军队文职考试考点集锦数学1_军队文职(1)_02.专业课考点资料（多专业都有）

军队文职笔试考点集锦
《数学 1》目 录
第一部分 高等数学...........................................................................................................................1
考点一：函数 极限 连续.............................................................................................................1
考点二：一元函数微分学.............................................................................................................2
考点三：一元函数积分学.............................................................................................................3
考点四：多元函数微分学.............................................................................................................4
考点五：多元函数积分学.............................................................................................................4
考点六：常微分方程.....................................................................................................................5
考点七：无穷级数.........................................................................................................................5
考点八：向量代数与空间解析几何.............................................................................................6
第二部分 线性代数...........................................................................................................................9
考点一：行列式.............................................................................................................................9
考点二：矩阵...............................................................................................................................10
考点三：向量...............................................................................................................................11
考点四：线性方程组...................................................................................................................11
考点五：矩阵的相似化简...........................................................................................................12
考点六：二次型...........................................................................................................................12
第三部分 概率论与数理统计........................................................................................................13
考点一：随机事件和概率...........................................................................................................13
考点二：一维随机变量及其分布...............................................................................................15
考点三：二维随机变量及其分布...............................................................................................18
考点四：随机变量的数字特征...................................................................................................18
考点五：大数定律和中心极限定理...........................................................................................19
考点六：样本及抽样分布...........................................................................................................19
考点七：参数估计与假设检验...................................................................................................20第一部分 高等数学
考点一：函数 极限 连续
基本初等函数：常数函数；幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数。
初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析
式表示的函数。
复合函数：设函数y f(u)的定义域为D ，函数u(x)的值域为Z ，若集合D 与
f  f
Z 的交集非空，称函数 y f[(x)]为函数 y f(u)与u(x)复合而成的复合函数，u

为中间变量。
分段函数：若一个函数在其定义域的不同部分要用不同的式子表示其对应法则，则称其
(x),a xb
为一个分段函数。如 f(x) 即为分段函数。
(x),c xd
函数的几何特性：奇偶性、周期性、有界性、单调性。
极限存在的两个准则：
（1）夹逼定理：若g(x) f (x) h(x)，且limg(x)limh(x) A lim f(x) A。
x x x
（2）单调有界数列必有极限
sinx 1 1
两个重要极限：lim 1；lim(1 )x e 或 lim(1x)x e
x0 x x x x0
利 用 等 价 无 穷 小 求 极 限 ： 在 同 一 个 极 限 过 程 当 x 时 ， 若
 
, lim lim 。
x x
由函数 f (x)在x 连续的定义易知： f (x)在x x 点连续 lim f(x) f(x )
0 0 xx 0
0
闭区间连续函数的性质：
（1）（最值定理）：闭区间上的连续函数必取得最大值与最小值。
推论：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
（2）（介值定理）：闭区间上的连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
第 1 页[ ]
（3）（零点定理）：设函数 f (x) 在闭区间 a,b 上连续，且 f (a) 与 f (b) 异号，那么
至少存在一点
a,b

，使得 f ()  0
。
考点二：一元函数微分学
可导的充要条件： f '

x

存在 左右导数存在且 f '

x

f '

x

0  0  0
区间可导和导函数的概念：
如果y  f  x  在  a,b  的每一点都可导，称y  f  x  在  a,b  内可导，其中 f '  x  为
导函数。如果y  f  x  在  a,b  内可导且在a点右可导，在b 点左可导，则称 y  f  x  在
   
a,b 可导，其中 f ' x 为导函数。
基本求导公式：
（1）y c（常数） y0（2） y  x（为常数）， yx1
（3） y  ax，y ax lna，特例(ex)ex
1 1
（4） y logx(a 0，a 1)， y ，(lnx)
a xlna x
（5） y sinx， ycosx（6）y cosx， y sinx
1 1
（7） y  tanx， y （8）y  cotx， y 
cos2 x sin2 x
（9） y secx， ysecxtanx（10） y  cscx， ycscxcotx
1 1
（11） y arcsinx， y （12） y arccosx， y 
1x2 1 x2
1 1
（13） y arctanx ， y （14）y  arccotx，y 
1 x2 1 x2
导数的四则运算法则：
（1）  f  x g  x  ' f '  x g'  x 
（2） f  x  g  x  ' f '  x  g  x  f  x  g'  x 
第 2 页 f  x  f '  x  g  x  f  x  g'  x 
（3） '
g

