文档内容
期末培优：二次函数20种高频考点专项训练
考点一 二次函数的定义
考点目录
二次函数的定义 二次函数的解析式
二次函数的增减性 二次函数的最值
二次函数的对称性 二次函数与一次函数的图像
二次函数图像的平移 由二次函数图像判断代数式正负
二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的应用：销售问题
二次函数的应用：图形问题 二次函数的应用：拱桥问题
二次函数的应用：投球问题 二次函数的应用：喷水问题
二次函数的应用：动态几何问题 二次函数的应用：材料阅读类问题
二次函数综合提升：线段长度与周长问题 二次函数综合提升：面积问题
二次函数综合提升：特殊三角形存在性问题 二次函数综合提升：特殊四边形存在性问题考点二 二次函数的解析式
例1．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）一抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，顶点为 ，则此
抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与 相同，
∴ ．
∵顶点为 ，
∴抛物线的解析式为 ．
故选：C．
例2．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过 ，
， 三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵图像经过 ， ，∴设二次函数为 ．
代入点 得，
解得： ．
∴ ．
配方： ．∴顶点式为 ，
故选：C．
例3．（25-26九年级上·山东滨州·月考）形状与开口方向都与抛物线 相同，顶点坐标是 的抛物线对
应的函数解析式为 ．
【答案】
【详解】解： 顶点坐标是 ，
设抛物线的解析式为 ，
形状与开口方向都与抛物线 相同，
，
抛物线对应的函数解析式为 ，
故答案为： ．
例4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）写出一个开口向下，对称轴为直线 ，与y轴交于点 的抛物线解
析式 ．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】解：∵对称轴为直线 ，
∴可设函数解析式为 ；
∵开口向下，
∴可取 ，则 ；
将 代入 得： ，解得： ；
∴ ；
故答案为： （答案不唯一）
例5．（25-26九年级上·天津·月考）已知抛物线经过点 和 及 轴正半轴一点 ，且 ．
(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线顶点坐标；
(3)求直线 解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线经过点 及 轴正半轴一点 ，且 ．
∴ ，
∴ ，
设抛物线的解析式为 ，
把 ， ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解： ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
（3）解：由（1）得 ，
依题意，设直线 解析式为 ，
把 ， 代入 ，
得 ，∴ ，
∴直线 解析式为 ．
例6．（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线 与直线 都经过点 ．
(1)求h，k的值；
(2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点 ，请确定此抛物线的解析式．
【答案】(1)
(2)抛物线解析式为
【详解】（1）解：∵抛物线 与直线 都经过点 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
（2）解：依题意，设此抛物线的解析式为 ，
由（1）得 ，
∵抛物线恰好经过点 ，
∴抛物线恰好经过点 ，
∴ ，
解得 ．
∴ ．
变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知二次函数图象过 ， ，其图象的开口和形状均与 的
图象一致，那么该二次函数的表达式为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】∵二次函数图象开口和形状与 一致，
∴ ．
又∵二次函数图象过 ， ，
∴ ．
故选：A．
变式2．（25-26九年级上·天津红桥·期中）若抛物线的顶点坐标为 ，与 轴相交于点 ，则该抛物线的
解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵抛物线顶点为 ，
∴设解析式为 ，
又∵抛物线过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴解抛物线析式为 ．
故选：A
变式3．（25-26九年级上·新疆昌吉·月考）若二次函数 ，经过点 、 ，则该函数的对称轴
为 ．
【答案】直线
【详解】解：二次函数 经过点 、 ，代入点 得： ，
解得 ．
代入点 得： ，
即 ，
将 代入： ，
解得: ，
∴对称轴为：直线 ，
故答案为∶直线 ．
变式4．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）顶点坐标为 的拋物线还经过原点，则该抛物线的解析式为 ．
【答案】
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，
将原点 代入得： ，即 ，
解得 ，
故解析式为 ，展开得 ，
故答案为： ．
变式5．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知抛物线 的顶点坐标为 ，求此抛物线的函数表
达式．
【答案】
【详解】解：∵抛物线 中 ，顶点坐标为 ，
∴由顶点式可得
．变式6．（25-26九年级上·浙江·期中）已知二次函数 的图象经过点 ， ．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)求出二次函数的图象与 轴的另一个交点坐标．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：将点 ， 分别代入 ，得：
即 ，
将 代入 ，解得 ，
二次函数的表达式为 ；
（2）解：令 ，则 ，
整理为 ，因式分解得 ，
解得 ，
已知一个交点为 ，故另一个交点坐标为 ．考点三 二次函数的增减性
例1．（25-26九年级上·天津南开·月考）由二次函数 可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而增大
【答案】B
【详解】解：∵二次函数 ，且
∴图象的开口向上，
故A选项不符合题意；
由 得对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
故B选项符合题意，C选项不符合题意；
∵图象的开口向上，直线 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
故D选项不符合题意；
故选：B．
例2．（25-26九年级上·黑龙江·月考）已知二次函数 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（
）
① ；② ；③ ；④当 时，y随x的增大而增大．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【详解】解：由图像可知， 、
则 ，
故①错误；
抛物线与x轴有两个不同的交点，令 得则判别式 ，
故②错误；
当 时， ，即 ，
故③正确；
由图象可知，图像开口向下， 在对称轴左侧， y随x的增大而增大，
故④正确，
因此，正确的有③④，
故选：C．
例3．（25-26九年级上·山东日照·月考）函数 ，当x 时，y随x的增大而增大．
【答案】
【详解】解： ， ，对称轴为直线
∴当 时，y随x的增大而增大，
故答案为： ．
例4．（25-26九年级上·北京东城·开学考试）已知抛物线 当 时，y随x的增大而减小，则k
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：抛物线 的对称轴为 ， ，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当 时， 随 的增大而减小，
∴ ，
故答案为： ．
变式1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．当 时， 随 增大而增大
C．图象顶点横坐标为 D．若 ，则图象与 轴交于负半轴
【答案】C
【详解】解：二次函数 化成顶点式为 ．A、由 可知，函数图象开口向下，则此项错误，不符合题意；
B、由函数的顶点式和 可知，当 时， 随 增大而减小，则此项错误，不符合题意；
C、由函数的顶点式可知，图象顶点的横坐标为 ，则此项正确，符合题意；
D、因为二次函数 与 轴的交点坐标为 ，所以若 ，则图象与 轴交于正半轴，则此
项错误，不符合题意；
故选：C．
变式2．（25-26九年级上·山西大同·期中）关于二次函数 ，下列说法正确的是
A．函数图象的开口向下 B．该函数的最大值是5
C．函数图象的顶点坐标是 D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】C
【详解】解：A、 ，则开口向上，故本选项不符合题意；
B、开口向上，函数有最小值5，无最大值，故本选项不符合题意；
C、二次函数 顶点坐标为 ，故本选项符合题意；
D、对称轴为 ，开口向上，当 时，y随x增大而增大，故本选项不符合题意；
故选：C．
变式3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）已知函数 ，当 时， 随 的增大而 （填
“增大”或“减小”）．
【答案】减小
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
∴当 时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
变式4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：二次函数 的二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ，对称轴为直线．
当 时，函数开口向上，在对称轴左侧（ ） 随 的增大而减小．
因此需满足 ，即 ，
解得 ．
故答案为： ．考点四 二次函数的最值
例1．（25-26九年级上·天津河西·期中）函数 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】解：∵函数 中，二次项系数 ，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，
∴顶点横坐标 ，
当 时， ，
∴ 函数的最小值为1．
故选：B．
例2．（25-26九年级上·河南开封·月考）已知抛物线 的开口向上，顶点坐标为 ，那么该抛物
线有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2
【答案】A
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴它有最小值，
∵顶点坐标为 ，
∴最小值为 ，
故选：A．
例3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数 （a为常数，且 ），当 时，函
数的最大值与最小值之差为8，则a的值为 ．
【答案】
【详解】解：由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线 ，
则 比 距离对称轴远，
当 时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在 时取得最大值，
当 时， ，当 时， ，
则 ，
解得 ，
故答案为：2．
例4．（25-26九年级上·河南周口·月考）抛物线 的最大值为 ．
【答案】3
【详解】解：∵
∵
∴抛物线开口向下，
∴最大值为3．
故答案为：3．
变式1．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知 ， ，当 时， 的最大值与最小值的差
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴函数 图象开口向上，对称轴为 ，
∴当 时， 有最小值，最小值为2，
∵ ， ， ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴ 的最大值与最小值的差为 ．
故选：B．
变式2．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）若二次函数 在 的范围内的最大值为4，则实
数 的值为（ ）
A． 或5 B． 或5 C． 或7 D． 或7【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∵二次函数 在 的范围内的最大值为4，
∴ 或 ，
当 时， ，
整理得 ，
解得 或 ，
当 时，即 ，此时最大值在右端点 ，
∴ ，
解得： ，
当 时，此时最大值在左端点 ，
∴ ，
综上可知，实数 的值为 或5，
故选：A．
变式3．（25-26九年级上·广东·期中）已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：二次函数 的顶点横坐标为 ，在 范围内，
将 代入函数得 ，
∵ ，
∴最小值为 ．
故答案为： ．
变式4．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知关于 的二次函数 ，其中 为实数．当
时，该二次函数有最小值10，则 的值为 ．
【答案】 或5
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当 时，最小值为 ，不符合题意；当 ， 时， 为最小值，解得 （舍去）或 ．
当 ， 时， 为最小值，解得 或 （舍去）．
综上所述， 的值为 或5．
故答案为： 或5．考点五 二次函数的对称性
例1．（25-26九年级上·广东广州·期中）二次函数 的图象与 轴的一个交点的横坐标为 ，则与
轴的另一个交点的横坐标是（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】D
【详解】解：由二次函数 可知：对称轴为直线 ，
∵图象与 轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为 ，
设另一个交点的横坐标为 ，
则 ，
即 ，
∴ ，
故另一个交点的横坐标为 ；
故选D．
例2．（25-26九年级上·广东汕头·月考）点 ， 均在二次函数 的图象上，则 ， 的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】 点 在二次函数 上，
，
点 在二次函数 上，
，
，
．
故选： ．例3．（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如果抛物线与 轴交于 和 两点，则该抛物线的对称轴为直
线 ．
【答案】
【详解】解：∵抛物线与 轴交于 和 两点，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
故答案为： ．
例4．（25-26九年级上·北京通州·期中）抛物线 上有三点 ， ， ，则 ， ，
的大小关系是 ．（用“＜”连接）
【答案】
【详解】解：对于抛物线 ，其对称轴为直线 ，
且抛物线开口向下（因为 ），
点到对称轴的距离越远，函数值越小，
点 到对称轴 的距离为 ，
点 到对称轴 的距离为 ，
点 到对称轴 的距离为 ，
，且抛物线开口向下，
．
变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图函数 的对称轴为直线 ，方程 的
负数解 的取值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：令方程 的正数解为 ，
如图可知， ，
∴点 ， 关于直线 的对称点坐标为 ， ，
∵抛物线 关于直线 对称，
∴ ．
故选：B．
变式2．（25-26九年级上·浙江·期中）已知点 在二次函数 的图象上，则
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解： ，
二次项系数 ， 抛物线开口向下；对称轴为直线 ，
点 到对称轴 的距离： ，
点 到对称轴 的距离： ，
点 到对称轴 的距离： ，
抛物线开口向下，点到对称轴的距离越远，函数值越小，距离关系为： ，
对应函数值关系为： ，即 ．
故选：C．
变式3．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，则它与轴的另外一个交点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：抛物线 （ ）的对称轴为直线 ，
∵ 抛物线与 轴的一个交点为 ，且交点关于对称轴对称，
∴ 另一个交点与 关于直线 对称，
设另一个交点坐标为 ，则 ，解得
故另一个交点坐标为
故答案为： ．
变式4．（25-26九年级上·北京昌平·期中）已知 ， ， 是二次函数 的图象
上的三个点，则 ， ， 的大小关系为 ．
【答案】
【详解】解：二次函数 的二次项系数 ，因此抛物线开口向下．
对称轴为 ．
点 和点 到对称轴的距离均为 和 ，关于对称轴对称，
故 ．
点 到对称轴的距离为 ，距离最大，由于开口向下，函数值最小，
故 ．
因此， ．
故答案为： ．考点六 二次函数与一次函数的图像
例1．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数 （a，b为常数，且 ）
的图像与二次函数 的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A选项：由二次函数图像可知： ，
由一次函数图像可知： ，
故A选项不符合题意；
B选项：由二次函数图像可知： ，
由一次函数图像可知： ，
故B选项不符合题意
C选项：由二次函数图像可知： ，
由一次函数图像可知： ，
故C选项符合题意；
D选项：由二次函数图像可知： ，
由一次函数图像可知： ，
故D选项不符合题意．
故选：C ．
例2．（2025·江西抚州·模拟预测）函数 与 的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当 时，函数 的图象开口向上，函数 的图象应在一、二、三象限，
故可排除D；
当 时，函数 的图象开口向下，函数 的图象应在一二四象限，故可排除B；
当 时，两个函数的函数值都为1，故两函数图象应相交于 ，可排除A．
故选项C正确．
故选C．
例3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的图像大致是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．由一次函数 的图像可得： ，此时二次函数 的图像应该开口向下，错误；
B．由一次函数 的图像可得： ，此时二次函数 的图像应该开口向上，正确；
C．由一次函数 解析式可得图像过原点，但是选项中一次函数图像未经过原点，故错误；
D．由一次函数 的图像可得： ，此时二次函数 的图像应该开口向上，错误．
故选：B．
例4．（25-26九年级上·山西太原·月考）在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：当 时，直线 经过 轴正半轴点 ，图形从左到右是上升的；抛物线
开口向上，顶点在 轴负半轴，A选项符合题意，选项B、C、D都不符合题意；
当 时，直线 经过 轴正半轴点 ，图形从左到右是下降的；抛物线 开口向上，
顶点在 轴正半轴，选项A、B、C、D都不符合题意；
综上，A选项正确．
故选：A．
变式1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）抛物线 和直线 在同一坐标系的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、B、由二次函数的图象可知 ，可得 ，此时直线 经过一，三，四象限，
但考虑 ，因此抛物线和直线均经过点 ，因此A错误，B正确；
C、二次函数的图象可知 ，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号， ，此时直线 经过一、二、四
象限，故C错误；D、二次函数的图象可知 ，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号， ，此时直线 经过一、二、
四象限，故D错误；
故选：B．
变式2．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）二次函数 的图象如图，则一次函数 与反比例函
数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：根据题意，二次函数图象开口向下，对称轴直线 ，函数图象与 轴交于正半轴，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第二、三、四象限，
反比例函数 的图象经过第二、四象限，
A选项的图象符合题意，
∴故选：A ．
变式3．（25-26九年级上·广西钦州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的
大致图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：一次函数和二次函数都经过 轴上的 ，两个函数图象交于轴上的同一点，排除C；
当 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；
故选：A．
变式4．（25-26九年级上·河南信阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
故选：B．考点七 二次函数图像的平移
例1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）将抛物线 向左平移 个单位，再向上平移 个单位，所得抛物线为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将抛物线 向左平移 个单位，再向上平移 个单位，所得抛物线为 ，
故选：D．
例2．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长
度后所得抛物线的表达式为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∴ ，
∴平移后所得抛物线的表达式为 ，
故选：A
例3．（25-26九年级上·四川广元·期中）将抛物线 向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物
线是 ．
【答案】
【详解】解：将抛物线 向上平移3个单位，得 ；再向右平移4个单位，得
．展开并化简： ．
故答案为： ．例4．（25-26九年级上·北京顺义·期中）在平面直角坐标系 中，将抛物线 先向左平移3个单位长度，
再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为 ．
【答案】
【详解】解：将抛物线 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为
故答案为： ．
变式1．（25-26九年级上·浙江温州·月考）将二次函数 的图象用下列方法平移后，所得的图象经过点
的是（ ）
A．向上平移1个单位 B．向下平移2个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移2个单位
【答案】C
【详解】解：∵原函数为 ，
A、向上平移1个单位，得 ，当 时， ，不经过点 ，故A不符合题意；
B、向下平移2个单位，得 ，当 时， ，不经过点 ，故B不符合题意；
C、向左平移1个单位，得 ，当 时， ，经过点 ，故C符合题意；
D、向右平移2个单位，得 ，当 时， ，不经过点 ，故
D不符合题意.
