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2023 年 7 月第 9 次印刷
AB⊥CD
△ABC
⊙O
AB⊥CD
△ABC
⊙O
亲爱的同学们：
欢迎你们使用本套义务教育教科书！
数学是研究数量关系和空间形式的科学，是人类文化的重要组成部分。通
过本套教科书，能够获得良好的数学教育，在数学上得到不同程度的发展。
希望这套数学教科书能够陪伴你度过一个充满智慧、乐趣的初中！
编者 2012 年10 月
前 言
栏目说明
思考
思考是数学发展的前提，
不要放弃任何一个独立思考
的机会，甚至在别人已经说
出答案而你还没有找到例子
或思路的时候也不要放弃。
交流
将你的思路和方法记录
下来，有条理地向其他同学
或老师表达，耐心倾听他们
的意见，调整自己的思路或
方法。
探索
严谨观察、细致分析、
大胆猜想、细心验证、不
断反思，直到找到满意的结
论，体会数学探索的艰辛与
乐趣。
实践
学好数学不仅要勤于动脑，也
要勤于动手。动手画图、计算、列
式、填表，将实际问题转化为数学
问题，用数学的方法解决问题。
你将遇到富有趣味性、挑战性的数学问题。这些问
题需要你在理解的基础上，运用所学的数学知识和方法，
寻求解决问题的思路和线索，猜想与验证结论，并将解
决问题的整个过程有条理地记录下来，和同学们分享。
综合与实践
数学既能锤炼思维又具
有广泛应用的事实将在这里
得到充分的体现。你将尝试
综合运用所学的数学概念、
原理、方法和思想去解释和
解决实际生活中的问题与现
象，经历制定方案、调查研究、
收集数据、整理数据、分析
数据、做出判断、发现规律
等过程，感受到数学的魅力。
阅读理解
数
学
文
化
你将会发现数学发展的悠久历史，体验数学家探索数学
的艰辛与快乐，感受数学对其他学科的巨大贡献。数学是人
类文化的重要组成部分。
探 究 学 习
你将面对一个新的情境，需要你发现和提出问题，独立
思考，通过归纳、概括、类比、证明，得到新的猜想或规律，
或者得到一个崭新的方法。
? ?
? ?问题解决
第十八章 相似形
1
第十九章 二次函数和反比例函数
37
一 比例线段… ……………………………………………………… 2
18. 1 比例线段… ……………………………………………… 2
18. 2 黄金分割… ……………………………………………… 4
阅读理解 不仅仅是美……………………………………………… 7
18. 3 平行线分三角形两边成比例… ………………………… 8
习题18 - 1…………………………………………………………10
二 相似三角形… ……………………………………………………12
18. 4 相似多边形… ……………………………………………12
阅读理解 从“雪花曲线”谈起……………………………………16
18. 5 相似三角形的判定… ……………………………………18
18. 6 相似三角形的性质… ……………………………………25
18. 7 应用举例… ………………………………………………28
综合与实践 测量旗杆的高度………………………………………30
习题18 - 2…………………………………………………………30
回顾与整理… …………………………………………………………33
复习题… ………………………………………………………………34
一 二次函数… ………………………………………………………38
19. 1 二次函数… ………………………………………………38
19. 2 二次函数 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图象… ……………40
阅读理解 抛物线和最速降线………………………………………49
习题19 - 1…………………………………………………………51
19. 3 二次函数的性质… ………………………………………53
目 录
1
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第二十章 解直角三角形
75
第二十一章 圆（上）
105
19. 4 二次函数的应用… ………………………………………55
探究学习 一元二次不等式解法的探究……………………………58
习题19 - 2…………………………………………………………60
二 反比例函数… ……………………………………………………62
19. 5 反比例函数… ……………………………………………62
19. 6 反比例函数的图象、性质和应用… ……………………64
习题19 -3…………………………………………………………68
回顾与整理… …………………………………………………………69
复习题… ………………………………………………………………71
一 锐角三角函数… …………………………………………………76
20. 1 锐角三角函数… …………………………………………76
20. 2 30°，45°，60°角的三角函数值…………………………82
20. 3 用科学计算器求锐角三角函数值… ……………………83
习题20 - 1…………………………………………………………85
二 解直角三角形… …………………………………………………87
20. 4 解直角三角形… …………………………………………87
20. 5 测量与计算… ……………………………………………90
习题20 - 2…………………………………………………………95
综合与实践 测量建筑物的高度……………………………………97
阅读理解 三角函数符号史话………………………………………98
回顾与整理… …………………………………………………………99
复习题… …………………………………………………………… 100
一 圆的有关概念… ……………………………………………… 106
21. 1 圆的有关概念… ……………………………………… 106
21. 2 过三点的圆… ………………………………………… 111
2
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习题21 - 1……………………………………………………… 114
二 圆的性质… …………………………………………………… 116
21. 3 圆的对称性… ………………………………………… 116
习题21 - 2……………………………………………………… 121
21. 4 圆周角… ……………………………………………… 123
习题21 - 3……………………………………………………… 128
阅读理解 《原本》及其影响… ………………………………… 130
回顾与整理… ……………………………………………………… 131
复习题… …………………………………………………………… 133
3
第二十二章 圆（下）
137
一 直线和圆… …………………………………………………… 138
22.1 直线和圆的位置关系… ……………………………… 138
22.2 圆的切线… …………………………………………… 140
探究学习 与圆有关的比例线段… ……………………………… 147
习题22 - 1……………………………………………………… 147
二 正多边形和圆… ……………………………………………… 150
22.3 正多边形的有关计算… ……………………………… 150
习题22-2… …………………………………………………… 154
阅读理解 从刘徽割圆说起… …………………………………… 155
回顾与整理… ……………………………………………………… 157
复习题… …………………………………………………………… 158
附录
162
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第十八章
相似形
你知道古埃及的金字塔有多高吗？
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯游历
古埃及时，只利用一根木棒和一把尺子就测量并计算出
了金字塔的高度，使古埃及法老阿美西斯钦羡不已.
学习本章的有关知识以后，你就会明白泰勒斯是怎
样测算金字塔高度的，并会解决许多类似的问题.
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数学 九年级 上册
2
实践
18.1
比例线段
一 比例线段
图18 - 1 是两幅大小不同的北京市地图，在大地图中有A，B，C 三
个地点， 在小地图中相对应的三个地点分别记作A'，B'，C' .
（1） 请你用刻度尺量出图中A与B、 A'与B'之间的距离，B与C、 B'与C'
之间的距离，并把它们填在下面的横线处：
AB = __________ cm，A' B' = __________ cm ；
BC = __________ cm，B' C' = __________ cm.
（2） 算一算AB
——
A' B' ，BC
——
B' C' 的值，你能发现它们在数量上有什么关系吗？
图18 - 1
A'
B'
C'
A
B
C
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第十八章 相似形
3
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四
条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
图18 - 1 中的线段AB，A' B'，BC，B' C' 就是成比例线段.
思考
1. 对于线段a，b，c，d，如果a—b = c—d ，那么 ad = bc 成立吗？
为什么？
2. 如果 ad = bc，其中 bd ≠ 0，那么 a—b = c—d 成立吗？为什么？
由ad = bc 还可
以得到哪些比例式？
根据等式的性质可以得到比例的基本性质：
如果 a—b = c—d ，那么 ad = bc .
如果ad = bc，且 bd ≠ 0，那么a—b = c—d .
例1 线段 m = 1 cm ， n = 2 cm，p = 3 cm，q = 6 cm. 请判断这四条线段
成比例吗？并说明理由.
解：线段m，n，p，q 成比例. 理由如下：
∵ m
—n = 1—2 ，p—q = 3—6 = 1—2 ，
∴ m
—n = p—q .
∴ 线段m，n，p，q 成比例.
还有其他的判断
方法吗？
例2 如图18 - 2，在 △ ABC 中，D，E 分别是AB，
AC 上的点，且AD
——
DB = AE
——
EC . 由此还可以得到哪些比例式？并
对其中一个比例式简述成立的理由.
解：还可以得到AB
——
DB = AC
——
EC ，AD
——
AB = AE
——
AC ，…
图18 - 2
C
B
A
D
E
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数学 九年级 上册
4
练习
1. 在如图所示的三个矩形中，哪两个矩形的长和宽是成比例线段？
2. 证明：如果a—
b = c—
d ，那么 a + b
——
b
= c + d
——
d ，a - b
——
b
= c - d
——
d
.
3. 已知：a—
b = 5—
3 ，求：
（1） a + b
——
b
的值；
（2） a - b
——
b
的值 .
（第1 题）
8
8
4
4.5
6
6
其中AB
——
DB = AC
——
EC 成立的理由如下：
∵ AD
——
DB = AE
——
EC ，
∴ AD + DB
————
DB
= AE + EC
————
EC
.
即 AB
——
DB = AC
——
EC .
探索
18.2
黄金分割
五角星是我们常见的图形. 在图18 - 3 中，
分别量出点C 到点A，B 的距离，并计算AC
——
AB
的值.
A
B
C
图18 - 3
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第十八章 相似形
5
图18 - 4 是古希腊的著名雕塑——爱与美之神
维纳斯. 请你量出维纳斯的肚脐到脚底的长度，再量
出她的身长，并计算它们的比值，你发现了什么？将
这个比值与五角星问题中AC
——
AB 的值比较一下，又能
有什么发现？
肚脐到脚底的长度= ____________ ；
身长= ____________ ；
肚脐到脚底的长度
—————————
身长
= ____________ .
古希腊数学家在公元前4 世纪，研究了这样一个问题：如何在线段AB 上
确定一个点C，使 AC
——
AB = BC
——
AC （如图18 - 5） .
设AB = 1， AC = x， 那么BC = 1 - x.
∵ AC
——
AB = BC
——
AC ，
∴ x—1 = 1 - x
——
x
.
∴ x2 = 1 × （1 - x ） .
即 x2 + x - 1= 0.
解这个方程，得
x1 = - 1 + 5
√
————
2
，x2 = - 1 - 5
√
————
2
（不合题意，舍去） .
所以，AC
——
AB = - 1 + 5
√
————
2
0.618.
即在线段 AB 上截取这条线段长的0.618 倍，得到点C.
图18 - 5
A
B
C
图18 - 4
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6
练习
已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，求BC
——
AC 的近似值（结果精确到0.001）. 你发
现了什么规律？用式子怎样表示？
点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果AC
——
AB = BC
——
AC ，那么称线段
AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄
金比.
我们还可以用几何作图的方法确定点C.
已知线段AB，求作线段AB 的黄金分割点 C.
作法：（1） 过点B 作BD ⊥ AB，使 BD = 1—2 AB.
（2） 连接AD，在AD 上截取 DE = DB.
（3） 在AB 上截取 AC = AE.
如图18 - 6，所以点C 就是所求的黄金分割点.
你能说出上述作法的道理吗？
交流
图18 - 6
A
B
C
E
D
探索
如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄
金比， 人们就称它为“黄金矩形” . 黄金矩形
曾一度统治着西方的建筑美学，法国巴黎圣
母院是它的一个杰出代表作 （图18 - 7），它
的整个结构就是按照黄金矩形建造的.
请你画出一个黄金矩形.
图18 - 7
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第十八章 相似形
7
不仅仅是美
令人惊奇的是，自然界也偏爱黄金分割. 有人研究过小麦和水稻
的茎节，发现其相邻两节长度之比也为0.618. 另外，许多植物的叶片
和花瓣，其相邻两片错开的角度，也是按照黄金比来排列的. 从上往
下看时，第一层和第二层两叶之间的角度约为137.5°， 依次二层到三
层、三层到四层、四层到五层……两叶之间都成这个角度. 生物学家
经过研究后发现，这个角度对叶的通风和采光最为有利. 137.5° 与黄
金比有什么联系呢？我们知道，周角是360°，那么，137.5° : （360° -
137.5° ）= 137.5° : 222.5° 0.618 （图18 - 8） . 像蓟草、梨树枝和玫瑰
花瓣的生长就符合这个规律.
阅读理解
如图18 - 9，作一个黄金矩形，在这个黄金矩形的内部再作一
个正方形，剩下的部分是一个稍小的黄金矩形……照此方法作下去，
可以得到一个比一个更小的一系列黄金矩形. 依次用弧线连接图中正
方形一条对角线的两个端点，可以得到一条光滑的曲线，这条曲线
叫做“黄金螺线” . 黄金螺线还有一些别的名字，如叫“生长螺线”等，
这说明它有许多重要的性质. 有一种叫梭尾法螺的海螺，它上面就有
一条黄金螺线，鹦鹉螺的外壳也是黄金螺线形的 （图18 - 10） .
137.5°
1
137.5°
0.618…
图18 - 8
图18 - 9
图18 - 10
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人体感到舒适的温度约为23 ℃，也是人体正常体温37 ℃的黄
金分割点，因为 23 37 × 0.618 . 科学家还发现，人在精神愉快时，
脑电波频率的下限为8 Hz，上限为12.9 Hz，两者之比约为0.618 .
看来，黄金比不仅仅给人以视觉上美的享受，也是生物自身生
长的需要.
近几十年，数学上出现了一个新的分支——最优化方法，它给
黄金比找到了新的用武之地. 从1970 年开始，我国著名数学家华罗
庚教授推广的优选法，就是最优化方法的一种. 优选法是一种快捷、
实用的方法，在生产和生活中有着广泛的应用.
18.3
平行线分三角形两边成比例
实践
如图18 - 11，直线 l1 ∥l2 ∥ l3 . 直线l4 被l1，l2，l3 所截，其中截得的两
条线段分别为AB，BC . l5 是另外任一条被l1，l2，l3 所截的直线，其中截得
的两条线段分别为DE，EF .
（1） 度量线段AB，BC，DE，
EF 的长， 并计算AB
——
BC ，DE
——
EF ，
你有什么发现？
（2） 移动直线l1，l2，l3，并
保持l1 ∥l2 ∥l3，前面发现的结
论是否仍然成立？
我们发现，当l1 ∥l2 ∥l3 时，都可得到 AB
——
BC = DE
——
EF .
A
l4
l5
l1
l2
l3
D
E
B
C
F
AB = 1.89 cm
BC = 3.80 cm
DE = 2.02 cm
EF = 4.07 cm
AB
——
BC = 0.50
DE
——
EF = 0.50
图18 - 11
一组平行线的条
数可以多于3 条吗？
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第十八章 相似形
9
例1 已知：如图18 - 12，在△ABC 中，DE // BC，AD = 4，DB = 3，
AC = 10 . 求AE，EC 的长.
解：在△ ABC 中，
∵ DE // BC，
∴ AD
——
DB = AE
——
EC .
设 AE = x，那么 EC = 10 - x，
∴ 4—3 =
x
———
10 - x .
解得 x = 40
—7 .
∴ 10 - x = 10 - 40
—7 = 30
—7 .
即 AE = 40
—7 ， EC = 30
—7 .
例2 已知：如图18 - 13，在 △ ABC 中，DE // BC，EF // AB. 试问 AD
——
DB =
BF
——
FC 成立吗？为什么？
解：AD
——
DB = BF
——
FC 成立. 理由如下：
在 △ ABC 中，
∵ DE // BC，
∴ AD
——
DB = AE
——
EC .
又∵ EF // AB，
∴ AE
——
EC = BF
——
FC .
∴ AD
——
DB = BF
——
FC .
图18 - 13
A
B
C
F
E
D
图18 - 12
A
B
C
E
D
应用比例性质和等式性质，还可得到 AB
——
AC = DE
——
DF ，AC
——
AB = DF
——
DE 等.
由此得到：
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
由以上基本事实可得：
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.
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数学 九年级 上册
10
如图18 - 14，AD 是 △ ABC 的中线，E 是 AC 上任一点，BE 交 AD
于点 O. 数学兴趣小组的同学在研究这一图形时，得到如下结论：
（1）当AO
——
AD
= 1—2 时，AE
——
AC = 1—3 ；
（2）当AO
——
AD
= 1—3 时，AE
——
AC
= 1—5 ；
（3）当AO
——
AD = 1—4 时，AE
——
AC = 1—7 .
请根据上述结论，猜想当AO
——
AD =
1
——
n + 1时 （ n 是正整数），AE
——
AC 的一般
性结论，并说明理由.
交流
图18 - 14
A
B
C
O
E
D
练习
1. 如图，点B，D 在∠ A 的一条边上，点C，
E 在∠ A 的另一条边上，且 DE // BC，
写出图中能够成立的比例式.
2. 已知：如图，在 △ ABC 中，DE // BC，
AD = 3，DB = 5，AE = 2. 求 AC 的长.
（第1 题）
A
B
C
E
D
（第2 题）
A
B
C
E
D
基础
1. 选择题：
（1） 线段a，b，c，d 的长度如下：
① a = 12 cm，b = 8 cm，c = 15 cm，d = 10 cm ；
② a = 7 cm，b = 14 cm，c = 19.6 cm，d = 5 cm ；
习 题 18 - 1
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第十八章 相似形
11
（第6 题）
A
B
C
E
F
D
l1
l2
l3
（第7 题）
A
B
C
D
③ a = 12 cm，b = 4 cm，c = 9 dm，d = 0.3 m .
以上 3 组数据中，能使a，b，c，d 构成比例线段的有 （ ） .
A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 0 组
（2） 已知 2x = 3y （y ≠ 0），那么下列比例式中成立的是 （ ） .
A. x—2 = y—3
B. x—3 = y—2
C. x—y = 2—3
D. x—2 = 3—y
2. 已知a—b = c—d .
（1） 用b，c，d 表示 a ；
（2） 用a，c，d 表示 b .
3. 已知7—x = 4—y ，求 x—y 的值.
4. 已知m - n
———
n
= 3—5 ，求 n—
m 的值.
5. 由 ab = cd ≠ 0，写出三个比例式 .
6. 已知：如图， l1 ∥l2 ∥l3，AB = 3，DE = 2，EF = 4，求 BC 的长.
7. 已知：如图， AB
——
AC = BD
——
DC ， AB = 2.8 cm，BC = 3.6 cm，AC = 3.5 cm，求 BD，DC 的长.
8. 把长为 8 cm 的线段进行黄金分割，求较长线段的长 .
1. 已知x—y = 2—5 ，求 x + y
———
y
，x - y
———
y
，x - y
———
x + y 的值.
2. 已知：如图，在 △ ABC 中，DE // BC，DF // AC，AE = 3 cm，
AC = 8 cm，BC = 10 cm，求 DF 和 CF 的长.
提升
（第2 题）
A
B
C
E
F
D
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数学 九年级 上册
12
拓展
1. 在平面直角坐标系中，点 O，A，B，C，D 的坐标分别是 O （0，0），
A （3，4），B （3，0），C （0，- 6），D （- 8，- 6），那么在线段OB，
OA，AB，OC，OD，CD 中，有哪几组是成比例线段？请写出来.
2. 已知：如图，在 △ ABC 中，DE // BC，EF // CD，AF = 2，AB = 6.
求AD 的长.
18.4
相似多边形
观察图18 - 15，你会发现，同一底片洗出的不同尺寸的照片，尽管人物的
大小不同，但是形状相同.
图18 - 15
＊
二 相似三角形
（第2 题）
A
B
C
E
F
D
思考
在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同、
大小不一定相同的图形，你能再举一些实例吗？
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第十八章 相似形
13
图18 - 16 中的两个四边形形状相同吗？它们是否有相等的内角？相
等内角的两边是否成比例？请设法验证你的结论.
再观察图18 - 17 中的两个五边形，是否能得出同样的结论？
交流
图18 - 16
用刻度尺和量角器量量看.
在图18 - 17 中，五边形 ABCDE 与五边形 A'B'C'D'E' 是形状相同的图形，
其中∠ A 与∠ A'、∠ B 与∠ B'、∠ C 与∠ C'、∠ D 与∠ D'、∠ E 与∠ E' 分别
对应相等，称它们为对应角； AB 与A'B'、BC 与B'C'、CD 与C'D'、DE 与D'E'、
EA 与E'A' 的比都相等，称它们为对应边.
像这样，对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似
多边形对应边的比叫做相似比.
五边形 ABCDE 与五边形A'B'C'D'E' 相似，记作“五边形ABCDE ∽五边形
A'B'C'D'E' ”，读作“五边形ABCDE 相似于五边形A'B'C'D'E' ”，其中AB : A'B'
称为相似比. 一般地，在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在
对应的位置上.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
图18 - 17
A
B
C
E
D
A'
B'
C'
D'
E'
思考
两个正方形一定相似吗？两个矩形一定相似吗？两个菱形
一定相似吗？为什么？
例1 已知：如图18 - 18，四边形ABCD ∽四边形A'B'C'D'，求线段a，
b 的长度和∠ α 的大小 .
解：∵ 四边形ABCD ∽四边形A'B'C'D'，
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数学 九年级 上册
14
图18 - 19
A
A'
B'
C'
B
C
图18 - 18
A
A'
B'
C'
D'
B
18
4
6
α
7
77°
77°
117°
b
a
C
D
83°
例2 已知：如图18 - 20，△ ADE∽△ ACB， 指出它们的对应顶点、对
应边和对应角.
解：对应顶点：A 和 A，D 和 C，E 和 B.
对应边：AD 和 AC，AE 和 AB，DE 和 CB.
对应角：∠ A 和 ∠ A，∠ ADE 和 ∠ C，∠ AED
和 ∠ B.
图18 - 20
A
B
C
E
D
思考
1. 两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为
什么？
2. 两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
∴ AB
——
A'B' = BC
——
B'C' = CD
——
C'D' .
∴ 18
—4 = b—6 = a—7 .
解得 a = 31.5，b = 27.
∵ ∠ C' = ∠ C = 83°，
∴ ∠ α = 360° - （77° + 83° + 117°） = 83°.
所以，线段a，b 的长度分别是31.5，27，∠ α为 83°.
在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
如图18 - 19，在△ ABC 和△ A'B'C' 中，如果有 ∠ A = ∠ A'，∠ B = ∠ B'，∠ C =
∠ C'，AB
——
A'B' = BC
——
B'C' = CA
——
C'A' ，那么 △ ABC 和 △ A'B'C' 相似，记作“△ ABC ∽
△ A'B'C' ”.
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第十八章 相似形
15
思考
在例 3 的条件下，图18 - 21 中的哪些线段成比例？图中有互
相平行的线段吗？
例3 已知：如图18 - 21，△ ABC ∽△ ADE，AE = 50 cm，EC = 30 cm，
∠ A = 45°.
（1） 如果∠ C = 40°，求∠ AED 和 ∠ ADE 的度数；
（2） 如果BC = 70 cm，求DE 的长.
解：（1）∵ △ ABC∽△ ADE，
∴ ∠ AED = ∠ C = 40°.
在 △ ADE 中，
∵ ∠ AED + ∠ ADE + ∠ A = 180°，
即 40° + ∠ ADE + 45° = 180°.
∴ ∠ ADE = 95°.
（2） ∵ △ ADE ∽△ ABC ，
∴ AE
——
AC = DE
——
BC .
即
50
———
50 + 30 = DE
——
70 .
∴ DE = 50 × 70
———
80
= 43.75 （cm）.
1. 设△ ABC 与 △ A'B'C' 的相似比为 k，△ A'B'C' 与 △ ABC 的相似比
为k'，那么 k 和 k' 有什么关系？
2. 当两个三角形的相似比等于 1 时，这两个三角形有什么关系？
3. 全等三角形和相似三角形之间有什么关系？
交流
图18 - 21
A
B
C
D
E
练习
1. 正方形的边长a = 10， 菱形的边长 b = 5，它们相似吗？请说明理由.
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数学 九年级 上册
16
2. 如图，矩形草坪长 20 m、宽10 m，沿草坪四周
有1 m 宽的小路. 小路的内、外边缘所围成的矩
形相似吗？请说明理由.
3. 在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试
确定x，y，m，n 的值.
4. 判断题：
（1） 相似三角形是全等三角形；
（ ）
（2） 全等三角形是相似三角形；
（ ）
（3） 全等三角形的相似比等于1 ；
（ ）
（4） 相似三角形的相似比一定不等于1.
（ ）
5. 如果△ ABC ∽△ A1B1C1，△ A1B1C1 ∽△ A2B2C2，那么△ ABC 与△ A2B2C2 相似吗？
请说明理由.
从“雪花曲线”谈起
在北京冬奥会上，美丽的雪花火炬点亮世界( 图18 - 22). 在数学
中也有美丽的雪花曲线，它是由瑞典数学家科克创造的.
雪花曲线是由图18 - 23 （1） 那样的等边三角形开始，然后把它
的每条边三等分，以每条边三等分后的中段为边向外作新的等边三
角形，新、旧三角形正好相似，如图18 - 23 （2） . 然后对每个等边三
角形“尖出”的部分继续上述过程，即在每条边三等分之后的中段，
阅读理解
（第3 题）
（1）
（2）
45
O
3a
x
2a
10
33
20
22
30
48
y
80
O
45
O
55
O
n
O
m
O
（第2 题）
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第十八章 相似形
17
如图18 - 23 （3） 那样继续向外作出新的等边三角形……不断重复这
样的过程，便产生了雪花曲线.
我们看到，雪花曲线是由无数个相似三角形组成的.
许多人对这样的雪花曲线感到十分奇怪，把它称为 “数学怪物” .
后来，人们发现像雪花曲线这样的“数学怪物”还真不少. 让我们再
来欣赏“希尔宾斯基三角形”，它是波兰数学家希尔宾斯基最先作出
的. 图18 - 24 （1） 是一个正三角形，找到三条边的中点，连接成一
个红色的小正三角形［图18 - 24 （2）］，把红色的小正三角形挖掉. 按
照这个规律，在图18 - 24 （2） 中的白色小正三角形中继续找到这样
的正三角形并把它们挖掉，得到图18 - 24 （3） ……这样，就可以得
到一个希尔宾斯基三角形.
无论是雪花曲线，还是希尔宾斯基三角形，它们都是从一个简
单的正三角形出发，按照一定的规律，最后得出很复杂、很漂亮的
图形.
化复杂为简单，用简单去逼近复杂，这正是科学家经常使用的
思维方法.
图18 - 24
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
图18 - 22
图18 - 23
（1）
（2）
（3）
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数学 九年级 上册
18
18.5
相似三角形的判定
如图18 - 25， 在△ ABC 中，DE // BC，并交
AB，AC 于点D，E，那么△ ADE 与△ ABC 相似吗？
为什么？
交流
已知：如图18 - 26，在△ ABC中，DE // BC，并交AB，AC 于点D，E.
求证：△ ADE∽△ ABC .
分析：由DE // BC，容易证得两个三角形的对应角相等.
由DE // BC 还可以得到AD
——
AB = AE
——
AC ，那么DE
——
BC 与 AD
——
AB 有什么关系呢？
不难看出，除了 DE 以外，其他线段都在 △ ABC 的边上，因此，我们只要将
DE 平移到 BC 边上去，得 CF = DE，然后再证明 AD
——
AB = CF
——
BC 就可以了. 这时
只需要过点 D 作 DF // AC，交 BC 于点 F，CF 就是平移 DE 所得的线段.
证明：∵ DE // BC，
∴ ∠ ADE = ∠ B， ∠ AED = ∠ C.
AD
——
AB = AE
——
AC .
过点 D 作DF // AC ，交BC 于点 F .
∴ AD
——
AB = CF
——
BC .
又∵ 四边形 DECF 是平行四边形，
∴ DE = CF .
∴ AD
——
AB = DE
——
BC .
∴ AD
——
AB = AE
——
AC = DE
——
BC .
图18 - 26
A
B
C
D
F
E
图18 - 25
A
B
C
D
E
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第十八章 相似形
19
又∵ ∠ A = ∠ A，
∴ △ ADE ∽△ ABC .
由此可得：
平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似.
1. 我们知道，对应角相等、对应边也相等的两个三角形全等. 你
还记得三角形全等的判定条件吗？
2. 你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件？
3. 两个三角形中，至少有几个角对应相等才能保证这两个三角形
相似？
交流
实践
如图18 - 27， 用计算机或图形计算器画△ ABC 和 △ A'B'C'，使得
∠ A 和∠ A' 都等于给定的∠ α，∠ B 和∠ B' 都等于给定的∠ β，那么∠ C
和∠ C' 相等吗？对应边的比 AC
——
A'C'，AB
——
A'B'，BC
——
B'C' 相等吗？这样的两个三角
形相似吗？
改变∠ α，∠ β 的大小，再试一试.
你能由此得出什么结论？并证明你的发现.