x
 g2
x

 
复合函数求导法则：
复合函数的导数：设函数u  g  x  在点x处可导，而函数 y  f  u  在点u  g  x  可
dy dy dy du
导，则复合函数y f  g(x) 在点x处可导，且  f '  u  g'  x 或  （链式法
dx dx du dx
则）。
基本微分公式与微分法则
（1）d  f  x g  x   df  x dg  x 
（2）d  f  x  g  x    g  x  df  x  f  x  dg  x 
 f  x  g  x  df  x  f  x  dg  x 
（3）d  (g  x 0)
g

x
 g2
x

 
洛必达法则：
若（1）当xa（或x）时， f  x  及F  x  都趋于零；（2）在点a的某去心领
f
x

域内，
f
x
 及F
x
 都存在且F
x
0；（3）lim
存在（或为无穷大），那么
xa
F
x

f

x
 f
x

lim lim 。
xa F

x

xa
F
x

考点三：一元函数积分学
不定积分：
在区间I 上，函数 f (x)的带有任意常数项的原函数称为 f (x)在区间I 上的不定积分，
记作 f(x)dx。若F(x)是 f (x)在I 上的一个原函数，那么F(x)C 就是 f (x)的不定积
分，即 f(x)dx F(x)C.
积分方法：
（1）借助积分公式和不定积分的性质
（2）第一换元法（凑微分法）
第 3 页设 f  u 具有原函数F  u ，u x 存在连续导数，则有换元公式
 f[(x)](x)dx F  u C  F  x C
 
（3）第二换元积分法
设x (t)可导，且'(t)0，若 f    t   t  dt G  t  C，则
 f  x  dx 令x  t   f   t   t  dt  G  t  C  G  1 x   C
（4）分部积分法
u  x  dv  x  u  x  v  x  v  x  du  x  或 u  x  v x  dx u  x  v  x  u x  v  x  dx
牛顿-莱布尼兹公式：
设 f (x)在[a,b]上连续，F(x)为 f (x)在[a,b]上任意一个原函数，
b
  b f  x  dx  F  x   F  b  F  a 
a a
考点四：多元函数微分学
求偏导数的方法
（1）求某点的偏导数
（2）复合函数求偏导
z  f (u,v),u u(x,y),v  v(x,y),z 对u,v 有连续偏导数，u,v 对x,y偏导数存在，
z u v z u v
则  f'(u,v)  f'(u,v) ,  f'(u,v)  f'(u,v)
x u x v x y u y v y
考点五：多元函数积分学
二重积分的性质：
（1）[f (x,y)g(x,y)]d f (x,y)d g(x,y)d,,任意常数。
D D D
（2）若区域D分为两个部分区域D,D ，则
1 2
 f (x,y)d  f (x,y)d f (x,y)d
D D1 D2
（3）若在D上， f  x,y 1，为区域D的面积，则d。
D
第 4 页（4）若在D上 f (x,y) g(x,y),则有 f(x,y)dg(x,y)d。
D D
特殊地  f(x,y)d   f(x,y) d
D D
考点六：常微分方程
含有未知一元函数及其导数和自变量的方程称为常微分方程，简称微分方程。
方程y p(x)y  q(x)，当右端项q(x)恒为零时称其为一阶线性齐次微分方程，否则
称其为一阶线性非齐次微分方程。
一阶线性微分方程公式解：
ye
p(x)dx
(q(x)e
p(x)dx
dxC)。
考点七：无穷级数
数项级数的性质：
 
（1）级数ku 与u 同敛散性，其中k0。
n n
n1 n1
    
（2）若级数u 和 都收敛，则级数(u  )u  必收敛。
n n n n n n
n1 n1 n1 n1 n1
（3）在级数中去掉、加上或改变有限项、不会改变级数的收敛性。

