2025-2026 学年度上期重庆市高二半期七校联考数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷 (选择题 共 58 分)
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选 项中, 只有
一项是符合题目要求的．）
1．（原创）已知直线 过
A(1,2),B(1,-1)
两点,则直线 的倾斜角的大小为（ ）
π π π 3π
A． B． C． D．
6 3 2 4
x2 y2
2．（原创）已知方程 + =1 表示椭圆，则实数 m 的取值范围是（ ）
2m-3 4-m
A．(3 7) B．(7 ) C．(3 ) D．(3 7) (7 )
, ,4 ,4 , ∪ ,4
2 3 3 2 2 3 3
3．（原创）在等差数列 中， ， ，则 的公差为（ ）
{a } a +a =12 a =4 {a }
n 5 9 6 n
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（原创）若点 在圆 外,则 的取值范围（ ）
P(1,2√2) C:x2+ y2+2x-2√2y+a=0 a
A．(3,+∞) B．(-∞,3) C．(-3,+∞) D．(-3,3)
5．（改编）已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与
C :x2+ y2-4=0 C :x2+ y2+ax-2y-3=0(a∈R)
1 2
直线 l:2x-ay+1=0 平行，则两平行线间的距离为（ ）
√2 1 √2
A． B． C． D．√2
4 2 2
6．（改编）如图，已知 A,B,C 是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点 P 为平面 ABC
外一点,且 ,若 , 则 （ ）
<⃗AP,⃗AB>=<⃗AP,⃗AC>=120∘,|⃗AP|=4 ⃗AO=⃗AB+⃗AC |⃗OP|=
A．4√2 B．3 C．6 D．7
7．（原创）点 P(-1,2) 到直线 l:(1+2λ)x+(1+λ)y-1-3λ=0(λ∈R) 的距离的最大值为（ ）
A．√10 B．√2 C．3√2 D．√5
8．（改编）已知过抛物线 C:y2=12x 的焦点 F 的动直线交抛物线 C 于 A,B 两点，Q 为线段 AB
的中点，P 为抛物线 O上任意一点，则 |PF|+|PQ| 的最小值为（ ）A．6 B．3 C．12 D．9
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项 中, 有
多项符合题目要求, 全部选错的得 0 分, 若只有 2 个正确选项, 每 题选对一个得 3 分，若
只有 3 个正确选项，每选对一个得 2 分．）
x2 y2
9．（原创） 下列有关双曲线 - =1 的命题中，叙述正确的是（ ）
9 16
A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3
C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6
10．（原创）下列说法正确的为（ ）
1 1 1
A．O 为空间任意一点,若 ⃗AP=- ⃗OA+ ⃗OB+t⃗OC ,若 A,B,C,P 四点共面,则实数 t 等于
4 8 8
B．若 为空间的一个基底,则 能构成基底
{⃗a,⃗b,⃗c} ⃗a+2⃗b,⃗a+⃗b,⃗a-⃗b
C．向量 ，向量 (1 √3) ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为
⃗a=(√3,0,2) ⃗b= ,0, ⃗a ⃗b
2 2
(3√3 9)
,0,
4 4
D．圆 与圆 的公切线有 3 条
C :x2+ y2=4 C :x2+ y2-8x-6 y+16=0
1 2
11．（改编）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方
体图案， 如图1, 把三片这样的达·芬奇方砖拼成图 2 的组合, 这个组合再转换成图3所示的空间几何体．
若图3中每个正方体的棱长为 1，则下列结论正确的是（ ）
A．
⃗CQ+⃗AB=-⃗AD+2⃗A A
1
√5
B．点 C 到直线 CQ 的距离是
1 3
5√3
C．直线 CQ 与平面 BC D 的夹角正弦值为
1 9
D．异面直线 CQ 与 BD 所成角的正切值为 √17
第Ⅱ卷 (非选择题 共 92 分)三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12．（原创）抛物线 y=4x2 的准线方程为___________．
13．（原创）已知 的通项公式为 ，若数列 为递减数列，则实数λ的取值
{a } a =-3n2+λn(λϵR) {a }
n n n
范围是___________．
14．（改编）已知 是椭圆与双曲线的公共焦点, 是它们的一个公共点，且 ,线段
F ,F P |PF |>|PF |
1 2 1 2
1 1
PF 的中垂线过 F ,记椭圆的离心率为 e ,双曲线的离心率为 e ,则 + 的取值范围是
1 2 1 2 e e
1 2
___________．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤．）
15．（原创）（本小题 13 分）
