2022年高考数学试卷（天津）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2022·高考数学真题

2022 年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）2022．06． 一、选择题：本题共 9小题，每小题 5分，共 45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 设全集U ={-2,-1,0,1,2} ，集合A=0,1,2,B=-1,2，则A I ð U B=（ ） A. 0，1 B. 0,1,2 C. -1,1,2 D. 0,-1,1,2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出ð B，再根据交集的定义可求A∩ð B . U U 【详解】ð U B=-2,0,1 ，故A I ð U B=0,1 ， 故选：A. 2. “x为整数”是“2x+1为整数”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不允分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】依据充分不必要条件的定义去判定“x为整数”与“2x+1为整数”的逻辑关系即可. 【详解】由题意，若x为整数，则2x+1为整数，故充分性成立； 1 当x= 时，2x+1为整数，但x不为整数，故必要性不成立； 2 所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件. 故选：A. x2 -1 3. 函数 f x= 的图像为（ ） x A. B. 第1页 | 共21页C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数 f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在 -¥,0 上的函数值符号，结合排除法可得出 合适的选项. x2 -1   【详解】函数 f x= 的定义域为 x x¹0 ， x -x2 -1 x2 -1 且 f -x= =- =-f x， -x x 函数 f x 为奇函数，A选项错误； x2 -1 又当x<0时， f x= £0，C选项错误； x x2 -1 x2 -1 1 当x>1时， f x= = = x- 函数单调递增，故B选项错误； x x x 故选：D . 4. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分 组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二 组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组 中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ） 第2页 | 共21页A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得 结果. 20 【详解】志愿者的总人数为 ＝50， (0.24+0.16)´1 所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12． 故选：B. æ1ö 0.7 1 5. 已知a=20.7，b= ç è3 ÷ ø ，c=log 2 3 ，则（ ） A. a>c>b B. b>c>a C. a>b>c D. c>a>b 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系. 0.7 æ1ö 1 【详解】因为20.7 > ç ÷ >0=log 1>log ，故a>b>c. è3ø 2 2 3 故答案为：C. 6. 化简 2log 3+log 3log 2+log 2 的值为（ ） 4 8 3 9 A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 第3页 | 共21页1 1 1 【详解】原式=(2´ log 3+ log 3)(log 2+ log 2) 2 2 3 2 3 2 3 4 3 = log 3´ log 2=2， 3 2 2 3 故选：B x2 y2 7. 已知抛物线 y2 =4 5x,F,F 分别是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点，抛物线的准线过双曲 1 2 a2 b2 p 线的左焦点F ，与双曲线的渐近线交于点A，若ÐFF A= ，则双曲线的标准方程为（ ） 1 1 2 4 x2 y2 A. - y2 =1 B. x2 - =1 10 16 y2 x2 C. x2 - =1 D. - y2 =1 4 4 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得 AF = FF ，由此可得出关于a、b、c的 1 1 2 方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.     