2025 年秋季高二年级 12 月月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.若向量 ， ，且 ，则λ=（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.“ ”,是直线 与直线 平行的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设 ， ，直线 经过圆C: 的圆心，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
4.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地选取两张标签，标签的选取是有放回的，两张标
签上的数字为相等整数的概率为（ ）
A. B. C. D.
√3
e=
2 x2 =−4 y
5.已知椭圆的中心在原点，离心率 ，且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则此椭圆
方程为（ ）
3x2 x2
A． +3 y2 =1 B. +y2 =1
4 3
3 y2 y2
C.3x2 + =1 D.x2 + =1
4 3
⃗
6.已知直线l过定点A(3,3,1)，且方向向量为s=(0,1,1) ，则点P(4,3,2)到l的距离为（ ）
√6 √2 ❑√10
A. B. C. D. √2
2 2 2
7.已知直线l:y=x+m与圆C:x2+ y2=4交于A,B两点，O为坐标原点.若∠AOB≤90∘，则实数m的取
值范围是（ ）
A. B.
C. D.
x2 y2
8.P是双曲线 − =1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5) 2+ y2=1和(x−5) 2+ y2=1上的点，则
16 9
|PM|−|PN|的最大值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若 构成空间的一个基底，则下列向量中不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
10.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中 2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出 2个
球，记事件A={第一次摸到红球}，事件B={第二次摸到红球}，事件C={两个球颜色相同}。则下列结论
正确的是( )
2 7
A. P(A)= B. P(A∪B)=
5 10
1
C. P(AC)= D. 事件 A与事件 B相互独立
10
11.已知 为坐标原点, ,点 、 是抛物线 上两点， 为 的焦点，则下列说法中正
确的有（ ）
A．若 ，则 最小值为 B． 周长的最小值为
C． 为直径的圆与 轴相切 D．若直线 经过点 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 .如果 ，那么 .
⃗a ⃗b
13. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是 .
x2 y2
14. 已知椭圆M： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F ，F ，A(0,b)，且△AF F 是面积为
a2 b2 1 2 1 2
4√3的正三角形．过F 垂直于AF 的直线交椭圆M于B，C两点，则△ABC的周长为 ．
1 2
四、解答题：本小题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知圆 内有一点 ， 为过点 且倾斜角为 的弦
（1）当 时，求弦长 ；
（2）当弦 被点 平分时，求直线 的方程.16.如图，在空间四边形OABC中，2⃗BD=⃗DC，点E为AD的中点，设⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b，⃗OC=⃗c．
(1)试用向量⃗a，⃗b，⃗c表示向量⃗OE；
(2)若OA=OC=4，OB=2，∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求⃗OE⋅⃗AC的值．
17.象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化
生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、
初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数
据分成5组： ， ， ， ， ，并整理得到如图频率分布直方图：
(1)根据直方图，求 的值，并估计这次知识能力竞赛的众数和中位数；
(2)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三
局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为 ，且各轮比赛结果相互独立.求乙最终获胜的概率.18.如图,四棱锥 和四棱锥 中,底面 为边长为 的正方形, 平面
平面 ,且 .
(1)求证: 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(3)求四棱锥 和四棱锥 重合部分的体积.
x2 y2
19.已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的焦距为2√5，F ，F 分别为其左、右焦点，P为双曲线C上
a2 b2 1 2
任意一点，且⃗PF ⋅⃗PF 的最小值是−1．.
