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专题 23.1 图形的旋转（知识讲解）
【学习目标】
1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对
应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；
2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案
设计.
【要点梳理】
要点一、旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这
两个点叫做这个旋转的对应点.
特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
要点二、旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△ ).
特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可
以按逆时针旋转.
要点三、旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点
沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
特别说明：作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【典型例题】
类型一、旋转中心、旋转角、对应点
1．在平面直角坐标系xOy中， 的顶点坐标分别是 ， ，
．(1)按要求画出图形：
①将 向右平移6个单位得到 ；
②再将 绕点 顺时针旋转90°得到 ；
(2)如果将（1）中得到的 看成是由 经过以某一点M为旋转中心旋转一
次得到的，请写出M的坐标．
【答案】(1)①见分析；②见分析；(2)M（1，-1）
【分析】
（1）①根据平移的性质得出 、 、 的位置，顺次连接即可；
②根据旋转的性质得出 、 的位置，顺次连接即可；
（2）连接CC ，AA，线段CC ，AA 的垂直平分线的交点即为M点的位置，作出M
2 1 2 1
点写出坐标即可．
(1)解：①如图， 即为所求；
②如图， 即为所求；
(2)解：连接CC ，AA，线段CC ，AA 的垂直平分线的交点即为M点的位置，
2 1 2 1
由图可知，M的坐标为（1，-1）．【点拨】本题考查了作图—平移和旋转，熟练掌握平移和旋转的性质找出对应点的位
置是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 在如图的网格中建立平面直角坐标系， 的顶点坐标分别为A（1，
7）、B（8，6）、C（6，2），D是AB与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给顶点的网
格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，并完成下列问题：
(1)直接写出 的形状；
(2)画出点D关于AC的对称点E；
(3)在AB上画点F，使∠BCF ∠BAC．
(4)线段AB绕某个点旋转一个角度得到线段CA（A与C对应，B与A对应），直接写
出这个旋转中心的坐标．【答案】(1) 是等腰三角形，理由见分析；(2)见分析(3)见分析(4)
【分析】
（1）利用勾股定理求出AB，AC，可得结论．
（2）取格点Q，使得 ，线段AQ与格线的交点E，即为所求作．
（3）取格点W，连接CW交AB于点F，点F即为所求作．
（4）线段AC，AB的中垂线的交点J，即为所求作，构建一次函数，利用方程组确定
交点
解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
（2）如图所示，取格点Q，
则 ， ， ，
∴AQ=AC=AB，CQ=CB，
∴ ，
∴线段AQ与格线的交点E，即为所求作；
（3）如图所示，如图，点F即为所求作．
（4）如图所示，取格点H（11，7）∵ ， ，
∴AC中点的坐标为 ，直线AC的解析式为：y=-x+8，AH的中点坐标为
（6，7）
设线段AC的中垂线为 ，
∴ ，
∴
∴线段AC的中垂线为 ，
同理可得：线段AB的中垂线y=7x-25，
由 ，
解得 ，
∴旋转中心J的坐标为【点拨】本题考查了两点距离公式，找旋转中心，一次函数与几何综合，等腰三角形
的判定，全等三角形的判定，轴对称作图等等，熟知相关知识是解题的关键．
【变式2】如图， 和 都是等边三角形.
（1） 沿着______所在的直线翻折能与 重合；
（2）如果 旋转后能与 重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的
点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
【答案】（1） ；（2）.点 、点 或者线段 的中点；（3）
【分析】
(1) 因为 和 有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；
（2）将△ABC旋转后与 重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）
以点A 、点C为旋转中心时都旋转 ，以AC中点旋转时旋转180 .
解：(1)∵ 和 都是等边三角形，
∴ 和 是全等三角形，
∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.
故填AC;
(2)将△ABC旋转后与 重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60 或以
点C为旋转中心顺时针旋转60 ，或以AC的中点为旋转中心旋转180 即可；
（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转 ，以AC中点旋转时旋转180 .
【点拨】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转
的性质来确定即可.
