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专题 23.7《旋转》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1、 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距
离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；
2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对
称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；
3、 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应
用；
4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对
称、平移和旋转的组合进行图案设计．
【要点梳理】
要点一、旋转
1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转
变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋
转角度.
2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=
OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△ ).
特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也
可以按逆时针旋转.
3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，
其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指
定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度
（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
要点二、特殊的旋转—中心对称
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形
重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这
两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与
另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全
等的) .
2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能
够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
要点三、平移、轴对称、旋转
平移、轴对称、旋转之间的对比平移 轴对称 旋转
相同点 都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．
把一个图形沿某一方 把一个图形绕着某一
定 把一个图形沿着某一条
向移动一定距离的图 定点转动一个角度的
义 直线折叠的图形变换．
形变换． 图形变换．
图
形
要 平移方向 旋转中心、旋转方
对称轴
不 素 平移距离 向、旋转角度
同
点 连接各组对应点的线 任意一对对应点所连线 对应点到旋转中心的
段平行（或共线）且 段被对称轴垂直平分． 距离相等；对应点与
相等． 旋转中心所连线段的
夹角都等于旋转角．
对应线段平行（或共 任意一对对应点所连线 *对应点到旋转中心的
性
线）且相等． 段被对称轴垂直平分． 距离相等；对应点与
质
旋转中心所连线段的
夹角等于旋转角，
即：对应点与旋转中
心连线所成的角彼此
相等．
【典型例题】
类型一、旋转三要素
1．如图，E是正方形 的边 上任意一点（不与点A，B重合），
按逆时针方向旋转后恰好能够与 重合．
(1) 旋转中心是________，旋转角为________；
(2) 请你判断 的形状，并说明理由．【答案】(1) 点D；90° (2) 等腰直角三角形，理由见分析
【分析】
（1）由已知可知，旋转中心为点D，旋转角∠ADC = 90°，即可求解；
（2）由旋转的性质可得DE = DF，∠EDF = ∠ADC = 90，可得结论．
(1)解：由题意得：旋转中心是点D；旋转角为∠ADC，
在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴旋转角为90°；
故答案为：点D；90°
(2)解：根据题意得： ， ，
∴ 是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式1】在 中， ， ， 逆时针旋转一定角度后与
重合，且点 恰好成为 中点，如图．
(1) 旋转中心是点______， ______；
(2) 求直线 与直线 的夹角．
【答案】(1) , (2)
【分析】（1）根据旋转后 点与自身对应，则旋转中心为点 ，进而根据 ，可知
与 对应，即可求解；
（2）延长 交 于点 ，取 中点 ，连接 ，证明 是等边三角形，
进而求得 在 中，根据三角形内角和定理
求得 ，即直线 与直线 的夹角．
(1)解：∵旋转后 点与自身对应，
∴旋转中心为点 ，
，则 旋转后与 不对应，则 与 对应
故答案为： ,
(2)延长 交 于点 ，取 中点 ，连接 ，
， ，
逆时针旋转 后与 重合，
,
是 的中点，
是等边三角形又
中
即直线 与直线 的夹角为
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，掌握旋转
的性质是解题的关键．
【变式2】 如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将△ABP绕点B
顺时针旋转到△CBP′的位置．
（1）旋转中心是点__________， 旋转角度是__________．
（2）连接PP′，△BPP′的形状是__________ 三角形．
（3）若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长．
【答案】（1）B，90°；（2）等腰直角；（3）6
【分析】
（1）根据旋转的定义解答；
（2）根据旋转的性质可得BP=BP′，又旋转角为90°，然后根据等腰直角三角形的定义
判定；（3）①根据勾股定理列式求出PP′，先根据旋转的性质求出∠BP′C=135°，再求出
∠PP′C=90°，然后根据勾股定理列式进行计算即可得解．
解：（1）∵P是正方形ABCD内一点，△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置，
∴旋转中心是点B，点P旋转的度数是90度，故答案为：B，90°；
（2）根据旋转的性质BP=BP′，旋转角为90°，
∴△BPP′是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
（3）在等腰Rt△BPP'中，∵PB＝BP'＝4，
∴PP′＝ ，
∵∠BP′C＝∠BPA＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C－∠BP′P＝135°－45°＝90°，
∵P'C＝PA＝2
在Rt△PP′C中，
PC＝
【点拨】本题考查旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和
