2025———2026 学年第二学期期中考试
高二数学试卷参考答案
一、选择题
1 - 4 CABB 5 - 8 CDAB
二、选择题
9. BC 10. ABD 11. ACD
三、填空题
12.
4 13.
37 14.
(1,
+ ∞)
四、解答题
15. (1) 由f(x) = ax3 + bx,得f
′(x) = 3ax2 + b.
……1 分
因为f(x) 在x = - 2 处取得极大值16,
所以
f
′( - 2) = 12a + b = 0,
f( - 2) = - 8a - 2b = 16,
{
……3 分
解得
a = 1,
b = - 12.
{
……5 分
经检验当
a = 1,
b = - 12
{
时,
f(x) 在x = - 2 处取得极大值16,
……6 分
故f(x) = x3 - 12x.
……7 分
(2) 由(1) 可知,
f
′(x) = 3x2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2),
……8 分
当x ∈[1,2) 时,
f
′(x) < 0,
f(x) 单调递减;
当x ∈(2,
3] 时,
f
′(x) > 0,
f(x) 单调递增;
……9 分
又因为f(1) = - 11,
f(3) = - 9,
f(2) = - 16.
……11 分
所以f(x) 在[1,
3] 上的最大值为- 9,最小值为- 16.
……13 分
16. (1) 令x = 2,得a0 = (2 × 2 - 5) 8 = 1,
……1
分
令x = 3,得a0 + a1 + a2 + a3 + … + a8 = (2 × 3 - 5) 8 = 1,
……
3 分
∴ a1 + a2 + a3 + … + a8 = (a0 + a1 + a2 + a3 + … + a8) - a0 = 0.
……5 分
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(2)(2x - 5) 8 = [2(x - 2) - 1] 8 = a0 + a1(x - 2) + a2(x - 2) 2 + … + a8(x - 2) 8.
……7 分
∴ a3 = C5
8 × 23 × ( - 1) 5 = - 448.
……9 分
(3) 由(2) 可知,ak = C8-k
8
× 2k × ( - 1) 8-k,
……10 分
∴ a0,a2,a4,a6,a8 都大于零,而a1,a3,a5,a7 都小于零,
……11 分
∴
| a0 | +| a1 | +| a2 | + … +| a8 |
= a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 + a8,
……13 分
令x = 1,则(2 × 1 - 5) 8 = a0 + a1 × ( - 1) + a2( - 1) 2 + … + a8( - 1) 8
= a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 + a8 = 38.
∴
| a0 | +| a1 | +| a2 | + … +| a8 | = 38 = 6561. (未写出6561 不扣分)
……15 分
17. (1) 当a = 1
e 时,由f(x) = 1
e e2x + ( 1
e - 2)ex - x = 1
e [e2x + (1 - 2e)ex - ex],
……1 分
则f
′(x) = 1
e [2e2x + (1 - 2e)ex - e] = 1
e (2ex + 1)(ex - e).
……3 分
显然当x > 1 时,
f
′(x) > 0;当x < 1 时,
f
′(x) < 0.
即f(x) 在( - ∞,1) 上单调递减,在(1, + ∞) 单调递增.
……5 分
所以f(x) 的极小值为f(1) = - e,
……6 分
f(x) 无极大值.
……7 分
(2) 由f(x) = ae2x + (a - 2)ex - x ≥0,得a ≥2ex + x
e2x + ex.
……8 分
令g(x) = 2ex + x
e2x + ex,
则g′(x) = (2ex + 1)(e2x + ex) - (2ex + x)(2e2x + ex)
(e2x + ex) 2
= - ex(2ex + 1)(ex + x - 1)
(e2x + ex) 2
.
……10 分
令h(x) = ex + x - 1,则h′(x) = ex + 1 > 0.
所以h(x) 是增函数,又h(0) = 0,
……11 分
所以当x > 0 时,h(x) > 0,从而g′(x) < 0,
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当x < 0 时,h(x) < 0,从而g′(x) > 0,
即g(x) 在( - ∞,0) 上单调递增,在(0, + ∞) 上单调递减.
……13 分
故g(x) max = g(0) = 1.
