A佳教育2026年5月高三检测卷数学答案_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年05月高三试卷_260512湖南省A佳教育2026年5月高三检测卷（张家界三模）（全科）

7．【答案】B
10 20+4
【解析】 ∑x =20 ，∴ 增加两 个样本点后 x 的平均 数为 =2 ；
i 12
i=1
10 40−4
y =3×2−2=4，∴∑y =40．∴增加两个样本点后y的平均数为 =3，
i 12
i=1
∴新的经验回归方程为 yˆ =bx+a，则当x=4时，yˆ =4b+a =10，又a+2b=3，解
7
得b= ．故选：B．
2
8．【答案】B
【解析】如图，在平行六面体中，对角线AC 与平面ABD和平面CBD 分别交于点
1 1 1 1
O，N，则 O，N 分别是平面ABD和平面CBD 的重心，且AO=ON = NC ，由四
1 1 1 1
条体对角线的八个三等分点可以得到一个平行六面体 OSPT −MQNR ，
1 1 1 1 1
V = V = × ×V = × ×6×V
O−PQR 3 OSPT−MQNR 3 27 ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1 3 27 A 1 −ABD
1 1 2 9 2
= × ×6× ×93 = ．故选：B．
3 27 12 2
D 1 C 1 D 1 C 1
R R N
D P C D M T P C A 1 C 1
A 1 Q A 1 Q B N
O B 1 O S 1
O
A BD C
A B A B
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对得 6分，部分选对的得部分，有选错的得 0分．
9．【答案】ACD
【解析】对于A，取AE的中点Q．连接DQ，MQ．因为M 为BE的中点，所以MQ∥AB，
1 1
MQ= AB，又DO∥AB，DO = AB，所以MQ∥DO ，MQ= DO ，
2 1 1 2 1 1
所以四边形DOMQ为平行四边形，则 DQ∥OM ，又DQ⊂平面
1 1
ADE，OM ⊄平面ADE，所以OM∥平面ADE，故 A 正确；对
1 1
5
于 B，圆柱OO 的侧面积S =2πrl =2π× ×2 5 =10π，故 B 错
1 侧 2
数学参考答案 第 2 页 （共 10 页）10
误；对于C，由题意得AE ⊥ BE，且AE = BE = ，所以V =V =
2
三棱锥B−ADE 三棱锥D−ABE
1 1 10 10 5 5
× × × ×2 5 = ，故 C 正确；对于 D，取OO 的中点F ，连接FD，
3 2 2 2 6 1
2
 5 ( )2 5 5
易求得FD=   + 5 = ，即圆柱OO 的外接球的半径为 ，故该球的表面
  2   2 1 2
2
5
积为4π×
 
=25π，故D正确．故选：ACD．
2
10．【答案】BCD
【解析】对于抛物线 C: y2 =4x ，过抛物线外一点 P ( m,n ) 的切点弦方程为
ny =2 ( x+m ) ． 当 m=−1 时 ， 得 到 l :ny =2x−2 ， 过 焦 点 F ( 1,0 ) ， 此 时
AB
 
