2021年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知等差数列{a }的首项为3，公差为2，则a = 21 ．
n 10
【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解析】：因为等差数列{a }的首项为3，公差为2，
n
则a =a +9d =3+9´2=21．故答案为：21．
10 1
【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2．已知z=1-3i，则|z -i|= 5 ．
【思路分析】由已知求得z -i，再由复数模的计算公式求解．
【解析】： z=1-3i，\ z -i=1+3i-i=1+2i，
Q
则|z -i|=|1+2i|= 12 +22 = 5．故答案为： 5 ．
【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基
础题．
3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4p ．
【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．
【解析】：圆柱的底面半径为r=1，高为h=2，
所以圆柱的侧面积为S =2prh=2p´1´2=4p．故答案为：4p．
侧
【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．
2x+5
4．不等式 <1的解集为 (-7,2) ．
x-2
x+7
【思路分析】由已知进行转化 <0，进行可求．
x-2
2x+5 2x+5 x+7
【解析】： <1Þ -1<0Þ <0，解得，-7<x<2．故答案为：(-7,2)．
x-2 x-2 x-2
【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
p
5．直线x=-2与直线 3x- y+1=0的夹角为 ．
6
【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
p
【解析】： 直线x=-2的斜率不存在，倾斜角为 ，
Q
2
p
直线 3x- y+1=0的斜率为 3，倾斜角为 ，
3
p p p p
故直线x=-2与直线 3x- y+1=0的夹角为 - = 故答案为： ．
2 3 6 6
【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．
ìax+by=c a b
6．若方程组í 1 1 1 无解，则 1 1 = 0 ．
îa x+b y=c a b
2 2 2 2 2
【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案．
ìax+by=c a b c b a c
【解析】：对于方程组í 1 1 1 ，有D= 1 1 ,D = 1 1 ,D = 1 1 ，
îa x+b y=c a b x c b y a c
2 2 2 2 2 2 2 2 2
第1页 | 共10页ì D
x= x
ï
ï D
当D¹0时，方程组的解为í ，
D
ï y= y
ïî D
ìax+by=c
根据题意，方程组í 1 1 1 无解，
îa x+b y=c
2 2 2
a b
所以D=0，即D= 1 1 =0，故答案为：0．
a b
2 2
【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组
的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解
行列式表示法中对应的公式．
7．已知(1+x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1+x)n的系数和为 64 ．
【思路分析】由已知可得n=6，令x=1，即可求得系数和．
【解析】：由题意，C3 >C2，且C3 >C4，
n n n n
所以n=6，所以令x=1，(1+x)6的系数和为26 =64．故答案为：64．
【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．
a
8．已知函数 f(x)=3x + (a>0)的最小值为5，则a= 9 ．
3x +1
【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数
a
解析式变形成 f(x)=3x +1+ -1，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条
3x +1
件．
a a
【解析】： f(x)=3x + =3x +1+ -1…2 a -1=5，
3x +1 3x +1
所以a=9，经检验，3x =2时等号成立．故答案为：9．
【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积
为定值，属于基础题．
È
9．在无穷等比数列{a }中，lim(a -a )=4，则a 的取值范围是 (-4，0) (0，4)
n 1 n 2
n®¥
．
【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q的取值范围，再由极限的运算知a =4，从
1
而得解．
È
【解析】： 无穷等比数列{a }，\公比qÎ(-1，0) (0，1)，
Q n
È
\lima =0，\lim(a -a )=a =4，\a =aq=4qÎ(-4，0) (0，4)．
n 1 n 1 2 1
n®¥ n®¥
È
故答案为：(-4，0) (0，4)．
【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能
力，属于基础题．
10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有
几种运动方式组合 23种 .
