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2024-2025 学年重庆市巴蜀中学高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 ( )
A. ={ |−1≤B .≤1} ={ | =C2.} ∩ = D.
{ |−1≤ ≤ 1} { |0≤ ≤ 1} { |0< ≤1} { | ≥−1}
2.若 ，则 ( )
1+
sin =− 3 1−cos =
A. B. C. D.
3 3
− 3 3 − 3 3
3.已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 ( )
1
A. B. 2 C. | |= 2 ⋅ = D.
4.已1知直线 与2 圆 相4交于 ， 两点，当 8 的面积最大时， 的值是( )
2 2
A. = + ( >B0). : + =4C. D.△
5.在1孟德尔豌豆试验中，子二代2 的基因型为 ，2 ， 其中 为显性2基2因， 为隐形基因，生物学中将
和 统一记为 ，且这三种基因型的比为 ： ： 如 果(在子 二代中任意选取 株豌豆进行杂交试验， 那
么子 三代中基因 为) 的概率为( ) 1 2 1. 2
A. B. C. D.
5 3 1 1
6.已16知高为 的圆台存在内切16球，其下底半径为上8 底半径的 倍，则该4 圆台的表面积为( )
A. 4 B. C. 4 D.
7.已57知 抛物线 ： 的焦50点 为 ， ， 为抛物25线 上的两点，满足 42 ，线段 的中点为 ，
2
到抛物线 的准 线 的距=离8 为 ，则 的 最大 值为( ) ∠ =90°
| |
A. B. C. D.
2 2
4 2 2 2 2
8.已知对任意的正数 ，不等式 恒成立，则正数 的最大值为( )
1 1
+ ≥( + )( + )
A. B. C. D.
1
1
二、 多选题：本题共3小题， 共18分。在每小题 给+出 的选项中，有多1项符合题目要求。
9.复数 满足 ，则( )
A. | |= | + |=B.1为纯虚数 C. D.
− − −
| |= 1 − =− + =± 3
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1 1010.定义在 上的函数 满足 ， ，且 的图象关于直线 对称，
设 (， )则( ) (0)=2 ( +1)+ ( −1)= 2 ( +1) =−1
A. ( )为=奇 (函 +数4)−1 B. 为偶函数
C. ( )的图象关于点 中心对称 D. ( )
2023
11. 数( 列) 满足 (1,0) ， 且 =1 ( )=，数0 列 的前 项和为 ，从 的前 项中
+1 ∗
任取两项{ ， }它们之 和+为 奇 +1数=的(概−率1)为 ( ，∈数 列) 的1 =前−项3 积为 { ， }则( ) { } 2
2 { 2 }
A. B. C. D.
1
三、
1
填
0 =
空
1
题
2
：本题共3小题，
1
每
2 =
小
−
题
6
5分，共15
分
2
。
<2 ≤2 −1
12.在 的展开式中系数最大的项为______．
7
( −2 )
13.已知椭圆 ： 的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，且
2 2
1
2+ 2 =1( > >0) 2 1 2 △ 1 2
内切圆的半径为 ，则椭圆 的方程为______．
3
14.设函数 3 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 、 在 上
存在零点，
则
( )=
的取
cos
值
(
范
围
− 为4)
_
(
_
__
>
__
0
．
) (0,2) ( ) ( , +3)
四、解答题：本 题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知( 的13内角) ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，且满足 ．
2 2
求△角 的 大小； +4 3 =( + )
(1)若 ，求 的周长．
(126). 本 小 题= 分 + , = 7 △
如图(所示，在15正三)棱柱 中， ．
证明： ； − 1 1 1 1 ⊥ 1
(1) 1 ⊥ 1
点 在棱 上且满足 ，求平面 和平面 所成锐二面角的余弦值．
1
(2) 1 =3 1 1 1
