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眉山市 2025 年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试
数学试卷
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．在答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号准确填写在答题卡相应的位置．
3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的正确选项涂黑，如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其他选项；答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写
在答题卡规定的位置上；所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值．
5．凡作图题或辅助线均用签字笔画图．
第Ⅰ卷（选择题共48分）
一、选择题：本大题共 12个小题，每小项4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中只
有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1. 2025的相反数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键；
根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案.
【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数；
2025是正数，其相反数为 ；选项中B符合相反数的定义；
A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意；
故选B.
2. 剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知轴对称图形的概念是关键；
根据轴对称图形的定义：将一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图
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形就叫做轴对称图形，逐项判断即可.
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A.
3. 在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的中影票房达到244亿
元．244亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，n可以用整数位数
减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意 a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于
10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可．
【详解】解：244亿用科学记数法表示为 ．
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方．需逐一分析
各选项的正确性．
【详解】解： ． 与 不是同类项，无法直接相加，故该选项不符合题意；
． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
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． 原计算正确，故该选项符合题意；
故选：D．
5. 在平面直角坐标系中，将点 向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移 的规律“左右横，上下纵，正加负减”是解答
本题的关键．
根据平移规律，向右平移2个单位时，点的横坐标增加2，纵坐标不变，即可解答．
【详解】解：点 向右平移2个单位，横坐标变为 ，纵坐标保持3不变．
所以，点 的坐标为 ，、
故选：C．
6. 如图，直线l与正五边形 的边 分别交于点M、N，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；
先根据多边形的内角和计算出 ，再根据四边形的内角和是360度求出 ，
结合对顶角相等即可得到答案.
【详解】解：∵正五边形 ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：C.
7. 如图，在 的方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，将 以点O为位似中心放大后得到
，则 与 的周长之比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到 以点O为位似中心放大2倍后得到 是解题
的关键；
根据题意可得 以点O为位似中心放大2倍后得到 ，再根据位似图形 的性质求解即可.
【详解】解：根据题意可得： 以点O为位似中心放大2倍后得到 ，
∵ ，
∴ 与 的周长之比是 ；
故选：B.
8. 如图，在四边形 中， ， ， ．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适
当长度为半径画弧，分别交 于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于 的长为半径画
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弧，两弧相交于点P；③作射线 交 于点G，则 的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识；
根据题意可得： 平分 ，即 ，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得
，进一步即可求解.
【详解】解：根据题意可得： 平分 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：A.
9. 我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，
苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一
文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据
题意可列方程组为（ ）
A. B.
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C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千
个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可．
【详解】解：设甜果x个，苦果y个，
∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为：
∵甜果9个11文，苦果7个4文，
∴甜果每个单价为 文，苦果每个单价为 文，
∵总费用为999文，故可列方程为： ；
故可列方程组： ；
故选C．
10. 在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，则向量 ，已知 ， ，
若 ，则 与 互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查向量的性质，特殊角的三角函数值的运算，零指数幂，负整数指数幂以及二次根式的运
算，根据新定义，逐一列出算式，进行计算判断即可，熟练掌握新定义，是解题的关键．
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【详解】解：A、∵ ， ；
∴ 不垂直，不符合题意；
B、∵ ， ，
∴ 不垂直，不符合题意；
C、∵ ， ，
∴ 不垂直，不符合题意；
D、∵ ， ，
∴ 垂直，符合题意；
故选：D．
11. 若关于x的不等式组 至少有两个正整数解，且关于x的分式方程 的解
为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A. 8 B. 14 C. 18 D. 38
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分
式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解①得：
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解②得： ，
∵关于x的不等式组 至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为 ．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
当 时，解集包含 ，
此时 ．
分式方程 化简为： ，
解得 ．
要求解为正整数且 ，则 为大于等于2的整数，
即 为大于等于6的偶数．
∵ ，
∴ 或8，
当 时，不等式组的解集为 ，整数解为 ，满足条件．
当 时，不等式组的解集为 ，整数解为 ，满足条件．
则所有满足条件的整数 之和为 ，
故选：B．
12. 如图1，在 中， ，点D在 上， ，动点P在 的边上沿
方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以 为边作正方形 ．
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设点P的运动时间为t秒，正方形 的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的
二次函数．在3个时刻 ， ， 对应的正方形 的面积均相等．下列4个结论：①当
时， ；②点P在线段 上时 ；③ ；④ ．其中正确结
论的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时， ，由此求出 ，当 时，点P的