OA⋅OB= x x + y y =1−4=−3＜0 ，故△OAB 为钝角三角形，故 A 错误；因为
1 2 1 2
n 2
k ·k =− × =−1，故PF ⊥ AB，故点P在直线AB上的投影为定点F ，故B正确；
PF AB 2 n
y −4 y −4 4
设A ( x ,y )，B ( x ,y )，则k = 1 = 1 = ，故l :4x−( y +4 ) y+4y =0，
1 1 2 2 AT x −4 y2 y +4 AT 1 1
1 1 −4 1
4
令y =0，则x =−y ，同理x =−y ，故OM ON = y y =4，故C 正确；当m=−4
M 1 N 2 1 2
时，过P (−4,n )作抛物线的切线方程为x=ty−tn−4，与抛物线方程y2 =4x联立得
y2 −4ty+4tn+16=0，由∆=0，整理得t2 −nt−4=0，则t +t =n，tt =−4，故
1 2 1 2
4 4
l :x=t y−t n−4 ， 令 x=0 ， 则 y =n+ ， 同 理 可 求 y =n+ ， 故
AP 1 1 M t N t
1 2
 4 4  t +t  16
OM ON =n+ n+ = n2 +4n 1 2 + =4，故D正确．
 t  t   tt  tt
1 2 1 2 1 2
11．【答案】ABD
1
【解析】法一：令x= y =0，得 f ( 0 )=2f ( 0 ) g ( 0 )，因为g ( 0 )≠ 和0，则 f ( 0 )=0．
2
令 y =−x ， 得 0= f ( x ) g (−x )+g ( x ) f (−x )= g ( x )( f ( x )+ f (−x )) ， 故 f ( x )+
f
(−x )=0，则
f
(
x
)为奇函数．故选项A正确；
令 x=0 ，得 g ( 0 )= f 2( 0 )+g2( 0 ) ，因为 f ( 0 )=0 ，则 g ( 0 )=1.令 y =−x ，得
1= f ( x ) f (−x )+g ( x ) g (−x )= g2( x )− f 2( x )=1，故选项B 正确；
用“−y”代替“y”，得g ( x− y )= f ( x ) f (−y )+g ( x ) g (−y )=−f ( x ) f ( y )+g ( x ) g ( y )，
数学参考答案 第 3 页 （共 10 页）两式相乘得 g ( x+ y ) g ( x− y )=1+ f 2( x )+ f 2( y ) ，若等于 f 2( x )− f 2( y ) ，则
1
f 2( y )=− ，故选项C 错误；
2
令 y = x ， f ( 2x )=2f ( x ) g ( x ) ， g ( 2x )= f 2( x )+g2( x )，相加得 f ( 2x )+g ( 2x )=
( f ( x )+g ( x ))2 ，
用“2x”代替“x”得 f ( 4x )+g ( 4x )= ( f ( 2x )+g ( 2x ))2 = ( f ( x )+g ( x ))4 ，继续操
作得 f ( 2nx ) +g ( 2nx ) = ( f ( x )+g ( x ))2n ，令n=10，x=1，得 f ( 1 024 )+g ( 1 024 )=
( f ( 1 )+g ( 1 ))210 =21 024 ，由 g2( 1 024 )− f 2( 1 024 )=1，联立得 g ( 1 024 )− f ( 1 024 )=
1
．故选项D正确．故选择ABD．
21 024
emx −e−mx emx +e−mx
法二：取 f ( x )= ，g ( x )= ( m≠0 )符合题意，此时 f ( x )为奇函数，
2 2
emx +e−mx  2 emx −e−mx  2
故选项A正确；g2( x )− f 2( x )=  −  =1，故选项B 正确；
 2   2 
em(x+y) +e −m(x+y) em(x−y) +e −m(x−y)  e2mx +e2my +e−2mx +e−2my
g ( x+ y ) g ( x− y )=  = ，而
  
