2010年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）_1.高考2025全国各省真题+答案_01.2008-2024全国高考真题（按省份分类）_31.上海_2008-2024·（上海）数学高考真题

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直
接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
2x
1.不等式 0的解集是 （ -4,2 ） 。
x4
2x
解析：考查分式不等式的解法 0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<2
x4
2.若复数 （ 为虚数单位），则 6-2i 。
z 12i i zzz 
解析：考查复数基本运算
zzz  (12i)(12i)12i 62i
3. 动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的轨迹方程为 。
P F(2,0) x20 P y2 8x
解析：考查抛物线定义及标准方程
定义知 的轨迹是以 为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y28x
P F(2,0)
 
cos sin
4.行列式 3 6 的值是 0 。
 
sin cos
3 6
 
cos sin
解析：考查行列式运算法则 3 6 = π π π π 
cos cos sin sin cos 0
  3 6 3 6 2
sin cos
3 6
5. 圆 的圆心到直线l: 的距离 3 。
C:x2  y2 2x4y40 3x4y40 d 
解析：考查点到直线距离公式
圆心（1,2）到直线 距离为 31424
3x4y40 3
5
6. 随机变量 的概率分布率由下图给出：

则随机变量 的均值是 8.2

第1页 | 共8页解析：考查期望定义式E =7×0.3+8×0.35+9×0.2+10×0.15=8.2

7. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，S 表示上海
世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则

空白的执行框内应填入 S S+ a 。
8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)= 的反函数的图像都经过点P，则点P的坐
log (x3)
a
标是 （ 0 ， -2 ）
解析：f(x)= 的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）
log (x3)
a
9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得
7
为黑桃”，则概率P（AB）== （结果用最简分数表示）
26
1 13 7
解析：考查互斥事件概率公式 P（AB）=  
52 52 26
 1 2 3  n2 n1 n 
 
2 3 4  n1 n 1
 
10．在n行n列矩阵 3 4 5  n 1 2 中，
 
      
 
 
 n 1 2  n3 n2 n1
记位于第 行第 列的数为 。当 时， 45
i j a (i, j 1,2,n) n9 a a a a 
ij 11 22 33 99
。
解析： 1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
a a a a 
11 22 33 99
11. 将直线 、 （ ，
l :nx yn0 l :xnyn0 nN* n2
2 3
）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为S ，则limS  1 。
n n n
n n
解析：B( , ) 所以BO⊥AC，
n1 n1
第2页 | 共8页1 n n 1
S n = 2  2 n1 2  n1 所以 l n i  m  S n  2
12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去AOB,将剩余部
分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为8 2
3
解析：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为 的正三棱锥，
2 2
高为2 6 所以该四面体的体积为1 1 3 2 6 8 2
 16  
3 3 2 2 3 3
13。如图所示，直线 x=2 与双曲线 2 的渐近线交于 , 两点，记
:  y2 1 E E
1 2
4
(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:4)
，任取双曲线 上的点P，若 ，则a、b满足
OE e ,OE e  OP ae ,be (a、bR)
1 1 2 2 1 2
的一个等式是 4ab=1
解析：
E (2,1),E (2,1)
1 2
(cid:3) (cid:3) (cid:3)
= ，点P在双曲线上
OP ae be (2a2b,ab)
1 2
(2a2b)2 ，化简得4ab1
 (ab)2 1
4
14.以集合U=a，b，c，d的子集中选出2个不同的子集，需
同时满足以下两个条件：
（1）a、b都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有 ，那么共有 36 种不同的选法。
AB或BA
解析：列举法 共有36种
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15．“x2k kZ ”是“tanx1”成立的 [答]（ A ）
4
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.
 
解析：tan(2k )  tan 1，所以充分；
4 4
5
但反之不成立，如tan 1，所以不必要
4
x=1+2t
16.直线l的参数方程是

(tR)，则l的方向向量是
d
可以是 【答】（C）
y=2-t
第3页 | 共8页(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)
1
解析：直线l的一般方程是x2y50，k   ，所以C正确
2
17.若 是方程 1 1 的解，则 属于区间 【答】（C）
x ( )x  x3 x
0 0
2
(A)(2 ,1) (B)(1 ,2 ) (C)(1,1 ) (D)(0,1)
3 2 3 3 2 3
1 1 1 1
1 1
解析：结合图形 13 13 12 13，∴x 属于区间( , )
     ,    0 3 2
2 3 2 2
1 1 1
18. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 , , ，则此人能 【答】
13 11 5
（D）
（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形
解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知
1 1 1
a  b  c,a:b:c 13:11:5
13 11 5
由余弦定理得 52 112 132 ，所以角A为钝角
cosA 0
2511
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12分）