图18 - 27
A
A'
B'
C'
B
C
∠ ACB = 68.70°
∠ CAB = 51.07°
∠ ABC = 60.23°
∠ A'C'B' = 68.70°
∠ C'A'B' = 51.07°
∠ A'B'C' = 60.23°
AC
——
A'C' = 1.67
AB
——
A'B'
= 1.67
BC
——
B'C' = 1.67
AC = 4.31 cm
AB = 4.63 cm
BC = 3.87 cm
A'C' = 2.58 cm
A'B' = 2.77 cm
B'C' = 2.32 cm
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数学 九年级 上册
20
探索
你能由例1 的结论得到下面的关系式吗？为什么？
（1） AC
2 = AD · AB ； （2） BC
2 = BD · AB ； （3） CD
2 = AD · DB.
例1 已知：如图18 - 29，在 Rt △ ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，请
找出图中的相似三角形，并说明理由.
解：△ ABC∽△ CBD ∽ △ ACD. 理由如下：
∵ ∠ B = ∠ B，∠ CDB = ∠ ACB = 90°，
∴ △ ABC ∽ △ CBD.
同理 △ ABC ∽ △ ACD.
∴ △ ABC ∽ △ CBD ∽ △ ACD.
图18 - 29
A
D
B
C
思考
1. 如果两个三角形有一对角相等，它们一定相似吗？
2. 有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
3. 顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？
已知：如图18 - 28，在△ ABC 和 △ A'B'C' 中，∠ A = ∠ A' ，∠ B = ∠ B'.
求证：△ ABC ∽△ A'B'C' .
证明：在 △ ABC 的边 AB （或 AB 的延长线） 上，截取 AD = A'B'，过点
D 作DE // BC 交 AC （或 AC 的延长线） 于点 E，那么有 △ ADE ∽△ ABC .
∵ ∠ ADE = ∠ B，∠ B = ∠ B'，
∴ ∠ ADE = ∠ B'.
又∵ ∠ A = ∠ A'，AD = A'B'，
∴ △ ADE
△ A'B'C' .
∴ △ ABC ∽△ A'B'C'.
可以得到：
判定定理 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相
等，那么这两个三角形相似（简记为“两角分别相等，两三角形相似”）.
图18 - 28
A
D
E
A'
B'
C'
B
C
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第十八章 相似形
21
例2 已知：如图18 - 30， △ ABC 和 △ DEF 均为等边三角形，点D，E
分别在边AB，BC上. 请找出一个与 △ DBE 相似的三角形，并说明理由.
解：△ ECH 和 △ DBE 相似 . 理由如下：
在 △ DBE 和 △ ECH 中，∠ B = ∠ C = 60°.
∵ ∠ BDE + ∠ BED = 120°，∠ BED + ∠ CEH = 120°，
∴ ∠ BDE = ∠ CEH .
∴ △ DBE ∽△ ECH .
练习
1. 已知：在△ ABC 与 △ A'B'C' 中，∠ B = ∠ B' = 75°，∠ C = 50°，∠ A' = 55°，这
两个三角形相似吗？为什么？
2. 如图，DG // EH // FI // BC，请找出图中所有的相似三角形，并说明理由 .
3. 如图，梯形 ABCD 的两条对角线相交于点 O. 找出图中的相似三角形，并说明
理由 .
4. 已知一个三角形的两个角分别为70° 和65°，请你画一个和这个三角形相似的
三角形.
A
F
D
E
G
H
B
C
图18 - 30
你发现图中有几个
三角形与△ DBE 相似？
B
C
A
D
O
（第3 题）
A
F
D
E
G
H
I
B
C
（第2 题）
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2014.8.11 8:04:08 AM
数学 九年级 上册
22
如图18 - 31，用计算机或图形计算器画△ ABC 与△ A'B'C'，使AB
——
A'B'，
BC
——
B'C' 和 AC
——
A'C' 都等于给定的值 k . 设法比较∠ A 与∠ A'、∠ B 与∠ B'、∠ C
与∠ C' 的大小. △ ABC 与 △ A'B'C'
相似吗？改变 k 值的大小，再试一试.
你能由此得出什么猜想？并证
明你的猜想.
实践
实践
如图18 - 32，用计算机或图形计算器画△ ABC 与△ A'B'C'，使∠ A =
∠ A'，AB
——
A'B' 和 AC
——
A'C' 都等于给定的值 k . 设法比较 ∠ B 与∠ B' 的大小 （或∠ C
与∠ C' 的大小）. △ ABC 与 △ A'B'C'
相似吗？改变 k 值的大小，再试一试.
你能由此得出什么猜想？并证
明你的猜想.
可以得到：
判定定理 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比
例，那么这两个三角形相似（简记为“三边对应成比例，两三角形相似”）.
图18 - 32
AB
——
A'B' = 1.25
AC
——
A'C' = 1.25
∠ CAB = 55.25° ∠ C'A'B' = 55.25°
∠ ACB = 72.53° ∠ A'C'B' = 72.53°
∠ ABC = 52.22° ∠ A'B'C' = 52.22°
A
A'
B'
C'
B
C
图18 - 31
AC
——
A'C' = 1.24
AB
——
A'B' = 1.24
BC
——
B'C' = 1.24
∠ CAB = 59.08° ∠ C'A'B' = 59.08°
∠ ACB = 71.45° ∠ A'C'B' = 71.45°
∠ ABC = 49.47° ∠ A'B'C' = 49.47°
A
A'
B'
C'
B
C
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第十八章 相似形
23
例4 已知 △ ABC，P 是边 AB 上的一点，连接 CP .
（1）当 ∠ ACP 满足什么条件时，△ ACP ∽ △ ABC ？
例3 依据下列各组条件，判定△ ABC 与 △ A'B'C' 是否相似，并说明
理由.
（1） AB = 4 cm，BC = 6 cm，AC = 8 cm ；
A'B' = 12 cm，B'C' = 18 cm，A'C' = 24 cm.
（2） ∠ A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm ；
∠ A' = 120°，A'B' = 3 cm，A'C' = 6 cm.
解：（1） ∵ AB
——
A'B' = 4—
12 = 1—3 ，BC
——
B'C' = 6—
18 = 1—3 ，AC
——
A'C' = 8—
24 = 1—3 ，
∴ AB
——
A'B' = BC
——
B'C' = AC
——
A'C' .
∴ △ ABC ∽△ A'B'C' .
（2） ∵ AB
——
A'B' = 7—3 ，AC
——
A'C' = 14
—6 = 7—3 ，
∴ AB
——
A'B' = AC
——
A'C' .
又 ∵ ∠ A = ∠ A'，
∴ △ ABC ∽△ A'B'C' .
可以得到：
判定定理 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比
例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简记为“两边对应成比例且夹角
相等，两三角形相似”）.
思考
在△ ABC 和 △ A'B'C' 中，∠ A = ∠ A'，AB
——
A'B' = BC
——
B'C'，
△ ABC 和 △ A'B'C' 一定相似吗？
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数学 九年级 上册
24
（2） 当 AC : AP 满足什么条件时，△ ACP ∽ △ ABC ？
分析：从图18 - 33 可以看出，在 △ ACP 与 △ ABC 中，∠ A = ∠ A ，所以
只要使 ∠ ACP = ∠ B，或使 AC : AP = AB : AC，都有 △ ACP ∽ △ ABC .
解：（1）∵ ∠ A = ∠ A ，
∴ 当 ∠ ACP = ∠ B 时，△ ACP ∽ △ ABC .
（2）∵ ∠ A = ∠ A ，
∴ 当 AC : AP = AB : AC 时，△ ACP ∽ △ ABC .
A
P
B
C
图18 - 33
练习
1. 依据下列各组条件，判定△ ABC 与 △ A'B'C' 是否相似，并说明理由：
（1） ∠ A = 45°，AB = 12 cm，AC = 15 cm ；
∠ A' = 45°，A'B' = 16 cm，A'C' = 20 cm .
（2）AB = 12 cm，BC = 15 cm， AC = 24 cm ；
A'B' = 20 cm，B'C' = 25 cm， A'C' = 40 cm .
2. 在 △ ABC 中，∠ A = 47°，AB = 1.5 cm，AC = 2 cm ；
在 △ EFD 中，∠ E = 47°，ED = 2.8 cm，EF = 2.1 cm .
这两个三角形相似吗？为什么？
3. 一个直角三角形两条直角边的长分别为 6 cm，4 cm，另一个直角三角形两条直
角边的长分别为 9 cm，6 cm，这两个直角三角形是否相似？为什么？
4. 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别是 4 m，
5 m，6 m，另一个三角形框架的一边长为 2 m. 怎样选料可使这两个三角形相似？
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第十八章 相似形
25
18.6
相似三角形的性质
两个三角形相似，它们的对应角相等、对应边成比例. 除此以外，我们还
可以得到哪些性质呢？
在图18 - 34 中，△ ABC
和 △ A'B'C' 是两个相似三角
形，相似比为 k . 其中 AD，A'D'
分别为 BC，B'C' 边上的高，
那么 AD 与 A'D' 的比和相似
比 k 有什么关系？
如图18 - 35，有一块三角形的草坪，其中一
边的长是 20 m . 在这个草坪的图纸上，这条边的
长为 5 cm，其他两边的长都为 3.5 cm，你能求出
这块草坪的实际周长与面积吗？
交流
交流
图18 - 34
A
A'
B'
C'
D'
B
D
C
在图18 - 34 中，△ ABD 和 △ A'B'D' 都是直角三角形，且 ∠ B = ∠ B'，因
为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似 . 那么
AD
——
A'D' = AB
——
A'B' = k .
于是得到：
性质定理 相似三角形对应高的比等于相似比 .
图18 - 35
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数学 九年级 上册
26
我们知道，如果说 △ ABC ∽△ A'B'C' 且它们的相似比为 k，那么 AB
——
A'B' =
BC
——
B'C' = CA
——
C'A' = k，进而得到
AB + BC + CA
——————————
A'B' + B'C' + C'A' = k.
想一想，为什么？
如图18 - 36，△ ABC∽△ A'B'C'，分别作它们的对应高AD，A'D'，于是有
AD
——
A'D' = BC
——
B'C'.
那么有 S△ ABC
————
S△ A'B'C' =
1—2 BC · AD
——————
1—2 B'C' · A'D'
= BC
——
B'C' · AD
——
A'D' = （BC
——
B'C'）
2 = k2.
于是得到：
性质定理 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
例
如图18 - 37， △ ABC ∽ △ A'B'C'，它们的周长分别为60 cm 和 72 cm，
且AB = 15 cm，B'C' = 24 cm. 求 BC，AC，A'B'，A'C' 的长.
解：∵ △ ABC ∽ △ A'B'C' ，
∴ AB
——
A'B' = BC
——
B'C' = 60
—
72 = 5—6 .
把AB = 15，B'C' = 24 代入上式，解得
A'B' = 18 （cm）， BC = 20 （cm） .
∴ AC = 60 - 15 - 20 = 25 （cm），
A'C' = 72 - 18 - 24 = 30 （cm） .
图18 - 37
A
A'
B'
C'
B
C
图18 - 36
A
A'
B'
C'
D'
B
C
D
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第十八章 相似形
27
一般地，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 .
如图18 - 38，四边形ABCD 与四边形 A'B'C'D' 相似.
（1） 连接相应的对角线 AC，A'C'，所得的 △ ABC 与 △ A'B'C' 相似吗？
△ ACD 与△ A'C'D' 呢？如果相似，
它们的相似比相等吗？为什么？
（2） 四边形ABCD 与四边形
A'B'C'D' 的周长比、面积比与相似
比有什么关系？
如果两个五边形相似，还有相
同的结论吗？
交流
练习
1. 两个相似三角形对应边的比为 0.4，那么这两个相似
三角形周长的比为_______，面积的比为_______ .
2. 如图，在正方形网格上有△ A1B1C1 和△ A2B2C2，这两个
三角形相似吗？如果相似，求出 △ A1B1C1 和 △ A2B2C2
的面积比 .
3. 两个相似三角形的面积比是 3 : 2，那么它们周长的比
是多少？
B'
图18 - 38
A
A'
C'
D'
B
D
C
探索
两个三角形相似时，它们对应角平分线的比、对应中线的比是否也
等于相似比？
（第2 题）
A1
A2
C2
B2
B1
C1
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2014.8.11 8:04:25 AM
数学 九年级 上册
28
如图18 - 39，为了测算金字塔的高度 OB，先竖一根已知长度的木棍 O'B'，
再测得木棍的影长 A'B' 与金字塔的影长 AB，即可算出金字塔的近似高度 OB.
由于太阳光近似于平行光线，因此∠ OAB = ∠ O'A'B'. 又因为∠ ABO =
∠ A'B'O' = 90°，所以 △ OAB ∽△ O'A'B'， OB : O'B' = AB : A'B' .
如果 O'B' = 1 m， 测得 A'B' = 2 m， AB = 274 m，那么
OB = AB × O'B'
—————
A'B'
= 274 × 1
—————
2
= 137 （m） .
即该金字塔高约为 137 m .
图18 - 39
O
A
B
18.7
应用举例
还记得章前页介绍的古希腊数学家泰勒斯测算金字塔高度的故事
吗？学习相似三角形的有关知识之后，你能够解决这个问题吗？
交流
思考
地质勘探人员为了估算某条河的宽度，
在河对岸选定一个目标点 O，再在他们所
在的这一侧选点 A，B，D，使得 AB ⊥ AO，
DB ⊥ AB， 然后找出 DO 和 AB 的交点 C，如
图18 - 40 所示. 测得 AC = 12 m， BC = 6 m，
DB = 8 m，你能算出这条河的宽 AO 吗？
图18 - 40
A
B
C
D
O
O'
A'
B'
怎样测出AB 的长？
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第十八章 相似形
29
在图18 - 40中，
∵ ∠ OCA = ∠ DCB， ∠ A = ∠ B = 90°，
∴ △ OAC ∽ △ DBC .
∴ OA
——
DB = AC
——
BC .
解得 OA = DB × AC
—————
BC
= 8 × 12
————
6
= 16 （m） .
即这条河的宽 AO 为 16 m .
探索
在物理课中同学们曾学过小孔成像：在较暗的
屋子里，把一支点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料
薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由
于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒
立的像（图18 - 41），这种现象就是小孔成像 .
在图18 - 42 中，如果蜡烛火焰 AB 的高度为
2 cm，倒立的像 A'B' 的高度为 5 cm， 蜡烛火焰根 B
到孔 O 的距离为 4 cm . 试求火焰根的像 B' 到孔 O
的距离，并说明理由.
图18 - 42
A
B
A'
B'
O
图18 - 41
练习
1. 在某一时刻，有人测得一高为1.8 m 的竹竿的影长为 3 m，某一楼的影长为 60 m，
那么楼的高度是多少米？
2. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 5 m 的位置上，其
他条件如图，求球拍击球的高度 h （假设网球的运行路线是直线） .
（第2 题）
h
10 m
0.8 m
5 m
18章P1-36 10-25.indd 29
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数学 九年级 上册
30
基础
1. 选择题：
（1） 给出下列四个判断，其中正确的判断有 （ ） .
① 全等三角形是相似三角形；
② 顶角相等的两个等腰三角形相似；
③ 所有的等边三角形都相似；
④ 所有的直角三角形都相似.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
（2）如图，F 是 △ ABC 的边 AB 上的一点，那么下面四个命题中错误的是 （ ） .
A. 如果∠ AFC = ∠ ACB，那么 △ ACF ∽ △ ABC
B. 如果∠ ACF = ∠ B，那么 △ ACF ∽ △ ABC
C. 如果AC
——
AB = AF
——
AC ，那么 △ ACF ∽ △ ABC
D. 如果AC
——
AF = AB
——
BC ，那么 △ ACF ∽ △ ABC
2. △ ABC 的三边长分别为2
√
，10
√
，2，△ A'B'C' 的三边长分别为 1，5
√
，2
√
，那么
△ ABC 与 △ A'B'C' 是否相似？请说明理由.
3. 如图，在△ ABC 中，D 为 BC 上一点，E 为 AD 上一点，如果 ∠ DAC = ∠ B，CD =
CE，那么 △ ACE 与 △ BAD 是否相似？请说明理由.
4. 如图，在△ ABC 中，如果 DE // BC，AD = 3，AE = 2，BD = 4，求AE
——
AC 的值以及 AC，
EC 的长.
习 题 18 - 2
[ 第1（2）题]
A
B
C
F
综合与实践
测量旗杆的高度
利用相似三角形的有关知识与同学们一起测量自己学校
旗杆的高度，并写出测量报告.
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第十八章 相似形
31
5. 如图，在 △ ABC 和 △ DEF 中，点G，H 分别是边 BC，EF 的中点，已知 AB = 2DE，
AC = 2DF，∠ BAC = ∠ EDF .
（1） △ ABC 与 △ DEF 的面积比是多少？
（2） 中线 AG 与 DH 的比是多少？
6. 如图，△ ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm，要把它加工
成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余的两个顶点分别在边 AB，AC 上，这个
正方形零件的边长是多少？
（第5 题）
D
A
B
C
G
E
F
H
（第6 题）
A
B
D
C
（第3 题）
A
B
C
D
E
（第4 题）
A
B
C
D
E
1. 如图，在△ ABC 中，P 是边 AB 上的一点，连接 CP . 要使 △ ACP ∽ △ ABC，还需要补
充的一个条件是 _____________________ ，或 ____________________ .
2. 如图，Rt △ ABC ∽ Rt △ EFG，EF = 2AB，BD，FH 是它们的中线，△ BDC 与△ FHG
是否相似？ 如果相似，请确定其周长比和面积比 .
提升
（第1 题）
A
B
C
P
（第2 题）
D
A
B
H
C
E
F
G
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2014.8.11 8:04:36 AM
数学 九年级 上册
32
拓展
1. 已知CD 是 Rt △ ABC 斜边 AB 上的高，且 BC = a，CA = b，AB = c，CD = h，AD = q，
DB = p.
（1）如果 c = 29，p = 4，求 h 和 b ；
（2）如果 a = 5，h = 4，求 p 和 q ；
（3）如果 a = 10，p = 6，求 q 和 b ；
（4）如果 p = 4，h = 10，求 a 和 b .
2. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB = 7，AD = 2，BC = 3，如果边 AB 上的点 P 使得以P，
A，D 为顶点的三角形和以 P，B，C 为顶点的三角形相似，求 AP 的长 .
3. 教学楼前边有一棵树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量
树高. 课外活动时他们在阳光下测得一根长为 1 m 的竹竿的影长是 0.9 m，但当他们马
上测量树高时，发现树的影子不全在地面上，有一部分影子落在了教学楼的墙壁上（如
图），经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高 . 他们测得，落在地面上
的影长是 2.7 m，落在墙壁上的影长是 1.2 m . 请你和他们一起算一下树高多少米.
D
A
B
C
（第2 题）
（第3 题）
P
3. 如图，王华晚上由路灯 A 走向路灯 B . 当他走到点 P 时，
发现身后影子的顶部刚好落在路灯 A 的底部；当他再
向前步行 12 m 到达点 Q 时，发现身前自己影子的顶部
刚好落在路灯 B 的底部. 已知王华的身高是1.6 m，两
个路灯的高度都是9.6 m，且 AP = QB .
（1） 求两个路灯之间的距离；
（2） 当王华走到路灯 B 时，他在路灯 A 下的影长是多少？
（第3 题）
A
P
Q
B
18章P1-36 10-25.indd 32
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第十八章 相似形
33
1. 成比例线段.
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的
比，那么这四条线段叫做成比例线段.
2. 比例的基本性质.
（1）如果a—b = c—d ，那么 ad = bc ；
（2）如果 ad = bc，且 bd ≠ 0，那么a—b = c—d .
3. 平行线分线段成比例.
（1） 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段成比例.
（2） 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对
应线段成比例.
4. 相似三角形.
（1） 定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相
似三角形 .
（2） 判定：
① 两角分别相等，两三角形相似 ；
② 三边对应成比例，两三角形相似 ；
③ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 .
（3） 性质：
① 对应高及周长的比都等于相似比 ；
② 面积比等于相似比的平方 .
知识
要点
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
1. 比例线段的知识是研究相似形的基础.
两个相似形的大小关系主要是通过对应线段的比来反映的. 因
此，不仅要掌握比例线段的知识，包括比例的性质、平行线分三
角形两边成比例的性质，而且要理解这些知识所蕴含的数学方法，
这些都是研究相似形的重要基础.
学习
指导
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数学 九年级 上册
34
D
A
B
C
（第2 题）
O
复 习 题
基础
2. 要认识三角形相似与全等的区别与联系.
全等三角形是相似比为 1 的特殊的相似三角形. 判定两个三
角形全等需要三个条件（其中至少有一个条件是一对边相等），而
判定两个三角形相似需要两个条件. 两个全等三角形的对应线段
相等，而两个相似三角形的对应线段成比例. 在学习时可用类比
的方法去认识相似和全等的关系，弄清二者的区别和联系 .
3. 要注意相似三角形的知识在实际中的应用.
相似三角形的知识在实际中应用很广，能直接应用相似三角
形的判定和性质解决实际问题的例子很多，要注意联系实际， 不断
提高运用数学知识解决实际问题的意识和能力.
学习
指导
1. 如图，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距墙 80 cm，梯上点 D 距墙 70 cm，BD 长
55 cm，求梯子的长.
2. 已知，如图，AC ⊥ AB，BD ⊥ AB，AO = 78 cm，BO = 42 cm，CD = 159 cm，求 CO
和 DO 的长 .
3. 已知：在 △ ABC 中， DE // BC 交 AB，AC 于点 D，E. 如果 AD = 3，AE = 2，EC = 4，
DE = 2.5，求 DB，BC 的长.
4. 已知：如图，在 △ ABC 中， DE // BC ，AD = 3BD，S △ ABC = 48，求 S △ ADE .
D
A
B
（第1 题）
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2014.8.11 8:04:45 AM
第十八章 相似形
35
5. 如图，AB，CD 相交于点 O，且 AC // BD，那么 OA · OD = OC · OB 成立吗？为什么？
提升
1. 如图，已知 ∠ 1 = ∠ 2，如果再增加一个条件就能使结论 AB · DE = AD · BC 成立，那么
这个条件可以是 _____________________ .
2. 如图，E 为平行四边形 ABCD 的边 AD 延长线上的一点，且 D 为 AE 的黄金分割点，即
AD = 5
√ - 1
———
2
AE， BE 交 DC 于点 F . 已知 AB = 5
√ - 1，求 CF 的长.
3. 三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》， 专论测算望远， 其中有一题是数学史上有名的测量问
题. 今译如下：
如图，要测量海岛上一座山峰 A 的高度
AH，立两根高三丈的标杆 BC 和 DE，两
杆相距 BD = 1 000 步，D，B，H 成一线，
从 B 退行 123 步到 F，从 F 观察 A ：A，C，
F 三点共线；从 D 退行 127 步到 G，从G
观察 A ： A，E，G 三点也共线. 试算出山
峰的高度 AH 及HB 的长度. ①
（第5 题）
D
A
C
B
O
D
A
E
B
C
（第4 题）
（第2 题）
D
A
E
B
C
F
（第1 题）
D
A
E
1
2
B
C
A
H
（第3 题）
D
E
G
B
C
F
①
题中的“丈”与“步”均为古代的长度计量单位. 古制1丈 = 10尺，1步 = 6尺；今1 尺 = 1—3 米 .
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数学 九年级 上册
36
拓展
AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜边，如果点 M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上，沿直线 MN
将 △ MCN 翻折，使点 C 落在 AB 边上，记为点 P .
（1） 如图 （1），当点 P 是 AB 的中点时，求证：PA
——
PB = CM
——
CN .
（2） 如图 （2），当点 P 不是 AB 的中点时，结论PA
——
PB = CM
——
CN 是否成立？若成立，请给出
证明 .
4. 如图，在 △ OAB 中，∠ B = 90°， 点 A 的坐标为（10，0），AB = 8， 求点B 的坐标及直线
AB 的函数表达式.
（第4 题）
A
y
x
B
O
（1）
（2）
M
M
N
N
P
P
A
B
B
C
C
A
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第十九章
二次函数和反比例函数
我们已经知道，很多曲线都可以看做是由点的运
动形成的. 你知道投掷出去的铅球、飞溅的水珠、射出
的炮弹……它们画出的是怎样的曲线吗？你知道热电
厂冷却塔的外轮廓线又是由怎样的曲线组成的吗？它
们可以分别看做是哪些函数的图象？
事实上，上面这些曲线可以看做是二次函数或反
比例函数的图象.
在本章，我们将学习二次函数和反比例函数的知
识，并学会运用这些知识解决实际生活中的一些简单
问题.
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数学 九年级 上册
38
实践
19.1
二次函数
1. 列出下列函数的表达式：
（1） 圆的面积A 是它的半径r 的函数；
（2） 如图19 - 1，利用成直角的墙角，用20 m 长的栅栏围成一个矩形
的小花园，花园的面积S （m
2） 是它一边长a （m） 的函数；
（3） 如图19 - 2，正方形中圆的半径是4 cm，红色部分的面积Q （cm
2）
是正方形的边长x （cm） 的函数；
（4） 某种药品现价每盒26 元，计划两年内每年的降价率都为p，那么，
两年后这种药品每盒的价格M （元）是年降价率p 的函数.
2. 观察所列出的表达式，它们有什么共同的特点？这些表达式可以用
怎样的式子来概括？
图19 - 1
图19 - 2
S
a
x
4
Q
根据所给的条件，上述四个函数的表达式分别为：
A = πr2， S = a （20 - a）， Q = x2 - 16π， M = 26 （1 - p） 2 .
由于我们通常用x 表示自变量，y 表示因变量，所以，经过整理，这些函数
19章P37-74.indd 38
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第十九章 二次函数和反比例函数
39
的表达式可以分别写为：
y = πx2， y = - x2 + 20x， y = x2 - 16p， y = 26x2 - 52x + 26 .
不难发现，它们的表达式都可以表示为 y = ax2 + bx + c 的形式.
一般地，我们把形如 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0） 的函数
叫做二次函数，其中a，b 分别是二次项、一次项的系数，
c 是常数项.
为什么要有
a ≠ 0 的规定？
例
已知：如图19 - 3，一个边长为8 cm 的正方形，把它的边长延长
x cm 后得到一个新的正方形. 那么，周长增大的部分y1 （cm）和面积增大的部
分y2 （cm
2） 分别是x （cm） 的函数. 求出这两个函数的表达式，并判定它们的类
型；如果是二次函数，写出表达式中a，b，c 的值.
分析：周长增大的部分y1 和面积增大的部分y2，分别是两个正方形周长的
差和面积的差.
解：根据题意，得
y1 = 4 （x + 8） - 4 × 8 .
整理，得
y1 = 4x.
它是形如 y = kx （k ≠ 0）的函数，所以它是正比例函数.
根据题意，得
y2 = （x + 8） 2 - 82 .
整理，得
y2 = x2 + 16x .
它是形如 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0） 的函数，所以它是二次函数. 其中a = 1，
b = 16，c = 0 .
练习
1. 下面各函数中，哪些是二次函数 （口答） ？写出每个二次函数中a，b，c 的值.
（1） y = 2x2 - 3x ；
（2） y = 2x -3 ；
（3） y = - x2 + 5 ；
（4） y = 2x - 3x2 + 5 ；
（5） y = 4—3 x2 ；
（6） y = 2x （x2 - x +1） .
图19 - 3
8
x
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数学 九年级 上册
40
2. 写出下列各函数的表达式，指出它是什么函数，并确定函
数的自变量的取值范围.
（1） 矩形的周长为20 cm，它的面积S （cm
2） 是它的一边长
a （cm） 的函数.
（2） 如图，最下面是一个长方形，上面是10 个小正方形.
如果长方形的长为4 cm，宽为小正方形边长的一半，
那么这个图形的总面积S （cm
2） 是每个小正方形的边长x （cm）的函数.
19.2
二次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0） 的图象
我们首先研究最简单的二次函数 y = x2 的图象.
1. 分析函数 y = x2 的表达式，回答下列问题：
（1） 它的图象是否通过原点？为什么？
（2） 它的图象分布在哪几个象限，为什么？
（3） 它的图象是轴对称图形吗？为什么？如果是，它的对称轴是什么？
2. 根据以上的分析，描述一下 y = x2 的图象在平面直角坐标系中的位
置和大致形状.
交流
根据函数y = x2 的自变量的取值范围和自变量与因变量对应关系的特点，可
以估计出它的图象是通过原点，分布在第一、第二象限，并且是以y 轴为对称轴
的一条曲线.
下面，我们画出函数y = x2 的图象.
