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江苏省南通市2025-2026学年高二上学期期中调研测试
数学试题
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线 与 平行，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．若方程 ： 表示圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若空间向量 ，则下列向量能与 构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
5．点 关于直线 的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是空间三个不共线向量，则“向量 共面”是“存在三个均不为零的实数 ，使得
”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．在正三棱柱 中， ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C．0 D．
8．已知直线 和圆 交于 两点，设线段 的中点为 为坐标
原点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知三条直线 和 不能围成一个三角形，则实数 的可能取值为
（ ）
A． B．3 C． D．
10．已知圆 与圆 ，则（ ）
A．圆心距
B．两圆的公共弦所在直线的方程为
C．两圆的公共弦长为
D．直线 是两圆的一条公切线
11．在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 上的动点（不含端点），且
，则（ ）
A．
B．当且仅当 为 中点时，C．存在 ，使得
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．已知向量 ， ，且 ，则 .
13．过点 作圆 的切线，则切线长为 .
14．已知两条直线 和 都经过点 ，则两点 ， 间的最短
距离为 .
四、解答题
15．已知 的三个顶点为 .
(1)求 边上的中线 的长；
(2)求 的外接圆方程.
16．如图，在棱长为2的正四面体 中，已知 是线段 的中点，点 在线段 上，且
.
(1)用向量 表示 ；
(2)求 ；
(3)求向量 与 夹角的余弦值.17．（1）过点 作直线 的垂线，垂足为 .
①求点 的坐标；
②求以 为直径的圆被 轴截得的劣弧的长度；
（2）已知点 和直线 （ 不同时为零），证明：点 到直线 的距离
.
18．如图，已知正方形 和矩形 所在平面互相垂直， ，设 ，点 分别在
线段 上，且 .
(1)证明： ；
(2)若平面 平面 ，求 的值；
(3)设直线 与平面 相交于点 ，求线段 的长度（用 表示）.
19．已知曲线 .
(1)求曲线 围成的平面图形的面积；
(2)若 是曲线 上的两个动点，求 的最大值；
(3)是否存在直线 与曲线 至少有三个不同的公共点？若存在，求 的取值范围；若不存在，请
说明理由.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D C A B D BCD ABD
题号 11
答案 ABD
1．A
根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角．
【详解】 可化为： ，
∴直线的斜率为 ，设直线的倾斜角 ，则 ，
∵ ，∴ ．
故选：A．
2．D
利用两直线平行的充要条件列式求解即可.
【详解】由直线 与 平行，
得 ，所以 .
故选：D.
3．B
根据二元二次方程表示圆的条件，列出不等式，解之即可.
【详解】因为方程 ： 表示圆，
则有 ，解得： ，
故选：B.
4．D
根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得.
【详解】对于A， ，向量 共面，A不是；
对于B， ，向量 共面，B不是；对于C， ，向量 共面，C不是；
对于D，假设 ，则 ，于是 ，方程组无解，
即向量 不共面，能构成空间的一个基底，D是.
故选：D
5．C
设对称点的坐标为 ，由题意可得 ，求解即可.
【详解】设对称点的坐标为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以点 关于直线 的对称点的坐标为 .
故选：C
6．A
利用空间向量共面的基本定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解.
【详解】因为实数 均不为零，所以 ，
此时向量 共面，故必要性成立；
因为 是空间三个不共线向量，若向量 共面，
则存在非零实数 、 使得 ，则 ，
取 ，即有 ，故充分性成立；
所以“向量 共面”是“存在三个均不为零的实数 ，使得 ”的充要条件.故选：A
7．B
利用正三棱柱的性质计算出 ， ， ，再根据夹角公式即可求解.
【详解】由题意 ，同理可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 即 ，
所以
，
所以 ，
故直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
8．D
易知直线l过定点 ，且点 在圆 内，结合 垂直于 ，可得动点 的轨迹方程为
，由此容易得出 的最大值．
【详解】将圆 的方程化为标准方程为 ，则圆心为 ，
直线 ，易知直线恒过定点又 ,所以点 在圆内，如图所示：
由于 垂直于 ，则点 的轨迹为以 为直径的圆，
线段 的中点坐标为 ， ，
所以动点 的轨迹方程为 ，
又 ， ，
可得 ，
即 的取值范围为 ，
所以 的最大值为 .
故选：D
9．BCD
利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解.
【详解】联立 ，可得 ，即两直线交点为 .
当 时，直线 和直线 平行，不能围成三角形;
当 时，直线 和直线 平行，不能围成三角形;
当 时，直线 经过点 ，三线共点，不能围成三角形;
当 时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意.故选：BCD
10．ABD
根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个
圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D.
【详解】根据两圆方程，可知圆 的圆心坐标 ,半径 ,圆 的圆心坐标 ,半径 .
对于A： ,故A正确；
对于B：由A可知， ,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相
减得到，即将 减去 ,
得到 ,整理化简得 ,故B正确；
对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心 到公共弦 的距
离 ,故弦长 ,故C错误；
对于D：圆心 到直线 的距离 ,圆心 到直线 的
距离 ,故直线 是两圆的一条公切线，故D正确.
故选：ABD.
11．ABD
以 为原点，建立坐标系，设 ，根据 ，求得 ，由
，可判定A正确；由 ，求得 ，可判定B正确；由 ，
列方程方程组，可判定C错误；过 作 ，证得 即为直线 与平面 所成角，求得，利用换元法和函数的单调性，可判定D正确.