性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和正方形的性质．
类型二、利用旋转性质求值或证明
2．如图，点 是正方形 内一点，将 绕点 顺时针旋转90°至
．
(1) 若 ， ，求 ；
(2) 若 ，求 的面积．
【答案】(1) (2) 的面积为
【分析】
（1）根据三角形内角和定理，先算出 ，根据旋转性质，得出
；
（2）根据旋转性质得出 ， ，即可算出△CEF的面积．(1)解：∵ ， ，
∴ ，
∵将 绕点 顺时针旋转90°至 ，
∴ ．
(2)∵将 绕点 顺时针旋转90°至 ，
∴ ， ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，旋转的性质，根据旋转得出 ，
，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知在 中， ， ， 于点D．在边BC
上取一点E，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，交线段
CD于点G．
(1) 如图，若点E与点C重合，求证： ；
(2) 探究线段AG与GF之间满足的数量关系，并说明理由；
(3) 若 ，请直接写出点C与点F之间的最小距离，不必写解答过程．
【答案】(1)见分析(2)AG=GF，理由见分析(3)5
【分析】
（1）根据题意，△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB，所以CD=AD，根据旋转的性质，
CD=CF，所以CF=AD，又因为∠GCF=∠GDA=90°，∠CGF=∠DGA，所以
（ASA）；
（2）作EH⊥BC，交CD于点H，连接FH，则可证明△FEH △CED(SAS)，得到
FH=DC=AD，∠EHF=∠ECD=45°，从而证明∠FHG=90°，又因为对顶角相等，可证明
△FGH △AGD(AAS)，所以AG=GF；（3）根据（2）中的结论， ，所以当CE取最小值0时
CF有最小值5．
解：(1)根据题意，△ABC是等腰直角三角形，
∵
∴CD是斜边AB的中线
∴CD=AD
∵线段DE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF
∴∠FCG=∠ADG=90°，CD=CF
∴AD=CF
在 和 中
∴ （ASA）
(2)AG=GF，理由如下：
作EH⊥BC，交CD于点H，连接FH，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，CD⊥AB
∴∠BCD= =45°，CD=AD=
∵EH⊥BC
∴∠EHC=∠BCD=45°
∴CE=HE
∵∠FED+∠DEH=∠DEH+∠HEC
∴∠FEH=∠DEC又∵EF=ED
∴△FEH △CED(SAS)
∴FH=DC=AD，∠EHF=∠ECD=45°
∴∠CHF=∠CHE+∠EHF=45°+45°=90°
∴∠FHG=90°=∠ADG
又∵∠FGH=∠AGD
∴△FGH △AGD(AAS)
∴AG=GF
(3)连接CF，
∵FH=AD= = ，
∴
当CE最小时CF最小，CE最小值为0，
∴CF最小值为
点C与点F之间的最小距离为5．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等腰
直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式2】如图，P是等边 内的一点，且 ，将 绕点B
逆时针旋转，得到 ．(1) 旋转角为_____度；
(2) 求点P与点Q之间的距离；
(3) 求 的度数；
(4) 求 的面积 ．
【答案】(1)60(2)4(3)150°(4) 9．
【分析】
（1）根据△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答
案，
（2）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP
＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断
△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上
∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．
（4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求
解．
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴旋转角为60°
故答案为：60；
(2)连接PQ，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
(3)∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
(4)如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CH PC ，PH HC ，
∴BH＝4 ，
∴BC2＝BH2+CH2 ，∵S ABC BC2，
△
∴S ABC ） 9．
△
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾
股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
类型三、中心对称图形与轴对称图形
3、如图，在平面直角坐标系中， 为格点三角形（顶点为网格线的交点），
∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，4）．已知 与 关于点 成中心对称（点
D，E，F分别为A，B，C的对应点， 且 ）．连接AF，CD．(1) 若 ，画出此时 的位置；
(2) 线段AF与CD的位置和大小关系是______；
(3) 若四边形AFDC是一个轴对称图形，则a的值为______．
【答案】(1)见分析(2) ，且 (3)1
【分析】
（1）当 时，点（a，0）即为原点，作出 关于原点成中心对称的图形即可；
（2）设对称中心为点P（a，0），根据中心对称的性质，即可得出结论；
（3）当四边形AFDC是菱形或矩形时，可得出a的值．
(1)如图， 即为所画；
(2)如图所示， ，且
故答案为： ，且
(3)∵ 是直角三角形，且B（1，0），∴ 与 关于点 成中心对称时，四边形AFDC是菱形，如图，
∴
故答案为：1
【点拨】本题考查作图-中心对称、轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
举一反三：
【变式1】已知： 是 的角平分线，点E，F分别在 上，且 ，
．
(1) 如图1，求证：四边形 是平行四边形；
(2) 如图2，若 为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是
轴对称但不是中心对称的图形．
【答案】(1)证明见分析(2)等边 ，等边 ，等边 ，等腰 ，等腰梯形 ，等腰梯形
【分析】
（1）由角平分线可知 ，由平行可知 ，可得
， ，进而结论得证；
（2）由题意可得四边形 是菱形， 是等边三角形的中点，然后根据在平
面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这
个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完
全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．
(1)证明：∵ 是 的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
(2)解：由（1）知四边形 是平行四边形
