军队文职考试考点集锦数学1_军队文职(1)_02.专业课考点资料（多专业都有）

军队文职笔试考点集锦 《数学 1》目 录 第一部分 高等数学...........................................................................................................................1 考点一：函数 极限 连续.............................................................................................................1 考点二：一元函数微分学.............................................................................................................2 考点三：一元函数积分学.............................................................................................................3 考点四：多元函数微分学.............................................................................................................4 考点五：多元函数积分学.............................................................................................................4 考点六：常微分方程.....................................................................................................................5 考点七：无穷级数.........................................................................................................................5 考点八：向量代数与空间解析几何.............................................................................................6 第二部分 线性代数...........................................................................................................................9 考点一：行列式.............................................................................................................................9 考点二：矩阵...............................................................................................................................10 考点三：向量...............................................................................................................................11 考点四：线性方程组...................................................................................................................11 考点五：矩阵的相似化简...........................................................................................................12 考点六：二次型...........................................................................................................................12 第三部分 概率论与数理统计........................................................................................................13 考点一：随机事件和概率...........................................................................................................13 考点二：一维随机变量及其分布...............................................................................................15 考点三：二维随机变量及其分布...............................................................................................18 考点四：随机变量的数字特征...................................................................................................18 考点五：大数定律和中心极限定理...........................................................................................19 考点六：样本及抽样分布...........................................................................................................19 考点七：参数估计与假设检验...................................................................................................20第一部分 高等数学 考点一：函数 极限 连续 基本初等函数：常数函数；幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数。 初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析 式表示的函数。 复合函数：设函数y f(u)的定义域为D ，函数u(x)的值域为Z ，若集合D 与 f  f Z 的交集非空，称函数 y f[(x)]为函数 y f(u)与u(x)复合而成的复合函数，u  为中间变量。 分段函数：若一个函数在其定义域的不同部分要用不同的式子表示其对应法则，则称其 (x),a xb 为一个分段函数。如 f(x) 即为分段函数。 (x),c xd 函数的几何特性：奇偶性、周期性、有界性、单调性。 极限存在的两个准则： （1）夹逼定理：若g(x) f (x) h(x)，且limg(x)limh(x) A lim f(x) A。 x x x （2）单调有界数列必有极限 sinx 1 1 两个重要极限：lim 1；lim(1 )x e 或 lim(1x)x e x0 x x x x0 利 用 等 价 无 穷 小 求 极 限 ： 在 同 一 个 极 限 过 程 当 x 时 ， 若   , lim lim 。 x x 由函数 f (x)在x 连续的定义易知： f (x)在x x 点连续 lim f(x) f(x ) 0 0 xx 0 0 闭区间连续函数的性质： （1）（最值定理）：闭区间上的连续函数必取得最大值与最小值。 推论：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。 （2）（介值定理）：闭区间上的连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。 第 1 页[ ] （3）（零点定理）：设函数 f (x) 在闭区间 a,b 上连续，且 f (a) 与 f (b) 异号，那么 至少存在一点 a,b  ，使得 f ()  0 。 考点二：一元函数微分学 可导的充要条件： f '  x  存在 左右导数存在且 f '  x  f '  x  0  0  0 区间可导和导函数的概念： 如果y  f  x  在  a,b  的每一点都可导，称y  f  x  在  a,b  内可导，其中 f '  x  为 导函数。如果y  f  x  在  a,b  内可导且在a点右可导，在b 点左可导，则称 y  f  x  在     a,b 可导，其中 f ' x 为导函数。 基本求导公式： （1）y c（常数） y0（2） y  x（为常数）， yx1 （3） y  ax，y ax lna，特例(ex)ex 1 1 （4） y logx(a 0，a 1)， y ，(lnx) a xlna x （5） y sinx， ycosx（6）y cosx， y sinx 1 1 （7） y  tanx， y （8）y  cotx， y  cos2 x sin2 x （9） y secx， ysecxtanx（10） y  cscx， ycscxcotx 1 1 （11） y arcsinx， y （12） y arccosx， y  1x2 1 x2 1 1 （13） y arctanx ， y （14）y  arccotx，y  1 x2 1 x2 导数的四则运算法则： （1）  f  x g  x  ' f '  x g'  x  （2） f  x  g  x  ' f '  x  g  x  f  x  g'  x  第 2 页 f  x  f '  x  g  x  f  x  g'  x  （3） ' g  x  g2 x    复合函数求导法则： 复合函数的导数：设函数u  g  x  在点x处可导，而函数 y  f  u  在点u  g  x  可 dy dy dy du 导，则复合函数y f  g(x) 在点x处可导，且  f '  u  g'  x 或  （链式法 dx dx du dx 则）。 基本微分公式与微分法则 （1）d  f  x g  x   df  x dg  x  （2）d  f  x  g  x    g  x  df  x  f  x  dg  x   f  x  g  x  df  x  f  x  dg  x  （3）d  (g  x 0) g  x  g2 x    洛必达法则： 若（1）当xa（或x）时， f  x  及F  x  都趋于零；（2）在点a的某去心领 f x  域内， f x  及F x  都存在且F x 0；（3）lim 存在（或为无穷大），那么 xa F x  f  x  f x  lim lim 。 xa F  x  xa F x  考点三：一元函数积分学 不定积分： 在区间I 上，函数 f (x)的带有任意常数项的原函数称为 f (x)在区间I 上的不定积分， 记作 f(x)dx。若F(x)是 f (x)在I 上的一个原函数，那么F(x)C 就是 f (x)的不定积 分，即 f(x)dx F(x)C. 