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高二数学学科练习
注意事项：
1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效.
4.结束后，只需上交答题卡.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 对于直线 ，下面叙述正确的是（ ）
A. 斜率是1 B. 斜率是
C. 倾斜角是 D. 倾斜角是
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角，即可逐项判断.
【详解】直线 ，即为 ，所以斜率是 ，故A错误，B正确；
设直线 的倾斜角为 ，
则 ，可得 ，所以倾斜角是 ，故CD错误.
2. 已知数列 的通项 ， 为前 项的和，则下面叙述正确的是（ ）
A. 是等差数列 B. 是等比数列
C. 是递增数列 D. 有最大值
【答案】D
【解析】
【详解】对于A， ，不是常数， 不是等差数列；
对于B， 不为常数，故 不是等比数列；
对于C，令 ，解得 ，
所以当 时， 递增，当 ， 递减，C错误；
对于D，令 ，当 ， ，当 ， ，
所以当 ， ，
所以 先增后减，故 有最大值.
3. 设 ，下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法，分别令 、 ，即可判断AD；根据二项展开式的通项判断BD.
【详解】因为 ，
令 ，可得 ，故A错误；
令 ，可得 ，故D错误；
又因为 的第7项为 ，所以 ，故B错误，C正确.
4. 下列命题错误的是（ ）
A. 若向量 ，则
B. 若向量 ，则C. 若向量 ，则 在 上的投影向量是
D. 若向量 ，则与 共线的单位向量是
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线定理、模的计算公式、投影向量、单位向量的定义逐项判断.
【详解】对于A：因为 ，所以 ，所以 ，A正确；
对于B：因为 ，所以 ，B正确；
对于C：因为 ，所以 ，
，所以 在 上的投影向量是 ，C正确；
对于D：因为 ，所以 ，
所以与 共线的单位向量是 ，D错误.
5. 已知离散型随机变量 的分布列如表，且 的均值为 ，则下列结论正确的是（ ）
1 2
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【详解】由分布列的性质，得 ，所以 ；
所以 的均值为 ，解得 .
6. 在一个装有大小、形状都一样的3个白球，2个黑球和1个红球的箱子内，无放回地摸球，每次摸一个，
在已知第一次摸到白球的条件下，第二次仍摸到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】第一次摸到白球后，还剩2个白球，2个黑球和1个红球，
所以第二次仍摸到白球的概率是 .
7. 设等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据等差数列的性质得 ， ，
∴原式可化为
∵ 为等差数列，
∴ ，
原式进一步化简为 。∵ 等差数列前 项和为常数项为0的二次函数，且 ，
∴ 可设 ， （ 且 ）。
由等差数列通项与前 项和的关系： ， ：
∴ ，
将 ， 代入化简后的原式得
8. 设 表示可导函数 的导函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】错误选项通过举反例快速排除，正确选项通过构造辅助函数，利用导数判断辅助函数单调性推导
结论.
【详解】选项 ：
∵ 若两个函数的导函数相等，仅说明原函数相差任意常数，例如取 ， ，满足
，但 ，
∴ 选项 错误.
选项 ：
∵ 导函数的大小仅反映函数的增减速率，和函数本身的数值大小无必然联系，例如取 ，，满足 ，但对任意 ， ，
∴ 选项 错误.
选项 ：
构造辅助函数 ，
∵ 对 求导得：
已知 ，且 恒成立，
∴ ，即 在定义域内单调递增，
∴ 对定义域内的 和 ，有 ，即 ，
两边同乘 整理得 ，即 ，
∴ 选项 正确.
选项 ：
构造辅助函数 （ ），
∵ 对 求导得：
当 时 ，已知 ，故 ，即 在 上单调递增，
∴ ，即 ，整理得 ，与选项中 矛盾，
∴ 选项 错误.
