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江苏省徐州市2025-2026学年高二上学期11月期中考试
数学试题
一、单选题
1．抛物线 的焦点是（ ）
A． B． C． D．
2．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，点 在 轴上，且使得 取最小值，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若双曲线 双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率e为（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知直线 ，若直线 与连接 两点的线段总有
公共点，则 的倾斜角范围为（ ）
A． B． C． D．
6．过三点 ， ， 的圆交 轴于 ， 两点，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知直线 与 相交于点P，点Q在圆 上，则（ ）．A． 有最大值 B． 有最大值
C． 有最小值 D． 有最小值
8．已知椭圆 ，直线 不经过点 ，且斜率为 .若 与 交于两个不同点 且直线
的倾斜角分别为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则曲线C为椭圆
B．若 ，则曲线C为双曲线
C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于 大于1
10．已知圆 ： ，直线 ： ，则（ ）
A．直线 与圆 的轨迹一定相交
B．直线 与圆 交于 两点，则 的最大值为
C．圆 上点到直线 距离的最大值为
D．当 时，则圆 上存在四个点到直线 的距离为1.
11．已知点 ，曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线 上存在点 ，使得
B．直线 与曲线 没有交点C．若过点 的直线 与曲线 有三个不同的交点，则直线 的斜率的取值范围是
D．点 是曲线 上在第三象限内的一点，过点 向直线 与直线 作垂线，垂足分别为
，则
三、填空题
12．若直线 与 垂直，则 .
13．焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过 的椭圆的标准方程为 ．
14．已知椭圆和双曲线有共同的焦点 、 ， 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的
离心率分别为 、 ，则 的最大值为 ．
四、解答题
15．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别为 ， ，且它的对角线的交点为
，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．
16．（1）已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为5，求抛物线的方程；
（2）求与双曲线 有公共渐近线，且经过点 的双曲线的标准方程．
17．已知椭圆 的离心率 ，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，求直线 的方程.18．已知点 ，双曲线 的左顶点为 ，左､右焦点分别为 ，且双曲线的一条渐近线与
直线 垂直.
(1)求双曲线的离心率；
(2)设点 在双曲线上，且 ，求点 到 轴的距离；
(3)过 且斜率为 的直线与双曲线交于 两点，求线段 的长度.
19．如图，圆 是圆 内一个定点， 是圆 上任意一点．线段 的垂直平分
线 和半径 相交于点 ，当点 在圆上运动时，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设曲线 与 轴从左到右的交点为点 ，点 为曲线 上异于 的动点，设 交直线 于点 ，
连结 交曲线 于点 ，直线 的斜率分别为 ．
（ⅰ）求证： 为定值；
（ⅱ）证明：直线 经过 轴上的定点，并求出该定点的坐标．参考答案
1．D
【详解】 的焦点是 ,
故选：D
2．A
【详解】解：直线 的斜率 ，设倾斜角为 ，则 ，因为 ，所以
故选：A
3．C
【详解】
如图，M关于x轴对称点是 ，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于
P点，有 取最小值，此时， ，而直线M’N的方程为 ，化简得，
，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为
答案选：C
4．C
【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为 ，
因为双曲线两条渐近线的夹角为60°， ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，则 .
故选：C.
5．D
【详解】令 ，解得 ，则直线 过定点 ，
有 ， ，如图所示：
则 的倾斜角范围为 .
故选：D.
6．D
【详解】设圆的方程为 ，
则
， ， ，
∴ ，令 ，可得 ，
，
．
故选：D．
7．A
【详解】对于直线 ，可变形为 .
令 ，解得 ，所以直线 恒过定点 .
对于直线 ，可变形为 .
令 ，解得 ，所以直线 恒过定点 .
因为 ，所以 ，已知 ， ，则中点坐标为 .
，所以半径 .
则点 的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为 ，
已知圆 的圆心 ，半径 ，则圆心 与点 轨迹圆的圆心 的距离为
.
的最大值为圆心加上两圆半径，即 .
由于轨迹不包含点 ，故不存在最小值.
故选：A．
8．B【详解】设直线 ， ， ，
由 ，得 ，
由 ，解得 或 ，
则 ， ，
依题意，因为 恰好在椭圆上，所以 与 的斜率一定存在，所以 ， ，
设直线 与 的斜率分别为 ，因为 ， ，
所以 ．
又 ， ，
所以
，
又 ， ，即 ，
则 ，所以 .
故选：B
9．BCD【详解】对于A选项，若 为椭圆，则 ，A不正确；
对于B选项，若 为双曲线，等价于 ，即 或 ，B正确；
对于C选项，当 时，椭圆长轴长 ，
当 时，椭圆长轴长 ，C正确；
对于D选项，若 为焦点在 轴上的双曲线，则 ，解得 ，
双曲线 的离心率为 ，
且双曲线的离心率 ，故D正确.
