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专题 15 投影与视图
中心投影
1．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走
到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ）
A．逐渐变短 B．逐渐变长
C．先变短后变长 D．先变长后变短
【答案】A
【知识点】中心投影
【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心
投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长．
【详解】解：在小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处时，他在地上的影子逐渐变短；
故选：A．
2．（23-24九年级上·河北保定·期末）在灯光下，四个选项中，灯光与物体的影子最合理的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心投影
【分析】本题考查了中心投影，根据对应点的连线经过点光源即可判断求解，掌握中心投影的性质是解题
的关键．
【详解】解：∵对应点的连线经过点光源，
∴灯光与物体的影子最合理的是 ，
故选： ．
3．（23-24九年级上·四川雅安·期末）小明和爸爸晚上散步（小明身高没有爸爸高），在同一个路灯下，
小明的影子比爸爸的影子长，这时候爸爸和小明离路灯的距离谁近一点？（ ）
A．一样近 B．爸爸近一点 C．小明近一点 D．无法比较
【答案】B
【知识点】中心投影
【分析】本题考查了中心投影；
根据离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长可得答案．
【详解】解：∵离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，且小明的影子比爸爸的影子长
（小明身高没有爸爸高），
∴爸爸和小明离路灯的距离爸爸近一点，
故选：B．
4．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，灯光与物体的影子的位置最合理的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心投影
【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是
解题的关键．
根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果．
【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断：
A、选项中的影子不符合题意；
B、选项中的影子符合题意；
C、选项中的影子不符合题意；
D、选项中的影子不符合题意．
故选：B．
5．（23-24九年级上·贵州六盘水·期末）在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影
子是圆形，当把球竖直向上靠近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
【答案】B
【知识点】中心投影
【分析】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的特点是解题的关键．根据中心投影的特点，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越大，影子越小；此距离越小，影子
越大．
【详解】解：当把球竖直向上靠近白炽灯时，圆形阴影的大小的变化情况是：越来越大，
故选：B．
平行投影
1．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）小红拿着一块矩形木框在阳光下做投影实验，这块矩形木框在地面
上的投影不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【分析】本题考查了平行投影，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据在同一时刻，平行
物体的投影仍旧平行作答即可．
【详解】将矩形木板立起与地面垂直放置时，形成A选项的影子；
将矩形木板立起与地面平行放置时，形成C选项的影子；
将矩形木板倾斜放置时，形成D选项的影子；
在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，所以矩形木板在地面上形成的投影不可能是B选项的三角形；
故选：B．
2．（23-24九年级上·云南文山·期末）下面四幅图是两物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后
顺序正确的是（ ）A．①②③④ B．①④②③ C．③④①② D．③④②①
【答案】C
【知识点】平行投影
【分析】此题考查了平行投影的特点和规律，根据平行投影的特点和规律进行解打即可．
【详解】根据平行投影的特点和规律可知，③④是上午，①②是下午，
根据影子的长度可知先后为 ．
故选：C．
3．（23-24九年级上·四川成都·期末）小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为 ，紧接着他把
手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起手臂超出头顶（ ）
A．2m B． m C． m D． m
【答案】D
【知识点】相似三角形实际应用、平行投影
【详解】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根
据比例的基本性质进行求解即可．
【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是 ，
根据同一时刻物高与影长成比例，得 ，
