（网络收集）2026年上海数学卷高考真题带答案带解析文字版
一、填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，满分54分）
1.若集合A={2,1+a},且-1∈A,则a=___.
【答案】-2
【解析】本题考查了集合中的元素的性质
A={2,a+1},且-1∈A
∴a+1=-1∴a=-2
故答案为-2
2.已知数列 是等比数列,且 ,则 .
【答案】54
【解析】本题考查了等比数列的性质
已知已知
故答案为：54
3.已知 ,则 .
【答案】【解析】本题考查了三角函数的运算,二倍角公式
故答案为
4.已知事件A和事件B互斥,且P(A)=0.2,P(B)=0.5,则 .
【答案】0.7
【解析】本题考查了概率运算,互斥事件的概率
∵A与B互斥
故答案为0.7
5.函数f(x)是偶函数,当x≥0时, ,若f(-4)=3,则a=____.
【答案】-1
【解析】本题考查了函数的奇偶性,分段函数,求函数值
∵f(x)是偶函数,x≥0时
∵f(-4)=3,∴f(-4)=3,
,∴2-3=a,∴a=-1
故答案为：-1
6.在 的二项展开式中, 项的系数为 .
【答案】10【解析】
令10-r=7,∴r=3
的系数为
故答案为10
7.已知 ,则ab的最大值为 .
【答案】
【解析】本题考查了基本不等式求最值,注意等号成立的条件
,即
∴4ab≤1,
当且仅当 时“=”成立
故ab的最大值为
故答案为 .
8.已知X的分布为 ,E[X]=0.5,则b=____.【答案】0.6
【解析】本题考查了分布列、期望.
由分布列可得E(X)=(-1)×a+0×0.3+1×b=-a十b.
∴-a+b=0.5①
又∵a+0.3+b=1②
由①②得:a=0.1,b=0.6.故答案为ab.
9.已知等差数列 ,d为公差, 为前n项和,至少有两项介于(0,1),则d的
取值范围为____.
【答案】
【解析】本题考查等差数列的求和公式;数列的单调性.
当n=1时 ,不在区间(0,1)内
当d≤0时,对任意n≥1时,都有 ,不符合题意.
则必有d＞0,对于n≥2时, , 严格递增.
则只需 ,且
则
10.已知 两两不平行,若 对任意的 k∈R 成立,则
k=______.
【答案】-6【解析】本题考查了平面向量共线定理,基础题.
由题意可得.
整理得.
∴k=-6.
故答案为-6.
11.已知三角函数 ,
若v==f(t),当v=0或v=4时其导数为0,初始速度为0,且速度第一次达到4时用
时为0.1秒,求f(t)=____.
【答案】
【解析】本题考查了三角函数图象的性质,导数的几何意义,三角函数的实际应
用.由三角函数在最高点和最低点处的导数为0,且当v=0或4时,其导数为0;
最低点取得v=0,最高点取v=4
又初始速度为0及速度第一次达到4时,用时为0.1秒.
可得：周期T=2×0.1,则
又最低点取得v=0,最高点取得v=4
,又
由题意可得 ,
12. 已 知 A,B,C 为 一 椭 圆 4 个 顶 点 和 2 个 焦 点 中 任 意 三 个 ,
,则该椭圆的离心率为____.
【答案】
【解析】本题考查了椭圆的性质、椭圆的离心率.由椭圆的对称性可得,A、B、C
三点,必为椭圆的四个顶点、两个焦点中的三个点.
AB,BC,AC应设为a+c,a, (可变顺序)
或者AB,BC,AC应设为a-c,a, (可变顺序)
又∵AB=5, ,AC=3,且在椭圆中.a＞b,a＞c
①
② (舍)
③ ,不满足④ (舍)
故答案为 .
二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分
18分）
13.a为不为1的任意实数,则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】本题考查了指数幂运算.
故选B.
14.已知事件A、事件B为独立随机事件,事件C表示为事件A、B至少有一件发
生,则 .
A.
B.C.
D.