故选：C.
变式2．（25-26九年级上·四川泸州·期中）将抛物线 通过平移后，得到抛物线的解析式为
，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】D
【详解】解：原抛物线 的顶点坐标为 ，平移后抛物线 的顶点坐标为 ．
∵点 向左平移2个单位，横坐标变为 ；向下平移3个单位，纵坐标变为 ，
∴平移的方向和距离是向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度．
故选：D．
变式3．（25-26九年级上·山西晋城·月考）将抛物线 向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长
度后得到的新抛物线的顶点坐标为 ．
【答案】
【详解】∵ ，
∴原顶点坐标为 ，
∴将抛物线 向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为
，即 ．
故答案为： ．
变式4．（25-26九年级上·江苏南通·月考）将函数 的图象沿着 轴向左平移3个单位后所得到的图象的函
数表达式为 ．
【答案】
【详解】解：将函数 的图象沿着x轴向左平移3个单位，
根据平移规律，新函数的表达式为 ．
故答案为： ．考点八 由二次函数图像判断代数式正负
例1．（25-26九年级上·广东汕尾·期中）二次函数 的图像如图所示，有如下结论：① ；②
；③ ；④ （m为实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【详解】解：由抛物线开口向上，得 ；对称轴 ，得 ；抛物线与 轴交于负半轴，得
．
① （ ，三数相乘为正），此结论正确；
② ，此结论正确；
③ ， ，无法判定 ，此结论错误；
④顶点 时函数取最小值， 时 ，此结论错误．
综上，正确结论有2个．
故选：B．
例2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数 的图象与x轴相交于点 ，
，其中 ．给出下列结论：① ；② ；③当 时，y随x的增大而减小；④关于x的
一元二次方程 的另一个根是 ，⑤b的取值范围是 ．其中正确的结论是（ ）A．①③ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】D
【详解】解：由图可得： ，对称轴 ，
，
，①错误；
由图得，图象经过点 ，将 代入 可得 ，
，②正确；
该函数图象与 轴的另一个交点为 ，且 ，
对称轴 ，
该图象中，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，
当 时， 随着 的增大而减小，
③正确；
， ，
关于 的一元二次方程 的根为
，
，
， ，
④正确；
，即 ，
解得 ，
即 ，，
，
⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共 个．
故选：D．
例3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）已知二次函数 的部分图象如图所示，图象过点
，对称轴为直线 ，下列结论：① ；② ；③ ；④若点
在该函数图象上，则 ；⑤若方程 的两根为 ，且
，则 ．其中正确的结论有 ．
【答案】②③④⑤
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴ 、 ，
∵二次函数的对称轴为直线 ，
∴ ，即 ，故①错误；
∴ ，故②正确；
∵二次函数的图象过点 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线 ，∴ 在图象上的对称的点坐标为 ，
∵当 时，y随x的增大而减小，且 ，
∴ ，故④正确；
∵ ，
∴二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为 ，
∵方程 的两根是二次函数 与直线 的两个交点的横坐标，如图：
由函数图象可知： ，故⑤正确；
综上，正确的结论有②③④⑤．
故答案为②③④⑤．
例4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，经过点 ，下
列结论：① ；② ；③ ；④点 在抛物线 上，当 时，
；⑤若 且 ，则 其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②③⑤
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，∴ ，
∴ ，结论①正确；
∵抛物线的开口向上，与 轴的交点位于 轴负半轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，结论②正确；
将点 代入 得： ，
将 代入得： ，即 ，
∴ ，结论③正确；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∵点 在抛物线 上，且 ，
∴ ，结论④错误；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴抛物线上横坐标为 ， 的两个点关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
变式1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，二次函数 的图象与x轴交于点 ，
小红同学得出了以下结论：① ；② ；③当 时， ；④对任意实数m都有；⑤ ，其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：∵函数图象开口向上，
∴ ；
∵二次函数 的图象与 轴交于点 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线： ；
∴ ，即 ；
∵函数图象与 轴的交点在 轴的负半轴，
∴ ；
∴ ，故①错误；
∵二次函数 的图象与 轴有两个交点，
∴ ，故②正确；
由图象可知：当 时， ；故③错误；
当 时，对应的函数值为 ，
当 时，对应的函数值为 ，
∵当 时，函数取得最小值
∴ ，即：
∵ ，
∴
∴ ，即： ；故④错误；
将 代入 ，得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
则
，
∴ ，故⑤正确．
只有②⑤正确．
故选B．
变式2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 的图象与对称轴
直线 交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（ ）
① ；
②若 ，则 ；
③对于任意 （ ），始终有 ；
④若 ， ， （ ）为方程 的两个根，则 且 ．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【详解】解：由图象得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
，
，
，
，故②错误，，
当 时，函数的值最小，
对于任意 ，始终有 ，故③正确，
，对称轴为直线 ，
函数 的图象与 轴交点坐标为 ，
将方程 变形为 ，如图所示，
可得 且 ，故④正确，
故选： ．
变式3．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，抛物线 （ ）与x轴交于点 和点
，与y轴交于点C．下列说法：① ；②抛物线的对称轴为直线 ；③当 时，
；④当 时，y随x的增大而增大；⑤ （m为任意实数）其中正确的个数是
个．
【答案】3
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴ ，抛物线与x轴交于点 和点 ，
∵
∴抛物线对称轴为直线 ，故 正确；
②
∴ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
由函数图象可知①，当 时，抛物线在x轴上方，
∴当 时， ，故 正确；
③
∵抛物线对称轴为直线 且开口向下，
∴当 时，y随x的增大而减小，即当 时，y随x的增大而减小，故 错误；
∵抛物线对称轴为直线 且开口向下， ④
∴当 时，抛物线有最大值 ，
，
∴
∴ ，故 正确；
⑤
综上所述，正确的有②③⑤，共 个，
故答案为： ．
变式4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与x轴交于
， ．给出下列5个结论：
① ；
② ；
③若m为任意实数，则 ；
④ ；
⑤若方程 （t为实数）的两个根为 和 ，且 ，则 ．
其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）【答案】①②④
【详解】由题意，抛物线与 轴交于 、 ，对称轴为直线
设抛物线为 ， 展开得：
对应一般式 ，比较系数得：
，
①将点 代入抛物线 得 ，故①正确；
②将 ， 代入 得
∵图像开口向下，∴
∴ ，故②正确；
③若m为任意实数，则
考虑对称轴 处的取值：当 时，
左边 ，右边 ，
此时左右相等，不满足“小于”，故③错误；
④将 ， 代入不等式，
∵
∴
即 ，故④正确；⑤方程等价于 与水平线 的交点横坐标
∵ ，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为 ，最大值： ，
又∵ ，
∴当 时，方程即为 ，解得 ， ，此时 ，不满足 ，故⑤错误
故答案为①②④．考点九 二次函数与一元二次方程的关系
例1．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，抛物线 与直线 的两个交点分别为 ， ，
则关于x的一元二次方程 的解为（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【详解】解： 变形得， ，即抛物线与直线相交
∴方程的解为点A和点B的横坐标，
∴ ， ．
故选：A．
例2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）函数 的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范
围是（ ）
A． B． C． 且 D．
【答案】A
【详解】解：当 时， 与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；
当 时，函数为二次函数，其图像与y轴恒有一个交点，
若要与坐标轴至少有两个交点，则必须与x轴有交点，故 ，解得 ，
因此，此种情况下m的取值为 且 ，
综上所述，结合 的情况，满足题意的m的取值范围为 ，
故选：A．
例3．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期中）抛物线 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【详解】解：观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是 ，
对应的函数图象在 轴下方，由图象可得范围为 ．
∴不等式 的解集为
故选：A
例4．（25-26九年级上·广东广州·期中）抛物线 的部分图象如图所示，当 时，自变量x的取值
范围为 ．
【答案】 或
【详解】解：由图象可知，抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为 ，
抛物线 与x轴的另一个交点坐标为 ，
∵抛物线开口向下，
当 时，自变量x的取值范围为 或 ．
故答案为： 或
变式1．（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）根据下表确定关于 的一元二次方程 的一个解的取值范围
是（ ）
0 1 2 3 4
4 13 26A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵当 时， ；
当 时， ，
由对应的二次函数 图象可知，x在 范围内取某一个值时， ，
∴方程 的一个解的取值范围是 ．
故选：C．
变式2．（25-26九年级上·河南信阳·期中）已知点 在二次函数 的图象上，若方程
的一个根为 ，另一个根为负数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 方程 的一个根为 ，另一个根为负数，
的对称轴位于直线 的左侧，
在二次函数 的图象上，
二次函数图象开口向下，
则 时， 随 的增大而减小，
当 时， ，
故选：B．
变式3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）抛物线 与直线 相交于如图所示的A，B两点，
则不等式 的解集为（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵抛物线 与直线 相交于A，B两点， 的横坐标为0， 的横坐标为3，∴当 时，抛物线在直线下方，
∵不等式 的解集即为 的解集，也是 的解集，
∴不等式 的解集为 ，
故选：D．
变式4．（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图，抛物线 与直线 交于两点 ，
，则不等式 的解集是 ．
【答案】
【详解】解：∵
∴
∵如图； 与 关于y轴对称，抛物线 与直线 交于两点 ，
∴抛物线 与直线 交于两点 ，
∴ ，即
∴
故答案为： .考点十 二次函数的应用：销售问题
例1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第 天的售价与销
量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元．
时间x（天）
售价（元/件） 70
每天销量（件）
(1)求当 时，y与x的函数关系式；
(2)问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
(3)现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元 给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872
元，求a的值．
【答案】(1)
(2)第35天时，最大利润为4050元
(3)2
【详解】（1）当 时， ；
（2）当 时，
，
∵二次项系数为 ，
二次函数开口向下，二次函数对称轴为 ，
当 时， ，
当 时， ， 随 的增大而减小，
当 时， ，
综上所述，该商品第 天时，当天销售利润最大，最大利润是 元；
（3）解：∵在销售的前45天内
∴
根据题意得， ，函数的对称轴 ，
当 时， ，
∴ ，
解得 或 ，
∵
∴
∴
∵
∴
∴ 舍去，
．
例2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时
间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表∶
每件销售
50 60 70 75 80 85 ……
价（元）
每天售出
300 240 180 150 120 90 ……
件数
假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律
(1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式；
(2)门市部设有两名营业员，营业员每人每天工资为 元，在每天售出量不超过 件时，每件产品应定价多少元，
才能使每天门市部纯利润最大？最大利润是多少？(纯利润指的是销售收入扣除成本及营业员工资后的余额，其它
开支不计)？
【答案】(1)
(2)产品定价为 元时纯利润最大，最大利润是 元
【详解】（1）解：由图可知每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系为一次函数，设函数解析式为
，代入 、解得 ，
（2）设每件产品定价为 元，每天纯利润为 元，
，
当 时，即： ，解得： ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而减小，
∴当 时，利润取得最大，则 ；
则产品定价为 元时纯利润最大，最大利润是 元．
例3．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·期末）某化工材料经销公司购进了一种化工原料7000千克，购进价格为 30
元/千克，物价部门规定销售价格不得高于70 元/千克，也不得低于30元/千克，市场调查发现，单价定为70元时，
日均出售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足
一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利y元．
(1)求y关于x的二次函数解析式，并注明x的取值范围
(2)将（1）中的二次函数配方成 的形式，写出顶点坐标；在上图的直角坐标系中画出草图；
观察图象并指出∶单价定为多少时日均获利最多？是多少？
(3)若将这种化工原料全部售出，试比较日均获利最多与单价最高两种销售方式，哪种获总利较多？多多少？
【答案】(1)
(2) ，图见解析，定价为65元时，日均获利最多，是1950元
(3)销售单价最高时获总利较多，且多获利26500元
【详解】（1）解：∵购进价格为 30元/千克，单价定为70元时，日均出售60千克；单价每降低1元，日均多售
出2千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用500元(天数不足一天时，按整天计算)．
∴ ，
∵物价部门规定销售价格不得高于70 元/千克，也不得低于30元/千克，∴ ，
即 ．
（2）解：由（1）得
则 ，
∴顶点坐标为 ，开口向下，
则二次函数的图象如图所示：
∴定价为65元时，日均获利最多，是1950元．
（3）解：由（2）得当日均获利最多时，单价为65元，
则日均销售 （千克）
∵某化工材料经销公司购进了一种化工原料7000千克，
则总获利 （元），
当销售单价最高时，单价为70元，日均销售60千克，
∴此时 ，
∴将这种化工原料全部售完需要117天，
那么总获利为 （元），
∵ ，
则 （元），
∴销售单价最高时获总利较多，且多获利 元．
例4．（24-25九年级上·江苏南京·月考）某商场以每个60元的价格进了一批玩具，当售价为100元时，商场平均
每天可售出40个．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施经调查发现：在一定范围内，玩具的单价每
降低1元，商场每天可多售出玩具2个．设每个玩具售价下降了 元，但售价不得低于玩具的进价，商场每天的销
售利润为 元．
(1)降价3元后商场平均每天可售出____个玩具；
(2)商场将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)46
(2)售价定为90元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是1800元
【详解】（1）解：由题意得， （个），
故答案为：46；
（2）解：由题意得，
，
∵ ，
∴当 时，y有最大值1800元，
此时售价为： （元），
答：售价定为90元时，可使每天获得的利润最大1800元．
变式1．（24-25九年级上·云南红河·期末）某文具店销售一种进价为10元/支的签字笔，物价部门规定这种签字笔
的售价不得高于18元/支，根据以往经验：以13元/支的价格销售，平均每周销售签字笔90支；若每支签字笔的销
售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10支．设销售价为x元/支．
(1)求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润W（元）与销售价x（元/支）之间的函数关系式；
(2)当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当 时，利润最大为360元
【详解】（1）解：根据题意，当售价为 元/支时，销售量为 支
利润
（2）
∵ ，
∴抛物线开口向下，当 时， 取最大值360
又∵售价不得高于18元/支，且 在 范围内，
∴当 时，利润最大为360元.