．
故选：D．
4．（23-24六年级上·黑龙江大庆·期末）如图，公路上有一个10米高的路灯．晚上小红站在位置A的影子
和站在位置B的影子相比（ ）
A．在位置A的影子长些 B．一样长 C．在位置B的影子长些 D．无法
确定【答案】C
【知识点】数学常识、平行投影
【分析】本题考查投影．根据同一物体，离光源越远，影子越长，进行判断即可．
【详解】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长，
由图可知：位置B离比位置 离路灯远，
所以在位置B的影子长些；
故选C．
5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，二
人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙
到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光
照射）刚好在对角线 上，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用、相似三角形实际应用、平行投影
【分析】本题主要考查平行线段分线段成比例，分式方程解实际应用题，得到关系式是解题的关键．根据
题意得到 ，根据时间相等列出等式即可求解．
【详解】解：连接 ，
根据题意可得 ，故 ，
，
，
设乙的速度为 ，故甲的速度为 ，
根据题意，甲所走的路程为 ，即 ，乙所走的路程为 ，即 ，故可得 ，
解得 ．
故选B．
几何体的三视图
1．（23-24九年级上·江西·期末）如图，箭头方向为主视方向，则该几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】此题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握从左面看到的图形是左视图．
根据左视图的定义和画法进行判断即可．
【详解】解：从左面看，可得到A选项的图形（其中看不见的棱画成虚线）．
故选：A．
2．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图是一个圆柱切去一部分得到的几何体，该几何体的左视图是（
）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左面看到的图形，进行判断即可，注意，存在看不见的用虚线
表示．
【详解】解：由题意，左视图为：
故选：D．
3．（23-24九年级上·广东深圳·期末）下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题主要考查了判断简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下看一一判断即可．
【详解】解：A．俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
B．俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C．俯视图是矩形，故本选项不合题意；
D．俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图所示的几何体的俯视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题主要考查了三视图，知道俯视图是从物体的上面所观察到的平面图形是解题的关键．
从物体上方观察所得到的平面图形，其中能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示即可得
到结果．
【详解】解：从上面看到的图形是一个长方形，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
因此选项D中的图形，符合题意．
故选：D．
5．（23-24九年级上·四川达州·期末）下列四个选项中，是如图所示的几何体的俯视图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了三视图，根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可，熟练掌握三视图的
确定方法是解题的关键．
【详解】解：这个几何体的俯视图为：
故选： ．
6．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左边看得到的图形是左视图成为解答本题的关键．根据
从左边看得到的图形是左视图即可解答．
【详解】解：从左边看有两列，从左往右，第一列有三个小正方形，第二列有一个小正方形，
则它的左视图为
故选：C．
由三视图还原几何体
1．（23-24七年级上·四川成都·期末）用3个同样的小正方体摆出的几何体，从正面看到的形状图如图所示，
则这个几何体可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由三视图还原几何体
【分析】本题考查了三视图，根据题意即可得；掌握三视图是解题的关键．
【详解】解：从正面看到的形状图如图所示，
则这个几何体可能是
故选：A．
2．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图是从不同方向看某个立体图形所得到的平面图形，则这个立体
图形是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥
【答案】D
【知识点】由三视图还原几何体
【分析】本题考查几何体的三视图，根据圆锥的三视图直接判断即可得到答案；
【详解】解：∵几何体的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆，
∴这个几何体是圆锥，
故选：D．
3．（23-24九年级上·山西大同·期末）一个几何体的部分视图如图，则该几何体是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图还原几何体