（4）如果级数u 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和
n
n1
不变。

（5）级数收敛的必要条件：若级数u 收敛，则limu 0。
n n
n
n1
周期为2l 的傅里叶级数：
设函数 f(x)是周期为2l 的周期函数，且在[l,l]上可积，则称
1 l n 1 l n
a   f(x)cos xdx(n0,1,2,)，b   f(x)sin xdxn)
n l l l n l l l
a  n n
为 f(x)的傅里叶系数；称级数 0 (a cos xb sin x)为 f(x)的傅里叶级
2 n l n l
n1
第 5 页a  n n
数，记作 f(x) 0 (a cos xb sin x)。
2 n l n l
n1
定义在[0,l]上的函数的傅里叶级数展开：
要先对 f(x) 进行奇（或偶）延拓，再周期延拓可将 f(x)展开成正弦级数（或余弦级
数）。
（1）正弦级数展开
f(x)~   b sin n x ，x[0,l]，其中b  2  l f(x)sin n xdx，(n 1,2,...)
n l n l 0 l
n1
（2）余弦级数展开
f(x) a 0   a cos n x，其中x[0,l] a  2  l f(x)cos n xdx ，(n  0,1,2,...)
2 n l n l 0 l
n1
考点八：向量代数与空间解析几何
数量积：
（1）定义：ab |a||b|cos。
（2）坐标表示：aba b a b a b 。
x x y y z z
（3）运算规律：
①交换律：ab  ba
②分配律：a(bc)abac
（4）几何应用：
①求模：|a | aa
ab
②求夹角：cos
|a ||b|
③判定两向量垂直：a  b  ab  0
向量积：
（1）定义：ab是一向量。
①模：|ab||a||b|sin。
②方向：右手法则。
第 6 页i j k
（2）坐标表示：ab  a a a 。
x y z
b b b
x y z
（3）运算规律
①ab=(ba)
②分配律：a（bc ）=ab+ac 。
（4）几何应用：
①求同时垂直于a和b的向量：ab。
②求以a和b为邻边的平行四边形面积：S |ab|。
③判定两向量平行：a//b  ab  0。
混合积：
（1）定义：[a,b,c](ab)c
（2）坐标表示：
a a a
x y z
[a,b,c] b b b 。
x y z
c c c
x y z
（3）运算规律：
①轮换对称性：[a,b,c][b,c,a][c,a,b]。
②交换变号：[a,b,c] [a,c,b]。
平面及其方程：
（1）点法式方程：
已知平面上的一点M (x ,y ,z )及其一个法向量n (A,B,C)，则平面方程为
0 0 0 0
A(x x ) B(y y )C(z z )  0。
0 0 0
（2）一般方程：AxByCzD 0
任一平面都可以用三元一次方程来表示；反之，任何的三元一次方程都表示一个平面。
x y z
（3）截距式方程：   1，abc  0。
a b c
（4）点到平面的距离
平面外一点M (x ,y ,z ) 到平面AxByCzD 0的距离为
0 0 0 0
第 7 页Ax By Cz D
d  0 0 0
A2 B2 C2
直线及其方程：
直线方向向量的定义：任一平行于空间直线L 的非零向量s都称为直线L 的方向向量。
（1）对称式方程
设s (m,n, p)是直线L 的一个方向向量，M (x ,y ,z )是直线上一定点，则该直线方
0 0 0 0
xx y y zz
程为： 0  0  0 。
m n p
x x mt
0

（2）参数方程：y y nt ，其中t为参数
0

z  z  pt
0
 AxB yC zD 0
（3）一般方程： 1 1 1 1
A xB yC zD 0
2 2 2 2
（4）点到直线的距离
点M 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，直线的方向向量为s，则点M 到直
0 0

M M s
0
线L 的距离为：d  。
s
两平面间的位置关系：
（1）两平面夹角的概念：设平面 , 的法向量分别为n,n ，n与n 所夹的不超过
1 2 1 2 1 2
 
的角称为 与 的夹角，0 ．
2 1 2 2
n n
（2）两平面夹角的计算：cos 1 2
|n ||n |
1 2
（3）两平面的位置关系
①两平面垂直 n n  A A B B CC 0
1 2 1 2 1 2 1 2
A B C
②两平面平行 n //n  1  1  1
1 2
A B C
2 2 2
A B C D
特别的，两平面重合 1  1  1  1
A B C D
2 2 2 2
第 8 页两直线间的位置关系：

（1）两直线的夹角：两直线方向向量所夹的不超过 的角称为L与L 的夹角，
2 1 2

0 。
2
|s s |
（2）两直线夹角的计算：cos 1 2 。
|s ||s |
1 2
（3）两直线的位置关系：
①两直线L和L 垂直 mm nn  p p 0。
1 2 1 2 1 2 1 2
m n p
②两直线L和L 平行 1  1  1 。
1 2
m n p
2 2 2
直线和平面的位置关系：
（1）直线和平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角(0 )称为直线
2

