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第八章 常微分方程
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1 、 单选题
曲线y＝y（x）经过原点且在原点处的切线与直线2x＋y＝6平行，而y＝y（x）满足方
程y″－2y′＋5y＝0，则此曲线的方程为（ ）。
2 、 单选题
设函数y1（x）、y2（x）、y3（x）线性无关，且都是二阶非齐次线性方程y″＋p（x）y′
＋q（x）y＝f（x）的解，又c1与c2为任意常数，则该非齐次线性方程的通解可表示为
（ ）。
A ： c1y1＋c2y2＋y3
B ： c1y1＋c2y2－（c2＋c1）y3
C ： c1y1＋c2y2－（1－c1－c2）y3
D ： c1y1＋c2y2＋（1－c1－c2）y3
3 、 单选题
4 、 单选题
若用代换y＝z^m可将微分方程y′＝axα＋byβ（αβ≠0）化为一阶齐次方程dz/dx＝f
（z/x），则α，β应满足的条件是（ ）。
A ： 1/β－1/α＝1B ： 1/β＋1/α＝1
C ： 1/α－1/β＝1
D ： 1/β＋1/α＝－1
5 、 单选题
微分方程xdy－ydx＝y^2eydy的通解为（ ）。
A ： y＝x（e^x＋C）
B ： x＝y（e^y＋C）
C ： y＝x（C－e^x）
D ： x＝y（C－e^y）
6 、 单选题
已知y＝x/lnx是微分方程y′＝y/x＋φ（x/y）的解，则φ（x/y）的表达式为（ ）。
7 、 单选题
若f（x）可导，且f（0）＝1，对任意简单闭曲线L，
A ： 2
B ： 4/3
C ： π
D ： 3
8 、 单选题
设函数f（x）处处可微，且有f′（0）＝1，并对任何x，y恒有f（x＋y）＝exf（y）＋eyf
（x），则f（x）＝（ ）。
9 、 单选题
方程xdy/dx＝yln（y/x）的通解为（ ）。A ： ln（y/x）＝Cx－1
B ： ln（y/x）＝Cx2＋1
C ： ln（y/x）＝Cx2＋x
D ： ln（y/x）＝Cx＋1
10 、 单选题
设y＝f（x）是y″－2y′＋4y＝0的一个解，若f（x0）＞0且f′（x0）＝0，则f（x）在点x0处
（ ）。
A ： 取得极大值
B ： 某邻域内单调递增
C ： 某邻域内单调递减
D ： 取得极小值
11 、 单选题
方程y′＝（sinlnx＋coslnx＋a）y的通解为（ ）。
12 、 单选题
设函数ψ（x）具有二阶连续导数，且ψ（0）＝ψ′（0）＝0，并已知yψ（x）dx＋[sinx
－ψ′（x）]dy＝0是一个全微分方程，则ψ（x）等于（ ）。
13 、 单选题14 、 单选题
15 、 单选题
已知级数 的和函数y（x）是微分方程y″－y＝－1的解，则y
（x）＝（ ）。
A ： 1＋shx
B ： 1＋chx
C ： shx
D ： chx
16 、 单选题
设函数φ（x）具有二阶连续导数且φ（0）＝0，并且已知yφ（x）dx＋[sinx－φ（x）]dy
＝0是一个全微分方程，则φ（x）＝（ ）。
17 、 单选题
如果二阶常系数非齐次线性微分方程y″＋ay′＋by＝e^－xcosx有一个特解y^*＝e^－x
（xcosx＋xsinx），则（ ）。
A ： a＝－1，b＝1
B ： a＝1，b＝－1
C ： a＝2，b＝1
D ： a＝2，b＝2
18 、 单选题
一曲线在其上任一点的切线的斜率为－2x/y，则此曲线是（ ）。A ： 直线
B ： 抛物线
C ： 椭圆
D ： 圆
19 、 单选题
在下列微分方程中，以y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3为任意常数）为通解
