重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题答案(1)_2025年7月_250702重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二下期末考试

巴蜀中学高 2026 届高二（下）期末考试 数学参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B C D B D 1．【答案】C【详解】U ={0，1,2,3,4,5,6}，M ={0,1,2,3}，所以C M ={4,5,6}，选C. U 2.【答案】C【详解】xR,3 x3 = x，a3 b3  3 a3  3 b3 ab，选C. 3．【答案】A【详解】 f(x)=2f(0)e2x −cosx， f(0)=2f(0)−1， f(0)=1，选A. 4．【答案】B【详解】设事件A：使用货到付款，P(A)=0.6，设事件B：使用在线支付， P(B)=0.5 ， P(A+B)=0.7 ， 故 P(AB)=0.6+0.5−0.7=0.4 ， 由 题 意 P(AB) 0.4 2 P(B| A)= = = ,则选B. P(A) 0.6 3 1 5．【答案】C【详解】f(x)= x在R上单调递增；f(x)= 在(−,0)单调递减，(0,+) 2x 单调递减，不在定义域内单调递减； f(x)= x2在(−,0)单调递减，(0,+)单调递增，选 C. a a 3 6.【答案】D【详解】双曲线渐近线方程为y= x，则 = 3或 ，选D. 2 2 3 7．【答案】B【详解】由题意，四个兴趣小组必有两个 2 人选、两个 1 人选，根据 2 人选 的小组是同样的2个人还是3个人分两种情况： 当2人选的小组是同样的2个人时，有C2C2 =18种； 4 3 当2人选的小组是由3个人构成时，有C2C1C1C1 =72种； 4 3 2 2 所以不同的报名方式有18+72=90种，选B. c+b−c 2 b2 8．【答案】D【详解】c(b−c)   = ，b=2c时，取等号，  2  4 a a a a ( )2 + +4 ( +1)2 −( +1)+4 a2 +4b2 +ab 1 b b 1 b b 则原式 =  =  2ab+2b2 2 a 2 a +1 +1 b b 高二数学参考答案 第 1 页 共 10 页 {#{QQABIQAgwgi4gBbACY4LEQU4C0oQsJIjJeokRQAaOAYKyANABKA=}#}  1  a 4  3 3 = ( +1)+ −1  ，当且仅当a=b=2c时，原式取得最小值 ，选D. 2 b a 2 2  +1   b  二、多选题 题号 9 10 11 答案 AD ACD ABD 9．【答案】AD【详解】根据组合数性质，A正确；C0 +C1+C2 + +Cn =2n，故B错 n n n n 误；根据A的等式，C4 +C3+C3+C3+C3+C3 =C4 =126，故C错误；第10行中从左 4 4 5 6 7 8 9 往右第5个数与第6个数分别为C4和C5 ，比值为5:6，故D正确，选AD. 10 10 x=ty+1 10．【答案】ACD 【详解】联立 ，可得y2 −4ty−4=0，y + y =4t,y y =−4，  y2 =4x 1 2 1 2 1 则x x =1，故A正确；当| AB|=6时， 1+t2  16t2 +16 =6，解得t2 = ，由对称性， 1 2 2 2 不妨设t = ，则x =2+ 3,x =2− 3，显然x +1 2(x +1)，故B错误；根据抛物 2 1 2 1 2 线焦点弦几何性质知，C正确；根据对称性，k +k =0，故D正确，选ACD. AP BP 11．【答案】 ABD 【详解】两式做差，即得 f(x+3)− f(x+2)1，令 x=0 ，则 f(3)− f(2)1，故A正确；f(x)+3 f(x+3) f(x+1)+2，则 f(x+1)− f(x)1， 由于 f(x+1) f(x)+1，则 f(x)+2 f(x+2) f(x+1)+1，所以 f(x+1) f(x)+1， 故 f(x+1)− f(x)=1 ， 所 以 B 正 确 ； f(2025)− f(1)=[f(2025)− f(2024)]+[f(2024)− f(2023)]+ +[f(2)− f(1)]=2024 故 C 错 误 ； 若 满 足 g(x+1)= g(x) ， 那 么 当 f(x)= x+g(x) 时 ， f(x+1)− f(x)= x+1+g(x+1)−[x+g(x)]=1，满足条件，注意到：g(x)= x−[x]， 使得g(x+1)= g(x)成立，则D正确，选ABD. 三、填空题 题号 12 13 14 高二数学参考答案 第 2 页 共 10 页 {#{QQABIQAgwgi4gBbACY4LEQU4C0oQsJIjJeokRQAaOAYKyANABKA=}#}3 1 答案 0.5 (−,− ] (2,+) ( ,1) 2 e 12.【答案】0.5【详解】正态分布曲线关于=3对称，且P(X 5.5)+P(X m)=1， 5.5+m 则 =3，所以m=0.5. 2 3 x2 +3 2x+3 13.【答案】 (−,− ] (2,+) 【详解】由  x 移项通分得： 0 ，则 2 x−2 x−2 3 3 (2x+3)(x−2)0且x2，从而解得：x− 或x2，即解集为(−,− ] (2,+). 