与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为 。且
2
sn
sin
s n
（2）直线和平面的位置关系
①直线与平面平行 s  n  Am  Bn Cp  0。
②直线与平面相交 s和n不垂直 Am BnCp  0。
A B C
特别的，直线与平面垂直 s//n    。
m n p
第二部分 线性代数
考点一：行列式
余子式与代数余子式：
A 1 ij M ，其中M 是D中去掉a 所在的第i行第 j列全部元素后，按原顺序
ij ij ij ij
排成的n1阶行列式，称为元素a 的余子式，A 为元素a 的代数余子式。
ij ij ij
第 9 页行列式的展开定理：
行列式对任一行按下式展开，其值相等，即Da A a A ...a A 。
i1 i1 i2 i2 in in
克莱姆法则：
n个未知量n个方程的线性方程组，在系数行列式不等于零时的方程组解法。
考点二：矩阵
矩阵的运算
   
（1）加法 设A a 和B  b ，规定
ij mn ij mn
 a b a b  a b 
11 11 12 12 1n 1n
 
a b a b  a b
AB   a b    21 21 22 22 2n 2n 。
ij ij      
 
a b a b  a b 
m1 m1 m2 m2 mn mn
并称AB为 A 与B 之和。
 
（2）矩阵的数量乘法（简称数乘）：设k是数域R 中的任意一个数，A a ，
ij mn
规定
ka ka  a 
11 12 1n
 
ka ka  a
kA  ka    21 22 2n  。
ij      
 
ka ka  a 
m1 m2 mn
并称这个矩阵为k与A的数量乘积。
（3）矩阵的乘法
设 A 是一个mn矩阵，B 是一个ns矩阵，即
a a  a  b b  b 
11 12 1n 11 12 1s
   
a a  a b b  b
A  21 22 2n ,B  21 22 2s ,
         
   
a a  a  b b  b 
m1 m2 mn n1 n2 ns
 
则 A 与B 之乘积AB （记作C  c ）是一个ms矩阵，且
ij
n
c a b a b ...a b  a b 。
ij i1 1j i2 2j in nj ik kj
k1
即矩阵C  AB的第i行第 j列元素c 是 A 的第i行n个元素与B 的第 j列相应的n
ij
第 10 页个元素分别相乘的乘积之和。
考点三：向量
向量组的极大无关组与秩：
设向量组,,..., 的部分组 , ,..., 满足条件：
1 2 s i1 i2 ir
（1） , ,..., 线性无关；
i1 i2 ir
（2）,,..., 中的任一向量均可由 , ,..., 线性表示，
1 2 s i1 i2 ir
则称向量组 , ,..., 为向量组,,..., 的一个极大线性无关组，简称极大无关
i1 i2 ir 1 2 s
组。
向量组的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记为r ,,...,r。
1 2 s
k阶子式：
 
矩阵 A a 的任意k个行和任意k个列的交点上的k2个元素按原顺序排成k阶
ij mn
a a  a
i j i j i j
11 1 2 1 k
a a  a
行列式 i 2 j 1 i 2 j 2 i 2 j k 称为A的k阶子式。
   
a a  a
i j i j i j
k 1 k 2 k k
矩阵的秩：
矩阵A中存在一个r阶子式不为零，而所有r1阶子式全为零（若存在），则称矩阵
的秩为r，记为r  A r，即非零子式的最高阶数。
考点四：线性方程组
线性方程组的三种表达形式：一般形式（代数形式）、矩阵形式、向量形式。
解的判定：
（1）设A是mn矩阵，则齐次线性方程组Ax0有非零解（只有零解）的充要条件
为r  A n  r  A n  。
（2）令A,,..., ， Ax0，即x x ...x 0有非零解（只有
1 2 n 1 1 2 2 n n
第 11 页零解）,,..., 线性相关（无关）
1 2 n
r  A n  r  A n 
 A的列向量线性相关（无关）
通解：
若r  A r n，则 Ax0有非零解，设,,..., 是 Ax0的基础解系，则
1 2 nr
xkk ...k  是Ax0的通解，其中k ,k ,...,k 是任意常数。
1 1 2 2 nr nr 1 2 nr
求解齐次线性方程组A x 0的方法步骤：
mn
（1）若r  A n，则无基础解系，只有零解；
（2）若r  A n，用初等行变换化系数矩阵A为行阶梯形；
考点五：矩阵的相似化简
方阵的特征值和特征向量：
设 A为n阶矩阵，若存在常数和非零n维列向量，使A，则称为 A的
特征值，是 A的属于特征值的特征向量。
相似矩阵的概念：
设A,B是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使B P1AP，则称矩阵A与B相似，记为
A~ B，称P1AP是对A作相似变换。
考点六：二次型
二次型的矩阵表示：
由于x x  x x ，则2a x x a x x a x x (i j)，于是（1）式可以写成
i j j i ij i j ij i j ij j i
f(x ,x ,,x )a x2 a x x a x x
1 2 n 11 1 12 1 2 1n 1 n
a x x a x2 a x x 
12 2 1 22 2 2n 2 n
a x x a x x a x2
1n n 1 2n n 2 nn n
第 12 页a a  a x 
11 12 1n 1
  