【详解】抛物线y2 =4 5x的准线方程为x=- 5，则c= 5，则F - 5,0 、F 5,0 ， 1 2 ì b ìx=-c ïy =- x ï æ bcö 不妨设点A为第二象限内的点，联立í a ，可得í bc ，即点A ç -c, ÷， ï îx=-c ï î y = a è a ø p 因为AF ^ FF 且ÐFF A= ，则△FF A为等腰直角三角形， 1 1 2 1 2 4 1 2 bc b 且 AF = FF ，即 =2c，可得 =2， 1 1 2 a a ìb =2 ï a ìa=1 ï ï ï y2 所以，íc= 5 ，解得íb=2 ，因此，双曲线的标准方程为x2 - =1. ï ï c2 =a2 +b2 ï îc= 5 4 ïî 故选：C. 8. 如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ） 第4页 | 共21页A. 23 B. 24 C. 26 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】该几何体由直三棱柱AFD-BHC及直三棱柱DGC-AEB组成，作HM ^CB于M，如图， 3 3 3 因为CH = BH =3,ÐCHB=120o，所以CM = BM = ,HM = ， 2 2 因为重叠后的底面为正方形，所以AB= BC =3 3, 在直棱柱AFD-BHC中，AB^平面BHC，则AB^ HM , 由ABÇBC = B可得HM ^平面ADCB， 设重叠后的EG与FH 交点为I, 1 3 27 1 3 81 则V = ´3 3´3 3´ = ,V = ´3 3´ ´3 3= I-BCDA 3 2 2 AFD-BHC 2 2 4 81 27 则该几何体的体积为V =2V -V =2´ - =27. AFD-BHC I-BCDA 4 2 故选：D. 第5页 | 共21页1 9. 已知 f(x)= sin2x，关于该函数有下列四个说法： 2 ① f(x)的最小正周期为2π； π π ② f(x)在[- , ]上单调递增； 4 4 é π πù é 3 3ù ③当xÎ ê - , ú 时， f(x)的取值范围为ê- , ú； ë 6 3û ë 4 4 û 1 π π ④ f(x)的图象可由g(x)= sin(2x+ )的图象向左平移 个单位长度得到． 2 4 8 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 1 2π 【详解】因为 f(x)= sin2x，所以 f(x)的最小正周期为T = =π，①不正确； 2 2 é π πù 1 é π πù π π 令t =2xÎ - , ，而y = sint 在 - , 上递增，所以 f(x)在[- , ]上单调递增，②正确；因为 ê ú ê ú ë 2 2û 2 ë 2 2û 4 4 é π 2πù é 3 ù é 3 1ù t =2xÎ ê - , ú ，sintÎê- ,1ú，所以 f xÎê- , ú，③不正确； ë 3 3 û ë 2 û ë 4 2 û 1 π 1 é æ πöù 1 π 由于g(x)= sin(2x+ )= sin ê 2 ç x+ ÷ú，所以 f(x)的图象可由g(x)= sin(2x+ )的图象向右平 2 4 2 ë è 8øû 2 4 π 移 个单位长度得到，④不正确． 8 故选：A． 第 II 卷 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分．试题中包含两个空的，答对 1个的 给 3分，全部答对的给 5 分． 第6页 | 共21页11-3i 10. 已知i是虚数单位，化简 的结果为_______． 1+2i 【答案】1-5i##-5i+1 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出． 11-3i 11-3i1-2i 11-6-25i 【详解】 = = =1-5i． 1+2i 1+2i1-2i 5 故答案为：1-5i． 5 æ 3 ö 11. ç x + ÷ 的展开式中的常数项为______. è x2 ø 【答案】15 【解析】 æ 3 ö 5 5-5r 5-5r 【分析】由题意结合二项式定理可得 ç x + ÷ 的展开式的通项为 T =Cr ×3r ×x 2 ，令 =0，代 è x2 ø r+1 5 2 入即可得解. æ 3 ö 5  5-r æ 3 ö r 5-5r 【详解】由题意 ç x + ÷ 的展开式的通项为T =Cr × x × ç ÷ =Cr ×3r ×x 2 ， è x2 ø r+1 5 è x2 ø 5 5-5r 令 =0即r =1，则Cr ×3r =C1×3=15， 2 5 5 5 æ 3 ö 所以 ç x + ÷ 的展开式中的常数项为15. è x2 ø 故答案为：15. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 12. 若直线x- y+m=0m>0 与圆x-12 +y-12 =3相交所得的弦长为m，则m=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值. 