的是（ ）。
A ： y″′＋y″－4y′－4y＝0
B ： y″′＋y″＋4y′＋4y＝0
C ： y″′－y″－4y′＋4y＝0
D ： y″′－y″＋4y′－4y＝0
20 、 单选题
21 、 单选题
微分方程dy/dx＝y/x－（1/2）（y/x）^3满足y|x＝1＝1的特解为y＝（ ）。
22 、 单选题23 、 单选题
初值问题y″＝e2y＋ey，y（0）＝0，y′（0）＝2的解为（ ）。
A ： y＋ln（1＋ey）＝x－ln2
B ： y－ln（1＋ey）＝x－ln2
C ： y－ln（1＋ey）＝x－2
D ： y＋ln（1＋ey）＝x－2
24 、 单选题
25 、 单选题
函数y1（x）、y2（x）是微分方程y′＋p（x）y＝0的两个不同特解，则该方程的通解为
（ ）。
A ： y＝c1y1＋c2y2
B ： y＝y1＋cy2
C ： y＝y1＋c（y1＋y2）
D ： y＝c（y1－y2）
26 、 单选题
27 、 单选题
A ： y″′－y″－y′＋y＝0
B ： y″′＋y″－y′－y＝0
C ： y″′－6y″＋11y′－6y＝0D ： y″′－2y″－y′＋2y＝0
28 、 单选题
设非齐次线性微分方程y′＋P（x）y＝Q（x）有两个不同的解y1（x），y2（x），C为任
意常数，则该方程的通解是（ ）。
A ： C[y1（x）－y2（x）]
B ： y1（x）＋C[y1（x）－y2（x）]
C ： [y1（x）＋y2（x）]
D ： y1（x）＋C[y1（x）＋y2（x）]
29 、 单选题
微分方程y″－2y′＝xe^2x的特解具有形式（ ）。
A ： y*＝Axe^2x
B ： y*＝（Ax＋B）e^2x
C ： y*＝x（Ax＋B）e^2x
D ： y*＝x2（Ax＋B）e^2x
30 、 单选题
已知函数yt＝t（t－1）/2＋C是方程yt＋1－yt＝f（t）的解，则f（t）＝（ ）。
A ： t－1
B ： t－2
C ： t
D ： 2－t
31 、 单选题
32 、 单选题
微分方程y″－y＝e^x＋1的一个特解应具有形式（ ）。
A ： ae^x＋b
B ： axe^x＋b
C ： ae^x＋bx
D ： axe^x＋bx33 、 单选题
已知方程xy″＋y′＝4x的一个特解为x^2，又其对应的齐次方程有一特解lnx，则它的通解为
（ ）。
34 、 单选题
方程y″＋16y＝sin（4x＋a）（a是常数）的特解形式为y*＝（ ）。
35 、 单选题
36 、 单选题
微分方程xy″＋3y′＝0的通解为（ ）。
37 、 单选题38 、 单选题
某公司每年的工资总额比上一年增加20%的基础上再追加200万元，若以Wt表示第t年的
工资总额（单位百万元），Wt满足的差分方程为（ ）。
A ： Wt＝1.44Wt－1＋2
B ： Wt＝1.2Wt－1＋2
C ： Wt＝1.5Wt－1＋2
D ： Wt＝2Wt－1＋2
39 、 单选题
微分方程y^（4）－y＝e^x＋3sinx的特解可设为（ ）。
A ： e^x＋Bcosx＋Csinx
B ： Axe^x＋Bcosx＋Csinx
C ： x（Ae^x＋Bcosx＋Csinx）
D ： Ae^x＋Bsinx
40 、 单选题
41 、 单选题
设常系数方程y″＋by′＋cy＝0的两个线性无关的解为y1＝e^－2xcosx，y2＝e^－2xsinx，
则b＝（ ），c＝（ ）。
A ： 3；2
B ： 2；3
C ： 5；4
D ： 4；542 、 单选题
设y＝ex（c1sinx＋c2cosx）（c1、c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的
通解，则该方程为（ ）。
