文档内容
第八章 常微分方程
即刻题库 www.jike.vip
1 、 单选题
曲线y＝y（x）经过原点且在原点处的切线与直线2x＋y＝6平行，而y＝y（x）满足方
程y″－2y′＋5y＝0，则此曲线的方程为（ ）。
正确答案： D
解析：
2 、 单选题
设函数y1（x）、y2（x）、y3（x）线性无关，且都是二阶非齐次线性方程y″＋p（x）y′
＋q（x）y＝f（x）的解，又c1与c2为任意常数，则该非齐次线性方程的通解可表示为
（ ）。
A ： c1y1＋c2y2＋y3
B ： c1y1＋c2y2－（c2＋c1）y3
C ： c1y1＋c2y2－（1－c1－c2）y3
D ： c1y1＋c2y2＋（1－c1－c2）y3
正确答案： D
解析：
由解的结构可知，y1－y3和y2－y3是对应齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的解，且
二者线性无关，故y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的通解为c1（y1－y3）＋c2（y2－y3），其中c1，c2为任意常数。故方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的通解为c1（y1－y3）
＋c2（y2－y3）＋y3，即c1y1＋c2y2＋（1－c1－c2）y3。
3 、 单选题
正确答案： B
解析：
4 、 单选题
若用代换y＝z^m可将微分方程y′＝axα＋byβ（αβ≠0）化为一阶齐次方程dz/dx＝f
（z/x），则α，β应满足的条件是（ ）。
A ： 1/β－1/α＝1
B ： 1/β＋1/α＝1
C ： 1/α－1/β＝1
D ： 1/β＋1/α＝－1
正确答案： A
解析：
5 、 单选题
微分方程xdy－ydx＝y^2eydy的通解为（ ）。
A ： y＝x（e^x＋C）B ： x＝y（e^y＋C）
C ： y＝x（C－e^x）
D ： x＝y（C－e^y）
正确答案： D
解析：
原微分方程xdy－ydx＝y^2eydy，变形可得（xdy－ydx）/y^2＝eydy，即－d（x/y）
＝d（e^y），积分得－x/y＝e^y－C。即x＝y（C－e^y）就是微分方程的通解。
6 、 单选题
已知y＝x/lnx是微分方程y′＝y/x＋φ（x/y）的解，则φ（x/y）的表达式为（ ）。
正确答案： A
解析：
7 、 单选题
若f（x）可导，且f（0）＝1，对任意简单闭曲线L，
A ： 2
B ： 4/3
C ： π
D ： 3
正确答案： B
解析：8 、 单选题
设函数f（x）处处可微，且有f′（0）＝1，并对任何x，y恒有f（x＋y）＝exf（y）＋eyf
（x），则f（x）＝（ ）。
正确答案： B
解析：
9 、 单选题
方程xdy/dx＝yln（y/x）的通解为（ ）。
A ： ln（y/x）＝Cx－1
B ： ln（y/x）＝Cx2＋1
C ： ln（y/x）＝Cx2＋x
D ： ln（y/x）＝Cx＋1
正确答案： D
解析：
原微分方程为xdy/dx＝yln（y/x），即dy/dx＝（y/x）ln（y/x）。令y/x＝u，则dy/dx
＝u＋xdu/dx，即xdu/dx＝u（lnu－1），分离变量并两边分别积分得ln|lnu－1|
＝ln|x|＋lnC1，即方程的通解为lnu＝Cx＋1，ln（y/x）＝Cx＋1。
10 、 单选题
设y＝f（x）是y″－2y′＋4y＝0的一个解，若f（x0）＞0且f′（x0）＝0，则f（x）在点x0处
（ ）。A ： 取得极大值
B ： 某邻域内单调递增
C ： 某邻域内单调递减
D ： 取得极小值
正确答案： A
解析：
因为y＝f（x）是微分方程y″－2y′＋4y＝0的一个解，故对于x＝x0，有f″（x0）－2f′
（x0）＋4f（x0）＝0。又因为f′（x0）＝0，f（x0）＞0，可得f″（x0）＜0，故函数在x
