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高二数学试题
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分共 40 分，在每小题的四个选项中只有一项是符
合题目要求的）
1. 函数 在 处的切线与 轴平行，则实数 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
2. 已知变量 与变量 正相关，样本数据 中 ， ，…， 和 ， ，…， 的均值分别是 ，
，将成对数据按照 平移后绘制散点图，关于该散点图说法正确的是（ ）
A. 大部分散点位于第一、四象限 B. 大部分散点位于第二、三象限
C. 大部分散点位于第一、三象限 D. 大部分散点位于第二、四象限
3. 等比数列 的前 项和为 ，若 ，则实数 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
4. 随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.3 D. 0.2
5. 双曲线 （ ， ）的左右焦点分别是 ， ， 是坐标原点， ， 两个点在双曲
线上满足 ， ，则该双曲线的离心率 （ ）
A. B. 2 C. D.
6. 若 在 上单调递增，则实数 最大值是（ ）
A. B. C. 1 D.
7. 学校一楼到二楼共有 15 级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件 表示“用 13 步走完 15
级台阶”，事件 表示“走楼梯的过程没有连续 2 步走两级台阶”，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 向量 ，其中 ，且 ， ， 均为正整数，则满足条件的 的个数是（ ）
A. 84 B. 56 C. 36 D. 21
第 1页/共 4页二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有错误选项得 0 分）
9. 变量 与变量 有较强的线性相关性，由下列表格得到经验回归方程是 ，则（ ）
1 2 3 4 5
2 4 5 6 8
A. B. 变量 与变量 负相关
C. 当 时，预测值 D. 当 时，样本点对应的残差是
10. 若 的二项展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 二项展开式中存在常数项
C. 二项系数之和与各项系数之和不相等 D. 二项展开式的第 9 项的系数最大
11. 随机变量 ， ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 等差数列 的前 项和是 ，若 ，则 ______．
13. 现有五名同学报名参加数学，物理，化学三个兴趣小组讲解员，每个小组至少需要一名同学，每名同学
只能报名其中一个小组（每个同学都参加了小组），已知甲同学不参加化学小组，则不同的分配方法数量
是________．
14. 抛物线 ： 的焦点是 ，不过原点的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且 ，
直线 与抛物线 相交于 点，直线 与抛物线 相交于 点，则 ________．
四、解答题（本大题共 77 分，解答题应写出文字说明，证明过程和验算步骤）
15. 为了比较甲，乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取了 100 名学生，通过测验得到
了如下数据：甲校 50 名学生中有 10 名数学成绩优秀，乙校 50 名学生中有 15 名数学成绩优秀．
（1）请将 列联表补充完整；
第 2页/共 4页数学成绩
学校 合计
优秀 不优秀
甲校 10
乙校 15
合计 100
（2）依据小概率值 的 独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异．
（3）用甲校数学成绩样本的优秀率作为甲校数学成绩总体的优秀率，估计甲校的 3 名学生中恰好有两名学
生数学成绩优秀的概率．
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 数列 满足 ， ，且 ．
（1）证明 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式 ；
（3）求数列 的前 项和 ．
17. 椭圆 ： （ ）的焦点分别为 ， ，上顶点是 ， 是面积为 的等边
三角形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点， 且 ，求实数 的取值
范围．
18. 函数 ， 存在两个不同的零点 ， （ ）（其中 是自然对数的底数）．
第 3页/共 4页（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
19. 现有两个不透明的 ， 箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中 箱子中装有 2 个
红球，1 个白球， 箱子中装有 3 个红球，3 个白球．先从 箱子采取不放回的方式依次取球，当 箱子内
的小球颜色只剩一种时，停止从 箱子取球，并将 箱子剩余的球混入 箱子后再从 箱中采取不放回的
方式依次取球，当 箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从 箱子取球，记 为停止从 箱子取球时， 箱
子内剩余的白球个数．
（1）停止从 箱子取球时 箱子恰好剩一个球的概率；
（2）停止从 箱子取球时 箱子不剩红球的概率；
（3）求 的分布列．