 2  2  4
e2mx −e2my +e−2mx −e−2my
f 2( x )− f 2( y )= ，不恒相等，故选项C 错误；
4
1
若 f ( 1 )+g ( 1 )=2，则em =2，g ( 1 024 )− f ( 1 024 )=e−1 024m = ．故选项 D 正确．
21 024
故选择ABD．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．【答案】20 2
【解析】 ( 2− x )5 的展开式的通项公式为T =Cr ⋅ ( 2 )5−r( − x )r =(−1 )r Cr2 5− 2 r x2 r ，
r+1 5 5
r
5−2
r =0，1，2，⋅⋅⋅，5．由 =1⇒ r =2．所以x的系数为：(−1 )2 C22 2 =20 2 ．
2 5
13．【答案】2 026
【解析】由等差数列{
a
}，其前n项和S 有最大值，得{
a
}是首项a＞0，公差d＜0
n n n 1
a
的等差数列，因为 1 013＜−1，故 a ＞0 ， a ＜0 ，且 a +a ＞0 ，则
a 1 013 1 014 1 013 1 014
1 014
S =( a +a )×1 013 =( a +a )×1 013>0 ， S =2 027a <0 ，故满足
2 026 1 2 026 1 013 1 014 2 027 1 014
S ＞0时n的最大正整数为2 026．
n
数学参考答案 第 4 页 （共 10 页）2π
14．【答案】 /120°
3
【解析】设∠F PM =α，∠F MP= β，∠FPF 的角平分线交x轴于点T ，由椭圆的
2 2 1 2
光学性质可知PT ⊥ PM ．
π 
sin −α
cos∠F PM 2  FT FT FT +FT 2c
由 2 = = 2 = 1 = 2 1 = =e ， 又 tan β = 2 ，
cos∠F MP π  F P FP F P+FP 2a
2 sin −β 2 1 2 1
2 
3 1 π 2π
cosβ = ，则cos∠F PM =ecos∠F MP= ，得∠F PM = ，则∠FPM = ．
3 2 2 2 2 3 1 3
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以△ABD为等边三角形，
BD= AB=2，AO⊥BD，AO= 3．又PB= PD= 3，O为BD中点，故PO⊥BD，
( )2 ( )2
PO= PB2 −BO2 = 3 −12 = 2 ． 已 知 PA= 5 ， 则 AO2 +PO2 = 3 +
( )2
2 =5，则AO2 +PO2 = PA2，故PO⊥AO． ........................................... （4分）
因为AO∩BD=O，AO，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD． ... （5分）
（2）由（1）知，OA，OB，OP 两两垂直，以O为原点，OA为x轴，OB为 y轴，
OP为z轴建立空间直角坐标系． .................................................................... （6分）
( ) ( ) ( )
P 0,0, 2 ，A 3,0,0 ，B ( 0,1,0 )，C − 3,0,0 ，D ( 0,−1,0 )．
设平面PAB的法向量为：n =( x ,y ,z )，
1 1 1 1
 
( ) ( )
PA= 3,0,− 2 ，PB= 0,1,− 2 ，

 n ⋅PA=0   3x − 2z =0 ( )
则 1  ，即 1 1 ，令z = 3，得n = 2, 6, 3 ． .... （9分）
1 1
n ⋅PB=0 y − 2z =0
1 1 1
设平面PCD的法向量为：n =( x ,y ,z )，
2 2 2 2
 
( ) ( )
PC = − 3,0,− 2 ，PD= 0,−1,− 2 ，

 n ⋅PC =0  − 3x − 2z =0 ( )
则 2  ，即 2 2 ，令z = 3，得n = − 2,− 6, 3 ．（12分）
2 2
n ⋅PD=0 −y − 2z =0
2 2 2
设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，
( ) ( )
n ⋅n 2× − 2 + 6× − 6 + 3× 3 5
则cosθ = 1 2 = = ．所以，所求锐二面角余
n ⋅ n 11× 11 11
1 2
5
弦值为 ． ......................................................................................................... （13 分）
11
数学参考答案 第 5 页 （共 10 页）( )
16．【解析】（1） f(x)=2sinxcosx−2 3cos2 x+ 3 =sin2x− 3 2cos2 x−1 =
1 3   π
sin2x− 3cos2x=2   sin2x− cos2x  =2sin2x−  ................................（3分）
2 2   3
 π
已知 f ( A )=0，即2sin2A−  =0．
 3
 π π  π 5π
∴sin2A−  =0；A∈( 0,π )，∴2A− ∈  − ,  ， ............................ （4分）
 3 3  3 3 
π π π 2π
∴2A− =0或2A− =π，解得A= ，A= ． ...................................... （6分）
3 3 6 3
（2）由题意知：a= 3，周长a+b+c=3+ 3，∴b+c=3，
2π a b c 2π
i．当A= 时，由正弦定理： = = =2R，a= 3，A= ，
3 sinA sinB sinC 3
3
∴2R= =2，∴b=2sinB，c=2sinC．
2π
sin
3
π π 
A+B+C =π，∴C =π−A−B= −B，又b+c=3，∴2sinB+2sin −B =3，
3 3 
 3 1 
展开化简：2sinB+2 cosB− sinB=2sinB+ 3cosB−sinB=sinB+ 3cosB
 