答：当 时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大，最大利润是 元.
变式2．（25-26九年级上·山东威海·期中）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，
且不高于80元，经调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（元/千克） 50 60 70销售量y（千克） 100 80 60
(1)设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，超市每天能获得最大利润？最大利润是多少？
(2)该商品要想获得每天不低于1558元的利润，且符合该超市的规定，那么超市每天至少销售商品多少千克？
【答案】(1)售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元
(2)40千克
【详解】（1）解：设 ，由题意，得 ，解得 ．
；
∴
，其中 ，
，
当 时，W随x的增大而增大；当 时，W随x的增大而减小；
当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元；
（2）解：根据题意得， ，
即 ，
解得 ，
又 ，
的取值范围 ．
，
y随x的增大而减小，
时y有最小值，
代入得 ，
至少每天销售40千克．
变式3．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）固原市新华百货连锁超市“双11”打算促销一种玩具，每件进价为40
元．市场调查反映，每星期的销售量 （件）与销售单价 （元）之间的函数关系如图线段 所示．(1)写出每星期的销售量 （件）与销售单价 （元）之间的函数关系式．
(2)如果该超市每个星期想获得4000元的利润，并尽快减少库存，应将销售单价定为多少元？
(3)当每件玩具的销售单价定为多少元时，该超市每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多
少？
【答案】(1)
(2)550元
(3)当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元
【详解】（1）解：每星期的销售量 （件）与销售单价 （元）之间的函数关系式 ，
将 代入，得： ，
解得
∴每星期的销售量 （件）与销售单价 （元）之间的函数关系式 ；
（2）解：由题意，得： ，
整理得 ，
解得 ，
又∵ ，要尽快减少库存，且y随x增大而减小，
∴
答：应将销售单价定为50元；
（3）解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w元，
由题意，得： ．
∵ ， ，
∴当 时，w取得最大值为6250，答：当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6250元．
变式4．（25-26九年级上·浙江温州·月考）商店以50元/千克的价格购进某种商品，经市场调查发现该商品每销售
y（千克）与销售单价x（元/千克）满足 ，设商店一周销售该商品获得的利润为w元．
(1)试写出w关于x的函数表达式．
(2)物价部门规定该商品的单价不得高于70元/千克，当销售单价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多
少？
【答案】(1)
(2)当销售单价为70元/千克时，每周可获得最大利润是2000元
【详解】（1）解：由题意得 ，
∵ ，
∴ ，
即w关于x的函数表达式为 ；
（2）∵
，
∵ ，
∴当 时，w随x的增大而增大，
又∵该种商品的单价不得高于70元/千克，
∴当 时，w有最大值 ．
答：当销售单价为70元/千克时，每周可获得最大利润是2000元．考点十一 二次函数的应用：图形问题
例1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：用长为 米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长
为 米，面积为 平方米．
(1)求矩形的另一边 的长 _____米（用含 的式子表示）
(2)求 关于 的函数关系式；
(3)当 为何值时，矩形养鸡场的面积最大，并求出面积最大值？
【答案】(1) ；
(2) （ ）；
(3)当 时， 取得最大值，最大值为36．
【详解】（1）解：∵ 矩形周长为24米， 米，
∴ （米），
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，即 （ ）；
（3）解： ，
∵ 二次项系数 ，抛物线开口向下，
∴ 当 时， 取得最大值，最大值为36．
例2．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）为了打破“书本与生活脱节”让劳动从抽象概念变成可动手的、可感知
的实践，实现“做中学”．正安县某校准备建一个劳动实践基地，用总长为 的栅栏，围成一块一边靠墙的矩
形实验田，墙长为 ．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为 （单位： ），
与墙平行的一边长为 （单位： ），面积为 （单位： ）．(1)直接写出 与 的函数解析式；
(2)矩形实验田的面积 能达到 吗？如果能，求 的值；如果不能，请说明理由；
(3)当 的值是多少时，矩形实验田的面积 最大？最大面积是多少?
【答案】(1)
(2)能，
(3)当 时， 有最大值
【详解】（1）解：由题意得 ，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
即 ，
分解因式得： ，
或 ，
或 （舍去），
即当 时，矩形实验田的面积 能达到 ；
（3）解： ，
当 时， 有最大值 ．
例3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙
（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为甲、乙两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药．学校已订
购篱笆120米（恰好用完）．(1)设 ，整个花园的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出S的最大值；
(2)在花园面积最大的条件下，甲，乙两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，
芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？
【答案】(1)S关于x的函数表达式为 ，S的最大值为1200平方米
(2)最多可以购买1400株牡丹
【详解】（1）解：设 ，
则 ，
∴面积为 ，
∵ ，墙足够长，
∴当 时，S有最大值是1200，
即最大面积为1200平方米．
（2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为 平方米，
由题意，得 ，
解得： ，
即牡丹最多种植700平方米，
（株），
答：最多可以购买1400株牡丹．
例4．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，现利用一面长度为 的墙，以及 长的篱笆围一个矩形菜园
，为了方便进出，在 边上开了一个宽度为 的小门．
(1)能否围出一个面积为 的矩形菜园？若能，求出 的长；若不能，说明理由；
(2)当 为多少米时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)能围出一个面积为 的矩形菜园， 的长为 ；(2)当 为 时，矩形面积最大，最大面积为
【详解】（1）解：设所围矩形 的边 长为x米，则边 为 ，根据题意得，
，
整理得 ，
解得： ， ，
∵墙的长度为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的长为 ，
所以，能围出一个面积为 的矩形菜园， 的长为 ；
（2）解：设矩形面积为 ，则 ，
∵ ，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为 ，
∵ ，
∴当 时，S取得最大值，为 ，
所以，当 为 时，矩形面积最大，最大面积为 ．
变式1．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题
学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长32m），其余部分用总长为60m的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方
案：
方案一 方案二
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不
如图1，围成一个面积为 计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植
的矩形花圃． 不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3m的进出口
（此处不用栅栏）．(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设与墙垂直的边长为 ，则与墙平行的边长为 ，
由题意得： ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
答：与墙垂直的边长为 ．
（2）解：设与墙平行的边长为 ，则与墙垂直的边长为 ，设围成的面积为 ．
由题意得： ，
∵ ， ，在对称轴直线 的左边 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值 ．
答：与墙平行的边的长度为32米时，花圃的面积最大．
变式2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·月考）已知一个矩形的周长为 ．将该矩形绕它的一条边旋转一周，得到
一个圆柱体．设矩形的一条边长为 ．
(1)用含 的代数式表示矩形的另一边长；
(2)设旋转后形成的圆柱的侧面积为 ，求 关于 的函数表达式；
(3)求该圆柱侧面积的最大值，并指出此时矩形的长和宽各为多少．
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为 ，此时矩形的长和宽均为 ．
【详解】（1）根据题意可知矩形另一边长为 ．（2）当以边长为 的边所在直线为旋转轴时
，即 ．
当以边长为 的边所在直线为旋转轴时
，即 ．
综上所述， 关于 的函数表达式为 ．
（3）根据题意可知，二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
所以当 时， 可以取得最大值，最大值 ，此时矩形的长和宽均为 ．
变式3．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长 的围栏建
两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽 的门，能够建生态园的
场地垂直于墙的一边长不超过 （围栏宽忽略不计）．
(1)设平行于墙的一边长为 ，生态园的总面积为 ，求出 与 的函数关系式并指出自变量的取值范围．
(2)生态园的总面积为 ，求生态园与墙平行的一边的长；
【答案】(1) ，
(2)生态园与墙平行的一边的长为24米
【详解】（1）解：由题意，与墙垂直的边长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）由（1）可知： ，
当 时，解得 ，∵ ，
∴ ；
答：生态园与墙平行的一边的长为24米．
变式4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）为进一步激发学生的劳动热情和创新创造活力，盐城市鹿鸣路初级中
学李老师在“空翠圃”劳动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动．如图，正方形菜圃 的边长为8米，
现将它阴影部分4个全等的直角三角形种植青菜，剩余的四边形 种植南瓜．设 的长为x米，四边形
的面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当四边形 的面积为40平方米时，求 的值；
(3)四边形 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或2
(3)四边形 的面积存在最小值，最小值为
【详解】（1）解：由题意， 米，
∴ ；
（2）当 时，
解得 ；
故 的值为 或2；
（3）存在，
∵ ，
∴抛物线的开口向上，
∴当 时， 有最小值为 ；
故四边形 的面积存在最小值，最小值为 ．考点十二 二次函数的应用：拱桥问题
例1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）回民区秋实学校为举办校园文化节，计划在操场入口处搭建一个
装饰性拱门．拱门形状为抛物线形，底部宽度为8米，最高点距地面6米．为稳固结构，需要在拱门内侧安装两条
对称的支撑杆，支撑点位于距离拱门中心线2米处．同时，要在拱门顶部下方悬挂一幅文化节徽标，徽标中心距
离地面5米．
已知条件
1．以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点在y轴上．
2．支撑杆与地面垂直，上端固定在拱门内侧，下端固定在地面．
3．徽标中心位于拱门中垂线上．
问题
(1)根据以上条件，求拱门抛物线的函数解析式．
(2)计算支撑杆的长度
(3)学校宣传部要求徽标中心到拱门顶部的距离为1米，徽标为圆形，直径为 米．判断当徽标悬挂后，其最高点
是否会被拱门遮挡？请通过计算说明．
(4)由于场地调整，拱门底部宽度需改为10米，但保持最高点高度不变．此时拱门的最大水平跨度（即拱门底部宽
度）增加了多少百分比？新拱门的函数解析式是什么？
【答案】(1)
(2)支撑杆长度为 米
(3)徽标最高点不会被拱门遮挡
(4) ；
【详解】（1）解：以地面为x轴，拱门中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图由题意，抛物线顶点坐标为 ，且过点 ，
设抛物线解析式为 ，将 代入，得
，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）支撑杆支点距中心线2米，即 ，
当 时，
，
∴支撑杆长度为 米．
（3）徽标中心距地面5米，到拱门顶部距离1米，徽标直径 米，则徽标最高点距地面：
（米）
徽标在中垂线上，拱门在 处的高度为6米， ．
∴徽标最高点不会被拱门遮挡．
（4）跨度增加百分比：
原跨度8米，新跨度10米，增加量为 米，
增加百分比： ．
∵新拱门的顶点仍为 ，
∴设新拱门解析式 ，
∵新跨度10米，端点横坐标为5，即新拱门过点 ，∴ ，
解得 ，
∴新解析式为 ．
例2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是某船停在水上的示意图．此船轮廓线可以看作抛物线的一部分，
船的吃水宽度 米，最大吃水深度为 米（即抛物线的顶点 到水面 的距离为 米）．以点 为原点，
所在直线为 轴，垂直于 的直线为 轴建立平面直角坐标系．
(1)求该船轮廓线 所在抛物线的解析式；
(2)已知船头 高出水面2米（即点 到水面 的距离为2米），求船头 到点 的水平距离．
【答案】(1)
(2) 米．
【详解】（1）解：∵船的吃水宽度 米，最大吃水深度为 米（即抛物线的顶点 到水面 的距离为
米）．
∴抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，把 代入得到
解得
∴该船轮廓线 所在抛物线的解析式为 ；
（2）当 时， ，
解得 （不合题意，舍去）
∴船头 到点 的水平距离为 米．例3．（25-26九年级上·山西大同·期中）项目式学习
材料一 大同公园是大同市最早的公园，承载着一代又一代大同人的美好记忆．下图为某项目小组为大同公园设
计的公园大门上半部分的截面示意图，如图1所示，大门顶部 呈抛物线型，水平横梁 米， 的最高点
到 的距离 米，以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．
材料二 经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入 ， 两条抛物
线型的结构，如图2所示，其中两条抛物线 ， 关于 所在直线对称． ， ， 为框架，点 是 与
的交点，点 是 与 的交点， ， ， ．
材料三 为了大门更加稳固，在图2的基础上再加入一个矩形的框架 ，如图3所示，其中点 ， 在 上，
点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， ．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)已知抛物线 的函数关系式为
①直接写出 的长；
②要做一个与矩形框架 同样大小的牌匾，上书“大同公园”四个大字，为使牌匾美观大气，需要矩形框架
的宽度 尽量做到最宽，请你求出 的最大值．
【答案】(1) 的函数解析式为
(2) 12米；② 的最大值为 米
①
【详解】（1）解：由题可知 ， ， ，
设抛物线 的函数解析式为 ，将 ， 代入得 ，
解得：
的函数解析式为 ；
（2）解：①∵点 是 与 的交点，
∴联立 与 的解析式，得
解得： 或 ，
∴点 是的横坐标为 ，
∵抛物线 ， 关于 所在直线对称，点 是 与 的交点， ， ， ，
∴点 和点 关于y轴对称，
∴点 的横坐标为6，
∴ ，
∴ 的长为12；
②设 ，其中 ，则 ，
，
，当 时， 有最大值，最大值为 ，
答： 的最大值为 米．
例4．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形
为抛物线的一部分，栅栏由立柱和横杆用相同的钢筋切割而成，横杆 间按相同的间距 米用 根立柱加固，
的长为 米．
(1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式；
(2)计算一段栅栏所需钢筋的总长度（精确到 米）；
(3)现为了安全考虑，栅栏需整体抬高，使 的长为 米，立柱间距仍然为 米，试判断一根长为 米的钢筋能
不能做成一段符合要求的新栅栏？请说明理由．
【答案】(1)
(2)栅栏所需钢筋的总长度为 米．
(3)一根长为 米的钢筋能做成一段符合要求的新栅栏，理由见解析
【详解】（1）解：以 点为原点，水平向右为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向，建立直角坐标系，如图所示：
横杆 间按相同的间距 米用 根立柱加固， 的长为 米，
的坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，则
，解得 ，
抛物线的解析式为
答：抛物线的解析式为 ．
（2）解： 在 中，
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
当 时， ，
立柱的实际长度 米，
横杆 的长度 米，
栅栏所需钢筋的总长度 米．
答：栅栏所需钢筋的总长度为 米．
（3）解：一根长为 米的钢筋符合要求．
栅栏抬升后， 点坐标为 ，
设此时的抛物线解析式为 ，
，
解得 ，
此时抛物线解析式为 ，当 ， ； 时， ．
栅栏所需钢筋的总长度 ，
，
一根长为 米的钢筋符合要求．
答：一根长为 米的钢筋能做成一段符合要求的新栅栏．
变式1．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩
形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以O点为原点， 所在直线为x轴
建立直角坐标系．
(1)求出这条抛物线的函数解析式；
(2)一辆大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？
【答案】(1)
(2)能通过，理由见解析
【详解】（1）解：根据矩形的长为12，宽为3，可得 ， ，
根据抛物线的对称性可知P的横坐标为6，
结合隧道最大高度为6，即： ；
由顶点P 设此函数解析式为： ，
将点N 代入 中，得 ，
∴即抛物线解析式为： ，
整理成一般式为： ；
（2）能通过，理由如下：
过隧道时，为了确保通过，货车应该沿着隧道的正中间运动，根据（1）可知，抛物线的对称轴为 ，
∵车的宽度为4米，
∴货车最左侧边缘的点的横坐标为 ，
即当x=4时， ，
∵ ，
∴货车能通过．
变式2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）综合与实践：设计隧道的限高方案．
素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度 为8米，宽度 为16米．
素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘2米