列表：
x
…
- 2
- 1
- 1—2
0
1—2
1
2
…
y
…
4
1
1—4
0
1—4
1
4
…
[ 第2 （2）题]
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第十九章 二次函数和反比例函数
41
…
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
…
描点，并按从左到右的顺序用平滑曲线将这些点
连接起来，就得到二次函数 y = x2 的图象，如图19 - 4 .
由此可知，二次函数y = x2 的图象是通过原点，
分布在第一、第二象限，且以y轴为对称轴的一条曲线，
我们称这条曲线为抛物线. 它与对称轴的交点叫做抛
物线的顶点.
我们先来研究当a ≠ 1 时，二次函数y = ax2 （a ≠ 0）
的图象和二次函数y = x2 的图象之间有怎样的关系.
例1 在同一坐标系中，作出下列函数的图象：
（1） y = - x2 ；
（2） y = 3—2 x2 ；
（3） y = - 2x2 .
解：列表 （请补充完整）：
x
y = - x2
y = 3—2 x2
y = - 2x2
描点，连线，得到这些二次函数的图象，
如图19 - 5 所示.
- 3
图19 - 4
O
x
y
- 2 - 1
1
1
2
3
4
5
2
3
y = - x2
y = - 2x2
图19 - 5
y = 3—2
x2
- 3
O
x
y
- 2
- 4
18
12
6
- 6
- 12
- 18
2
3 4
1. 在函数 y = ax2 （a ≠ 0）中，当a
取不同的值时，请你画出它的示意图.
这些曲线有什么共同的特征？
2. 利用计算机或图形计算器，连续
改变函数 y = ax2 （a ≠ 0） 中a 的值，观
察二次函数 y = ax2 的图象与y = x2 的图
象之间有怎样的关系 （图19 - 6） .
交流
图19 - 6
y = ax2
O
a = 1.74
y
x
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数学 九年级 上册
42
由此可知： a 取不同的值时，二次函数 y = ax2 （a ≠ 0）的图象都是通过原点，
以y 轴为对称轴的抛物线，并且和抛物线 y = x2 比较，当a 取不同的值时，能
引起抛物线开口方向的改变：
当a > 0 时，抛物线的开口向上；当a < 0 时，抛物线的开口向下.
练习
1. 分别在同一坐标系内作出下列函数的图象.
（1） y = 1—2 x2，y = - 1—2 x2 ；
（2） y = 3x2， y = - 2x2，y = 1—3 x2 .
2. 指出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
（1） y = 5—
3 x2 ；
（2） y = - 5x2 ；
（3） y = - 2—
5 x2 .
我们再来研究当c 取不同的值时，二次函数 y = ax2 + c （a ≠ 0） 的图象和二
次函数y = ax2 的图象之间有怎样的关系.
实践
1. 在同一坐标系中，作出下列函数的图象，并观察c 取不同的值时，
二次函数y = ax2 + c （a ≠ 0）的图象和y = ax2 的图象有怎样的关系：
（1） y = - 2x2 ；
（2） y = - 2x2 + 3 ；
（3） y = - 2x2 - 3 .
2. 利用计算机或图形计算器，连续改变c 的值，观察二次函数 y = ax2 +
c （a ≠ 0） 和y = ax2 的图象之间有怎样的关系，并概括出你的结论.
通过观察可知，函数 y = - 2x2 + 3 的图象可以看做是把函数 y = - 2x2 的图
象向上平移3 个单位而得到的，而函数 y = - 2x2 - 3 的图象可以看做是把函数
y = - 2x2 的图象向下平移3 个单位而得到的，如图19 - 7 所示.
一般地，二次函数 y = ax2 + c （a ≠ 0）的图象可以看做是由二次函数 y = ax2
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第十九章 二次函数和反比例函数
43
练习
1. 在同一坐标系中作出二次函数y = 1—2 x2 - 2 和y = 1—2 x2 + 5 的图象，并指出它们
和函数y = 1—2 x2 的图象有怎样的位置关系.
2. 在同一坐标系中，作出下列两个函数的图象，并指出它们的图象和y = - 3x2 的
图象之间有怎样的关系.
（1） y = - 3x2 + 7 ；
（2） y = - 3x2 - 7.
图19 - 7
O
y
x
1
- 3
3
- 1
的图象向上或向下平移而得到的，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是 （0，c），如
图19 - 8 所示.
我们再来研究二次函数y = （x - h） 2 在h 取不同的值时的图象和二次函数
y = x2 的图象之间有怎样的关系.
实践
1. 在同一坐标系中，作出二次函数y = （x + 2） 2 和y = （x - 2） 2 的图象，
比较它们和二次函数y = x2 的图象之间有怎样的关系.
2. 当h 取不同数值时，观察函数 y = （x - h） 2 的图象与函数 y = x 2 的图
象之间有怎样的关系，概括出你的结论.
图19 - 8
a = 2.00
c = - 3.00
O
y = ax2 + c
y
x
y = ax2
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数学 九年级 上册
44
观察图19 - 9 可知，二次函数 y =
（x - 2） 2 的图象可以看做是把二次函数
y = x 2 的图象向右平移2 个单位而得到
的；y = （x + 2） 2 的图象可以看做是把
二次函数 y = x2 的图象向左平移2 个单
位而得到的.
一般地，二次函数y = a （x - h） 2
在 h 取不同的值时，它的图象可以看
做是由函数y = ax2 的图象向左或向右作平移而得到的，它的对称轴是x = h，顶
点坐标是 （h，0）.
我们再来研究y = a （x - h） 2 + k 在h 和k 取不同的值时的图象和y = ax2 的
图象有怎样的关系.
实践
1. 二次函数 y = 2 （x - 3） 2 + 5 和y = 2 （x - 3） 2 - 5 的图象与二次函数
y = 2 （x - 3） 2 的图象之间有怎样的关系？
2. 二次函数 y = 2 （x - 3） 2 + 5 和y = 2 （x + 3） 2 - 5 的图象与二次函数
y = 2x2 的图象之间又有怎样的关系？
图19 - 9
y = x2
y = （x + 2） 2
O
y = （x - 2） 2
y
x
练习
1. 在同一坐标系中，作出下列二次函数的图象.
（1） y = 2 （x + 3） 2 ；
（2） y = 2x2 ；
（3） y = 2 （x - 3） 2.
2. 写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1） y = - 1—2 （x - 5） 2 ；
（2） y = 3 （x - 4） 2 ；
（3） y = 5 （x + 3—4 ）
2
.
19章P37-74.indd 44
2014.8.11 8:07:31 AM
第十九章 二次函数和反比例函数
45
可以看到，二次函数y = 2 （x - 3） 2 + 5
的图象可以看做是由二次函数y = 2x2
的图象经过向右平移3 个单位，再向
上平移5 个单位而得到的一条抛物线；
二次函数y = 2
（x + 3） 2 - 5 的图象是由
二次函数y = 2x2 的图象经过向左平移
3 个单位，再向下平移5 个单位而得到
的一条抛物线.
如图19 - 10，通过计算机或图形
计算器可以看到：
一般地，二次函数y = a （x - h） 2 + k 的图象可以看做是由函数y = ax2 的图
象经过向左（或右）、向上（或下）平移而得到的一条抛物线，它有如下的特点：
1. 当a > 0 时，抛物线的开口向上；当a < 0 时，抛物线的开口向下.
2. 抛物线的对称轴是x = h，顶点的坐标是 （h，k） .
例2 已知二次函数y = - 1—2 （x - 1） 2 + 8 .
（1） 指出它的图象可以看做是函数y = - 1—2 x2 的图象经过怎样的变换而得
到的；
（2） 指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3） 求出图象与坐标轴的交点坐标，并画出它的示意图.
解：（1） 它可以看做是y = - 1—2 x2 的图象向右平移1 个单位，再向上平移
8 个单位而得到的.
（2） 抛物线的开口向下，对称轴为x = 1，顶点坐标为 （1，8） .
（3） 在y = - 1—2 （x - 1） 2 + 8 中，令y = 0，得
- 1—2 （x - 1） 2 + 8 = 0 .
解得 x1 = - 3， x2 = 5 .
所以，抛物线与x 轴的交点有两个，它们的坐标分别为 （- 3， 0）和（5，0）.
a = 0.50
h = 3.00
k = - 2.00
y
x
O
图19 - 10
y = a （x - h） 2 + k
y = a x2
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17-3-20 下午3:50
数学 九年级 上册
46
下面，我们来研究二次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）图象的对称轴和顶点坐
标的计算公式.
思考
怎样求出二次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）图象的顶点坐标和
对称轴？以二次函数y = x2 - 4x + 6 为例，请你试一试.
事实上，只需把二次函数的表达式
y = x2 - 4x + 6
化为y = a （x - h） 2 + k 的形式，就可以回答这些问题.
我们作它的配方变形，得
y = （x - 2） 2 + 2 .
于是可知，二次函数y = x2 - 4x + 6 的图象的对称轴是x = 2，顶点坐标
图19 - 11
O
y
x
1
5
8
- 3
练习
1. 指出二次函数y = - 2 （x - 3） 2 + 1 和y = - 2 （x + 3） 2 - 1 的图象之间有怎样的关
系，画出示意图.
2. 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（1） y = - 3 （x - 2—3 ）
2
+ 2 ；
（2） y = 3
√ （x + 3） 2 - 5 ；
（3） y = - 2 （x - 5
√） 2 - 4 .
在y = - 1—2 （x - 1） 2 + 8 中，令x = 0，得
y = - 1—2 （0 - 1） 2 + 8 = 15
—2 .
所以，抛物线与y 轴交点的坐标为 （0，15
—2 ），
如图19 - 11 所示.
19章P37-74.indd 46
2014.8.11 8:07:38 AM
第十九章 二次函数和反比例函数
47
由配方，得
y = a （x2 + b—a x ） + c
= a [ x2 + b—a x + （b—
2a ）
2 ] + c - a （b—
2a ）
2.
即
y = a （x + b—
2a）
2 + 4ac - b
2
————
4a
.
得到二次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）图象的对称轴和顶点坐标.
对称轴： x = - b—
2a .
顶点坐标： （- b—
2a，4ac - b
2
————
4a
）.
x = 2
图19 - 12
O
x
y
- 2
- 1
- 1
6
5
4
3
2
1
1
3
（2， 2）
2
是（2，2） . 它的图象如图19 - 12 所示.
一般地，通过配方把二次函数的表达式
y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）变形为
y = a （x - h） 2 + k
的形式，就能得到它的图象的对称轴和顶点坐
标，也可以运用这个方法推导出求对称轴和顶
点坐标的计算公式.
由于二次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）的图象是抛物线，通常把“二次函数
y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）”称为“抛物线y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）”.
例3 已知：抛物线y = - 3x2 + 12x - 8 .（1） 求出它的对称轴和顶点坐标；
（2） 求出图象与坐标轴的交点坐标，并画出示意图.
解：（1） 因为y = - 3x2 + 12x - 8
= - 3 （x2 - 4x） - 8
= - 3 （x2 - 4x + 4） - 8 + 12
= - 3 （x - 2） 2 + 4 .
所以，抛物线y = - 3x2 + 12x - 8 的对称轴为x = 2，顶点坐标为（2，4） .
（2） 在y = - 3x2 + 12x - 8 中，令y = 0，得
x1 = 6 - 2 3
√
———
3
，x2 = 6 + 2 3
√
———
3
.
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2014.8.11 8:07:41 AM
数学 九年级 上册
48
练习
1. 已知抛物线y = 2x 2 - 4x + 5，利用配方法求出它的对称轴和顶点坐标.
2. 已知抛物线y = - 1—4 x 2 + 1—2 x + 2 .
（1） 求出它的对称轴和顶点坐标；
（2） 求它与y 轴的交点C 的坐标，以及与x 轴的交点A 和B 的坐标.
在解决有关二次函数的问题时，往往要先确定二次函数的表达式. 确定二
次函数的表达式的关键就是确定表达式中a，b，c 的值.
例4 已知二次函数y = - 1—
2 x2 + bx + c的图象经过（2， 8）和（4， 10）两点，
求这个二次函数的表达式.
解：由二次函数的图象经过（2，8）和（4，10）两点，得
（ - 1—2 ）
× 4 + 2b +c = 8，
（ - 1—2 ）
× 16 + 4b +c = 10 .
解这个方程组，得
b = 4，
c = 2 .
因此，二次函数的表达式为y = - 1—2 x2
+ 4x + 2 .
{
{
所以抛物线与x 轴的交点有两个，它们的坐标
分别为 （6 - 2 3
√
———
3
，0），（6 + 2 3
√
———
3
，0） .
在y = - 3x2 + 12x - 8 中，令x = 0，得
y = - 8 .
所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0，- 8） .
它的示意图如图19 - 13 所示.
图19 - 13
x
y
（0，- 8）
O
x = 2
（2，4）
4
3
2
1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 1
1
2
3
4
19章P37-74.indd 48
2014.8.11 8:07:44 AM
第十九章 二次函数和反比例函数
49
练习
1. 分别根据下列条件，求二次函数y = - 2x2 + bx + c 的表达式.
（1） 图象通过 （- 1， - 8），（3，0） 两点；
（2） 图象的顶点坐标为（2， - 3） .
2. 二次函数y = ax2 + bx + c 图象上部分点的横坐标x、纵坐标y 的对应值如下表：
求这个二次函数的表达式.
3. 已知二次函数y = ax2 + bx + c 过 （1，0），（2，9），（- 1，- 6）三点，求这个二次
函数的表达式.
x
…
- 3
- 2
- 1
0
1
…
y
…
- 6
0
4
6
6
…
抛物线和最速降线
我们已经知道，二次函数y = ax
2 + bx + c （a ≠ 0）的图象是一条
抛物线.
通常，我们把一个点在运动的过程中所留下的“痕迹”叫做这
个动点的轨迹. 实际上还可以把动点的轨迹看做是满足某种条件的所
有的点组成的图形. 例如，我们可以把线段的垂直平分线看做是一个
动点按照“到线段两端距离相等”的规律运动时留下的“痕迹”，也
可以看做是“到线段两端距离相等”的所有的点组成的图形. 所以我
们可以说“线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹”. 请
你想一想，角平分线可以看做是满足什么条件的点的轨迹.
思考
当二次函数y = ax2 + bx + c 的图象通过 （2，8），（4，10），
（- 2，- 8）三点时，你如何求这个二次函数的表达式？
阅读理解
19章P37-74.indd 49
2014.8.11 8:07:49 AM
数学 九年级 上册
50
实际上，炮弹沿着和水
平方向成一定角度的方向被
射出时，在不计空气阻力的
情况下其运动形成的轨迹就
是抛物线（图19 - 14） .
学习了物理学以后我们将知道，当抛出去的物体的运动方向和
水平方向成30o、抛出初速度的大小是60 m/s 时，它的飞行高度h 就
是抛出去后的飞行时间t 的二次函数，它的表达式是
h = 30t - 4.9t
2，
因此，我们把二次函数的图象叫做抛物线.
你能利用这个表达式求出一枚炮弹飞行的最高高度和它着地时
距离原抛出点有多远吗？
在数学的发展史上，像这样既有形状美又有实际背景的美丽曲
线还有很多很多！
例如，滑雪运动员在高处沿怎样的曲线滑下来所用的时间最短？
建造什么形状的滑梯，才能让儿童从滑梯上滑下来所用的时间最短？
这就是17 世纪瑞士数学家约翰· 贝努利（1667—1748）于1696 年向
当时的数学家们提出的一个至今仍脍炙人口的“最速降线”问题.
如图19 - 15，A 和B 是
不在同一铅垂线上的两个点，
点A 高于点B，动点P 在自
身的重力作用下，从点A 开始，
用最短的时间从A 滑行到B，
它滑行的轨迹是什么曲线？
问题提出不到半年，伟大的英国物理学家牛顿（1642—1727）
就找到了问题的解法，得到了问题的答案. 奇妙的是，原来这条曲线
就是车轮在平地上滚动时，车轮上的一个点的运动轨迹，这个轨迹
叫旋轮线. 旋轮线就是最速降线（图19 - 16） .
图19 - 14
O
s
t
图19 - 15
A
P
B
19章P37-74.indd 50
2014.8.11 8:07:52 AM
第十九章 二次函数和反比例函数
51
最速降线有着广泛的应用. 某些古建筑屋顶上的琉璃瓦、办公
楼的屋顶，都采用了最速降线的形状，它不仅使建筑充满一种和谐
雄伟的壮美感，而且可以使雨水在屋顶上停留的时间最短，因而减
小酸雨对屋顶的侵蚀，起到了保护建筑的作用.
B
A
O
M
图19 - 16
基础
1. 根据下面的条件列出函数表达式，并判断列出的函数是否为二次函数：
（1） 如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p 是较大的数m 的函数；
（2） 在一个半径为10 cm 的圆上，挖掉4 个大小相同的正方形孔，剩余的面积S（cm
2）
是方孔边长x （cm） 的函数；
（3） 有一块长为60 m、宽为40 m 的矩形绿化用地，计划在它的四周相同的宽度内种植
阔叶草，中间种植郁金香，那么郁金香的种植面积S （m
2） 是草坪宽度a （m） 的函数.
2. 在同一坐标系中，画出下列每组函数图象的示意图，并指出前一个函数的图象经过怎
样的变换就可以和后一个函数的图象重合：
（1） y = 3x2 和y = - 3x2 ；
（2） y = - 1—2 x 2 + 3 和y = - 1—2 x 2 - 2 ；
（3） y = - 2 （x - 3） 2 和 y = - 2 （x - 5） 2 .
3. 作出函数 y = - 1—2 （x - 4） 2 + 3 的图象.
4. 写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，并画出它们的示意图.
（1） y = - 2x2 + 1 ；
（2） y = 1—2
（x + 5） 2 ；
（3） y = - 1—2
（x + 3） 2 - 7 ；
（4） y = 5 （x - 3） 2 + 1 ；
（5） y = - 2 （x + 1） 2 - 3 ；
（6） y = 2—3
（x - 5） 2 - 2 .
习 题 19 - 1
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2014.8.11 8:07:54 AM
数学 九年级 上册
52
1. 根据下列条件，求二次函数的表达式.
（1） 图象通过点（6，0），顶点坐标为（4，- 8）；
（2） 图象通过点（- 1，- 7），对称轴为直线x = 2，与x 轴相交的两点之间的距离为
2 2
√
.
2. （1） 二次函数 y = - 1—3
（x + 3） 2 的图象经过怎样的变换，可以得到函数 y = 1—3
（x - 3） 2 的
图象？
（2） 把抛物线 y = - 3x 2 向右平移4 个单位，再以x 轴为折痕翻折，可以得到新的抛物线，
写出它的表达式.
（3） 函数 y = - 1—2 x 2 的图象经过怎样的变换，就能得到函数 y = - 1—2（x - 3） 2 + 2的图象？
3. 抛物线y = ax2 + bx + c 的开口向下，和x 轴交于A，B 两点，并且对称轴为x = - 1 . 菱
形ACBD 中的点C 是抛物线的顶点，如果菱形的对角线的长分别是AB = 6 和CD = 8，
求这个二次函数的表达式.
提升
拓展
已知函数 y = - 1—2
（x - 4） 2 + 3 .
（1） 函数y1 的图象和已知函数的图象关于y 轴成轴对称，求出y1 的表达式.
（2） 函数y2 的图象和已知函数的图象关于原点成中心对称，求出y2 的表达式.
（3） 函数y1 和y2 的图象有怎样的位置关系？证明你的结论.
5. 利用配方法求出下列抛物线的顶点坐标和对称轴.
（1） y = 2x2 - 4x - 1 ；
（2） y = -x 2 - 3x + 5 ；
（3） y = - 1—2 x2 + 4x - 5 .
6. 把下列二次函数的表达式化成y = a （x - h） 2 + k 的形式，指出其图象的开口方向、对称
轴和顶点坐标，并画出示意图.
（1） y = - x2 + 4x + 1 ；
（2） y = 1—2 x 2 + x - 3—2
.
19章P37-74.indd 52
2014.8.11 8:07:57 AM
第十九章 二次函数和反比例函数
53
19.3
二次函数的性质
20.3
我们来考察在二次函数中，随着自变量的变化，它的函数值是怎样变化的，
并总结出这种变化的规律.
实践
画出二次函数y = x2 - 6x + 2 的图象，观察图象回答：
（1） 当自变量x 从小变大时，函数值y 也总是由小变大吗？如果不是，
自变量x 在什么范围内变化时，函数值随自变量的增大而增大？自变量x
在什么范围内变化时，函数值随自变量的增大而减小？
（2） 这个函数有一个最大的或最小的值吗？如果有，在什么时候取得
这个值？
这个函数的图象是对称轴为x = 3、顶点
坐标为 （3，- 7） 的抛物线，如图19 - 17 所示.
观察图象可知：
（1） 当x > 3 时，函数值y 随自变量x 的
增大而增大；
（2） 当x < 3 时，函数值y 随自变量x 的
增大而减小；
（3） 当x = 3 时，函数有最小值，函数的
最小值为- 7 .
图19 - 17
y
x
3
2
1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
O
- 2 - 1
1
2
3
4
5
6
（3， - 7）
观察二次函数y = ax2 + bx + c 在什么条件下有最大值或最小值？最
大值或最小值是多少？在什么时候取得最大值或最小值？
交流
19章P37-74.indd 53
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数学 九年级 上册
54
一般地，二次函数y = ax2 + bx + c 的图象的开口方向是由a 的符号决定的，
当a > 0 或a < 0 时其图象如图19 - 18 所示.
观察抛物线的开口方向和函数值的变化趋势，请你归纳出二次函数的性质，
并填写在下表中：
y 随x 的增大而减小时
x 的取值范围
y 随x 的增大而增大时
x 的取值范围
y 取得最大值或最小值
时x 的值
a > 0
a < 0
例
已知二次函数 y = - 1—2 x 2 + x + 5—2 .
（1） 当自变量x 在什么范围内取值时，y 随x 的增大而增大？x 在什么范围
内取值时，y 随x 的增大而减小？
（2） 这个二次函数有最大值还是最小值？如果有，当x 为何值时，函数取
得最大值或最小值？并求出最大值或最小值.
解： （1） 因为 y = - 1—2 x 2 + x + 5—2
= - 1—2
（x 2 - 2x） + 5—2
= - 1—2
（x 2 - 2x + 1） + 5—2 + 1—2
= - 1—2
（x - 1） 2 + 3 .
所以图象的顶点坐标为 （1，3） .
图19 - 18
（1）
（2）
O
x
y
（a < 0）
O
x
y
（a > 0）
19章P37-74.indd 54
2014.8.11 8:08:03 AM
第十九章 二次函数和反比例函数
55
因为抛物线的开口向下，所以当x < 1 时，y 随x 的增大而增大；当x > 1 时，
y 随x 的增大而减小.
（2） 因为抛物线的开口向下，顶点坐标为 （1，3），所以当x = 1 时，这个
二次函数有最大值3 .
练习
y = 2x2 y = 1—2
（x - 3） 2 y = - 2 （x + 1） 2 + 3 y = -2x 2 + 4x - 5
y 随x 的增大而增
大时x 的取值范围
y 随x 的增大而减
小时x 的取值范围
1. 填表：
2. 判断下列二次函数何时取得最大 （或最小）值，并求出这个值.
（1） y = - 2x2 + 3 ；
（2） y = 1—3
（x + 2） 2 ；
（3） y = - 2 （x + 5） 2 - 3 ；
（4） y = - 2x2 - 8 x + 3 .
19.4
二次函数的应用
思考
如果二次函数y = ax2 + bx + c 的图象和x 轴的交点坐标分别为
（x1，0），（x2，0），那么x1 和x2 的值有什么特殊的意义？这种特殊
意义可以有怎样的应用？
不难看出，抛物线y = ax2 + bx + c 与x 轴交点的横坐标是使二次函
数y = ax2 + bx + c 的值为零时自变量x 的值. 也就是说，二次函数
y = ax2 + bx + c
19章P37-74.indd 55
2014.8.11 8:08:05 AM
数学 九年级 上册
56
例1 利用函数图象求一元二次方程 1—2 x2 - 2x - 2 = 0 的近似解 （精确到0.1） .
解：设有二次函数y = 1—2 x2 - 2x - 2，列表并作出它的图象 （图19 - 19） .
的图象和x 轴交点的横坐标就是一元二次方程
ax2 + bx + c = 0
的解.
这一事实说明，我们可以利用二次函数y = ax2 + bx + c 的图象来求一元二
次方程ax2 + bx + c = 0 的近似解 .
x
…
- 1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
1—2
- 2
- 7—2
- 4
- 7—2
- 2
1—2
…
观察抛物线和x 轴交点的位置，估计出交点的横坐标分别约为- 0.8 和4.8，
所以得出方程精确到0.1 的近似解为
x1 - 0.8， x2 4.8 .
利用二次函数y = ax2 + bx + c 的图象求出一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的
解的方法称为图象法，这种方法常用来求方程的近似解.
很多生活中的实际问题，都可以运用求二次函数的值来解决.
例2 某超市按每袋20 元的价格购进某种干果. 在销售过程中发现，该种
干果每天的销售量w （袋） 与销售单价x （元）满足w = - 2x + 80 （20 x 40）.
如果销售这种干果每天的利润为y （元），那么销售单价定为多少元时，每天的
利润最大？最大利润是多少？
图19 - 19
O
x
y
- 2
- 3
- 4
- 1
4
4
3
2
1
- 1
- 2
- 3
- 4
1
2
3
4
5
5
- 1 - 0.82
0
4.82
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2014.8.11 8:08:08 AM
第十九章 二次函数和反比例函数
57
解：y = w （x - 20）
= （- 2x + 80） （ x - 20）
= - 2x2 +120x - 1 600
= - 2 （x - 30） 2 + 200 .
因为20 x 40，且a = - 2 < 0，
所以当x = 30 时，y 最大值 = 200 .
答：当干果销售单价定为每袋30 元时，销售这种干果每天的利润最大，
最大利润为200 元.
例3 图19 - 20 是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN 是一条抛物线的
一部分. 经测量，隧道顶的跨度MN 为4 m，最高处到地面的距离CO 为4 m，
两侧墙高AM 和BN 均为3 m . 今有宽为2.4 m 的卡车在隧道中间行驶，如果卡
车载物后最高点E 到隧道顶面对应的点D 的距离应在0.6 m 左右，那么，卡车
载物后限高应是多少米？
解：建立平面直角坐标系，如图19 - 20 .
于是抛物线的表达式可以设为
y = ax2 + c .
根据题意，得出M，N，C 三点的坐标分别为
M （- 2，3），N （2，3），C （0，4），点F 的坐标为
F（1.2，0） . 由于点 N，C 在抛物线上，所以有
4a + c = 3，
a × 0 + c = 4 .
解得
a = - 1—4 ，
c = 4 .
所以，它的表达式为
y = - 1—4 x2 + 4 .
当点F 的横坐标x = 1.2 时，设抛物线上和它对应的点D 的纵坐标为yD，
所以有
yD = - 1—4 x2 + 4
= - 1—4 × 1.44 + 4
= 3.64 （m） .
怎样建立平面直角坐标
系可以使问题的解法简化？
图19 - 20
D
F
E
N
M
B
x
C
y
O
A
｛
｛
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数学 九年级 上册
58
练习
1. 用图象法求出下列方程的近似解（精确到0.1） .
（1） x2 + 2x - 2 = 0 ；
（2） 1—3 x2 - 2x + 1 = 0 .
2. 有一块如图所示的铁片下脚料，其中曲线是一条抛物线的
一部分. 要裁出一个最大的正方形时，把正方形的一边放
在线段AB 上，对边的端点放在抛物线上，求这个正方形
的边长 （精确到0.01 cm） .
也就是DF = 3.64 m，于是可知，卡车载物后限高EF 应为
EF = DF - DE = 3.64 - 0.6 = 3.04 （m） .
答：卡车载物后限高应为3.04 m .
探 究 学 习
一元二次不等式解法的探究
我们已经知道，一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0） 的根是使二
次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0） 的值为零时，自变量x 应取的值. 可见
一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0） 和二次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）
有密切的关系，我们常用二次函数的知识来研究一元二次方程的有关
问题.
那么，一元二次不等式ax2 + bx + c > 0 （a > 0） 或ax2 + bx + c < 0 （a > 0）
是否也和二次函数y = ax2+ bx + c （a ≠ 0） 有密切的关系呢？我们是否
也能用有关二次函数的知识来研究一元二次不等式的解法呢？
下面我们以
x2 - 2x - 3 > 0 和x2 + 2x - 8 < 0
6 cm
10 cm
（第2 题）
A
B
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第十九章 二次函数和反比例函数
59
为例，来探究一元二次不等式的解法.