9
数列 {a } 满足 a =5,a =6- (n∈N*,n≥2) ．
n 1 n a
n-1
（1）求证:数列 { 1 } 是等差数列；
a -3
n
（2）求数列 的通项公式．
{a }
n
16．（改编）（本小题 15 分）
已知点
A(2,4)
，
B(4,2)
，直线 的方程为:
x-2y+1=0
．
（1）求直线 关于点 对称的直线 的方程；
A m
（2）求经过 两点，且圆心在直线 上的圆的标准方程．
A,B
17．（改编）（本小题 15 分）
已知双曲线 x2 y2 的实轴长为 2,点 到双曲线 的渐近线的距离为 √3 ．
C: - =1(a>0,b>0) P(0,1) C
a2 b2 3
（1）求双曲线 C 的方程；
（2）过点 P(0,1) 的动直线 交双曲线 C 于 A、B 两点,设线段 AB 的中点为 M ,求点 M 的轨迹方
程．
18．（改编）（本小题 17 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， PA⊥ 平 面 ABCD ， 底 面 四 边 形 ABCD 满 足
∠ABC=∠BAD=90∘,∠CDA=45∘,AB=BC=1 ．（1）证明:平面 PAC⊥平面 PCD ；
（2）若
PA=2
，平面
PAD
与平面
PBC
交线为 ，
① 求证 ；
√6
②直线 上是否存在点 M ，使得平面 BDM 与平面 BDP 的夹角余弦值为 ？若存在， 求出 PM
6
; 若不存在,请说明理由．
19．（改编）（本小题 17 分）
已知 和 为椭圆
x2 y2
上两点．
A(2,3) P(4,0) C: + =1(a>b>0)
a2 b2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若过点 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 12，求直线 的方程；
A C B △ABP
（3）设过点 的动直线与椭圆 有两个交点 ，试判断在 轴上是否存在点 使
D(0,√3) C M、N y T
得向量所成角 [π ] 恒成立,若存在,求出 点纵坐标的取值范围; 若不存在, 说明理由．
⟨⃗TM,⃗TN⟩∈ ,π T
2题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D B D C D C A CD ACD BCD
12． 13． 14．
15．【答案】证明：（1）∵数列 满足 ，
∴ ，
∴数列 是公差为 的等差数列；
（2）由（1）可知数列 是公差为 的等差数列，
又∵ ，∴数列 的首项为 ，
∴ ，
∴ ．
16．【答案】解：（1）设直线 上任意一点 关于点 的对称点为 ，则
，
因为 ，所以 ，
整理得 ，即直线 的方程 ．
（2）设圆心 ，由 ，
得 ，解得 ，所以圆心为 ，半径 ，
所以圆 的标准方程为 ．
17．【答案】解：（1）双曲线 的实轴长为 ，由已知， ，则 ．
因为双曲线 的一条渐近线为 ．
点 到双曲线 的渐近线的距离为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
（2）（法一）易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，设 、 、
，
联立直线 与双曲线C的方程，得 ，消去 ，得
由 且 ，得 且 ．
由韦达定理，得 ，
所以 ，
由 消去 ，得 ．
由 且 ，得 或 ，
所以，点 的轨迹方程为 ，其中 或 ．
（法二）（2）设 ，中点 ，则： ，因为 在双曲线，故 ，
两式相减（点差法）： ，
因式分解得： ，
两边除以 （直线斜率显然存在），代入 ：
，
又直线 过 和 ，故斜率 ，因此： ，
整理得轨迹方程（将 换为 ）： ，
所以，点 的轨迹方程为 ，其中 或 ．
18．【详解】（1）由勾股定理计算得 ，所以 ，
故三角形 为等腰直角三角形，可得 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）①因为 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，平面 平面 交线 ，所以 ，
而 ，所以 ．②依题意，建立空间直角坐标系 ．
可得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
因为点 在 上，所以设点 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，可得
即 ，取 ，则 ．
因为 ，
所以 ，解得 ，故 ．
19．【解析】（1）由题意 ，解得
所以椭圆方程 ．（2）
当 的斜率不存在时， ， 到 距 ，
此时 不满足条件．
当直线 斜率存在时，设 ，设 ，
，消 可得 ，
当 时，
，又 ，所以 ，
∴ ，
又 点到直线 的距离 ，
所以 ，
整理可得 或 （无解），即 ，
解得 或，此 ，时代入检验，均满足 ，
∴ 或 ，
即 或 ．（3）椭圆方程为： ．若过 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：
，设 ，
联立椭圆方程可得 ，
故 ，
而 ，
故
因为 恒成立，故 ，解得
若过点 的动直线的斜率不存在，则 ，
此时需 ，
综上， 点纵坐标的取值范围为 ．