类型二、根据旋转的性质求解
3、 为正方形 内一点，且 ，将 绕点 按逆时针方向旋转
得到 ．
(1)作出旋转后的图形；(2)试求 的周长和面积．
【答案】(1)见分析(2)周长为： ；面积为：2
【分析】
（1）根据题意可直接进行作图；
（2）利用等腰直角三角形的性质求出周长和面积即可．
(1)解：如图所示： 即为所求；
(2)解：∵ ，将 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
故 的周长为： ；
的面积为： ．
【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及三角形面积求法，得出对应点位置是解题关
键．
举一反三：
【变式1】在 中， ， ，将 绕点C顺时针旋转一
定的角度 得到 ，点A、B的对应点分别是D、E．(1)当点E恰好在AC上时，如图1，求 的大小；
(2)若 时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形（请
用两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
【答案】(1) (2)见分析
【分析】
（1）根据旋转的性质可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
根据等边对等角即可求出∠CAD＝∠CDA＝75°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得
出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF＝ AC，然后根据30°所
对的直角边是斜边的一半即可求出AB＝ AC，从而得出 BF＝AB，然后证出△ACD和
△BCE为等边三角形，再利用HL证出△CFD≌△ABC，证出DF＝BE，即可证出结论．
(1)解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA＝ （180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°．
(2) 证明：如图2，连接AD，
∵点F是边AC中点，∴BF＝AF=CF＝ AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝ AC，
∴BF=CF＝AB，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC，
∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
在Rt△CFD和Rt△ABC中
，
∴Rt△CFD≌Rt△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等
边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定，掌握旋转的性质、
等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及
性质和平行四边形的判定是解决此题的关键．
【变式2】如图点O是等边 内一点， ，
∠ACD=∠BCO，OC=CD，
（1）试说明： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）当 为多少度时， 是等腰三角形【答案】(1)见分析；(2)△AOD是直角三角形，理由见分析；(3) 110°或125°或
140°时，△AOD是等腰三角形.
【分析】
（1）根据CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是
等边三角形；
（2）先求得∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°，于
是可计算出∠ADO=90°，由此可判断△AOD是直角三角形；
（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再进行分类讨论：当
∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当∠AOD=∠DAO时，
△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰
三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．
解：(1)∵∠ACD=∠BCO
∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°
又∵CO=CD
∴△COD是等边三角形；
(2)∵△COD是等边三角形
∴CO=CD
又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC
∴△ACD≌△BCO（SAS）
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC−∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；(3)∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α−60°,∠AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，
当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；
当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得
α=140°；
当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得
α=110°，
综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【点拨】此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题
关键在于掌握判定定理.
类型三、根据旋转的性质证明线段、角相等
3、如图，点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0．
(1)如图1，求a，b的值；
(2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜
想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
(3)如图3，若P为x轴正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB
绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和