这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于0.5米．
解决问题：
(1)确定隧道形状：以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
(2)探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米？
【答案】(1)
(2)该隧道限高 米
【详解】（1）解：由题意可知， ，
不妨设该二次函数的表达式为 ，代入点 ，
得
解得 ，
∴该二次函数的表达式为 ；
（2）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∵保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于 米．
∴该隧道限高 （米）．
答：该隧道限高 米．
变式3．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）中国的基建速度震惊世界，大大激发了青少年对桥梁和道路建设的兴
趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其解析式为 ，并利用计算
机软件模拟水面情况．已知桥拱与抛物线 的形状相同．
(1) 的值为 ．
(2)当水面的宽度 为 时，求桥拱顶点到水面的高度 ．
(3)若水面下降 ，水面宽度增加多少？
【答案】(1)
(2)当水面的宽度 为 时，桥拱顶点到水面的高度 为
(3)若水面下降 ，水面宽度增加 米
【详解】（1）解：∵桥拱可以用抛物线的一部分表示，其解析式为 ，且桥拱与抛物线 的
形状相同，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解： 水面的宽度 为 ，
点 的横坐标为5，
把 代入 中，得： ，当水面的宽度 为 时，桥拱顶点到水面的高度 为 ；
（3）解：由（2）得，当水面 下降 时，拱桥顶点到水面的高度为 ，
把 代入 中，得： ，
解得： ，
此时水面的宽度为： （米），
若水面下降 ，水面宽度增加 米．
变式4．（25-26九年级上·广东深圳·月考）项目式学习：人工智能视觉识别项目背景：视觉识别技术是人工智能
领域的一个重要分支，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目
标检测、图像分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图像中目标物体位置和大小的矩形框．
概念学习：在平面直角坐标系 中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于 轴、 轴，图形的
所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为 ，我们称常数 为图形的纵
横比．举例：如图1，矩形 为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比 ．
【概念理解】
（1）如图2，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ___________；
【联系实际】
（2）如图3-1和图3-2，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于 轴对称， 到 的距离为 米，
其目标矩形的纵横比 ，求抛物线的表达式；
【应用拓展】（3）为方便救助溺水者，拟在图3-1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈（从桥头至桥尾的桥拱上，皆可悬挂），如图
3-3，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方 ，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为 ．为美观，
放置后救生圈关于 轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图3-2坐标系下求出最左侧一个救生圈
悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）．
【答案】（1） （2） （3） ，最左侧点
【详解】解：（1）∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径，
∴目标矩形的纵横比 ；
故答案为： ；
（2）最高点 到 的距离为 米，且抛物线关于 轴对称，
∴抛物线顶点 ，
∵抛物线目标矩形的纵横比为 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线关于 轴对称，
∴ ， ，
设抛物线的表达式为 ，把 ， 代入得
，
解得 ，
∴ ；
（3）如图，
相邻两个救生圈悬挂点的水平距离为 ，且关于 轴对称，∴ ，
∴左侧挂 个，右侧挂 个，中间挂 个，共 个，
∵最左侧位于拱桥上方 处，
∴最左侧一个救生圈悬挂点的坐标 ．考点十三 二次函数的应用：投球问题
例1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设
备，如图1，图2是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以 所在的直线为x轴，过点
A作 的垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图3，篮球的飞行路线可以用二次函数 刻画，篮球飞
行的水平距离x（米）与篮球距离水平面 的竖直高度y（米）的变化规律如下表：
水平距离x
0 1 2
（米）
竖直高度y
1 2 2
（米）
(1)根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式．
(2)在研究中发现，投篮机支架的连接点D恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架 的长度为3
米，支架 与水平面的夹角为 ，请计算投篮机支架 的长度．
【答案】(1)
(2)1米
【详解】（1）解：∵篮球的飞行路线可以用二次函数
∴ ，解得： ，
∴篮球飞行路线的表达式为： ．
（2）解：如图：作 于点G，则 ，四边形 是矩形，，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形
，
设点 的坐标为 ，
，解得： ， （不合题意，舍去），
，
由题意得： ，
，
．
答：投篮机支架 的长度为1米．
例2．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，小明在一次高尔夫球赛中，从山坡下 点打出一球向球洞A点飞
去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球打到最大竖直高度12米时，球移动的水平距离为9米．
已知山坡 与水平方向 的夹角为 ， 、A两点相距 米．在如图所建立的平面直角坐标系下．
(1)直接写出点A的坐标；
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
(3)直接判断小明这一杆能够把高尔夫球从 点直接打入球洞A点．
【答案】(1)
(2)
(3)小明这一杆不能够把高尔夫球从 点直接打入球洞A点【详解】（1）解：在 中， ， 米，
则 米，由勾股定理得： （米），
所以点A的坐标为 ，
故答案为： ；
（2）解：由题意知，抛物线顶点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
由题意知，抛物线过原点，则有 ，
∴ ，
球的飞行路线所在抛物线的解析式为 ；
（3）解：当 时， ，
所以小明这一杆不能够把高尔夫球从 点直接打入球洞A点，
故答案为：不能．
例3．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）用数学的眼光看篮球比赛．
问题情境
如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心
（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面 ，当篮球运行
的水平距离为 时达到离地面的最大高度 ．已知篮球在空
中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面 ．
素材一
在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖
素材二 帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦
截，属于犯规．
问题解决
任务一 建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请
任务二
通过计算说明小丽判断的正确性；
在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大
任务三 摸球高度为 ，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截
才能盖帽成功？
【答案】任务一： ；任务二：见解析；任务三：张亮应在李明前面1米范围内跳起拦截才能盖帽
成功
【详解】解：（1）抛物线顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 .
把 代入，得 ，
；
（2）把 代入抛物线解析式 ，
得 ，
，
此球不能命中篮圈中心，小丽的判断是正确的；
（3）当 时， ，
解得 或 （舍去）.
．
答：张亮应在李明前面1米范围内跳起拦截才能盖帽成功．
例4．（25-26九年级上·山西临汾·月考）2025年某市中考体育选考已出结果，其中前掷实心球是项目一中4选1
中的一项．图1是一名女生在投掷实心球，实心球行进的路线是一条抛物线，行进的高度 与水平距离
之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处的高度为 ，当水平距离为 时，实心球行进至最高点 处．(1)求 关于 的函数表达式；
(2)根据某市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于
等于 ，此项考试得分为满分 分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】(1)
(2)该女生得满分
【详解】（1）解：抛物线的顶点为 ，设其顶点式为 ．
已知起点 ，
代入得： ，
，
，
∴函数表达式为 ，
故函数表达式为 ；
（2）令 ，即： ，
，
解得 ， （舍去）．
因 ，
故该女生此项考试可得满分．
变式1．（25-26九年级上·广东潮州·期中）发石车图1是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，
攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形 ，已知墙宽
为2米， 为23米， 为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线 若发射石块在空中飞行的最大高度为9米．
(1)求抛物线的解析式（不要求写x的取值范围）；
(2)石块能否飞越防御墙？
【答案】(1)
(2)石块不能飞越防御墙
【详解】（1）解： 抛物线的解析式为 ，且石块在空中飞行的最大高度为9米，
，
抛物线过原点，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： 墙高为6米，
令 ，则 ，
解得 （舍去）或 ，
墙宽 为2米， 为23米，即 ，
石块不能飞越防御墙．
变式2．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）投掷实心球是2025年我市中考体育选考考试项目，一名男生在投掷实
心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度 （米）与水平距离 （米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时
起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为 米．(1)求 关于 的函数表达式；
(2)根据2025我市中考体育考试评分标准（男生），实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 米时，此项考
试得分为满分10分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由．
【答案】(1) 关于 的函数表达式为：
(2)该生在此项考试中未得满分，理由见解析
【详解】（1）解：依题意设 关于 的函数表达式为： ，
将 代入得： ，
解得 ，
关于 的函数表达式为 ；
（2）解：该生在此项考试中未得满分，理由如下：
令 ，则 ，
解得 舍去 ，
∵ ，
该生在此项考试中未得满分．
变式3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）我国正在举行第十五届全运会比赛，由广东、香港、澳门联合承办，
在11月15日周六晚，江苏女子足球队获得冠军．球射向球门的路线呈抛物线形．运动员从球门正前方8m的A处
射门，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点B，此时球离地面3m，球门 高为2.44m．
(1)以 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式．
(2)通过计算判断运动员此次射门能否射入球门内．(3)点 为 上一点，且 ，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当运动员带球向正后方
移动 米再射门，足球恰好经过 区域（含点O和 ），直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)球不能射进球门，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：如图所示，
，
抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线 ，把点 代入得： ，解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：依题意，当 时， ，
球不能射进球门．
（3）解：设运动员带球向正后方移动 米，则移动后的抛物线为 ，
把点 代入得： ，
解得 （舍去）或 ，
把点 代入得： ，
解得： （舍去）或 ，
即 ．
变式4．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，小飞训练推铅球，铅球的行进高度 (单位：米)与水平距离 (单
位：米)之间的函数关系式是 ．(1)小飞第一次推铅球时，铅球行进到水平距离为 米时，铅球行进的高度最大为 米，求铅球推出的水平距离．
(2)小飞第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且 ，求推出的铅球行进的最大高度．
(3)小飞第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足 米，请直接写出
的取值范围．
【答案】(1)铅球推出的水平距离为10米
(2)推出铅球行进的最大高度为2.45米
(3)
【详解】（1）解： 铅球运行到水平距离为 时，铅球行进的最大高度为
抛物线顶点为 ，
，
铅球行进高度 单位： 与水平距离 单位： 之间的关系是 ，
，
，
，
令 ，则 ，
舍去 或 ，
铅球推出的水平距离为 米；
（2）推出的水平距离刚好与第一次相同，且 ，
是 的解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴当 时， 最大值为 ，
推出铅球行进的最大高度为 米；
（3） 小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，
，
推出的水平距离超过第一次，但不足 米，
的一个根在 到 之间，
当 时， ，即 ，解得： ，
时， ，即 ，解得： ，
，
的范围是 ．考点十四 二次函数的应用：喷水问题
例1．（25-26九年级上·湖北恩施·期中）某公园修建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有
喷水头的水管如图①，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处
离池中心的水平距离也为 ，
(1)如图②所示建立的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度 （单位：m）与到池中心的水平距离 （单位：
m）满足的关系式近似为___________．水管的原设计高度应为___________m．
(2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加 ；
②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足 ．若要使两种调试的水珠落地点相同
（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）解：由图①和图②得出抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线形水柱的竖直高度 （单位：m）与到池中心的水平距离 （单位：m）满足的关系式为
，
观察图②得出抛物线与 轴的交点坐标为 ，
则
∴ ，
∴ ；
依题意，令 ，则 ，即水管的原设计高度应为 ；
（2）解：由（1）得 ，
①不改变喷水头的角度，将水管长度增加 ；
则 ，
令 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去），
∵②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足 ．且要使两种调试的水珠落地点相同
（即水柱落地时与池中心的距离相等），
∴把 代入 ，
得
∴
解得 ．
例2．（25-26九年级上·云南丽江·月考）近日香港大埔宏福苑发生五级重大火警，该屋苑楼宇因维修脚手架助燃
导致火势快速蔓延，香港消防处出动云梯车等专业设备全力扑救．作为初中生，消防安全是我们必须掌握的校园
与居家安全必修课．为总结此次救援经验，消防处针对高层灭火开展专项演练．我们可通过数学视角分析消防水
枪的射水轨迹：
如图1，模拟该苑受火影响的楼宇，距地面 的点A和 的点B处设置模拟火情点，消防员在火情正前方水平
地面操作高压水枪，水流轨迹可看作抛物线的一部分．第一次灭火时，消防员站在地面点C处，水流从C点射出
恰好到达A处，且水流最大高度为 ，最高点到楼宇的水平距离为 ．建立如图1所示平面直角坐标系，水流
高度y（m）与出水点到楼宇的水平距离x（m）满足二次函数关系．(1)直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
(2)如图1，A处火情扑灭后，消防员向前移动 到点D（水流从D点射出）扑救B处火情，若两次水流抛物线形
状完全相同，判断水流能否到达B处，并说明理由；
(3)如图2，若消防员从点C向前移动 到点T（水流从T点射出），水流未达最高点且恰好到达火情点A处，求t
的值（水流所在抛物线形状与第一次完全相同），并说明理由．
【答案】(1)
(2)水流不能到达B处，理由见解析
(3)t的值为12，理由见解析
【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为 ，
∴假设抛物线的解析式为 ，
将 代入解析式得，
，
解得 ，
∴水流所在抛物线的解析式为 ；
（2）解：水流不能到达B处，理由如下：
根据题意得，函数图象向左平移 ，抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∵ ，
∴水流不能到达B处；
（3）解：t的值为12，理由如下：根据题意得，函数图象向左平移 ，抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
t的值为12．
∴例3．（25-26九年级上·广东广州·月考）某广场的音乐喷泉是随着音乐节拍的变化而变化的抛物线形水线．如图
所示，随着音乐节拍的变化，出水口会喷出一组不同的抛物线形水线．抛物线形水线的形状在变化过程中，每条
抛物线形水线总是在与出水口的水平距离为 米处达到最高，高度（相对于出水口的竖直高度）为 米．已知喷
泉的出水口与水线的落地处、岸边的观赏点 既在同一直线上，也在同一高度，并且出水口与观赏点 的水平距
离为 米，请先建立平面直角坐标系，再解决以下问题．
(1)若 ，喷出的抛物线形水线最大高度为 米时，求此时喷出的抛物线形水线对应的函数解析式；
(2)当 时，若喷出的抛物线形水线不能触及岸边的观赏点 ，请通过计算判断：抛物线形水线在与观赏点
的水平距离为 米处达到的高度（相对于出水口的竖直高度）能否超过 米？