【详解】圆x-12 +y-12 =3的圆心坐标为 1,1 ，半径为 3， 1-1+m m 圆心到直线x- y+m=0m>0的距离为 = ， 2 2 第7页 | 共21页2 2 æ m ö æmö 由勾股定理可得 ç ÷ + ç ÷ =3，因为m>0，解得m = 2. è 2 ø è 2 ø 故答案为：2. 13. 52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次 抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________ 1 1 【答案】 ①. ②. 221 17 【解析】 【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽 到A的条件下，第二次抽到A的概率. 【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C, 1 4 3 1 4 1 PBC 1 则PBC= ´ = ,P(B)= = ,PC|B= = 221 = . 52 51 221 52 13 PB 1 17 13 1 1 故答案为： ； . 221 17 14. 在 V ABC中，C uu A ur =a r ,C uu B ur =b r ，D是AC中点，C uu B ur =2 u B u E ur ，试用a r ,b r 表示 u D uu E r 为___________，若 uuur uuur AB^ DE，则ÐACB的最大值为____________ 3r 1 r p 【答案】 ①. b- a ②. 2 2 6 【解析】 uuur r r uur uur 【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以 a,b 为基底，表示出AB,DE，由 AB^ DE可得3b r2 +a r2 =4b r ×a r ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB^ DE可得点A的 轨迹为以M(-1,0)为圆心，以r =2为半径的圆，方程为(x+1)2 + y2 =4，即可根据几何性质可知，当且 仅当CA与 e M 相切时，ÐC最大，即求出． 【详解】方法一： 第8页 | 共21页uuur uuur uuur 3r 1 r uuur uuur uuur r r uuur uuur r r r r DE=CE-CD= b- a，AB=CB-CA=b-a,AB^ DE(3b-a)×(b-a)=0， 2 2 r r r r r2 r2 2 3 a b 3b r2 +a r2 =4a r ×b r cosÐACB= a r ×b r = 3b r + r a ³ r r = 3 ，当且仅当 a r = 3 b r 时取等号，而 a b 4 a b 4 a b 2 p 0<ÐACB<π，所以ÐACBÎ(0, ]． 6 3r 1 r p 故答案为： b- a； ． 2 2 6 方法二：如图所示，建立坐标系： uuur x+3 y uuur E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE =(- ,- ),AB=(1-x,-y)， 2 2 uuur uuur x+3 y2 DE ^ AB( )(x-1)+ =0 (x+1)2 + y2 =4，所以点A的轨迹是以M(-1,0)为圆心，以 2 2 r 2 1 p r =2为半径的圆，当且仅当CA与 e M 相切时，ÐC最大，此时sinC = = = ,ÐC = ． CM 4 2 6 3r 1 r p 故答案为： b- a； ． 2 2 6 15. 设aÎR，对任意实数x，记 f x=min  x -2,x2 -ax+3a-5  ．若 f x 至少有3个零点，则实 数a的取值范围为______. 第9页 | 共21页【答案】a³10 【解析】 【分析】设gx= x2 -ax+3a-5，hx= x -2，分析可知函数gx 至少有一个零点，可得出 D³0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等 式，综合可求得实数a的取值范围. 【详解】设gx= x2 -ax+3a-5，hx= x -2，由 x -2=0可得x=±2. 要使得函数 f x 至少有3个零点，则函数gx 至少有一个零点，则D=a2 -12a+20³0， 解得a£2或a³10. ①当a=2时，gx= x2 -2x+1，作出函数gx 、hx 的图象如下图所示： 此时函数 f x 只有两个零点，不合乎题意； ②当a<2时，设函数gx 的两个零点分别为x、x x < x  ， 1 2 1 2 要使得函数 f x 至少有3个零点，则x £-2， 2 ìa ï <-2 所以，í2 ，解得aÎÆ； ïg-2=4+5a-5³0 î ③当a=10时，gx= x2 -10x+25，作出函数gx 、hx 的图象如下图所示： 第10页 | 共21页由图可知，函数 f x 的零点个数为3，合乎题意； ④当a>10时，设函数gx 的两个零点分别为x 、x x < x  ， 3 4 3 4 要使得函数 f x 至少有3个零点，则x ³2， 3 ìa ï >2 可得í2 ，解得a>4，此时a>10. ïg2=4+a-5³0 î 综上所述，实数a的取值范围是 10,+¥ . 