线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．
【答案】(1)2(2)CD=BD+AC．理由见分析(3)BQ是定值，
【分析】
（1）根据非负数的性质得到a-2=0，4b-8=0，求得a=2，b=2，得到OA=2，OB=2，于是得到结果；
（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF根据已知条件得到
∠DBF=180°，由∠DOC=45°，∠AOB=90°，同时代的∠BOD+∠AOC=45°，求出
∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，推出△ODF≌△ODC，根据全等三角形的性质
得到DC=DF=DB+BF=DB+DC；
（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF=FD，由∠BAO=∠PDF=45°，得
到∠PAB=∠PDE=135°，根据余角的性质得到∠BPA=∠PED，推出△PBA≌EPD，根据全等
三角形的性质得到AP=ED，于是得到FD+ED=PF+AP．即：FE=FA，根据等腰直角三角形
的性质得到结论．
(1)解：∵（a﹣2）2+|4b﹣8|＝0，
∴a-2=0，4b-8=0，
∴a=2，b=2，
∴A（2，0）、B（0，2），
∴OA=2，OB=2，
∴△AOB的面积= ；
(2)证明：如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，而
∵∠OAC=∠OBF=∠OBA=45°，∠DBA=90°，
∴∠DBF=180°，
∵∠DOC=45°，∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=45°，
∴∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠BOD+∠AOC=45°，在△ODF与△ODC中， ，
∴：△ODF≌△ODC，
∴DC=DF，DF=BD+BF，
∴CD=BD+AC．
(3)BQ是定值，BE明显不是定值，理由如下：作EF⊥OA于F，在FE上截取FD=PF，
∵∠BAO=∠PDF=45°，
∴∠PAB=∠PDE=135°，
∴∠BPA+∠EPF=90°，∠EPF+∠PED=90°，
∴∠BPA=∠PED，
在△PBA与△EPD中，
，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP=ED，
∴FD+ED=PF+AP， 即：FE=FA，
∴∠FEA=∠FAE=45°，
∴∠QAO=∠EAF=∠OQA=45°，
∴OA=OQ=2，
∴BQ=4．
为定值．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形
的判定与性质，旋转的性质，三角形面积的计算，非负数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，且 ，
把 绕点 顺时针旋转 得到 ．
（1）求证： ≌ ．
（2）若 ， ，求正方形 的边长．
【答案】（1）证明见分析；（2）正方形 的边长为6．
【分析】
（1）先根据旋转的性质可得 ，再根据正方形的性质、角的和
差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）设正方形 的边长为x，从而可得 ，再根据旋转的性
质可得 ，从而可得 ，然后根据三角形全等的性质可得 ，
最后在 中，利用勾股定理即可得．
解：（1）由旋转的性质得：
四边形ABCD是正方形
，即
，即
在 和 中，
；
（2）设正方形 的边长为x，则由旋转的性质得：
由（1）已证：
又 四边形ABCD是正方形
则在 中， ，即
解得 或 （不符题意，舍去）
故正方形 的边长为6．
【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾
股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．
【变式2】如图，等腰三角形 中， ， ．作 于点 ，
将线段 绕着点 顺时针旋转角 后得到线段 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）延长线段 ，交线段 于点 ．求 的度数（用含有 的式子表示） ．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】
（1）根据“边角边”证 ，得到 即可；
（2）由（1）得， ，再根据三角形内角和证明 即可．
解：证明： 线段 绕点 顺时针旋转角 得到线段 ，
， ．，
．
在 与 中，
．
（2）解： ，
，
又 ，
，
【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，解
题关键是熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．
类型四、旋转图形中的旋转角
4、已知：如图， 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到 ，点A，
B，C分别对应点A，B，C .
1 1 1(1)根据点 和 的位置确定旋转中心是点______________．
(2)请在图中画出 ;
(3)请具体描述一下这个旋转：________________________________．
【答案】(1) ；(2)详见分析.(3)解析解析.
【分析】
（1）连接 和 ,分别作它们的垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心;
(2) 通过（1）作图发现旋转规律，然后点C旋转后的对应点；
（3）△ABC绕 顺（逆）旋转多少°得到 即可.
解： 如图：
可以发现旋转中心为 ；
如图：由（1）作图发现是将△ABC顺时针旋转90°，连接CO，绕O 旋转90°，
1 1
确定C ，最后顺次连接A，B ，C 即可.
1 1 1 1绕点 按顺时针方向旋转 后得到
【点拨】本题考查了图形的旋转，确定旋转中心和旋转方式是解答本题的关键.
举一反三：
【变式1】如图，把一副三角板如图甲放置，其中
，斜边 ，把三角板 绕
点 顺时针旋转 得到 （如图乙）.这时 与 相交于点 ， 与 相交
于点 ，则 的度数为________________.
【答案】
【分析】根据题意∠3=15°，∠E′=90°，∠1=∠2=75°，所以可得∠OFE′=∠B+∠1=45°
+75°=120°.
解：如图,由题意可知∠3=15°,∠E′=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠1=75°.
又因为∠B=45°，所以∠OFE′=∠B+∠1=45°+75°=120°.
【点拨】本题考查图形的旋转，解题的关键是知道旋转的性质.
