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⾼ 级⾼⼆上期第三学⽉考试
2024
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考⽣务必⽤⿊⾊字迹钢笔或签字笔将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号和座位号填写
在答题卡上.
2．考⽣必须保持答题卡的整洁.
第I卷 选择题（58分）
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 经过 ， 两点 直线的倾斜⻆为（ ）
A. B. C. D.
2. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ）
A.16 B.19 C.20 D.22
3. 过 、 两点的直线⽅程是 （ ）
A. B. C. D.
4. 若⽅程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. 且
C. D.
5. 若点 在圆： 的外部，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 若⽅程 表示圆，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.R
7. 若直线 被圆 截得的弦⻓为2，则 的最⼩值为
（ ）
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. B. C.2 D.4
8. 如图所示，在平⾏六⾯体 中，
，则 的值为（ ）
A.1 B. C. D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 若 ，则
C 若 ，则 D. 若 ，则
10. 在正⽅体 中，下列说法正确的是 （ ）
A. 异⾯直线 与 所成的⻆为
B. 直线 与底⾯ 所成的⻆为
C. 直线 与 垂直
D. ⼆⾯⻆ ⼤⼩为
11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，直线 交椭圆C于A、B两点，P为椭圆
C上的⼀动点，则（ ）
A. 当 时，四边形 的周⻓为定值8
B. 当 为直⻆三⻆形时，
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. 当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为
D. 当直线 与 的斜率之差为2时，
第II卷 ⾮选择题（92分）
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 圆 的半径⼤⼩为___________.
13. 两平⾏线 ， 之间的距离为____________.
14. 三棱锥 中， ， ，⾯ ⾯ ， ，以
边 所在直线为旋转轴将 旋转，则在旋转过程中， 的取值范围是______.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）设 为 的中点，求直线 的⽅程；
（2）求 的⾯积．
16. ⽂明城市是反映城市整体⽂明⽔平 综合性荣誉称号，作为普通市⺠，既是⽂明城市的最⼤受益者，更
是⽂明城市的主要创造者，我市为提⾼市⺠对⽂明城市建设的认识，举办了“ 创建⽂明城市” 知识竞赛，
从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），
[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直⽅图．
（1）求频率分布直⽅图中 的值；
（2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100] 答卷中，采⽤分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随
机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率；
（3）已知落在 的平均成绩是56，⽅差是7，落在 的平均成绩为65，⽅差是4，求两组成
绩的总平均数 和总⽅差
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司17. 已知点 ，圆 ，点 在圆 上运动， 的垂直平分线交 于点 .
（1）求动点 的轨迹 的⽅程；
（2）直线 与曲线 交于 两点，且 中点为 ，求直线 的⽅程.
18. 椭圆 过点 且离⼼率为 ， 为椭圆的右焦点，过 的直线交椭
圆 于 ， 两点，定点 .
（1）求椭圆 的⽅程；
（2）若 ⾯积为 ，求直线 的⽅程.
19. 如图，等腰梯形 的⾼为2， ， ， 是 上靠近 的三等分点，如图
①所示，将 沿 折起到 的位置，使得 ，如图②所示，点 在棱 上.
（1）求证：直线 平⾯ ；
（2）若 是 的中点，求直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值；
（3）若平⾯ 与平⾯ 所成的锐⼆⾯⻆为45°，求 的值.
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⾼ 级⾼⼆上期第三学⽉考试
2024
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考⽣务必⽤⿊⾊字迹钢笔或签字笔将⾃⼰的姓名、考⽣号、考场号和座位号填写
在答题卡上.
2．考⽣必须保持答题卡的整洁.
第I卷 选择题（58分）
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是
符合题⽬要求的.
1. 经过 ， 两点的直线的倾斜⻆为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利⽤两点求出直线斜率即可得解.
【详解】设倾斜⻆为 ，因为 ，所以 ，⼜ ，所以 .
故选：D
2. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ）
A.16 B.19 C.20 D.22
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤百分位数的定义进⾏求解.