故答案为： 10,+¥ . 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图 象，利用数形结合的方法求解. 三、解答题：本大题共 5小题，共 75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1 16. 在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a= 6,b=2c,cosA=- . V 4 （1）求c的值； （2）求sinB的值； （3）求sin(2A-B)的值. 【答案】（1）c=1 10 （2）sinB= 4 第11页 | 共21页10 （3）sin(2A-B)= 8 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理a2 =b2 +c2 -2bccosA以及b=2c解方程组即可求出； （2）由（1）可求出b=2，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出sin2A,cos2A，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 1 因为a2 =b2 +c2 -2bccosA，即6=b2 +c2 + bc，而b=2c，代入得6=4c2 +c2 +c2，解得： 2 c=1． 【小问2详解】 15 a b 由（1）可求出b=2，而0< A<π，所以sinA= 1-cos2 A = ，又 = ，所以 4 sinA sinB 15 2´ bsinA 4 10 ． sinB= = = a 6 4 【小问3详解】 1 π π 15 因为cosA=- ，所以 < A< π，故0< B< ，又sinA= 1-cos2 A = ， 所以 4 2 2 4 æ 1ö 15 15 1 7 sin2A=2sinAcosA=2´ - ´ =- ，cos2A=2cos2 A-1=2´ -1=- ，而 ç ÷ è 4ø 4 8 16 8 10 6 sinB= ，所以cosB= 1-sin2 B = ， 4 4 æ 15ö 6 7 10 10 故sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=ç- ÷´ + ´ = ． ç ÷ 8 4 8 4 8 è ø 17. 直三棱柱ABC-ABC 中，AA = AB = AC =2,AA ^ AB,AC ^ AB，D为AB 的中点，E为 1 1 1 1 1 1 1 AA 的中点，F为CD的中点． 1 第12页 | 共21页（1）求证：EF//平面ABC； （2）求直线BE 与平面CC D所成角的正弦值； 1 （3）求平面ACD与平面CC D所成二面角的余弦值． 1 1 【答案】（1）证明见解析 4 （2） 5 10 （3） 10 【解析】 【分析】（1）以点A为坐标原点，AA、AB 、AC 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标 1 1 1 1 1 1 系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线BE 与平面CC D夹角的正弦值； 1 （3）利用空间向量法可求得平面ACD与平面CC D夹角的余弦值. 1 1 【小问1详解】 证明：在直三棱柱ABC-ABC 中，AA ^平面ABC ，且AC ^ AB，则AC ^ AB 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 以点A为坐标原点，AA、AB 、AC 所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标 1 1 1 1 1 1 系， 第13页 | 共21页则A2,0,0 、B2,2,0 、C2,0,2 、A 0,0,0 、B 0,0,2 、C 0,0,2 、D0,1,0 、 1 1 1 E1,0,0 、F æ ç1, 1 ,1 ö ÷，则 u E u F ur = æ ç 0, 1 ,1 ö ÷， è 2 ø è 2 ø 易知平面ABC的一个法向量为m ur =1,0,0，则 u E u F ur ×m ur =0，故 u E u F ur ^m ur ， EF Ë平面ABC，故EF//平面ABC. Q 【小问2详解】 uuuur uuuur uuur 解：CC =2,0,0，C D=0,1,-2，EB=1,2,0， 1 1 uuuuv r ìïuv×CC =2x =0 设平面CC 1 D的法向量为u =x 1 ,y 1 ,z 1 ，则í ïî uv×C uu 1 u D uv = y 1 -2z =0 ， 1 1 1 uuur r r uuur r EB×u 4 取y =2，可得u =0,2,1， cos< EB,u >= uuur r = . 