 2 2 
 π  π 3 2π
=2sinB+  =3，∴sinB+  = >1，A= 不符合题意． ............... （10 分）
 3  3 2 3
π
ii．当A= 时，由余弦定理：a2 =b2 +c2 −2bccosA，
6
π π 3 ( )2  3
代入a= 3，A= ，cos = ，得 3 =b2 +c2 −2bc× ，
 
6 6 2  2 
即3=b2 +c2 − 3bc．由完全平方公式b2 +c2 =( b+c )2 −2bc，且b+c=3，代入得：
3=( 3 )2 −2bc− 3bc，即3=9− ( 2+ 3 ) bc，解得bc= 6 ． ................. （13 分）
2+ 3
1 1 6 1 3 3
△ABC的面积S = bcsinA= × × =3− ． ................................ （14 分）
2 2 2+ 3 2 2
3 3
综上得，△ABC的面积为3− ． ............................................................... （15 分）
2
数学参考答案 第 6 页 （共 10 页）17．【解析】（1）设事件A =“学生甲A任务合格”，事件B =“学生甲B任务合格”，
1 1
............................................................................................................................. （1分）
由题意可知，甲评定为优秀需均合格，由条件概率的乘法公式可知
3 2 1
P ( AB )= P ( A ) P(B | A)= × = ．........................................................... （3分）
1 1 1 1 1 4 3 2
（2）设事件C=“甲、乙两人中至少有一人评定为优秀”，事件D=“学生甲评定
为优秀”， ........................................................................................................... （4分）
1
CD表示“甲优秀且甲乙至少一人优秀”，即甲优秀，故P ( CD )=P（甲优秀）= ，
2
对立事件C=“甲乙两人都不优秀”；
1 1 1 2
P（甲不优秀）=1− = ，P（乙不优秀）=1− = ，
2 2 3 3
由相互独立事件概率公式：
( ) 1 2 1
P C = × = ，
2 3 3
因此P ( C )=1−P ( C ) =1− 1 = 2 ；
3 3
1
( )
P CD 3
P ( D|C )= = 2 = ． ........................................................................... （7分）
P ( C ) 2 4
3
（3）X 的可能取值为0，4，8，.................................................................... （8分）
1
学生甲得分的概率为：P（甲得0分）=1−P ( A )= ；
1 4
P（甲得4分）= P ( A B ) = P ( A ) P(B | A)= 1 ；
1 1 1 1 1 4
1
P（甲得8分）= ； ........................................................................................ （10 分）
2
学生乙：得分的概率为：设事件A =“学生乙A任务合格”，事件B =“学生乙B任
2 2
务合格”，
1
P（乙得0分）=1−P ( A )= ；
2 3
P（乙得4分）= P ( A B ) = P ( A ) P(B | A )= 1 ；
2 2 2 2 2 3
1
P（乙得8分）= P ( A B )= P ( A ) P(B | A )= ； ....................................... （11 分）
2 2 2 2 2 3
数学参考答案 第 7 页 （共 10 页）1
由于从甲、乙随机选取一人，则选中甲、乙的概率为 ，
2
1 1 1 1 7
P ( X =0 )= × + × = ；
2 4 2 3 24
1 1 1 1 7
P ( X =4 )= × + × = ；
2 4 2 3 24
1 1 1 1 5
P ( X =8 )= × + × = ． ........................................................................ （13 分）
2 2 2 3 12
则X 的分布列为
X 0 4 8
7 7 5
P
24 24 12
7 7 5 9
则E ( X )=0× +4× +8× = ． ............................................................ （15 分）
24 24 12 2