【详解】以 为原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得 ，
设 ，其中 可得 ，
因为 ，则 ，
可得 ，所以 ，
对于A，由 ，
可得 ，所以A正确；
对于B，由 ，可得
若 ，可得 ，所以 ，解得 ，
即 分别为 的中点，所以B正确；
对于C，由 ，
若 ，可得 ，则存在实数 使得 ，
可得 ，可得 ，因为 ，所以 不存在，
所以不存在 使得 ，所以C错误；
对于D，过点 作 ，连接 ，
在正方体 中，可得 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
所以 即为直线 与平面 所成角，
在直角 中，由 ，可得 ，
所以
在直角 中，可得 ，
令 ，其中 ，
可得 ，且 ，所以 ，
由函数 在 上单调递减，
所以当 时， ，所以 的最大值为 ，
所以 的最大值为 ，所以D正确.
故选：ABD.12． /
根据向量平行可知存在实数 ，使得 ，结合向量坐标运算求解即可.
【详解】因为向量 ， ，
若 ，则存在实数 ，使得 ，
可得 ，解得 .
故答案为： .
13．
把圆的一般方程变形为圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据勾股定理求解即可.
【详解】方程 可化为 ，圆心 ，半径 ，
所以切线长为 .
故答案为：
14．确定 ， 分别在直线 上，由平行线间距离即可求解.
【详解】因为两条直线 和 都经过点 ，
所以 ， ，
所以 ， 分别在直线 上，
所以两点 ， 间的最短距离为两平行线间距离，即 ，
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）利用中点坐标公式得到中点坐标，再利用两点间距离公式求解长度即可.
（2）设出外接圆的方程，代入点的坐标，进而求解参数得到方程即可.
【详解】（1）由中点坐标公式得 的中点 ，
由两点间距离公式得 .
（2）设三角形外接圆方程为 ，
因为点 在所求的圆上，可得 ，解得 ，
则 外接圆的方程为 .
16．(1)
(2)(3)
（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解；
（2）利用向量的模与数量积的关系求解即可；
（3）利用向量的夹角公式计算即可求解.
【详解】（1）
；
（2）
（3）因为 ，
所以
.
.
由正四面体 的棱长为2，可得 ，
所以 .
17．（1）① ；② ；（2）证明见解析（1）①求得直线 的方程，联立方程求解即可；②求得圆的方程，由勾股定理可得 ，计算即
可求解；
（2）方法一：求得过点 和直线 垂直的直线方程，联立方程组求得交点坐标，由
平面中两点间的距离公式即可得证；方法二：过点 分别作 轴､ 轴的垂线，分别与 相交于
，由等面积法计算即可得证.
【详解】（1）①因为直线 的斜率 ，
所以其垂线的斜率 ，
所以直线 的方程为 .
联立 ，解得 .
②因为 ，
所以以 为直径的圆的圆心 ，半径 ，
所以圆 的方程为 .
设圆 与 轴交于 两点，则 ，
所以 ，
所以 ，所以所求弧长为 .
（2）法一：设 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，
则过点 和直线 垂直的直线方程为 .
联立 ，解得 ，所以点 的坐标为 .
所以
当 时，
.
当 时，
.
所以点 到直线 的距离 .
法二：过点 作 ，垂足为 .
当 时，
过点 分别作 轴､ 轴的垂线，分别与 相交于 .
由 ，
得 ，
所以 ，
因为 是 斜边上的高，
所以 ，
即点 到直线 的距离 .
当 时，
.
当 时，
.综上，点 到直线 的距离 .
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）利用面面垂直的性质可得 平面 ，进而利用线面垂直的性质可得 ，建
立空间直角坐标系，利用向量法可得结论；
（2）求得平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，利用向量法可求 的值；
（3）设 ，求得 ，利用向量法可求得 ，进而可求解.
【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
在矩形 中， 平面 ，所以 平面 .
又因为 平面 平面 ，所以 .
以 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， .
所以 ，
所以 ，
所以 .
（2） .设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 .
设平面 的一个法向量为 ，则
，即 ，令 ，得 ，
所以平面 的一个法向量为 .
若平面 平面 ，则 ，
得 ，解得 ，
因为 ，所以 .
（3）设 ，则 ，所以 .
由（2）可知，平面 的一个法向量 ，所以 ，
得 ，解得 .
所以 ，所以 ，
所以 .
19．(1)(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）曲线 既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称.
当 时，曲线方程为 .
记圆心为 ，与 轴分别交于 两点，
则 ，过点 作 ，
则 ，
所以 ，
所以 .
所以 ，
所以 ，同理 .
由对称性可知，曲线 围成的平面图形的面积
.
（2）记曲线 在第一象限的圆心为 ，第二象限的圆心为 ，
第三象限的圆心为 ､第四象限的圆心为 .情况1：不妨 都在第一象限（或坐标轴正半轴）， .
情况2：不妨 在第一象限（或坐标轴正半轴）， 在第二象限（或 轴负半轴）时，
（当且仅当 四点共线时等号成立），此时 最大值为6.
情况 不妨 在第一象限（或坐标轴正半轴）， 在第三象限（或坐标轴负半轴）时，
（当且仅当 四点共线时
等号成立），此时 最大值为 .
综上，根据对称性可知 最大值为 .
（3）当 时，研究直线与曲线 在第一象限的公共点.
联立 ，得 （*）.
因为 ，
所以方程（*）只有一个正根，则直线 与曲线 在第一象限只有一个公共点.
同理，直线 与曲线在第三象限也只有一个公共点.
因此，当 时，直线 与曲线 只有两个公共点.
当 时，
一方面，直线 与曲线 在第二象限的部分至多两个公共点.
另一方面，由 ，得 （*）.因为 ，
所以方程（*）无正根，即直线 与曲线 在第一象限无公共点.
同理，直线 与曲线 在第三象限无公共点.
所以当 时，直线 与曲线 至多两个公共点.
所以 时，直线 与曲线 至多两个公共点.
由对称性可知， 时，直线 与曲线 也至多两个公共点.