a a  a x
(x ,x ,,x )  12 22 2n 2 。 （2）
1 2 n       
  
a a  a x 
1n 2n nn n
a a  a 
11 12 1n
 
a a  a
记x x ,x ,,x T ,A  12 22 2n ,A AT ，则 f xTAx，其中 A叫
1 2 n     
 
a a  a 
1n 2n nn
做二次型的矩阵。
任意一个二次型都是和它的实对称矩阵是一一对应的。
实对称阵A的秩就叫做二次型 f 的秩。
二次型的标准型：
只含平方项的二次型，称为二次型的标准形。例如：
1 x 
1
  
f(x ,x ,x ) x2 5x2 8x2  x ,x ,x  5 x 。
1 2 3 1 2 3 1 2 3   2
  

8x

3
化二次型为标准形的方法：正交变换法、配方法。
第三部分 概率论与数理统计
考点一：随机事件和概率
随机试验：
定义：具有以下特点的试验称为随机试验。
（1）可以在相同的条件下重复地进行。
（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
样本空间：
样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为样本空间。
样本点e：样本空间的元素，即随机试验的每一可能结果称为样本点。
事件的运算律：
第 13 页（1）交换律：AB BA，AB BA
（2）结合律：A  BC  AB  C ；  AB  C  A  BC 
（3）分配律：A

BC

AB



AC

（4）德摩根律（对偶律）：AB AB，AB AB
概率的性质：
（1）非负性：A,0 P  A 1
（2）规范性：P
0,P 1
（3）有限可加性：设 A,A ,...,A 是两两互不相容的事件，即对于AA ,i  j ，
1 2 n i j
i, j 1,2,...，则有P

A A ...A

P

A
P 
A
...P 
A

。
1 2 n 1 2 n
（4）逆事件的概率：对于任一事件A，有P  A  1P  A 
常用公式：
（1）减法公式：设A,B是任意两个事件，则有P  AB P  A P  AB  。
若B A，则有P  AB  P  A P  B  ，P  B  P  A  。
（2）加法公式：对于任意两随机事件A,B有：P

AB

P

A
P 
B
P 
AB

对于3个事件的概率加法公式：
P

ABC

P

A
P 
B
P 
C
P 
AB
P 
AC
P 
BC
P 
ABC

。
（3）贝叶斯公式（逆概率公式）：
B,B ,...,B 是完备事件组，P

A
0,P 
B
0,i1,2,...,n，则
1 2 n i
   
P B P A|B
P  B | A   j j 。  j 1,2,...,n 
j n
P  B  P  A|B 
i i
i1
古典型概率：
（1）定义：具有以下两特点的试验称为古典概型：
①样本空间有限

e,e ,...,e

；
1 2 n
②等可能性 P

e

P

e

...P

e

。
1 2 n
第 14 页（2）计算方法
A中基本事件的个数
P  A  。
中基本事件的总数
几何型概率：
如果试验E是从某一线段（或平面、空间中有界区域）上任取一点，并且所取得点
位于中任意两个长度（或平面、体积）相等的子区间（或子区域）内的可能性相同，则
所取得点位于中任意子区间（或子区域） A内这一事件（仍记作A）的概率为
A的长度（面积或体积）
P  A  。
的长度（面积或体积）
n重伯努利概型及其概率计算：
（1）定义：只有两个结果A和A的试验称为伯努利试验，若将伯努利试验独立重复地
进行n次，则称为n重伯努利概型。
（2）二项概率公式
设在每次试验中，事件A发生的概率P  A  p  0 p1  ，则在n重伯努利试验中，
事件A发生k次的概率为B  n, p Ckpk  1 p nk  k 0,1,2,...,n 
k n
考点二：一维随机变量及其分布
常用的离散型随机变量：
（1）01分布
若随机变量X 只有两个可能的取值0和1，其概率分布为
P  X  x  px i  1 p 1x i，x 0,1
i i
则称X 服从01分布
 