1 2
(1)求双曲线C的方程;
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A ，A ，直线l:x=my+3与C的右支交于M，N两点．
1 2
(ⅰ)求实数m的取值范围;
k
(ⅱ)若直线A M，A N的斜率分别为k ，k ，证明： 1 是定值．
1 2 1 2 k
2《2025年秋季高二年级12月月考》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B C A B D BC ABC
题号 11
答案 ACD
16
填空题：12、0.5 13、 14 、
8. D
【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的
相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化，属于拔高题．
由题设通过双曲线的定义推出|PF |−|PF |=8，利用|MP|≤|PF |+|M F |，
1 2 1 1
|PN|≥|PF |−|N F |，推出|PM|−|PN|≤|PF |+|M F |−|PF |−|N F |，求出最大
2 2 1 1 2 2
值．
x2 y2
解：在双曲线 − =1中
16 9
∵a=4，b=3，c=5，
∴F (−5,0)，F (5,0)，
1 2
∵|PF |−|PF |=2a=8，
1 2
∴|MP|≤|PF |+|M F |，|PN|≥|PF |−|N F |，
1 1 2 2
∴−|PN|≤−|PF |+|N F |，
2 2
所以，|PM|−|PN|≤|PF |+|M F |−|PF |+|N F |
1 1 2 2
=8+1+1=10.
故选：D.
11. ACD
【解析】 抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
设点 、 ，
对于A选项，若 ，则直线 过点 ，
设直线 的方程为 ，联立 可的 ，
，由韦达定理可的 ， ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 最小值为 ，A对；对于B选项，过点 作 垂直于直线 ，垂足为点 ，
由抛物线的定义可得 ，
所以， ，当且仅当 、 、 三点共线时，
取最小值，且最小值为 ，
所以， 的周长为 ，B错；
对于C选项，线段 的中点为 ， ，
而 为点 到 轴的距离，故 为直径的圆与 轴相切，C对；
对于D选项，若直线 经过点 ，
由 A选项可得 ，D对.
故选：ACD.
14.【解析】16
由△AF F 面积为√3，且其为正三角形，可得a，然后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案．
1 2
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
【解答】
解：如图，设|OF |=c，则a2=b2+c2，
2
因△AF F 面积为4√3，且其为正三角形，
1 2
{ b=√3c
{b=2√3
又|OA|=b，则 1 ⇒ ，则a=4，
⋅2c⋅b=4√3 c=2
2又直线BC过F ，与AF 垂直，△AF F 为正三角形，则直线BC为AF 中垂线，
1 2 1 2 2
则|AB|=|BF |，|AC|=|CF |，又|BC|=|BF |+|F C|，
2 2 1 1
故△ABC的周长l=|BF |+|BF |+|F C|+|F C|，
2 1 1 2
又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有l=4a=16．
故答案为：16．
解答题：
15.(1) （2）
【解析】(1)解：圆 的方程可化为： ，
则 ，半径 ，
当 时，直线 的斜率为1，
则直线 方程 ，…………………………………………………………………………………3
分
则圆心到直线的距离 ，
所以弦长 ；…………………………………………………………………7分
（2）设直线 的斜率为 ，根据条件可知 ，
则 ，
所以 ，………………………………………………………………………………………………10分
则直线 的方程为 ，即 ．………………………………………………13分
⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ 8
16.(1)OE= a+ b+ c（2）OE⋅AC=−
2 3 6 3
⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ 1( ⃗ ⃗ ) 1(⃗ ⃗)
【解析】解： (1)∵2BD=DC，∴BD= BC= OC−OB = c−b ．
3 3 3
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1(⃗ ⃗) 2⃗ 1⃗
故OD=OB+BD=b+ c−b = b+ c．………………………………………………………………4分
3 3 3
∵点E为AD的中点，
⃗ 1( ⃗ ⃗ ) 1⃗ 1⃗ 1⃗
∴OE= OA+OD = a+ b+ c．………………………………………………………………………7
2 2 3 6
分
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(2)由题意得 a⋅c=8 ，⃗a⋅⃗b=4， c⋅b=4 ， AC=c−a ．
⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ ⃗ ⃗
故OE⋅AC=( a+ b+ c)⋅(c−a)………………………………………………………………………10
2 3 6
分1⃗ 1⃗ 1⃗ ⃗ 1⃗ ⃗ 1⃗ ⃗
=− a2+ c2+ a⋅c+ b⋅c− b⋅a
2 6 3 3 3
1 1 1 1 1
=− ×16+ ×16+ ×8+ ×4− ×4
2 6 3 3 3
8
=− ．…………………………………………………………………………………………………………15分
3
17.(1) ，众数：85， 中位数：80
(2)
【解析】（1）由频率分布直方图， 的频率为 的频率为 的频率为0.42，
的频率为0.08，
所以 的频率为 ，
所以 ，……………………………………………………………………………………………3
分
众数：最高矩形对应区间为 ，中点即为众数：85
中位数：累积频率达到0.5时，由频率分布直方图知中位数为80.……………………………………7分
（2）因为乙最终获胜，比分可能是 ， ，
设乙 获胜为事件A， 获胜为事件 ，…………………………………………………………………9分
若乙 获胜，则概率为 ，……………………………………………………………11分
若乙 获胜，则概率为 ，………………………………………………14分
又A，B两个事件互斥，则乙最终获胜的概率为 .………………………………………15分
18.(1)解析如下（2） . （3） .