＝x0处取极大值。故应选（A）。
11 、 单选题
方程y′＝（sinlnx＋coslnx＋a）y的通解为（ ）。
正确答案： D
解析：
原方程为y′＝（sinlnx＋coslnx＋a）y，分离变量并积分得lny＝ax＋∫（sinlnx
＋coslnx）dx＝∫xcoslnxdlnx＋∫sinlnxdx＝∫xd（sinlnx）＋∫sinlnxdx＝xsinlnx＋C。故
原方程的通解为ln|y|＝xsin（lnx）＋ax＋C。
12 、 单选题
设函数ψ（x）具有二阶连续导数，且ψ（0）＝ψ′（0）＝0，并已知yψ（x）dx＋[sinx
－ψ′（x）]dy＝0是一个全微分方程，则ψ（x）等于（ ）。
正确答案： A
解析：
由于yψ（x）dx＋[sinx－ψ′（x）]dy＝0是一个全微分方程，则?Q/?x＝?P/?y，ψ″（x）
＋ψ（x）＝cosx。从选项的结构中，可以看出，B、C项无正余弦，一定不是ψ″（x）
＋ψ（x）＝cosx的特解，又因为（xsinx）/2＋C1cosx＋C2sinx中含有自由常数，故D项
不是特解。将A项代入ψ″（x）＋ψ（x）＝cosx，等式两边相等，故A项是该方程特解。13 、 单选题
正确答案： A
解析：
14 、 单选题
正确答案： D
解析：
由于二阶微分方程的通解中应该有两个独立的未知常数，故可排除A、B项。将C、D项
代入原方程，C项代入后等式两边不相等，故排除C项，D项代入后等式两边相等。
15 、 单选题
已知级数 的和函数y（x）是微分方程y″－y＝－1的解，则y
（x）＝（ ）。
A ： 1＋shx
B ： 1＋chx
C ： shxD ： chx
正确答案： B
解析：
令级数中的x＝2，可得其和函数y（0）＝2。由 ，y′（0）＝0两个
条件，将四个选项一一代入，可知只有B项满足此三个条件。
16 、 单选题
设函数φ（x）具有二阶连续导数且φ（0）＝0，并且已知yφ（x）dx＋[sinx－φ（x）]dy
＝0是一个全微分方程，则φ（x）＝（ ）。
正确答案： A
解析：
由于yφ（x）dx＋[sinx－φ（x）]dy＝0是一个全微分方程，故?Q/?x＝?P/?y即cosx－φ′
（x）＝φ（x）。即φ′（x）＋φ（x）＝cosx。解此一阶微分方程得φ（x）＝ce－x＋
（cosx）/2＋（sinx）/2。又φ（0）＝0，代入上式得c＝－1/2，故φ（x）＝－e－x/2＋
（cosx）/2＋（sinx）/2。
17 、 单选题
如果二阶常系数非齐次线性微分方程y″＋ay′＋by＝e^－xcosx有一个特解y^*＝e^－x
（xcosx＋xsinx），则（ ）。
A ： a＝－1，b＝1
B ： a＝1，b＝－1
C ： a＝2，b＝1
D ： a＝2，b＝2
正确答案： D
解析：
由题意可得－1＋i为特征方程λ^2＋aλ＋b＝0的根，故（i－1）^2＋a（i－1）＋b＝0。
可得a＝2，b＝2，故应选（D）。18 、 单选题
一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。
A ： 直线
B ： 抛物线
C ： 椭圆
D ： 圆
正确答案： C
解析：
由题意可知，y′＝－2x/y，解此一阶微分方程得y^2/2＝－x^2＋c，即曲线为椭圆。
19 、 单选题
在下列微分方程中，以y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3为任意常数）为通解
的是（ ）。
A ： y″′＋y″－4y′－4y＝0
B ： y″′＋y″＋4y′＋4y＝0
C ： y″′－y″－4y′＋4y＝0
D ： y″′－y″＋4y′－4y＝0
正确答案： D
解析：
20 、 单选题
正确答案： B
解析：21 、 单选题
微分方程dy/dx＝y/x－（1/2）（y/x）^3满足y|x＝1＝1的特解为y＝（ ）。
正确答案： A
解析：