我们先画出二次函数y = x2 - 2x - 3 和y = x2+ 2x - 8 的图象，通过
观察图象的方法来寻求这些不等式的解，这两个函数的图象分别如图
19 - 21（1）、（2）所示.
观察图象可知，当x 的取值分别在方程x2 - 2x - 3 = 0 和x2 + 2x - 8 = 0
的两个实数根之间时，函数的值都小于0 ；当x 的取值分别在两个实数
根之外时，函数的值都大于0 . 所以不等式x2 - 2x - 3 > 0 的解为
x < -1 或x > 3，
不等式x2 + 2x - 8 < 0 的解为
- 4 < x < 2 .
由此可见，一元二次不等式
ax2 + bx + c > 0 （a > 0）或ax2 + bx + c < 0 （a > 0）
的解与二次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）的图象和x 轴的交点情况有关.
怎样判定一个二次函数
的图象和x 轴是否有交点？
图19 - 21
（2）
（1）
O
O
x
x
y
y
- 2
- 4
- 2
- 3
- 4
- 3
- 1
5
4
3
2
1
1
1
1
2
2
3
3
4
4
- 1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
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数学 九年级 上册
60
如图19 - 22，我们利用计算机或图形计算器探究以下两个问题：
（1） 如果二次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）的图象和x 轴有交点，那
么关于一元二次不等式ax2 + bx + c > 0 （a > 0）或ax2 + bx + c < 0 （a > 0）
的解，将有怎样的结论？
（2） 如果二次函数y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）的图象和x 轴没有交点，
那么关于一元二次不等式ax2 + bx + c > 0 （a > 0）或ax2 + bx + c < 0 （a > 0）
的解，将有怎样的结论？
综合以上探究，是否能由此概括出求一元二次不等式ax2 + bx + c > 0
（a > 0） 或ax2 + bx + c < 0 （a > 0）的解的一般方法呢？
基础
1. 画出下列二次函数的图象，观察图象，估计出图象和x 轴交点的横坐标的值.
（1） y = 2x2 - 4x - 8 ；
（2） y = 1—2 x2 + 2x - 1 .
2. 用图象法求下列一元二次方程的近似解（精确到0.1） .
（1） x2 - x - 10 = 0 ；
（2）1—2 x2+ 2x - 3—2 = 0 .
习 题 19 - 2
图19 - 22
a = 2
b = - 5
c = - 3
x
y
- 2
- 4
- 6
- 2
- 4
- 6
O
2
4
6
8
4
6
2
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第十九章 二次函数和反比例函数
61
3. 分别根据下列条件，求二次函数的表达式.
（1） 图象过点（1，0）， （-1，8） 和 （0，2）；
（2） 图象过点（- 2，2） 和 （- 4，14），对称轴为x = -2 ；
（3） 图象过点（-1，-7），当x = 2 时有最大值2 .
4. 已知函数y = 2x2 + 12x + 13，回答下列问题：
（1） 写出它的图象的开口方向、对称轴与顶点坐标.
（2） 它的图象有最高点还是最低点？如果有，写出这个点的坐标.
5. 下列函数有最大值还是最小值？求出当x 为何值时，y 取得最大值或最小值，并求出最
大值或最小值.
（1）y = x2 + x - 1 ；
（2）y = -2x2 - 3x + 5 .
6. 已知圆A 的半径为10 m，当半径减小 x （m） 时，圆的面积就减小y（m
2） ，y 是x 的函数. 写
出函数的表达式和它的自变量的取值范围，并画出它的图象.
7. 如果用I 表示汽车经撞击后的损坏程度，经多次试验研究后知道，I 与撞击时的速度v
的平方之比是常数2，那么I 是v 的什么函数？说明理由.
8. 某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50 cm. 把这个长方体表面涂满
油漆时，如果每平方米费用为8 元，那么总费用S （元）是底面边长a （cm）的什么函数？
写出它的表达式，并求出当底面边长分别为70 cm 和120 cm 时，所需费用相差多少元.
1. 画出函数 y = x2 - 2x - 3 的图象，并观察图象回答下列问题：
（1） x 取何值时，y = 0，y > 0， y < 0 ？
（2） x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
（3） 当x 取何值时，y 的值最小？最小值是多少？
2. 如果二次函数 y = （m - 1） x 2 + 2mx + （m + 3） 的最小值是正数，求m 的取值范围.
3. 如图，抛物线 y = x2 上的三点A，B，C 的横坐标分别为 a - d，a，
a + d. 试求△ABC 的面积 （用含有a，d 的代数式表示） .
4. 已知抛物线y = x2 + ax + a - 2 .
（1） 它与x 轴一定有交点吗？说明你的理由.
（2） 在有交点的情况下，求出它的交点坐标，并求出 两交点间的
距离.
（3） 当两交点间的距离最短时，求出抛物线的表达式.
提升
（第3 题）
O
a - d
a + d
a
x
y
A
B
C
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数学 九年级 上册
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5. 如图，已知E，F 是正方形ABCD 的边BC 和CD 上的两点，且AE = AF，那么，当AB = 4 时，
△AEF 的面积S 是CE 的长x 的函数吗？如果是，写出它的表达式，并回答x 取何值时，
△AEF 的面积是最大的， 求出此时△AEF 的面积与正方形ABCD 的面积之比.
6. 如图，某工厂有一批长为24 cm、宽为8 cm 的长方形硬纸板，要用它作为高是8 cm 的
长方体盒子的侧面，那么这个盒子的最大容积是多少立方厘米？
拓展
如果一元二次方程ax2 + bx + c = 0有两个实数根x1和x2，那么，对于二次函数 y = ax2 + bx + c，
你能探求一个只用x1，x2 和a 表示这个函数的另一种表达式吗？求出这个表达式，并举一
个二次函数的例子，写出它的各种不同形式的表达式.
19.5
反比例函数
实践
1. 列出下列函数的表达式：
（1） 当一个矩形的面积是2 m2 时，其长a （m）是宽b （m）的函数 .
（2） 运输货物的费用是以“吨千米”（也就是1 吨的货物运输1 千米，不
（第6 题）
（第5 题）
A
B
C
E
F
D
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第十九章 二次函数和反比例函数
63
足1 吨或不足1 千米时，都按1 吨或1 千米计算）为计算单位的. 如果已
缴纳5 000 吨千米的运费，那么，运输货物的质量m （吨）是运输路程s（千
米） 的函数 .
（3） 一条铁路全长80 km，运行全程所需时间t （h） 是平均速度v （km/h）
的函数 （列车的平均速度不得高于200 km/h） .
2. 上述函数的表达式有什么共同特点？可以用怎样形式的表达式来
概括？
上述三个函数的表达式分别是：
（1） a = 2—b （b > 0）；
（2） m = 5 000
———
s
（s 是正整数，且s 5 000）；
（3） t = 80
—v （0 < v 200） .
如果我们仍用x 表示自变量，y 表示因变量，可以看到，它们的表达式都
是形如y = k—x （k 是常数，k ≠ 0）的式子.
一般地，我们把形如
y = k—x （k 是常数，k ≠ 0）
的函数叫做反比例函数. 其中，k 叫做反比例系数.
例
压强的大小是由单位面积所受到的压力决定的，那么，当物体受
到100 N 的压力时，压强是受力面积的函数. 试判断它是哪一类函数，并求当
物体的受力面积是5 m
2 时，物体所受的压强.
解: 设压强为p （Pa），受力面积为S （m
2） , 根据压强的意义，列出的表达
式为
p = 100
——
S （S > 0） .
由于它是形如y = k—x （k 是常数，k ≠ 0） 的函数，所以它是反比例函数.
当 S = 5 时，p = 100
——
5 = 20 （Pa） .
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数学 九年级 上册
64
练习
1. 判断下列函数是不是反比例函数：
（1） y = - 1—x ； （2） y = x2
—2 ； （3） y = - 3
√——
2x .
2. 列出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数，如果是，求出它们的自
变量的取值范围：
（1） 三角形的面积为定值S 时，它的底边长a 是这条边上的高h 的函数；
（2） 把体积为800 cm
3 的钢锭浇铸成圆柱形钢材，它的底面积S （cm
2）是高h （cm）
的函数.
19.6
反比例函数的图象、性质和应用
我们以y = 6—x 为例，来研究反比例函数图象的画法.
思考
已知反比例函数y = 6—x ，试问：
（1） 它的图象是否经过原点？分布在哪几个象限？为什么？
（2） 它的图象和x 轴、 y 轴有交点吗？为什么？
（3） 当x > 0 时，随着x 值的增大，y 的值是增大还是减小？
当x < 0 时，随着x 值的增大，y 的值是增大还是减小？为什么？
由表达式y = 6—x ，可以知道：
（1） 因为x ≠ 0，所以它的图象不过原点；又因为x 和y 的符号相同，
所以它的图象分布在第一、第三象限.
（2） 因为x ≠ 0， 所以图象和y 轴没有交点；又因为无论x 取怎样的
值，必有y ≠ 0，所以图象和x 轴也没有交点.
（3） 当x > 0 时，在第一象限内的图象，因为x 增大时，y 的值减小，
19章P37-74.indd 64
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第十九章 二次函数和反比例函数
65
所以，图象“向右、向下”延伸，且越来越靠近x 轴而不与x 轴相交.
下面，作出反比例函数y = 6—x 的图象.
列表：
当x < 0时的情况如何？
你能描述一下吗？
x
…
- 6
- 4
- 3
- 2
- 1
1
2
3
4
6
…
y
…
- 1 - 3—2 - 2
- 3
- 6
6
3
2
3—2
1
…
描点，连线，如图19 - 23.
图19 - 24
图19 - 23
x
y
6
5
4
3
2
1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 2
- 4
- 5
- 6
- 1
- 3
1
2
3
4
5
6
O
可以看到，反比例函数y = 6—x 的图象是分布在第一、第三象限的两支曲线，
这样的两支曲线叫做双曲线.
由于双曲线有很多奇妙而独特的性质，所以有很多重要的应用. 热电厂中
的冷却塔的塔身都采用了双曲线的形状，如图19 - 24 所示.
练习
作出下列函数的图象：
（1） y = 2—x ； （2） y = - 2—x ； （3） y = 4—x ； （4） y = - 4—x .
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数学 九年级 上册
66
1. 比较反比例函数y = 4—x 和y = - 4—x 的图象在位置、变化趋势以及
与坐标轴的关系等方面，有什么相同点和不同点.
2. 是否能从双曲线的位置和变化趋势，概括出反比例函数y = k—x 的
一般性质？
交流
图19 - 25
观察反比例函数的图象 （图19 - 25） ，可以看出反比例函数y = k—x 的性质
如下：
O
x
y
- 5
- 7- 6
- 4
- 2- 1
- 3
6
5
4
3
2
1
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
1 2
3 4 5 6 7
O
x
y
- 5
- 7- 6
- 4
- 2- 1
- 3
6
5
4
3
2
1
1 2
3 4 5 6 7
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
y = k—x
（k > 0）
y = k—x
（k < 0）
（1） 当k > 0 时，反比例函数y = k—x 的图象是分布在第一、第三象限的双
曲线；双曲线在各自象限内都向右、向下伸展，但不与坐标轴相交.
（2） 当k < 0 时，反比例函数y = k—x 的图象是分布在第二、第四象限的双
曲线；双曲线在各自象限内都向右、向上伸展，但不与坐标轴相交.
由此得到：
反比例函数y = k—x （k 是常数，k ≠ 0） 的性质
1. 当k > 0 时，在各自象限内，y 的值随x 值的增大而减小 ；
2. 当k < 0 时，在各自象限内，y 的值随x 值的增大而增大.
例1 已知反比例函数y = k—x 的图象经过点P （- 6，- 2） .
（1） 求出它的表达式；
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第十九章 二次函数和反比例函数
67
图19 - 26
x
O
y
3
9
4
4—3
（2） 画出它在第一象限内的图象；
（3） 当自变量x 从3 增大到9 时，函数值y 是怎样变
化的？
解：
（1） 由于点P （- 6，- 2） 在函数y = k—x 的图象上，
所以有
- 2 = k
——
- 6 .
可得k = 12，函数的表达式为
y = 12
—x .
（2） 函数y = 12
—x 在第一象限的图象如图19 - 26 所示.
（3） 在第一象限内，由于k = 12 > 0，所以y 的值随x 值的增大而减小. 当
x = 3 时，y = 4 ；当x = 9 时，y = 4—3 ，所以当x 从3 增大到9 时， 函数值y 从4
减小到4—3 .
例2 某长途公共汽车线路全长50 km，规定车的平均速度不得高于
70 km/ h.
（1） 运行全程所需时间t （h） 是平均车速v （km/ h） 的什么函数？画出这个
函数的图象.
（2） 结合图象，求出采用平均速度为40 km/ h 或60 km/ h 时，运行全程所
需时间相差多少分钟.
解：（1） 据题意，函数是表达式为 t = 50
—v
的
反比例函数，自变量的取值范围是0 < v 70，
所以它的图象如图19 - 27 所示.
（2） 结合图象，可以计算出当平均速度为
40 km/ h 时，运行全程所需时间为
t1 = 50
—
40 = 5—4 .
当平均速度为60 km/ h 时，运行全程所需
时间为
t2 = 50
—
60 = 5—6 .
图19 - 27
O
1—2
5—6
5—4
3—2
1
10 20 30 40 50 60 70 v/ （km·h
-1）
t/h
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数学 九年级 上册
68
所以 t1 - t2 = 5—4 - 5—6 = 5—
12
（h） = 25 （min） .
答：运行全程所需时间相差25 分钟.
练习
1. 回答下列问题：
（1） 函数 y = 2—x ，当x > 0 时，随着x 的增大y 如何变化？当x < 0 时，随着x 的
增大y 如何变化？
（2） 函数 y = - 2—x ，当x > 0 时，随着x 的增大y 如何变化？当x < 0 时，随着x
的增大y 如何变化？
2. 已知反比例函数 y = k—x（k ≠ 0）的图象经过点（- 1，2），那么，当x > 0 时，随着
x 的增大y 如何变化？当x < 0 时，随着x 的增大y 如何变化？
基础
1. 根据下列函数关系，分别写出表达式.
（1） 面积为12 m
2 的矩形中，一边的长a （m）是另一边长b （m）的函数；
（2） 汽车在相距30 km 的A，B 两地间匀速行驶，从A 到B 所需的时间t （h）是它的速
度v （km/h）的函数；
（3） 容积是1 000 cm
3 的圆柱形罐头盒，它的高度h （cm）是底面积S （cm
2）的函数.
2. 画出下列函数的图象：
（1） y = - 3—x ；
（2） y = 1—
3x .
3. 已知函数y = m - 5
———
x
（m ≠ 5） .
（1） 在什么条件下，函数的图象分布在第一、第三象限？在什么条件下，函数的图象分
布在第二、第四象限？
（2） 在什么条件下，y 随x 的增大而减小？在什么条件下，y 随x 的增大而增大？
习 题 19 - 3
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第十九章 二次函数和反比例函数
69
1. 一次函数 y = kx - 5 和反比例函数y = 2t - 1
———
x
的图象相交于点 （- 3，2），求出这两个函
数的表达式.
2. 函数y1 是x 的一次函数， y2 是y1 的反比例函数，y1 和y2 的图象相交于（1，3）和（4，- 3）
两点，求这两个函数的表达式.
提升
拓展
如图，B，C 和D 三点是∠ MAN 的边AM 和AN
上的三个动点，且使∠ BDC 和∠ BCA 保持相等，
BC = 3. 如果AB = y，BD = x，那么y是x的函数吗？
如果是，求出它的表达式.
A
B
M
N
C
D
4. 已知反比例函数的图象经过点P （- 2，3），求它的表达式.
本章学习了二次函数和反比例函数以及它们的一些应用.
1. 二次函数和反比例函数的定义.
（1） 形如 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）的函数叫做二次函数；
（2） 形如 y = k—x （k 是常数，k ≠ 0）的函数叫做反比例函数 .
2. 二次函数和反比例函数的图象.
（1）二次函数 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0）的图象是以 x = - b—
2a 为
对称轴，（-
b
——
2a ，4ac - b2
————
4a
）为顶点的一条抛物线. 当a > 0 时，
抛物线的开口向上；当a < 0 时，抛物线的开口向下 .
知识
要点
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
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数学 九年级 上册
70
（2） 反比例函数y = k—x （ k 是常数，k ≠ 0） 的图象是双曲线. 当
k > 0 时，图象分布在第一、第三象限； 当k < 0 时，图象分布在第二、
第四象限 .
3. 二次函数 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0） 的性质.
（1）如果 a > 0 ，当 x > - b
——
2a 时，y 随x 的增大而增大，当
x < - b
——
2a 时，y 随x 的增大而减小；如果 a < 0，当 x > - b
——
2a 时，
y 随x 的增大而减小，当 x < - b
——
2a 时，y 随x 的增大而增大 .
（2）如果 a > 0 ，当 x = - b
——
2a 时，y 有最小值4ac - b2
————
4a
；如果 a < 0，
当 x = - b
——
2a 时，y 有最大值4ac - b2
————
4a
.
4. 反比例函数y = k—x （ k 是常数，k ≠ 0）的性质.
（1）当k > 0 时，图象分布在第一、第三象限内，在各自象限
内 y 随 x 的增大而减小；
（2） 当k < 0 时，图象分布在第二、第四象限内，在各自象限
内 y 随 x 的增大而增大 .
知识
要点
1. 要从实际生活的事例中，感受和理解二次函数和反比例函
数的意义，注意进一步深化对函数的认识，努力运用函数观点观察、
分析事物，从而学会把生活中的一些实际问题归结为二次函数或
反比例函数问题来加以解决.
2. 确定函数的表达式是用函数解决问题的关键. 既要不断提
高用函数观点分析问题的能力，也要熟练掌握确定函数表达式的
方法，特别是要掌握运用待定系数法求函数的表达式的方法.
3. 要会熟练地画出函数图象（包括画出函数图象的示意图）. 会
观察函数图象是掌握函数的性质和利用图象解决有关函数问题的
基本技能，要重视根据二次函数（或反比例函数）的表达式画出
二次函数（或反比例函数）图象的示意图的练习，以及观察图象
并从图象中获取信息的练习 . 提高通过图象理解、记忆和运用二
次函数和反比例函数性质的能力 .
学习
指导
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2014.8.11 8:08:49 AM
第十九章 二次函数和反比例函数
71
4. 伴随着二次函数和反比例函数的学习，要进一步发展对“数
形结合”思想的理解和掌握，进一步增强主动运用“数形结合”
的方法认识问题、解决问题的意识 .
5. 二次函数和反比例函数在实际生活中有广泛的应用，应注
意提高在实际生活中运用二次函数和反比例函数的意识，提高运
用函数知识解决实际问题的能力，从而进一步感受学习数学的意
义，领会学习数学和运用数学的过程和方法 .
学习
指导
复 习 题
基础
1. 列出下列函数的表达式，并判断出函数的类型 .
（1） 某物流公司的运费单价是每吨每千米a 元（a 为常数） . 如果设运费总金额为 P （元），
运输的物资的总量为m （吨），运输路程为s （千米），那么，当运输的物资的总量确
定时，运费金额是运输路程的函数 .
（2） 正方形的餐桌可供8 人就餐，再拼一张同样的餐桌，就可供12 人就餐（如图），如
此拼接下去，就餐总人数 k 是餐桌的总张数G 的函数.
（3） 如图，在成直角的墙角有一个长1.2 m、宽0.4 m 的矩形墙垛（棕色部分），现要用
16 m 长的栅栏围成一个矩形堆料场，那么，这个堆料场的面积S （m2） 是它的长l （m）
的函数 .
2. 试判定函数 y = （a2 - 4） x2 + （a + 2） x - 5 的类型 .
[ 第1（2）题]
[ 第1（3）题]
……
l
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数学 九年级 上册
72
3. 写出下列函数图象的顶点坐标和对称轴：
（1） y = 4—5 x2 - 2 ；
（2） y = - 4—5 x2 + 3 ；
（3） y = 2—3 （x + 1） 2 ；
（4） y = - 5 （x - 1—2 ）
2
；
（5） y = - 2 （x
+ 2
√） 2 - 3
√
；
（6） y = （x - 2
√
- 1） 2 + 7 .
4. 在下列条件下，求反比例函数的表达式.
（1） 图象经过点 （- 4，2）；
（2） 图象经过点 （3，- 1） .
5. 画出二次函数 y = x2 - 4x - 12 的图象，并回答：
（1） 当x 分别取- 2，3
√，4 时，y 的值；
（2） 求图象和x 轴交点的坐标及两交点间的距离；
（3） 当 - 5 < x < 1 时，判定y 是随x 的增大而增大还是随x 的增大而减小；
（4） 当x 的值由5 增大到8 时，y 的值增大了多少.
6. 已知直线 y = - 3—2 x + 3 和两坐标轴的交点为A，B，抛物线经过点A，B，且点（1，1）
在此抛物线上，求此抛物线的顶点坐标和对称轴 .
7. 点 A （3，b）在直线y = x - 1 上，求图象通过点A 的反比例函数的表达式.
8. 如果函数 y = mxm2 + m -1 是反比例函数，求实数 m 的值 .
9. 反比例函数 y = k—x 和一次函数 y = 1—2 x - 5—4 的图象相交于点 （1，m），求两曲线的交点 .
10. 二次函数 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0） 的图象如图，Δ= b2 - 4ac，那么 （ ） .
A. b > 0，c > 0， Δ> 0
B. b > 0，c < 0， Δ> 0
C. b < 0，c < 0， Δ> 0
D. b < 0，c > 0， Δ< 0
11. 如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成135° 的墙角，另外两边由总长
为30 m 的篱笆构成. 求两邻边各为多长时，围得的苗圃面积最大，最大的面积是多少.
（第10 题）
x
O
y
1
1
（第11 题）
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第十九章 二次函数和反比例函数
73
提升
1. 根据下列条件，分别求二次函数的表达式：
（1）函数图象和抛物线 y = 2x2 - 6x 关于x 轴对称；
（2）函数图象和抛物线y = - 2x2 + 6x 关于 y 轴对称 .
2. 已知抛物线 y = x2 + px + q 经过点 （1，-6） 和 （-1，2） .
（1） 这个二次函数有最大值还是有最小值，最大值或最小值是多少？
（2） 这条抛物线和坐标轴是否有交点？如果有，求出以交点为顶点的三角形的面积 .
3. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A 距地面
2 m，喷出水流的轨迹是抛物线. 如果水流的最高点P 到喷
水枪AB 所在直线的距离为1 m，且水流的落地点C 距离喷
水枪底部B 的距离为5—2 m，那么，水流的最高点距离地面
是多少米？
4. 已知点A （1，y1），B （-
2
√，y2），C （- 2，y3）在函数 y =
-2x2 - 4x + 1 的图象上，试比较y1，y2，y3 的大小关系，并
说明理由 .
5. 已知二次函数的图象经过A （-1，10），B （1，4），C（2，7）三点，回答下列问题：
（1） 自变量 x 在什么范围内变化时，因变量 y 随自变量的增大而减小？
（2） 函数有最大值，还是有最小值？自变量 x 取什么值时，因变量 y 取得这个最大值或
最小值？最大值或最小值是多少？
（3） 这个图象经过怎样的平移运动，就能得到以原点为顶点的一条抛物线？
拓展
1. 某商店以每把8 元的价格购进一批雨伞. 如果以每把14 元的零售价格销售时，月销售
量为 100 把； 而零售价格每降低0.1 元，月销售量就可以增加 5 把. 现批发商为了促销，
规定商店进货超过 100 把时，超过部分批发价降低 5％，但规定零售价格不得低于 10 元.
试问每把雨伞以多少元出售时，能使所获得利润最大？最大利润是多少元？
（第3 题）
A
P
C
B
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数学 九年级 上册
74
（第2 题）
售价x /（元／支）
…
7
8
…
销售量y / 支
…
300
240
…
2. 某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了两张图表（如图），
试问：
（1）如果在 3 月份出售这种蔬菜，每千克可获利多少元？
（2）哪个月出售这种蔬菜获利最大？请说明理由 .
每千克售价/ 元
每千克成本 / 元
3. 我市某文具厂生产一种签字笔，已知这种笔的生产成本为每支6 元. 经市场调研发现，
批发这种签字笔每天的销售量y（支）与售价x （元／支）之间存在着如下表所示的一
次函数关系：
（1） 求销售量y （支） 与售价x （元／支） 之间的函数关系式.
（2） 求销售利润W （元） 与售价x （元／支） 之间的函数关系式.
（3） 当每支签字笔以多少元出售时，才能使每天所获得的利润最大？最大利润是多少元？
1 2 3 4 5 6 7 8 9
月份
O
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8
7
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月份
O
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第二十章
解直角三角形
D
C'
B'
A'
C
B
A
怎样测量和计算高大建筑物的高度呢？
九年级 （1） 班的同学们来到天安门广场，测量人民英
雄纪念碑的高度. 方法如下：如图，CD 表示人民英雄纪念
碑的高度，首先用1.5 m 高的测角仪 AA'，BB' 确定点A 和点
B 的位置，使得 A，B，C 三点在一条直线上，连接A'B' 并
延长交 DC 于点 C'，测得∠ DA'C' = 45°，∠ DB'C' = 64.7°，
然后测量出AB 的长为20 m . 根据这些数据，他们就计算
出了CD 的长. 你知道他们是怎样计算的吗？
通过本章的学习你就会明白其中的道理，并能运用所
学的知识解决相关的问题.
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数学 九年级 上册
76
20.1
锐角三角函数
实践
1. 如图20 - 2，用计算机或图形计算器作 ∠ MAN = 50°，在射线AM
上任取一点 B，过点 B 作 BC ⊥AN 于点 C，度量线段 BC，AB 的长，计算
BC
——
AB 的值.
BC = 3.12 cm
AB = 4.07 cm
BC
——
AB = 0.77
图20 - 2
A
B
C
N
M
A
B
C
N
M
BC = 1.43 cm
AB = 1.86 cm
BC
——
AB = 0.77
思考
在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，当∠ A 是一个不等于30° 的
锐角时，BC
——
AB 的值是否也只与∠ A 的大小有关呢？
如图20 - 1，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB = 90°，如果 ∠ BAC = 30°，那么
∠ BAC 所对的边BC 与斜边AB 的比值是多少？
我们可以通过下面的方法，求出这个比值：
延长BC 至点D，使得CD = BC，易证△ ABD 是等边
三角形，所以，BC = 1—2 BD = 1—2 AB，即BC
——
AB = 1—2 ，并且
这个比值只与∠ BAC = 30° 有关，与Rt △ ABC 的大小无关.
图20 - 1
A
B
C
D
20章P75-104.indd 76
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第二十章 解直角三角形
77
2. 拖动点 B，观察BC
——
AB 的值是否发生变化.
我们发现，在图20 - 2 中，只要 ∠ A 保持 50° 不变，那么 ∠ A 的对边 BC
与斜边 AB 的比BC
——
AB 始终是一个固定不变的值.
在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，当 ∠ A 为任意一个锐角时，∠ A 的对边BC
与斜边 AB 的比BC
——
AB 是不是仍然具有上述性质呢？
如图20 - 3，∠ MAN 为锐角，在射线AM 上任取点B1，B2，B3，…，过
B1，B2，B3，…，作B1C1 ⊥ AN 于点C1，B2C2 ⊥ AN 于点C2，B3C3 ⊥ AN 于点
C3，….
∵ ∠ AC1B1 = ∠ AC2B2 = ∠ AC3B3 = … = 90°，
∴ Rt △ AB1C1 ∽ Rt △ AB2C2 ∽Rt △ AB3C3….
∴ B1C1
——
AB1 = B2C2
——
AB2 = B3C3
——
AB3 = ….
可以得到，在 Rt △ ABC 中，当∠ C = 90° 时，
对于锐角 A 的任意一个确定的值，∠ A 的对边与斜
边的比是一个固定不变的值.
一般地，在 Rt △ ABC 中，当∠ C = 90°，a，b，c 分别为 ∠ A，∠ B，∠ C
的对边，如图20-4. 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作
“sin A” . 即
图20 - 3
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
N
M
例如，当∠ A = 30° 时，sin A = sin 30° = 1—2 ；当 ∠ A = 45° 时，sin A =
sin 45° = 2
√
——
2
.
图20 - 4
A
C
b
c
a
B
为什么呢？
sin A = ∠ A 的对边
—————
斜边
= BC
——
AB = a—c .
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2014.8.11 8:18:18 AM
数学 九年级 上册
78
∴ sin A = CD
——
AC = 12
—
15 = 4—5 ，
sin ∠ ACD = AD
——
AC = 3—5 .