 a2 =b2 +c2

 1 1 a2 =2 x2
18．【解析】（1）由题可知 + =1，解得 ，则椭圆C的方程为 + y2 =1．
 a2 2b2 b2 =1 2

c 2
 =
a 2
............................................................................................................................. （3分）
（2）设直线AB方程为：x= 7y−1，A ( x ,y )，B ( x ,y )，
1 1 2 2
 2 7
 x2 +2y2 −2=0   y 1 + y 2 = 9
 ，联立得9y2 −2 7y−1=0，则 ，............. （5分）
x= 7y−1  1
y y =−
 1 2 9
  7−7
F A⋅F B=( x −1,y )⋅( x −1,y )=8y y −2 7 ( y + y )+4= =0， ...... （7分）
2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 9
π
则∠AF B= ．.................................................................................................. （8分）
2 2
（3）在△AFF 中，设AF =m，∠AFF =θ，则AF =2a−m．
1 2 1 1 2 2
由余弦定理可知m2 +4c2 −( 2a−m )2 =2m×2ccosθ，
数学参考答案 第 8 页 （共 10 页）b2
解得m= ．......................................................................................... （10 分）
a−ccosθ
b2
同理可得BF =n= ，........................................................................ （11 分）
1 a+ccosθ
π
因为∠AF B= ，所以由( m+n )2 =( 2a−m )2 +( 2a−n )2，解得mn=4a2 −2a ( m+n )，
2 2
b4 2ab2 b4 +4a2b2
则 =4a2 −2a ， 整 理 a2 −c2cos2θ = ， 即
a2 −c2cos2θ a2 −c2cos2θ 4a2
2
1b2  b2
1−e2cos2θ =   + ，
4a2

a2
1
则1−e2cos2θ = (1−e2)2 +1−e2，
4
11 
解得sinθ =  −e ， ...................................................................................... （15 分）
2e 
11  )
因为0＜sinθ ≤1，则0＜

−e ≤1，解得e∈

2−1,1 ． .............................（17 分）
2e 
19．【解析】（1）设g ( x )=ax −1− 4−x2 ( x∈[−2,2 ]) ，
当−2≤ x≤0时，ax −1≤0，− 4−x2 ≤0，且不同时取等，则g ( x )＜0，g ( x )无零
点，则曲线Γ与函数 f ( x )没有交点； ............................................................ （1分）
当0≤ x≤2，因a＞1，故g ( x )在定义域内单调递增；
g ( 0 )=−2＜0，g ( 2 )=a2 −1＞0．
由零点存在性定理，存在唯一的x ∈[ 0,2 ]，有g ( x )=0；
0 0
故g ( x )在[−2,2 ]有唯一零点x ，即曲线Γ与函数 f ( x )有一个交点； ....... （3分）
0
综上曲线Γ与函数 f ( x )有一个交点． ............................................................ （4分）
n m
（2）（i）因k = ，则曲线Γ在点T 处的切线斜率为k =− ；
OT m TK n
m  m2 
l ：y−n=− ( x−m )，则K0, +n；
TK n  n 
m2  2 m2 ( m2 +n2 ) 2m
从而|TK | =   +m2 = = ，由于n=am −1；
 n  n2 n
数学参考答案 第 9 页 （共 10 页）m 1
只需证 ＜ ，即ln(am)＜am −1； ....................................................... （7分）
am −1 lna
1
设h ( x )= x−1−lnx，其中x＞1，则h ′( x )=1− ＞0，故h ( x )单调递增；
x
则有h ( x )＞h ( 1 )=0，从而lnx＜x−1；
则ln(am)＜am −1，证毕； ................................................................................. （9分）
y2
（ii）点M ( f ( x ) ,m ) 在椭圆 +x2 =1内，下证：
1 4
n am −1 am −1
由f ( x )在点C ( x , f ( x )) 处的切线与TK 垂直可知，ax 1 lna= = ，即ax 1 = ；
1 1 m m lnam
............................................................................................................................. （11 分）
只需证：m2 +4 ( ax 1 −1 )2 ＜4，即证4 ( ax 1 −1 )2 ＜n2；
即证2 ( ax 1 −1 )＜n=am −1；
am −1
即证2 ＜am +1；....................................................................................... （13 分）
lnam
2 ( x−1 ) ( x−1 )2
设t ( x )=lnx− ，其中x＞1，则t′( x )= ＞0，故t ( x )单调递增；
x+1 x ( x+1 )2
2 ( x−1 )
则有t ( x )＞t ( 1 )=0，从而lnx＞ ；
x+1
( )
2 am −1
则ln(am)＞ ，证毕．........................................................................... （17 分）
am +1
数学参考答案 第 10 页 （共 10 页）