∴
∵ 是等边三角形
∴
∴
∴四边形 是菱形
∴
∴ 是等边三角形的中点
∴
∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形
的有：等边 ，等边 ，等边 ，等腰 ，等腰梯形 ，等腰梯形
．
【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，
平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题
的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式2】 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，
的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出 向左平移4个单位长度后得到的 ，并写出点 的坐标；
（2）作出 关于原点 对称的 ，并写出点 的坐标； 可看作
以点（________，________）为旋转中心，旋转________°得到的．
（3）已知 关于直线 对称的 的顶点 的坐标为 ，请直接写出直
线 的函数解析式________．
【答案】（1）图见详解，C （-1，2）；（2）图见详解，C （-3，-2），（-2，0），
1 2
180；（3）y=-x
【分析】
（1）根据平移的性质即可画出 向左平移4个单位后的 ；
（2）根据中心对称的性质即可作出 关于原点 对称的 ，再根据旋转的
性质即可得出结论；
（3）根据轴对称的性质，可以知道直线必过点（-1，1），即可求出解析式．
解：（1）如图所示，点C 的坐标（-1，2）；
1（2）如图所示，点C 的坐标（-3，-2）， 可看作 以点（-2，0）为旋
2
转中心，旋转180°得到的；
（3）因为A的坐标为（2，4），A 的坐标为（-4，-2），所以直线必过点（-1，1），
3
所以直线的解析式为y=-x．
【点拨】本题主要考查了平移，轴对称，中心对称的作图，熟练其概念准确的画出图
形是解决本题的关键．
类型四、直角坐标系中的中心对称图形
4、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－5，0）、B（－2，3）、C（－
1，0）．
(1) 画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A′B′C′；(2) 将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A′′B′′C′′；
(3) 若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，则在第四象限中的点D′坐标为
．
【答案】(1)见分析(2)见分析(3)（6，－2）
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90°的点A″、B″、C″的
坐标，然后顺次连接即可；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．
(1)如图所示，△A′B′C′就是求作的图形；
(2)如图所示，△A′′B′′C′′就是求作的三角形；
(3)如图所示，点D′坐标为（6，－2）；【点拨】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确
找出对应点的位置是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图， ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，
4）． △
(1) 若 经过平移后得到 ，已知点 的对应点 的坐标为 ，画出
；
(2) 请画出 ABC关于原点对称的 ABC ．
2 2 2
【答案】(1△)见分析(2)见分析 △
【分析】
（1）根据C点的平移方式依次得到A点和B点的对应点的位置，顺次相连即可；
（2）根据中心对称的定义确定对应点的位置后顺次连接即可．
(1)如图， ABC 即为所求．
1 1 1
△(2)如图， ABC 即为所求．
2 2 2
△
【点拨】本题考查了平面直角坐标系内的图形的平移和中心对称，解题关键是牢记平
移作图与中心对称图形的作图方法．
【变式2】 已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．
(1) 二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；
(2) 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．
【答案】(1)y＝﹣2x2﹣8x﹣7(2)a＝2，b＝8，c＝7
【分析】
（1）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变进行
求解即可；
（2）抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数进行求
解即可；
(1)解：抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，
∴y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7；
(2)抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7的图象关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，
∴﹣y＝﹣2（﹣x）2+8（﹣x）﹣7＝﹣2x2﹣8x﹣7，
即y＝2x2+8x+7
∴二次函数y＝ax2+bx+c中的a＝2，b＝8，c＝7．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是解题的
关键．
类型五、旋转几何综合拓展
5、△ABC和△DEC是等腰直角三角形， ， ，．
(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长
BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度 ，线
段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，
请说明理由．
(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中， ， ， ，将AC绕着
点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
【答案】(1) ， (2)成立，理由见分析(3)
【分析】
（1）通过证明 ，即可求证；
（2）通过证明 ，即可求证；
（3）过点C作 ，垂足为C，交AD于点H，根据旋转的性质，等腰直角三角
形的性质，勾股定理，即可求解．
解：(1) ， ，证明如下：
在 和 中，
， ， ，
，
，
，
，
，
，；
(2)成立，理由如下：
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(3)
如图，过点C作 ，垂足为C，交AD于点H，
由旋转性质可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 中： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
在 中， ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三