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－
1)，C(－3，3)，已知△AAC 是由△ABC旋转得到的．
1 1
（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；
（2）以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△AAC 顺时针旋转90°、180°的三角形；
1 1
（3）设Rt△ABC两直角边BC＝a、AC＝b、斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图
案证明勾股定理．
【答案】（1）O(0，0)；90度（2）见分析（3）见分析
解：（1）图象的旋转可以利用某点的旋转来找到旋转的角度和旋转中心；
（2）根据旋转角度为依次90°、180°，旋转方向为顺时针，旋转中心为点O，从而可
分、找出各点的对应点，然后顺次连接即可分别得出旋转后的三角形．
（3）利用正方形的面积的不同计算方法进行验证勾股定理．
解：(1)旋转中心坐标是O(0，0)，旋转角是90度；…2分
(2)画出的图形如图所示；…6分
(3)有旋转的过程可知，四边形CC C C 和四边形AA AB是正方形．
1 2 3 1 2
∵S CC C C ＝S AA AB＋4S ABC，
正方形 1 2 3 正方形 1 2
△∴(a＋b)2＝c2＋4× ab，
即a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，
∴a2＋b2＝c2．
类型五、旋转图形中的坐标
5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（1，0），
与y轴交于点B（0，2）．
(1)求直线AB的表达式；
(2)将△OAB绕点O逆时针旋转90°后，点A落到点C处，点B落到点D处，线段AB
上横坐标为 的点E在线段CD上对应点为点F，求点F的坐标．
【答案】(1)y＝﹣2x＋2(2)（﹣ ， ）
【分析】
（1）把点A和点B点坐标代入y＝kx＋b得关于k、b的方程组，然后解方程组求出k
和b的值，从而得到直线AB的解析式；
（2）先利用一次函数图象上点的坐标特征求出E点坐标，作EH⊥x轴于H，如图，然后旋转变换求E点的对应点F的坐标．
(1)解：把点A（1，0）和点B（0，2）代入y＝kx＋b得 ，解得 ，
所以直线AB的解析式为y＝﹣2x＋2；
(2)解：当x＝ 时，y＝﹣2• ＋2＝ ，则E点坐标为（ ， ），
作EH⊥x轴于H，如图，
∵△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，
∴把△OEH绕点O逆时针旋转90°后得到△OFQ，
∴∠OHE＝∠OQF＝90°，∠QOH＝90°，OQ＝OH＝ ，FQ＝EH＝ ，
∴F点的坐标为（﹣ ， ）．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一
次函数的解析式时，先设y＝kx＋b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所
设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的
值，进而写出函数解析式．也考查了旋转的性质．
举一反三：
【变式1】如图， 直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△ABC绕点A
顺时针旋转90º后得到 ，求点 的坐标？【答案】
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出 点和 点坐标，得到 ， ，
再利用旋转的性质得 ， ， ， ，
则可判断 轴，然后根据点的坐标的表示方法写出点 的坐标．
解：当 时， ，解得 ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以 ， ，
因为把△ 绕点 顺时针旋转 后得到△ ，
所以 ， ， ， ，
则 轴，
所以 点的横坐标为 ，纵坐标为 ．
所以 点的坐标为 ．
【点拨】本题考查了坐标与图形变化 旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和
图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如： ， ， ，
， ．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
【变式2】如图，已知线段OA在平面直角坐标系中，O是原点．
(1)将OA绕点O顺时针旋转60°得到 ，过点 作 轴，垂足为B．请在图中
用不含刻度的直尺和圆规分别作出 、 ；(2)若 ，则 的面积是______．
【答案】(1)见详解 (2)
【分析】
（1）利用等边三角形的性质的性质作OA′，利用垂直平分线的作法求B点；
（2）设A′（a，b），如图过A作AC垂直x轴于C，过A′作A′⊥AC于D，连接AA′；
在Rt△ADA′和Rt△OBA′中利用勾股定理建立方程组，解方程即可解答；
(1)解：分别以O、A为圆心，以AO为半径作弧，两弧交于点A′，连接OA′即为所求线
段；以A′为圆心，适当长度为半径作弧交x轴于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以
EA′、FA′为圆心作弧，两弧交于点C，连接CA′交x轴于点B，A′B即为所求线段；
(2)解：设A′（a，b），如图过A作AC垂直x轴于C，过A′作A′D⊥AC于D，连接
AA′，则四边形DCBA′是矩形；由（1）作图可得，OA=OA′=AA′= =
∵A（-2，6），A′（a，b），
∴Rt△ADA′中，AD=6-b，DA′=a+2，AA′2=（6-b）2+（a+2）2=40，①
Rt△OBA′中，OB=a，BA′=b，OA′2=a2+b2=40，②
∴（6-b）2+（a+2）2= a2+b2，解得：a=3b-10，
代入②，（3b-10）2+b2=40，b2-6b+6=0解得：b= ，
b= 时，a= ，符合题意；
b= 时，a= ，不符合题意；
∴A′（ ， ），
的面积= ×（ ）×（ ）= ；
【点拨】本题考查了旋转作图，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的作法，勾股
定理，矩形的判定和性质，一元二次方程的解法；利用勾股定理构建方程是解题关键．
类型六、旋转综合题
6、阅读下列材料：
问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF
＝45°．