2 2 1 14.【答案】 ( ,1) 【详解】易得 f ' x x(axlna ex) ，设 g x axlna ex ，令 e f ' x x(axlna ex) 0，得x 0或g x 0， 由g x 0，得axlna ex，则在同一坐标系中函数y axlna的图象和直线y ex有两个 不同的公共点． （1）当a 1时，注意到，当a e时，直线y ex是曲线y axlna的一条切线，故a e， 此时x 0， 1 如图（1），由图可知x 0，且在x 附近g x 左正右负，f ' x 左正右负，x 是极大值点， 2 2 2 不符合题意； 1 （2）当0 a 1时，注意到，当a 时，直线y ex是曲线y axlna的一条切线，故 e 1 a 1，此时x 0，g 0 lna 0，从而在0附近， f ' x 左正右负，0是极大值点； e 3 如图（2），由图可知，x 0，且在x 附近g x 左负右正，f ' x 左正右负，x 是极大值点； 1 1 1 x 0，且在x 附近g x 左正右负， f ' x 左负右正，x 是极小值点；符合题意；所以实 2 2 2 1 数a的取值范围是( ,1)． e y y x 1 x 2 x x 2 x 3 x 图（1） 图（2） 四、解答题 高二数学参考答案 第 3 页 共 10 页 {#{QQABIQAgwgi4gBbACY4LEQU4C0oQsJIjJeokRQAaOAYKyANABKA=}#}18 15.【答案】(1) (2) 某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病有 19 关，此推断犯错误的概率不超过0.001. 【详解】（1）根据试验结果得列联表： 患病情况 检测结果 合计 患病 不患病 阳性 90 5 95 阴性 10 95 105 合计 100 100 200 ······························································································································· 3分 90 18 检测结果为阳性的共95人，其中患病的为90人，所以P的估计值为 = ． ······················ 6分 95 19 （2）零假设为H ：某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病无 0 关， ····························································································································· 7分 根据列联表数据计算得 200(9095−105)2 57800 57800 2 = =  =144.510.828= x ． 10010095105 399 400 0.001 ····························································································································· 11分 根据小概率值=0.001的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为某人血样经该检测 0 试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病有关，此推断犯错误的概率不超过0.001． ············· 13分 16．【答案】(1) a =n (2) 7 n 【详解】解法一：（1）由已知，得：S −S =3a −a ( nN*) ， 即a +a =3a −a ， n+2 n n+1 n n+1 n+2 n+1 n …………………………………………………………………………………………… 2分 即a −a =a −a ( nN*) ， ·················································································· 3分 n+2 n+1 n+1 n 所以a −a =a −a ，所以数列a 是首项为a =1的等差数列， ······································· 4分 n+1 n 2 1 n 1 设公差为d，则由于S =3a =6， ················································································· 5分 3 2 所以d =a −a =1，又因为a =1，所以a =a +(n−1)d =n． 