积分方法： （1）借助积分公式和不定积分的性质 （2）第一换元法（凑微分法） 第 3 页设 f  u 具有原函数F  u ，u x 存在连续导数，则有换元公式  f[(x)](x)dx F  u C  F  x C   （3）第二换元积分法 设x (t)可导，且'(t)0，若 f    t   t  dt G  t  C，则  f  x  dx 令x  t   f   t   t  dt  G  t  C  G  1 x   C （4）分部积分法 u  x  dv  x  u  x  v  x  v  x  du  x  或 u  x  v x  dx u  x  v  x  u x  v  x  dx 牛顿-莱布尼兹公式： 设 f (x)在[a,b]上连续，F(x)为 f (x)在[a,b]上任意一个原函数， b   b f  x  dx  F  x   F  b  F  a  a a 考点四：多元函数微分学 求偏导数的方法 （1）求某点的偏导数 （2）复合函数求偏导 z  f (u,v),u u(x,y),v  v(x,y),z 对u,v 有连续偏导数，u,v 对x,y偏导数存在， z u v z u v 则  f'(u,v)  f'(u,v) ,  f'(u,v)  f'(u,v) x u x v x y u y v y 考点五：多元函数积分学 二重积分的性质： （1）[f (x,y)g(x,y)]d f (x,y)d g(x,y)d,,任意常数。 D D D （2）若区域D分为两个部分区域D,D ，则 1 2  f (x,y)d  f (x,y)d f (x,y)d D D1 D2 （3）若在D上， f  x,y 1，为区域D的面积，则d。 D 第 4 页（4）若在D上 f (x,y) g(x,y),则有 f(x,y)dg(x,y)d。 D D 特殊地  f(x,y)d   f(x,y) d D D 考点六：常微分方程 含有未知一元函数及其导数和自变量的方程称为常微分方程，简称微分方程。 方程y p(x)y  q(x)，当右端项q(x)恒为零时称其为一阶线性齐次微分方程，否则 称其为一阶线性非齐次微分方程。 一阶线性微分方程公式解： ye p(x)dx (q(x)e p(x)dx dxC)。 考点七：无穷级数 数项级数的性质：   （1）级数ku 与u 同敛散性，其中k0。 n n n1 n1      （2）若级数u 和 都收敛，则级数(u  )u  必收敛。 n n n n n n n1 n1 n1 n1 n1 （3）在级数中去掉、加上或改变有限项、不会改变级数的收敛性。  （4）如果级数u 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和 n n1 不变。  （5）级数收敛的必要条件：若级数u 收敛，则limu 0。 n n n n1 周期为2l 的傅里叶级数： 设函数 f(x)是周期为2l 的周期函数，且在[l,l]上可积，则称 1 l n 1 l n a   f(x)cos xdx(n0,1,2,)，b   f(x)sin xdxn) n l l l n l l l a  n n 为 f(x)的傅里叶系数；称级数 0 (a cos xb sin x)为 f(x)的傅里叶级 2 n l n l n1 第 5 页a  n n 数，记作 f(x) 0 (a cos xb sin x)。 2 n l n l n1 定义在[0,l]上的函数的傅里叶级数展开： 要先对 f(x) 进行奇（或偶）延拓，再周期延拓可将 f(x)展开成正弦级数（或余弦级 数）。 （1）正弦级数展开 f(x)~   b sin n x ，x[0,l]，其中b  2  l f(x)sin n xdx，(n 1,2,...) n l n l 0 l n1 （2）余弦级数展开 f(x) a 0   a cos n x，其中x[0,l] a  2  l f(x)cos n xdx ，(n  0,1,2,...) 2 n l n l 0 l n1 考点八：向量代数与空间解析几何 数量积： （1）定义：ab |a||b|cos。 （2）坐标表示：aba b a b a b 。 x x y y z z （3）运算规律： ①交换律：ab  ba ②分配律：a(bc)abac （4）几何应用： ①求模：|a | aa ab ②求夹角：cos |a ||b| ③判定两向量垂直：a  b  ab  0 向量积： （1）定义：ab是一向量。 ①模：|ab||a||b|sin。 ②方向：右手法则。 第 6 页i j k （2）坐标表示：ab  a a a 。 x y z b b b x y z （3）运算规律 ①ab=(ba) ②分配律：a（bc ）=ab+ac 。 （4）几何应用： ①求同时垂直于a和b的向量：ab。 ②求以a和b为邻边的平行四边形面积：S |ab|。 ③判定两向量平行：a//b  ab  0。 混合积： （1）定义：[a,b,c](ab)c （2）坐标表示： a a a x y z [a,b,c] b b b 。 x y z c c c x y z （3）运算规律： ①轮换对称性：[a,b,c][b,c,a][c,a,b]。 ②交换变号：[a,b,c] [a,c,b]。 平面及其方程： （1）点法式方程： 已知平面上的一点M (x ,y ,z )及其一个法向量n (A,B,C)，则平面方程为 0 0 0 0 A(x x ) B(y y )C(z z )  0。 0 0 0 （2）一般方程：AxByCzD 0 任一平面都可以用三元一次方程来表示；反之，任何的三元一次方程都表示一个平面。 x y z （3）截距式方程：   1，abc  0。 a b c （4）点到平面的距离 平面外一点M (x ,y ,z ) 到平面AxByCzD 0的距离为 0 0 0 0 第 7 页Ax By Cz D d  0 0 0 A2 B2 C2 直线及其方程： 直线方向向量的定义：任一平行于空间直线L 的非零向量s都称为直线L 的方向向量。 （1）对称式方程 设s (m,n, p)是直线L 的一个方向向量，M (x ,y ,z )是直线上一定点，则该直线方 0 0 0 0 xx y y zz 程为： 0  0  0 。 