【分析】本题主要考查三视图的识别和判断，解题关键是掌握常见空间几何体的三视图．由空间几何体的
三视图可以得到空间几何体的直观图．
【详解】解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱，
故选：D．
4．（23-24九年级上·山东日照·期末）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上
的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无
缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由三视图还原几何体
【分析】本题考查三视图的相关知识；观察哪个几何体的三视图中有正方形，三角形及长方形即可．【详解】解：A、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故本选项不符合题意；
B、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故本选项符合题意；
C、三视图分别为长方形，长方形及圆，故本选项不符合题意；
D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，故本选项不符合题意；
故选：B．
由三视图求小立方块的数量
1．（23-24七年级上·四川成都·期末）由大小相同的小正方体搭成一个几何体，若搭成的几何体的左视图
和俯视图如图所示，则所需小正方体的最少个数为 ．
【答案】9
【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
【分析】本题考查了由三视图判断小正方体的个数，根据左视图可猜想俯视图每一排的个数情况，即可求
解．
【详解】由左视图和俯视图可知，
∴小正方体的最少个数为 （个），
故答案为：9．
2．（23-24九年级上·山东东营·期末）用若干个同样大小的正方体搭一个几何体，使得它的主视图和俯视
图如图所示，这样的几何体最少需要 个小正方体．【答案】10
【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是从俯视图入手思考所需的立方体个数．
根据主视图和俯视图求解即可．
【详解】解：由题意可得，底层有7个，中间层至少有2个，第三层是1个，所以至少有10个．
故答案为：10．
3．（23-24七年级上·吉林松原·期末）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几何
体中，小正方体的个数是 ．
【答案】
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数
【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．只要掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，
左视图拆违章”就很容易得到答案．根据三视图，主视图以及俯视图都是相同的，可以得出底层有 个小
正方体，然后第 层有 个小正方体，故共 个小正方体．
【详解】解：由三视图可知，该几何体共 行 列，其中第 行第 列有 个正方体，其余部分只有 个正
方体，
其分布情况如图所示：
故答案为： ．
4．（23-24七年级上·河南南阳·期末）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图，
请你根据三视图，帮他清点一下箱子的数量，这些箱子的数量是 个．
【答案】8
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数
【分析】本题考查了由三视图还原立体图形．能从主视图上确定物体的上下和左右形状，从俯视图上确定
物体的左右和前后形状，从左视图上确定物体的上下和前后形状是解题的关键．
从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和
个数，从而算出总的个数．
【详解】解：从图可得小正方体的个数有8个，如图：
故答案为：8．
5．（23-24七年级上·四川成都·期末）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和从上面看到
的这个几何体的形图如图所示，则搭成该几何体的小立方块的个数最少 个．
【答案】6
【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
【分析】本题考查对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．利用俯
视图，在上面写出最少时小正方体的个数，可得结论．
【详解】解：如图所示：故搭成该几何体的小立方块的个数最少 （个）．
故答案为：6．
画三视图和求表面积
1．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）由大小相同的小立方体搭成的几何体如图①所示．
(1)请在图②的方格中画出该几何体的俯视图和左视图；
(2)用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与（1）中所画的一致，则这样的几何体最少有
_____________个小立方体，最多有_____________个小立方体；
(3)将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有_____________个．
【答案】(1)见解析
(2)9，14
(3)2
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
【分析】考查了作图-三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、
左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最少的立方块个数和最多的立方块个数．