2 1 1 n 1 即a 的通项公式为a =n． ······················································································· 7分 n n 1 1 13 1 1  （2）由（1）知，a =n，故 − = =13 − ， ········································· 9分 n b b n(n+1) n n+1 n+1 n 1 1 1 1 1 1 1 1  1 所以，当n2时， − = − + − + + − =131− ， ·························· 11分 b b b b b b b b  n n 1 n n−1 n−1 n−2 2 1 1 n 又因为b =− ，代入化简可得b = ( n2,nN*) ． ··············································· 12分 1 11 n 2n−13 1 n 因为b =− 也符合上式，所以b = ( nN*) ． 1 11 n 2n−13 n 13−n 注意到b +b = + =1， ································································· 14分 n 13−n 2n−13 2(13−n)−13 121 所以b 的前13项和T = +b =6+1=7． n 13 2 13 所以b 的前13项和为7 ·························································································· 15分 n 解法二：（1）同解法一； ····························································································· 7分 高二数学参考答案 第 4 页 共 10 页 {#{QQABIQAgwgi4gBbACY4LEQU4C0oQsJIjJeokRQAaOAYKyANABKA=}#}1 1 13 1 1  （2）由（1）知，a =n，故 − = =13 − ， ········································· 9分 n b b n(n+1) n n+1 n+1 n 1 13 1 13 1 1 13 1 即 + = + ，又因为b =− ，所以 + = +13=2， ·································· 11分 b n+1 b n 1 11 b n b n+1 n n 1 n 所以b = ( nN*) ．·························································································· 12分 n 2n−13 n 13−n 注意到b +b = + =1， ································································· 14分 n 13−n 2n−13 2(13−n)−13 121 所以b 的前13项和T = +b =6+1=7． n 13 2 13 所以b 的前13项和为7 ·························································································· 15分 n 17．【答案】(1) f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+)单调递增，极小值为−1，无极大值； (2) ae2 【详解】（1）函数 f (x)的定义域为(0,+)， ········································································· 1分 2 2 ( x2 −1 ) 因为a=1，所以 f(x)=x2 −2lnx−2， f(x)=2x− = ． ········································ 2分 x x 令 f(x)0，得0x1，令 f(x)0，得x1； ····························································· 4分 所以 f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+)单调递增． ······························································ 5分 因此 f(x)在x=1处取得极小值 f(1)=−1． ······································································ 6分 综上， f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+)单调递增，极小值为−1，无极大值． ························ 7分 2a 2 ( x2 −a ) （2） f(x)=2x− = ． ······················································································· 8分 x x 因为a0，令 f(x)0，得0x a ，令 f(x)0，得x a； ······································ 9分 所以 