m n p x x mt 0  （2）参数方程：y y nt ，其中t为参数 0  z  z  pt 0  AxB yC zD 0 （3）一般方程： 1 1 1 1 A xB yC zD 0 2 2 2 2 （4）点到直线的距离 点M 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，直线的方向向量为s，则点M 到直 0 0  M M s 0 线L 的距离为：d  。 s 两平面间的位置关系： （1）两平面夹角的概念：设平面 , 的法向量分别为n,n ，n与n 所夹的不超过 1 2 1 2 1 2   的角称为 与 的夹角，0 ． 2 1 2 2 n n （2）两平面夹角的计算：cos 1 2 |n ||n | 1 2 （3）两平面的位置关系 ①两平面垂直 n n  A A B B CC 0 1 2 1 2 1 2 1 2 A B C ②两平面平行 n //n  1  1  1 1 2 A B C 2 2 2 A B C D 特别的，两平面重合 1  1  1  1 A B C D 2 2 2 2 第 8 页两直线间的位置关系：  （1）两直线的夹角：两直线方向向量所夹的不超过 的角称为L与L 的夹角， 2 1 2  0 。 2 |s s | （2）两直线夹角的计算：cos 1 2 。 |s ||s | 1 2 （3）两直线的位置关系： ①两直线L和L 垂直 mm nn  p p 0。 1 2 1 2 1 2 1 2 m n p ②两直线L和L 平行 1  1  1 。 1 2 m n p 2 2 2 直线和平面的位置关系： （1）直线和平面的夹角  当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角(0 )称为直线 2  与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为 。且 2 sn sin s n （2）直线和平面的位置关系 ①直线与平面平行 s  n  Am  Bn Cp  0。 ②直线与平面相交 s和n不垂直 Am BnCp  0。 A B C 特别的，直线与平面垂直 s//n    。 m n p 第二部分 线性代数 考点一：行列式 余子式与代数余子式： A 1 ij M ，其中M 是D中去掉a 所在的第i行第 j列全部元素后，按原顺序 ij ij ij ij 排成的n1阶行列式，称为元素a 的余子式，A 为元素a 的代数余子式。 ij ij ij 第 9 页行列式的展开定理： 行列式对任一行按下式展开，其值相等，即Da A a A ...a A 。 i1 i1 i2 i2 in in 克莱姆法则： n个未知量n个方程的线性方程组，在系数行列式不等于零时的方程组解法。 考点二：矩阵 矩阵的运算     （1）加法 设A a 和B  b ，规定 ij mn ij mn  a b a b  a b  11 11 12 12 1n 1n   a b a b  a b AB   a b    21 21 22 22 2n 2n 。 ij ij         a b a b  a b  m1 m1 m2 m2 mn mn 并称AB为 A 与B 之和。   （2）矩阵的数量乘法（简称数乘）：设k是数域R 中的任意一个数，A a ， ij mn 规定 ka ka  a  11 12 1n   ka ka  a kA  ka    21 22 2n  。 ij         ka ka  a  m1 m2 mn 并称这个矩阵为k与A的数量乘积。 （3）矩阵的乘法 设 A 是一个mn矩阵，B 是一个ns矩阵，即 a a  a  b b  b  11 12 1n 11 12 1s     a a  a b b  b A  21 22 2n ,B  21 22 2s ,               a a  a  b b  b  m1 m2 mn n1 n2 ns   则 A 与B 之乘积AB （记作C  c ）是一个ms矩阵，且 ij n c a b a b ...a b  a b 。 ij i1 1j i2 2j in nj ik kj k1 即矩阵C  AB的第i行第 j列元素c 是 A 的第i行n个元素与B 的第 j列相应的n ij 第 10 页个元素分别相乘的乘积之和。 考点三：向量 向量组的极大无关组与秩： 设向量组,,..., 的部分组 , ,..., 满足条件： 1 2 s i1 i2 ir （1） , ,..., 线性无关； i1 i2 ir （2）,,..., 中的任一向量均可由 , ,..., 线性表示， 1 2 s i1 i2 ir 则称向量组 , ,..., 为向量组,,..., 的一个极大线性无关组，简称极大无关 i1 i2 ir 1 2 s 组。 向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记为r ,,...,r。 1 2 s k阶子式：   矩阵 A a 的任意k个行和任意k个列的交点上的k2个元素按原顺序排成k阶 ij mn a a  a i j i j i j 11 1 2 1 k a a  a 行列式 i 2 j 1 i 2 j 2 i 2 j k 称为A的k阶子式。     a a  a i j i j i j k 1 k 2 k k 矩阵的秩： 矩阵A中存在一个r阶子式不为零，而所有r1阶子式全为零（若存在），则称矩阵 的秩为r，记为r  A r，即非零子式的最高阶数。 考点四：线性方程组 线性方程组的三种表达形式：一般形式（代数形式）、矩阵形式、向量形式。 解的判定： （1）设A是mn矩阵，则齐次线性方程组Ax0有非零解（只有零解）的充要条件 为r  A n  r  A n  。 （2）令A,,..., ， Ax0，即x x ...x 0有非零解（只有 1 2 n 1 1 2 2 n n 第 11 页零解）,,..., 线性相关（无关） 1 2 n r  A n  r  A n   A的列向量线性相关（无关） 通解： 若r  A r n，则 Ax0有非零解，设,,..., 是 Ax0的基础解系，则 1 2 nr xkk ...k  是Ax0的通解，其中k ,k ,...,k 是任意常数。 