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2021 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
2z+z+3z-z=4+6i
1.
设 ，则z =（ ）
1-2i 1+2i 1+i 1-i
A. B. C. D.
已知集合S = s s =2n+1,nÎZ ，T = t t =4n+1,nÎZ ，则SÇT = （ ）
2.
Æ S T Z
A. B. C. D.
已知命题 p:$xÎR,sinx<1﹔命题q:"xÎR﹐e|x| ³1，则下列命题中为真命题的是（ ）
3.
pÙq ØpÙq pÙØq ØpÚq
A. B. C. D.
1-x
设函数 f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
4.
1+x
f x-1-1 f x-1+1 f x+1-1 f x+1+1
A. B. C. D.
5.
在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，P为B
1
D
1
的中点，则直线PB与AD
1
所成的角为（ ）
π π π π
A. B. C. D.
2 3 4 6
将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只
6.
分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
60种 120种 240种 480种
A. B. C. D.
1 p
把函数y= f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个
7.
2 3
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学科网（北京）股份有限公司æ pö
单位长度，得到函数y =sin ç x- ÷的图像，则 f(x)=（ ）
è 4ø
æ x 7pö æ x pö
sin - sin +
A. ç ÷ B. ç ÷
è2 12 ø è2 12ø
æ 7pö æ pö
sin 2x- sin 2x+
C. ç ÷ D. ç ÷
è 12 ø è 12ø
7
在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ）
8.
4
7 23 9 2
A. B. C. D.
9 32 32 9
魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，
9.
H ，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称
为“表距”，GC和EH 都称为“表目距”，GC与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=（ ）
表高´表距 表高´表距
+表高 -表高
A. B.
表目距的差 表目距的差
表高´表距 表高´表距
+表距 -表距
C. D.
表目距的差 表目距的差
设a¹0，若a为函数 f x=ax-a2x-b的极大值点，则（ ）
10.
A. ab C. aba2
x2 y2
11.
设B是椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|£2b，则C的离
a2 b2
心率的取值范围是（ ）
2 ö 1 ö æ 2ù æ 1ù
A. ,1÷ ÷ B. ,1 ÷ C. ç0, ú D. ç 0, ú
2 ø 2 ø è 2 û è 2û
设a =2ln1.01，b=ln1.02，c = 1.04 -1．则（ ）
12.
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学科网（北京）股份有限公司a0)的一条渐近线为 3x+my =0，则C的焦距为 ．
13. _________
m
r r r r r
已知向量a =1,3,b=3,4，若(a-lb)^b，则l= ．
14. __________
15.
记
V
ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 3，B=60°，a2 +c2 =3ac，则b=
．
________
以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所
16.
选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）．
_________
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60分．
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和
17.
一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
97
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 .
106
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 . 10.5 10.4 10.5
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学科网（北京）股份有限公司旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和 y，样本方差分别记为s2和s2．
1 2
（1）求x， y，s2，s2；
1 2
s2 +s2
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 y -x ³2 1 2 ，则认为
10
新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD ^底面ABCD，PD= DC =1，M 为BC的中点，
18.
且PB^ AM ．
（1）求BC；
（2）求二面角A-PM -B的正弦值．
2 1
记S 为数列 a 的前n项和，b 为数列 S 的前n项积，已知 + =2．
19. n n n n S b
n n
（1）证明：数列
b
是等差数列;
n
（2）求
a
的通项公式．
n
设函数 f x=lna-x，已知x=0是函数y = xf x 的极值点．
20.
（1）求a；
x+ f(x)
（2）设函数g(x)= ．证明:gx<1．
xf(x)
已知抛物线C:x2 =2pyp >0的焦点为F ，且F 与圆M :x2 +(y+4)2 =1上点的距离的最小值
21.
为4．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 p；
（2）若点P在M 上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求 PAB面积的最大值．
V
（二）选考题，共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22.
在直角坐标系xOy中，
e
C 的圆心为C2,1 ，半径为1．
（1）写出
e
C 的一个参数方程;
（2）过点F4,1 作
e
C 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切
线的极坐标方程．
[选修 4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 f x= x-a + x+3 ．
23.
（1）当a =1时，求不等式 f x³6的解集;
（2）若 f x>-a，求a的取值范围．
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