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年秋期⾼⼆年级数学⽉考
2025
考试范围：第⼀章⼀第三章；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好⾃⼰的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
⼀、单选题
1. 若向量 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若倾斜⻆为 的直线 经过两点 ， ，则 的值为（ ）
A. B.1 C.2 D.3
3. 已知 两点到直线 的距离相等，则 （ ）
A.1 B.-5 C.1或-5 D.1或-8
4. 已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上⼀点， ，直线 与抛物线另
⼀交点为 ，则 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5. 在空间直⻆坐标系中，若⼀条直线 经过点 且以向量 为⽅向向量，
则这条直线可以⽤⽅程 来表示.已知直线 的⽅程为 ，则点
到 距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 过圆 内⼀点 作互相垂直的两条直线AB，CD，与圆分别交于A，B，C，D四点，则
的最⼤值是（ ）
A. B. C. D.8
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ，点 在椭圆上且在 轴的上⽅ 若线段 的中点
在以原点 为圆⼼， 为半径的圆上，则 的⾯积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正⽅体 的体积为8，线段 的中点分别为 ，动点 在下底⾯
内（含边界），且 ，则动点 的轨迹⻓度为（ ）
A. B. C. D.
⼆、多选题
9. 空间直⻆坐标系中，已知 ， ， ， ，则（ ）
A.
B. 是等腰直⻆三⻆形
C. 与 平⾏的单位向量的坐标为 或
D. 在 ⽅向上的投影向量的坐标为
10. 已知 是圆C： 上的动点，则（ ）
A. 的最⼤值为 B. 的最⼩值为
C. 的最⼤值为 D. 的最⼩值为
11. 已知 为坐标原点， 是抛物线 ： 的准线上的⼀点，过 的焦点 的直线 与 交
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司于 ， 两点， 为 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A
B. 为钝⻆三⻆形
C. 直线 的斜率的最⼤值为
D. 若 ，则直线 的斜率为2
第II卷（⾮选择题）
三、填空题
12. 若直线 ⽅向向量 ，平⾯ 的法向量 ，则直线与平⾯ 的位置关系是________
．
13. 过双曲线 （ ）的左焦点F作 的⼀条切线，设切点为T，该切线
与双曲线E在第⼀象限交于点A，若 ，则双曲线E的离⼼率是________．
14. 已知椭圆 ，圆 ，直线 与椭圆交于点 ，过 作椭圆的切线交圆于 、
两点（ 在 的左侧），则 ______．
四、解答题
15. 已知 ， 两点都在圆M上，且圆M的圆⼼在直线 上．
（1）求圆M ⽅程；
（2）过点 的直线l与圆M交于C，D两点，且 ，求直线l的⽅程．
16. 如图，在正三棱柱 中，P是 的中点，M是 AP的中点，N在线段 上，且
， ．
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）求直线MN与平⾯ 所成⻆的正弦值．
17. 已知双曲线E： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离⼼率为 ，P为E
上⼀点，且 ．
（1）求E ⽅程；
（2）过点 且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为 ，求证：直线
恒过点 ．
18. 如图，在四棱锥 中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形， ，
，M为棱PC 中点．
（1）求直线BM与平⾯PAB所成⻆的正弦值；
（2）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平⾯BDM的距离是 ？若存在，求出线段CQ的⻓度；
若不存在，说明理由．
19. 设 ，过点 的直线与椭圆 交于 两点（ 点在 点左侧），直线
与直线 交于点 ，设直线 的斜率分别为 ，求 ．
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司年秋期⾼⼆年级数学⽉考
2025
考试范围：第⼀章⼀第三章；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好⾃⼰的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
⼀、单选题
1. 若向量 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利⽤向量的坐标运算求夹⻆、模⻓、数量积判断A、B、D；根据共线定理判断向量是否平⾏判断
C.
【详解】由 ，B错误；
由 ，所以 ，D正确．
由 ，A错误，
如果 则存在实数 使 ，显然不成⽴，C错误.
故选：D
2. 若倾斜⻆为 的直线 经过两点 ， ，则 的值为（ ）
A. B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】
分析】根据倾斜⻆得到斜率，由两点斜率公式得到⽅程，求出答案.
【详解】由题意得 ，解得 .
故选：A
3. 已知 两点到直线 的距离相等，则 （ ）
第1⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A.1 B.-5 C.1或-5 D.1或-8
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤点到直线的距离求解.
【详解】因为 两点到直线 的距离相等，
所以 或 ，
故选：C.