【答案】(1)
(2)不能
【详解】（1）解：如下图所示，以出水口为坐标原点，建立平面直角坐标系，
由题意可知 ， ，
解得： ，
抛物线的顶点坐标是 ，
抛物线与 轴的交点坐标是 和 ，
设抛物线的解析式是 ，
把顶点坐标 代入 ，可得： ，
解得： ，
抛物线对应的函数解析式是 ，
整理可得： ；
（2）解：设当 时，喷出的水线正好达到观赏点 ，
则抛物线与 轴的交点坐标是 和 ，
在与出水口距离 米时，达到了最大高度，最大高度为 米，
抛物线的顶点坐标是 ，
设抛物线的解析式是 ，
把点 代入 ，
可得： ，
解得： ，
抛物线的解析式是 ，
与观赏点 的水平距离为 米处的位置，与出水口位置的水平距离是 米，
当 时， ，
抛物线形水线在与观赏点 的水平距离为 米处达到的高度不能超过 米．
例4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 处的
喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图的直角坐标系中为水流喷出的高度 与水平距离 之间的函数图象，点 为两个水柱的落水点，点 为两个水柱的最高点．点 的坐标为
．喷头的高度为 ．
(1)求右面抛物线的函数关系式；
(2)若需要在 上的点 处竖立雕塑 ， ． ，问：顶部 是否会碰到水柱？请
通过计算说明．
【答案】(1)
(2)顶部 不会碰到水柱
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ．
∴设右边的抛物线为： ，
∵喷头的高度为 ．
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴右面抛物线的函数关系式为： ．
（2）解：∵ ，
当 时，
，
∵ ，
∴ ，
∴顶部 不会碰到水柱．变式1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建
筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离
均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求原水流所在抛物线的解析式；
(2)若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米
处的B着火点？请说明理由；
(3)将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)不能到达，见详解
(3)
【详解】（1）解：根据题意，得点 ,抛物线对称轴： ，
令抛物线的顶点式为： ，
将点 代入，得 ，
解得， ，
求原水流所在抛物线的解析式为： ；
（2）不能到达，理由如下：
将抛物线 向左平移2米，得到的抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，且 ，
此时的水流不能到达点A正上方4米处的B着火点；
（3）抛物线向左平移m个单位后，解析式为： ，
水流在墙面( )上到达点高度不低于 ，即当 时， ，
，
解得 ，
m的取值范围 ．
变式2．（25-26九年级上·山西太原·月考）问题情境
新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，
勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究．
研究步骤
如图2是该超级充电站的截面图， 是安装充电桩的墙面， 是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物
线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴， 所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
已知 ，点B为 所在抛物线的最高点，其坐标为 ．
（1）求 所在抛物线的函数表达式．
问题解决
如图2，点C是 上干粉灭火器的安装点， 是长度为 的干粉灭火器装置．点D为干粉喷射点．已知干
粉喷射点D距离地面 时，对地面的保护半径为 ．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴
组成的封闭区域．安装点C可根据需要在 所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同．
（2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为 时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点 ？请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为 ；（2）灭火器喷射时能覆盖着火点【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
又抛物线过点 ，
∴ ，
解得 ，
所以，抛物线的解析式为 ；
（2）已知 ，点D离地面的高度为 ，则点C的纵坐标为 3.41，
∴ ，
∴
∴ 或
∵点C在顶点左侧，
∴ ，
∴ ，
∴此时点D的坐标为 ，
设此时抛物线解析式为 ，
又对地面的保护半径为 ．
∴抛物线与 轴交于点 ， ，
把 代入解析式，得 ，
解得 ，
所以，所有干粉喷射抛物线解析式为 ，
当干粉喷射点D距地面的高度恰好为 时，设顶点D的坐标为 ，则喷射抛物线解析式为 ，
把点 代入表达式得：
解得 （负值舍去），说明点 在干粉抛物线上，因此灭火器喷射时能覆盖着火点 ．
变式3．（25-26九年级上·广西南宁·月考）项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点 为无人机的摄像头， 是喷药口， ， ，在同一条水平直
线上， ．如图2，以无人机摄像头所在位置 为坐标原点，竖直方向为 轴，以 所在直线为 轴，
建立平面直角坐标系．喷药口点 和点 到点 的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都
是形状相同的抛物线，抛物线与 轴的交点为 ， ．
（1）依题意，得点 的坐标为：______；求出点 所在抛物线的函数表达式．
问题解决；
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位
置，使相邻田地之间的田埂（宽度为 的区域，且 时，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无
人机应该下降的高度；
（3）如图4，在直线 上再增加2个喷药口 和 ， 在 左侧， 在 右侧， ，当无人机上
升到距地面的高度为480cm时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度 的长．
【答案】（1） ， ；（2）225cm；（3）
【详解】解：（1） ，点 与点 到点 的距离相等，
，
点 的坐标为 ．
故答案为： ；
，
点 的坐标为 ．设点 所在抛物线的函数表达式为 ，
将点 代入得 ．
解得 ．
点 所在抛物线的函数表达式为 ．
（2） 以无人机摄像头所在位置 为坐标原点，竖直方向为 轴，水平方向为 轴，建立平面直角坐标系，
喷药口 喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点 和点 关于 轴对称，
可以设点 的坐标为 ．
将点 代入 ，
得 ．
点 的坐标为 ．
此时无人机摄像头距离地面的高度为 ．
．
答∶ 无人机应该下降的高度为 ．
（3） ∵ ， 点坐标为 ，
∴ 点坐标为 ．
∵ 所在抛物线形状与 所在抛物线相同，二次项系数相同，
设 所在抛物线表达式为
∵无人机高度为 ，
∵抛物线是从 点（相对高度 ），
∴代入 到 中，得
．
解得 ， ．，
关于y轴对称，
，
长
变式4．（25-26九年级上·河北张家口·月考）如图斜坡 上种有若干树木，底部有一喷水管 ，某时刻从B 处
喷出的水流恰好落在 A 处，水流呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系， 得到点 ， 点 ．已
知喷水管 及所有树木都与 垂直，抛物线的解析式为 ．
(1)求该抛物线解析式，并写出y的最大值；
(2)若 ， 为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），
抛物线恰好经过 E，N两点，当 时，求两棵树间的水平距离．
【答案】(1) ，最大值为
(2) 米
【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ，，
当 时， 的最大值为 ；
（2） 点 ,点 在 轴上，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得： ，
故直线 的解析式为 ，
轴，
设点 ，
,
，
解得 ，
为两棵等高小树（ 在左侧，小树粗细忽略不计，点M，D均在斜坡上且与点 C 不重合），抛物线
恰好经过 E，N两点，
，
，
两棵树间的水平距离为 米．考点十五 二次函数的应用：动态几何问题
例1．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点， 是等腰直角三角形，
， ，顶点 ，点B在第一象限，正方形 的顶点 ，点C在y轴的正半轴上，
点D在第二象限．将正方形 沿x轴向右平移，得到正方形 ，点O、C、D、E的对应点分别为 、
、 、 ．设 ，正方形 与 重叠部分的面积为S．
(1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______；
(2)当点 与点A重合时，求t的值；
(3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【详解】（1）解：过点 作 轴于 ，如图，
点 ，
，
， ，
，点 的坐标为 ．
点 ，
，
四边形 为正方形，
， ， ，
点 坐标为 ；
故答案为： ； ；
（2）解：当点 与点A重合时， ；
（3）解：当 时，正方形 与 重叠部分为等腰直角三角形，如图，
由题意： ，
，
当 时，正方形 与 重叠部分为五边形，如图，
是等腰直角三角形， ， ，
，
四边形 为正方形，
，
正方形 的边长为2， ，
， ，
， ，
， ，．
当 时，正方形 与 重叠部分为等腰直角三角形，如图，
由题意得： ，
，
，
综上， ．
例2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开
始沿 向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，当一个点到达终
点时另一点也随之停止运动，设运动时间为 秒．
(1)求几秒后， 的面积等于 ．
(2) 、 在运动过程中，是否存在时间，使得 的面积最大，若存在，求出此时的值和最大面积；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)1秒
(2)存在，当 时， 面积最大为【详解】（1）解：设经过 秒以后 面积为6，
， ， ．点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始
沿 边向点 以 的速度移动，
， ，
．
或 ；
当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，
． ．
．
答：1秒后 的面积等于 ；
（2）解：存在时间 ，使得 的面积最大，
理由如下：
由题意得： ，
当 时， 面积最大为 ．
例3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在 中， ．点 为 的中点，
动点 从点 出发，沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，过点 作 交 或 于点 ．
当点 不与点 重合时，以 为邻边作矩形 ，设点 的运动时间为 秒（ ），矩形 的面积
为 ．
(1)直接用含 的代数式表示线段 的长；
(2)求S与 之间的函数关系式；
(3)当 时，直接写出 的值．【答案】(1)
(2)
(3) 或
【详解】（1）解：∵点 为 的中点， ，
∴ ，
由题意得： ，
∴当 时，则 ，
当 时，则 ；
综上所述： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
当 时，同理可得 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
综上所述：S与 之间的函数关系式为 ；
（3）解：由（2）可得：
当 时，则 ，解得： ；当 时，则 ，解得： ．
例4．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发
沿 以 的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿 以 的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，
两点停止运动．设运动时间为 秒，阴影部分的面积为 ．
(1) 的长为______cm（用含t的代数式表示）；
(2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围；
(3)当t为何值时，阴影部分的面积最小？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：当运动t秒时， ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：∵点P从点A运动到点B，需要时间为 ，
点Q从点B运到到点C，需要时间为 ，
又点Q运动到点C时，两点停止运动，
∴ ．
∵ ， ， ， ， ，
∴ ，，
∴ ，
S与t的函数解析式为 ．
∴
（3）解：∵ ，
∵ ，
∴当 时，阴影部分的面积S最小，为 ．
变式1．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）如图，在 中， ， ， ，动点 从 开始
沿边 向 以 单位/秒的速度移动，动点 从 开始沿边 向 以 单位/秒的速度移动，如果 分别从
同时出发，设 的面积为 ，出发时间为 ．
(1)写出 和 的函数关系式：
(2)当 为何值时， 面积为 ？
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）解：由题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ；（2）解：当 时，即 ，
解得 ，
∴当 为3时， 面积为36．
变式2．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图， 中， ，点P从点A开始沿 边向B以 的
速度移动，点Q从点B开始沿 边向点C以 的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的
时间为t秒， 的面积为S．
(1)求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
(2)求当 时，t的值．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）解：由题意得 ， ，
；
（2）解：当 时，
，
解得 ．
所以经过2秒或4秒时 的面积为 ．
变式3．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）如图，在 中， ， ， ，点 沿 方向以 的速度从点 向点 运动，同时点 沿 方向以 的速度从点 向点 运动，当点 运动到点
时，点 也停止运动．
(1)设运动时间为 时，则 ___________ ， ___________ ．
(2)当 为何值时， 的面积为 ．
(3)求四边形 面积的最小值．
【答案】(1) ，
(2)当 或 时， 的面积为
(3)当 时，四边形 面积的最小值，最小面积为
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
∴ ，
点 沿 方向以 的速度从点 向点 运动，同时点 沿 方向以 的速度从点 向点 运动，
设运动时间为 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：根据题意，点 从 的时间为 ，点 从 的时间为 ，
由面积公式得， ，
整理得， ，
解得， ，∴当 或 时， 的面积为 ；
（3）解： ， ，
∴
，
∵ ，
∴当 时，四边形 面积的最小值，最小面积为 ．
变式4．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，在矩形 中， 为边 的中点．动点P从
点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿 运动；同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿
运动，连接 、 、 ，当点P、Q相遇时停止运动．设 的面积为S，点P的运动时间为 ．
(1)用含t的代数式表示线段 的长；
(2)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)当 的面积是 时，直接写出t的值．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或【详解】（1）解：分以下两种情况：
当点P在 上时，根据题意得 ，
∴ ；
当点P在 上时，根据题意得 ，
∴ ．
综上， 或 ；
（2）解：∵在矩形 中， ，
∴ ， ， ，
∵ 为边 的中点，
∴ ，
当点P、Q相遇时， ，
解得 ，
分以下两种情况：
当点P在 上时， ，
根据题意得 ， ， ，
；
当点P在 上时， ， ， ，
．
综上所述，S与t的函数关系式为 ；（3）解：当点P在 上时，令 ，
解得 或 ；
当点P在 上时，令 ，
解得 （不符合舍去），
综上，t的值为 或 ．考点十六 二次函数的应用：材料阅读类问题
例1．（25-26九年级上·山西朔州·月考）项目化学习
项目背景：为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．综合实践
小组的同学围绕“实验田的测量及计算”开展项目学习活动，形成如下活动报告：
项目主题 实验田的测量及计算
活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等
【了解场地】如图，测出墙 与墙
的夹角是 ；
【设计图
活动过程
纸】用篱笆将实验田围成一个梯形，梯形
满足 ，且 边上留
一个1米宽的门 ；
【准备材料】现有篱笆 的长度
是15米．
当 的长度是多少时，才能使所围梯形
解决问题
的面积最大？最大面积是多少平方米？
请你帮助实践小组的同学解决以上问题．
【答案】当 的长度是 米时，才能使所围梯形的面积最大，最大面积是 平方米
【详解】解：如下图，过点 作 于点 ，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 为等腰直角三角形，
设 米，则 米，
∴ 米， 米，
∴所围梯形的面积 ，
∵ ，
∴当 米时， 取最大值，最大值为 平方米，
即当 的长度是 米时，才能使所围梯形的面积最大，最大面积是 平方米．
例2．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）用数学的眼光看篮球比赛．
问题情境
如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心
（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面 ，当篮球运行
的水平距离为 时达到离地面的最大高度 ．已知篮球在空
中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面 ．
素材一
在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖
素材二 帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦
截，属于犯规．
问题解决
建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线
任务一
的函数解析式；
场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请
任务二
通过计算说明小丽判断的正确性；
在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大
任务三 摸球高度为 ，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截
才能盖帽成功？
【答案】任务一： ；任务二：见解析；任务三：张亮应在李明前面1米范围内跳起拦截才能盖帽成功
【详解】解：（1）抛物线顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 .