A运动 B运动 C运动 D运动 E运动
7点-8点 8点-9点 9点-10点 10点-11点 11点-12点
第2页 | 共10页30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组
合不符合题意，由此求出结果．
【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组
合不符合题意；
所以满足条件的运动组合方式为：C2 +C3 +C4 +C5 -3=10+10+5+1-3=23（种)．
5 5 5 5
故答案为：23种．
【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是
基础题．
y2
11．已知椭圆x2 + =1(0<b<1)的左、右焦点为F 、F ，以O为顶点，F 为焦点作抛
b2 1 2 2
物线交椭圆于P，且ÐPFF =45°，则抛物线的准线方程是 x=1- 2 ．
1 2
【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线PF 的方程
1
并与抛物线联立，求出点P的坐标，由此可得PF ^FF ，进而可以求出PF ，PF 的长度
2 1 2 1 2
，再由椭圆的定义即可求解．
【解析】：设F(-c,0)，F (c,0)，则抛物线y2 =4cx，
1 2
ìy2 =4cx
直线PF :y=x+c，联立方程组í ，解得x=c，y=2c，
1 îy=x+c
所以点P的坐标为(c,2c)，所以PF ^FF ，又PF =F F =2c,所以PF =2 2c
2 1 2 2 2 1 1
所以PF =2 2c，所以PF +PF =(2+2 2)c=2a=2，
1 1 2
则c= 2-1，
所以抛物线的准线方程为：x=-c=1- 2，
故答案为：x=1- 2．
【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能
力，属于中档题．
3
12．已知q>0，存在实数j，使得对任意nÎN*，cos(nq+j)< ，则q的最小值是
2
2p
．
5
p 2p 2p
【思路分析】在单位圆中分析可得q> ，由 ÎN*，即q= ，kÎN*，即可求得q
3 q k
的最小值．
【解析】：在单位圆中分析，由题意可得nq+j的终边要落在图中阴影部分区域（其中
p
ÐAOx=ÐBOx= )，
6
p
所以q>ÐAOB= ，
3
因为对任意nÎN*都成立，
2p 2p
所以 ÎN*，即q= ，kÎN*，
q k
第3页 | 共10页p 2p
同时q> ，所以q的最小值为 ．
3 5
2p
故答案为： ．
5
【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )
A． f(x)=x2 B． f(x)=sinx C． f(x)=2x D． f(x)=1
【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．
【解析】：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，
选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，
选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确
，
选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，
故选：C．
【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的
理解，属于基础题．
14．已知集合A={x|x>-1，xÎR}，B={x|x2 -x-2…0，xÎR}，则下列关系中，正确
的是( )
A．AÍB B．ð AÍð B C．A B=Æ D．A B=R
R R I U
【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解析】：已知集合A={x|x>-1，xÎR}，B={x|x2 -x-2…0，xÎR}，
解得B={x|x…2或x„ -1，xÎR}，
ð A={x|x„ -1，xÎR}，ð B={x|-1<x<2}；
R R
第4页 | 共10页则A B=R，A B={x|x…2}，
U I
故选：D．
【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
15．已知函数y= f(x)的定义域为R，下列是 f(x)无最大值的充分条件是( )
A． f(x)为偶函数且关于点(1,1)对称
B． f(x)为偶函数且关于直线x=1对称
C． f(x)为奇函数且关于点(1,1)对称
D． f(x)为奇函数且关于直线x=1对称
【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD，举出反例可得三个选项错误，对于C
，利用反证法可得其正确．
【解析】：根据题意，依次判断选项：
px
对于A， f(x)=cos +1， f(x)为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A错误，
2
对于B， f(x)=cos(px)， f(x)为偶函数且关于直线x=1对称，存在最大值，B错误，
对于C，假设 f(x)有最大值，设其最大值为M ，其最高点的坐标为(a,M)，
f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，则 f(x)的图象存在最低点(-a,-M)，
又由 f(x)的图象关于点(1,1)对称，则(-a,-M)关于点(1,1)对称的点为(2+a,2+M)，
与最大值为M 相矛盾，则此时 f(x)无最大值，C正确，
px
对于D， f(x)=sin ， f(x)为奇函数且关于直线x=1对称，D错误，
2
故选：C．
【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．在DABC 中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在DABC ，使得
uuur uuur uuur uuur uuur
AB×CE=0；②存在三角形DABC ，使得CE//(CB+CA)；它们的成立情况是( )
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