4. 已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上⼀点， ，直线 与抛物线另
⼀交点为 ，则 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线及直线⽅程，通过直曲联⽴求出点 的横坐标，再根据抛物线的定义进⾏求解即可.
【详解】因为 ，由抛物线 定义可知 到准线距离为 ，即 ，解得： ，
即抛物线⽅程为 ，代⼊点 坐标得 ，即 .
不妨取 ，⼜ ，
则直线 的斜率为 ，所以直线 为 ，
联⽴ ，消去 整理得： ，
解得： ， ，即 点的横坐标为 ，
由此可得： ，即得： .
故选：B
第2⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司5. 在空间直⻆坐标系中，若⼀条直线 经过点 且以向量 为⽅向向量，
则这条直线可以⽤⽅程 来表示.已知直线 的⽅程为 ，则点
到 距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知直线 经过点 且以向量 为⽅向向量，利⽤空间向量求点到直
线的距离.
【详解】因为直线 的⽅程为 ，即为 ，
可知直线 经过点 且以向量 为⽅向向量，
可得 ，所以点 到 距离为 .
故选：B.
6. 过圆 内⼀点 作互相垂直的两条直线AB，CD，与圆分别交于A，B，C，D四点，则
的最⼤值是（ ）
A. B. C. D.8
【答案】A
【解析】
【分析】设 ， ， ⽤ 表示，再结合基本不等式的知识即可得最⼤值.
【详解】过点O分别作AB，CD的垂线，垂⾜为M，N，则四边形OMPN为矩形，
所以 ．
设 ， ，则 ， ，
第3⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ， ，所以 ．
因为
（当且仅当 时取得最⼤值），所以 的最⼤值为 ，
故选：A．
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ，点 在椭圆上且在 轴的上⽅ 若线段 的中点
在以原点 为圆⼼， 为半径的圆上，则 的⾯积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得到 垂直平分线段 ，则 ，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求
解．
【详解】
因为椭圆⽅程为 ，
所以 ， ， ，
⼜线段 的中点 在以原点 为圆⼼， 为半径的圆上，
第4⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 垂直平分线段 ，所以 ，
⼜因为 ，所以 ， ，
在直⻆三⻆形 中， ，
于是 的⾯积为 ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段 的中点 在以原点 为圆⼼， 为半径的圆上转化为
垂直平分线段 ，再结合椭圆定义求解.
8. 已知正⽅体 的体积为8，线段 的中点分别为 ，动点 在下底⾯
内（含边界），且 ，则动点 的轨迹⻓度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据正⽅体体积求出棱⻓，再利⽤勾股定理求出动点 到定点 的距离，从⽽确定动点 的轨
迹，最后根据圆的弧⻓公式求出轨迹⻓度.
【详解】因为正⽅体 的体积为8，故 ，
，则 ，⽽ ，
故 ，
第5⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故动点 的轨迹为以 为圆⼼， 为半径的圆在底⾯ 内的部分，
即四分之⼀圆弧，
故所求轨迹⻓度为 ；
故选：D
⼆、多选题
9. 空间直⻆坐标系中，已知 ， ， ， ，则（ ）
A.
B. 是等腰直⻆三⻆形
C. 与 平⾏的单位向量的坐标为 或
D. 在 ⽅向上的投影向量的坐标为
【答案】AC
【解析】
【分析】本题考查空间向量的坐标运算，利⽤向量的加减法得出 坐标，再利⽤向量的模⻓公式
，可判断A选项；计算出三⻆形三条边⻓，可判断B选项；与
已知向量平⾏的单位向量计算公式： 可判断C选项；根据 在 ⽅向上的投影向量与 向
量共线的性质，可判断D选项.
【详解】根据空间向量的线性运算，
第6⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，选项A正确；
计算可得， 三条边不相等，选项B不正确；
与 平⾏的单位向量为：
选项C正确；
在 ⽅向上的投影向量与 向量共线， ，选项D不正确，
故选：AC.
10. 已知 是圆C： 上的动点，则（ ）
A. 的最⼤值为 B. 的最⼩值为
C. 的最⼤值为 D. 的最⼩值为
【答案】ACD
【解析】
第7⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】设 ，利⽤点到直线的距离可得 ，求解即可判断AB；设 ，利⽤点
到直线的距离可得 ，求解即可判断CD.