把 代入，得 ，
；
（2）把 代入抛物线解析式 ，
得 ，
，
此球不能命中篮圈中心，小丽的判断是正确的；
（3）当 时， ，
解得 或 （舍去）.
．
答：张亮应在李明前面1米范围内跳起拦截才能盖帽成功．
例3．（25-26九年级上·山西临汾·月考）根据以下素材，探索完成任务．
动物园小狗跨栏安全评估
在动物园的宠物表演环节，小狗要跨越连续的障碍栏架。已知小狗跳跃时，高
素材 度y（单位：米）与距起跳点的水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关
一 系．小狗从起跳点起跳，当水平距离为 米时，高度达到 米；当水平距离
为 米时，高度再次回到 米．
素材 保障安全条件：动物园的障碍栏架高度为 米，小狗跨越栏架时竖直方向上与
二 栏架最高点至少保留 米的安全距离
问题解决
请以起跳点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立
平面直角坐标系，根据上述信息求出小狗跳跃高度y关于x
的函数关系式；
任务 确定小狗跳跃形
一 状
任务 判断是否成功跨 若某障碍栏架底部中心位于小狗起跳点水平右侧2米．请计算小狗能否在保障安全条件下成功跨越此栏架，并说明理
由；
二 越
若工作人员想让节目更精彩，决定放置一个高为 的
判断平台的高度
障碍栏架，底部中心位于小狗起跳点水平右侧 米．发现
任务
小狗不能安全通过该障碍栏架，若工作人员在小狗起跳处
三
放置一个平台，小狗从平台上起跳，则刚好可以跳过，请
直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计）
【答案】任务一： ；任务二：小狗能在保障安全条件下成功跨越此栏架，理由见解析；任务
三：该平台的高度为 米
【详解】解：任务一：以起跳点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系，
则 ， 为抛物线上两点，
抛物线的对称轴为直线 ，
可设抛物线的解析式为 ，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
小狗跳跃高度y关于x的函数关系式为 ；任务二：小狗能在保障安全条件下成功跨越此栏架；
理由如下：
令 ，则 ，
小狗能在保障安全条件下成功跨越此栏架；
任务三：
由素材一可知，当水平距离为 米时，高度为 米，
在放置障碍栏架后，小狗起跳处放置一个平台，小狗从平台上起跳，刚好可以跳过，
则小狗跳起的高度为 ，
（米），
该平台的高度为 米．
例4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）综合与实践
问题情境：“道路千万条，安全第一条”，如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称
为刹车距离，某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察．
数据采集：汽车研发中心刚好设计了一款新型小汽车，通过模拟该款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的
刹车性能进行了测试，于是数学小组收集、整理数据，并绘制如图2的函数图象．
发现：开始刹车后行驶的距离 （单位： ）与刹车后行驶的时间 （单位： ）之间成二次函数关系．
问题解决：
(1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)汽车司机踩下刹车后，多长时间汽车完全停下？
(3)若有一测速仪在汽车前 处，当汽车刹车过程中，经过多长时间汽车超过测速仪且与测速仪相距 ．【答案】(1)二次函数的解析式为
(2) 时汽车完全停下
(3)经过 汽车超过测速仪且与测速仪相距
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 代入 ， ， 得，
，解得 ，
二次函数的解析式为 ．
（2）解： ，
故汽车在 时刹车距离达到最大值，完全停下．
答：汽车司机踩下刹车后， 时汽车完全停下．
（3）解：当汽车超过测速仪，且与测速仪相距 时，
即汽车开始刹车后行驶的距离 m，
当 时， ，
解得 ， （不符合题意，舍去）．
答：当汽车刹车过程中，经过 汽车超过测速仪且与测速仪相距 ．
变式1．（25-26九年级上·福建南平·期中）阅读材料，解决问题
主题 矩形分割的面积问题探究
已知矩形 中， ，
素材
．
（1）如图，点 在边 上，点 在边
上，且 ．
①若 ， ， ，求 的长；
分析探究1
②如图，若小华要在①中五边形 中
拓展延伸1 裁剪出一个面积最大的矩形，请你建立适当
的平面直角坐标系，设计裁剪方案，并求出
最大矩形的面积；如图，小华将矩形 作如下分割：作两
个全等的小矩形，分别是矩形 、矩形
和两个全等的正方形 、正方
形 ，其中矩形的周长和正方形的周
长相等，设阴影部分的面积为 ．
证明： ．
拓展延伸2
(1)解决问题①；
(2)解决问题②；
(3)写出 的证明过程．
【答案】(1)
(2)方案见解析；
(3)见解析
【详解】（1）解：如图，连接 ，
依题意， ， ，
在 中，
（2）解：情形一：如图，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，依题意， ， ， ， ，
设 ，则 ，
在 中，
即
解得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，代入 得，
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，当五边形内的矩形一边在 上时，设 ， ，矩形的面积为 ，
∴ ，
∵对称轴为直线 ，
∴当 时， 取得最大值为 ；
情形二：如图，当矩形的一边在 上时，过点 作 于点 ，过点 作 轴，分别交 于点
，∵ ，
∴
∴
∴ 即 ，
解得：
∴
∴
同理可得直线 的解析式为:
设 （ ）
同理可得
∴
∴
解得：
∴ 即
∵ ，设直线 的直线解析式为 ，
当直线 经过点 时，
∴直线 的直线解析式为
当 时， ，
当 经过 点时，
解得：
∴ ；∵ ， ，
设 ，
∴
解得： ，
∴ ，
如图，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，
∴ ， ，
∴
∴对称轴为直线 ，抛物线开口向下
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，
情形三，矩形的四个点分别在五边形的任意四边上，此时面积显然小于前两种，故不予计算讨论；综上所述，最大矩形的面积最大为 ；
（3）如图，延长 ，交 分别于点 ，则四边形 是矩形，
∵矩形 、矩形 和两个全等的正方形 、正方形 ，矩形的周长和正方形的周长相等，矩形
中， ，
设正方形 的边长为 ，则 ， ,
∵矩形 的周长和正方形 的周长相等
∴ ，
又
∴
∴
∵
∴
∵
∴ ，同理 ，
∴∴ ．
变式2．（25-26九年级上·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务．
综合与实践
驱动任务：跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动，
不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力，单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，
精彩纷呈，学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方
式进行了相关设计．
研究步骤：
数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如
图2所示）．
实践操作：
第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为 ，并且两人相距
；
第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高 米的小华同学从乙持绳手的左侧距离乙 处
进入游戏，恰好通过；
第三步：现以两人的站立点所在的直线为 轴，过甲拿绳子的手作 轴的垂线为 轴，建立如图2所示的平面直
角坐标系．
问题解决
任务1：（1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标．
任务2：（2）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安
全，要求人与人之间距离至少 ，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；
若不能，请说明理由．
同学编
1 2 3 4 5 6 7 8 9
号
身高/【答案】 ；顶点坐标为 ；（2）：能；距离两侧持绳手 处分别为1、4号；距离两侧持
绳手 处分别为2、5号；距离两侧持绳手 处分别为7、8号；距离两侧持绳手 处分别为3、6号；最中间
的是9号（方案不唯一）
【详解】（1）解：绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为 ，
根据题意，抛物线 经过点 ，且过点 即 ，把三个点代入表达式得：
，
解得 ，
绳子所对应的抛物线解析式为： ，
∵ ，
∴抛物线顶点坐标为 ．
（2）解：有9位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳，人与人之间距离至少 ，则首尾两位同学的距离是
，
最理想状态是最中间的同学站在对称轴的位置，此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是 ，
当 时， ，
将 代入得， ，
将 代入得， ，
将 代入得， ，将 代入得， ，
此时绳子能顺利地甩过所有队员的头顶；
队列安排方案可以为：距离两侧持绳手 处分别为1、4号；距离两侧持绳手 处分别为2、5号；距离两侧持
绳手 处分别为7、8号；距离两侧持绳手 处分别为3、6号；最中间的是9号（方案不唯一）．
变式3．（24-25九年级上·四川成都·期中）根据以下素材，探索完成任务．
背景素材
随着数字技术、新能源，新材料等不断突破，我国制造业发展
迎来重大机遇，天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电
素材1
动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零
件7月份生产500个，9月份生产720个．
该工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发
现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800个，若在此
素材2 基础上售价每下降2元，则月销售量将增加20个．为刺激经
济的快速增长，政府给予实验室支持，当销量不低于900个
时，每个将有5元的科技创新补贴．
问题解决
任务1 该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率；
为使工作实验室月销售利润达到13500元，而且尽可能让车企
任务2 得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价应定为多少
元？
【答案】
任务1：平均增长率为 ；任务2：该零件的实际售价应定为40元
【详解】解：任务1：设平均增长率为 ，由题意，得： ，
解得： （舍去）；
答：平均增长率为： ；
任务2：设该零件的实际售价应定为 元，由题意，得：
，
解得： （舍去）；
当 时，销售数量为 ，符合题意；
答：该零件的实际售价应定为40元．变式4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）综合与实践
如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
条件 ：观众进场立即排队安检，任意时刻都满足：排队人数 现场总人数 已入场人数；
条件 ：若该演出场地最多可开放 条安检通道，平均每条通道每分钟可安检 人．
若该演出前 分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数 与安检时间 之间满足关系式：
．
结合上述信息，请完成下述问题：
(1)当开通 条安检通道时，安检时间 分钟时，已入场人数为___________，排队人数 与安检时间 的函数关系
式为___________
(2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
(3)已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始 分钟内（包含 分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【答案】(1) ， ；
(2)排队人数在第 分钟达到最大值，最大人数是 人
(3)开通 条通道
【详解】（1）解： 平均每条通道每分钟可安检 人，
开通 条安检通道时，安检时间 分钟时，已入场人数为 人；
排队人数 现场总人数 已入场人数，
；
故答案为： ， ；
（2）解：把 整理成顶点坐标式，
可得： ，当 时， 达到最大值，最大值是 ，
答：排队人数在第 分钟达到最大值，最大人数是 人；
（3）解：设开通了 条安检通道，
根据题意可得： ，
整理得： ，
对称轴为 ，
排队人数在安检开始 分钟内（包含 分钟）减少，
，
解得： ，
最多可以开通 条通道，
，
尽量少安排安检通道，以节省开支，
其中 为整数且 ，
取 ，
最少开设 条安检通道．考点十七 二次函数综合提升：线段长度与周长问题
例1．（25-26九年级上·贵州安顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为 ，交 轴
于点 和点 ， 是抛物线上一点．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)求顶点 和点 的坐标；
(3)若 是 轴上方抛物线上的点（不与点 ， ， 重合），设点 的横坐标为 ，过点 作 轴，交直线
于点 ，当线段 的长随 的增大而增大时，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ；
(3) 或
【详解】（1）解：抛物线 的顶点为 ，交 轴于点 和点 ， 是抛物线上一点，将
点A，点D的坐标分别代入得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；（2）解： ，
∴抛物线顶点M的坐标为 ；
令 ，则 ，
解得 或 ，
∴点 的坐标为 ；
（3）解：设直线 的表达式为 ，将点A，点D的坐标分别代入得：
，
解得： ，
直线 的表达式为 ，
设点 （ 且 ），则点 ，
当点P在点Q的下方，即 时， ，
∴ 时，线段 的长随n的增大而增大；
当点P在点Q的上方时， ，
∴当 时，线段 的长随n的增大而增大．
综上所述，当线段 的长随n的增大而增大时，n的取值范围为 或 ．
例2．（25-26九年级上·青海海西·期中）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于
、 两点，与 轴交于点 ，点 是直线 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的表达式；
(2)过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，当 的长为最大值时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：将点 、 代入 ，
，
解得 ，
；
（2）解：如图所示：
当 ，则 ，
，
设直线 的解析式为 ，
，解得 ，
，
设 ，则 ，
，
，
抛物线开口向下，有最大值，
则当 时， 有最大值 ，此时 ．
例3．（25-26九年级上·云南临沧·期中）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的值最小时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：将 代入 ，得 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2）解：由题可知，A关于对称轴对称的点为B，则 ，
∴ ，
当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立，即当B、P、C三点共线时， 的最小值为 ，
设直线 为 ，
将 代入，得 ，
解得 ，
∴直线 为 ，
当 时， ，
P的坐标为 ．
∴
例4．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于
两点，交 轴于点 ，其中点 ，其对称轴 ．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)若 为第一象限内抛物线上一点，连接 、 ，求 面积的最大值，及此时点 的坐标．
(3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点M，使得 的周长最小，若存在，请直接写出M点坐标，若
不存在，说明理由．
【答案】(1)(2) 最大值 ；点P的坐标为
(3)M
【详解】（1）解：∵抛物线 过 ，其对称轴为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：由 ，
当 时， ，
则 ，
设直线 的解析式为 ，则把点 、 代入，得
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
过点 作 轴，交 于点 ，如图：设点P 为 ，则点D为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取最大值 ；
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
（3）解：∵ ，
∴对称轴为直线 ，
连接 ， ， ，
A、B关于直线 对称，
∵
∴ ，
∴ ，
∴当A、M、P三点共线时， 最小，则 的周长最小，
当 时， ，
解得 ， ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ．
变式1．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x
轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为 ，与y轴交于 点，点P是直线 下方的抛物
线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)过P点作y轴的平行线交直线 于点E，求线段 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 和点 ，
∴ ，∴ ，
∴这个二次函数的表达式为 ．
（2）解：∵点P是直线 下方的抛物线上一动点，
∴设 ， ，
设直线 的解析式为 ，
将点 和点 代入 得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ．
∵过P点作y轴的平行线交直线 于点E，
∴ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值为 ，
∴线段 的最大值为 ．
变式2．（25-26九年级上·北京密云·期中）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点O和点
．
(1)用含a的式子表示b；
(2)过点 作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 于点N．
①若 ， ，求 的长；②已知在点P从点O运动到点 的过程中， 的长随 的长的增大而增大，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2) 6；② 且 .