故选：BCD.
10．AD
【详解】圆 ： ，圆心 ，半径 ，
直线 过定点 ， ，
对选项A： ，点 在圆内，故直线与圆一定相交，正确；
对选项B：当 过圆心时， 最大为 ，错误；
对选项C：圆 上点到直线 距离的最大值为 ，错误；
对选项D：直线 ： ，圆心在直线上， ，
故圆 上存在四个点到直线 的距离为1，正确；
故选：AD
11．BC
【详解】当 ， 时，曲线 ，即 ；当 ， 时，曲线 ，即 不存在；
当 ， 时，曲线 ，即 ；
当 ， 时，曲线 ，即 ，
画出图形如图所示：
对于A：满足 条件的曲线是双曲线 的下支，
该双曲线的下支与曲线 是没有交点的，
所以不存在曲线 上的点 ，使得 成立，故A错误；
对于B：一三象限曲线的渐近线方程为 ，
则直线 与曲线 没有交点，故B正确；
对于C：设过点 的直线 ，三个交点，显然 .
联立 ；
联立 ；
直线 与曲线 有三个不同的交点，则直线 斜率的取值范围是 ，C正确；对于D：设 ，由点到直线距离公式得： ， ，
所以 .
因为点 是曲线 上在第三象限内的一点，则有 ，
所以 ，故D错误，
故选:BC.
12．
【详解】由题意可得 ，解得 .
故答案为： .
13．
【详解】解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为 ，
由题意，有 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 ，
故答案为： .
14． /
【详解】不妨设 为第一象限的点， 为左焦点，
设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，则根据椭圆及双曲线的定义可得 ，
，所以 ， ，
，在△ 中， ，
由余弦定理得 ，
化简得 ，即 ．
所以 ，从而 ，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时等号成立．
故答案为：
15． 和
【详解】解：联立方程组 ，解得 .
所以平行四边形 的顶点 .
设 ，由题意知点 是线段 的中点，
所以 ，
解得 ，所以 .由已知，得直线 的斜率 ，因为 与 平行，
所以直线 的方程为 ，即
由已知，得直线 的斜率 ，因为 与 平行，
所以直线 的方程为 ，即
故这个平行四边其它两边所在直线的方程是 和
16．（1） ；（2）
【详解】（1）因为 到其焦点的距离为5，根据定义，到准线距离也为5，
抛物线的准线方程为 ，
故 ，则抛物线方程为 ．
（2）由题意设双曲线方程为 ，
因为双曲线经过点 ，所以 ，故 ，
所以双曲线标准方程为 ，
即 ．
17．(1)(2) 或
【详解】（1）由题可知， ， ，
又 ，且 ，解得 ， ，
则椭圆 的方程为 .
（2）法一：①当直线 斜率为0时， ， 不符合题意.
②当直线 斜率不为0时，设直线 方程为 ，
联立 ，得 ， ，
设 ，则 .
由题意， ，
即 ，解得 .
故直线 的方程为： 或 .
法二：①当直线 斜率不存在时， ，不符合题意.
②设直线 方程为 ，
联立 ，得 ， ，
设 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，解得 .
故直线 的方程为 或 .
18．(1) ；
(2) ；
(3)
【详解】（1）双曲线 的左顶点为 ，故 ，
则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知 ，则 ，
故双曲线方程为 ，其离心率为 ；
（2）由（1）得 ，
∵ ，∴ ，设 ，
则在 中，有 ，
又由双曲线的定义，可得 ，
解得 ，则 ，
又 ，解得 ，
∴M点到x轴的距离为 ；（3）因 ，则过 且斜率为 的直线的方程为 ，
与双曲线方程联立消元，可得 ，
设 ，则 ，
由弦长公式， = .
所以DE的长度为 .
19．(1)
(2) ；
【详解】（1）由题意可知， ，
由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆，
且长轴长 ，焦距 ，
所以 ，
因此曲线C方程为 .
（2）（ⅰ）设 ， ， ，由题可知 ， ，如下图所示，
则 ， ，
而 ，于是 ，
所以 ，
又 ，则 ，
因此 为定值；
（ⅱ）由题意可知，直线PQ不可能与 轴平行，
设直线PQ的方程为 ， ， ，知 ，
由 ，得 ，
，得
所以
由（i）可知， ，
即 ，
将 代入化简得 ，化简得 解得 舍或 ，
所以直线PQ的方程为 ，因此直线PQ经过定点