f(x)在(0, a)单调递减，在( a,+)单调递增． ······················································ 10分 所以 f (x) =−a−alna，所以−a−alna−2alna+e2，即a−alna+e2 0． ····················· 11分 min ①当0a1时，a−alna+e2 e2 0，恒成立，不符合题意； ········································ 13分 ②当a1时，设g(x)=x−xlnx+e2(x1)，则g'(x)=−lnx0，所以g(x)在(1,+)单 调递减， 又因为g ( e2) =0，所以a−alna+e2 0等价于g(a)g ( e2) ，所以ae2； 综上，a的取值范围是ae2． ···················································································· 15分 x2  2 18．【答案】（1） + y2 =1 （2） 2,−  （3）线段MN 的中点在定圆x2 + y2 =1上.   4  2  【详解】解法一：（1）依题意，设P(x,y)，则A(x,2y)， 因为A在 O:x2 + y2 =4上， x2 所以x2 +4y2 =4，即 + y2 =1， 4 x2 所以C的方程为 + y2 =1． ······················································································ 4分 4 （2）设P(x ,y )，则x 0,y 0，因为△OBD与△APD的面积相等， 0 0 0 0 1 2 则△PAB 与△OA B 的面积相等，所以OP∥A B ， ·························································· 6分 2 1 2 1 2 1 高二数学参考答案 第 5 页 共 10 页 {#{QQABIQAgwgi4gBbACY4LEQU4C0oQsJIjJeokRQAaOAYKyANABKA=}#}1 1 又A (2,0),B (0,1)，所以k =k =− ，所以直线OP的方程为y=− x． ··························· 8分 2 1 OP A2B1 2 2  1 y=− x,   2 由 得x2 =2，所以x = 2， x2 0 0  + y2 =1  4 1 2  2 所以y =−  2 =− ，则点P的坐标为 2,− ． ··············································· 10分 0 2 2   2   （3）设P(x ,y )，Q(x,y )，R(x ,y ),9 0 0 1 1 2 2 2 5 则当OQ或OR斜率不存在时， P的半径r = x = ． 0 5 x2 2 5 又因为 0 + y2 =1，所以 y = =r， 4 0 0 5 从而 P与x轴相切，故Q,R必分别为C的长轴和短轴的一个端点，所以x2 +x2 =4． 1 2 ………………………………………………………………………………………………11分 当OQ或OR斜率存在时，设OQ：y=k x，OR：y=k x， 1 2 k x −y 2 5 则 1 0 0 = ，即 ( 5x2 −4 ) k2 −10x y k +5y2 −4=0． ·············································· 12分 k2 +1 5 0 1 0 0 1 0 1 同理， ( 5x2 −4 ) k2 −10x y k +5y2 −4=0． 0 2 0 0 2 0 5y2 −4 5y2 − ( x2 +4y2) y2 −x2 1 所以kk = 0 = 0 0 0 = 0 0 =− ． ···················································· 14分 1 2 5x2 −4 5x2 − ( x2 +4y2) 4x2 −4y2 4 0 0 0 0 0 0 y=k x，  1 4 由x2 得x2 = ．  + y2 =1， 1 4k 1 2 +1  4 4 1 4 4 4 16k2 同理，x2 = ．又kk =− ，所以x2 +x2 = + = + 1 =4． 2 4k2 +1 1 2 4 1 2 4k2 +1 1 4k2 +1 4k2 +1 2 1 +1 1 1 4k2 1 ……………………………………………………………………………………………15分 y' − y  2 2 =−1， 设 R(x ,y ) 关于直线 y=x 的对称点为 R' ( x',y' ) ，则   x 2 ' −x 2 所以 2 2 2 2 y' + y x' −x 2 2 = 2 2，   2 2 x' = y ,y' =x ， 2 2 2 2 所以N(0,x )，又易知M(x,0)，所以 MN = x2 +x2 =2． 2 1 1 2 1 设线段MN 的中点为T ，则因为OM ⊥ON ，所以 OT = MN =1， 2 所以线段MN 的中点在定圆x2 + y2 =1上．