运动路程为1，即此时点P在 上，求出 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据正方形面
积公式求出S，据此可判断①；当点P在 上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为 ，可
设S关于t的函数解析式为 ，利用待定系数法求出 ，据此可判断②；求出
当 时，t的值，可得 的长，再利用勾股定理求出 的长，据此可判断③；可求
出P在 上时， ；函数 可以看作是由函数 向右平移四个单
位得到的，设 是函数 上的两点，则 ， 是
函数 上的两点，由此可得 ，则 ，根据题意可以看作
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，则 ，据此可判断④．
【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 或 （舍去）；
∵动点P在 的边上沿 方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴当 时，点P的运动路程为1，即此时点P在 上，
∴此时 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴当 时， ，故①正确；
当点P在 上时，由图2可知，对应 二的次函数的顶点坐标为 ，
∴可设S关于t的函数解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得 ，
∴S关于t的函数解析式为 ，故②错误
在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
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∴ ，故③错误；
∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在 匀速运动，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
点P在 上运动时 ，
函数 可以看作是由函数 向右平移四个单位得到的，
设 是函数 上的两点，则 ， 是函数
上的两点，
∴ ，
∴ ，
∵存在3个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等．
∴可以看作 ，
∴ ，故④正确；
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解
题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填写在答题卡相
应的位置上．
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13. 的立方根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的立方根是 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键．
14. 某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中 7名男生引体向上的成绩为：
7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查中位数的定义，将这组数据从小到大排列，已知这组数据共有7个数，根据中位数
的概念：当n为奇数时，位于中间的数即中位数求解即可．
【详解】解：7名男生引体向上的成绩从小到大排列为：5，6，7，8，8，9，10，
位于最中间的数为第4位8，
则中位数是8，
故答案为：8
15. 已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之
间的关系，得到 ，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进
行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴
；
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故答案为： ．
16. 人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若 的长都为 ，当 时，人字梯顶端离地面的
高度是________m．（结果精确到 ，参考依据： ， ， ）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键，过点 作
，解 ，求出 的长即可．
【详解】解：过点 作 ，则： ，
在 中， ， ，
∴ ；
故人字梯顶端离地面的高度是 ；
故答案为： ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，用 12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若
， ，则点G的坐标为________
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得
， 然 后 解 直 角 三 角 形 分 别 求 出 ， ，
，得到规律，再根据规律计算即可.
【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理： ，
依次类推： ；
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则点G的坐标为 ；
故答案为： .
18. 如图，正方形 的边长为4，点E在边 上运动（不与点A、D重合）， ，点F
在射线 上，且 ，连接 ，交 于点 G，连接 ．下列结论：①
；② ；③ 的面积最大值是2；④若 ，则点G是线
段 的中点．其中正确结论的序号是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】过 作 ，交 的延长线于点 ，证明 为等腰直角三角形，推出
，进而得到 ，证明 ，推出 为等腰直角三角形，进而得
到 ，进而得到 ，判断①；延长 至点 ，使 ，连接
，证明 ，再证明 ，得到 ，判断②；
设 ，则： ， ，将 的面积转化为二次函数求最值，判
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断③；设 ，得到 ，在 中，由勾股定理，
求出 的值，判断④即可．
【详解】解：过 作 ，交 的延长线于点 ，则： ，
∵正方形 ，边长为4，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
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延长 至点 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故②错误；
设 ，则： ， ，
∴ 的面积 ，
∴当 时， 的面积最大为2；故③正确；
∵ ，
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∴ ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ，
∴ ，
∴点G是线段 的中点；故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直
角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19. （1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解
题的关键：
（1）先开方，去绝对值，再进行加减运算即可；
（2）去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）去括号，得： ，
移项，得： ，
合并，得： ．
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20. 先化简，再求值： ．其中x、y满足
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，
最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴原式 ．
21. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，
照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1
类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如
图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题：
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（1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度；
（2）补全条形统计图；
（3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名
学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人
的概率．
【答案】（1）200，144
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关
键：
（1）用 软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用 360度乘以A类软件的人数所占的比例
求出圆心角的度数即可；
（2）求出 类软件的人数，补全条形图即可；
（3）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解： （人）；
；
故答案为：200，144；
【小问2详解】
软件的人数为： （人）；
补全条形图如图：
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【小问3详解】
由题意，列表如下：
A A A B
A A，A A，A A，B
A A，A A，A A，B
A A，A A，A A，B
B B，A B，A B，A
共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种，
故 .