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2 1017. 本小题 分
甲、(乙两名同15学参)加科技周活动，该活动需要依次参加 ， 两个闯关环节，闯关规则如下：① ， 两个环
节共有 次闯关机会，为了累计奖金最高，甲、乙两人 都将 次机会全部用完；某同学参加 环 节 或 环
节 闯关3，无论闯关结果是成功还是失败都视为已使用了一次3闯关机会． (
②)若 环节闯关成功即进入 环节；若 环节闯关失败，那么继续重复 环节，直到 次机会用完；若进入
环节后 ，无论闯关成功还是 失败，一直 都重复 环节，直到 次机会全 部用完． 3
③参加 环节，闯关成功可以获得奖金 元； 参加 环节，3每次闯关成功可以获得奖金 元；不管参加
哪一个环 节，闯关失败均无奖金． 100 200
已知甲同学参加每一个环节闯关成功的概率都是 ；乙同学参加 环节闯关成功的概率是 ，参加 环节闯关
1 1
2 2
成功的概率是 ，甲、乙同学每次参加各个环节闯关是否成功是相互独立的．
1
已知甲同学3 环节闯关成功 多次闯关中只要有一次成功即视为闯关成功 ，求他参加了两次 环节闯关的
(概1)率； ( )
活动结束时乙同学获得的奖金为 元，求 的分布列和期望．
(128). 本小题 分
已知(函数 17 ) ．
当 ( 时 ) ， = 求 +曲2− 线 ( 在 + 点 1)( ∈ ) 处的切线方程；
(1)讨论 =0 的单调性； ( ) (0, (0))
(2)若函数 ( ) 在 上的最大值为 ，求实数 的取值范围．
(139). 本小题 ( ) 分[0, ] 0
( 17 )
已知双曲线 ： 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积
2 2
5
为 ． 2− 2 =1( >0, >0) 2
2求双曲线 的方程；
(1)设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于
∗ 2
(2) ∈ , ∈(0,2), 1 =4 ( , )
， 两点， 是坐标原点，且 ．
1 1 2
证 明数列 是等差数列，并| 求| 2 通 + 项| 公 | 2 式 =5； ( +1+ )
( ) 设数列 { } 的前 项和为 ．
( ) { }
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3 10求证：对 ．
∗ 2 2 1 2 1
其中 ∀ ∈ ,4 表 ( 示 不 + 超 2 过 − 2) < 的 ≤ 最 2( 大2整 + 数，3+ 例 ⋯ 如 + +1) ， −2[ 2( ， +1)]
( [log2( +1)] log2( +1) [0.7]=0 [2]= 2 [5.3]=5)
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4 10参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
3 4
560
13.
2 2
4 + 3 =1
14.
9
15.
(3,2]
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5 1016.
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6 1017.
18.
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7 1019. 解：由双曲线 ： 的离心率为 ，
2 2
5
(1) 2− 2 =1( >0, >0) 2
可得 ，
5
又其虚 =轴 的=两2个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 ，
2
则 ，又 ，
1 2 2 2
2⋅2 =2 ⇒ =2 = +
所以 ， ，故双曲线 的方程为 ．
2
2
证 明 = ： 1 因 = 为 2 点 在双曲4线 − 上 ， =1
2
(2) ( ) ( , )
则 ．
1 1 2
cos 2 − =1 ⇒ =cos 2 −1= tan ⇒ =
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8 10因 ，则 在第一象限，
∗ 2
∈ , ∈(0,2) >0 ⇒ ( , )
则此时点 满足方程： ，
2 1 1
2 1 2 2