····································································· 17分 解法二：（1）同解法一． ··································································································· 4分 y −1 （2）设P(x ,y )，则0x 2,−1 y 0，则直线BP的方程为y= 0 x+1， 0 0 0 0 1 x 0 x  x  令y=0，得x=− 0 ，即D− 0 ,0, ···································································· 5分 y 0 −1  y 0 −1  高二数学参考答案 第 6 页 共 10 页 {#{QQABIQAgwgi4gBbACY4LEQU4C0oQsJIjJeokRQAaOAYKyANABKA=}#}1 1  x  所以，△OBD的面积为S = OD  OB = − 0 , 1 △OB1D 2 1 2  y −1 0 1 1 x  △APD的面积为S = A D  y =− 2+ 0 y , ·················································· 7分 2 △A2PD 2 2 0 2 y −1 0 0 1  x  1 x  所以 − 0 =− 2+ 0 y ， 2  y −1 2 y −1 0 0 0 x x y x x y 即 0 =2y + 0 0 ，即 0 − 0 0 =2y ，即x =−2y ， ············································· 8分 y −1 0 y −1 y −1 y −1 0 0 0 0 0 0 0 x =−2y ,  0 0 由x2 得x2 =2，所以x = 2，  0 + y2 =1 0 0  4 0 1 2  2 所以y =−  2 =− ，则点P的坐标为 2,− ． ··············································· 10分 0 2 2   2   （3）设P(x ,y )，Q(x,y )，R(x ,y ), 0 0 1 1 2 2 2 5 则当OQ或OR斜率不存在时， P的半径r = x = ． 0 5 x2 2 5 又因为 0 + y2 =1，所以 y = =r， 4 0 0 5 从而 P与x轴相切，故Q,R必分别为C的长轴和短轴的一个端点，所以x2 +x2 =4． 1 2 …………………………………………………………………………………………11分 当OQ或OR斜率存在时，设OQ：y=k x，OR：y=k x， 1 2 k x −y 2 5 则 1 0 0 = ，即 ( 5x2 −4 ) k2 −10x y k +5y2 −4=0． ·············································· 12分 k2 +1 5 0 1 0 0 1 0 1 同理， ( 5x2 −4 ) k2 −10x y k +5y2 −4=0． 0 2 0 0 2 0 5y2 −4 5y2 − ( x2 +4y2) y2 −x2 1 所以kk = 0 = 0 0 0 = 0 0 =− ． ···················································· 14分 1 2 5x2 −4 5x2 − ( x2 +4y2) 4x2 −4y2 4 0 0 0 0 0 0 y y 1 所以 1 2 =− ，即xx =−4y y ，即x2x2 =16y2y2． xx 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 又因为x2 +4y2 =4,x2 +4y2 =4，所以x2x2 = ( 4−x2)( 4−x2) ，所以x2 +x2 =4． ··················· 15分 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 y' − y  2 2 =−1， 设 R(x ,y ) 关于直线 y=x 的对称点为 R' ( x',y' ) ，则   x 2 ' −x 2 所以 2 2 2 2 y' + y x' −x 2 2 = 2 2，   2 2 x' = y ,y' =x ， 2 2 2 2 所以N(0,x )，又易知M(x,0)，所以 MN = x2 +x2 =2． 2 1 1 2 1 设线段MN 的中点为T ，则因为OM ⊥ON ，所以 OT = MN =1， 2 所以线段MN 的中点在定圆x2 + y2 =1上．····································································· 17分 13 19．【答案】（1） （2）见详解 （3）见详解 27 高二数学参考答案 第 7 页 共 10 页 {#{QQABIQAgwgi4gBbACY4LEQU4C0oQsJIjJeokRQAaOAYKyANABKA=}#}【详解】（1）当n=3时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3， 1 2 1 13 此时，游戏成功的概率为：C1 ( )2 +( )3 = ；……………………………………4分 3 3 3 3 27 1 （2）设游戏成功的概率为Q ，当n=1时，Q = p = ，接下来用Q 表示Q ，……5 n 1 1 3 n−1 n 分 当n2时，投掷n枚硬币C ,C , ,C 正面朝上的硬币为奇数有两种情况： 1 2 n 第一：硬币C ,C , ,C 中正面朝上的硬币数为奇数时，C 反面朝上；………………6分 1 2 n−1 n 第二：硬币C ,C , ,C 中正面朝上的硬币数为偶数时，C 正面朝上.