【详解】由圆C： ，可得圆⼼ ，半径 ，
设 ，则 ，因为 在圆上，所以直线 与圆C有公共点，
所以 ，所以 ，
整理得 ，解得 ，
所以 的最⼤值为 ，最⼩值为 ，故A正确，B错误；
设 ，则 ，因为 在圆上，所以直线 与圆C有公共点，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 的最⼤值为 ，最⼩值为 ，故CD正确.
故选：ACD.
11. 已知 为坐标原点， 是抛物线 ： 的准线上的⼀点，过 的焦点 的直线 与 交
于 ， 两点， 为 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 为钝⻆三⻆形
C. 直线 的斜率的最⼤值为
D. 若 ，则直线 的斜率为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由题设易得 ，进⽽得到抛物线 ： ， ，进⽽求解判断即可；对
于B，设 ， ， ： ，联⽴直线 与抛物线⽅程，结合⻙达定理及向量运算可
第8⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司得 为钝⻆，进⽽判断即可；对于C，表示出直线 的斜率为 ，进⽽分析判断即可；
对于D，分别过点 ， 作准线 的垂线，垂⾜分别为 ， ，结合抛物线的定义可得 为 的中
点，可得 平⾏于 轴，进⽽求解判断即可.
【详解】对于A，由题可知 ，则 ，则抛物线 ： ， ，
故 ，故A错误；
对于B，显然直线 的斜率不为0，设 ， ， ： ，
联⽴ ，得 ，
则 ，
且 ， ，则 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ⼀定为钝⻆，故 为钝⻆三⻆形，故B正确；
对于C，由B知， 的中点 的纵坐标为 ，
横坐标为 ，
所以直线 的斜率为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成⽴，
第9⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以直线 的斜率的最⼤值为 ，故C正确；
对于D，分别过点 ， 作准线 的垂线，垂⾜分别为 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 平⾏于 轴，
因为 ，所以 ，则 ，即 ，
故直线 的斜率为2，故D正确．
故选：BCD
第II卷（⾮选择题）
三、填空题
12. 若直线的⽅向向量 ，平⾯ 的法向量 ，则直线与平⾯ 的位置关系是________
．
【答案】平⾏或直线在⾯内
【解析】
【分析】由题意可得 ，进⽽可得结论.
【详解】由 ， ，
可得 ，所以 ，
所以直线与平⾯ 的位置关系是平⾏或直线在⾯内．
故答案为：平⾏或直线在⾯内.
13. 过双曲线 （ ）的左焦点F作 的⼀条切线，设切点为T，该切线
与双曲线E在第⼀象限交于点A，若 ，则双曲线E的离⼼率是________．
第10⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】 ##
【解析】
【分析】取线段 的中点 ，根据给定条件，结合双曲线定义及直⻆三⻆形勾股定理求解作答.
【详解】设双曲线 的右焦点为 ，半焦距为 ，取线段 的中点 ，
因 切圆 于 ，则 ，有 ，
因为 ，则有 ， ，
⽽ 为 的中点，于是 即 ， ，
在 中， ，整理得 ，
所以双曲线 的离⼼率为 ．
故答案为： .
14. 已知椭圆 ，圆 ，直线 与椭圆交于点 ，过 作椭圆的切线交圆于 、
两点（ 在 的左侧），则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】利⽤⼤圆性质拓展（1）的结论求解即可.
【详解】由椭圆⼤圆的性质拓展（1）的结论可得 .
故答案 ：3．
第11⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司四、解答题
15. 已知 ， 两点都在圆M上，且圆M的圆⼼在直线 上．
（1）求圆M的⽅程；
（2）过点 的直线l与圆M交于C，D两点，且 ，求直线l的⽅程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设圆⼼为 ，由 可求得 的值，可得出圆⼼的坐标和圆的半径，即可得出圆
的⽅程；
（2）分直线斜率是否存在两种情况讨论.若存在时，设直线 l的⽅程为 ，由题意可得
，求解即可.
【⼩问1详解】
∵圆M的圆⼼在直线 上，∴可设圆⼼M的坐标为 ，
由 ，得 ，解得 ，
∴圆⼼M的坐标为 ，半径 ．
∴圆M的⽅程为 ．
【⼩问2详解】
当直线l的斜率存在时，设直线l的⽅程为 ，即 ，
第12⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则圆⼼M到直线l的距离 ，
解得 或 ，
∴直线l的⽅程为 或 ；
当当直线l的斜率不存在时，直线⽅程为 ，
圆⼼到直线的距离为 ，所以弦⻓为 ，故不符合题意；
综上所述：直线l的⽅程为 或 .