【答案】C
【解析】本题考查了随机事件的相互独立、对立事件、和事件等知识.
事件C为A,B至少有一个发生,
则为事件A发生,或事件B发生,或者二者都发生.
由集合并补 关系,
可得：
故选C.
15.对于任意两个复数z,w,如果满足 “或 ,那么就称
z与w伴随“品”中学生为,如果z与w伴随,则w-i与z+i伴随的充要条件是
().
A.Rez+Rew=0
B.Rez-Rew=0
C.Imz+Imw=0
D.Imz-Imw=0
【答案】C
【解析】本题考查了复数的新定义,考查了复数的共轭.
设z=a+bi,w=c+di(a,b,c,d∈R)
已知z与w伴随,z+w=a+c+(b+d)i∈R
∴b+d=0z-w=a-c+(b-d)i∈R
∴b-d=0
若w-i与z+i伴随,w-i+z+i=w+z∈R
可得:b+d=0
w-i-(z+i)=w-z-2i=(a-c)+(b-d-2)i∈R
可得∴b-d-2=0
∴Imw+Imz=0
故选C.
16.如图,在一个空间直角坐标系中,存在一个正方体 ,其中
A为坐标原点,将该正方体绕体对角线 为旋转轴旋转一周,点C将经过()个卦
限.
A.1
B.5
C.4
D.7
【答案】A
【解析】本题考查空间几何直观想象能力和立体几何的卦限.考查了圆的定义.
过C作 的垂线,垂足为H,
因为直线 面∴当点C绕对角线 旋转时,其轨迹为以H为圆心,CH为半径的圆,该圆经过
和
建立如图:
则 =(1,1,1),C(1,1,0)
设H , , ,则 = , ,
, , ,
设旋转后点 的坐标为(x,y,z).
则
令 ,解得 ,
圆H与xoz面有且只有一个交点
该方程组不存在y为负的解
同理,该方程不存在x为负数或z为负数的解
点C只经过第一卦限.
故选A.
三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤）17.某工厂为进行环境保护与改善,对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密
度进行了监测与记录,数据如下：
(1)为进一步研究,从这9年间随机抽取一年,该年份颗粒物的密度大于二氧化硫
密度的概率是多少?
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性,该工厂应选取茎叶图、扇形
图、散点图中的哪一种进行分析,并请你判断相关系数在(-1,0),(0,1),(1,2)哪
个区间内（直接写结论）.
(3)2023年前9年的年份(x)的平均数为2018,y(颗粒物密度)关于x(年份)的回
归方程拟采用 ,或y=a(x-2014)+83.743.已知2023年实
际颗粒物浓度为3.88,则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝
对值更小？
【答案】(1)
(2)散点图,(0,1)
(3) ,对于2023年预测值与实际值的差值绝对值更小.
【解析】本题考查了统计知识,散点图、回归分析,考查了计算能力.
(1)由题意,设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度为事件A,显然满足共有7
年,故 .
故该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率为 .
(2)选择散点图,r∈(0,1)
(3)由题意,设样本中心≈33.499
故33.499=a(2018-2014)+83.74,a≈-12.561
y=-12.561(x-2014)+83.743
故x=2023时,此时
差值绝对值为2.199
y=-12.56(2023-2014)+83.743≈29.306
差值绝对值为33.186＞2.199
故 对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
18.如图,四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,PH⊥底面,AH=1,HD=4,AB=2.
(1)证明:HC⊥PB;
(2)若四棱锥体积 ,求二面角C-PB-H的大小.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】本题考查了立体几何的线面垂直,线线垂直,棱锥的体积,利用空间向量
求二面角的大小.
(1)过H作L∥AB,以H为原点,以HD,HP所在直线为x,y轴,z轴建立空间直角坐
标系(如图)H(0,0,0)C(2,4,0)B(2,-1,0)
设P(0,0,h),
∴HC⊥PB.