（1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，依此画出图形即可；从左面看得到从左往
右3列正方形的个数依次为3，2，1，依此画出图形即可；
（2）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最少个数和最多个数相加即可；
（3）根据题意可得其中两面涂色的小立方体有2个．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）由俯视图易得最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块，所
以最少有 个小立方块；
最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块，所以最多有
个小立方块．
故答案为：9，14；
（3）将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有2个．
故答案为：2．
2．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）如图是用10个棱长是 ，大小相同的小正方体搭成的几何体．
(1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）．
(2)这个几何体的表面积是 （包含底部）；
(3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加 个小正方体；
(4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体．
【答案】(1)画图见解析
(2)36
(3)4
(4)1【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、已知三视图求侧面积或表面积、已知三视图求最多或最少的小
立方块的个数
【分析】本题主要考查简单几何题的三视图的画法，熟练掌握主视图、左视图、俯视图的画法是解题的关
键．
（1）根据三视图的概念求解即可；
（2）直接利用三视图分别乘以2求解即可；
（3）根据俯视图和左视图求解即可；
（4）根据主视图，俯视图和左视图求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：∵小正方体的棱长是 ，
∴
这个几何体的表面积是 ；
（3）解：要使俯视图和左视图不变，
即在主视图的的上面加放小立方体，
故最多可加4个；
（4）解：要使主视图，俯视图和左视图不变，
只能最下面一层的中间小正方体上增加1个小正方体
故最多可加1个．
3．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图是一些棱长为1cm的小立方块组成的几何体．
(1)请画出这个几何体的主视图和俯视图．
(2)该几何体的表面积是 cm2．(3)如果保持这个几何体的主视图和俯视图形状不变，最多可以再添加 个小立方块．
【答案】(1)见解析；
(2)38；
(3)3．
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、已知三视图求侧面积或表面积、已知三视图求最多或最少的小
立方块的个数
【分析】本题主要考查了画组合体的三视图，求表面积，对于（1），从正面和上面观察这个组合体得出
平面图形，并画出来；
对于（2），根据上下的面都是6个，前后的面也都是6个，左右的面都是7个，并计算即可；
对于（3），在最左侧一列上的3的位置加上小正方块，不会改变主视图和俯视图，可得答案．
【详解】（1）如图所示．
（2） ．
故答案为：38；
（3）最多可以再添加3个小正方体．
故答案为：3．
4．（23-24九年级上·山东东营·期末）在桌面上，用若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体A，每个
小正方体的棱长为acm，如图所示．
(1)请画出这个几何体A的三视图．
(2)若将此几何体A的表面喷上红漆（放在桌面上的一面不喷），则几何体A上喷上红漆的面积为 cm2（用
含a的代数式表示）；(3)若现在你的手头还有这样的一些棱长为acm的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不
变，则最多可以添加 个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)4
【知识点】求小立方块堆砌图形的表面积、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数、画小立方块堆砌
图形的三视图
【分析】本题主要考查了三视图：
（1）根据三视图的定义，画出三视图即可；
（2）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的喷上红漆的面积；
（3）在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以加一个正方体，在
第二层的第二列可以加一个正方体，所以最多可以添加的是三个小正方体；
【详解】（1）解：如图，
（2）解：露出表面的一共有30个，每个的面积都是 ，
则这个几何体的总面积为： ；
故答案为：
（3）解：由题意可得，在第一层的第二排前面可以加一个小正方体，在第一层的第三列当中，前面可以
加两个正方体，在第二层的第二列可以加一个正方体；即要保持主视图和左视图不变，最多可以添加四个
小正方体．
故答案为：4
5．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图是由10个棱长为 的小正方体搭成的几何体．(1)请在方格图中分别画出该物体的主视图和俯视图；
(2)若将这个几何体外表面涂上一层漆（包括底面），则其涂漆面积为______ ；