【点睛】导数与不等式结合的判断题，通用技巧为：
1. 错误选项可通过构造简单反例快速排除，无需复杂推导；
2. 正确选项根据不等式的结构特征构造辅助函数，将原不等式转化为辅助函数的单调性比较问题，简化计
算.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求、全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【详解】对于A，因为 ，所以A正确，
对于B，因为 ，所以B正确，
对于C，因为 ，所以C错误，
对于D，因为 ，所以D正确.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 某校共有400名女生，600名男生，最近流感高发，女生患流感的概率为0.3，男生患流感的概率为0.2
，随机地在学生中抽查一人，则此人患流感的概率是0.24
B. 某班30位同学在一次考试中，均值为92分，方差为0，则该班的每一位同学的成绩都是92分
C. 将多项式 展开后所有项的项数共有45项
D. 某人有五把钥匙，其中只有一把能把门打开，他依次随机取钥匙试着开门（试过了的不重复试），则
他在第一次能把门打开的概率与试到第五次才打开门的概率是不相等的
【答案】ABC
【解析】
【详解】对于A，对于B，方差为零，即 ，可得 ，所以该班的每一位同学的成绩都是92分
对于C， 展开后的项形如 ，
且 ，即 ， ，
多项式 展开后所有项的项数共有 项
对于D，五把钥匙，只有一把能开，第一次打开的概率 ，
第五次才打开的概率 前四次都失败、最后一次成功 ，二者相等，D错误.
11. 抛物线 ， 分别为坐标原点和抛物线的焦点，过 点的直线交抛物线于 两点，
表示直线 的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， 弦长等于8 B. 的最小值为6
C. 为定值 D. 当 存在时， 的中垂线恒过定点
【答案】AC
【解析】
【分析】设 ，对于A，求出直线 的方程，联立方程，再根据焦点弦
公式求解即可；对于B，设直线 的方程为 ，联立方程，利用韦达定理求出 ，再
根据焦半径公式结合基本不等式即可判断；对于 C，根据数量积的坐标公式判断即可；对于 D，求出中垂
线的方程判断即可.
【详解】由题意 ，设 ，
对于A，当 时，直线 的方程为 ，
联立 ，消 得， ，则 ，
所以 ，故A正确；
对于B，易得直线 的斜率不为零，设直线 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，
则 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ，故B错误；
对于C，由B选项得 ，
即 为定值 ，故C正确；
对于D，由B选项得 ，
则线段 的中点坐标为 ，线段 的中垂线所在直线的斜率为 ，
所以中垂线所在直线的方程为 ，
即 ，
该方程含三次项 ，无法对任意 找到固定点 使得等式成立，
所以当 存在时， 的中垂线不过定点，故D错误.非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 是双曲线 的两条渐近线，则双曲线的离心率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程及 的关系求解即可.
【详解】因为渐近线为 ，因此可得 ，即 .
双曲线中满足 ，将 代入得 ，即 .
因此离心率 .
13. 六人排队，要求 两人相邻， 两人不相邻，则所有不同排法有_________种.（用数字作答）
【答案】144
【解析】
【分析】利用捆绑法和插空法求解即可.
【详解】将 看成一个整体，与除 外的两人进行排列，形成了四个空，
再将 插入这四个空中，
所以所有不同排法有 种.
故答案为： .14. 设 是圆 上的动点， 是圆 上的动点， 为坐标原点，
则 最小值是_________.
【答案】8
【解析】
【分析】由题可知圆 即以 和 ，满足 的阿氏圆，将问题转化为求
即可求解.
【详解】圆 即为以 和 ，满足 的阿氏圆，所以
，
而 ，所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数 .
（1）当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
（2）若函数在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；(2)将问题转化为 在 恒成立即可得到实数 的取值范围.
【小问1详解】
当 时， ，所以切点是 ，
又 得 ，
所以切线是 .
【小问2详解】
若函数在区间 上单调递增，则 在 恒成立，
由于 的对称轴为 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 ，所以
即 的范围为 ，
16. 已知数列 满足： .
（1）证明数列 是等差数列，并求出 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项的和 .
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）通过构造新数列证明等差数列，依托等差数列定义与通项公式求解原数列通项；
（2）结合通项公式裂项变形，利用裂项相消法完成数列求和．
【小问1详解】已知 ，构造 :
，
对上式两边取倒数: ，
因此， ，即数列 是公差为 的等差数列，
已知 ，则首项: ，
根据等差数列通项公式: ，
解得 的通项公式: ．
【小问2详解】
已知 ，代入（1）中结论：
， ，
因此： ，
使用裂项相消法，将 分解： ，
对 求和：
．17. 四棱锥 中，底面 是 的菱形， 是 的中点，且
.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由中位线定理及线面平行的判定定理可证；
（2）建立恰当的空间直角坐标系，由面面角的向量求法可得.