1 1 2 2 nr nr 1 2 nr 求解齐次线性方程组A x 0的方法步骤： mn （1）若r  A n，则无基础解系，只有零解； （2）若r  A n，用初等行变换化系数矩阵A为行阶梯形； 考点五：矩阵的相似化简 方阵的特征值和特征向量： 设 A为n阶矩阵，若存在常数和非零n维列向量，使A，则称为 A的 特征值，是 A的属于特征值的特征向量。 相似矩阵的概念： 设A,B是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使B P1AP，则称矩阵A与B相似，记为 A~ B，称P1AP是对A作相似变换。 考点六：二次型 二次型的矩阵表示： 由于x x  x x ，则2a x x a x x a x x (i j)，于是（1）式可以写成 i j j i ij i j ij i j ij j i f(x ,x ,,x )a x2 a x x a x x 1 2 n 11 1 12 1 2 1n 1 n a x x a x2 a x x  12 2 1 22 2 2n 2 n a x x a x x a x2 1n n 1 2n n 2 nn n 第 12 页a a  a x  11 12 1n 1    a a  a x (x ,x ,,x )  12 22 2n 2 。 （2） 1 2 n           a a  a x  1n 2n nn n a a  a  11 12 1n   a a  a 记x x ,x ,,x T ,A  12 22 2n ,A AT ，则 f xTAx，其中 A叫 1 2 n        a a  a  1n 2n nn 做二次型的矩阵。 任意一个二次型都是和它的实对称矩阵是一一对应的。 实对称阵A的秩就叫做二次型 f 的秩。 二次型的标准型： 只含平方项的二次型，称为二次型的标准形。例如： 1 x  1    f(x ,x ,x ) x2 5x2 8x2  x ,x ,x  5 x 。 1 2 3 1 2 3 1 2 3   2     8x  3 化二次型为标准形的方法：正交变换法、配方法。 第三部分 概率论与数理统计 考点一：随机事件和概率 随机试验： 定义：具有以下特点的试验称为随机试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行。 （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。 （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 样本空间： 样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间。 样本点e：样本空间的元素，即随机试验的每一可能结果称为样本点。 事件的运算律： 第 13 页（1）交换律：AB BA，AB BA （2）结合律：A  BC  AB  C ；  AB  C  A  BC  （3）分配律：A  BC  AB    AC  （4）德摩根律（对偶律）：AB AB，AB AB 概率的性质： （1）非负性：A,0 P  A 1 （2）规范性：P 0,P 1 （3）有限可加性：设 A,A ,...,A 是两两互不相容的事件，即对于AA ,i  j ， 1 2 n i j i, j 1,2,...，则有P  A A ...A  P  A P  A ...P  A  。 1 2 n 1 2 n （4）逆事件的概率：对于任一事件A，有P  A  1P  A  常用公式： （1）减法公式：设A,B是任意两个事件，则有P  AB P  A P  AB  。 若B A，则有P  AB  P  A P  B  ，P  B  P  A  。 （2）加法公式：对于任意两随机事件A,B有：P  AB  P  A P  B P  AB  对于3个事件的概率加法公式： P  ABC  P  A P  B P  C P  AB P  AC P  BC P  ABC  。 （3）贝叶斯公式（逆概率公式）： B,B ,...,B 是完备事件组，P  A 0,P  B 0,i1,2,...,n，则 1 2 n i     P B P A|B P  B | A   j j 。  j 1,2,...,n  j n P  B  P  A|B  i i i1 古典型概率： （1）定义：具有以下两特点的试验称为古典概型： ①样本空间有限  e,e ,...,e  ； 1 2 n ②等可能性 P  e  P  e  ...P  e  。 1 2 n 第 14 页（2）计算方法 A中基本事件的个数 P  A  。 中基本事件的总数 几何型概率： 如果试验E是从某一线段（或平面、空间中有界区域）上任取一点，并且所取得点 位于中任意两个长度（或平面、体积）相等的子区间（或子区域）内的可能性相同，则 所取得点位于中任意子区间（或子区域） A内这一事件（仍记作A）的概率为 A的长度（面积或体积） P  A  。 的长度（面积或体积） n重伯努利概型及其概率计算： （1）定义：只有两个结果A和A的试验称为伯努利试验，若将伯努利试验独立重复地 进行n次，则称为n重伯努利概型。 （2）二项概率公式 设在每次试验中，事件A发生的概率P  A  p  0 p1  ，则在n重伯努利试验中， 事件A发生k次的概率为B  n, p Ckpk  1 p nk  k 0,1,2,...,n  k n 考点二：一维随机变量及其分布 常用的离散型随机变量： （1）01分布 若随机变量X 只有两个可能的取值0和1，其概率分布为 P  X  x  px i  1 p 1x i，x 0,1 i i 则称X 服从01分布   （2）二项分布B n,p 设事件A在任意一次实验中出现的概率都是 p  0 p1  。X 表示n重伯努利试验中 事件A发生的次数，则X 所有可能的取值为0,1,2,...,n，且相应的概率为 P  X k Ckpk  1 p nk ,k 0,1,2,...,n。 n （3）几何分布 第 15 页若X 的概率分布为P ( X =k ( = ) 1 −p )k −1 p ， ( 0