①
【详解】（1）解：将点 代入，抛物线 ，
可得 ，解得 ；
（2）①解：若 ，则抛物线的表达式为 ，直线的表达式为 ．
当 时，则 ，如下图：
将 代入 ，可得 ，即
将 代入 ，可得 ，即
∴
②解：设点 ，
则 ，
∴
(i) 当 时，有 ，
当 时， ．
∵函数 的图象开口向下，对称轴为
当 时，y随t的增大而增大；当 时，y随t的增大而减小
时符合题意， 时不符合题意．
(ii)当 时，有 ．
当 时， ．
函数 的图象开口向上，对称轴为
当 时，y随x的增大而减小
当 时， 的长随 的增大而减小，即 的长随 的长的增大而增大．
∴ 符合题意
综上所述， 的取值范围是 且 .
变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线 与 轴交于 两点，点 在点 的左边，
与 轴交于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)点 是抛物线上一点，若 ，求点 的坐标；
(3)如图 ， 为线段 的中点，将抛物线向上平移 个单位，交线段 于点 ，连接 并将其绕 点
逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，当 的周长最小时，直接写出 的值．
【答案】(1) ， ，
(2) 或
(3)
【详解】（1）解：把 代入 ，得 ，
解得 ， ，∴ ， ，
把 代入 ，得 ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图，过点 作 交抛物线于点 ，则 ，
设直线 的解析式为 ，把 和 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得， ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
由 ，解得 或 ，∴ ；
过点 作 于点 ，延长线交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 和 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
由 ，解得 或 ，∴ ；
综上，点 的坐标为 或 ；
（3）解：过点 作 ，交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴点 在以 为直径的圆上，
∴点 在直线 上运动，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，可知此时 的值最小，则
的周长最小，
∵ ， ，
∴ ，
由对称性可得 ， ，
∴ ，
∵ 为线段 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线 向上平移 个单位的解析式为 ，点 在平移后的抛物线上，
∴ ，
解得 ．变式4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，抛物线 经过 ， 两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得 值最小，求最小值以及此时点P的坐标；
【答案】(1)
(2) ，
【详解】（1）解： 抛物线 经过 ， 两点，
，
解得： ， ，
此拋物线的解析式为 ；
（2）解：如图，连接 ，交对称轴于点 ，
则 ，
此时 最小， ，
拋物线的解析式为 ，
其对称轴为直线 ，当 时， ，
，
又 ，
设 的解析式为 ，
，
解得： ，
的解析式为 ，
当 时， ，
，
.考点十八 二次函数综合提升：面积问题
例1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，正比例函数 的图象与抛物线 相交于点 ，抛
物线 的顶点是C．
(1)求a与b的值；
(2)点 在函数 的图象上，求△ABC的面积．
【答案】(1) ，
(2) ．
【详解】（1）解：∵点 在 上，
∴ ，
∴点 ，
∵点 在 上，
∴
解得 ；
（2）解：∵点 在 上，
∴ ，
解得 ，
∴ ．∵点 ，抛物线 的顶点 ．
∴
．
例2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）过点 的抛物线 与 轴的另一交点为 ， ，与
轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴 上的一个动点，当 和最小时，求点P的坐标；
(3)若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（ ），连接 ，当 的面积等于 面积
的2倍时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵抛物线 经过 ， ，
∴ ，解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）解： 点P是抛物线对称轴 上的一个动点，抛物线与x轴交于点A，C，
，
，
当点P在直线 上时， 和最小，
对称轴：直线 ，
设直线 解析式为 ，
将 ， 代入，得：
，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
当 时， ，
∴
（3）解：抛物线于 轴交于 ， 两点，
令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
过点 作 轴的平行线交 于点 ，
设 ，则点 ，则 ，
，
∴ ，
解得 或 ．
例3．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
其中 ， ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得 的面积最大．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
(2)存在，P的坐标为
【详解】（1）解：将 ， 代入 得，
，解得： ，
．
（2）解： ，令 ，则 ，
解得， ，
，
，
，
，
过点P作 轴于点E，如图，
设 ，且点P在第二象限，
，
，
有最大值，
当 时，S有最大值，此时点P的坐标为 ．例4．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 对称轴为直线 ，点 的坐标为 ．
(1)该抛物线的表达式为；
(2)点 为抛物线上一点（不与点 重合），连接 ．当 时，求点 的坐标；
(3)点 为直线 下方抛物线上一动点，当点 的坐标为多少时， 的面积最大？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1） 对称轴为直线 ，点 的坐标为 ，
，
，
．
（2）方法一：作 于 ，交 于 ，
， ，，
，
，
，
，
，
，
直线 的关系式为： ，
，
（舍）， ，
．
方法二：过点 作 垂直于 轴，如图所示，
，
为等腰直角三角形，
，
（ASA），
，
．
直线 的解析式为 ，
，（舍）， ，
．
（3）如图所示，
作 ，交 于点 ，
设 的解析式为： ，
， ，
，解得 ，
．
设点 ，
，
，
当 时， ，
．
变式1．（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，已知抛物线 ，顶点为点 ，与 轴交于点B、A，
与 轴交于点 ．(1)求点A、B、C的坐标；
(2)求 的面积；
(3)点 是直线 上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点 ，使得 和 面积相等？若存在，
直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由？
【答案】(1) ， ，
(2)3
(3)存在，
【详解】（1）解：把 代入 ，
即 ，
解得 ， ，
， ，
把 代入 ，
解得 ，
．
（2） ，
，
由（1）知， ， ，
设 的解析式为 ，将 ， 代入，得 ，
解得 ， ，
故 的解析式为 ，
如图所示，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
故点 的横坐标为1，
将 代入直线 得，
，
，
， ， ，
，
的面积为3．
（3） 点 是直线 上方抛物线上的点且不同于顶点 ，
过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
设 ，
点 的横坐标为 ，
，即 ，
，
根据（2）的计算方法得，，
，
，
解得 （舍）， ，
，
存在点 ，使得 与 的面积相等．
变式2．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴交于点A，与
y轴交于点C．抛物线 的对称轴 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
(1)求出点B的坐标；
(2)求抛物线解析式．
(3)求 的面积．
(4)若点P为直线 上方的抛物线上的一点，连接 ， ．求 的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)5
(4) 的面积的最大值为 ，
【详解】（1）解：∵ ，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于 对称，∴点B的横坐标为 ，
∴点B的坐标为 ．
（2）解：∵抛物线 过 ， ，
∴可设抛物线解析式为 ，
又∵抛物线过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：∵ ， ， ，
， ，
，
故答案为5；
（4）解：设 ．
过点P作 轴交 于点Q，
∴ ，
∴ ，，
∵ ，
，
∴当 时， 的面积有最大值是4，
此时 ．
变式3．（25-26九年级上·新疆和田·月考）如图，已知抛物线 的对称轴是直线 ，与x轴相交
于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线表达式；
(2)求A，B两点的坐标；
(3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使三角形 的面
积最大？若存在，求点P的坐标及三角形 的最大面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 ，点 的坐标为
(3)存在点 ，使 的面积最大， 面积的最大值为16
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：当 时， ，解得 ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
（3）解：存在；
当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
假设存在点 ，使三角形 的面积最大，
设点 的坐标为 ，
如图所示，过点 作 轴，交直线 于点 ，
则点 的坐标为 ，
则 ，
∴
∴当 时， 的面积最大，最大值是 ，此时 ；∴存在点 ，使 的面积最大， 面积的最大值为16．
变式4．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为 ，与直线
交于点 和点 ．
(1)直接写出点 的坐标 ；
(2)求抛物线的解析式，并求出点 的坐标；
(3)如图2，点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，交抛物线于
点 ，以 为一边，在 的右侧作矩形 ，且 ．求矩形 的面积的最大值．
【答案】(1)
(2) ，
(3)当 时， 的最大值是 ；当 时，矩形 的面积最大值为 ．
【详解】（1）解：如图1，作 交 于点D，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、B为二次函数与x轴的交点，
∴ 、B关于直线 对称，∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：设抛物线解析式为 ，
由（1）得 ，
依题意，将 代入抛物线得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
联立 ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
当 时， ，
∴ ．
（3）解：∵点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，交抛物线
于点 ，
∴ ， ，
如图2，当点D在点C左侧时（也包括点D与点C重合）
由（2）得此时 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴开口向下，
在 时， 有最大值，且为 ；
∴当 时， 的最大值是 ；
如图3，当点D在点C右侧时，
由（2）得
此时 ，
∵点 是线段 上的一个动点，
∴
，
∴ ，
∵ ，
∴开口方向向上，越远离对称轴直线 的自变量所对应的函数值越大，
则把 代入 ，得
∴当 时，矩形 的面积最大值为 ．
综上所述，当 时， 的最大值是 ；当 时，矩形 的面积最大值为 ．考点十九 二次函数综合提升：特殊三角形存在性问题
例1．（25-26九年级上·天津河东·月考）已知二次函数 的图象（如图），当 时，函数有最小
值 ，且它的图象经过点 ．
(1)求该函数解析式；
(2)若一次函数 与二次函数的图象相交于点 、 （点 在点 左侧），试求 的面积；
(3)已知 轴上存在一点 ．二次函数图象上存在一点 ，与点 构成以点 为直角顶点的等腰直角 ．
请求出点 的坐标．
【答案】(1) （或 ）
(2)
(3) 或 或
【详解】（1）根据题意可得 ，
，
将 代入 得，
，
解得， ，
（或 ）；
（2）令 ，
整理得， ，解得， ，
把 分别代入 得，
， ，
；
如图1，设直线 与 轴相交于点 ，则 ，
．
，
；
（3）如图2，
设 ，过 作 轴于点 ，则 ．
第一种情况，当 点在 轴上方时，
，
解得， 或 ，即图2中的前两图，
此时， 点坐标为 或 ．第二种情况，当 点在 轴下方时，
，
解得， ，即图2中的最后一图，
此时， 点坐标为 ．
故满足题意的 点坐标可以为 或 或 ．
例2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知抛物线 的图象经过原点 和点 ，顶点
为B，且顶点B的纵坐标为2．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求证： 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；
(3)设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形 ？若存在，请求出
满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，点Q的坐标为 或
【详解】（1）解：∵ 的图象经过点 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
（2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为 ，可画图象如图．
，
，
又∵ ，
，
，
∴ 是等腰直角三角形．（3）解：∵点 在抛物线 上，且抛物线经过 与 三点，设 ，
将 代入，可解得 ．
，
要使 是正三角形，
设点 为 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，
分三种情况：
当 时， ，
，
，
∴ ，
解得 （与 点重合，舍去）， （不符合题意舍去）．
当 时，则有： ，
，
解得 ，
根据正三角形对称性，点 在 轴上，
∴点 坐标为 ．
当 时，则有： ，，
解得 ，
，
∴点 的坐标为 ．
综上所述，点 的坐标为： 或 ．
例3．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，抛物线 与 轴交于点 （ 在 的右侧），与 轴
交于点 ．
(1)分别求出 的坐标；
(2)在对称轴上是否存在一点 ，使 的周长最小．若存在求点 的坐标；若不存在，说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上存在点 ，使得 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点
∴当 时， ；
∴
∵抛物线 与 轴交于点 （ 在 的右侧），∴
解得：
∴
∴
（2）存在；
如图；连接 与对称轴交于点 ；连接 ，此时 的周长最小；
∵
设直线 的解析式为： ，
∴
解得：
∴直线 的解析式为： ，
∵抛物线 的对称轴为直线：
∴当 时，代入 得：
∴
（3）设 ，而
∴ ； ；
∵ 是以 为腰的等腰三角形
∴①当 时，则 ；解得当 时， 在一条直线上，故舍去；
∴
②当 时，则 ；解得：
∴ ； .
综上所述： 点坐标为 ； ； .