(3)在不改变主视图和俯视图的情况下，最多还可以添加______个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)38
(3)3
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数、求小立方块堆砌
图形的表面积
【分析】本题考查了三视图，解题关键是理解三视图的定义，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据几何体分别画出图形即可；
（2）分别通过三视图，计算涂漆面积即可；
（3）根据主视图和俯视图分析可添加的正方体数量即可．
【详解】（1）解：主视图和俯视图如图，
（2）解：由视图计算涂漆面积为
，
故答案为：38；
（3）解：根据主视图和俯视图可知，在不改变主视图和俯视图的情况下，添加小正方体如图，
故可增加3个小正方体，
故答案为：3．已知三视图求侧面积或表面积
1．（23-24九年级下·新疆喀什·期末）如图是一个钢坯零件的三视图，其中俯视图为菱形，其测量数据如
图所示（单位： ）．请根据以上信息求出该钢坯零件的表面积．
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求面积、已知三视图求侧面积或表面积、用勾股定理解三角形
【分析】考查由三视图判断几何体及几何体表面积的计算；根据菱形的面积公式，表面积 侧面积 个底
面积解答即可．
【详解】解：由题意可得：菱形面积 ，边长为
∴该钢坯零件的表面积 ．
2．（22-23九年级上·河北唐山·期末）从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示，
(1)写出这个几何体的名称：______；
(2)求这个几何体的侧面积和表面积．（结果保留 ）
【答案】(1)圆柱
(2)圆柱的侧面积为 ，圆柱的体积为
【知识点】已知三视图求侧面积或表面积、由三视图还原几何体
【分析】本题考查从不同方向看几何体，圆柱的侧面积和体积．
（1）根据从不同方向看几何体的图形，判断即可；（2）根据圆柱的侧面积 底面圆的周长 高，圆柱的表面积 侧面积 底面积 代数求解即可．
【详解】（1）解：依题意，根据三视图，这个几何体是圆柱；
故答案为：圆柱；
（2）解：依题意，底面半径为 ，高为3，
∴圆柱的侧面积 ；
∴圆柱的表面积 ．
3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图为一几何体的三视图：主视图和左视图都是长方形，俯视图是
直角三角形．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中的数据，计算该几何体的表面积．
【答案】(1)三棱柱
(2)该几何体的表面积是84
【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求侧面积或表面积
【分析】本题主要考查了三棱柱的三视图以及表面积．
（1）由主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，即可得出这个几何体是三棱柱．
（2）根据三棱柱的表面积等于三个长方形侧面面积加上上下面的三角形面积计算即可．
【详解】（1）解：由主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，
可知这个几何体是三棱柱．
（2）
答：该几何体的表面积是84．
4．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图是一个几何体的三视图．(1)写出几何体的名称；
(2)根据图中标出的数据，计算这个几何体的表面积（结果可含 ）．
【答案】(1)圆锥
(2)
【知识点】求圆锥侧面积、已知三视图求侧面积或表面积、由三视图还原几何体
【分析】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算；
（1）由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥；
（2）根据图中给定数据结合圆锥表面积公式计算即可．
【详解】（1）由三视图可知，原几何体为圆锥；
（2）这个几何体的表面积 ．
5．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图．
(1)在图②的横线．上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图中的数据（单位： ），计算这个组合几何体的表面积．
【答案】(1)主，俯
(2) （ ）
【知识点】判断简单组合体的三视图、已知三视图求侧面积或表面积
【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
（1）根据三视图的定义判断即可；（2）根据图中数据，该几何体的表面积由一个长方体和一个圆柱组成，根据表面积计算公式进行计算即
可．
【详解】（1）解：根据三视图的定义，第一个为主视图，第二个为俯视图；
（2）解：
（ ）．
利用平行投影求解
1．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）已知如图， 和 是直立在地面上的两根立柱， ，某一
时刻 在阳光下的投影 ．
(1)请你画出此时 在阳光下的投影；
(2)在测量 的投影时，同时测量出 在阳光下的投影长为 ，请你计算 的长．
【答案】(1)详见解析；
(2) ．
【知识点】平行投影、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查平行投影，相似三角形的判定与性质．
（1）根据已知，连接 ，过点 作 ，即可得出 就是 的投影；
（2）利用三角形 得出比例式，求出 即可．
【详解】（1）解：如图，连结 ，过点 作 ， 为此时 在阳光下的投影；
（2）解： ，，
，
，即 ，
解得 ，
答： 的长为 ．
2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图所示分别是两棵树及小丽在不同光源下的影子情形.