……14 分
从而a ≥1,即实数a 的取值范围为[1, + ∞).
……15 分
18. (1) 依题意,甲乙所选无人机编号的奇偶相同,故有A2
5 + A2
4 = 32 种选择
……3 分
(2)①依题意,每个年级分得3 架无人机,共有C3
9C3
6C3
3 = 1680 种分配方法.
……6 分
②依题意,三个年级分得的无人机数量为2 - 2 - 5,共有
C2
9C2
7C5
5
A2
2
A3
3 = 2268 种分配方法,
……10 分
③依题意,三个年级分得的无人机数分别为1 - 2 - 6,1 - 3 - 5,2 - 3 - 4.
若无人机数量为1 - 2 - 6,分配方法数为:C1
9C2
8C6
6A3
3 = 1512;
……12 分
若无人机数量为1 - 3 - 5,分配方法数为:C1
9C3
8C5
5A3
3 = 3024;
……14 分
若无人机数量为2 - 3 - 4,分配方法数为:C2
9C3
7C4
4A3
3 = 7560;
……16 分
根据分类加法计数原理分配方法种数为1512 + 3136 + 7560 = 12096.
……17 分
19. (1)∵ f
′(x) = ax - (a - 1) - 1
x ,
……1 分
∴ f
′(1) = 0,又f(1) = 1 - a
2 ,
……2 分
所以切线方程为y = 1 - a
2 .
……3 分
(2)∵ f
′(x) = ax - (a - 1) - 1
x = ax2 - (a - 1)x - 1
x
= (ax + 1)(x - 1)
x
(
x > 0).
……4 分
①当a ≥0 时,ax + 1 ≥0, ∴若x > 1,
f
′(x) > 0,即f(x) 的递增区间为(1, + ∞),
若0 < x < 1,
f
′(x) < 0,即f(x) 的递减区间为(0,
1),
……5 分
②当a < 0 时,由ax + 1 = 0 得x = - 1
a ,若- 1
a = 1 即a = - 1,
f
′(x) ≤0,即f(x) 的
递减区间为(0,
+ ∞).
……6 分
若- 1
a > 1 即- 1 < a < 0,当0 < x < 1 或x > - 1
a 时,
f
′(x) < 0,即f(x) 的递
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减区间为(0,
1),( - 1
a ,
+ ∞).
当1 < x < - 1
a 时,
f
′(x) > 0,即f(x) 的递增区间为(1,
- 1
a ).
……8 分
若- 1
a < 1 即a < - 1,当0 < x < - 1
a 或x > 1 时,
f
′(x) < 0,即f(x) 的递减区间
为(0,
- 1
a ),(1,
+ ∞).
当- 1
a < x < 1 时,
f
′(x) > 0,即f(x) 的递增区间为( - 1
a ,
1
).
……10 分
综上,当a ≥0 时,
f(x) 的递减区间为(0,
1),递增区间为(1, + ∞).
当- 1 < a < 0 时,
f(x) 的递减区间为(0,
1),( - 1
a ,
+ ∞),递增区间为(1,
- 1
a ).
当a = - 1 时,
f(x) 的递减区间为(0,
+ ∞),无递增区间.
当a < - 1 时,
f(x) 的递减区间为(0,
- 1
a ),(1,
+ ∞),递增区间为( - 1
a ,
1
).
……11 分
(3) 由(2) 知,当a ≥0 或a = - 1 时,函数y = f(x) + 1
2a 的零点个数不超过2,不符合
题意.
……12 分
又当a < 0 时,易得若x →+ ∞,则f(x) →- ∞,若x →0,则f(x) →+ ∞, ……13 分
若函数y = f(x) + 1
2a 有三个零点,
则
a < 0,且a ≠- 1,
[f( - 1
a ) + 1
2a]
[f(1) + 1
2a]
< 0,
ì
î
í
ïï
ïï
即
a < 0,且a ≠- 1,
[1 + ln( - a)](1 - a
2 + 1
2a)
< 0,
ì
î
í
ïï
ïï
……15 分
解得1 -
2 < a < - 1
e ,实数a 的取值范围是(1 -
2 , - 1
e ).
……17 分
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