………………7分 1 2 n−1 n 1 1 1 1 此时，Q =Q (1− )+(1−Q ) ，所以Q = Q + (n2且nN)，……8分 n n−1 3 n−1 3 n 3 n−1 3 1 1 1 1  1 1 1 1 则Q − = (Q − )，且Q = p = ，则Q − 是以Q − =− 为首项， 为公 n 2 3 n−1 2 1 1 3  n 2 1 2 6 3 比的等比数列…………………………………………………………………………………10分 1 （3）当1k m时，此时游戏成功的概率记为Q ，Q = . k 1 3m 1 1 1 2 1 由（2）知：Q =Q (1− )+(1−Q ) ，则Q − =(1− )(Q − ),(k 2) k k−1 3m k−1 3m k 2 3m k−1 2 1 2 1 1 2 所以Q − =(1− )m−1(Q − )=− (1− )m,(mN)……①.………………12分 m 2 3m 1 2 2 3m 2 2 当m+1k 2m时，Q =Q (1− )+(1−Q ) ， k k−1 3m k−1 3m 1 4 1 则Q − =(1− )m−1(Q − )， 2m 2 3m m+1 2 2 2 1 4 1 注意到：Q =Q (1− )+(1−Q ) ，则Q − =(1− )(Q − )， m+1 m 3m m 3m m+1 2 3m m 2 1 4 1 故：Q − =(1− )m(Q − )……②.………………………………………………14分 2m 2 3m m 2 1 1 当2m+1k 3m时，Q =Q (1− )+(1−Q ) ， k k−1 m k−1 m 高二数学参考答案 第 8 页 共 10 页 {#{QQABIQAgwgi4gBbACY4LEQU4C0oQsJIjJeokRQAaOAYKyANABKA=}#}1 6 1 则：Q − =(1− )m(Q − )……③.………………………………………………15分 3m 2 3m 2m 2 结 合 ① ② ③ ： 1 2 1 2 4 1 1 2 2 4 Q − =(1− )m(Q − )=(1− )m(1− )m(Q − )=− (1− )m(1− )m(1− )m 3m 2 m 2m 2 m 3m m 2 2 3m m 3m 2 2 4 1 由于mN，当m=1时，(1− )m 0,(1− )m 0,(1− )m 0，则Q  ； 3m m 3m 3m 2 2 1 当m=2时，(1− )m =0，则Q = ； m 3m 2 2 2 4 1 当m3时，(1− )m 0,(1− )m 0,(1− )m 0，则Q  . 3m m 3m 3m 2 1 综上：对任意的mN，Q  成立.……………………………………………………17 3m 2 分 另解（3）对于m个硬币出现奇数的概率为 p(m)， p(m)= p(m−1)(1− p )+[1− p(m−1)]p k k p(m)=(1−2p )p + p k m−1 k 1 1 p(m)− =(1−2p )(p(m−1)− ) 2 k 2 1 1 1 {p(m)− }等比，p(m)− =(p − )(1−2p )m−1………………………………12分 2 2 k 2 k 1 1 2 1 1 2 1 ∴前m个硬币出现奇数的概率 p =( − )(1− )m−1+ =− (1− )m + 1 3m 2 3m 2 2 3m 2 1 4 1 中间m个： p =− (1− )m + 2 2 3m 2 1 2 1 后面m个： p =− (1− )m + …………………………………………………………14分 3 2 m 2 高二数学参考答案 第 9 页 共 10 页 {#{QQABIQAgwgi4gBbACY4LEQU4C0oQsJIjJeokRQAaOAYKyANABKA=}#}Q = p p p + p p p + p p p + p p p 3m 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =(x + )(x + )(x + )+(x + )( −x )( −x )+( −x )(x + )( −x )+( −x )( −x )(x + ) 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 2 1 =4x x x + 1 2 3 2 1 2 4 2 1 =− [(1− )(1− )(1− )]m + 2 3m 3m m 2 …………………………………………………………………………………………………16分 1 当m=1时，Q < . 3 2 1 当m=2时，Q = . 6 2 1 当m3时，Q < . 3m 2 1 Q  成立.………………………………………………………………………………17分 3m 2 高二数学参考答案 第 10 页 共 10 页 {#{QQABIQAgwgi4gBbACY4LEQU4C0oQsJIjJeokRQAaOAYKyANABKA=}#}