=( 4 −1) =2( −4)
则 ′ ，故点 对应切线斜率为：
1 1
1 2 − 2 1 2 − 2
=4( −4) ⋅2 =2 ( −4)
．
1
1 2 4 −2 1 1 1 1
2⋅ (cos 2 −4) = 4 2 = ⋅2 =2
cos2
则切线方程为： ．
1 2
− =2 ( − )⇒ =2 −
与渐近线 联立，可得 ，同理可得 ．
1 2 2
=2 (1− ,1− ) (1+ ,1+ )
则 ，
1 1 1 1− 2 1+ 2 2 1 2
| | 2+| | 2 =5[( ) +( ) ]= 5⋅(cos 2 +tan )
又 ，
1 1
cos 2 − =1 ⇒ cos 2 = +1
则 ，
2 1 2 2 2
5⋅(cos 2 +tan )= 5(2 +1)= 5( +1+ )⇒ +1− =1
又 ，则 ，
2
故数 1 列 = 4 是 以 1 =t 为 an 首4项 = ， 1 公差为 的等差数列，则 ；
由 { 可 }得 1 ，则 1 = ．
1 2 1 1 1
( ) (1) cos 2 = +1 cos = +1= +1⇒ = +1
则 ，
2 1 1 1 1 2
=( 2+ 3+⋯+ + 1+ )
注意到
1 1 1 1 1 1 1 1
= 2+ 3+⋯+ + 1+ =2(2 2+2 3+⋯+2 +2 1+ )
1 1 1 1
>2( 2+ 3+ 3+ 4+⋯+ + +1+ 1+ + +2) ，
=又2( 3− 2+ 4− 3+，⋯则+ +1− + +2；− +1)=2( +2− 2)
2 2
另一 方>面2(， +2− 2)>0 4( +2− 2) < ．
2 2 2
− −1 =( + −1)( − −1)=2 ( − −1)−( − −1)
注意到 ， 时， ，则 ．
∗ 1 2 2 2 1
则 ≥2 ∈ − −1 = = 1+ − −1 = 1+ −1+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
− 1 =( − −1)+( −1− −2)+⋯+( 3− 2)+( 2− 1)
，又 ，
2 3 −1 1 1 1 2
=2( 3+ 4+⋯+ + 1+ )−(3+4+⋯+ +1) 1 = 1 = 2
则 ．
2 1 2 −1 1 1 1
=2( 2+ 3+⋯+ + 1+ )−(2+3+⋯+ +1)
下面证明： ，
1 1 1 1
(2+3+⋯+ +1)≥2 2( +1)
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9 10注意到 ，
1 1 2 3 +1
2 2( +1)= 2( 2 1+ 2 2+⋯+ 2 )
则要证 ，即证 ，
1 1 1 1 1 1 +1
(2+3+⋯+ +1)≥2 2( +1) +1≥2 2( )
注意到 ，
1 1 +1 2 +1−1 1
+1≥2 2( )⇔ +1≥− 2( +1 )=− 2(1− +1)
则证明 ．
2 1
+1+ 2(1− +1)≥ 0
令 ，因 ，则 ，则对于函数 ．
1 ∗ 1 1
+1= ∈ 0< ≤2 ( )=2 + 2(1− ), ∈ (0,2]
有 ′ ，
1 2 2−1−2 2
( )=2− 2(1− )= 2(1− )
令 ′ ，则 ，
1
( )=0 =1−2 2
当 时， ′ ， 单调递增，
1
∈ (0,1−2 2) ( )>0 ( )
当 时， ′ ， 单调递减，
1 1
∈ (1−2 2,2) ( )<0 ( )
又 ，所以当 时， ．
1 1
(0)= (2)=0 ∈(0,2] ( )≥0
则 ．
2 1 1 1 +1
+1+ 2(1− +1)≥ 0⇒ +1≥2 2( )
最后由不等式同向可加性可得：
1 1 1 1
(2+3+⋯+ +1)≥2 2( +1)
又注意到 ，则 ，
1 1 1
2 2( +1)>0 2 2( +1)≥2[ 2( +1)]
则 ．
1 1 1 1 1 1 1 1
(2+3+⋯+ +1)≥2[ 2( +1)] ⇒−(2+3+⋯+ +1)≤−2[ 2( +1)]
则
2 1 2 −1 1 1 1
=2( 2+ 3+⋯+ + 1+ )−(2+3+⋯+ +1)≤
．
1 2 −1 1
2( 2+ 3+⋯+ + 1+ )−2[ 2( +1)]
综上， ．
∗ 2 2 1 2 1
∀ ∈ ,4( +2− 2) < ≤2( 2+ 3+⋯+ +1)−2[ 2( +1)]
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10 10