A ： y″－y′＋y＝0
B ： y″－2y′＋2y＝0
C ： y″－2y′＝0
D ： y′＋2y＝0
43 、 单选题
设函数y1，y2，y3都是线性非齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的不相等的特解，
则函数y＝（1－c1－c2）y1＋c1y2＋c2y3（ ）。（c1，c2为任意常数）
A ： 是所给方程的通解
B ： 不是方程的解
C ： 是所给方程的特解
D ： 可能是方程的通解，但一定不是其特解
44 、 单选题
45 、 单选题
设y1＝e^xcos2x，y2＝e^xsin2x都是方程y″＋py′＋qy＝0的解，则（ ）。
A ： p＝2，q＝5
B ： p＝－2，q＝5
C ： p＝－3，q＝2
D ： p＝2，q＝2
46 、 单选题
设函数y＝f（x）具有二阶导数，且f′（x）＝f（π/2－x），则该函数满足的微分方程为
（ ）。
A ： f″（x）＋f（x）＝0
B ： f′（x）＋f（x）＝0
C ： f″（x）＋f′（x）＝0
D ： f″（x）＋f′（x）＋f（x）＝047 、 单选题
微分方程y′＋ytanx＝cosx的通解为y＝（ ）。
A ： cosx（x＋C）
B ： sinx（x2＋C）
C ： sinx（x＋C）
D ： cosx（x2＋C）
48 、 单选题
若二阶常系数线性齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的通解为y＝（C1＋C2x）ex，则非齐次
方程y″＋ay′＋by＝x满足条件y（0）＝2，y′（0）＝0的解为y＝（ ）。
49 、 单选题
50 、 单选题
微分方程xy′＋2y＝xlnx满足y（1）＝－1/9的解为（ ）。
A ： y＝（x/3）（lnx－1/3）
B ： y＝（x/6）（lnx－1/3）
C ： y＝（x/3）（lnx－1/2）
D ： y＝（x/6）（lnx－1/2）
51 、 单选题52 、 单选题
设f1（x），f2（x）是二阶线性齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的两个特解，则c1f1
（x）＋c2f2（x）（c1，c2是任意常数）是该方程的通解的充要条件为（ ）。
A ： f1（x）f2′（x）－f2（x）f1′（x）＝0
B ： f1（x）f2′（x）＋f1′（x）f2（x）＝0
C ： f1（x）f2′（x）－f1′（x）f2（x）≠0
D ： f1′（x）f2（x）＋f2（x）f1（x）≠0
53 、 单选题
微分方程y″＋[2/（1－y）]（y′）^2＝0的通解为（ ）。
A ： y＝1/（c1x－c2）－1
B ： y＝1/（c1x＋c2）－1
C ： y＝1－1/（c1x－c2）
D ： y＝1－1/（c1x＋c2）
54 、 单选题
已知yt＝3e^t是方程yt＋1＋ayt－1＝e^t的一个特解，则a＝（ ）。
A ： e（1/3－e）
B ： e（1/3＋e）
C ： e（1/2＋e）
D ： e（1/2－e）
55 、 单选题
以y1＝e^x，y2＝e^2xcosx为特解的最低阶数的常系数线性齐次方程为（ ）。
A ： y″′－5y″－9y′－5y＝0
B ： y″′－5y″－5y′－5y＝0
C ： y″′－5y″＋9y′－5y＝0
D ： y″′－5y″＋5y′－5y＝0
56 、 单选题
微分方程xy′＋y＝0满足条件y（1）＝1的解释y＝（ ）。A ： 1/x
B ： 2/x2
C ： 1/x2
D ： 2/x
57 、 单选题
58 、 单选题
59 、 单选题
微分方程xdy/dx＋y＝ydy/dx的通解为（ ）。
60 、 单选题