22 、 单选题
正确答案： C
解析：
23 、 单选题初值问题y″＝e2y＋ey，y（0）＝0，y′（0）＝2的解为（ ）。
A ： y＋ln（1＋ey）＝x－ln2
B ： y－ln（1＋ey）＝x－ln2
C ： y－ln（1＋ey）＝x－2
D ： y＋ln（1＋ey）＝x－2
正确答案： B
解析：
24 、 单选题
正确答案： A
解析：
25 、 单选题
函数y1（x）、y2（x）是微分方程y′＋p（x）y＝0的两个不同特解，则该方程的通解为
（ ）。
A ： y＝c1y1＋c2y2
B ： y＝y1＋cy2
C ： y＝y1＋c（y1＋y2）
D ： y＝c（y1－y2）
正确答案： D解析：
由解的结构可知，y1－y2是该方程的一个非零特解，则方程的通解为y＝c（y1－y2）。
26 、 单选题
正确答案： D
解析：
由于二阶微分方程的通解中应该有两个独立的未知常数。故考虑D项，将
，代入原方程，等式成立，故D项为原方程的通解。
27 、 单选题
A ： y″′－y″－y′＋y＝0
B ： y″′＋y″－y′－y＝0
C ： y″′－6y″＋11y′－6y＝0
D ： y″′－2y″－y′＋2y＝0
正确答案： B
解析：
28 、 单选题
设非齐次线性微分方程y′＋P（x）y＝Q（x）有两个不同的解y1（x），y2（x），C为任
意常数，则该方程的通解是（ ）。
A ： C[y1（x）－y2（x）]
B ： y1（x）＋C[y1（x）－y2（x）]
C ： [y1（x）＋y2（x）]D ： y1（x）＋C[y1（x）＋y2（x）]
正确答案： B
解析：
29 、 单选题
微分方程y″－2y′＝xe^2x的特解具有形式（ ）。
A ： y*＝Axe^2x
B ： y*＝（Ax＋B）e^2x
C ： y*＝x（Ax＋B）e^2x
D ： y*＝x2（Ax＋B）e^2x
正确答案： C
解析：
方程对应齐次方程的特征方程为r^2－2r＝0，解得r1＝0，r2＝2。由于2是特征方程的
单根，则其特解形式为y*＝x（Ax＋B）e^2x。
30 、 单选题
已知函数yt＝t（t－1）/2＋C是方程yt＋1－yt＝f（t）的解，则f（t）＝（ ）。
A ： t－1
B ： t－2
C ： t
D ： 2－t
正确答案： C
解析：
yt＋1－yt＝（t＋1）t/2－t（t－1）/2＝t＝f（t）。
31 、 单选题正确答案： B
解析：
32 、 单选题
微分方程y″－y＝e^x＋1的一个特解应具有形式（ ）。
A ： ae^x＋b
B ： axe^x＋b
C ： ae^x＋bx
D ： axe^x＋bx
正确答案： B
解析：
原非齐次微分方程对应的齐次方程的特征方程为r^2－1＝0，解得r＝±1，故y″－y＝e^x
的一个特解形式是axe^x，而y″－y＝1的一个特解形式是b。由叠加原理可知原方程的一
个特解形式应该是axe^x＋b。
33 、 单选题
已知方程xy″＋y′＝4x的一个特解为x^2，又其对应的齐次方程有一特解lnx，则它的通解为
（ ）。
正确答案： A
解析：方程对应的齐次方程为xy″＋y′＝0，则y1＝1是齐次方程的一个特解，与题中给出的另一
个特解y2＝lnx线性无关，故齐次方程的通解为y＝C1lnx＋C2，则原非齐次方程的通解
为y＝C1lnx＋C2＋x2。
34 、 单选题
方程y″＋16y＝sin（4x＋a）（a是常数）的特解形式为y*＝（ ）。
正确答案： C
解析：
原方程对应的齐次方程y″＋16y＝0的特征方程为r^2＋16＝0，解得特征根为r1，2＝±4i，
非齐次项中λ＝0，ω＝4，由于±4i是特征方程的根，故特解形式为y*＝x（Acos4x
＋Bsin4x）。
35 、 单选题
正确答案： D
解析：
36 、 单选题
微分方程xy″＋3y′＝0的通解为（ ）。正确答案： D
解析：
37 、 单选题
正确答案： B
解析：
38 、 单选题