【详解】共有10个数， ，故从⼩到⼤排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百
分位数，即20为第70百分位数.
故选：C.
3. 过 、 两点的直线⽅程是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
第1⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据直线的截距式定义求解.
【详解】根据截距式⽅程得出
过 、 两点的直线⽅程是 .
故选：A.
4. 若⽅程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. 且
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据⽅程表示椭圆且焦点在 轴上，列出不等式求参数范围.
【详解】由题意 .
故选：C
5. 若点 在圆： 的外部，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接代⼊点坐标并结合⼆元⼆次⽅程为圆的条件即可得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得 ，解得 .
故选：C.
6. 若⽅程 表示圆，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.R
【答案】D
【解析】
第2⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】根据圆的判别式计算直接得出结果.
【详解】因为该⽅程表示圆，
所以 ，
所以 .
故选：D
7. 若直线 被圆 截得的弦⻓为2，则 的最⼩值为
（ ）
A. B. C.2 D.4
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤半径、圆⼼到直线的距离、弦⻓的⼀半构成的直⻆三⻆形可得 ，再利⽤基本不等式
可得答案.
【详解】圆 化为标准⽅程为 ，
所以圆⼼坐标为 ，半径为 ，
可得圆⼼到直线 的距离为 ，
若直线 被圆 截得的弦⻓为2，
则 ，整理得 ，即 ，
⼜ ，所以
，
当且仅当 即 时等号成⽴，
则 的最⼩值为2.
故选：C.
第3⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司8. 如图所示，在平⾏六⾯体 中，
，则 的值为（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利⽤平⾯向基本定理可得 ， ，利⽤向量的数量积的运算律
可求解.
【详解】因为 ， ，
所以
.
故选：A.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A. B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BD
【解析】
第4⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】根据模⻓公式即可求解A，根据垂直的坐标关系即可求解B，根据平⾏满⾜的坐标关系即可求解C，
根据夹⻆公式即可求解D.
【详解】A： ，A错误；
B：由 知， ，解得 ，B正确；
C：由 知， ，解得 ，C错误；
D：若 ， ，则 ，D正确.
故选：BD
10. 在正⽅体 中，下列说法正确的是 （ ）
A. 异⾯直线 与 所成的⻆为
B. 直线 与底⾯ 所成的⻆为
C. 直线 与 垂直
D. ⼆⾯⻆ ⼤⼩为
【答案】ACD
【解析】
【分析】应⽤线线平⾏得出异⾯直线所成⻆判定A，应⽤线⾯⻆定义计算判断B，先证明线⾯垂直得出线线
垂直判断C，根据⼆⾯⻆定义计算判断D.
【详解】对于A，连接 ，
因为 ，所以 是平⾏四边形，则
是异⾯直线 与 所成的⻆，
， 是等边三⻆形，
异⾯直线 与 所成的⻆为 ，故A正确；
第5⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司对于B， 底⾯ ， 直线 与底⾯ 所成的⻆为 ，
， 故B错误；
对于C，连接 ，
平⾯ ，
平⾯ ， 平⾯ ， ，故C正确；
对于D， 平⾯ ， 是⼆⾯⻆ 的平⾯⻆，
⼆⾯⻆ ⼤⼩为 ，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，直线 交椭圆C于A、B两点，P为椭圆
C上的⼀动点，则（ ）
A. 当 时，四边形 的周⻓为定值8
B. 当 为直⻆三⻆形时，
C. 当直线PA，PB的斜率都存在时，其斜率之积为
D. 当直线 与 的斜率之差为2时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，根据椭圆的定义即可判断A；当 时，求出点P的坐标，代⼊三⻆形⾯积公
式中即可判断B；设出A，B，P的坐标，结合斜率公式即可判断C；将直线 与 的斜率之差表述出
第6⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司来，结合点P在椭圆上，可得 ，代⼊三⻆形⾯积公式中即可判断D.