在 Rt △ BCD 中，BD = 5，CD = 12，由勾股定理，得
BC = CD
2 + BD
2
√
= 12
2 +5
2
√
= 13 .
∴ sin B = _______ = _______ ，
sin ∠ BCD = _______ = _______ .
当 0° < ∠ A < 90° 时， sin A 的值在什么范围内变化？为什么？
交流
例1 已知：如图20 - 5，在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°， AC = 3，BC = 4，
求sin A 和 sin B 的值.
解：在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°， AC = 3，BC = 4， 由勾股定理，得
AB = AC
2 + BC
2
√
= 3
2 + 4
2
√
= 5 .
∴ sin A = BC
——
AB = 4—5 ， sin B = AC
——
AB = 3—5 .
例2 已知：如图20-6， 在 △ ABC 中，CD 是AB 边上的高，CD =12，
AD = 9，BD = 5，求sin A，sin∠ ACD，sin B 和sin ∠ BCD 的值.
解：在 △ ABC 中，CD 是AB 边上的高，
∴ ∠ ADC = ∠ BDC = 90°.
在Rt △ ADC 中，AD =9，CD =12，由勾股定理，得
AC = AD
2 + CD
2
√
= 9
2 + 12
2
√
= 15 .
sin A 的值等于
哪两条线段的比？
sin B 呢？
图20 - 6
A
B
D
C
sin B，sin ∠ BCD
的值分别等于哪两条
线段的比？
图20 - 5
A
B
C
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第二十章 解直角三角形
79
A
B
D
E
F
G
C
（第1 题）
（第2 题）
练习
1. 已知：如图，在Rt △ EFG 中，∠ G = 90°，EG = 4，FG = 8， 求 sin E，sin F 的值.
2. 已知：如图，在 Rt △ ACD 中，∠ D = 90°，B 为CD 上的一点，AC =15，AD =
12，CB = 4，求sin C，sin ∠ ABD 的值.
3. 已知： 在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，sin A = 4—5 ，BC = 20，求△ ABC 的周长和面积.
在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，当锐角A 取任意一个确定的值时，除了
∠ A 的对边与斜边之比外，还有哪两条边的比是固定不变的值？为什么？
交流
与锐角的正弦情况相似，当锐角 A 取任意一个确定的值时，∠ A 的邻边与
斜边的比、 ∠ A 的对边与邻边的比也分别是固定不变的值.
一般地，在 Rt △ ABC 中（图20 - 7），∠ C = 90°，我们把锐角 A 的邻边与
斜边的比叫做 ∠ A 的余弦，记作“cos A” . 即
cos A = ∠ A 的邻边
—————
斜边
= AC
——
AB = b—c .
把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，
记作“tan A” . 即
tan A = ∠ A 的对边
—————
∠ A 的邻边 = BC
——
AC = a—b .
图20 - 7
A
B
c
b
a
C
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数学 九年级 上册
80
当 0° < ∠ A < 90° 时， cos A，tan A 的值分别在什么范围内变化？
请说明理由.
交流
锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数，统称为锐角三角函数.
例3 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为a，b，c.
（1） 如图20 - 8，已知 b = 24，c = 25，求 ∠ A 的正弦、 余弦、正切值；
（2） 如图20 - 9，已知 tan A = 3—2 ，求 ∠ B 的三角函数值.
解：在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°.
（1）∵ b = 24，c = 25，由勾股定理，得
a = c
2 - b2
√
= 25
2 -24
2
√
= 7.
∴ sin A = a—c = 7—
25， cos A = b—c = 24
—
25，tan A = a—b = 7—
24 .
（2）∵ tan A = 3—2 ，
∴ a—b = 3—2 .
不妨设 a = 3k，b = 2k （k > 0） ，由勾股定理，得
c = a
2 + b2
√
= （3k ） 2 + （2k
） 2
√
= 13
√
k.
∴ sin B = b—c = 2 k
——
13
√
k = 2 13
√
——
13 ，cos B = a—c = 3 k
———
13
√
k = 3 13
√
——
13 ，
tan B = b—a = 2 k
——
3 k = 2—3 .
图20 - 8
B
A
c
a
b
C
tan A = 3—2 表示哪
两条线段的比是3—2 ？
图20 - 9
A
C
B
c
b
a
20章P75-104.indd 80
2014.8.11 8:18:31 AM
第二十章 解直角三角形
81
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，求以下各图中∠ A 和∠ B 的三角函数值.
2. 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°， AC = 5—
13 AB，那么sin A = ______，cos A = ______，
tan A = _____.
3. 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°， sin A = 2—3 ， 求∠ B 的三角函数值.
A
A
A
B
B
B
6
8
5
13
1
2
C
C
C
（第1 题）
（2）
（1）
（3）
练习
例4 已知：如图20 - 10，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB = 90°，CD ⊥ AB 于
点D，AB = 16，BC = 12 . 求 sin ∠ DCA 和 tan ∠ DCA 的值.
解：∵ ∠ ACB = 90°，AB = 16，BC = 12，
∴ AC = AB2 - BC
2
√
= 16
2 - 122
√
= 4 7
√
.
又 CD ⊥ AB 于点D，
∴ ∠ DCA = ∠ B .
∴ sin ∠ DCA = sin B = AC
——
AB = 4 7
√
——
16 = 7
√
——
4 ，
tan ∠ DCA = tan B = AC
——
BC = 4 7
√
——
12 = 7
√
——
3 .
怎样求解比较简捷？
在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，a，b，c 分别为 ∠ A，∠ B，∠ C 的对边.
（1）写出由a，c，sin A 组成的三种不同的关系式；
（2）写出由b，c，cos A 组成的三种不同的关系式；
（3）写出由a，b，tan A 组成的三种不同的关系式.
交流
图20 - 10
B
D
C
A
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数学 九年级 上册
82
练习
1. 在Rt △ ABC 中，∠ BCA = 90°，CD 是中线，BC = 8， CD = 5. 求sin A，cos∠ ACD，
tan ∠ DCB 的值.
2. 在Rt △ ABC 中，∠ BCA = 90°，CD 是高线，BD = 4， CD = 2，求 ∠ A 的三角函数值.
3. 在等腰三角形ABC 中，AB = AC = 13，BC = 24， 求sin B，cos B，tan B 的值.
实践
分别求30°，45°，60° 角的三角函数值，并填写下表：
20.2
30°，45°，60° 角的三角函数值
例1 求下列各式的值：
（1） sin30° × cos 60° + cos 30° × sin60° ；
（2） tan60° × tan30°-1
————————
sin45°+ cos45°
.
解：（1）原式= 1—2 × 1—2 + 3
√
——
2 × 3
√
——
2 = 1—4 + 3—4 = 1 ；
（2） 原式 =
3
√ × 3
√
——
3 -1
——————
2
√
——
2
+ 2
√
——
2
= 0 .
三角函数
30°
45°
60°
sin α
cos α
tan α
例2 求适合下列条件的锐角α ：
（1） 2
√
sin α - 1 = 0 ；
（2）2cos α + 1
————
2
= 1 ；
（3） 3tan α = 3
√
.
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2014.8.11 8:18:43 AM
第二十章 解直角三角形
83
练习
1. 计算下列各式的值：
（1） sin
60° - 2 sin
30° cos30° ；
（2） 3
√
tan 60° - 2 cos45° ；
（3） sin 30° - 3
√tan 45°
————
tan 30°
；
（4） tan 30°+ sin
2 45° - cos 60°.
2. 求适合下列条件的锐角α.
（1） 2
√ cos α - 1 = 0 ； （2） 3tan α - 3
√ = 0 ； （3） 2 3
√ sin α = 3 .
解：（1）由2
√
sin α - 1 = 0，得 sin α = 2
√
—2 .
∴ 锐角α = 45°.
（2） 由 2cos α + 1
————
2
= 1，得 cos α = 1
—2 .
∴ 锐角α = 60°.
（3） 由3tan α = 3
√，得 tan α =
3
√
—3 .
∴ 锐角α = 30° .
20.3
用科学计算器求锐角三角函数值
在生产和科学研究中，经常需要求任意锐角的三角函数值，我们可以利用
科学计算器来求.
1. 求已知锐角的三角函数值
例1 用科学计算器求下列各三角函数值（结果精确到0.000 1）：
（1）sin40°18' ；
（2）cos63°52'41'' ；
（3）tan52°6' .
解：（1）
具体操作
结 果
A型计算器
40
118
2
sin （40°18'
0.64678978
B型计算器
40
18
sin （40°18°
0.6467897795
sin
245° 表示（sin45° ） 2.
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数学 九年级 上册
84
所以，sin40°18' 0.646 8 .
（2）
所以，cos63°52'41'' 0.440 3 .
（3）
所以，tan52°6' 1.284 6 .
2. 已知锐角三角函数值求锐角
例2 已知锐角 α 的三角函数值，用科学计算器求α（结果精确到1'） .
（1）sinα = 0.551 2 ； （2）cosα = 0.255 9 ； （3）tanα = 2.755 .
解：（1）
所以，锐角 α 33°27' .
具体操作
结 果
A型计算器
52
16
2
tan （52°6'
1.284556562
B型计算器
52
6
tan （52°6°
1.284556562
具体操作
结 果
A型计算器
0.5512
6
33°26'57.75716''
B型计算器
0.5512
sin
- 1 （0.5512
33°26'57.76''
具体操作
结 果
A型计算器
63
152
241
3
cos （63°52'41''
0.440283085
B型计算器
63
52
41
cos （63°52°41°
0.4402830847
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2015.6.23 12:11:32 PM
第二十章 解直角三角形
85
（2）
所以，锐角 α 75°10' .
（3）
所以，锐角 α 70°3' .
具体操作
结 果
A型计算器
0.2559
6
75°10' 23.08471''
B型计算器
0.2559
cos
- 1 （0.2559
75°10' 23.08''
具体操作
结 果
A型计算器
2.755
6
70°3' 1.0700019''
B型计算器
2.755
tan
- 1 （2.755
70°3' 1.07''
练习
1. 用科学计算器求下列各三角函数的值（结果精确到0.000 1） ：
（1） sin70°，sin9°24' ； （2） cos52°，cos87°36' ； （3） tan31°，tan45°9' .
2. 已知锐角 A 的三角函数值，用科学计算器求∠ A（结果精确到1'） .
（1） sin A = 0.501 8 ； （2）cos A = 0.785 7 ； （3） tan A = 1.403 6 .
基础
1. 选择题：
（1） 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，∠ A = 30°，sin
A + cos
B 的值等于（ ） .
A. 1—4
B.1
C. 1 + 2
√
———
2
D. 1 + 3
√
———
2
习 题 20 - 1
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数学 九年级 上册
86
1. 在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，a，b，c 分别是∠ A， ∠ B，∠ C 的对边 . 能否用关于c 的
式子表示asin A + bsin B ？
2. 已知：如图，△ ABC 中， AD ⊥BC 于点D，BD
——
DC = 7—4 ，tan B = 2—3 ，求tan C .
3. 已知：如图，△ ABC 中，AB = AC = 5， BC = 4， BD ⊥AC 于点D .
（1） 求tan ∠ ABC 的值；
（2） 求BD 的长 .
提升
（第2 题）
A
B
D
C
B
A
D
C
（第3 题）
（2） 如图，每个小正方形的边长为1，那么sin B 的值为（ ） .
A. 1—2
B.
2
√——
2
C.
3
√——
2
D.
3
√——
3
（3） 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，sin
A = 3—5 ，那么cos B 的值
等于 （ ） .
A. 3—5
B. 4—5
C.16
—
25
D. 9—
25
2. 已知：Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，M 为BC 上一点，MD ⊥ AB 于点D，且BC = 2，AC = 3，
求∠ DMB 的三角函数值.
3. 已知：在△ ABC 中，∠ ACB = 90°， D 为AB 中点，如果tan ∠ BCD = 1—3 ，求∠ A 的三角
函数值.
4. 求下列各式的值：
（1） sin30° + 2cos30° ；
（2） cos60°tan60° + sin60°sin30° ；
（3） 3
√tan60°
—————
cos45°
；
（4） sin
245° + tan
230° .
5. 用科学计算器求下列锐角三角函数值（结果精确到0.000 1）：
（1） sin17°39' ；
（2） cos76°44' ；
（3） tan86°7' .
6. 已知下列锐角三角函数值，用科学计算器求锐角 A （结果精确到1'） .
（1） sin A =
3
√——
2
；
（2） cos A = 0.658 1 ；
（3） tan A = 35.43 .
［第1 （2）题］
A
B
C
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第二十章 解直角三角形
87
拓展
求tan 15° 的值.
A
B
D
C
（第4 题）
A
B
E
C
（第5 题）
4. 已知：如图，△ ABC 中， ∠ A = 90°，AB = AC， D 为AC 上一点，且AD : DC = 1 : 2 .
（1） 求∠ ADB 的正弦、 余弦、正切的值；
（2） 求∠ DBC 的正弦、 余弦、正切的值.
5. 已知：如图，△ ABC 中， ∠ ACB = 90°，AC = CB， E 是CB 中点，求tan ∠ CAE 与
tan ∠ BAE 的值.
20.4
解直角三角形
思考
在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为a，
b，c，除直角C 外，其余的两个锐角和三条边之间有什么关系？
锐角之间的关系：____________________________________ ；
三边之间的关系：____________________________________ ；
边角之间的关系：____________________________________ .
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数学 九年级 上册
88
探索
我们常常把生产和生活中的某些实际问题，归结为在直角三角形中根据已
知的一些条件求出未知的边和角，从而将问题加以解决 .
由直角三角形中除直角外的两个已知元素（其中至少一个是边），求出其
余未知元素的过程，叫做解直角三角形 .
例1 已知：如图20 - 12，在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，∠ A = 60°，a =
15，解这个直角三角形 .
解：∵ ∠ C = 90°，∠ A = 60° ，
∴ ∠ B = 90° - ∠ A = 30° .
∵ a = 15，sin A = a—c ，
∴ c =
a
———
sin A =
15
———
sin 60° =
15
————
3
√
——
2
= 10 3
√ .
又∵ tan A = a—b ，
∴ b =
a
——
tan A =
15
———
tan 60° = 15
——
3
√
= 5 3
√ .
∴ ∠ B = 30°，c = 10 3
√ ，b = 5 3
√ .
例2 已知：如图20 - 13，在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，∠ A，∠ B，∠ C
的对边分别为 a，b，c，如果a = 5，b = 10，解这个直角三角形 （角度精确到1°）.
解：在Rt △ABC 中，∠ C = 90°，a = 5，b = 10，
∴ tan A = a—b = 5—
10 = 1—2 .
由科学计算器计算，得 ∠ A
27°.
∴ ∠ B = 90° - ∠ A 63°.
某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一
个小湖泊两岸的两棵树 A 和B 之间的距离，在垂直
AB 的方向AC 上确定点 C，测得AC = 100 m， ∠ ACB =
50°，从而计算出了 A，B 之间的距离（图20 - 11） .
你能根据以上数据，计算出A，B 之间的距离吗？
图20 - 11
还有其他的解法吗？
图20 - 12
A
C
B
c
b
a
图20 - 13
A
C
B
c
b
a
B
A
C
50°
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第二十章 解直角三角形
89
由勾股定理，得
c = a
2 + b2
√
= 52 +102
√
= 5
5
√
.
∴ ∠ A
27°，∠ B
63°， c = 5
5
√
.
练习
1. 在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，根据下列条件解这个直角三角形：
（1）c = 10，∠ A = 30° ；
（2）c = 8，b = 4
2
√ .
2. 在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°.
（1） 如果a = 5，b = 12，解这个直角三角形 （角度精确到1°）；
（2） 如果a = 15，∠ B = 40°，解这个直角三角形 （边长精确到0.01） .
怎样根据已知条件解直角三角形？请你举例说明 .
交流
例3 已知：如图20 - 14，在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，a = 10，
S △ ABC = 50
—3
3
√， 解这个直角三角形 .
分析：根据已知条件可以先求出 b .
解：在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，a = 10， S △ ABC = 50
—3
3
√ .
∵ S△ ABC = 1—2 ab = 50
—3
3
√，
∴ b = 2S△ ABC
———
a
=
2 × 50
—3
3
√
————
10
= 10
—3
3
√ .
∴ tan A = a—b =
10
———
10
—3
3
√
= 3
√ .
∴ ∠ A = 60°，∠ B = 90° - ∠ A = 30°.
∴ c =
b
———
sin B =
10
—3
3
√
———
sin 30° = 20
—3
3
√ .
∴ b = 10
—3
3
√，c = 20
—3
3
√，∠ A = 60°，∠ B = 30° .
图20 - 14
A
C
B
c
a
b
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数学 九年级 上册
90
例4 已知：如图20 - 15，在 △ ABC 中，AB = AC，∠ A = 120°，BC =
4 cm . 求AB 的长 .
分析：在 △ ABC 中，由AB = AC，∠ A = 120°，可得∠ B = 30° .要求 AB 的
长，需要把 AB 放在一个直角三角形中，因而需要作 AD ⊥BC 于点 D .
解：作 AD ⊥ BC 于点 D，那么 ∠ ADB = 90°.
∵ AB = AC，∠ BAC = 120°，
∴ ∠ B = 30°， BD = 1—2 BC .
∵ BC = 4 cm，
∴ BD = 2 cm .
在 Rt △ ABD 中，
∵ cos B = BD
——
AB ，
∴ AB = BD
———
cos B =
2
———
cos 30° = 2
——
3
√—2
= 4—3
3
√ （cm） .
练习
1. 已知：在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，∠ A = 60°，CD ⊥ AB 于点 D，CD = 3
√ . 解
Rt △ ABC .
2. 已知：在 △ ABC 中，AC = BC，∠ A = 72°，AC 边上的高为 14 cm . 求 BC 和 AB
的长（用科学计算器计算，结果精确到 0.1 cm）.
3. 在 △ ABC 中，AB = 100，∠ BAC = 45°，∠ ACB = 30° . 求 AC，BC 的长及 S△ ABC .
图20 - 15
A
C
D
B
解直角三角形的知识在日常生活和生产中的应用
十分广泛 .
在测量时，常用到仰角和俯角这两个名词. 如图20 -
16，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方
的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.
20.5
测量与计算
铅
垂
线
视线
视线
俯角
仰角
水平线
图20 - 16
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第二十章 解直角三角形
91
图20 - 17
A
C
D
F
B
α
例1 如图20 - 17，某同学在测量学校旗杆 AC 的高度时，先在测量点 F
处用高为1.2 m 的测角仪 DF 测得旗杆顶部 A 的仰角 α = 34°，再量出点 F 到旗
杆的水平距离 FC = 16.5 m. 请你帮助他计算出旗杆 AC 的高（结果精确到0.1 m）.
分析：设水平线与旗杆交于点 B . 容易得出四边形BCFD 为矩形，解 Rt △ ABD，
可以求出 AB 的长.
解：设水平线 DB 与旗杆 AC 交于点 B .
由题意得四边形BCFD 为矩形，
∴ BD = CF = 16.5，BC = DF = 1.2 .
在 △ ABD 中，∠ ABD = 90°，∠ ADB = α = 34° .
∵ tan α = AB
——
BD ，
∴ AB = BD . tan α = 16.5 × tan 34° 11.13 .
∴ AC = AB + BC 11.13 + 1.2 = 12.33 12.3 （m） .
答： 旗杆的高约为12.3 m .
练习
1. 如图，一台起重机，它的机身高 AC 为21 m，吊杆 AB 长为 36 m，吊杆与水平线
的夹角∠ BAD 可从 30° 升到 80°，求这台起重机工作时，吊杆端点 B 离地面的最
大高度和离机身的最大水平距离 （结果精确到0.1 m） .
2. 如图，直升机在跨河大桥 AB 上方的点 P 处. 此时直升机离地面高度 PO = 450 m，
且A，B，O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为 α = 30°， β = 45°，
求大桥 AB 的长 （结果精确到 1 m） .
（第1 题）
A
C
D
B
B'
（第2 题）
A
O
P
B
α
β
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数学 九年级 上册
92
实践
请你参照图20 - 18 用量角器做一个
简易实用的测仰角的仪器，并用它测量、
计算学校某建筑物的高 .
O
α
α
图20 - 18
例2 修建一条铁路要经过一座高山，需在山腰 B
处开凿一条隧道 BC. 经测量，西山坡的坡度 i = 1 : 0.6，
由山顶 A 观测到点 C 的俯角为 60°， AC 的长为 60 m，如
图20 - 19 所示，试求隧道 BC 的长 （结果精确到0.1 m）.
分析：在筑坝、开渠、挖河和修路的设计图纸上都
要注明斜坡的倾斜程度，如图20 - 20，我们通常把坡面
的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度（或坡比）, 用
字母 i 表示，即
i = h—l .
坡度一般写成 1 : m 的形式，如 i = 1 : 5（即 i = 1—5 ）.
如果把坡面与水平面的夹角记为 α （叫做坡角），那么坡度 i 等于坡角的正
切值，即
i = tan α .
显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡 .
在图20 - 19 中，作AD ⊥ BC 于点D . 由已知条件求解Rt △ ADC，可以
求出 AD 和DC 的长，再求解 Rt △ ABD，求出BD 的长， 从而求得BC 的长.
解：在图20 - 19 中，作AD ⊥ BC 于点D .
∵ A 对山坡 C 处的俯角为60°，
∴ ∠ ACD = 60° .
在 Rt △ ADC 中，
∵ sin ∠ ACD = AD
——
AC ，AC = 60，
∴ AD = AC · sin ∠ ACD = 60 × sin60° = 60 × 3
√—2 = 30 3
√
.
图20 - 19
A
B
D
C
i = 1 : 0.6
60°
60 m
图20 - 20
h
l
α
i = h : l
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第二十章 解直角三角形
93
∴ DC = AC · cos∠ ACD = 60 × cos60° = 60 × 1—2 = 30 .
∵ 西山坡 AB 的坡度 i = 1 : 0.6，即 AD
——
BD = 5—3 ，
∴ BD = 3—5 AD = 3—5 × 30 3
√ = 18 3
√ .
∴ BC = BD + DC = 18 3
√ + 30 61.2 （m） .
答：隧道BC 的长约为61.2 m .
练习
如图所示，有一段防洪大堤，它的
横断面为梯形ABCD . 根据图示数
据，求堤底宽 AD、坡角 ∠ BAD、 坡
角∠ CDA （角度精确到1°） .
A
F
E
B
D
C
i = 1 : 2
2.5 m
5 m
4 m
例3 如图20 - 21，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A 处望见岛
C 在船的北偏东60° 方向，前进20 海里①到达 B 处，此时望见岛C 在船的北
偏东30° 方向. 以岛C 为中心的12 海里内为军事演习的危险区，如果这艘渔
船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？
分析：要判断渔船是否有进入危险区的可能，就
要看船行驶至距离岛C 最近的位置即图中点D 时，CD
的长度与12 海里的大小关系 .
解：作CD⊥AB ，交AB 延长线于点 D .由题设可知，
在 △ ABC 中， ∠ CAB = 30°， ∠ ABC = 90° + 30° = 120°，
∴ ∠ ACB = 30°，BC = AB = 20 .
在 Rt △ CBD 中，∠ CBD = 60° ，
∵ sin ∠ CBD = CD
——
CB ，
∴ CD = CB · sin ∠ CBD = 20 × sin60° = 20 × 3
√—2 = 10 3
√ （海里） .
∵ 10 3
√ > 12，
∴ 这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区 .
图20 - 21
A
B
D
C
北
① 1 海里 = 1 852 米.
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数学 九年级 上册
94
例4 在数学活动课上，老师带领学生去测量位于北京大学未名湖东南湖
畔的博雅塔的高度 . 如图20 - 22，在C 处用高1.2 m 的测角仪 CE 测得塔顶 A
的仰角为30° ， 向塔的方向前进50 m 到达D 处，在 D 处测得塔顶 A 的仰角为
71°. 求博雅塔的高 AB 约为多少米 （结果精确到 1 m ） .
分析：设 EF 的延长线交 AB 于点 G，根据题意，要求 AB 的长，只要求出
AG 的长即可. 设 AG 为x m ，在 Rt △ AEG 和 Rt △ AFG 中，EG 和 FG 分别能
用含 x 的代数式表示，再利用 EG - FG = EF，得到关于 x 的方程，进而求得 x
的值.
解：设 EF 的延长线交 AB 于点 G，根据题意，得
DF = BG = CE = 1.2， EF = CD = 50 .
设 AG 为 x m . 在 Rt △ AEG 和 Rt △ AFG 中，
∵ ∠ AEF = 30° ，∠ AFG = 71°，
∴ ∠ EAG = 60° ，∠ FAG = 19° .
∵ tan∠ EAG = EG
——
AG ，
练习
一艘船向东航行，上午10 时到达一座灯塔 P 的西南 68
海里的M 处，中午12 时到达这座灯塔的正南 N 处，求
这艘船航行的速度（结果精确到 1 海里 / 时） .
M
N
P
北
图20 - 22
A
B
D
F
E
C
G
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2014.8.11 8:19:40 AM
第二十章 解直角三角形
95
∴ EG = AG · tan ∠ EAG = x · tan60° .
同理 FG = AG · tan∠ FAG = x · tan19° .
又 EF = EG - FG，
∴ 50 = （tan60° - tan19° ） · x .
∴ x =
50
————————
tan60° - tan19° 36.0 .
∴ AB = AG + GB 36.0 + 1.2 = 37.2 37 （m） .
答：博雅塔的高 AB 约为37 m .
练习
根据章前页的数据，计算人民英雄纪念碑的高度 （结果精确到0.1 m） .
基础
1. 填空题：
（1） 如图，在远离铁塔150 m 的 D 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高
AD = 1.52 m，那么塔高 BE __________ m （结果精确到 0.1 m）；
（2） 如图，在高 2 m，坡角 30° 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 __________ m （结
果精确到 0.1 m） .
习 题 20 - 2
A
E
B
D
30°
[ 第1 （1）题]
150 m
2 m
30°
[ 第1 （2）题]
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2014.8.11 8:19:45 AM
数学 九年级 上册
96
2. 选择题：
（1） 如图，为测楼房 BC 的高，在距楼房 30 m 的 A 处，测得楼顶 B 的仰角为α，那么
楼房BC 的高为 （ ） .
A. 30tan α （m）
B.
30
———
tan α （m）
C. 30sin α （m） D.
30
———
sin α （m）
（2） 河堤的横断面如图所示，堤高 BC 为 5 m，迎水坡 AB 的长是 13 m，那么斜坡 AB
的坡度 i 是 （ ） .
A. 1 : 3
B. 1 : 2.6
C. 1 : 2.4
D. 1 : 2
3. 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90° ，根据下列条件解直角三角形：
（1） c = 8 3
√，∠ A = 60° ；
（2） a = 6，b = 2 3
√ .
4. 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90° .
（1） 如果c = 41，b = 9，解这个直角三角形（角度精确到1'）；
（2） 如果b = 192，∠ B = 42° ，解这个直角三角形（边长的结果精确到0.1） .
5. 在 △ ABC 中，AB =
3
√，AC = 4，∠ A = 60°， 求 S △ ABC .
6. 在 △ ABC 中，∠ A = 60° ，AC = 1，BC =
3
√ ，求∠ B 的度数 .
7. 如图，某校的“人”字形自行车棚顶为等腰三角形，D 是 AB 的中点，中柱 CD = 1 m，
∠ A = 27° . 求跨度 AB 的长 （结果精确到0.01 m） .
8. 如图，在一座高为10 m 的建筑物顶 C ，测得旗杆底部 B 的俯角 α 为60° ，旗杆顶部 A
的仰角 b 为 20° . 请你计算旗杆的高度 （结果精确到0.1 m） .
9. 如图，A 市气象台预报：一沙尘暴中心在A 市正西方向 1 000 km 的 B 处，正迅速向北
偏东65° 的 BC 方向移动，距沙尘暴中心 400 km 的范围内将受沙尘暴影响. 请问A 市
是否会受这次沙尘暴的影响？
（第8 题）
A
C
D
B
α
β
10 m
A
B
C
D
（第7 题）
[ 第2 （2）题]
A
B
C
[ 第2 （1）题]
α
A
C
B
（第9 题）
A
C
B
65°
北
东
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第二十章 解直角三角形
97
提升
1. 已知：如图，在 △ ABC 中，∠ C = 90° ，sin A = 2—5 ，D 为 AC 上一点，∠ BDC = 45°，
DC = 6 ，求 AB 的长.