1 EB × u 5 4 因此，直线BE 与平面CC D夹角的正弦值为 . 1 5 【小问3详解】 uuur uuuur 解：AC =2,0,2，AD=0,1,0， 1 1 uuuv r ìïvv×AC =2x +2z =0 设平面A 1 CD的法向量为v=x 2 ,y 2 ,z 2 ，则í ïî vv× u A u 1 u D uv = y 2 =0 2 ， 1 2 r r r r r u×v 1 10 取x =1，可得v=1,0,-1，则 cos= r r =- =- ， 2 u × v 5´ 2 10 10 因此，平面ACD与平面CC D夹角的余弦值为 . 1 1 10 18. 设 a  是等差数列， b  是等比数列，且a =b =a -b =a -b =1． n n 1 1 2 2 3 3 第14页 | 共21页（1）求 a  与 b  的通项公式； n n （2）设 a  的前n项和为S ，求证：S +a b =S b -S b ； n n n+1 n+1 n n+1 n+1 n n 2n （3）求 åéa -(-1)ka ùb ． ë k+1 kû k k=1 【答案】（1）a =2n-1,b =2n-1 n n (3n-1)4n+2 +16 （2）证明见解析 （3） 9 【解析】 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； n （3）先求得é ë a 2k -(-1)2k-1a 2k-1 ù û b 2k-1 +é ë a 2k+1 -(-1)2ka 2k ù û b 2k ，进而由并项求和可得T n =åk×4k+1 ， k=1 再结合错位相减法可得解. 【小问1详解】 设 a  公差为d， b  公比为 q ，则a =1+(n-1)d,b =qn-1， n n n n ì 1+d -q =1 由a -b =a -b =1可得í d =q =2（d =q=0舍去）， 2 2 3 3 î1+2d -q2 =1 所以a =2n-1,b =2n-1； n n 【小问2详解】 证明：因为b =2b ¹0,所以要证(S +a )b =S b -S b ， n+1 n n+1 n+1 n n+1 n+1 n n 即证(S +a )b =S ×2b -S b ，即证S +a =2S -S ， n+1 n+1 n n+1 n n n n+1 n+1 n+1 n 即证a =S -S ， n+1 n+1 n 而a =S -S 显然成立，所以(S +a )b =S ×b -S ×b ； n+1 n+1 n n+1 n+1 n n+1 n+1 n n 【小问3详解】 因为éa -(-1)2k-1a ùb +éa -(-1)2ka ùb ë 2k 2k-1û 2k-1 ë 2k+1 2kû 2k =(4k-1+4k-3)´22k-1+[4k+1-(4k-1)]´22k =k´4k+1， 第15页 | 共21页2n n 所以 åéa -(-1)ka ùb =å[(a -(-1)2k-1a )b +(a -(-1)2ka )b ] ë k+1 kû k 2k 2k-1 2k-1 2k+1 2k 2k k=1 k=1 n =åk´4k+1， k=1 n 设T =åk×4k+1 n k=1 所以T =1´42 +2´43 +3´44 +×××+n´4n+1， n 则4T =1´43 +2´44 +3´45 +×××+n´4n+2， n 42(1-4n) 作差得-3T =42 +43 +44 +×××+4n+1-n´4n+2 = -n´4n+2 n 1-4 1-3n4n+2 -16 = ， 3 (3n-1)4n+2 +16 所以T = ， n 9 2n (3n-1)4n+2 +16 所以 åé ë a k+1 -(-1)ka k ù û b k = . 9 k=1 x2 y2 BF 3 19. 椭圆 + =1a >b>0的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 = ． a2 b2 AB 2 （1）求椭圆的离心率e； （2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 OM = ON ， 且 V OMN 的面积为 3，求椭圆的标准方程． 6 【答案】（1）e= 3 x2 y2 （2） + =1 6 2 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值； （2）由（1）可知椭圆的方程为x2 +3y2 =a2，设直线l的方程为y=kx+m，将直线l的方程与椭圆方程 联立，由D=0可得出3m2 =a2 1+3k2 ，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求 第16页 | 共21页得a2的值，即可得出椭圆的方程. 