【详解】
对于A：因为椭圆 ，所以 ， ， ，即 ， ，
则四边形 的周⻓为 ，正确；
对于B：当 时，设 ，
因为点P在椭圆上，解得 ，取 ，则 ，错误；
对于C：因为直线 交椭圆C于A，B两点，所以A，B两点关于原点对称，
设 ， ， ，
因为 ，两式相减并整理得 ，
因为 ， ，所以 ，正确；
对于D：易知 ， ，
所以 ，整理得 ，
因为点P在椭圆上，所以 ，解得 ，
则 ，正确．
第7⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：ACD
第II卷 ⾮选择题（92分）
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 圆 的半径⼤⼩为___________.
【答案】
【解析】
【分析】将圆的⼀般⽅程化为标准⽅程即可求解.
【详解】将圆的⼀般⽅程化为标准⽅程为 ，
所以圆 的半径⼤⼩为 .
故答案为： .
13. 两平⾏线 ， 之间的距离为____________.
【答案】
【解析】
【分析】将直线 ⽅程化为 ，再根据两平⾏线间的距离公式计算即可.
【详解】直线 ⽅程可化为 ，
所以两平⾏线 ， 之间的距离为 .
故答案为： .
14. 三棱锥 中， ， ，⾯ ⾯ ， ，以
的边 所在直线为旋转轴将 旋转，则在旋转过程中， 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意找出点 的位置，建⽴空间直⻆坐标系找出点 到 所在平⾯距离，将问题转化到平⾯上，
求出 点在平⾯上的射影 到 点距离的最⼤值和最⼩值，再根据勾股定理求出 的最⼤值和最⼩值，
得到答案.
【详解】取 的中点 ， 的中点 ，连 ；由等腰三⻆形的性质， ，由已知平⾯
第8⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司与平⾯ 垂直，可得 平⾯ ，进⽽可得出 ， ， 两两垂直，如图建⽴坐标
系：
根据⼏何关系，可求出坐标： ， ， ， ， .
不妨记旋转过程中点 所在的平⾯为 ，由题⽬已知，在旋转过程中， 点在平⾯ 截以 为圆⼼， 为
半径的球所得到的圆上.
记点 在 内的射影为 ， 到平⾯ 的距离为垂线段 的⻓度，记该距离为 .
由 ， 可⽤坐标法计算点 到平⾯ 的距离 为：
，由勾股定理，
由⼏何关系， ，可知当 最⼩时， 最⼩； 最⼤时， 最⼤.
在平⾯ 上的⼏何关系如下图：
可得 的最⼤值为 ，最⼩值为 ， 的最⼤值为 ，最⼩值为
.
故答案为：
【点睛】易错点睛：本题的难点和易错点在于找到点 的范围，易犯错误为将 点的范围扩⼤为以 为圆⼼，
半径为 的整个球⾯.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
第9⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司15. 已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）设 为 中点，求直线 的⽅程；
（2）求 的⾯积．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）先确定 中点 的坐标，根据两点确定直线 的斜率，利⽤直线⽅程的点斜式写出直线
⽅程.
（2）法⼀：确定直线 的⽅程及 ，利⽤点到直线的距离求三⻆形的⾼，再求三⻆形⾯积；
法⼆：通过判断直线 与 的关系，可得 为直⻆三⻆形，利⽤直⻆三⻆形的⾯积的计算⽅法求
三⻆形⾯积.
法三：利⽤⾏列式的⽅法求三⻆形⾯积.
【⼩问1详解】
中点 的坐标为 . 所以直线 的斜率 .
所以直线 的⽅程为 ，即 .
【⼩问2详解】
法⼀：
因为 ,所以直线 的⽅程为 ，即 .
所以点 到直线 的距离 .
因为 ，
所以 .
法⼆：
因为 ， ，
所以 .
所以 .
第10⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 ，
，
所以 .
法三：由题意： .
