如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B（3，0），过C
（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x+b的图象于D点，交反比例函数的图象
于E点，S△AOB ＝3．
（1）求反比例函数y＝ （x＞0）和一次函数y＝ x+b的表达式；
（2）求DE的长．
【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值，把B的坐标代入y＝
x+b即可求得b的值，从而求得反比例和一次函数的解析式；
（2）利用两个函数的解析式求得D、E的坐标，进一步即可求得DE的长度．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOB ＝ |k|＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y＝ ，
∵一次函数y＝ x+b的图象过点B（3，0），
∴ ×3+b＝0，解得b＝﹣ ，
∴一次函数为y＝ x﹣ ；（2）∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x+b的图象于D点，
∴当x＝5时y＝ ＝ ；y＝ x﹣ ＝3，
∴E（5， ），D（5，3），
∴DE＝3﹣ ＝ ．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析
式，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求得函数
的解析式是解题的关键．
26．（7分）如图， O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，
AC与OD相交⊙于点E．
（1）求证：AD是 O的切线；
⊙
（2）若tan∠OAC＝ ，AD＝ ，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）根据垂直、平角的定义可得∠D+∠AOD＝90°，进而得到AD⊥OA即可；
（2）根据圆周角定理、三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，可得到AD＝
DE，再根据锐角三角函数可得OE＝ OC，在Rt△AOD中由勾股定理可求半径．
【解答】（1）证明：∵OD⊥OC，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝180°﹣90°＝90°，
又∵∠ADO＝∠BOC，
∴∠ADO+∠AOD＝90°，∴∠OAD＝180°﹣90°＝90°，
即OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴AD是 O的切线；
（2）解：⊙∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴tan∠OAC＝ ＝tan∠OCA＝ ，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠OAD，即∠OCB+∠OCA＝90°＝∠OAC+∠DAE，
∴∠DAE＝∠OCB，
又∵∠ADO＝∠BOC，
∴∠DEA＝∠B，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝ ，
设半径为r，则OE＝ r，OD＝ r+ ，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD2+OA2＝OD2，
即（ ）2+r2＝（ r+ ）2，
解得r＝2或r＝0（舍去），
即半径为2．【点评】本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角
形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
27．（8分）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k ＝ 和k ＝
1 2
两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意
一点，且点P的“倾斜系数”k＜ ，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可；
（2）①根据“倾斜系数”k的定义分情况得出结论即可；
②根据“倾斜系数”k的定义求出P点坐标，进而求出OP的值即可；
（3）根据k的取值，分情况求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意知，k＝ ＝3，即点P（6，2）的“倾斜系数”k的值为3；
（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，
∴ ＝2或 ＝2，
即a＝2b或b＝2a，
∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a；
②由①知，a＝2b或b＝2a
∵a+b＝3，
∴ 或 ，
∴OP＝ ＝ ；
（3）由题意知，满足条件的P点在直线y＝ x和直线y＝ x之间，
①当P点与D点重合时，且k＝ 时，P点在直线y＝ x上，a有最小临界值，
如图：此时a＜b，
连接OD，延长DA交x轴于E，
此时 ＝ ，
则 ，
解得a＝ ，
此时B点的坐标为（ ， ），
且k＝ ＝∴a＞ +1；
②当P点与B点重合时，且k＝ 时，P点在直线y＝ x上，a有最小临界值，
如图：此时a＞b，
连接OB，延长CB交x轴于F，
此时 ＝ ，
则 ＝ ，
解得a＝3+ ，
此时D（ ， ），
且k＝ ＝ ，
∴a＞ +3；
综上所述，若点P的“倾斜系数”k＜ ，则a＞ +3．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质，正确理解“倾
斜系数”的定义是解题的关键．
28．（9分）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，
AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并
加以证明；
【思考尝试】
（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形
ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，
连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方
形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝
90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求
出△ADP周长的最小值．
【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据
ASA证明△AFE≌△ECP，得AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP
（SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；
（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，
可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进
而得出答案．
【解答】解：（1）AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°，
（3）连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝ ＝4 ，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4 ．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角
形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的
关键．
