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(七) 常微分方程
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1 、 单项选择题
以y1=ex，y2=e-3x为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是：
A ： y"-2y'-3y=0
B ： y"+2y'-3y=0
C ： y"-3y'+2y=0
D ： y"+2y'+y=0
正确答案： B
解析：
B的特解，满足条件。
2 、 单项选择题
设f1（x）和f2（x）为二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+q=0的两个特解，若 由f1（x）
和f2（x）能构成该方程的通解，下列哪个方程是其充分条件？
A ： f1（x） *f'2（x）-f2（x）f'1（x）=0
B ： f1（x） * f’2（x）-f2（x） *f'1（x）≠0
C ： f1（x）f'2（x）+f2（x）*f'1（x） =0
D ： f1（x）f'2（x）+f2（x）*f'1（x） ≠0
正确答案： B
解析：3 、 单项选择题
已知r1=3，r2=-3是方程y"+py'+qy=0（p和q是常数）的特征方程的两个根，则该微分方
程是下列中哪个方程？
A ： y"+9y'=0
B ： y"-9y'=0
C ： y"+9y=0
D ： y"-9y=0
正确答案： D
解析：
提示：利用r1=3，r2=-3写出对应的特征方程。
4 、 单项选择题
A ： 通解
B ： 特解
C ： 不是解
D ： 是解，但不是通解也不是特解
正确答案： D
解析：
5 、 单项选择题
若y1（x）是线性非齐次方程y'+p（x）y=Q（x）的一个特解，则该方程的通解是下列中
哪一个方程？
正确答案： B
解析：
提示：非齐次方程的通解是由齐次方程的通解加非齐次方程的特解构成，令Q（x）=0，求对应齐次方程y'+p（x）y=0的通解。
6 、 单项选择题
正确答案： D
解析：
提示：先求出二阶常系数齐次方程的通解，代入初始条件，求出通解中的C1，C2值，得
特解。
7 、 单项选择题
微分方程：ydx+（y2x-ey）dy=0是下述哪种方程？
A ： 可分离变量方程
B ： —阶线性的微分方程
C ： 全微分方程
D ： 齐次方程
正确答案： B
解析：
提示：方程可化为x'+p（y）x=Q（y）的形式。
8 、 单项选择题
已知y1(X)与y2(x)是方程：y" + P(x)y'+Q(x)y = 0的两个线性无关的特解，y1(x)和y2(x)分别
是方程y"+P(x)y'+Q(x)y=R1(x)和y"+p(x)+Q(x)y=R2(x)的特解。那么方
程y"+p(x)y'+Q(x)y=R1(x)+R2(x)的通解应是：
A ： c1y1+c2y2
B ： c1Y1(x) +c2Y2 (x)
C ： c1y1+c2y2 +Y1(x)
D ： c1y1+c2y2 +Y1 (x) +Y2 (x)
正确答案： D
解析：提示：按二阶线性非齐次方程通解的结构，写出对应二阶线性齐次方程的通解和非齐次
方程的一个特解，得到非齐次方程的通解。
9 、 单项选择题
已知微分方程y'+p（x）y = q（x）[q（x）≠0]有两个不同的特解y1（x）， y2（x），C
为任意常数，则该微分方程的通解是：
A ： y=C（y1-y2）
B ： y=C（y1+y2）
C ： y=y1+C（y1+y2）
D ： y=y1+C（y1-y2）
正确答案： D
解析：
提示：y'+p（x）y=q（x），y1（x）-y2 （x）为对应齐次方程的解。微分方程：y'+p
（x）=q（x）的通解为：y=y1+C（y1 -y2）。
10 、 单项选择题
微分方程xy'— ylny=0满足y（1）=e的特解是：
A ： y=ex
B ： y=ex
C ： y=e2x
D ： y=lnx
正确答案： B
解析：
11 、 单项选择题
方程y'=p（x）y的通解是：正确答案： D
解析：
提示：方程：y'=p（x）y为一阶可分离变量方程。
12 、 单项选择题
微分方程y"-3y'+2y=xex的待定特解的形式是：
A ： y=（Ax2+Bx）ex
B ： y=（Ax+B）ex
C ： y=Ax2ex
D ： y=Axex
正确答案： A
解析：
提示：特征方程：r2 -3r + 2 = 0，r1 = 1，r2 = 2 ，f（x）=xex，λ=1，为对应齐次方程
的特征方程的单根，
∴特解形式y* = x（Ax +B） *ex
13 、 单项选择题
微分方程(1+y)dx-(1-x)dy=0的通解是(c为任意常数)：
正确答案： C
解析：
积分得：ln(1-
x)+ln(1+y)=lnc。14 、 单项选择题
设f（x）、f'（x）为已知的连续函数，则微分方程y'+ f'（x）y = f（x）f'（x）的通解是：
正确答案： C
解析：
提示：对关于y、y'的一阶线性方程求通解。其中P（x）=f'（x）、Q（x）=f（x） * f'
（x），
15 、 单项选择题
下列一阶微分方程中，哪一个是一阶线性方程？
正确答案： A
解析：
提示：把一阶阶段方程化为x'+p（y）x=Q（y）的形式。
16 、 单项选择题
设线性无关函数y1、y2、y3都是二阶非齐次线性方程y"+pxy'+Qxy=fx的解，c1、c2是待
定常数。则此方程的通解是：
A ： c1y1+c2y2+y3
B ： c1y1+c2y2-（c1+c3）y3
C ： c1y1+c2y2-（1-c1-c2）y3
D ： c1y1+c2y2+（1-c1-c2）y3
正确答案： D
解析：
提示：y1-y3，y2-y3为对应齐次方程二个线性无关解，y3为非齐次方程的特解。
17 、 单项选择题正确答案： C
解析：
提示：对方程两边求导，得一阶线性方程f‘（x）+2f（x）=2x，求通解。
18 、 单项选择题
正确答案： B
解析：
19 、 单项选择题
若y1（x）是线性非齐次方程y '+ p（x）= Q（x）的解，y1（x）是对应的齐次方程y'+p
（x）y=0的解，则下列函数中哪一个是y '+ p（x）y= Q（x）的解？
A ： y=cy1（x）+y2（x）
B ： y=y1（x）+c2y2（x）
C ： y=c[y1 （x）+y2（x）]
D ： y=c1y（x）-y2（x）
正确答案： A
解析：
提示：由一阶线性非齐次方程通解的结构确定，即由对应齐次方程的通解加上非齐次的
一特解组成。
20 、 单项选择题微分方程y"-4y=6的通解是(c1，c2为任意常数)：
A ： c1e2x-c2e-2x+1
B ： c1e2x+c2e-2x -1
C ： e2x-e-2x +1
D ： c1e2x+c2e-2x -2
正确答案： B
解析：
提示：①求对应齐次方程通解。