例4．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，抛物线 与 轴相交于点 和点 ．
(1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标；
(2)在抛物线上有一点 ，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，若 是等腰直角三角形，求点 的坐标．
【答案】(1) ，抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；
(2)点 的坐标为 或 ．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴相交于点 和点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵ ；
∴抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；（2）解：如图，∵ 轴于点 ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴设点 的坐标为 ，则点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 或 ，
即 或 ，
当 时，
解得 或 （舍去），
此时 ；
当 时，
解得 或 （舍去），
此时 ，
综上，点 的坐标为 或 ．
变式1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．已知点 的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第一象限内的抛物线上有一动点 ，使 的面积最大，求点 的坐标和 面积的最大值；
(3)对称轴与 轴交于点 ，在对称轴上找一点 ，使 是等腰三角形，直接写出满足条件的所有点 的坐
标．
【答案】(1)
(2) 点坐标为 ，
(3)
【详解】（1）解： ∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，
得 ，
由①②得， ， ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解： 令 ，
得 ，
∴ ， ，
∴ ，
令 ，得 ，
∴ ，设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，过点P作 轴交 于点E，
设P点坐标为 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴ ，
∴此时P点坐标为 ；
（3）解： ∵对称轴与x轴交于点N，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，①当 时，
如图所示有 ， ，
②当 时，
过点C作 ，则 ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
③当 时，
由四边形 为矩形知，
，
设 ，
则 ，
在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述：点M的坐标为 ， ， ， ．
变式2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，已知抛物线 经过 ， 两点，与
轴的另一个交点为 ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点 为该抛物线上一动点（与点 不重合），设点 的横坐标为 ．
①当点 在直线 的下方运动时，求四边形 的面积的最大值及此时点 的坐标；
②该抛物线上存在点 ，使得 为直角三角形，请直接写出所有点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 四边形 的面积的最大值为 ， ；②点 坐标为 或 或 或
①
【详解】（1）解：将点 、 代入抛物线 ，
得： ，解得： ，
该抛物线的表达式为： ；
（2）解：对于 ，当 ，得 ，
解得： ， ，
点 ，
∴
设直线 的解析式为 ，将点 、 的坐标代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
如图1，过点 作 轴的平行线交 于点 ，
设点 ，则点 ，
，
，
，
有最大值，当 时，其最大值为 ，此时 ；∵ ，
∴当 取得最大值时，四边形 的面积取得最大值，
此时四边形 的面积的最大值为： ；
设点 ，
当 时，如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 交 延长线于点 ，则
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
解得： 或 （舍），
∴ ；
当 时，构造同样辅助线，如图：
同理可证明： ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
解得： 或 （舍），
∴ ；
当 时，构造同样辅助线，如图：
同理可得： ，
∴ ，
∴
∴
∵
∴整理得： ，
解得： ，
∴ 或 ，
综上：点 坐标为 或 或 或 ．
变式3．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，已知抛物线 （ ， 为常数）的图象与 轴交于， 两点，与 轴相交于点 ，顶点为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若 点为抛物线对称轴上一点，是否存在点 使得 值最小，若存在请求出最小值；若不存在，请
说明理由；
(3)若点 为该抛物线上的一个动点，当 是以 为直角边的直角三角形时，请直接写出 点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【详解】（1）解：将 ， 代入 中，
得 ，
解得 ，
二次函数解析式为 ；
（2）解：由 及顶点坐标公式得： ，连接 ，过 作抛物线的对称轴垂直 轴于点 ，由 ， 得： ， ，
由勾股定理得 ，
， ，
设 ，
，要使 最小，必须使 最小，
过 作 于点 ，连接 ，
，
，
，
，
当点 在同一条直线上时， 值最小，
即 最小，
最小，最小值为 ，
在 中， ， ，
，
，即 的最小值为 ，
的最小值为 ，
即：存在 使得 最小，最小值为 ；
（3）解：如图所示，， ，理由如下：
由 得，当 时， ，
∴ ，
假设直线 的解析式为 ，
， ，代入 得，
，
解得 ，
，
①过点 作 的垂线，交抛物线于点 ，交 轴于点 ，
由 ， 得， ， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
设 ，将 ， 代入得：
，
解得 ，∴ ，
将 与 联立方程组，
得： ，
解得： 或 ，
所以： （舍去），
②过点 作 的垂线，交抛物线于点 ，
结合①得，两垂线平行，设 ，
∴ ，
将 代入 得： ，
解得 ，
∴ ，
将 与 联立方程组，
得 ，
解得： 或 ，
所以， （舍去）， ，
综上所述：存在点 ，为 ， 使 是以 为直角边的三角形．
变式4．（24-25九年级下·安徽芜湖·月考） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 过A，B，C三
点，点A的坐标是 ，点C的坐标是 ，动点P在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得 是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不
存在，说明理由；
(3)过动点P作 垂直y轴于点E，交直线 于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接 ，当线段 的
长度最短时，求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，P的坐标是 或
(3)点P的坐标是 或
【详解】（1）解：将 ， 两点代入 得
解得： ， ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：存在．
理由：如图所示：
①当 时，设直线 交 轴于点 ，则
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴设 的解析式为 ．
∵将 代入得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
∵联立 ，
解得 （舍去），
∴ ．
②当 时，设直线 交 轴于点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 的解析式为 ．
∵将 代入得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．∵联立 ，
解得 （舍去），
∴ ．
综上所述，P的坐标是 或 ．
（3）解：如图2所示：连接 ．
∵ ，
∴设 的解析式为 ．
∵将 代入得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
设点 ，则点
则 ，
∵ ，故 有最小值，此时 ，
即点 ，
将 代入 得到： ，
解得 ，故点P的坐标是 或 ．考点二十 二次函数综合提升：特殊四边形存在性问题
例1．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，且
．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)点 在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在，点 的坐标为 或
【详解】（1）解：∵ ，
当 时， ，
设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
联立①②：解得： ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
将点A代入函数解析式得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；（2）存在，理由如下：
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设 ，
∴当 为对角线时，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得： ，
∴ ；
∴当 为对角线时，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得： ，
∴ ；
综上可得：点 的坐标为 或 ．
例2．（2025·湖南·模拟预测）在热播的《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战．一次，他们在陈塘
关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线 来描述．抛物线与x轴交于A，B两
点，与y轴交于点 ．已知点A的坐标为 ，点C的坐标为 ．
(1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式；(2)如图（1），若点P是第一象限内抛物线上的一动点，象征着哪吒和敖丙在飞行中的某个位置．当点P到直线
的距离最大时，求 的面积．
(3)备用图（2），若哪吒站在抛物线上的一点M处，点N是抛物线对称轴上一点，点N象征着哪吒在探索未知的
旅程中遇到的新伙伴．是否存在以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出哪吒站点M的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)4
(3)存在，M为 或 或
【详解】（1）解：将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）过 作 轴于 ，交 于 ，过点 作 于 ，如图：
在 中，令 ，得 ，解得 或 ，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，利用勾股定理可得 ，
当 最大时， 最大，
设直线 解析式为 ，将 代入，得 ，
，
∴直线 解析式为 ，
设 ，则 ，
，
∴当 时， 最大为2，
此时 ， ；
（3）解：存在，理由如下：
抛物线 对称轴为直线 ，
设 而 ，
①以 为对角线，则 的中点重合，如图∶
∴ ，解得 ，∴ ；
②以 为对角线，则 的中点重合，如图∶
，解得 ，
，
③以 为对角线，则 中点重合，如图∶
，
解得 ，
∴ ；综上所述，M的坐标为 或 或 ．
例3．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，已知直线 交 轴正半轴于点 ，与 轴正半轴交于
点 ，抛物线 经过 、 两点，交 轴负半轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点 是直线 上方抛物线上的一动点，当四边形 面积最大时，请求出点 的坐标；
(3)在（2）的结论下，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，连接 ，点 是抛物线对称轴上的动点，在抛
物线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点 的坐标；如
果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点 ，点 的坐标为 或 或
【详解】（1）解：将 ， 代入 得，
解得
∴抛物线的解析式为 ；（2）解：由于当四边形 面积等于 和 面积之和，而 的面积为定值，
故 面积最大时，四边形 面积最大，
如图1，过点 作 轴，交直线 于点 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 有最大值，当 时，最大值为18，
∴将 代入 得， ，
∴ ；
（3）解：在抛物线上存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
，
∴对称轴是直线 ，
∴根据对称性，由 得 ，
∵点 是抛物线对称轴上的动点，∴ 的横坐标为 ，
①如图2，以 为边时，当 时，四边形 是平行四边形，由（2）可得点 的横坐标为
3，
∵点 在直线 上，
∴点 的坐标是 ，
又∵点 的坐标是 ，点 的横坐标为 ，
根据 到 的平移规律可知，点 的横坐标为 ，代入 得，
，
∴ ；
②如图3，以 为边时，四边形 是平行四边形，
由（2）可得，点 的横坐标为3，∵点 的坐标是 ，且点 的横坐标为 ，
根据 到 的平移规律可知，点 的横坐标为 ，代入 得，
，
∴ ；
③如图4，以 为对角线时，
根据 到 的平移规律可知， 到 的平移规律，
∴点 的横坐标为 ，代入 得， ，
∴ ；
综上，点 的坐标为 或 或 ．
例4．（25-26九年级上·安徽蚌埠·月考）如图．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ．(1)求抛物线和直线 的函数表达式；
(2)如图1，点 是线段 上一动点（不与点 ， 重合），连接 ，将 沿 翻折，得到四边形 ，
若四边形 为菱形，求点 的坐标；
(3)如图2，点 是位于第一象限内抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，求线段
的最大值，以及此时点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3)最大值4，点 的坐标为
【详解】（1）解：将点 ， 代入 ，得 ，
，
；
设直线 ．将点 ， 代入可得 ．
，
；
（2）如图1， 将 沿 翻折，得到四边形 ．， ，四边形 为菱形，
，
点 在直线 上，
可设点 坐标为 ．
，
，解得 或 （舍去），
点 ；
（3）如图2，
点 在抛物线 上，
可设点 ，
点 的坐标为 ，
，
，
抛物线开口向下，
当 时，线段 有最大值，最大值为4，此时点 的坐标为 ．
变式1．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）如图，抛物线 与 轴交于A，B两点，与 轴交于点 ，直线 经过点B，C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)直线 （其中 ）与线段 交于点 ，与抛物线交于点 ，连接 ，当线段 长度最大时，求证：
四边形 是平行四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）解：对于 ，
当 时， ；当 时， ，
∴
将点B，C坐标代入抛物线解析式得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为： ．
（2）解： 直线 ，且 ，
，
，
当 时，线段 长度最大，为 ，又 ，
，
即此时 且 ，
四边形 是平行四边形．
变式2．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图所示，已知二次函数 与 轴分别交于
两点，交 轴于点 ，点 为抛物线顶点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接 ，点 为对称轴右侧抛物线上的一个动点，过点 作 轴交 线段于点 ，过点 作
交 轴于点 ，当 最大值时，求点 的坐标以及 的最大值．
(3)如图2，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位，得到新抛物线 ，点 是新抛物线 与
轴的交点，点 在直线 上，点 为平面内一点，是否存在点 ，使得以点 为顶点的四边形是以
为边的菱形，若存在直接写出所有符合条件的点 的坐标，并选其中一个点的坐标写出求解过程；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2) ， 的最大值为12
(3) 或 或
【详解】（1）解：将 代入二次函数，
得 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）解：由二次函数 得 ，
设直线 的解析式为 ，
将 和 代入得 ，
解得 ，
∴直线 为 ，
设点 为 ，
∵点 为对称轴右侧抛物线上的一个动点，抛物线对称轴为直线 ，
∴ ；
∵ 轴，点 在直线 上，
，
，
，
∴设直线 的解析式为 ，
将 代入 得 ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴当 时， 取得最大值，最大值为为12，
此时 ，即 ；
（3）解：如图1，设点 沿射线 方向移动到 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
∴ 是 中点，
∴
∴点 向下平移8个单位，向左平移2个单位，
故抛物线的顶点也向下平移8个单位，向左平移2个单位，
∵旧抛物线 ，
∴新抛物线为 ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，代入 得 ，
∴直线 解析式为 ，
①当四边形 为菱形时，如图2，连接 ，交 与点 ，连接 ，∵ 、 是菱形 的对角线，
∴ 垂直平分 ，即点 为 的中点，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵
∴ ，
G、O、P、N四点共线，
∴
∴设直线 解析式为 ，
将 代入，得 ，即 ，
∴直线 解析式为 ，
与 ： 联立解得 ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴点 横坐标为 ，
∴点 坐标为 ．
②当四边形 为菱形时，
设 ，由 得 ，
∴ ，
∴ 或 ， ．
（i）当 点坐标为 时，如图3，连接 ，
∵ 为 的中点，
∴ 点横坐标为 ，
点纵坐标为 ，
∴ 点坐标为 ，
∵ 为 中点，
∴ 点横坐标为 ，
点纵坐标为 ，
故 坐标为 ；（ii）当 点坐标为 时，如图4，连接 ，
∵ 为 中点，
∴ 点横坐标为 ，
点纵坐标为 ，
∴ 点坐标为 ；
∵ 为 中点，
∴ 点横坐标为 ，
点纵坐标为 ，
∴ 点坐标为 ．
综上所述，点 坐标为 或 或 ．
变式3．（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，已知抛物线 经过点 ， ，
．(1)求该抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线上的一个动点，设点M的横坐标为 ．当 的面积最大时，求点M的坐标；
(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，此时 点坐标为 或 或 ．
【详解】（1）解：将 、 、 代入抛物线可得，
，解得
则抛物线解析式为：
（2）解：过点 作 轴交 于点 ，
设直线 ，代入点 得 ，
解得 ，
∴直线 ，
∵点M的横坐标为
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
配方得
∵ ，
∴当 时，面积取得最大值，此时 ；
（3）解：存在以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，
设 ， ，
、
当以 为对角线时，由平行四边形的性质可得：
解得 （舍去）或即 ；
当以 为对角线时，由平行四边形的性质可得：
解得 （舍去）或
即 ；
当以 为对角线时，由平行四边形的性质可得：
，解得 或
当 时， ，即
当 时， ，即 ；
综上，存在以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，此时 点坐标为 或 或 ．
变式4．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为
，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使 的值最小，并求出点Q的坐标．
(3)点P是抛物线上位于直线 上方的点，连接 ，P点的横坐标为m， ，请写出S与m的函数关
系，并求S的最大值．
(4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，
直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3) ， 最大值为
(4) 或 或
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
作点C关于抛物线对称轴的对称点 ，连接 ，交抛物线对称轴于点Q，
则 ， ，
此时 取最小值，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，将 代入 ，则 ，
∴ ；
（3）解：∵P点的横坐标为m，
∴ ，
过点P作 轴的垂线，交 于点 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
则
∴ ，
∵ ，且 ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；
（4）解：设 ，
当以 为对角线，四边形 是平行四边形时，如图：则 ，解得 ，
∴ ；
当以 为对角线，四边形 是平行四边形时，如图：
则 ，解得 ，
∴ ；
当以 为对角线，四边形 是平行四边形时，如图：
则 ，解得 ，
∴ ；
综上，存在点E坐标为 或 或 时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形．