【思路分析】设A(2x,2y)，B(-1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，由向量数量的坐标运算
uuur uuur uuur
即可判断①；F 为AB中点，可得(CB+CA)=2CF ，由D为BC中点，可得CF 与AD的
交点即为重心G，从而可判断②
【解析】：不妨设A(2x,2y)，B(-1,0)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,y)，
uuur uuur
①AB=(-1-2x,-2y)，CE=(x-1,y)，
uuur uuur
若AB×CE=0，则-(1+2x)(x-1)-2y2 =0，即-(1+2x)(x-1)=2y2，
2
满足条件的(x,y)存在，例如(0, )，满足上式，所以①成立；
2
uuur uuur uuur
②F 为AB中点，(CB+CA)=2CF ，CF 与AD的交点即为重心G，
因为G为AD的三等分点，E为AD中点，
uuur uuur
所以CE 与CG不共线，即②不成立．
故选：B．
第5页 | 共10页【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）四棱锥P-ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE^
平面ABCD．
（1）若DPAB为等边三角形，求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若CD的中点为F ，PF 与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．
1
【思路分析】（1）由V = PE×S ，代入相应数据，进行运算，即可；
3 正方形ABCD
（2）由PE^平面ABCD，知ÐPFE=45°，进而有PE=FE=4，PB=2 5，由
AD//BC ，知ÐPCB或其补角即为所求，可证BC ^平面PAB，从而有BC ^PB，最后在
PB
RtDPBC中，由tanÐPCB= ，得解．
BC
【解析】：（1） DPAB为等边三角形，且E为AB中点，AB=4，
Q
\PE=2 3，
又PE^平面ABCD，
1 1 32 3
\四棱锥P-ABCD的体积V = PE×S = ´2 3´42 = ．
3 正方形ABCD 3 3
（2） PE ^平面ABCD，
Q
\ÐPFE为PF 与平面ABCD所成角为45°，即ÐPFE=45°，
\DPEF 为等腰直角三角形，
E ，F 分别为AB，CD的中点，
Q
\PE=FE=4，
\PB= PE2 +BE2 =2 5，
AD//BC，
Q
第6页 | 共10页\ÐPCB或其补角即为PC与AD所成角，
PE ^平面ABCD，\PE^BC，
Q
又BC ^ AB，PE AB=E，PE 、ABÌ平面PAB，
I
\BC ^平面PAB，\BC ^PB，
PB 2 5 5
在RtDPBC中，tanÐPCB= = = ，
BC 4 2
5
故PC与AD所成角的大小为arctan ．
2
【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，
以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能
力和运算能力，属于基础题．
18．（14分）已知A、B、C为DABC 的三个内角，a、b、c是其三条边，a=2，
1
cosC =- ．
4
（1）若sinA=2sinB，求b、c；
p 4
（2）若cos(A- )= ，求c．
4 5
【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b的值；利用余弦定理即可求解c的值．
（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cosA，sinA，
sinC的值，进而根据正弦定理可得c的值．
【解析】：（1）因为sinA=2sinB，可得a=2b，
又a=2，可得b=1，
a2 +b2 -c2 22 +12 -c2 1
由于cosC = = =- ，可得c= 6．
2ab 2´2´1 4
p 2 4
（2）因为cos(A- )= (cosA+sinA)= ，
4 2 5
4 2
可得cosA+sinA= ，
5
又cos2 A+sin2 A=1，
7 2 2 7 2 2
可解得cosA= ，sinA= ，或sinA= ，cosA= ，
10 10 10 10
1 15
因为cosC =- ，可得sinC = ，tanC =- 15 ，
4 4
7 2 2
若sinA= ，cosA= ，可得tanA=7，可得
10 10
tanA+tanC 7- 15
tanB=-tan(A+C)= = <0，
tanAtanC-1 7´(- 15)-1
可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，
2 2 c 5 30
所以sinA= ，由正弦定理 = ，可得c= ．
10 sinA sinC 2
【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基
本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
第7页 | 共10页19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一
点P满足|PA|-|PB|=20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧
为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线
标准方程和P点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|-|QB|=30千
米，|QC|-|QD|=10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°)
【思路分析】（1）求出a，c，b的值即可求得双曲线方程，求出直线OP的方程，与双
曲线方程联立，即可求得P点坐标；
（2）分别求出以A、B为焦点，以C，D为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q的坐
标，从而求得|OQ|，及Q点位置．
【解析】：（1）由题意可得a=10，c=20，所以b2 =300，
x2 y2
所以双曲线的标准方程为 - =1，
100 300
3 15 2 5 6
直线OP:y= x，联立双曲线方程，可得x= ，y= ，