（2）二项分布B n,p
设事件A在任意一次实验中出现的概率都是 p  0 p1  。X 表示n重伯努利试验中
事件A发生的次数，则X 所有可能的取值为0,1,2,...,n，且相应的概率为
P  X k Ckpk  1 p nk ,k 0,1,2,...,n。
n
（3）几何分布
第 15 页若X 的概率分布为P ( X =k ( = ) 1 −p )k −1 p ， ( 0 <p <1 ) ,k =1,2,...则称X 服从几何分
布。
（4）泊松分布P

ke
设随机变量X的概率分布为P  X k  0  ,  k 0,1,2,... 则称X服从参数
k!
为的泊松分布，记为X ~ P  。
 
（5）超几何分布H N,M,n
Ck Cnk
设随机变量X的概率分布为P  X k  M NM ,  k  0,1,2,....,n ，其中M，N，n
Cn
N
都是正整数，且 nM  N ，则称 X服从参数为 N， M， n的超几何分布，记为
 
X ~ H N,M,n
利用分布函数求各种随机事件的概率：
 
已知随机变量X 的分布函数为F x ，则有
（1）P  X a  F  a 
（2）P  X a 1P  X a 1F  a 
（3）P  X a F  a0  limF  x 
xa
（4）P  X a  P  X a P  X a  F  a F  a0 
（5）P  a X b  P  X b P  X a  F  b F  a 
（6）P  a X b  P  X b P  X a  F  b0 F  a 
（7）P  a X b  P  X b P  X a  F  b F  a0 
（8）P  a X b  P  X b P  X a  F  b0 F  a0 
常用连续型随机变量：
 
（1）均匀分布U a,b
第 16 页 1
 a xb
若连续型随机变量X具有概率密度 f  x ba ，则称 X 服从  a,b  上的
  0 其它
 
均匀分布，记为X ~U a,b
 0 xa

xa
随机变量X 的分布函数为F  x  a  x b
ba

  1 xb
（2）指数分布E

ex x 0
若连续型随机变量X 的概率密度为 f  x  ，其中0为参数，则称
 0 x0
X 服从参数为的指数分布，记为X ~ E  。
1ex x0
随机变量X 的分布函数为F  x 
 0 x0
 
（3）正态分布N ,2
一般正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为
x2
1 
f

x

e
22
，
 x
；
2
其中,0  为常数，则称X 服从参数为,的正态分布，记作X ~ N(,2).
标准正态分布：
 
（1）定义：当0,1的正态分布称为标准正态分布，记作N 0,1 ，其概率密度
用(x)表示，分布函数用 x  表示。其中 x  1 e  x 2 2  x。
2
（2）性质
①密度函数为偶函数，即
x
x 
，密度函数图形关于 y 轴对称。
1
②常用公式：x 1 x  ； 0  ；P  X a  2 a 1。
2
标准正态分布与一般正态分布的关系：
第 17 页一般正态分布X ~ N  ,2  ，可以通过线性变换Z  X  ~ N  0,1  转化为标准正

态分布。
考点三：二维随机变量及其分布
二维随机变量的边缘分布函数：
设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则称
F (x) P  X  x  P  X  x,Y   F(x,) lim F(x,y)
X
y
是二维随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布函数。
同理，F (y)  F(,y)  lim F(x,y)为二维随机变量（X，Y） 关于Y的边缘分
Y
x
布函数。
边缘分布：
对于二维离散型随机变量(X,Y)，它的概率分布为
 