解决下列问题：(1)图（1）中的线段BE、EF、FD之间的数量关系是______．
(2)图（2），已知正方形ABCD的边长为8，E、F分别是BC、CD边上的点，且
∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，求△EFC的周长．
【答案】(1)EF=BE+DF(2)过程见分析
【分析】
对于（1），先将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，可得△ADF≌△ABH，再
根据全等三角形的性质得AF=AH，∠EAF=∠EAH，然后根据“SAS”证明△FAE≌△HAE，根
据全等三角形的对应边相等得出答案；
对于（2），先根据（1），得△FAE≌△HAE，可得AG=AB=AD，再根据“HL”证明
Rt△AEG≌Rt△ABE，得EG=BE，同理GF=DF，可得答案．
解：(1)EF=BE+DF．
理由如下：如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，
∴△ADF≌△ABH，
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，
∴∠EAF=∠EAH=45°．
∵AE=AE，
∴△FAE≌△HAE，
∴EF=HE=BE+HB，
∴EF=BE+DF；
(2)由（1），得△FAE≌△HAE，AG，AB分别是△FAE和△HAE的高，
∴AG=AB=AD=8．
在Rt△AEG和Rt△ABE中，
，∴Rt△AEG≌Rt△ABE（HL），
∴EG=BE，
同理GF=DF，
∴△EFG的周长=EC+EF+FC=EC+EG+GF+FC=EC+BE+DF+FC=BC+CD=16．
【点拨】这是一道关于正方形和旋转的综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，
全等三角形的判定和性质等．
举一反三：
【变式1】如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，
点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将
Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
(1)如图1，当α＝0°时，DG与PG的关系为 ；
(2)如图2，当α＝90°时
①求证：△AGD≌△FGM；
②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)DG＝PG(2)①见分析；②成立，理由见分析【分析】
（1）先判断出△ABE≌△ADF，得出AE＝AF，再用直角三角形斜边的中线等于斜边的
一半和三角形中位线定理，即可得出结论；
（2）①先判断出∠DAG＝∠MFG，再判断出AG＝FG，即可得出结论；
②由①知，△AGD≌△FGM，得出DG＝MG，AD＝FM＝BC，进而得出CM＝CF，由
（1）知，DE＝CF，得出CM＝DE，进而判断出△ADE≌△DCM，得出AE＝DM，最后同①
的方法即可得出结论．
(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝AD＝CD，
∵△ECF为等腰直角三角形，
∴CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∵点G是AF的中点，
∴ ，
∴ ，
∵P为EF中点，G为AF中点，
∴PG是△AEF的中位线，
∴ ，
∴DG＝PG，
故答案为：DG＝PG；
(2)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG＝∠MFG，
∵点G是AF的中点，
∴AG＝FG，
在△AGD和△FGM中，，
∴△AGD≌△FGM（ASA）；
解：②（1）中的结论DG＝PG成立，
证明：由①知，△AGD≌△FGM，
∴DG＝MG，AD＝FM＝BC，
∴ ,
∴CM＝CF，
由（1）知，DE＝CF，
∴CM＝DE，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠DCM＝90°，
∴△ADE≌△DCM（SAS），
∴AE＝DM，
∵点G是DM的中点，
∴ ，
∵P为EF中点，G为AF中点，
∴PG是△AEF的中位线，
∴ ，
∴DG＝PG．
【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，
等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，判断出AE＝DM是解（2）②的关键．
【变式2】如图，P是等边 内的一点，且 ，将 绕点B
逆时针旋转，得到 ．
(1)旋转角为_____度；
(2)求点P与点Q之间的距离；
(3)求 的度数；
(4)求 的面积 ．【答案】(1) 60 ( 2) 4 (3)150° (4) 9．
【分析】
（1）根据△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答
案，
（2）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP
＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断
△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上
∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．
（4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求
解．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴旋转角为60°
故答案为：60；
(2)连接PQ，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，∴PQ＝PB＝4；
(3)∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
(4)如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CH PC ，PH HC ，
∴BH＝4 ，
∴BC2＝BH2+CH2 ，
∵S ABC BC2，
△
∴S ABC ） 9．
△【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾
股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
