2025年广东普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析版）_普高真题卷_广东数学普高学考(春考)_真题卷(2020-2025)

机密★启用前 试卷类型：B 2025 年广东省第一次普通高中学业水平合格性考试 数学 本试卷共 4页，22小题，满分 150分．考试时间 90分钟． 注意事项： 1．答卷前，考试务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号 填写在答题卡上．用 2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．将条形码粘贴在答 题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项答案信息点涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改 液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 6分，共 72分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． M =0,1,2 N =1,2,3 M N = 1. 已知集合 ，集合 ，则 I （ ） A. 1,2 B. 0,1,2 C. 1,2,3 D. 0,1,2,3 【答案】A 【解析】 【分析】借助交集定义即可得. 【详解】由M =0,1,2 ，集合N =1,2,3 ，则M I N =1,2 . 故选：A. 2. 复数z =4-3i在复平面的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可得出结论. 第1页/共12页 学科网（北京）股份有限公司【详解】复数z =4-3i在复平面内的点的坐标为 4,-3 ，该点位于第四象限. 故选：D. 3. 函数 f x=lnx-1 的定义域是（ ） A. 1,+¥ B. 1,+¥ C. -¥,1 D. -¥,1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】要使函数 f x=lnx-1 有意义， 则x-1>0，解得𝑥>1， 即函数 f x=lnx-1 的定义域是 1,+¥ ， 故选：B. 4. 设命题 p："xÎR， x ³0，则 p的否定是（ ） A. "xÎR， x £0 B. "xÎR， x <0 C. $xÎR， x ³0 D. $xÎR， x <0 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可. 【详解】因为命题 p："xÎR, x ³0是全称命题， 所以命题 p的否定是$xÎR, x <0， 故选：D. 5. 已知函数 f x=ex，则正确的是（ ） A. f -1=-f 1 B. f -1= f 1 C. f 1> f 0 D. f 1< f 0 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出 f -1 、-f 1 、 f 1 、 f 0 即可得. 第2页/共12页 学科网（北京）股份有限公司1 【详解】对A、B： f -1=e-1 = ，-f 1=-e，故A、B错误； e 对C、D： f 1=e， f 0=e0 =1，则 f 1> f 0 ，故C正确、D错误. 故选：C. 6. 已知向量a r =2,x ，b r =-2,1，若a r //b r ，则x=（ ） A. -1 B. 1 C. -4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为向量a r =2,x ，b r =-2,1，且a r //b r ， 所以2´1-x´-2=0，解得𝑥=―1， 故选：A. 7. 为了了解某学校数学学习情况，随机抽取8位学生．某数学考试分数如下： 85 93 95 92 88 92 95 90 据此估算该年级数学考试第25百分位数为（ ） A. 88 B. 89 C. 90 D. 94 【答案】B 【解析】 【分析】先对数据进行从小到大排序，然后根据数据集的大小计算出第25百分位数在排序后数据中的位置， 对于偶数个数据点，第25百分位数将是排序数据中的一个特定位置或两个相邻数据点的平均值. 【详解】对8位学生的数学考试分数进行从小到大的排序，得到的序列如下： 85，88，90，92，92，93，95，95 共8个数据点的数据集，第25百分位数的位置为8´25%=2， 88+90 所以第25百分位数为 =89. 2 故选：B 【点睛】关键点点睛：在计算百分位数时，特别要注意数据点的排序和百分位数位置的计算。当数据点个 数为偶数时，百分位数的位置会落在两个数据点之间，此时百分位数应取这两个数据点的平均值。这一原 则是准确估算数据集百分位数的关键. æπ ö 1 8. 已知sinç +a÷= ，则cosa=（ ） è2 ø 3 第3页/共12页 学科网（北京）股份有限公司1 1 2 2 2 2 A. B. - C. D. - 3 3 3 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得cosa的值. æπ ö 1 【详解】由诱导公式可得sinç +a÷=cosa= . è2 ø 3 故选：A. æ πö 9. 为了得到函数 y =sin ç 2x+ ÷的图象，只需要把函数y =sin2x的图象上所有点（ ） è 4ø π π A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 4 4 π π C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 8 8 【答案】C 【解析】 【分析】借助平移变换的性质计算即可得. æ πö æ πö 【详解】由y =sin ç 2x+ ÷ =sin2 ç x+ ÷， è 4ø è 8ø æ πö 故想要得到函数 y =sin ç 2x+ ÷的图象， è 4ø π 只需要把函数y =sin2x的图象上所有点向左平移 个单位长度. 8 故选：C. 10. 已知x,y >0，且2x+ y =4，则xy的最大值为（ ） A. 2 2 B. 2 C. 4 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为x,y >0，所以2x+ y =4³2 2x´y =2 2´ xy ，可得xy£2， 当2x= y且2x+ y =4时，即x=1,y =2时等号成立， 所以xy的最大值为2. 