16. 如图，在正三棱柱 中，P是 的中点，M是 AP的中点，N在线段 上，且
， ．
（1）求证： ；
（2）求直线MN与平⾯ 所成⻆的正弦值．
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
【解析】
【分析】(1)构建平⾏四边形使得 平⾏于平⾯ ⼀条直线即可.
(2)构建空间直⻆坐标系利⽤空间向量进⾏空间⻆的求解.
【⼩问1详解】
如图，设AC的中点为D，线段BC的四等分点为E，且 ，连接MD，DE，NE，
则 ，∴ ， ，
第13⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司∵M为AP的中点，D为AC的中点，∴ ， ，
⼜P是 的中点，∴ ．
∴ ， ，∴四边形DMNE是平⾏四边形，
∴ ，
⼜ ， ，
∴ ．
【⼩问2详解】
设 的中点为Q，连接DB，DQ，易知DB，DQ，DC两两互相垂直．
以D为坐标原点，向量 ， ， 的⽅向分别为x轴、y轴、z轴的正⽅向建⽴如图所示的空间直⻆
坐标系Dxyz，
则 ， ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ， ．
设平⾯ 的法向量为 ，
则 取 ，则 ， ，
∴平⾯ 的⼀个法向量为 ．
设直线MN与平⾯ 所成的⻆为θ，则
第14⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，
即直线MN与平⾯ 所成⻆的正弦值为
17. 已知双曲线E： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离⼼率为 ，P为E
上⼀点，且 ．
（1）求E的⽅程；
（2）过点 且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为 ，求证：直线
恒过点 ．
【答案】（1）
（2）证明⻅解析
【解析】
【分析】（1）利⽤双曲线的性质求得 ，利⽤离⼼率求得 ，进⽽求得 ，可求解析式；
（2）设直线 l的⽅程为 ， ， ，联⽴⽅程组，结合⻙达定理得
， ，求得直线 的⽅程为 ，令 ，可
求得定点坐标.
【⼩问1详解】
设E的半焦距为c（ ）．
由题意知P在E的右⽀上， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
第15⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司∴E的⽅程为 ．
【⼩问2详解】
依题意，设直线l的⽅程为 ， ， ．
联⽴直线与双曲线的⽅程，得
消去x并整理，得 ，
∴ ，且 ，解得 ，且 ．
∴ ， ．
由题意知， ，
∴直线 的⽅程为 ．
令 ，得
，
∴直线 恒过点 ．
18. 如图，在四棱锥 中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形， ，
，M为棱PC的中点．
第16⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求直线BM与平⾯PAB所成⻆的正弦值；
（2）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平⾯BDM的距离是 ？若存在，求出线段CQ的⻓度；
若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）建系求出平⾯ 的法向量，再应⽤线⾯⻆正弦公式计算求解；
（2）设 ，再应⽤点到平⾯距离向量公式计算求参，再应⽤模⻓公式计算.
【⼩问1详解】
因为 ， ， 两两垂直，所以以D为坐标原点建⽴如图空间直⻆坐标系 ，
， ， ， ， ，
得 ， ， ，
设平⾯ 的⼀个法向量为 ，
得 ，令 ，得 ，
所以
第17⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以
所以直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值是 ．
【⼩问2详解】
假设在线段 上存在点 ，使得点 到平⾯ 的距离是 ，
设 ，则 ， ，
设平⾯ 的⼀个法向量为
由 ，得 ，
令 ，得 ，得 ，
所以 ，
∴点 到平⾯ 的距离是 ， ，
即 ，存在点 满⾜题意，
此时 ，所以
19. 设 ，过点 的直线与椭圆 交于 两点（ 点在 点左侧），直线
与直线 交于点 ，设直线 的斜率分别为 ，求 ．
【答案】2
【解析】
【分析】分直线 的斜率为0和不为0两种情况，当 的斜率不为0时，设直线 的⽅程为
，设 ，联⽴椭圆⽅程消去x，将 坐标化，然后利⽤⻙达定理代⼊化
简即可得证.
【详解】解：当直线 的斜率为0时，则直线 为 轴，由题意可得 ，
第18⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以直线 的⽅程为 ，令 ，可得 ，
即 ，所以 ，
当直线 的斜率不为0时，如图，设直线 的⽅程为 ，
设 ，
联⽴ 整理得 ，
可得 ，
即 ，且 ，可得 ，
直线 的⽅程为 ，令 ，
可得 ，即 ，
因为直线 的斜率和直线 的斜率相同，
所以
第19⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司．
综上， ．
第20⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