【解析】(1)证明:因为 平面 平面 ,所以 ,
又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 .…………………………………………4
分
(2)分别以 为 轴建立空间直角坐标系,
由题意得: , ,
所以 ,……………………………………………………6
分
设平面 的法向量为 ,故 ,
令 得 ,故平面 的一个法向量为 ,…………………………………………9分
直线 与平面 所成角为 ,
,………………………11分
所以直线 与平面 所成角的正弦值 .……………………………………………………12分
(3)连接 ,由 且 ,
可得:四边形 为平行四边形,故 相交,设交点为 ;
易得四边形 为平行四边形,故 相交,设交点为 ,
故四棱锥 和四棱锥 重合部分为几何体 ,
分别取 的中点 ,连接 ,
容易得到几何体 为三棱柱.
几何体 由四棱锥 与三棱柱 组合而成.
所以几何体 的体积 .
……………………………………………………………………………………………17分
注：第一问建系，第三问补成棱柱计算亦可.
x2 k 1
19.(1) −y2=1;．(2)(i)(−2,2);．(ii) 1 =− .
4 k 5
2
【解析】解：(1)由题意知F (−c,0)，F (c,0)，
1 2x2 y2
设P(x ,y )，故 0− 0=1，
0 0 a2 b2
⃗ ⃗ a2 c2
则PF ⋅PF =(−c−x ,−y )⋅(c−x ,−y )=x2+ y2−c2=a2+ y2+ y2−c2= y2−b2 ，
1 2 0 0 0 0 0 0 b2 0 0 b2 0
当y2=0时，⃗PF ⋅⃗PF 取到最小值−b2，即−b2=−1，b2=1，
0 1 2
又因为焦距为2√5，则c2−a2=b2=1，a2=4
x2
所以双曲线C的方程为 −y2=1;……………………………………………………………………………6分
4
(2)(i)设M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
{ x=my+3
由 ，得：(m2−4)y2+6my+5=0，
x2−4 y2=4
由直线l与双曲线的右支交于M，N两点，
{Δ=36m2−4×(m2−4)×5>0,
m2−4≠0,
可得 ．
5
y y = <0,
1 2 (m2−4)
解得−2<m<2，所以m的取值范围是(−2,2);……………………………………………………………11分
6m 5
(ii)由(i)可得y + y =− ，y y = ，
1 2 m2−4 1 2 (m2−4)
5
所以my y =− (y + y )，
1 2 6 1 2
因为A (−2,0)，A (2,0)，
1 2
y
1
k x +2 y (x −2) y (m y +1) 1
所以 1= 1 = 1 2 = 1 2 =−
k y y (x +2) y (m y +5) 5
2 2 2 1 2 1
x −2
2
k
1
即 是定值． …………………………………………………………………………………………………17分
k
2