【小问1详解】 BF b2 +c2 a 3 解： = = = 4a2 =3  b2 +a2 a2 =3b2， AB b2 +a2 b2 +a2 2 c a2 -b2 6 离心率为e= = = . a a2 3 【小问2详解】 解：由（1）可知椭圆的方程为x2 +3y2 =a2， 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m， ìy =kx+m 联立í 得  1+3k2 x2 +6kmx+  3m2 -a2 =0， îx2 +3y2 =a2 由D=36k2m2 -4  1+3k2 3m2 -a2 =03m2 =a2 1+3k2 ，① 3km m x =- ，y =kx +m= ， M 3k2 +1 M M 1+3k2 m2 9k2 +1  由 OM = ON 可得m2 = ，②  3k2 +1 2 1 3km 由S = 3可得 m × = 3，③ VOMN 2 1+3k2 1 x2 y2 联立①②③可得k2 = ，m2 =4，a2 =6，故椭圆的标准方程为 + =1． 3 6 2 20. 已知a，bÎR，函数 f x=ex -asinx,gx=b x （1）求函数y = f x 在  0, f 0 处的切线方程； （2）若y = f x 和y = gx 有公共点， （i）当a=0时，求b的取值范围； （ii）求证：a2 +b2 >e． 【答案】（1） y =(1-a)x+1  （2）（i）bÎé 2e,+¥ ；（ii）证明见解析 ë 【解析】 第17页 | 共21页【分析】（1）求出 f¢(0)可求切线方程； （2）（i）当a=0时，曲线y= f(x)和y = g(x)有公共点即为st=et2 -bt,t ³0在 0,+¥ 上有零点， 求导后分类讨论结合零点存在定理可求bÎ[ 2e,+¥). （ii）曲线y= f(x)和y = g(x)有公共点即asinx +b x -ex 0 =0，利用点到直线的距离得到 0 0 ex 0 e2x a2 +b2 ³ ，利用导数可证 >e，从而可得不等式成立. sin2 x +x sin2 x+x 0 0 【小问1详解】 f¢(x)=ex -acosx，故 f¢(0)=1-a，而 f(0)=1， 曲线 f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y =1-ax-0+1即y =1-ax+1. 【小问2详解】 （i）当a=0时， 因为曲线y= f(x)和y = g(x)有公共点，故ex =b x有解， 设t = x ，故x=t2，故et2 =bt在 0,+¥ 上有解， 设st=et2 -bt,t ³0，故st 在 0,+¥ 上有零点， 而s¢t=2tet2 -b,t >0， 若b=0，则st=et2 >0恒成立，此时st 在 0,+¥ 上无零点， 若b<0，则s¢t>0在 0,+¥ 上恒成立，故st 在 0,+¥ 上为增函数， 而s0=1>0，st³s0=1，故st 在 0,+¥ 上无零点， 故b>0， 设ut=2tet2 -b,t >0，则u¢t=  2+4t2 et2 >0， 故ut 在 0,+¥ 上为增函数， 而u0=-b<0，ub=b  2eb2 -1  >0， 故ut 在 0,+¥ 上存在唯一零点t ， 0 且0t 时，ut>0； 0 0 故0t 时，s¢t>0； 0 0 第18页 | 共21页所以st 在 0,t  上为减函数，在 t ,+¥ 上为增函数， 0 0 故st =st  ， min 0 因为st 在 0,+¥ 上有零点，故st £0，故et 0 2 -bt £0， 0 0 2 而2t et 0 2 -b=0，故et 0 2 -2t2et 0 2 £0即t ³ ， 0 0 0 2 设vt=2tet2,t >0，则v¢t=  2+4t2 et2 >0， 故vt 在 0,+¥ 上为增函数， 而b=2t 0 et 0 2，故 b³ 2e 1 2 = 2e . （ii）因为曲线y= f(x)和y = g(x)有公共点， 所以ex -asinx=b x 有解x ，其中x ³0， 0 0 若x =0，则1-a´0=b´0，该式不成立，故x >0. 0 0 故asinx +b x -ex 0 =0，考虑直线asinx +b x -ex 0 =0， 0 0 0 0 a2 +b2 表示原点与直线asinx +b x -ex 0 =0上的动点 a,b 之间的距离， 0 0 故 a2 +b2 ³ ex 0 ，所以a2 +b2 ³ e2x 0 ， sin2 x +x sin2 x +x 0 0 0 0 下证：对任意x>0，总有 sinx < x， p p 证明：当x³ 时，有 sinx £1< £ x，故 sinx < x成立. 2 2 p 当00时，ex > x+1恒成立， qx=ex -1-x,x>0，则q¢x=ex -1>0， 第19页 | 共21页故qx 在 0,+¥ 上为增函数，故qx>q0=0即ex > x+1恒成立. e2x 下证： >e在 0,+¥ 上恒成立，即证：e2x-1 >sin2 x+x， sin2 x+x 即证：2x-1+1³sin2 x+x，即证：x³sin2 x， 而x> sinx ³sin2 x，故x³sin2 x成立. ex 0 故 >e，即a2 +b2 >e成立. sin2 x +x 0 0 【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的 不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式. 第20页 | 共21页第21页 | 共21页