22. 如图， 为 的直径，点C为圆上一点，过点C作 的切线，交 延长线于点D，过点B作
，交 于点E，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， 的半径为2，求 的长．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关
键：
（1）连接 ， ， ，等边对等角，得到 ，切线推出 ，
直径得到 ，进而得到 ，推出 ，平行线的性质，结合
圆周角定理得到 ，等角对等弧，即可得证；
（2）延长 交 于点 ，连接 ，由（1）可推出 是含30度角的直角三角形，利用三角函
数进行求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ， ， ，则： ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
的
∵ 为 直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：延长 交 于点 ，连接 ，则： 为 的直径，
∴ ，
∵ 的半径为2，
∴
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
23. 如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 、 两点，与x轴交于点
C，点D与点A关于点O对称，连接 ．
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（1）求一次函数和反比例函数的解析式：
（2）点P在x轴的负半轴上，且 与 相似，求点P的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为： ，反比例函数解析式为 ．
（2）点P的坐标为 或
【解析】
【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可．
（2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设 ，再根据直角坐标
系两点之间的距离公式分别求出 ， ， ，由对顶角相等得出 ，再根据相似三
角形的性质分两种情况 或 代入求解即可．
【小问1详解】
解：把 代入反比例函数 ，则 ，
则反比例函数解析式为： ，
把 代入 ，
则 ，
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∴ ，
再把 ， 代入 ，
则 ，
解得： ，
则一次函数的解析式为： ．
【小问2详解】
解：令 时，则 ，
∴ ，
∵点D与点A关于点O对称，
∴
设点 ，
∵ ，
∴
又∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ 与 相似， ，
∴分两种情况： 或 ，
当 时，
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即 ，
解得： ，
此时，点 ，
当 ，
即 ，
解得： ，
此时 ，
综上：当点P在x轴的负半轴上，且 与 相似，点P的坐标为 或
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析
式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两
点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键．
24. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来 肥的胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布
各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为 ，其核心营养素如下：
食品类 能 量 （ 单 位 ： 蛋白质（单位： 脂肪（单位： 碳 水 化 合 物 （ 单
别 ） ） ） 位： ）
A 240 12 7.5 29.8
B 280 13 9 27.6
（1）若要从这两种食品中摄入 能量和 蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？
（2）若每份午餐选用这两种食品共 ，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于 ，且能量最
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低，应选用A、B两种食品各多少份？
【答案】（1）选用A、B两种食品分别为 份和2份；
（2）应选用A、B两种食品分别为2份和 份；
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．
（1）先设选用A、B两种食品分别为 份和 份，结合选用A、B两种食品分别为 份和 份，列出方程组，
进行计算，即可作答．
（2）结合每份食品的质量为 ，每份午餐选用这两种食品共 ，则选用B种食品 份，再列
出不等式，得 ，然后设能量为 ，则 ，运用一次函数的性质进行作答即可．
【小问1详解】
解：设选用A、B两种食品分别为 份和 份，
∵这两种食品中摄入 能量和 蛋白质，
∴ ，
∴ ，
∴选用A、B两种食品分别为 份和2份；
【小问2详解】
解：设选用A种食品 份，
依题意， ，
即选用B种食品 份，
则
，
解得 ，
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设能量为 ，
则
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时能量最低，
即 ，
∴应选用A、B两种食品分别为2份和 份．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 关于直线 对称，与x轴交于 、B
两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，连接 ，将线段 绕点P逆时针旋转 ，使点B的对应点D恰好
落在抛物线上，求此时点P的坐标；
（3）在线段 上是否存在点Q，使 存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小