角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一
动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；
将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，
BF，EF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值为 ；
②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．
（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的
过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解答；（2）① ；②见解答；（3）是，∠MPN=30°．
【分析】
（1）由旋转60°知，∠ABD=∠EBF、AB=AE、BD=BF，故由SAS证出全等即可；
（2）①由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，且
CD+DF+FE最小值为CE，再由∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1求出BC和AB，再由旋转
知AB=BE，∠CBE=90°，最后根据勾股定理求出CE即可；
②先由△BDF为等边三角形得∠BFD=60°，再由C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∠BFE=120°=∠BDA，最后ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，即证；
（3）由中位线定理知道MN∥AD且PN∥EF，再设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，则
∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，得∠PNM=120°．
（1）证明：∵∠DBF=∠ABE=60°，
∴∠DBF-∠ABF=∠ABE-∠ABF，
∴∠ABD=∠EBF，
在△BDA与△BFE中，
，
∴△BDA≌△BFE（SAS）；
（2）①∵两点之间，线段最短，
即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴CD+DF+FE最小值为CE，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BE=AB=2，BC= ，
∵∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°，
∴CE= ，故答案为： ；
②证明：∵BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF为等边三角形，
即∠BFD=60°，
∵C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，
∴∠BFE=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴∠BDA=120°，
∴∠ADF=∠ADB-∠BDF=120°-60°=60°，
∴∠ADF=∠BFD，
∴AD∥BF；
（3）∠MPN的大小是为定值，理由如下：
如图，连接MN，
∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，
∴MN∥AD且PN∥EF，
∵AB=BE且∠ABE=60°，
∴△ABE为等边三角形，
设∠BEF=∠BAD=α，∠PAN=β，
则∠AEF=∠APN=60°-α，∠EAD=60°+α，
∴∠PNF=60°-α+β，∠FNM=∠FAD=60°+α-β，
∴∠PNM=∠PNF+∠FNM=60°-α+β+60°+α-β=120°，
∵△BDA≌△BFE，
∴MN= AD= FE=PN，∴∠MPN= (180°-∠PNM)=30°．
【点拨】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的
判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定
与性质是解题关键 ．
【变式2】 如图1，正方形 的边长为4，点 在边 上（ 不与 重合），
连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转90°得到 ，将线段 绕点 逆时针旋转90°
得到 ．连接 ．
（1）求证：
① 的面积 ；
② ；
（2）如图2， 的延长线交于点 ，取 的中点 ，连接 ，求 的取
值范围．
【答案】（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜
【分析】
（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明 ，即可得到结论；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明 ，结合 ，可
得GD=EH，同理：FG=AH，从而得 ，进而即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点
H，可得∠AMD=90°，MN= EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重合时， EF最大值= ，当点P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得
到答案．
解：（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，
∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，
∴ （AAS），
∴FG=PD，
∴ 的面积 ；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，
∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，
∴ （AAS），
∴EH=PA，由①得：FG=PD，
∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，
由①得： ，
∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，
∴FG+ GD= EH+FG，
∴GD=EH，
同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，
∴ ，
∴ ；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点
H，
由（1）得： ，
∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∵点N是EF的中点，
∴MN= EF，
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，
此时EF最大值= ，
当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，
此时EF最小值= HG=8，
∴ 的取值范围是：4≤MN＜ ．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的
性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．