已知0 x ，化简：
2
x 
lg(cosxtanx12sin2 )lg[ 2cos(x )]lg(1sin2x).
2 4
=0
20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。
已知数列a 的前 n项和为
S
，且
S n5a 85
，
nN*
n n n n
（1）证明：a 1是等比数列；
n
（2）求数列S 的通项公式，并求出n为何值时，S 取得最小值，并说明理由。
n n
5
（2）S =n75( )n190 n=15取得最小值
n 6
第4页 | 共8页5
解析：(1) 当n1时，a14；当n≥2时，aSS 5a5a 1，所以a 1 (a 1)，
1 n n n1 n n1 n 6 n1
又a115≠0，所以数列{a1}是等比数列；
1 n
(2) 由(1)知： 5 n1 ，得 5 n1 ，从而 5 n1
a 115  a 115  S 75  n90
n 6 n 6 n 6
(nN*)；
解不等式S<S ，得5 n1 2 ， 2 ，当n≥15时，数列{S}单调递增；
n n1  6    5 nlog 5 25 114.9 n
6
同理可得，当n≤15时，数列{S}单调递减；故当n15时，S 取得最小值．
n n
21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，
骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，
当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线 与
AB A B
1 3 3 5
所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）
解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r(0<r<0.6)，
S3(r0.4)20.48，
所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
(2) 当 r0.3 时 ， l0.6 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 可 得
(cid:3)
，
AB (0.3,0.3,0.6)
1 3
(cid:3)
，
AB (0.3,0.3,0.6)
3 5
(cid:3) (cid:3)
设向量(cid:3) 与(cid:3) 的夹角为，则 AB AB 2，
AB AB cos 1(cid:3) 3 35(cid:3) 
1 3 3 5 |AB ||AB | 3
1 3 3 5
2
所以AB、AB 所在异面直线所成角的大小为arccos ．
1 3 3 5
3
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题
满分10分。
若实数x、y、m满足 xm＞ ym ，则称x比y远离m .
第5页 | 共8页（1）若 比1远离0，求 的取值范围；
x2 1 x
（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 远离 ；
a b a3 b3 a2bab2 2ab ab
kπ π
（3）已知函数 f(x)的定义域D=｛x|x≠ + ，k∈Z，x∈R ｝.任取xD， f(x)等
2 4
于 和 中远离0的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的基本性质（结论不
sinx cosx f(x)
要求证明）.
解析：(1) ；
x(, 2)( 2.)
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有 ， ，
a3 b3 2ab ab a2bab2 2ab ab
因为 ，
|a3 b3 2ab ab||a2bab2 2ab ab|(ab)(ab)2 0
所以 ，即a3b3比a2bab2远离 ；
|a3 b3 2ab ab||a2bab2 2ab ab| 2ab ab
  3
sinx, x(k ,k )

 4 4
(3) f(x) ，
 
cosx, x(k ,k )
 4 4

性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期T  ，
2
k  k k k 
3函数f(x)在区间(  , ]单调递增，在区间[ ,  )单调递减，kZ，
2 4 2 2 2 4
2
4函数f(x)的值域为( ,1]．
2
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题
满分9分.
已知椭圆 的方程为 x2 y2 ，点P的坐标为（-a，b）.
  1(ab0)
a2 b2
 1  
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足PM= (PA+PB),求点M 的坐标；
2
（2）设直线 交椭圆 于 、 两点，交直线 于点 .若
l : y k x p  C D l : y k x E
1 1 2 2
第6页 | 共8页b2 ，证明： 为 的中点；
k k  E CD
1 2 a2
（3）对于椭圆上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两
个交点P 、P 满足    ,写出求作点P 、P 的步骤，并求出使P 、P 存在的θ
PP +PP =PQ
1 2 1 2 1 2
1 2
的取值范围.
a b
解析：(1) M( , )；
2 2
yk x p
(2) 由方程组 1 ，消y得方程 ，
x2 y2 (a2k2 b2)x2 2a2k pxa2(p2 b2)0
  1 1 1
a2 b2
因为直线 交椭圆 于 、 两点，
l : y k x p  C D
1 1
所以>0，即 ，
a2k2 b2  p2 0
1
设C(x,y)、D(x,y)，CD中点坐标为(x,y)，
1 1 2 2 0 0
 x x a2k p
x  1 2  1
则 0 2 a2k2 b2 ，
1


b2p
y k x  p


0 1 0 a2k2 b2
1
由方程组yk x p，消y得方程(kk)xp，
 1 2 1
yk x
2
 p a2k p
x  1 x
又因为 b2 ，所以 k k a2k2 b2 0 ，
k   2 1 1
2 a2k
1  yk x
b2p
 y


2 a2k2 b2 0
1
故E为CD的中点；
第7页 | 共8页a(1cos) b(1sin)
(3) 求作点P、P 的步骤：1求出PQ的中点E( , )，
1 2
2 2
b(1sin)
2求出直线OE的斜率k  ，
2 a(1cos)
(cid:3) (cid:3) (cid:3) b2 b(1cos)
3由PP PP PQ知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率k   ，
1 2 1 a2k a(1sin)
2
b(1sin) b(1cos) a(1cos)
4从而得直线CD的方程：y  (x )，
2 a(1sin) 2
5将直线CD与椭圆 的方程联立，方程组的解即为点P、P 的坐标．
1 2
欲使P、P 存在，必Γ须点E在椭圆内，
1 2
(1cos)2 (1sin)2 1  2
所以  1，化简得sincos ，sin( ) ，
4 4 2 4 4
  3   2
又0< <，即   ，所以  arcsin ，
4 4 4 4 4 4
 2
故 的取值范围是(0, arcsin )．
4 4
第8页 | 共8页