某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加200万元，若以Wt表示第t年的
工资总额（单位百万元），Wt满足的差分方程为（ ）。
A ： Wt＝1.44Wt－1＋2
B ： Wt＝1.2Wt－1＋2
C ： Wt＝1.5Wt－1＋2
D ： Wt＝2Wt－1＋2正确答案： B
解析：
由于第t年的工资总额为Wt，故第t－1年的工资总额为Wt－1，则Wt＝1.2Wt－1＋2。
（单位：百万元）
39 、 单选题
微分方程y^（4）－y＝e^x＋3sinx的特解可设为（ ）。
A ： e^x＋Bcosx＋Csinx
B ： Axe^x＋Bcosx＋Csinx
C ： x（Ae^x＋Bcosx＋Csinx）
D ： Ae^x＋Bsinx
正确答案： C
解析：
因为该非齐次微分方程的自由项为f（x）＝e^x＋3sinx，而1，i为特征方程λ^4－1＝0的
一次特征根，故特解形式为选项（C）中所示。
40 、 单选题
正确答案： D
解析：41 、 单选题
设常系数方程y″＋by′＋cy＝0的两个线性无关的解为y1＝e^－2xcosx，y2＝e^－2xsinx，
则b＝（ ），c＝（ ）。
A ： 3；2
B ： 2；3
C ： 5；4
D ： 4；5
正确答案： D
解析：
由题意可知，该常系数方程的特征方程r^2＋br＋c＝0的解为r＝－2±i，则b＝－[（－2
＋i）＋（－2－i）]＝4，c＝（－2＋i）×（－2－i）＝5。
42 、 单选题
设y＝ex（c1sinx＋c2cosx）（c1、c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的
通解，则该方程为（ ）。
A ： y″－y′＋y＝0
B ： y″－2y′＋2y＝0
C ： y″－2y′＝0
D ： y′＋2y＝0
正确答案： B
解析：
根据题中所给的通解y＝ex（c1sinx＋c2cosx）的结构可知，所求方程对应的特征根为λ1，
2＝1±i，特征方程为[λ－（1＋i）][λ－（1－i）]＝λ2－2λ＋2＝0，则所求方程为y″－2y′＋2y＝0。
43 、 单选题
设函数y1，y2，y3都是线性非齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的不相等的特解，
则函数y＝（1－c1－c2）y1＋c1y2＋c2y3（ ）。（c1，c2为任意常数）
A ： 是所给方程的通解
B ： 不是方程的解
C ： 是所给方程的特解
D ： 可能是方程的通解，但一定不是其特解
正确答案： D
解析：
由于y1，y2，y3都是y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的不相等的特解，则y2－y1，y3
－y1是它对应的齐次方程的特解，故y＝（1－c1－c2）y1＋c1y2＋c2y3＝y1＋c1（y2
－y1）＋c2（y3－y1）是非齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的解，但是，由于
无法确定y2－y1与y3－y1是否为线性无关，故不能肯定它是y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f
（x）的通解。
44 、 单选题
正确答案： B
解析：
45 、 单选题
设y1＝e^xcos2x，y2＝e^xsin2x都是方程y″＋py′＋qy＝0的解，则（ ）。
A ： p＝2，q＝5B ： p＝－2，q＝5
C ： p＝－3，q＝2
D ： p＝2，q＝2
正确答案： B
解析：
由题意可知，r1，2＝1±2i是方程对应的特征方程的根，故特征方程为r^2－2r＋5＝0，
则原方程为y″－2y′＋5y＝0，即p＝－2，q＝5。
46 、 单选题
设函数y＝f（x）具有二阶导数，且f′（x）＝f（π/2－x），则该函数满足的微分方程为