(1)两幅图中的投影属于中心投影的是图________（用“甲”或“乙”填空）；
(2)若阳光下小丽影子长为 ，大树影子长为 ，小丽身高 ，则大树高度是________ ．
【答案】(1)乙
(2)
【知识点】平行投影、中心投影、相似三角形实际应用
【分析】本题考查了平行投影与中心投影、同一时刻物高与影长比值相同，
（1）物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影，据此
即可判断和说明；
（2）根据平行投影，物高与影长比相等，设树高为 ，利用比例相等列出式子进行求解即可．
【详解】（1）如图所示：
甲图是平行投影，乙图是中心投影；
故答案为：乙．
（2）解：设树高为 ，依题意， ，解得： ，
答：树的高度为 ．
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）晓华和小菲一起合作来测量某建筑物 顶部广告牌 的高．如图
所示，在阳光下，某一时刻，广告牌顶端 的影子在 处，同时，晓华站在 处的影长 为 ，
；然后，小菲在 处测得楼房的顶端 的仰角 为 ， ．晓华的身高
，点 在同一水平线上，点 在 上， ， ，根据以上测量
方法和数据请求出广告牌 的高．（参考数据： ， ， ）
【答案】广告牌 的高为 ．
【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、平行投影
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影的性质，先根据同一时刻太阳光下，物长与影长的比
相等，可求出 ，再由三角函数可求出 ，利用线段的和差关系即可求出 的高，掌握
平行投影的性质及解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵同一时刻太阳光下，物长与影长的比相等， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴广告牌 的高为 ．4．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）小军和小文利用阳光下的影于来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图
所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为20米，0A的影长OD为24米，
小军的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且
OA⊥OD，EF⊥FG．
(1)①图中阳光下的影子属于 （填“中心投影”或“平行投影”）②线段AD、线段BC与线段EG之间的
位置关系为 ．
(2)已知小军的身高E为1.8米，求旗杆的高AB．
【答案】(1)①平行投影；② （或答“平行”）
(2)旗杆AB的长为3米
【知识点】平行投影、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．
（1）根据平行投影和中心投影的定义即可做出判断．
（2）证明 ，利用相似比计算出 的长，再证明 ，然后利用相似比计算
的长，进一步计算即可求解．
【详解】（1）①根据题意可知是平行投影；
② （或答“平行”）；
故答案为：①平行投影；② （或答“平行”）．
（2） ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∴
，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
所以，旗杆 的长为3米，
5．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带
领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动．如图，某一时刻，古树 在太阳光下的影子末端落在地
面上的点C处，甲同学在点C处竖立一根 米高的标杆 ，同一时刻标杆 在太阳光下的影子末端落
在地面上的点D处，乙同学测得标杆的影长 为2米，丙同学站在距离C点13米远的点E处，他的眼睛
在点F处，观察得知，树顶A的仰角 ，已知丙同学的眼睛到地面的距离 米，点B、C、
D、E在同一水平直线上， ， ， ，图中所有的点都在同一平面内．
(1)请你在图中画出点D的位置；（不写画法，保留画图痕迹）
(2)如果你是王朵同学，请你根据上述甲、乙、丙三位同学的测量数据，计算这棵古树的高度 ．
【参考数据： ， ， 】
【答案】(1)见解析
(2)10米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、平行投影
【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，解题的关键：
（1）根据平行投影即可作图；
（2）由平行投影可得出 ，根据同角的正切值相等可得出 ，设 米，则米， 米， 米，在 中，根据正切
的定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求，
（2）解：延长 交 于H，则 ， 米，
由题意，知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
设 米，则 米，
∴ 米， 米，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 米，
即古树的高度 为10米．
利用中心投影求解1．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，白鹭洲国家湿地公园广场有一灯柱 ，M为光源．某兴
趣小组为了测量灯柱 的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为 的标杆 和 ．测得 的影长
等于 ，且点N，B，C在同一条直线上．
(1)请画出标杆 的影子 ；
(2)若 ，求灯柱 的高度．
【答案】(1)见解析
(2)灯柱 的高度为
【知识点】中心投影、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）本题考查投影，根据光沿直线传播，连接 并延长 ，交 的延长线于点 ，即可画