(2)由题意： ,
故 , , ,
设平面CPB的法向量为
则
令 ,则z=2设平面PBH的法向量为
则
令 ,则y=2,
x=1
设二面角C-PB-H为 ,
故二面角C-PB-H的大小为
19.已知a∈R,函数
(1)已知f(1)=4,求 的解集;
(2)a≠0, 是f(x)在点(0,3)处的切线, 是过点(0,3)且垂直于 的直线,g(x)与
、 在第一象限内均无公共点,求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】本题考查了解不等式,导数的几何意义,利用导数研究函数的性质,求参
数的取值范围问题(1)由题意：x≠0.
.
.
由 ,得
,解得x＞3或x＜1
又
不等式的解集为
(2)由题意,
为y=ax+3,
为
故, 在 无解.
即 在 内无解
不妨设
时,
故 即a＜2,又
同理综上:
20.定义 , 、 为 的左右焦点
(1)求点(2,0)到 渐近线的距离;
(2)P为 上一点, ,求 的面积;
(3)设 ,其中 或 ,过点 的直线 交 于P、Q两点
(分别位于一、四象限),过点 直线m交 于M、N两点(分别位于三、四象限),
是否存在正数 ,对于任意的 ,都存在唯一的m,使 成立,若存在,
求出所有的 ,若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】本题考查了双曲线与直线的位置关系,双曲线的渐近线、点到直线的距
离,弦长公式,探究性题目.
(1)已知双曲线 ,则渐近线为
则点(2,0)到其中一条渐近线的距离d
∴(2,0)到渐近线的距离为
(2)
设P(x,y)则 ①.②
由①②得
(3)设
设 , 联立得
则 ,
设m： ,
同理得 ,
得
且 关于n是严格减函数,
对于任意的 , ,
,要存在唯一的m使 成立.
只需
即 得
21.(i,j,k)是1,2,3的一个排列,对函数 ,对于任意 ,都有
且 ,则称(i,j,k)是关于
的一个 排列,关于 的 排列总数记为 .
(1)对 ,判断(3,1,2)是否为 排
列?
(2)对 满足条件的 ,
求 的取值范围？
(3)对 ,且对任意 ,令
, ,
证明:若F(x)严格减,则存在a＞0,使 ;若F(x)严格增,则存在
;
【答案】（1）见解析（2） （3）见解析
【解析】本题考查函数的新定义,考查了分类讨论思想.
抽象函数的单调性,考查探索性思维的创新性.
(1)由题意： 恒成立.
恒成立.
故 且 ,
故(3,1,2)是T-排列.(2). ,即任意排列皆成立.
故
对于任意 上恒成立
设 在 处
故
(3)对于F(x)严格减,由(2)易得,
若 则必然有 ,
同理若 则必然有 ,
故此时(1,2,3),(1,3,2),(3,1,2),(3,2,1)必然成立,
故只需证明 且 即可.
不妨设 ,
由 单调递减得 单调递增,故 单调递增,
由 单调递增,且 ,
故必然存在 ,
即取 ,此时 ;
设 ,
由 得 ,
同理易得必然存在 使得 ,
即取 ,此时 ;故只需取a大于 ,必然有 成立;
对于F(x)严格增,假设任意的 , ,
由(1,2,3)天然成立,故其余排列仅有一个成立,
若 ,则 ,
即 ,设 ,
故
,
显然当 足够大时, 与 矛盾,
故无法使 恒成立,即(2,1,3),(2,3,1)显然皆不成立,舍;
当(3,1,2)成立时, ,则(3,2,1)必然成立,与 矛盾,舍;
故只有(3,2,1)和(1,3,2)其中之一成立,
即 仅有其一成立,分类讨论,
若 成立,则 ,
故
,
即 与 仅有其一成立不符,舍;
故只能(1,3,2)成立,即 恒成立且存在 使得
,
即 ,
取 ,不妨设
,
即 ,
由F(x)严格增得 ,
故 ,
故 ,对任意的 成立,
即对任意的 恒成立,由 得,,
故k＜0矛盾,故舍;
故假设不成立,故原命题成立,故若F(x)严格增,则存在 ．
综上,若F(x)严格减,则存在a＞0,使 ,若F(x)严格增,则存在
．