（ ）。
A ： f″（x）＋f（x）＝0
B ： f′（x）＋f（x）＝0
C ： f″（x）＋f′（x）＝0
D ： f″（x）＋f′（x）＋f（x）＝0
正确答案： A
解析：
由f′（x）＝f（π/2－x），两边求导得f″（x）＝－f′（π/2－x）＝－f[π/2－（π/2－x）]
＝－f（x），即f″（x）＋f（x）＝0。
47 、 单选题
微分方程y′＋ytanx＝cosx的通解为y＝（ ）。
A ： cosx（x＋C）
B ： sinx（x2＋C）
C ： sinx（x＋C）
D ： cosx（x2＋C）
正确答案： A
解析：
由线性方程通解公式得
48 、 单选题
若二阶常系数线性齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的通解为y＝（C1＋C2x）ex，则非齐次方程y″＋ay′＋by＝x满足条件y（0）＝2，y′（0）＝0的解为y＝（ ）。
正确答案： C
解析：
49 、 单选题
正确答案： C
解析：
50 、 单选题
微分方程xy′＋2y＝xlnx满足y（1）＝－1/9的解为（ ）。
A ： y＝（x/3）（lnx－1/3）
B ： y＝（x/6）（lnx－1/3）
C ： y＝（x/3）（lnx－1/2）
D ： y＝（x/6）（lnx－1/2）正确答案： A
解析：
原微分方程为xy′＋2y＝xlnx，变形得y′＋2y/x＝lnx。则方程的通解为
又y（1）＝－1/9，将其代入方程通解得C＝0。则此时的方程通解为y＝（x/3）（lnx
－1/3）。
51 、 单选题
正确答案： D
解析：
52 、 单选题
设f1（x），f2（x）是二阶线性齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的两个特解，则c1f1
（x）＋c2f2（x）（c1，c2是任意常数）是该方程的通解的充要条件为（ ）。
A ： f1（x）f2′（x）－f2（x）f1′（x）＝0
B ： f1（x）f2′（x）＋f1′（x）f2（x）＝0
C ： f1（x）f2′（x）－f1′（x）f2（x）≠0
D ： f1′（x）f2（x）＋f2（x）f1（x）≠0
正确答案： C
解析：53 、 单选题
微分方程y″＋[2/（1－y）]（y′）^2＝0的通解为（ ）。
A ： y＝1/（c1x－c2）－1
B ： y＝1/（c1x＋c2）－1
C ： y＝1－1/（c1x－c2）
D ： y＝1－1/（c1x＋c2）
正确答案： D
解析：
54 、 单选题
已知yt＝3e^t是方程yt＋1＋ayt－1＝e^t的一个特解，则a＝（ ）。
A ： e（1/3－e）
B ： e（1/3＋e）
C ： e（1/2＋e）
D ： e（1/2－e）
正确答案： A
解析：
由题意可知
则3（e＋a/e）＝1，即a＝e（1/3－e）。
55 、 单选题以y1＝e^x，y2＝e^2xcosx为特解的最低阶数的常系数线性齐次方程为（ ）。
A ： y″′－5y″－9y′－5y＝0
B ： y″′－5y″－5y′－5y＝0
C ： y″′－5y″＋9y′－5y＝0
D ： y″′－5y″＋5y′－5y＝0
正确答案： C
解析：
56 、 单选题
微分方程xy′＋y＝0满足条件y（1）＝1的解释y＝（ ）。
A ： 1/x
B ： 2/x2
C ： 1/x2
D ： 2/x
正确答案： A
解析：
原微分方程为xy′＋y＝0，分离变量得dy/y＝－dx/x，两边积分得ln|y|＝－ln|x|＋C。
又y（1）＝1，代入上式得C＝0，且y（1）＝1＞0，故取x＞0、y＞0，则y＝1/x。
57 、 单选题
正确答案： B
解析：58 、 单选题
正确答案： C
解析：
59 、 单选题
微分方程xdy/dx＋y＝ydy/dx的通解为（ ）。
正确答案： D
解析：
60 、 单选题正确答案： D
解析：