2. 已知：如图，在 △ ABC 中，CD，BE 分别为 AB 与 AC 上的高，∠ EBC = 45°，∠ DCB =
30°，DC = 12，求 BE 的长.
3. 已知：在△ ABC 中，BC = 6，AC = 6 3
√，∠ A = 30°，求 AB 的长 .
4. 如图，有一段防洪大堤，其横断面为梯形 ABCD，AB // DC，斜坡 AD 的坡度 i1 = 1 : 1.2，
斜坡 BC 的坡度 i2 = 1 : 0.8，大堤顶宽 DC 为 6 m . 为了增强抗洪能力，现将大堤加高，
加高部分的横断面为梯形 DCFE ，EF // DC，点 E，F 分别在 AD，BC 的延长线上 . 当
新大堤顶宽 EF 为 3.8 m 时，大堤加高了几米？
（第1 题）
A
C
D
B
（第2 题）
A
C
D
E
B
（第4 题）
D
E
F
A
C
B
拓展
有一个半径为0.7 km 的圆形森林公园，其圆心为A ；在森林公园附近有B，C 两个村庄. 现
要在B，C 两个村庄之间修一条长为2 km 的笔直公路，将两村连接，如图所示. 经测量
得∠ ABC = 45°，∠ ACB = 30°. 此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明理由.
A
C
B
综合与实践
分小组测量不能直接到达底部的某建筑物高度.
测量建筑物的高度
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数学 九年级 上册
98
三角函数符号史话
我们在学习和应用数学知识的时候，都会感到有简洁的数学符号是
多么的重要. 各种各样的数学符号错综复杂地交织在一起，构成了数学
世界中一幅宏大而绚丽的图画.
你可知道三角函数符号产生和发展的历史？
正弦、 余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，统
称为三角函数. 它起源于天文、测量等实际需要.
阿尔• 巴塔尼是中世纪对欧洲影响最大的天文学家，其《天文论著》
（又名《星的科学》） 被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，在该书
中阿尔• 巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切.
sin 的英文全名是 sine （正弦），阿尔• 巴塔尼在《天文论著》中对
它的命名来源于阿耶波多的印度语术语 jī va，拉丁语译作sinus，后来演
变为英语sine.
cos 的英文全名是 cosine（余弦），最早出现在1620 年出版的《炮
兵测量学》一书中，作者是英国人根日尔.
tan 的英文全名是 tangent （正切），阿尔• 巴塔尼称正切为umbra
versa，意为反阴影. 后来演变成拉丁语tangent，首见于丹麦数学家芬
克的《圆几何学》一书中.
此外，在三角函数中，还有cot （余切）、sec（正割）、csc（余割）等，
这些函数早在 1597 年前就已存在了.
18 世纪末期，瑞士数学家欧拉非常欣赏前人所创用的三角函数符
号，在他的大力倡导下，三角函数的符号终于得到了公认.
阅读理解
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第二十章 解直角三角形
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2. 特殊角的三角函数值 .
sin30° = cos60° = 1—2 ，sin45° = cos45° =
2
√—2 ，
sin60° = cos30° =
3
√—2 ，tan30° =
3
√—3 ，tan45° = 1，tan60° = 3
√.
3. 锐角三角函数值可利用科学计算器求得；反过来，已知锐
角的一个三角函数值，也可利用科学计算器求出这个锐角.
4. 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素
的过程，叫做解直角三角形 . 已知元素应该有两个，其中至少有
一个是边. 解直角三角形的基本类型及解法如下表：
本章主要的知识有： 锐角三角函数的概念，解直角三角形及
其应用 .
1. 锐角三角函数的概念.
在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90° ，∠ A 的三角函数：
∠ A 的正弦 sin A = ∠ A 的对边
—————
斜边
= a—c ；
∠ A 的余弦 cos A = ∠ A 的邻边
—————
斜边
= b—c ；
∠ A 的正切 tan A = ∠ A 的对边
—————
∠ A 的邻边 = a—b .
知识
要点
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
已知条件
解 法
两 边
两条直角边 a 和 b
c = a2 + b2
√
，用tan A = a—b 求 ∠ A，
∠ B = 90° - ∠ A
一条直角边 a 和 斜边 c
b = c2 - a2
√
，用sin A = a—c 求 ∠ A，
∠ B = 90° - ∠ A
一边和
一锐角
一条直角边 a 和 锐角 A
用tan A = a—b 求b，c = a2 + b2
√
，
∠ B = 90° - ∠ A
斜边 c 和锐角 A
用sin A = a—c 求a，b = c2 - a2
√
，
∠ B = 90° - ∠ A
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数学 九年级 上册
100
1. 正确认识和理解锐角三角函数 .
（1） 对锐角三角函数，我们是通过实验、观察、归纳、证明的方
法，经历由特殊到一般的过程来认识的 .
（2） 锐角三角函数值是直角三角形中两条边的比值，由直角三角
形中两条边的比，可以求得某个锐角的三角函数值；反之，已知一
个锐角的三角函数值，就可以得到这个角所在的直角三角形中两条
边的比 .
2. 恰当选用关系式来解直角三角形 .
例如，在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，求边 a . 涉及边 a 的关系式有：
sin A = a—c ，cos B = a—c ， tan A = a—b ，tan B = b—a ，a = c
2 - b2
√
等. 在这
些关系式中，只要知道其中两个量，就可以求出第三个量，选哪一
个关系式求解 a，要根据具体情况而定. 因此，要注意选择恰当的关
系式来解决问题 .
3. 将某些问题转化为解直角三角形的问题 .
在某些图形中，有时需要通过作垂线的方法将相关的边角计算
问题转化为解直角三角形的问题去解决 .
4. 构造与实际问题相关的直角三角形 .
利用解直角三角形解决实际问题时，关键是将实际问题中的数
量关系转化为直角三角形中的元素之间的关系 . 同时应注意：
（1） 认真审题，根据题意画出示意图，搞清已知条件和所要求的
问题；
（2） 弄清相关概念，例如仰角、俯角、坡度、坡角等的意义；
（3） 按题目中精确度的要求进行近似计算、确定答案及注明单位.
学习
指导
复 习 题
基础
1. 填空题：
（1） 不用计算器求值： tan30° + sin60°
————————
1 - cos60°
= ___________________ .
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第二十章 解直角三角形101
（2） 在 △ ABC 中，∠ C = 90° ，BC = 2，sinA = 1—3 ，那么 AB = ___________________ .
（3） 如图，一艘轮船以每小时 20 海里的速度沿正东方向航行. 上午8 时，该船在 A 处测
得某灯塔位于它的北偏东 30° 的 B 处. 上午9 时船行至C 处，测得该灯塔恰好在它
的正北方向，此时它与灯塔的距离是 ____________ 海里.
（4） 如果某人沿坡度 i = 1 : 0.75 的斜坡前进 10 m，那么他所在的位置比原来的位置升高
了 __________________ m .
（5） 如图，在△ ABC 中，AD ⊥BC 于点 D， CE ⊥ AB 于 点E，且 BE = 2AE，已知
AD = 3
3
√，tan∠ BCE = 3
√—
3 ，那么 CE = _____________ .
2. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ C = 90° ，AC = 6，D 是 AC 上一点 . 如果 tan ∠ DBA =
1—5 ，那么 AD 的长为（ ） .
A. 2
√ B. 2 C. 1 D. 2
2
√
3. 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90° ，根据下列条件解直角三角形：
（1）c = 10，∠ B = 60° ；
（2）a = 4
6
√，b = 12
2
√ ；
（3）c = 2
3
√，b =
6
√ ；
（4）b = 6，S △ ABC = 18
3
√
.
4. 如图，某海岛上的观察哨所 A 发现海上某船只 B，并测得其俯角 α =8°14' . 已知观察哨
所 A 的标高（当水位为 0 m 时的高度）为 43.74 m，当时水位为 + 2.63 m . 求观察哨所
（第2 题）
A
C
D
B
[ 第1（3）题]
A
A
C
B
30°
北
东
[ 第1（5）题]
C
E
D
B
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数学 九年级 上册
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A 到船只 B 的水平距离 BC （结果精确到 1 m） .
5. 如图，当北京香山的缆车经过 A 到达 B 时，它走过了
700 m. 由 B 到达山顶 D 时，它又走过了 700 m. 已知线
路 AB 与水平线的夹角 α 为 16°， 线路 DB 与水平线的夹
角 β 为 20°，A 的海拔是 126 m . 求山顶 D 的海拔 （结果
精确到 1 m） .
6. 如图，Rt △ ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为 12 m，它的坡角为45°.
为了提高该堤的防洪能力，现把它改成坡比为1 : 1.5 的斜坡 AD，求 DB 的长（结果精
确到0.1 m） .
7. 如图，两个建筑物 AB 和 CD 之间的水平距离是72.6 m . 从其中一个建筑物的顶部A 点
测得另一个建筑物的顶部C 点的俯角是35°18'， 底部 D 点的俯角是 43°22' . 求这两个建
筑物的高（结果精确到 1 m） .
（第5 题）
D
β
A
B
α
C
（第7 题）
（第6 题）
D
A
C
B
（第4 题）
A
C
B
α
α
船只
海岛
72.6 m
43°22'
35°18'
D
A
C
B
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第二十章 解直角三角形103
提升
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为a，b，c，请你确定式子 a2
—
bc cos A +
b2
—
ac cos B 是否为常数，并试证明你的结论.
2. 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，如果斜边 c = 6k （k > 0），面积 S = 6k2，那么tan A + tan B
的值是含 k 的式子，还是不含 k 的常数？试加以证明.
3. 已知 α 为锐角，sin α = 5—
13，求 cos α + tan α 的值.
4. 已知 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，根据下列条件解 Rt △ ABC ：
（1） ∠ A = 60°，CD ⊥ AB 于点 D，CD =
3
√
；
（2） BC = 2，CD ⊥ AB 于 点D，BD =
3
√
；
（3） AC = 8
5
√， AD 平分∠ BAC 交BC 于点D， AD = 16
—3
15
√
.
5. 已知：如图，北方某地夏季中午，太阳正高，光线与地面成 78° 角，房屋朝南的窗子高
AB = 220 cm，要在窗子外面上方安装水平挡光板 AC ，使午间光线不能直接射入室内，
那么挡光板 AC 的宽度至少应是多少厘米 （结果精确到 1 cm） ？如果冬天正午时，光线
与地面成 31° 角，窗台的高为 80 cm，按照上面要求设计挡光板 AC 的宽度，理论上太
阳光最远能照进室内多少厘米（结果精确到 1 cm）？
6. 如图，为提高水库的蓄水抗洪能力，需沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽 2 m，坡度由
原来的 1 : 2 变成 1 : 2.5 . 已知坝高 6 m，坝长50 m . 求加宽部分横截面 AFEB 的面积.
D
50 m
2 m
6 m
（第6 题）
A
C
B
E
F
1 : 2
1 : 2.5
拓展
1. 如图所示，某居民小区有一栋朝向为正南方向的居民楼 DC，该居民楼的第一层是高 6 m
（第5 题）
A
B
C
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数学 九年级 上册
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（第1 题）
D
B
C
A
太阳光
32°
新
楼
居
民
楼
的小区超市，超市以上是居民住房. 在该楼正南方向 15 m 处要盖一栋高 20 m 的新楼
AB. 当冬季正午的阳光与水平面的夹角为32° 时，回答下列问题：
（1） 超市以上的居民住房采光是否受到影响？
（2） 如果要使超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？
2. 在 Rt △ ABC 中，∠ C = 90°， ∠ A，∠ B，∠ C 的对边分别为 a，b，c，那么
a
———
sin A 与
b
———
sin B的大小关系是什么？请说明理由. 如果△ ABC 为锐角三角形，结论又如何呢？请
说明理由.
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第二十一章
圆（上）
我们已经学过圆的一些简单知识. 圆是一种十分简单、
美观的几何图形，它在生产和日常生活中有着广泛的应用.
在本章，我们将进一步学习圆的有关概念、性质、计算及
简单应用.
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数学 九年级 上册
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21.1
圆的有关概念
如图21 - 1，取一根细绳拉直后卡住两端. 在一个平面内，将一端点 O 固定，
另一端点 P 绕着点 O 旋转一周，所形成的图形就是圆.
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形
叫做圆. 定点 O 称为圆心，线段 OP 称为半径. 以点 O
为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ” .
可以知道：
圆上任意一点到定点（圆心 O ）的距离等于定长（半
径的长 r），到定点的距离等于定长的点都在圆上.
也就是说：
在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
思考
如图21 - 2，墙上有一个圆形靶盘，
三支飞镖分别落到了A，B，C 三点处. 可
以看出，点 B 在⊙O 内，点 A 在 ⊙O 上，
点 C 在 ⊙O 外.
（1） A，B，C 三个点到圆心的距离
与 ⊙O 的半径 r 有怎样的大小关系？
（2） 如果墙上有一点 P，点 P 到圆心的距离为 d ，你能根据 d
与 r 的大小关系，说出点 P 与⊙O 的位置关系吗？
圆的位置由什么
决定？圆的大小与什
么有关？
图21 - 1
O
P
图21 - 2
O
r
A
B
C
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第二十一章 圆（上）107
点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外 .
圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆
内. 也就是说：
圆的内部可以看做是到定点的距离小于定长的点的集合.
圆外各点到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆
外. 也就是说：
圆的外部可以看做是到定点的距离大于定长的点的集合.
设 ⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d，那么有：
1. 点P 在圆内 ⇔① d < r ；
2. 点P 在圆上 ⇔ d = r ；
3. 点P 在圆外 ⇔ d > r .
例1 在 △ ABC 中，∠ C = 90°，AC = 4，AB = 5，以点 C 为圆心，以 r
为半径作圆，按下列条件分别判断 A，B 两点和 ⊙C 的位置关系：
（1） r = 2.4 ；
（2） r = 4 .
解：∵ ∠ C = 90°，AC = 4，AB = 5，
∴ BC = AB
2 - AC
2
√
= 3.
（1） 当 r = 2.4 时，
∵ BC = 3 > r，AC = 4 > r，
∴ A，B 两点都在 ⊙C 外.
（2） 当 r = 4 时，
∵ BC = 3 < r，AC = 4 = r，
∴ 点 B 在 ⊙C 内， 点 A 在 ⊙C 上 .
例2 已知四边形 ABCD 为矩形. 判断 A，B，C，D 四个点是否在同一
个圆上，并说明理由.
解： A，B，C，D 四个点在同一个圆上.
理由如下：
如图21 - 3，连接 AC，BD，AC 与 BD 相交于
点 O .
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
图21 - 3
A
B
C
D
O
① 数学符号“⇔”表示从左边可以推出右边，也可以从右边推出左边.
自己画出图形试一试.
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第二十一章 圆（上）109
思考
如图21 - 8，将整个圆分成 360 等份，我们
把每一份弧称为 1° 的弧，由此可知，弧的度数
等于它所对的圆心角的度数. 在图21 - 8 中，如
果∠ AOB 的度数为 n ，那么∠ AOB 所对的 AB
的度数为n，也可以说 AB 是 n° 的弧 .
因为 360° 的圆心角所对的弧长就是圆周长
C = 2πR，所以 1° 的圆心角所对的弧长是2πR
——
360 ，即πR
——
180 . 于是可得，在
半径为 R 的圆中， n° 的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：
l = nπR
——
180 .
已知：A，B 为⊙O 上的两点，⊙O 的半径为 R .
（1） 如果∠ AOB = 90°，那么 ∠ AOB 所对的弧长为 ___________ ；
（2） 如果∠ AOB = 60°，那么 ∠ AOB 所对的弧长为 ___________ ；
（3） 如果∠ AOB = n°，那么 n° 的圆心角所对的弧长为 ___________.
实践
如图21 - 7，指出⊙ O 中所有的弦、劣弧
和劣弧所对的圆心角 .
当半径R 一定时，圆心角的度数n
与弧长l 之间存在怎样的函数关系？
图21 - 7
A
C
O
B
E
D
图21 - 6
B
A
O
m
如图21 - 6，圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称
弧 . 小于半圆的弧又称为劣弧，如劣弧 AB，记作“AB”，读
作“弧AB”. 大于半圆的弧又称为优弧，如优弧 AB，记作
“AmB”，读作“弧AmB” . 在同圆或等圆中，能够互相重合
的弧叫做等弧. 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心
的弦叫做直径. 顶点在圆心的角叫做圆心角.
图21 - 8
A
O
B
1° 弧
n° 圆心角
1° 圆心角
n° 弧
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数学 九年级 上册
110
探索
例3 道路施工部门在铺设形如图21 - 9 的管
道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料 . 试计
算图中的管道中心线 AB 的长（π 取3.14，结果精确
到0.1 m） .
解：∵ OA = 40，n = 120，
∴ l = nπR
——
180 = 120 × 3.14 × 40
———————
180
83.7 （m） .
答： AB 的长约为 83.7 m.
我们已经知道，一条弧和经过这条弧的端点的
两条半径所组成的图形叫做扇形. 如图21 - 10，圆
的半径也是扇形的半径 .
已知扇形的圆心角度数和它的半径，如何计算扇形的面积？
半径为 R，圆心角为 n° 的扇形面积的计算公式是
S扇形 = nπR2
——
360 .
因为 nπR2
——
360 = nπR
——
180 · R
—2 = 1—2 lR，所以扇形的面积公式还可以写成
S扇形 = 1—2 lR.
例4 如图21 - 11，现有一把折扇和一把圆扇. 已知折扇的骨柄长等于
圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的 2—3 ，折扇张开的角度为120° ，通过
计算来说明哪一把扇子的扇面面积较大 .
图21 - 11
R
A
l
O
B
图21 - 10
n°
a
2—3 a
a
A
O
120°
40 m
图21 - 9
B
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第二十一章 圆（上）111
1. 判断题：
（1） 直径是弦；
（ ）
（2） 半圆是弧；
（ ）
（3） 长度相等的两条弧是等弧；
（ ）
（4） 在同圆中，优弧一定比劣弧长 .
（ ）
2. 弧长为 6π 的弧所对的圆心角为 60°，求弧所在的圆的半径.
3. 扇形的面积是 S ，它的半径是 r，求这个扇形的弧长 .
练习
解：由折扇的骨柄长和圆扇的直径都是 a ，得
S 圆扇的扇面 = π × （
a—2 ）
2 = 1—4 πa2 ；
S 折扇的扇面 = S 大扇形 - S 小扇形
= 120
——
360 × π × a2 - 120
——
360 × π × （ a - 2—3 a ）
2
= 8—
27 πa2 .
∵ 8—
27 πa2 > 1—4 πa2 ，
∴ 折扇的扇面面积大于圆扇的扇面面积.
实践
1. 按下列要求，利用直尺和圆规作圆 ：
（1） 过已知的点 A 作一个圆；
（2） 过已知的A，B 两点作一个圆.
2. 分别满足上面（1）、
（2）条件的圆各能作多少个？说明你的理由.
21.2
过三点的圆
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数学 九年级 上册
112
以点 A 外的任意一点 O 为圆心，以点 O 到点 A 的距离为半径，可以作出
经过已知点 A 的 ⊙O. 由于点 O 可以任意选取，因此经过一点 A 的圆有无数多
个（图21 - 12） .
以线段 AB 的垂直平分线上任意一点 O 为圆心，以点 O 与点 A （或点B）的
距离为半径，可以作出经过已知两点 A，B 的圆. 由于AB 的垂直平分线上有无
数多个点，因此经过已知两点A，B 的圆也可以画出无数多个 （图21 - 13） .
A
A
O
B
B
C
C
D
E
F
G
图21 - 14
图21 - 15
思考
过已知A，B，C 三个点一定可以作一个圆吗？如果能，在什么
条件下能作？如果不能，试说明理由.
在图21 - 14 中，A，B，C 三点不在同一条直线上，AB 的垂直平
分线 FG 与 AC 的垂直平分线 DE 相交于点 O，那么OA = OB = OC. 以
O 为圆心，OA 为半径作圆，便可得到经过 A，B，C 三点的圆. 因此，
过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆，并且只能作一个圆，即
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
在图21 - 15 中，A，B，C 三点在同一条直线上，AB 的中垂线与 BC 的中
垂线平行，没有交点，说明圆心不存在，因此，过在同一条直线上的三个点不
能作圆.
A
A
O2
O3
O
O
O1
O1
B
图21 - 12
图21 - 13
O2
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第二十一章 圆（上）113
三角形的外心是三
角形哪三条线的交点？
下面我们用另一种方法来说明这个问题.
假设过同一条直线上的A，B，C 三点可以作圆，设这个圆的圆心为 P . 因
为点 P 到点A、点B、点C 的距离相等，所以点 P
既在线段 AB 的垂直平分线 a 上，又在线段 BC 的垂
直平分线 b 上，即点 P 为直线 a 和直线 b 的交点（图
21-16） . 这与“过一点有且只有一条直线与已知直
线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三个点不
能作圆. 我们在七年级研究平行线的性质时曾经接
触过这种证明方法——反证法.
利用反证法证明命题一般有三个步骤：（1） 假设命题的结论不成立；（2） 从
这个假设出发，经过推理论证，得出了与定义、基本事实、定理或题设相矛盾
的结论；（3） 由此判定这个假设不正确，从而肯定原命题的正确性.
经过三角形三个顶点的圆称为三角形的外接圆. 三角形外接圆的圆心叫做
三角形的外心. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
例 已知： △ ABC.
求作： △ ABC 的外接圆.
作法：（1） 作线段 AC 的垂直平分线 DE ；
（2） 作线段 AB 的垂直平分线 FG，交 DE 于点 O ；
（3） 以点O 为圆心，以 OB 为半径作圆.
所以 ⊙O 就是所求作的△ ABC 的外接圆 （图21 - 17） .
练习
1. 请利用直尺和圆规确定图中 AB所在圆的圆心，并画出这个圆.
2. 在一个三角形中，能有两个角是钝角吗？请说明理由.
A
B
C
D
E
F
G
图21 - 17
O
P
a
b
A
B
C
l
图21 - 16
A
B
（第 1 题）
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数学 九年级 上册
114
基础
1. 填空题：
（1） ⊙O 的半径为 r ，那么⊙O 的弦长的取值范围是 __________ ；
（2） 在平面直角坐标系内，如果点 A 到坐标原点的距离等于 3 ，那
么请你任意写出三个满足条件的点 A 的坐标 _____________ ；
（3） 如图，在 △ ABC 中，∠ C 是直角，∠ A = 32° . 以点 C 为圆心，
BC 为半径作圆交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，那么BD 的度数
是 __________ .
2. 已知 ⊙O 的 半径是 4 cm，当 OP 满足下列条件时，分别指出点 P 和⊙O 的位置关系：
（1） OP = 2 cm ；
（2） OP = 3.5 cm ；
（3） OP = 4 cm ；
（4） OP = 5.6 cm .
3. 一张圆形玻璃桌面被打破，残留下的一块玻璃如图所示. 请你测量出
图中圆形桌面的直径（精确到1 cm），再按 1 : 50 的比例，求出圆形
桌面的实际面积.
4. 如图，等腰 △ ABC 的顶角为50°，AB = AC，以 AB 为直径作半圆与 BC 交于点 D，与
AC 交于点 E. 求BD ，DE 和AE 的度数.
5. 如图，估计两条弧各自所在圆的半径的大小关系，并通过作图来验证结果是否正确.
6. AB 是⊙O 的弦，C，D 是 AB 上两点，并且 AC = BD，判断 OC 与 OD 是否相等，并说
明理由.
7. 如图所示为圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为 120 m，圆心角为90° . 你能求
出这段铁轨的长度吗？当圆心角是33° 时，求它所对的弧长 .
8. 圆心角为60° 的扇形的半径为 6 cm，求这个扇形的面积和周长.
9. 如图，两个半径为1，圆心角是90° 的扇形 OAB 和扇形O'A'B' 叠放在一起，点O' 在AB 上，
习 题 21 - 1
（第3 题）
A
C
D
E
B
[ 第1 （3）题]
O
B
D
C
E
（第4 题）
（第5 题）
（第7 题）
50°
A
O
21章P105-136.indd 114
2014.8.11 8:25:48 AM
第二十一章 圆（上）115
四边形 OPO'Q 是正方形，求图中红色部分的面积.
10. 如图，正方形的边长为 a，分别以各边为直径在正方形内部画半圆，求所围成的图形 （红
色部分） 的面积.
11. 平行于同一条直线的两条直线一定平行吗？试说明理由.
提升
O
O'
P
Q
B
B'
a
A
A'
（第9 题）
（第10 题）
拓展
如图，四边形 ABCD 是菱形. AB = 10 cm，∠ ABC = 60°，
分别以 ABCD 的四条边为直径作半圆 . 求图中红色部分的
面积.
1. 平面直角坐标系中有四个点 A （-2
6
√，1），B （- 1，2
6
√），C （5
3
√，5），D （5
3
√，-5），
O 为坐标原点. 判断 A，B，C，D 四个点是否在以 O 为圆心的同一个圆上，并说明理由.
2. 如图，AB 为半圆 O 的直径，C，D 是AB 的三等分点 . 如果⊙O 的半径为1，E 为 AB
上任意一点，求图中红色部分的面积 .
3. 如图，一块边长为 10 厘米的正方形木板 ABCD 在水平桌面上绕点 D 按顺时针方向旋转
到 A'B'C'D 的位置时，顶点 B 从开始到结束所画过的路线总长为多少厘米？
O
B
D
C
E
A
（第2 题）
（第3 题）
A
B
B'
C'
D
C （A'）
C
D
A
B
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2014.8.11 8:25:51 AM
数学 九年级 上册
116
21.3
圆的对称性
思考
思考
圆是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.
CD 是以点O 为圆心的圆形纸片的直
径，过直径上任意一点E 作弦AB ⊥ CD（图
21 - 18）. 将圆形纸片沿着直径CD 对折，
比较图中的线段和弧，你有什么发现？
把一张圆形的纸片沿着它的任意一条直径对折，直径两侧的两个
半圆能够互相重合. 这说明：
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，经过圆心的每一条直线都
是它的对称轴.
A
B
D
E
O
C
图21 - 18
在图21 - 18 中，根据图形的轴对称性，可知 AE = BE ，AD = BD，
AC = BC. 由此得出：
*垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
也就是说，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，如果CD⊥AB于点E，那
么 AE = BE，AD = BD，AC = BC.
例1 已知：如图21 - 19，在 ⊙O 中，直径CD交弦AB于点E，AE = BE.
求证：CD⊥ AB，AD = BD，AC = BC.
21章P105-136.indd 116
2014.8.11 8:25:54 AM
第二十一章 圆（上）117
证明：连接AO，BO.
∵ AO = BO，
∴ △ AOB为等腰三角形.
∵ AE = BE，
∴ CD ⊥ AB.
∵ CD 为直径，
∴ AD = BD，AC = BC.
由此可以得到一个推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
为什么这条弦不能是直径？
下面两个命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请说明理由；
如果是假命题，请举出反例.
（1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（2） 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的
另一条弧.
交流
例2 已知：如图21 - 20，A，B，C，D为⊙O 上的四个点，AB // CD. 判
断AC 与 BD 是否相等，并说明理由.
解：AC 与 BD 相等.
理由如下：
过点O作直线OE⊥AB于点H，交DC于点G，交⊙O于
E，F 两点.
∴ AE = BE .
∵ AB // CD，
∴ OE⊥CD .
∴ CE = DE .
∴ CE - AE = DE - BE .
即 AC = BD .
A
B
D
E
H
O
G
F
C
图21 - 20
你还能用其他方法来
说明理由吗？
A
B
D
E
O
C
图21 - 19
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2014.8.11 8:25:57 AM
数学 九年级 上册
118
练习
1. 已知：如图，⊙O的直径 AB = 15，弦 CD ⊥ AB 于点 E，BE = 3，
那么CD 的长为________.
2. 已知：CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于E，AE = BE，AB = 6，
CE = 1，那么⊙O 的半径长为_________.
例3 我国隋代建造的赵州桥 （图21 - 21） 的桥拱是圆弧形，它的跨度（即
弧所对的弦长）为37.4 m， 拱高（即弧的中点到弦的距离， 也叫弓形①高） 为7.2 m，
求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1 m） .
解：如图21 - 22，设桥拱 AB 所在圆的圆心为O，半径为R m，连接OA，
OB，过点O作OC⊥AB，D为垂足，与 AB 相交于点C.
∴ AD = BD.
∵ AB = 37.4，DC = 7.2，
∴ AD = 1—2 AB = 1—2 ×37.4 = 18.7，
OD = OC - DC = R - 7.2 .
在 Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 + OD2 .
即 R2 = 18.72 + （R-7.2） 2.
解这个方程，得
R
27.9 （m） .