16. ⽂明城市是反映城市整体⽂明⽔平的综合性荣誉称号，作为普通市⺠，既是⽂明城市的最⼤受益者，更
是⽂明城市的主要创造者，我市为提⾼市⺠对⽂明城市建设的认识，举办了“ 创建⽂明城市” 知识竞赛，
从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），
[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直⽅图．
（1）求频率分布直⽅图中 的值；
（2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采⽤分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随
机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率；
（3）已知落在 平均成绩是56，⽅差是7，落在 的平均成绩为65，⽅差是4，求两组成
绩的总平均数 和总⽅差
【答案】（1）
（2）
（3） ，
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1求 的值.
（2）根据分层抽样的概念，古典概型概率公式求解即可.
（3）根据加权平均数与⽅差公式计算即可．
第11⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问1详解】
由题意 ，解得： .
【⼩问2详解】
由题可知，成绩在区间 的频数为： ；
成绩在区间 的频数为： .
利⽤分层抽样，从中抽取7份，成绩在 的频数为 ，成绩在 的频数为
.
再从这7份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在 的概率为： .
⼩问3详解】
因为落在 与 的频率⽐为 ，
所以 ， ．
17. 已知点 ，圆 ，点 在圆 上运动， 的垂直平分线交 于点 .
（1）求动点 的轨迹 的⽅程；
（2）直线 与曲线 交于 两点，且 中点为 ，求直线 的⽅程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由椭圆的定义求解，
（2）由点差法得直线斜率后求解，
【⼩问1详解】
由题可知，
则
由椭圆定义知 的轨迹是以 、 为焦点，且⻓轴⻓为 的椭圆，
第12⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司∴ ，∴
∴ 的轨迹⽅程为 ：
【⼩问2详解】
设 ,∵ 都在椭圆 上，
∴ ， ，相减可得 ，
⼜ 中点为 ，∴ ，
∴ ，即直线 的斜率为 ，
∴直线 的⽅程为 ，即 ,
因为点 在椭圆内，所以直线 与椭圆相交于两点，满⾜条件.
故直线 的⽅程为 .
18. 椭圆 过点 且离⼼率为 ， 为椭圆的右焦点，过 的直线交椭
圆 于 ， 两点，定点 .
（1）求椭圆 的⽅程；
（2）若 ⾯积为 ，求直线 的⽅程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解出 值，则椭圆 的⽅程可知；
（2）设出直线 的⽅程，联⽴直线 的⽅程与椭圆⽅程得到纵坐标的⻙达定理形式，根据
，代⼊⻙达定理求解出参数值，则直线 的⽅程可知.
第13⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【⼩问1详解】
由题意可知 ，解得 ，
所以椭圆 的⽅程为 .
【⼩问2详解】
当直线 的斜率为 时，显然不符合题意；
因为 ，设 ，
联⽴ ，可得 ，
则 ，
，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的⽅程 .
19. 如图，等腰梯形 的⾼为2， ， ， 是 上靠近 的三等分点，如图
①所示，将 沿 折起到 的位置，使得 ，如图②所示，点 在棱 上.
第14⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（1）求证：直线 平⾯ ；
（2）若 是 的中点，求直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值；
（3）若平⾯ 与平⾯ 所成的锐⼆⾯⻆为45°，求 的值.
【答案】（1）证明⻅详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知 ，进⽽可得 ，结合线⾯垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，求平⾯ 的法向量，利⽤空间向量求线⾯夹⻆；
（3）设 ，求平⾯ 的法向量，利⽤空间向量结合⾯⾯夹⻆运算求解.
【⼩问1详解】
在图①中，过 作 ，垂⾜为 ，
则 ，可知点 与点 重合，即 ，
在图②中，可得 ，
⼜因为 ， ， 平⾯ ，
第15⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以直线 平⾯ .
【⼩问2详解】
由（1）可知：直线 平⾯ ， ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建⽴空间直⻆坐标系，
则 ，
若 是 的中点，则 ，
可得 ，
设平⾯ 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
则 ，
所以直线 与平⾯ 所成⻆的正弦值为 .
【⼩问3详解】
由（2）可知： ，
因为点 在棱 上，设 ，
则 ，
设平⾯ 的法向量 ，则 ，
第16⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司令 ，则 ，可得 ，
由题意可得： ，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
第17⻚/共17⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