P X  x ,Y  y  p ,i, j 1,2,.
i j ij
则X的边缘分布为
 
P  X  x  P  X  x ,Y P{X  x ,Y  y } p  p (i 1,2,)
i i i j ij i
j1 j1
Y的边缘分布为
 
P{Y y }P{X ,Y y } P{X x,Y y } P P (j1,2,)
j j i j ij .j
i1 i1
边缘分布函数
F (x) P  X  x  P  X  x   p
X i i.
xx xx
i i
F (y) P  Y  y   P  Y  y    p
Y j .j
y y y y
j j
考点四：随机变量的数字特征
常用随机变量的数学期望和方差：
分布名称 分布记号 期望 方差
第 18 页01分布 X ~ B  1,p  p p(1 p)
二项分布 X ~ B  n,p  np np(1 p)
泊松分布 X ~ P()  
1 1 p
几何分布 X ~G(p)
p p2
ab (ba)2
均匀分布 X ~U(a,b)
2 12
1 1
指数分布 X ~ E()
 2
正态分布 X ~ N(,2)  2
考点五：大数定律和中心极限定理
切比雪夫大数定律（一般情形）：
设X ,X ,X ,是由两两不相关（或两两独立）的随机变量所构成的序列，分别具
1 2 n
           
有数学期望E X ,E X ,E X ,和方差D X ,D X ,D X ,，并且方
1 2 n 1 2 n
差有公共上界，即存在正数M ，使得D

X
M,n1,2,,则对于任意给定的正数，
n
 1 n 1 n 
总有limP X  EX 1
n  n k1 k n k1 k 
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：
设随机变量X 服从参数为n和p的二项分布，即X ~ B(n,p)(0 p1,n1,2,) ，
n n
则对于任意实数x，有
 X np 
limP n  x(x)
n  np(1 p) 
考点六：样本及抽样分布
典型模式：
设随机变量X ,X ,X 相互独立，都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量
1 2 n
2  X2 X2 X2服从自由度为n的2分布，记作2 ~2(n)
1 2 n
第 19 页2(n)分布的概率密度为
 1 n 1  x
 x2 e 2,x 0,
 n n
f(x)22( )
 2
 0, x0.
考点七：参数估计与假设检验
点估计的方法：
（1）矩估计法
1）矩估计法思想
1 n
矩法的基本思想是用样本的 k 阶原点矩 A  Xk 作为总体的 k 阶原点矩
k n i
i1
 
  E Xk 的估计。
k
令 A  ，即 1  n Xk  E  Xk（  k 1,2）。
k k n i
i1
2）矩估计法的解题思路
①当只有一个未知参数时，我们就用样本的一阶原点矩即样本均值来估计随机变量的一
阶原点矩即期望。令X  E  X 。解出未知参数，就是其矩估计量。
②如果有两个未知参数，那么除了要用一阶矩来估计外，还要用二阶矩来估计。因为两
个未知数，需要两个方程才能解出。解出未知参数，就是参数的矩估计。
（2）最大似然估计法
1）离散型随机变量
设总体X 是离散型随机变量，概率分布为P  X t  p(t ;),i1,2,,其中
i i
为待估参数。
设 X ,X ,,X 是 来 自 总 体 X 的 样 本 ， x ,x ,,x 是 样 本 值 ， 称 函 数
1 2 n 1 2 n
n 
L() L  x ,x ,,x ;p  x;为样本x ,x ,,x 的似然函数。如果，使
1 2 n i 1 2 n
i1
  
得 L()maxL() ，这样的与x ,x ,,x 有关，记作(x ,x ,,x )，称为未知参
1 2 n 1 2 n


数的最大似然估计值，相应的统计量(X ,X ,,X )称为的最大似然估计量。
1 2 n
2）连续型随机变量
第 20 页设总体X 的概率密度函数 f  x;，其中为待估参数，设X ,X ,,X 是来自总
1 2 n
n
体 X 的样本x ,x ,,x 是样本值，称函数L() L  x ,x ,,x ; f  x;为样
1 2 n 1 2 n i
i1
  
本x ,x ,,x 的似然函数。如果，使得 L()maxL() ，这样的与x ,x ,,x
1 2 n 1 2 n


有关，记作(x ,x ,,x ) ，称为未知参数的最大似然估计值，相应的统计量
1 2 n

(X ,X ,,X )称为的最大似然估计量。
1 2 n
3）最大似然估计法的步骤
①写出似然函数
n
L(x ,,x ;,, )P(x,,, ) （离散型）
1 n 1 m i 1 m
i1
n
L(x ,,x ;,, ) f(x,,, )； （连续型）
1 n 1 m i 1 m
i1
②取对数lnL；
lnL
③对,, 求偏导数 ,i1,,m
1 m 
i
lnL
④判断方程组 0是否有解。若有解，则其解即为所求最大似然估计；若无解，

i
则最大似然估计常在的边界点上达到。
i
第 21 页