3 2 2
15 2 5 6
即点P的坐标为( ， )．
2 2
（2）①|QA|-|QB|=30，则a=15，c=20，所以b2 =175，
x2 y2
双曲线方程为 - =1；
225 175
②|QC|-|QD|=10，则a=5，c=15，所以b2 =200，
y2 x2
所以双曲线方程为 - =1，
25 200
14400 2975
两双曲线方程联立，得Q( ， )，
47 47
所以|OQ|»19米，Q点位置北偏东66°．
【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．
20．（16分）已知函数 f(x)= |x+a|-a -x．
（1）若a=1，求函数的定义域；
（2）若a¹0，若 f(ax)=a有2个不同实数根，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数 f(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范
围．
【思路分析】（1）把a=1代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的
不等式得答案；
（2） f(ax)=aÛ |ax+a|-a =ax+a，设ax+a=t…0，得a=t-t2，t…0，求得等式右
边关于t的函数的值域可得a的取值范围；
（3）分x… -a与x<-a两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数 f(x)在定义域内
具有单调性的a的范围．
【解析】：（1）当a=1时， f(x)= |x+1|-1-x，
由|x+1|-1…0，得|x+1|…1，解得x„ -2或x…0．
第8页 | 共10页\函数的定义域为(-¥，-2] [0，+¥)；
U
（2） f(ax)= |ax+a|-a -ax，
f(ax)=aÛ |ax+a|-a =ax+a，
设ax+a=t…0，\ t-a =t有两个不同实数根，整理得a=t-t2，t…0，
1 1 1
\a=-(t- )2 + ，t…0，当且仅当0„ a< 时，方程有2个不同实数根，
2 4 4
1
又a¹0，\a的取值范围是(0, )；
4
1 1 1
（3）当x… -a时， f(x)= |x+a|-a -x= x -x=-( x - )2 + ，在[ ，+¥)上单调递
2 4 4
减，
1 1
此时需要满足-a… ，即a„ - ，函数 f(x)在[-a，+¥)上递减；
4 4
当x<-a时， f(x)= |x+a|-a -x= -x-2a -x，在(-¥，-2a]上递减，
1 1
a„ - <0，\-2a>-a>0，即当a„ - 时，函数 f(x)在(-¥,-a)上递减．
Q
4 4
1
综上，当aÎ(-¥，- ]时，函数 f(x)在定义域R上连续，且单调递减．
4
【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调
性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
21．（18分）已知数列{a }满足a…0，对任意n…2，a 和a 中存在一项使其为另一项
n n n n+1
与a 的等差中项．
n-1
（1）已知a =5，a =3，a =2，求a 的所有可能取值；
1 2 4 3
（2）已知a =a =a =0，a 、a 、a 为正数，求证：a 、a 、a 成等比数列，并求出
1 4 7 2 5 8 2 5 8
公比q；
（3）已知数列中恰有3项为0，即a =a =a =0，2<r<s<t，且a =1，a =2，求
r s t 1 2
a +a +a 的最大值．
r+1 s+1 t+1
【思路分析】（1）根据a 和a 中存在一项使其为另一项与a 的等差中项建立等式，然
n n+1 n-1
后将a ，a ，a 的值代入即可；
1 2 4
（2）根据递推关系求出a 、a ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；
5 8
（3）分别求出a ，a ，a 的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求
r+1 s+1 t+1
．
【解析】：（1）由题意，2a =a +a 或2a =a +a ，
n n+1 n-1 n+1 n n-1
\2a =a +a 解得a =1，2a =a +a 解得a =4，经检验，a =1，
2 3 1 3 3 2 1 3 3
a a
（2）证明： a =a =a =0，\a =2a ，或a = 2 ，经检验，a = 2 ；
Q 1 4 7 3 2 3 2 3 2
a a a a
\a = 3 = 2 ，或a =-a =- 2 （舍)，\a = 2 ；
5 2 4 5 1 2 5 4
a a a a
\a = 5 = 2 ，或a =-a =- 2 （舍)，\a = 2 ；
6 2 8 6 5 4 6 8
a a a a
\a = 6 = 2 ，或a =-a =- 2 （舍)，\a = 2 ；
8 2 16 8 6 8 8 16
第9页 | 共10页1
综上，a 、a 、a 成等比数列，公比为 ；
2 5 8 4
a -a a -a 1
（3）由2a =a +a 或2a =a +a ，可知 n+2 n+1 =1或 n+2 n+1 =- ，
n n+1 n-1 n+1 n n-1 a -a a -a 2
n+1 n n+1 n
由第（2）问可知，a =0，则a =2a ，即a -a =-a ，
r r-2 r-1 r-1 r-2 r-1
1 1 1 1 1 1
\a =0，则a = a =- (a -a )=- ×(- )i ×1r-3-i ×(a -a )=- ×(- )i,iÎN*，
r r+1 2 r-1 2 r-1 r-2 2 2 2 1 2 2
1
\(a ) = ，
r+1 max 4
1 1 1 1 1
同理，a =- ×(- )j ×1s-2-r-j ×(a -a )=- ×(- )j × , jÎN*，
s+1 2 2 r+1 r 2 2 4
1 1 21
\(a ) = ，同理，(a ) = ，\a +a +a 的最大值 ．
s+1 max 16 t+1 max 64 r+1 s+1 t+1 64
【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同
时考查了学生计算能力，属于难题．
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