【小问1详解】
菱形 中，连接 交 于 ，则 是 中点.
连接 ，因为 是 的中点，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
由 ，知 都是等边三角形.因为菱形 中， ， ，所以 都是等边三角形.
取 中点 ，连接 ，则 .
平面 ，所以 平面 .
在平面 内作 ，则 三线两两垂直.
如图，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系.
设 ，则 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 ，
从而 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 .
所以平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 .
所以平面 的一个法向量 .
设二面角 的平面角为 ，显然 为锐角，所以 .
即二面角 的平面角的余弦值为 .
18. 已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合.
（1）若 为 ，求抛物线方程；
（2）若椭圆与抛物线的公共弦恰好经过焦点 ，求椭圆的离心率；
（3）若椭圆方程为 ，过焦点 作直线 与椭圆、抛物线交于 、 和 、 四个点（如图），
问：是否存在这样的直线 ，使得 ，若存在求出直线 的方程，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在， 及
【解析】
【分析】（1）利用焦点与抛物线方程的关系求解即可；（2）由椭圆及抛物线的对称性，得公共弦与 轴垂直，其方程为 ，求出公共弦与抛物线的交点坐
标代入椭圆结合离心率公式即可求解.
（3）法一：求出抛物线方程，当直线 斜率不存在时，曲线的对称性知适合题意，当直线 斜率存在时，
设方程为 ，分别与椭圆、抛物线联立方程，得到根与系数关系，根据题意得 ，利
用弦长公式化简即可求解；法二：利用焦半径公式法即可得到答案；法三：利用椭圆极坐标法即可得到答
案.
【小问1详解】
由 ，得 ,解得： ，
所以抛物线方程为 .
【小问2详解】
椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，
所以 ，由椭圆及抛物线的对称性，得公共弦与 轴垂直，
所以公共弦的方程为 ，则公共弦与抛物线在第一象限交点 ，
所以椭圆也过点 ，
则 ，即 ，
所以 ，解得 (负值舍去.)
【小问3详解】
由椭圆方程得 ，故抛物线方程为 ，
首先当 的斜率不存在时，由曲线的对称性知适合题意，此时直线 方程为 ；当 斜率存在时，由 ，设 为 ，
联立椭圆得： ，
联立抛物线方程得 .
解法一：一般弦长公式： ，则 ，
其中 ，所以 ，
又 ，
所以据 ，则 ，
则 方程为 或 .
解法二：焦半径公式法： ，下面
与解法一相同.
方法三：椭圆极坐标焦点弦长公式： ，
，由 ，
则 ，则 ，则 方程为 或 .
19. 某人清明节去烈士陵园扫墓，需要爬一个有 级台阶的山坡，此人走这台阶时，每步跨 级台阶，或跨
级台阶.（1）当 时，他只用 步跨上了第 级台阶，问共有多少种不同的走法；
（2）已知此人从地面（即第 级台阶）开始，每步跨 级台阶的概率为 ，跨 级台阶的概率为 ；
①求此人跨上第 级台阶的概率；
②求此人跨上第 级台阶的概率.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据组合数进行计算即可；
（2）①根据题干条件，枚举所有可能的走法，分别计算所有情况的概率再相加；
②根据题干条件建立递推关系，再解递推数列，最后得出跨上第 级台阶的概率.
【小问1详解】
解：当 时，他只用 步跨上了第 级台阶，则说明此人有 步跨 级， 步跨 级，
所以共有 种；
【小问2详解】
解：①此人跨到第 级台阶，只能是从地面（第 级台阶）跨 级上来，
所以 ，跨上第 级台阶可能从第 级跨 级上来，或从第 级台阶跨 级上来，
所以由全概率公式得 ，此处 .
同理，跨到第 级台阶只能从第 级台阶跨 级上来，或是从第 级台阶跨 级上来，
所以 ，同理 .
②设跨到第 级台阶的概率为 ，同上理由全概率公式得 ，其中.
方法一：由 是常数列，
从而 ；
方法二：由 ，构造特征方程 ，
所以设 ，代入 ，