第4页/共12页 学科网（北京）股份有限公司故选：B. 11. 已知直线a，b分别在两个不同的平面a，b内 . 则“直线a和直线b相交”是“平面a和平面b相交”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A. ìx2 +2x-3,x£0 12. 已知 f x=í 若函数gx= f x-k有三个零点，则k的取值范围是（ ） î-1+lnx,x>0 A. k ³4 B. k <-4 C. -40与x£0进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得gx 在 0,+¥ 上必有一零点，则可得x2 +2x-3-k =0有两不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解. 【详解】由函数y=-1+lnx在 0,+¥ 上单调递增，且值域为R， 故-1+lnx-k =0必有唯一解， 故当x£0时，x2 +2x-3-k =0有两不同根， 即x2 +2x-3-k =0有两不同非正根， 即有D=22 -4-3-k>0，解得k > -4， 由x +x =-2<0，则x x =-3-k ³0，解得k £-3， 1 2 1 2 故-40的解集为______．  【答案】 x x<-4或𝑥>1} 【解析】 【分析】借助一元二次不等式的解法解出即可得. 第6页/共12页 学科网（北京）股份有限公司【详解】x2 +3x-4=x+4x-1>0，则x<-4或x>1，  即该不等式的解集为 x x<-4或𝑥>1}.  故答案为： x x<-4或𝑥>1}. sinq-cosq 17. 已知tanq=3，则 =______． sinq+cosq 1 【答案】 ##0.5 2 【解析】 【分析】利用弦化切可得出所求代数式的值. sinq-cosq sinq-cosq cosq tanq-1 3-1 1 【详解】因为tanq=3，则 = = = = . sinq+cosq sinq+cosq tanq+1 3+1 2 cosq 1 故答案为： . 2 18. 圆锥的侧面积与轴截面的面积比值为2π．求母线与底面的正切值为______． 3 【答案】 3 【解析】 【分析】利用侧面积与轴截面面积的比值以及勾股定理找出母线长为l，圆锥的高为h，从而求出母线与 底面所成角的正切值. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l，圆锥的高为h，母线与底面所成角为q， 根据题意，圆锥的侧面积S 和轴截面面积S 的比值为2π， 侧 轴 1 由侧面积S =πrl，轴截面面积S = ×2r×h=rh， 侧 轴 2 πrl 因此 =2π，简化得l =2h， rh 由勾股定理得l2 =h2 +r2，代入l =2h得到4h2 =h2 +r2， 1 从而3h2 =r2，解得h= r， 3 h 1 由定义知tanq= ，将h= r代入得： r 3 第7页/共12页 学科网（北京）股份有限公司1 r 3 1 3 . tanq= = = r 3 3 3 故答案为： . 3 三、解答题：本大题共 4个大题，第 19，20，21 题各 10分，第 22题 12分，共 42分．解 答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 1 æ 5ö 19. 已知函数 f x= xa+ 的图象经过ç 2, ÷． x è 2ø （1）求 f x 的解析式； （2）判断 f x 的奇偶性，并说明理由． 1 【答案】（1） f x= x+ x （2）函数 f(x)为奇函数，理由见详解 【解析】 æ 5ö 【分析】（1）把ç 2, ÷点代入解析式求出a后可得答案； è 2ø （2）利用奇偶性的定义判断即可. 【小问1详解】 1 æ 5ö 因为函数 f x= xa+ 的图象经过ç 2, ÷， x è 2ø 1 5 所以 f 2=2a+ = ，解得a=1， 2 2 1 所以 f x= x+ ； x 【小问2详解】   函数 f(x)为 x x¹0 上的奇函数. 1 由（1）可知 f x= x+ ，x¹0， x 由于x¹0，其定义域关于原点对称， 1 æ 1ö f -x=-x- =- ç x+ ÷ =-f x ， x è xø 第8页/共12页 学科网（北京）股份有限公司所以 f x 为奇函数. 20. 为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下 （单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 （1）求这10户居民月度用水量的平均值元； （2）求这10户居民月度用水量落在区间 x-3.5,x+3.5 的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落 在区间 x-3.5,x+3.5 的户数． 【答案】（1）8.1 4 （2） ；720 5 【解析】 【分析】（1）计算平均值； （2）先计算出这10户居民月度用水量落在区间 x-3.5,x+3.5 的概率，最后用样本估计总体去计算该小 区居民月度用水量落在区间 x-3.5,x+3.5 的户数即可. 【小问1详解】 将每个数据乘以10减去81得：-25、19、5、-59、-17、-7、-3、-27、59、55. 1 所以平均值为：Y= -25+19+5-59-17-7-3-27+59+55=0， 10 所以Y=10X-81=0ÞX=8.1，所以这10户居民月度用水量的平均值为：8.1吨 【小问2详解】 8 4 因为x-3.5=4.6,x+3.5=11.6，所以落在区间 x-3.5,x+3.5 的概率为 = ， 10 5 4 据此估算该小区居民月度用水量落在区间 x-3.5,x+3.5 的户数为900´ =720. 5 21. 在VABC中，已知A=120°，a=6，c=2 3． （1）求C； （2）如D为AC的中点，求BD的长． 【答案】（1）30° （2） 21 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角C； 第9页/共12页 学科网（北京）股份有限公司（2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解. 【小问1详解】 因为A=120°，且a=6，c=2 3， 6 2 3 根据正弦定理可得 = ， sin120° sinC 1 解得sinC = ； 2 又Q 0