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2021年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知等差数列{a }的首项为3，公差为2，则a = 21 ．
n 10
【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解析】：因为等差数列{a }的首项为3，公差为2，
n
则a =a +9d =3+9´2=21．故答案为：21．
10 1
【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2．已知z=1-3i，则|z -i|= 5 ．
【思路分析】由已知求得z -i，再由复数模的计算公式求解．
【解析】： z=1-3i，\ z -i=1+3i-i=1+2i，
Q
则|z -i|=|1+2i|= 12 +22 = 5．故答案为： 5 ．
【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基
础题．
3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 4p ．
【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．
【解析】：圆柱的底面半径为r=1，高为h=2，
所以圆柱的侧面积为S =2prh=2p´1´2=4p．故答案为：4p．
侧
【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．
2x+5
4．不等式 <1的解集为 (-7,2) ．
x-2
x+7
【思路分析】由已知进行转化 <0，进行可求．
x-2
2x+5 2x+5 x+7
【解析】： <1Þ -1<0Þ <0，解得，-7C2，且C3 >C4，
n n n n
所以n=6，所以令x=1，(1+x)6的系数和为26 =64．故答案为：64．
【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．
a
8．已知函数 f(x)=3x + (a>0)的最小值为5，则a= 9 ．
3x +1
【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数
a
解析式变形成 f(x)=3x +1+ -1，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条
3x +1
件．
a a
【解析】： f(x)=3x + =3x +1+ -1…2 a -1=5，
3x +1 3x +1
所以a=9，经检验，3x =2时等号成立．故答案为：9．
【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积
为定值，属于基础题．
È
9．在无穷等比数列{a }中，lim(a -a )=4，则a 的取值范围是 (-4，0) (0，4)
n 1 n 2
n®¥
．
【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q的取值范围，再由极限的运算知a =4，从
1
而得解．
È
【解析】： 无穷等比数列{a }，\公比qÎ(-1，0) (0，1)，
Q n
È
\lima =0，\lim(a -a )=a =4，\a =aq=4qÎ(-4，0) (0，4)．
n 1 n 1 2 1
n®¥ n®¥
È
故答案为：(-4，0) (0，4)．
【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能
力，属于基础题．
10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有
几种运动方式组合 23种 .
A运动 B运动 C运动 D运动 E运动
7点-8点 8点-9点 9点-10点 10点-11点 11点-12点
第2页 | 共10页30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组
合不符合题意，由此求出结果．
【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组
合不符合题意；
所以满足条件的运动组合方式为：C2 +C3 +C4 +C5 -3=10+10+5+1-3=23（种)．
5 5 5 5
故答案为：23种．
【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是
基础题．
y2
11．已知椭圆x2 + =1(00，存在实数j，使得对任意nÎN*，cos(nq+j)< ，则q的最小值是
2
2p
．
5
p 2p 2p
【思路分析】在单位圆中分析可得q> ，由 ÎN*，即q= ，kÎN*，即可求得q
3 q k
的最小值．
【解析】：在单位圆中分析，由题意可得nq+j的终边要落在图中阴影部分区域（其中
p
ÐAOx=ÐBOx= )，
6
p
所以q>ÐAOB= ，
3
因为对任意nÎN*都成立，
2p 2p
所以 ÎN*，即q= ，kÎN*，
q k
第3页 | 共10页p 2p
同时q> ，所以q的最小值为 ．
3 5
2p
故答案为： ．
5
【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)
13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是( )
A． f(x)=x2 B． f(x)=sinx C． f(x)=2x D． f(x)=1
【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确．
【解析】：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误，
选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，
根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误，
选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确
，
选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误，
故选：C．
【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的
理解，属于基础题．
14．已知集合A={x|x>-1，xÎR}，B={x|x2 -x-2…0，xÎR}，则下列关系中，正确
的是( )
A．AÍB B．ð AÍð B C．A B=Æ D．A B=R
R R I U
【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解析】：已知集合A={x|x>-1，xÎR}，B={x|x2 -x-2…0，xÎR}，
解得B={x|x…2或x„ -1，xÎR}，
ð A={x|x„ -1，xÎR}，ð B={x|-1-a>0，即当a„ - 时，函数 f(x)在(-¥,-a)上递减．
Q
4 4
1
综上，当aÎ(-¥，- ]时，函数 f(x)在定义域R上连续，且单调递减．
4
【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调
性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
21．（18分）已知数列{a }满足a…0，对任意n…2，a 和a 中存在一项使其为另一项
n n n n+1
与a 的等差中项．
n-1
（1）已知a =5，a =3，a =2，求a 的所有可能取值；
1 2 4 3
（2）已知a =a =a =0，a 、a 、a 为正数，求证：a 、a 、a 成等比数列，并求出
1 4 7 2 5 8 2 5 8
公比q；
（3）已知数列中恰有3项为0，即a =a =a =0，2