答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9 m .
① 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
图21 - 21
A
B
D
O
C
图21 - 22
37.4
7.2
A
B
D
O
（第1 题）
C
E
R
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2014.8.11 8:26:01 AM
第二十一章 圆（上）119
圆是中心对称图形吗？如果是，指出它的对称中心.
交流
如图21 - 23，在 ⊙O 上任意取一点 A ,作直径
AB，那么 OA = OB . 就是说，A，B 两点关于点O 对
称，因此：
圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
图21 - 23
A
B
O
3. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大
圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点，试比较 AC 与
BD 长度的大小，并说明理由.
思考
用计算机或图形计算器作⊙O 及相等的
圆心角∠ AOB，∠ A'OB'（图21 - 24），连接
AB，A'B'，拖动点A 在圆上运动，你能发现图
中有哪些相等的关系？
当∠ AOB 与∠ A'OB'重合时，△OAB与△OA'B' 能够完全重合，可以
看到下面的两组量分别相等：AB = A'B'，AB = A'B' . 由此可以得到：
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对
的弦也相等.
还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两
条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所
对应的其余各组量都分别相等.
不在同圆或等圆中，
结论还成立吗？
图21 - 24
（第3 题）
A
B
D
O
C
A
B
A'
B'
O
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2014.8.11 8:26:07 AM
数学 九年级 上册
120
如图21 - 25，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE ⊥
AB 于点 E，OF ⊥ CD 于点F .
（1） 如果 AB = CD，那么能否得到 OE = OF，为什么？
（2） 如果 OE = OF，那么能否得到AB = CD，为什么？
交流
例4 已知：A，B是⊙ O上的两点，∠ AOB = 120°，C 是 AB 的中点. 试判
断四边形 AOBC 的形状，并说明理由.
解：四边形 AOBC 为菱形 .
理由如下：
如图21 - 26，连接 OC .
∵ C 是 AB 的中点，
∴ AC = BC .
∵ ∠ AOB = 120°，
∴ ∠ 1 = ∠ 2 = 1—2 ∠ AOB = 60° .
又∵ OA = OC = OB，
∴ △ AOC，△ BOC 均为等边三角形 .
∴ AC = AO = OB = BC .
∴ 四边形 AOBC 为菱形 .
A
B
O
C
1
2
图21 - 26
练习
1. 已知：如图，AB，CD 是 ⊙O 的两条弦，OE ⊥ AB 于 E，OF ⊥CD 于F .
（1） 如果AB = CD，那么_____________________________ ；
（2） 如果 AB = CD ，那么____________________________ ；
（3） 如果∠ AOB = ∠ COD，那么______________________ ；
（4） 如果 OE = OF ，那么_____________________________.
A
E
F
D
B
O
C
图21 - 25
（第1 题）
A
E
F
D
B
O
C
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2014.8.11 8:26:11 AM
第二十一章 圆（上）121
2．如图，以
ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作 ⊙A，分别交 BC，AD 于 E，F 两点，
交 BA 的延长线于 G，判断 EF 和 FG 是否相等，并说明理由.
基础
1. 选择题：
（1） AB，CD 分别是两个圆中的弦，如果 AB = CD，那么 AB 与 CD
的关系是 （ ） .
A. AB < CD B. AB = CD C. AB > CD D. 不能确定
（2） 如图⊙O 的半径为 5，AB 为弦，OC ⊥AB，垂足为 C，如果 OC = 3，
那么弦 AB 的长为 （ ） .
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
2. 填空题：
（1） 在同一个圆中，当圆心角不超过180° 时，圆心角越大，所对的弧越___________，
所对的弦越___________，圆心到所对弦的距离越_________ . （填“长”或“短”）
（2） 如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于M，AM = 16，BM = 4，那么CD =_______，
AC = _______ .
（3） 已知：CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于E，AE = BE，CD = 8，CE = 2，那么AB
的长为________ .
（4） 如图，在⊙O 中，如果 AB = 2 AC ，那么AB________2AC . （填“>”、“=”或“<”）
习 题 21 - 2
A
B
C
O
[ 第1 （2）题]
（第2 题）
A
E
F
G
D
B
C
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2014.8.11 8:26:14 AM
数学 九年级 上册
122
A
B
O
[ 第2 （5）题]
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（第3 题）
（5） 如图，将⊙O 沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O，如果⊙O 的半径为4，那么
弦AB 的长度等于____________ .
（6） “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸①，锯道长一尺，问径几何？”
这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：“如果CD 为⊙O 的直径，
弦AB ⊥CD 于E，CE = 1 寸，AB = 10 寸，那么直径CD 的长为___________ 寸.”
3. 依照图 （1），在图 （2） ~ （5） 中，利用给出的两个同心圆上的点，设计几个不同的对称
图形（轴对称图形或中心对称图形） .
4. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，BC 是⊙O 的直径，AB，AC 边分别交⊙O 于D，E
两点，求证： BD = DE = EC .
5. 已知：如图，AB 是半圆O 的直径，AC 为弦，OD // BC 交 AC 于 D，BC = 8 cm，求 OD 的长.
6. 如图，在⊙O 中，P 是弦AB 上一点，AB = 10 cm，PB = 4 cm，OP = 2.5 cm，求⊙O 的周长.
7. 已知：如图，AB 是⊙O 的弦，且AC = BD，半径OE，OF 分别过C，D 两点，求证：
AE = BF .
A
B
C
O
[ 第2 （4）题]
A
A
A
A
B
B
B
B
C
C
C
O
O
O
O
E
E
F
D
D
（第4 题）
（第5 题）
（第6 题）
（第7 题）
D
P
① 古代的长度计量单位，不同时期的标准不同 . 今1寸 = 1—
30 米 .
21章P105-136.indd 122
2014.8.11 8:26:18 AM
第二十一章 圆（上）123
1. 已知：菱形 ABCD 和 ⊙O，求作一条直线，使它同时平分菱形
ABCD 和 ⊙O 的面积.
2. 已知：如图，AB，CD，EF 是⊙O 的弦，AB // CD // EF . 求证：
△ACE
△BDF .
提升
A
B
D
F
E
C
O
（第2 题）
拓展
1. 秋千的拉绳长3 m，静止时踩板离地面0.5 m，聪聪荡秋千，秋千
在最高处时踩板离地面2 m（前后高度对称），求该秋千所荡过
的圆弧长是多少.
2. 已知：如图，⊙O 的半径为10，∠ AOB = 90°，弦MN // AB，MN
与 OA，OB 分别相交于点E，F，且 MN 被点 E，F 三等分. 求证：
O 点到 MN 的距离的平方数等于半径长.
21.4
圆周角
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
如图21 - 27，∠ BAC 是 BC 所对的圆周角 .
探索
1. 任意画同一条弧所对的圆心角和圆周角，分别测量这两个角的大
小，你能得到它们在度数之间有怎样的关系？再画一个圆周角试一试.
（第2 题）
A
B
O
E
F
M
N
A
B
C
O
图21 - 27
21章P105-136.indd 123
2014.8.11 8:26:20 AM
数学 九年级 上册
124
2. 用计算机或图形计算器画出如图21 - 28 的
图形. 如图21 - 29，拖动点C，利用“度量”功能，
猜想圆周角与圆心角之间的关系.
A
B
C
O
图21 - 28
A
B
C
O
∠ AOB = 74°
∠ ACB = 37°
A
B
C
O
∠ AOB = 74°
∠ ACB = 37°
图21 - 29
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
已知：如图21 - 30，在⊙O 中， AB 所对的圆周角是∠ ACB，圆心角是
∠ AOB.
求证：∠ ACB = 1—2 ∠ AOB .
分析：由“探索”可知，圆心与圆周角有三种不同的位置关系，当圆心 O
在∠ ACB 的边上时，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质
即可证明. 当圆心 O 在 ∠ ACB 的内部或外部时，可以通过添加直径这条辅助线，
把问题转化为圆心 O 在 ∠ ACB 的边上时的特殊情形来解决.
证明：（1）如图21 - 30（1），圆心O 在∠ ACB 的边上.
∵ OC = OB，
∴ ∠ C = ∠ B .
∵ ∠ AOB 是△OBC 中∠ COB 的外角，
∴ ∠ AOB = ∠ C + ∠ B .
图21 - 30
（1）
C
B
A
O
（2）
O
D
A
B
C
（3）
D
O
A
B
C
21章P105-136.indd 124
2014.8.11 8:26:25 AM
第二十一章 圆（上）125
∴ ∠ AOB = 2 ∠ C .
即 ∠ C = 1—2 ∠ AOB .
（2）如图21 - 30 （2），圆心O 在∠ ACB 的内部.
作直径CD，利用 （1）的结果，有
∠ ACD = 1—2 ∠ AOD， ∠ BCD = 1—2 ∠ BOD .
∴ ∠ ACD + ∠ BCD = 1—2 （∠ AOD + ∠ BOD） .
即 ∠ ACB = 1—2 ∠ AOB .
（3）如图21 - 30 （3），圆心O 在∠ ACB 的外部.
作直径CD，利用 （1） 的结果，有
∠ ACD = 1—2 ∠ AOD， ∠ BCD = 1—2 ∠ BOD .
∴ ∠ BCD - ∠ ACD = 1—2 （∠ BOD - ∠ AOD） .
即 ∠ ACB = 1—2 ∠ AOB .
由定理可以推出下面的推论：
推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 同圆或等圆中，相等的圆周角所
对的弧也相等.
已知：如图21 - 31，A，B，C，D 为⊙O 上的四个点，点 E 为 DC 延长线
上的一点.
求证：∠ BCD + ∠ A = 180°， ∠ ABC + ∠ ADC = 180°.
证明：∵ BAD 和 BCD 所对的圆心角的和是周角，即∠ 1 + ∠ 2 = 360°.
∴ ∠ BCD +∠ A
= 1—2 ∠ 1 + 1—2 ∠ 2
= 1—2 （∠ 1 + ∠ 2）
= 1—2 ×360° = 180°.
同理可证 ∠ ABC + ∠ ADC = 180° .
推论 2 圆内接四边形的对角互补.
我们又称四边形ABCD
为圆内接四边形.
A
B
C
D
O
1
2
E
图21 - 31
21章P105-136.indd 125
2014.8.11 8:26:27 AM
数学 九年级 上册
126
练习
1. 如图，判断下列各图形中所画出的角是否为圆周角，并说明理由.
2. A，B，C 是⊙O 上的三个点，∠ BAC = 61°，求∠ BOC 的度数.
3. 在同一个圆中画出三条弦，使其构成三个圆周角，你有几种画法？
4. 已知：A，B，C，D 为⊙O 上的四个点，点E 为DC 延长线上的一点.
求证：∠ BCE = ∠ A.
（第1 题）
思考
在⊙O 中，AB 为直径，如果点 C 在圆上（点 C 不与 A，B 两
点重合），那么∠ ACB 具有怎样的特征？为什么？
因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，此时AB为直
径，圆心角 ∠ AOB = 180°，所以直径 AB 所对的圆周角 ∠ ACB 是直角.
由定理还可以推出下面的推论：
推论 3 半圆（或直径）所对的圆周角是直角.
推论 4 90°的圆周角所对的弦是直径.
例1 已知：如图21 - 32，CD 为⊙O 的直径，AC，AE 分别交 ⊙O 于 B，
D 两点，∠ A = 23°， ∠ BED = 21°，求∠ DCE 的度数.
解：∵ CD 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠ CED = 90° .
∵ ∠ A = 23°，
∴ ∠ BCE = 67° .
∵ ∠ BCD = ∠ BED = 21°，
∴ ∠ DCE = ∠ BCE - ∠ BCD
= 67° - 21°
= 46° .
A
B
C
D
O
E
F
图21 - 32
21章P105-136.indd 126
2014.8.11 8:26:30 AM
第二十一章 圆（上）127
例2 已知：如图21 - 33，在⊙O 中，直径 AB 的长为10 cm，弦 AC 的
长为 6 cm，∠ ACB 的平分线交⊙O 于点D，求BC，AD 和BD 的长.
解：∵ AB 为直径，
∴ ∠ ACB = ∠ ADB = 90° .
在Rt △ACB 中，
BC = AB
2 - AC
2
√
= 10
2 - 6
2
√
= 8 （cm） .
∵ CD 平分∠ ACB，
∴ AD = BD .
∴ AD = BD .
在等腰直角三角形 ADB 中，
AD = BD = AB×sin45° = 10 × 2
√
——
2
= 5 2
√ （cm） .
∴ BC = 8 cm，AD = BD = 5 2
√ cm .
练习
1. 证明：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
2. 使用曲尺检验工件的凹面. 已知凹面成半圆时工件为合格品. 如图所示的三种情
况中，哪个工件可能是合格的？哪个工件是不合格的？为什么？
3. 如图，⊙C 经过坐标原点 O，并与两坐标轴相交
于A，D 两点，已知∠ OBA = 30°，点 D 的坐标
为（0，2），求点 A 的坐标及圆心 C 的坐标.
（第2 题）
（第3 题）
A
x
y
D
B
O
C
A
O
D
B
C
图21 - 33
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数学 九年级 上册
128
（3） 如图，在⊙O 中，C，D 为⊙O 上两点，AB 是⊙O 的直径，如果∠ AOC = 130°，
那么∠ D = __________ ；
（4） 已知：如图，在⊙O 中，AD 是直径，BC 是弦，BD = DC ，由这些条件你能推出的
结论是____________________________________________（至少写出6 个结论）.
2. 已知：如图，△ABC 内接于⊙O，AB = AC， ∠ BOC = 120°，求 AB 的度数.
3. 直角三角形的两条边长分别为6 和8，求这个三角形外接圆的半径.
4. 如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在 AmB 上，求∠ C 的度数.
5. 如图，半圆的直径AB = 13 cm，C 是半圆上一点，CD ⊥AB 于 D，并且 CD = 6 cm，求
AD 的长.
6. 如图所示为中国共产主义青年团团旗上的图案，点A，B，C，D，E 五等分圆，求∠ A +
∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E 的度数.
（第5 题）
A
D
B
C
（第4 题）
[ 第1 （1）题]
[ 第1 （2）题]
[ 第1 （3）题]
[ 第1 （4）题]
A
A
A
A
E
O
O
O
O
D
D
B
B
B
B
C
C
C
基础
1. 填空题：
（1） 已知：如图，A，B，C 都是⊙O 上的点，如果∠ AOC = 130°，那么∠ ABC 的度数
为_________ ；
（2） 如图，A，B 是⊙O 上的两点，如果∠ AOB = 70°，C 是⊙O 上不与点 A，B 重合的
任一点，那么∠ ACB 的度数为___________ ；
习 题 21 - 3
（第2 题）
O
B
C
A
A
O
B
C
m
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第二十一章 圆（上）129
（第6 题）
A
E
D
B
C
（第7 题）
（第8 题）
A
A
E
E
D
D
B
B
C
C
O
7. 已知：如图，AD 平分∠ BAC，DE // AC，且 AB = a. 求 DE 的长.
8. 如图，△ABC 中，AC = AB，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 于 D ，交 AC 于 E. 试说明
∠ BAD 和∠ EDC 之间的数量关系.
1. 如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，∠ A = 60°，∠ B = 90°，
AB = 2，CD = 1，求AD 的长.
2. 已知：A，B，C，D 四个点在⊙O 上，射线AB 与射线CD 相
交于点P . 如果AC ，BD 所对的圆心角分别为 80° 和60°，
求∠ APC 的度数.
提升
拓展
如图，在⊙O 中，AC 为直径，点B，D 在⊙O 上，且 AD = DC，DE ⊥AB 于 E，四边形
ABCD 的面积为18，求 DE 的长.
E
D
B
C
O
A
（第1 题）
D
B
C
A
60°
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数学 九年级 上册
130
《原本》及其影响
《原本》（Elements）由古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元
前330—公元前275）所著，是至今流传最广、影响最大的一部数学
名著，它对数学以及自然科学的发展产生了深远的影响.
欧几里得在编写《原本》时，广泛地吸取了前人的成果，将几
何知识加以总结和系统化. 在古往今来的浩瀚书海中，用各国文字出
版《原本》的次数位居世界第二位. 中国最早的中文译本是由利玛窦
（Matteo Ricci）和我国明代科学家徐光启合译的，他们于1607 年把
该书的前六卷“平面几何”部分翻译成中文，书名定为《几何原本》. 此
后，我国出版的各种译本都沿袭这一名称. 它的后九卷由我国清代数
学家李善兰（1811—1882）和英国人伟烈亚历合译完成.
阅读理解
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问题解决
1. 如图21 - 34，当⊙O 中的弦AB，CD 相交于点P 时，探
索∠ APC 的度数与AC ，BD 的度数之间的数量关系.
2. 如图21 - 35，当⊙O 中的弦AB，CD 的延长线相交于点P
时，探索∠ APC 的度数与AC ，BD 的度数之间的数量关系.
∠ AOC = 59.22°
∠ BOD = 61.12°
∠ BPD = 60.17°
（∠ AOC +∠ BOD） / 2 = 60.17°
图21 - 34
图21 - 35
A
B
C
D
P
O
A
B
C
D
P
O
∠ BOD = 31.58°
∠ AOC = 99.16°
∠ BPD = 33.79°
（∠ AOC - ∠ BOD） / 2 = 33.79°
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2014.8.11 8:26:46 AM
第二十一章 圆（上）131
《几何原本》列出了五条公理和五条公设，并在各章的开头给出
了一系列定义，然后根据这些定义、公理和公设推导出了465 个数
学命题，其系统之严谨，推理之严密，令人叹为观止. 我国初中数学
教材中，有关平面几何的内容主要取材于《几何原本》的前六卷. 现
代德国数学家希尔伯特在其著作《几何基础》 中进一步发展、完善了
欧几里得的公理体系.
欧几里得最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原
始的定义和公理，并将它们严格地按照逻辑顺序进行排列，然后
在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构和严密逻辑
体系的《原本》 . 它的公理化方法为人们提供了一种研究问题的方
法. 千千万万的人通过学习欧氏几何，受到了严格的逻辑训练，从而
迈进了科学殿堂，因此，《原本》是2 000 多年来运用公理化方法的
一个绝好典范，是人类文化遗产中的一块瑰宝，是科学思想史上最
伟大的里程碑之一.
本章研究了圆的有关知识，主要内容包括：圆的概念及性质，
点和圆的位置关系，与圆有关的角，圆和三角形、四边形的位置
关系以及它们的应用.
1. 圆的概念和性质.
（1） 圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点确定圆的
位置，定长确定圆的大小.
不共线的三个点可以确定一个圆.
（2） 圆的性质.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.
圆中的有关垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的直径平分弦，
知识
要点
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
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数学 九年级 上册
132
并且平分弦所对的两条弧.
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 圆绕圆心O 旋转
任意角度后所得到的图形都能与原图形重合，这是圆的旋转不变
的性质.
2. 点与圆的位置关系.
点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.
设⊙O 的半径为r，点P 到圆心的距离为d，那么有：
3. 和圆有关的角.
圆心角是指顶点在圆心的角. 圆心角的度数与它所对的弧的
度数相等.
圆周角是指顶点在圆上，两边和圆相交的角.
同弧 （或等弧） 所对的圆周角等于圆心角的一半.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一
组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
同弧或等弧所对的圆周角相等. 同圆或等圆中，相等的圆周
角所对的弧相等.
半圆 （或直径） 所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦
是圆的直径.
4. 和圆有关的三角形、四边形.
三角形有且只有一个外接圆，它的圆心称为三角形的外心.
圆内接四边形的对角互补.
知识
要点
1. 要注意圆的对称性知识的学习与应用.
圆是特殊的对称图形，圆的一些性质都可以由它的对称性推
出. 例如：有关垂直于弦的直径的性质及其推论；在同圆或等圆中，
两个圆心角、圆心角所对的两条弧、两条弦之间的数量关系等. 数
学的对称美在这里得到了充分的体现.
学习
指导
点P 在圆外 ⇔ d > r；
点P 在圆上 ⇔ d = r；
点P 在圆内 ⇔ d < r .
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第二十一章 圆（上）133
学习
指导
2. 体验运动变化在解决数学问题中的作用.
我们运用运动变化的方法研究了许多有关圆的性质. 例如：在
学习圆周角与圆心角之间的关系定理时，我们让圆周角的顶点在圆
上运动，通过测量体验圆周角与圆心角之间的数量关系. 当然，如
果能够充分利用计算机或图形计算器等现代技术，那将更有利于
我们体验运动变化在解决数学问题中的作用.
3. 注意知识之间的联系与转化.
在学习圆这一部分知识的时候，要注意前后知识之间的联系，
并注重使用转化的数学方法. 例如：在解题过程中经常将圆的知
识向直线形知识转化；在圆的有关证明或计算问题中，经常通过
添加辅助线，将一般性问题向特殊性问题转化.
值得注意的是，转化是有条件的. 例如，当通过证明两条弧或
者两个圆心角之间的相等关系来证明两条弦的相等关系时，“在同圆
或等圆中”是前提.
复 习 题
基础
1. 判断题：
（1） 经过三个点一定可以作圆；
（ ）
（2） 圆心角相等，那么圆心角所对的弧就相等；
（ ）
（3） 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
（ ）
（4） 等弦所对的圆心角相等；
（ ）
（5） 圆是绕圆心旋转任意角度后能和原图形重合的图形；
（ ）
（6） 平分弦的直径垂直于弦.
（ ）
2. 填空题：
（1） 在半径为10 cm 的⊙O 中，如果弦 AB 长为10 2
√ cm，那么∠ AOB =________.
（2） 如果 AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 于M，AM = 16，BM = 4，那么 CD =______.
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数学 九年级 上册
134
（3） 如果⊙O 的直径为10，弦 AB = 6，P 是 AB 上一动点，那么 OP 长的取值范围是
_____________ .
（4） 如图，在⊙O 中，∠ AOB = ∠ ACB，那么∠ A + ∠ B 的度数为______ .
（5） 如图，AB 为⊙O 的直径，∠ BED = 40°，那么∠ ACD =______ .
（6） 如图，OA，OB 是⊙O 的半径，如果∠ AOB = 40°，∠ OBC = 50°，那么∠ ACB =
________，∠ OAC = __________ .
（7） 如图，在△ABC 中，∠ C = 90°，CA = CB = 2 . 分别以A，B，C 为圆心，以1—2 AC
为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的红色部分的面积是____________ .
（8） 在△ABC 中，AB = 12，BC = 9，AC = 15，那么△ABC 的外接圆的半径长为_________ .
（9） 如果⊙O 的半径为25 cm，弦AB ∥CD，且AB = 40 cm，CD = 14 cm，那么AB 和
CD 之间的距离是_______________.
3. 小明四等分AB ，他的作法如下：
（1） 连接 AB （如图）；
（2） 作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 M，交 AB 于点 T ；
（3） 分别作AT，TB 的垂直平分线EF，GH，交 AB 于N，P 两点.
那么N，M，P 三点把 AB 四等分.
小明的作法对吗？请你作出判断，并说明理由.
4. 已知：如图，在⊙O 中，AC = CB ，D，E 分别是半径 OA，OB 的中点. 求证：CD = CE.
5. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，OD ∥AC. 求证：点 D 平分 BC .
[ 第2 （6）题]
A
C
O
B
[ 第2 （7）题]
A
C
B
（第3 题）
A
B
T
N
M P
G
C
E
F D H
[ 第2 （4）题]
A
O
C
B
A
[ 第2 （5）题]
O
C
D
B
E
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第二十一章 圆（上）135
6. 已知：如图，PB，PD 是⊙O 的弦，PB =
PD . 点 O 在∠ BPD 的平分线上吗？说明
你的理由.
7. 如图，△ABC 中，∠ B = 60°，AC = 3 cm，
⊙O 为△ABC 的外接圆. 求⊙O 的半径.
8. 如图，照片是圆盘的一部分，照片与实物
的比例为1 : 20 . 现在要制作一个与实物
圆盘同样大小的仿制品. 请你设计一种方案，将照片中的圆盘外边沿画完整，并计算仿
制圆盘的半径长度 （结果精确到1 cm） .
9. 点 O 是两个同心半圆的圆心，如图所示叠放在一起，连接AC，BD.
（1） 求证：△AOC
△ BOD ；
（2） 如果OA = 3 cm，OC = 1 cm，求红色部分的面积.
10. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径 BD 交 AC 于点 E， AF ⊥BD 于点 F，
延长 AF 交 BC 于点 G . 试问AB2 = BG · BC 吗？为什么？
11. 如图，已知△ABC 内接于半径为 R 的⊙O，∠ A 为锐角. 求证：BC
———
sin A = 2R .
（第7 题）
A
C
B
（第8 题）
提升
1. 画一个圆，并将这个圆2 等分、4 等分、8 等分. 你还能将圆几等分？
2. 如图，一块等边三角形的木板，边长为10 cm. 现将该木板在同一平面内沿水平线BC 翻
（第5 题）
A
C
O
D
B
（第6 题）
O
D
B
P
（第4 题）
A
C
O
D
B
E
（第9 题）
A
C
O
D
B
（第11 题）
A
A
C
C
O
O
D
B
B
G
E
F
（第10 题）
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数学 九年级 上册
136
拓展
1. 如图，点 A 是半圆上一个三等分点，点 B 是 AN 的中点，点 P 是直径 MN 上一动点，
⊙O 的半径为1，求 AP + BP 的最小值.
2. 如图，正三角形ABC 的边长为1 cm，将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转120° 至 AP1，形成
扇形D1 ；将线段BP1 绕点 B 逆时针旋转120° 至 BP2，形成扇形D2 ；将线段 CP2 绕点 C
逆时针旋转 120° 至 CP3，形成扇形 D3 ；将线段 AP3 绕点 A 逆时针旋转120° 至 AP4，形
成扇形D4……设 ln 为扇形 Dn 的弧长（n = 1，2，3，…） . 回答下列问题：
（1） 按照要求填表.
（2） 根据上表所反映的规律，试估计 n 至少为何值时，扇形 Dn 的弧长能绕地球赤道一周.
（地球的赤道半径约为6 378 km）
（第3 题）
n
1
2
3
4
ln
滚2 次，那么B 点从开始到结束所经过的路径长度为多少？
3. 请你欣赏下列图案，并设计一个美丽的图案.
（第2 题）
A
A'
C
C'
B
B'
B''
（第2 题）
A
B
P2
P1
P4
P3
C
（第1 题）
A
B
N
P
O
M
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第二十二章
圆（下）
在圆（上） 一章中，我们已经学习了圆
的有关概念、性质和它们的简单应用. 在本
章，我们将研究直线和圆的位置关系，以及
正多边形和圆的有关性质与计算.
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数学 九年级 上册
138
22.1
直线和圆的位置关系
实践
1. 如图22 - 1，用圆规在单线本上画⊙O，
观察⊙O 与各条横线的公共点各有多少个.
2. 使一支笔在⊙O 所在的平面内运动，观
察该笔所表示的直线运动到不同位置时和圆的公
共点的个数有什么变化.
图22 - 1
O
可以发现，直线和圆有三种不同的位置关系：
（1） 如图22 - 2（1） ，当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称这条直
线和这个圆相离 .
（2） 如图22 - 2（2） ，当一条直线与一个圆有唯一公共点时，我们称这条
直线和这个圆相切 . 这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点 .
（3） 如图22 - 2（3） ，当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称这条
直线和这个圆相交 . 这条直线叫做圆的割线 .
图22 - 2
O
l
l
l
O
O
（1）
（2）
（3）
一 直线和圆
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第二十二章 圆( 下 ) 139
思考
如图22 - 3，怎样用圆心O 到直线l 的距离d 与圆
的半径r 之间的数量关系，描述直线和圆的位置关系？
O
l
l
l
O
O
r
r
r
d
d
d
（1）
（2）
（3）
图22 - 3
可以得出：
直线l 与⊙O 相离
d > r ；
直线l 与⊙O 相切
d = r ；
直线l 与⊙O 相交
d < r .
例
在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以C 为圆心，
r 为半径画圆. 当 （1） r = 1. 8 cm，（2） r = 2. 4 cm，（3） r = 2. 6 cm 时，⊙C 与
AB 所在直线具有怎样的位置关系？为什么？
分析：要判断 ⊙C 与AB 所在直线的位置关系，只需求出圆心C 到AB 的
距离 CD 的长，然后与圆的半径r 进行比较.
解：如图22 - 4，过点C 作CD ⊥ AB 于D .
∵ ∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，
∴ AB = = = 5 .
∵ S △ABC = 1
2 AB · CD = 1
2 BC · AC，
∴ CD =
即圆心C 到AB 的距离CD 的长为2. 4 cm .