值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2） 或
（3）存在， ， 的最小值为
【解析】
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【分析】（1）对称性求出 点坐标，两点式写出函数解析式即可；
（2）设对称轴与 轴交于点 ，设 ， ，分点 在 轴上方和点 在 轴下方两种情况
进行讨论求解即可；
（3）在 轴上取点 ，连接 ，过点 作 于点 ，交 轴于 ，过点 作
于点 ，易得 为等腰直角三角形，进而得到 ，推出
，得到当点 与点 重合时，
的值最小为 的长，等积法求出 的长，证明 为等腰直角三角形，求出 点坐标即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 关于直线 对称，与x轴交于 、B两点，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ；
【小问2详解】
∵点 在对称轴上，设对称轴与 轴交于点
∴设 ， ；
∵旋转，
∴ ，
当点 在 轴上方时，
∵ 关于对称轴对称，
∴ ，
∴当 时，满足题意，此时点 与点 重合， ，
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∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 在 轴下方时，如图，作 对称轴于点 ，则： ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 ，得： ，
解得： 或 （舍去）；
∴ ；
综上： 或 ；
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【小问3详解】
存在；
在 轴上取点 ，连接 ，过点 作 于点 ，交 轴于 ，过点 作
于点 ，则： ， ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴当点 与点 重合时， 的值最小为 的长，
∵ ，
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
综上： ， 的最小值为 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性
质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，
是解题的关键．
26. 综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片 沿过点C的直线折叠，使点B落在 边上的点 处，折痕交
于点E，再沿着过点， 的直线折叠，使点D落在 边上的点 处，折痕交 于点F．将纸片
展平，画出对应点 、 及折痕 、 ，连接 、 、 ．
【初步猜想】（1）确定 和 的位置关系及线段 和 的数量关系．创新小组经过探究，发现
，证明过程如下：由折叠可知 ，
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由矩形的性质，可知 ， ． ①________． ．智慧小组先测量
和 的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证 和 数量关系的方法不唯一：
方法一：证明 ，得到 ，再由 可得结论．
方法二：过点 作 的平行线交 于点G，构造平行四边形 ，然后证 可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证 和 的数量关系，写出证明过
程．
【尝试运用】（3）如图2，在矩形 中， ，按上述操作折叠并展开后，过点 作
交 于点G，连接 ．当 为直角三角形时，求出 的长．
【答案】（1） ， （2）见解析（3） 或4
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，折痕为角平分线，结合平行线的性质，得到 ，猜想
；
（2）根据题干给定的2种方法进行证明即可；
（3）设 ，则 ， ，勾股定理求出
，①当 ，根据平行线的判定和性质，以及三角
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形的外角的性质，推出 ，进而得到 ，证明 ，
得到 ，列出比例式，进行求解即可．②当 时，可得
，利用三角函数列方程求解即可
【详解】解：（1）由折叠可知 ， ．
由矩形的性质，可知 ，
．
．
．
智慧小组先测量 和 的长度，猜想其关系为 ；
（2）法一：∵矩形 ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ， ，
∴ ，即： ， ，
由（1）知：
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ；
法二：作 交 于点G，则： ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：作 交 于点G，则： ，
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由（2）可知： ， ， ，
∴ ，
设 ，则： ， ，
∴ ，
如图，当 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 和 中， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
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解得： 或 （舍去）；
故 ．
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ 三点共线，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴
【点睛】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三
角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握折叠的性质，添加辅助线构造特殊图形，是解题的
关键．
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