出标杆 的影子 ．
（2）本题考查相似三角形的性质和判定，设灯柱 的高度为x m，根据题意证明 ，得到
，再证明 ，得到 ，利用等量代换建立等式，即可解题．
【详解】（1）解：如图所示 的影子为 ；
（2）解：由题意可知 ， ， ，
即 ，
设灯柱 的高度为x m，根据题意，得由 ， 得 ，
即 ，代入数据，化简得 ，
由 ， 得， ，
即 ，
代入数据，化简得 ，
，
（m），
答：灯柱 的高度为 ．
2．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）如图，学习完投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子．线段
表示小光站立的位置，线段 表示此时操场上的灯杆，点 为路灯所在位置．
(1)画出小光在路灯C照明下的投影示意图，并记作 ；
(2)如果小光身高 ，他站在距离灯杆 为 的 处时，测得自己的影长 ，求灯杆 的高度．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【知识点】中心投影、相似三角形实际应用
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）连接 并延长交直线 于点E，线段 即为所作；
（2）根据相似三角形的判定与性质得出 ，代入数据求出 的长即可．
【详解】（1）如图，
（2）由题意可知， ，
，，
，
．
答：灯杆 的高度为 ．
3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，路灯下竖立的一根木杆（用线段 表示）的影子 ，小明
（用线段 表示）的影子是 ．
(1)请在图中画出路灯的位置（用点P表示）；
(2)若此路灯距地面高8米，小红的身高1.6米在距离灯的底部左侧6米N处，此时小红沿 方向向左直
走，求当小红的影长是5米时，她所走的路程．
【答案】(1)见解析
(2)14米
【知识点】中心投影、相似三角形实际应用
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用：
（1）连接 ，并延长 交于点P，即可；
（2）过点P作 于点H，设当小红的影长是5米时，到达点 ， 表示小红的身高， 表
示此时的影长，则 米， 米， ，可得 ，从而得到 米，
即可求解．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）解：如图，过点P作 于点H，设当小红的影长是5米时，到达点 ， 表示小红的身
高， 表示此时的影长，则 米， 米， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 米，
∴ 米，
即当小红的影长是5米时，她所走的路程14米．
4．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，一墙墩（用线段 表示）的影子是 ，小明（用线段
表示）的影子是 ，在M处有一棵大树，它的影子是 ．
(1)试判断图中的影子是路灯照射形成还是太阳光照射形成的，如果是路灯照射形成的，请确定路灯的位置
（用点P表示）；如果是太阳光照射形成的，请画出太阳光线；
(2)在图中画出表示大树高的线段；
(3)若小明的身高是 ，他的影长 ．大树的高度为 ，它的影长 ．且大树与小明
之间的距离 ，求路灯的高度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)路灯的高度为 ．
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、中心投影
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握中心投影的性质是解题的关键．
（1）延长 和 交于点点P，即为路灯的位置，再确定是什么光线；
（2）根据中心投影的性质作图；
（2）根据直角三角形的性质求解．
【详解】（1）解：影子是路灯照射形成的，点P的位置如图所示；；
（2）解： 即为树高如图所示；
（3）解：过P点作 ，垂足为G，则 的长即为路灯的高度
由题意知： ， ，
所以 ， ，即 为等腰直角三角形，
所以
即路灯的高度为 ．
5．（23-24九年级上·四川达州·期末）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，
小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地
面的长度为 ，小明测得窗户距离地面高度 ，窗高 ，某一时刻， ， ，
其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且 ， ．
(1)求出路灯的高度 ．
(2)现在小明想让光线透过窗子 照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为 ，如图2所示，需将
路灯 的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答）
【答案】(1)
(2)图形见解析，将路灯AB的高度升高 米，此时光线照亮地面的最近端位置离 点的距离是
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、中心投影、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的应用、平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键（1）利用条件证明 和 ，得 和 求出 和 即可得出
答案；
（2）证 和 得 和 ，求出OM即可解决问题．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
，
即 ，
解得∶ ，
答∶路灯的高度 为 ；
（2）解：如图所示，将路灯 的高度升高至 ，
由(1)得∶ ， ，
，
，
由题意得∶ ，则 ，
，
， ，
，
， ，
，即 ，
解得∶ ， ，
，
答∶需将路灯 的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是 ．