（1） 当r = 1. 8 cm 时，CD > r，因此⊙C 与AB 相离；
（2） 当r = 2. 4 cm 时，CD = r，因此⊙C 与AB 相切；
请画图验证
各个结论.
AC
2 + BC2
√
32 + 42
√
BC · AC
————
AB
4 × 3
——
5
= 2.4 .
=
图22 - 4
A
D
B
C
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数学 九年级 上册
140
（3） 当r = 2. 6 cm 时，CD < r，因此⊙C 与AB 相交.
如图22 - 5，连接OA，过点A 画半径OA 的垂线AB，那么直线AB 是
⊙O 的切线，A 为切点.
练习
1. 已知⊙O 的半径为4 cm，当圆心O 到直线l 的距离分别为 （1） 3. 5 cm，（2） 4 cm，
（3） 4. 5 cm 时，判断直线l 和⊙O 的位置关系.
2. 在△ABC 中，AB = 10，BC = 8，AC = 6. 如果以C 为圆心，1
2 BC 的长为半径画圆，
那么AB 与⊙C 有怎样的位置关系？
22.2
圆的切线
探索
经过⊙O 上的一点A，怎样准确地画出⊙O 的切线？
A
B
O
图22 - 5
想一想，这样画
图的理由是什么？
此时，圆心O 到AB 的距离等于半径，即AB 为⊙O 的切线. 也就是说，
经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例1 已知：如图22 - 6，AB 为⊙O 的直径，AB = 1 cm，BC = 2
√ cm，
AC = 1 cm . 判断直线AC 与⊙O 是否相切，并说明理由.
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第二十二章 圆( 下 ) 141
练习
解：直线AC 与⊙O 相切.
理由如下：
∵ AB = 1，BC = 2
√，AC = 1，
∴ AB 2 + AC 2 = BC 2 .
∴ △ABC 为直角三角形，∠BAC = 90° .
∵ AB 为⊙O 的直径，
∴ 直线AC 经过⊙O 半径的外端A .
∴ 直线AC 与⊙O 相切，A 为切点.
A
C
B
O
图22 - 6
1. 砂轮转动时，火花是沿着砂轮的切线方向飞出去的，给我们以直线和圆相切的
形象. 请你再举出几个生活中直线和圆相切的实例.
2. 如图，AB 是⊙O 的直径，分别过点A、点B 画⊙O 的切线，并判断这两条切
线的位置关系.
3. 已知：如图，直线AB 经过⊙O 上的点C，且OA = OB，CA = CB. 判断直线
AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由.
A
B
O
（第2 题）
B
C
A
O
（第3 题）
思考
如图22 - 7，直线AB 与⊙O 相切
于点A. 判断直线AB 与半径OA 是否
垂直，为什么？
B
A
O
图22 - 7
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数学 九年级 上册
142
⊙
练习
B
A
O
C
图22 - 8
可以判断AB 与OA 垂直. 理由如下：
假设AB 与OA 不垂直，过点O 作OC ⊥ AB，垂足为
C，如图22 - 8 . 根据“垂线段最短”的性质，可知OC <
OA . 这就是说，圆心O 到直线AB 的距离小于半径，那么
有AB 与⊙O 相交，这与“直线AB 与⊙O 相切”的已知
条件相矛盾. 因此，AB 与半径OA 垂直.
由此可得圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.
例2 已知：如图22 - 9，AB 为半圆O 的直径，CD 为半圆O 的一条
切线，C 为切点，AD ⊥ CD，垂足为D .
求证：AC 平分∠DAB .
证明：连接OC .
∵ CD 是⊙O 的切线，切点为C，
∴ OC ⊥ CD .
∵ AD ⊥ CD，
∴ OC ∥AD .
∴ ∠2 = ∠3 .
∵ OA = OC，
∴ ∠1 = ∠3 .
∴ ∠1 = ∠2 .
即AC 平分∠DAB .
怎样利用切线
的性质来证明呢？
1. 如图，P 是⊙O 的直径CD 的延长线上的一点，PA 与⊙O 相切于点A，∠P =
30°. 求∠ACP 的度数.
2. 如图，在以点O 为圆心的两个
同心圆中，大圆的弦AB 与小
圆相切，C 为切点. 判断AC
与BC 是否相等，并说明理由.
A
P
D
O
C
O
A
C
B
（第1 题）
（第2 题）
A
B
O
C
D
3
2
1
图22 - 9
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第二十二章 圆( 下 ) 143
思考
经过⊙O 外的一点可以画该圆的几条切线？画出图形并观
察，你可以得到哪些结论？
如图22 - 10，过⊙O 外的一点P 可
以画圆的两条切线PA 和PB，切点分别为
A，B. 可以证明△AOP ≌△BOP . 因此，
PA = PB，∠APO = ∠BPO .
经过圆外一点作圆的切线，这点与切
点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
从而得到：
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这
点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
例3 如图22 - 11（1） ，一段圆柱形钢材放在V 形支架中. 图22 - 11 （2）
是它的截面示意图，CA 和CB 都是⊙O 的切线，切点分别是A，B . ⊙O 的半
径为2 3
√ cm，AB = 6 cm .
求∠ACB 的度数.
O
A
B
P
图22 - 10
解：如图22 - 11 （2） ，连接OC，交AB 于点D .
∵ CA，CB 都是⊙O 的切线，切点分别是A，B，
∴ CA = CB，CO 平分∠ACB .
图22 - 11
（1）
（2）
O
A
B
C
D
∴ OC ⊥ AB，BD = 1
2 AB .
＊
22章P137-161.indd 143
2014.8.11 8:28:37 AM
数学 九年级 上册
144
练习
∵ AB = 6，
∴ BD = 3 .
∵ 在△OBD 中，∠ODB = 90°，OB = 2 3
√，
∴ sin ∠BOD = BD
——
OB =
3
——
2 3
√
= 3
√—2 .
∴ ∠BOD = 60° .
∵ CB 是⊙O 的切线，B 为切点，
∴ OB ⊥ BC .
∴ ∠OCB = 30° .
∴ ∠ACB = 2 ∠OCB = 60° .
还有其他的解法吗？
1. 如图，PA 与⊙O 相切于点A，PB 与⊙O 相切于点B，OP 交⊙O 于点D，交
AB 于点C.
（1）图中的垂直关系有 ；
（2）图中的全等三角形有 ；
（3） 写出图中的四对相似三角形（不含全等三角形） ；
（4） 如果PA = 4，PD = 2，那么⊙O 的半径长为 .
2. 如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于A，B 两点，点C 为劣弧AB上任意一点，过
点C 的切线分别交AP，BP 于D，E 两点. 如果AP = 5 cm，求△PDE 的周长.
A
O
C
B
D
P
O
A
D
C
E
B
P
（第1 题）
（第2 题）
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2014.8.11 8:28:40 AM
第二十二章 圆( 下 ) 145
可以看到，能够画出和△ABC 三边都相切的圆，这个圆的面积最大. 因
为所求作的圆与△ABC 的三边都相切，所以这个圆的圆心到三边的距离都相
等. 因此，圆心既要在∠ABC 的平分线上，
又要在∠ACB 的平分线上. 这两条角平分线
的交点即为所求圆的圆心，它到三角形一边
的距离为所求圆的半径.
作法：（1） 作∠ABC，∠ACB 的平分线
BM 和CN，两线相交于点O .
（2） 过点O 作OD ⊥ BC，垂足为点D .
（3） 以点O 为圆心，OD 长为半径作
⊙O .
所以⊙O 就是所求作的圆（图22 - 13） .
由作法可知，和三角形的三边都相切的
圆可以作出一个，并且只可以作出一个.
如图22 - 14，当圆和三角形的三边都相
切时，我们称这个圆为三角形的内切圆. 内
切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形
称为这个圆的外切三角形.
探索
1. 能不能画出和三角形三
边都相切的圆？
2. 木工师傅要在一块三
角形木板上裁下一个面积最大
的圆形，这个圆有什么特点？
用尺规、计算机或图形计算器
画出这个圆（图22 - 12） .
A
D
C
B
O
N
M
图22 - 13
图22 - 14
O
A
C
B
交点也在∠BAC 的
平分线上吗？为什么？
图22 - 12
A
B
C
22章P137-161.indd 145
2014.8.11 8:28:44 AM
数学 九年级 上册
146
A
E
B
C
G
O
F
图22 - 15
练习
1. 在△ABC 中，点O 是△ABC 的内心，∠BOC = 112°，求∠A 的度数.
2. 已知：如图，四边形ABCD 外切于⊙O，切点分别为E，F，G，H. 判断AD +
BC 与AB + DC 是否相等，为什么？
A
H
D
G
E
O
B
C
F
（第2 题）
例4 如图22 - 15，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为E，F，G，AB = 9，
BC = 13，AC = 10 .
求AE，BF 和CG 的长.
解：∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为E，F，G，
∴ AE = AG，BE = BF，CG = CF .
设AE = x，BF = y，CG = z .
∵ AB = 9，BC = 13，AC = 10，
x + y = 9，
∴ y + z = 13，
z + x = 10 .
解这个方程组，得
x = 3，
y = 6，
z = 7 .
∴ AE = 3，BF = 6，CG = 7 .
{
{
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第二十二章 圆( 下 ) 147
基础
1. 填空题：
（1） 三角形的内心是三角形三条 的交点.
（2） 如果以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，那么这个三角形为
三角形.
（3） 过圆外一点P 作圆的切线PM，M 为切点，点P 到圆心O 的距离为13 cm，圆的半
径为5 cm，那么PM = .
探 究 学 习
与圆有关的比例线段
A，B，C，D 为⊙O 上的点，直线AB，CD 相交于点P.
（1） 当点P 在⊙O 内时[如图22 - 16（1） ]，试探究PA，PB，
PC，PD 四条线段的长有怎样的关系；
（2） 当点P 在⊙O 外时[如图22 - 16（2） ]，猜想图中的PA，
PB，PC，PD 四条线段的长是否仍然具有（1） 中的关系；
（3） 当点A 和点B 重合时[如图22 - 16（3） ]，猜想图中的
PA，PC，PD 三条线段的长是否仍然具有（1） 中的关系.
利用尺规、计算机或图形计算器验证你的猜想，最后将猜想
用文字叙述出来，并说明理由.
CP = 0. 38
PD = 0. 99
AP = 0. 95
PB = 0. 39
CP · PD = 0. 38
AP · PB = 0. 38
A
D
B
C
O P
CP = 0. 88
PD = 2. 18
AP = 0. 96
PB = 1. 99
CP · PD = 1. 90
AP · PB = 1. 90
A
D
B
C
O
P
CP = 0. 97
PD = 2. 21
AP = 1. 46
CP · PD = 2. 14
AP 2 = 2. 14
D
A(B)
C
O
P
（1）
（2）
（3）
图22 - 16
习 题 22 - 1
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数学 九年级 上册
148
（4） 给出下列命题：
① 任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
② 任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③ 任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④ 任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形.
其中， 是真命题（填入序号） .
（5） 如图，PA 与⊙O 相切，A 为切点，PO 交⊙O 于点B，PA = 4，OA = 3，那么cos P
的值为 .
（6） 如图，已知AB 是⊙O 的直径，BD = OB，∠CAB = 30°. 请写出三个正确的结论
（AO = OB = BD 除外） ： .
（7） 如图，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A，B，点C 在⊙O 上，如果∠P = 50°，
那么∠ACB 等于 .
B
A
P
O
C
P
A
B
O
A
O
B
D
C
[ 第1（5） 题]
[ 第1（6） 题]
[ 第1（7） 题]
2. 两个同心圆，大圆的半径R = 3 cm，小圆的半径r = 2 cm，d 是圆心O 到直线l 的距
离. 当d 取下列不同的值时，分别说出直线l 和大圆、小圆的位置关系：
（1） d = 2 cm ； （2） d = 2. 5 cm ； （3） d = 3 cm.
3. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，∠CBA = 45°，AC = AB. 求证：AC 为⊙O 的切线.
4. 已知：如图，⊙O 的半径为4，OA ⊥ OB 于点O，OC ⊥ AB 于点C，OA = 4 5
√，OB =
2 5
√. 求证：AB 与⊙O 相切.
5. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为E，F，G. 如果GC = 10，BF = 3，AG = 2，
试判断△ABC 的形状，并说明理由.
O
O
O
A
B
C
F
E
G
A
A
C
B
B
C
（第3 题）
（第4 题）
（第5 题）
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第二十二章 圆( 下 ) 149
6. 如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB = 70°. 求∠P
的度数.
7. 已知：如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D.
求证：AC 与⊙O 相切.
8. 已知：PA，PB 分别与⊙O 相切于A，B 两点，∠APB = 60°. 如果⊙O 的半径为3，求
△PAB 的面积.
A
O
O
B
C
A
A
B
C
D
E
O
D
C
B
P
（第6 题）
（第7 题）
（第10 题）
9. 直角三角形的斜边长为10，其内切圆半径为2，求直角三角形的周长.
10. 已知：如图，⊙O 过正方形ABCD 的顶点A，B，且与CD 边相切于点E. 如果正方形
的边长为2，求⊙O 的半径.
提升
1. 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D，DE ⊥ BC，垂足为点E. 由这些条件，
你能得到哪些结论？（写出4 个结论即可，并选择其中一个进行证明）
2. △ABC 的面积为4 cm 2，周长为10 cm，求△ABC 内切圆的半径.
3. 如图，实验室常用游标卡尺来测量圆形物体的直径，请你说明其中的道理.
4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AD 是∠BAC 的角平分线.
（1） 以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O .
（2） 求证：BC 为⊙O 的切线.
（3） 如果AC = 3，tanB = 3
4 ，求⊙O 的半径.
O
A
B
D
C
E
（第1 题）
A
C
D
B
（第4 题）
（第3 题）
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数学 九年级 上册
150
前面已经认识到各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，下面学习正
多边形和圆的关系以及正多边形的有关计算.
如图22 - 17，在⊙O 中，AB = BC = CD = DE =
EF = FA ，可以证明六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正
六边形；反过来，由于正六边形ABCDEF 各个顶点
到点O 的距离都相等，因此，正六边形ABCDEF 的
各个顶点都在⊙O 上.
类似的，如果将一个圆分成n 等份，那么依次连
接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；
反过来，正n 边形的各个顶点都在同一个圆上，这个圆是正n 边形的外接圆.
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边
形的半径，中心到圆内接正多边形各边的距离叫做正多边形的边心距. 正多边
形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个圆心角叫做正多边形的中心角.
例如，在图22 - 17 中，圆心O 是正六边形ABCDEF 的中心，OA 是它的
拓展
如图，在半径为2. 5 cm 的⊙O 中，直径AB 的两侧有定点C 和动点P. 已知BC ∶CA = 4 ∶3，
点P 在AB上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q.
（1） 当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长.
（2） 当点P 运动到AB的中点时，求CQ 的长.
（3） 当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此
时CQ 的长.
A
C
P
B
Q
O
22.3
正多边形的有关计算
A
B
C
D
E
F
O
H
图22 - 17
二 正多边形和圆
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第二十二章 圆( 下 ) 151
一条半径，OH 是它的一条边心距，∠AOB 是它的一个中心角.
正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？举例说明.
交流
例1 已知：⊙O .
求作：⊙O 的内接正方形.
作法：（1） 过圆心O 作直线AC，与⊙O 相交
于A，C 两点；
（2） 过点O 作直线BD ⊥ AC，交⊙O 于B，D
两点；
（3） 连接AB，BC，CD，DA .
所以四边形ABCD 为所求（如图22 - 18） .
例2 已知：⊙O .
求作：⊙O 的内接正六边形 .
作法：（1） 过圆心O 作直线AD，与⊙O 相交
于A，D 两点；
（2） 分别以A，D 为圆心，以AO 为半径画弧，
交⊙O 于B，F，C，E 点；
（3） 连接AB，BC，CD，DE，EF，FA .
所以六边形ABCDEF 为所求（如图22 - 19） .
D
O
C
B
A
图22 - 18
O
A
B
C
D
E
F
图22 - 19
练习
1. 如图，△ABC 是正三角形，⊙O 是△ABC 的外接圆，指出图中各部分的名称：
⊙O 的圆心O 是正三角形的 ，OD 是正三角形的 ，OC 是正
三角形的 ，∠BOC 是正三角形的 .
2. 图中的多边形分别是正三角形、正方形和正六边形. 如果是轴对称图形，分别
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数学 九年级 上册
152
如图22 - 21，作正六边形的半径，这些半径
将正六边形分成了6 个等腰三角形，这些等腰三
角形是全等的. 再作正六边形各边的边心距，这
些边心距又将这6 个等腰三角形分成了12 个直
角三角形，这些直角三角形也是全等的.
由于这些直角三角形的斜边都是正六边形
的半径R，其中一条直角边是正六边形的边心距
r 6，另一条直角边是正六边形的边长a 6 的一半，
画出它们所有的对称轴；如果是中心对称图形，分别指出对称中心的位置.
（第1 题）
A
B
C
D
O
（第2 题）
如图22 - 20，在下列正多边形中，点O 是正多边形的中心.
（1） 正多边形的半径分别将原来的图形分割成为怎样的三角形？
（2） 正多边形的半径、边心距及边长可以通过怎样的图形联系在
一起？
交流
A
B
C
C
B
C
C
D
D
E
F
E
A
A
B
B
A
D
O
O
O
O
图22 - 20
图22 - 21
A
B
C
D
E
F
O
R
r 6
a 6
M
N
α 6
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2014.8.11 8:29:08 AM
第二十二章 圆( 下 ) 153
一个锐角是中心角α 6 的一半，即360°
——
12 = 30°，另一个锐角是正六边形的内角
的一半，即（6 - 2） × 180°
——————
12
= 60°. 所以，可以借助解Rt △OMC 来解决正六边
形ABCDEF 的有关计算问题.
例3 已知正三角形ABC 的半径为R .
求它的边长a 3、周长p 3 和面积S 3 .
解：如图22 - 22，连接OC，过O 点作OG ⊥ BC 于点G .
在Rt △OCG 中，
∵ ∠GOC = 360°
——
6
= 60°，
∴ CG = R · sin60° = 3
√—2 R.
∴ a3 = 2CG = 3
√R .
∴ p3 = 3a3 = 3 3
√R .
∵ r3 = R · cos60° = 1—2 R，
∴ S3 = 1—2 r3 · CG · 6 = 3 3
√
——
4 R
2 .
∴ 这个正三角形的边长a 3 为 3
√R，周长p 3 为3 3
√R，面积S 3 为3 3
√
——
4
R
2 .
转化为解直角三角形的问题.
练习
完成下表中正多边形的有关计算：
边数n
中心角α n
半径R n
边长a n
边心距r n
周长p n
面积S n
3
2
4
5
6
3
A
B
C
O
R
G
r 3
a 3
图22 - 22
R
r3
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数学 九年级 上册
154
基础
1. （1） 正方形被它的半径和边心距分成几个直角三角形？这些直角三角形为什么全等？
（2） 正六边形被它的半径和边心距分成的几个直角三角形中，以正六边形中心为顶点
的锐角的度数为多少度？以正六边形的顶点为顶点的锐角的度数为多少度？正三
角形呢？
2. 如图，如果图中的正多边形是轴对称图形，
请画出它所有的对称轴；如果是中心对称图
形，请指出它的对称中心的位置.
3. 已知正三角形的边长为6，求它的外接圆的
周长.
4. 已知正六边形的边心距为2，求它的外接圆
的面积.
5. 要在圆形铁片上裁出边长为a 的正方形铁片，求选用的圆形铁片的最小直径.
提升
1. 如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A 落在BC的中点A' 上. 如果BC = 6，求折痕
在△ABC 内的长.
习 题 22 - 2
（第2 题）
（第2 题）
（第1 题）
A
B
C
D
E
F
O
O
C
A
B
A′
2. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，图中黄色部分的面积为12
3
√，求⊙O 的半径.
3. 已知正六边形ABCDEF 的半径为R，求这个正六边形的边长a 6、周长p 6 和面积S 6.
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第二十二章 圆( 下 ) 155
阅读理解
O
H
G
M
A
B
C
E
D
从刘徽割圆说起
圆的周长和直径的比称为圆周率，记作π. 它是一个常数，并且
是一个无理数.
怎样利用圆的直径来求圆的周长呢？在我国古代，最早遇到圆
的计算时曾采用“径一周三”的方法，即把圆的周长看做直径的3 倍，
相当于取π = 3，后人称之为“古率”. 后来人们发现“古率”误差太大，
圆周率应是“圆径一而周三有余”，不过究竟余多少，意见不一. 公
元3 世纪，我国数学家刘徽对计算圆周率提出了新的方法. 他用圆
内接正多边形的周长近似地表示圆的周长，当边数越多时，正多边
形的周长就越接近于圆的周长. 他首先在圆内画一个内接正六边形，
再不断地把正多边形的边数倍增（如图22 - 23） . 他一直算到圆内
拓展
如图，吸顶灯灯罩的内、外边缘都是正五边形，外边缘周长为26 cm，点O 为中心. 设
计人员要在灯罩的正中间留出一个圆形区域，并在图中的黄色部分绘制花纹. 已知OM ⊥
AB 于点M，OM 分别交⊙O、灯罩的内边缘于H，G 两点.
（1） 求灯罩的中心到外边缘的距离；
（2） 如果灯罩的外边宽GM = 1 cm，HG = 1. 6 cm，求此时⊙O 的半径OH （结果精确
到0. 1 cm） .
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数学 九年级 上册
156
O
O
ćć
图22 - 23
接正192 边形，得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值π ≈ 3. 14，
化成分数为157
——
50 ，这就是有名的“徽率”. 刘徽一再声明，
“此率尚微少”，
需要的话，可以继续算下去，得到更精确的近似值. 刘徽在《九章算术》
中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆
周合体而无所失矣. ”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究
圆周率的新纪元.
祖冲之（429—500） 继承了刘徽的思想，经过刻苦钻研、反复演算，
求出π 的值在3. 141 592 6 与3. 141 592 7 之间，最先将π 值精确到
了小数点后6 位. 他还得出了π 的分数形式的近似值，取22
7 为约率，
取355
113 为密率，其中355
113 是分子、分母在1 000 以内最接近π 值的分
数. 如果他按刘徽的“割圆术”方法去计算的话，就要计算到圆内接
正16 384 边形，这需要花费多少时间和付出多么艰辛的劳动啊！外
国数学家获得与密率同样的结果已是1 000 多年以后的事了. 人们为
了纪念祖冲之为数学发展做出的卓越贡献，将355
113 叫做“祖率”.
20 世纪50 年代以后，人们开始借助电子计算机计算圆周率π 更
为精确的近似值，并且随着技术的改进，π 的近似值不断得到新的
突破.
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第二十二章 圆( 下 ) 157
知识
要点
回 顾 与 整 理
回 顾 与 整 理
本章的主要内容为：直线和圆的位置关系，圆和正多边形的
关系以及它们的简单应用.
1. 直线和圆.
直线和圆有三种不同的位置关系：
直线与圆的
位置关系
直线与圆的
公共点个数
图 形
直线的
名 称
公共点
名 称
圆心到直线
的距离d 与
r 之间的数
量关系
相 离
无
O
l
d > r
相 切
一个
O
A
l
切线
切点
d = r
相 交
两个
O
A
B
l
割线
交点
d < r
经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
圆的切线垂直于过切点的半径.
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆
心的连线平分两条切线的夹角.
2. 圆与正多边形之间的关系.
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半
径叫做正多边形的半径，中心到圆内接正多边形各边的距离叫做
正多边形的边心距. 正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫
做正多边形的中心角.
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数学 九年级 上册
158
学习
指导
1. 注意把握数学知识之间的内在联系. 比如切线和切线长的
概念. 切线是直线，而切线长是圆外一点到切点的线段的长. 在
本章中，由于综合运用了三角形、四边形等知识，因此，我们应
该对这些知识及时进行总结和复习.
2. 注意体会研究数学问题的方法. 比如，在学习直线和圆的
位置关系时，我们类比点和圆的位置关系的研究方法——利用几
何量之间的数量关系描述它们的位置关系；在研究正多边形的问
题时，常常通过解直角三角形来解决等.
3. 充分运用现代信息技术. 现代信息技术的运用，为同学们
提供了探究数学问题的一种手段，有利于改变学习方式，提高学
习效率. 比如，在探究与圆有关的比例线段的过程中，同学们可
以利用计算机或图形计算器的展示图形运动和测算功能，参与观
察、实验、猜想、归纳和证明等的探究过程，体验事物之间相互
联系和运动变化的关系，以及特殊和一般的辩证关系.
4. 重视基本技能的训练. 比如，会作三角形的内接圆、圆的
内接正方形和正六边形，不仅有助于同学们加深对基本知识的理
解，还有助于发挥几何直观在数学学习中的作用.
基础
1. 填空题：
（1） 设△ABC 的内切圆⊙O 的半径为r，△ABC 的周长为k，那么△ABC 的面积
为 .
复 习 题
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第二十二章 圆( 下 ) 159
（2） 如图，AD，AE 是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请写出两个正确的
结论： .
A
B
C
D
E
F
[ 第1（2） 题]
A
B
O
M
[ 第1（3） 题]
A
O
D
F
C
E
B
（第2 题）
A
B
C
E
O
D
（第3 题）
4. 在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6，内切圆⊙O 的半径为2，求斜边AC 的长.
5. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D，过点D 作DE ⊥ AC，
交AC 于E. DE 是⊙O 的切线吗？为什么？
（第5 题）
2. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，与边AB，BC，CA 分别切于点D，E，F，∠DOE =
150°，∠EOF = 110°，求△ABC 三个内角的度数.
3. 已知：如图，OC 平分∠AOB，D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA 相切于点E. 求证：
OB 与⊙D 相切.
（3） 如图，已知∠AOB = 30°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心，2 cm 为半径作
⊙M. 如果⊙M 在OB 边上运动，那么当OM = cm 时，⊙M 与OA 相切.
D
A
B
C
E
O
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数学 九年级 上册
160
6. 如图，⊙I 为△ABC 的内切圆，AB = 9，BC = 8，CA = 10，点D，E 分别为AB，AC 上的点，
且DE 为⊙I 的切线，求△ADE 的周长.
提升
1. 填空题：
（1） 如图，直线EF 与⊙O 相交于B，C 两点，DC 为⊙O 的弦，点A 为⊙O 上任意
一个动点（点A 与B，D 两点不重合） . 如果∠DCF = 86°，那么∠DAB 的度数
为 .
（2） 正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是 .
2. 选择题：
（1） 下列命题正确的是 ( ) .
A. 三角形的外心到三边距离相等
B. 三角形的内心不一定在三角形的内部
C. 等边三角形的内心、外心重合
D. 三角形不一定有内切圆
（2） 如图，点P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 相交于点C，A，
PD 与⊙O 相交于点B，D，CD 与AB 相交于点E. 下列
等式成立的是 ( ) .
A. PC · AC = PB · BD
B. CE · AE = BE · ED
C. CE · CD = BE · BA
D. PB · CD = PC · BA
B
E
C
F
D
O
[ 第1（1） 题]
A
C
P
B
D
E
O
[ 第2（2） 题]
A
C
E
D
B
I
（第6 题）
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第二十二章 圆( 下 ) 161
（第2 题）
3. 等边三角形的外接圆半径与内切圆半径之比为 .
4. 已知正方形ABCD 内切圆的半径为6，求这个正方形的外接圆的面积.
拓展
1. 已知⊙O 的半径为R，过已知的圆外一点P 作直线与⊙O 交于A，B 两点. 求证：
PA · PB = OP2 - R2.
2. 如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为（- 3，- 2），
⊙A 的半径为1，P 为x 轴上的一个动点，PQ 切⊙A
于点Q . 求当PQ 最小时，点P 的坐标.
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数学 九年级 上册
162
中 文
英 文
页 码
比例线段
proportional segments
3
黄金分割
golden cut
6
相似多边形
similar polygons
13
相似比
similarity ratio
13
二次函数
quadratic function
39
抛物线
parabola
41
反比例函数
inverse proportion function
63
双曲线
hyperbola
65
正 弦
sine
77
余 弦
cosine
79
正 切
tangent
79
锐角三角函数
acute trigonometric function
80
解直角三角形
solving a right triangle
88
圆
circle
106
半 径
radius
106
直 径
diameter
109
圆心角
central angle
109
外接圆
circumcircle
113
外 心
circumcenter
113
内接三角形
inside triangle
113
圆周角
angle of circumference
123
切 线
tangent line
138
内切圆
inscribed circle
145
内 心
incenter
145
部分中英文词汇索引
附 录
附录
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