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自贡市 2025 年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
本试题卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分．答卷
前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，须将答案答在答题卡上，
在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题
注意事项：必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．知常改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 若 ，则 内的数字是（ ）
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据 可得答案.
【详解】解：∵ ，
∴则 内的数字是 ，
故选：A
2. 起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心
对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图
形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解： 、图形绕某一点旋转 后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转 后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
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、图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转 后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意；
故选： ．
3. 如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若 、则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先证明 ，再证明
，再结合对顶角的性质可得答案.
【详解】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：D
4. 中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到 万辆．12866000用科
学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移
动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值
时，n是负整数．据此求解即可．
【详解】解： ；
故选：C．
5. 如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ）
A B. C. D.
.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组体合的三视图，熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键．根据
从前面看到的图形是主视图，即可求解．
【详解】解：根据题意得：其主视图是
故选：D．
6. 某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项评分所占百分比如下图所
示，平均分最高的是（ ）
选 专家组评 教师组评 学生组评
手 分 分 分
甲 7 7 9
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乙 8 7 8
丙 7 8 8
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 平均分都相同
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是加权平均数的含义，根据平均数的含义分别计算甲、乙、丙的平均数，再比较即可.
【详解】解：甲的平均分为： （分），
乙的平均分为： （分），
丙的平均分为： （分），
∴平均分最高的是乙；
故选：B
7. 如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的边长为5， 边在 轴上． ．若将正方
形 绕点 逆时针旋转 ．得到正方形 ．则点 的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得 在 轴上，
，结合 ，可得 ， ，进一步可得答案.
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【详解】解：∵正方形 的边长为5， 边在 轴上，将正方形 绕点 逆时针旋转 ．得
到正方形 ．
∴ ， 在 轴上， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：A
8. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公
式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为 ，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再
结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵正六边形与正方形的两邻边相交，
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∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9. 某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大
平行四边形短边长 ．则小地砖短边长（ ）
A. 7cm B. 8 C. 9 D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设每块小平行四边形地砖的长为 ，宽为 ，由图示可得等量关系：①2个长 个长 4个宽，②
一个长 一个宽 ，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每块小平行四边形地砖 的长为 ，宽为 ，
由题意得： ，
解得： ，
则每块小平行四边形地砖的短边长为 ，
故选：B．
10. 分别与 相切于 两点．点 在 上，不与点 重合．若 ，则
的度数为（ ）
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A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接 ，
，求解 ，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的
性质可得答案.
【详解】解：如图，连接 ， ，
∵ 分别与 相切于 两点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
故选：D
11. 如图，在平面直角坐标系中，将 平移，得到 ，点 在坐标轴上．若
，则点 坐标为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形 的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识
点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点 作 轴，作 交 的延长线于
点 ，证明 ，得到 ，根据点 的坐标，结合 的值，求出
，平移求出 点坐标，进而得到平移规则，再求出 点坐标即可．
【详解】解：过点 作 轴，作 交 的延长线于点 ，则：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∵平移，
∴ ，
∴ ，
∴将点 先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点 ，
∴将点 先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点 ，
∴ ；
故选B．
12. 如图，正方形 边长为6，以对角线 为斜边作 、 ，点 在 上．连接
．若 ．则 的最小值为（ ）
A. 6 B. 6 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点， 所以直线为x轴， 所在直线为y轴，设 的中点
为 G ， 过 点 D 在 上 方 作 ， 使 . 过 点 H 作 于 点 K ， 连 接
，则 ，根据正方形性质，得 ，
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得 ，和 ， ，根据 ，得点B、E、A、D在
上 ， 得 ， 得 ， 根 据 ， 得 ， 得
，得点F在以点H为圆心， 为半径的圆上运动，根据 ，得 ，
得 ，得 取得最小值，为 ．
【详解】解：以点B为原点， 所以直线为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
设 的中点为 G，过点 D 作 ，使 ，过点 H 作 于点 K，连接
，则 ，
∵正方形 边长为6，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点B、E、A、D在 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点F是在以点H为圆心， 为半径的圆上运动，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当点F在 上时，
取得最小值，
为 ．
故选：D．
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【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，
圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
第II卷（非选择题共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题可
先用铅笔绘出．确认后再用0.5毫米黑色墨水签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
13. 计算： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简 ，再合并即可.
【详解】解： ；
故答案为： ．
14. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式， 的公因式是 ，提出公因式 后括号里剩下 ，
所以分解因式的结果为 ．
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【详解】解： ，
故答案为： ．
15. 若 ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得 ，整体代入计算即可得解，
熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
16. 如图，在 中， ， 于点 ， ．以点 为圆心， 的长为半
径画弧，交 于点 ．以点 为圆心． 的长为半径画弧．交 于点 ，过点 作 ，
交 于点 ；再以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，以 的长为半径画弧，交
于点 ，过点 作 ，交 于点 ；又以点 为圆心……重复以上操作．则
的长为___________．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，由等腰
三角形的性质可得 ，由勾股定理得出 ，求出 ， ，
同理可得 ， …，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确
得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵在 中， ， 于点 ， ．
∴ ，
∴ ，
∵以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ．
∴ ，
∴ ，
∵以点 为圆心． 的长为半径画弧．交 于点 ，
∴ ，
∵过点 作 ，交 于点 ；
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
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∴ ， ，
∵以点 为圆心， 的长为半径画弧，交 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵以 的长为半径画弧，交 于点 ，
∴ ，
∵过点 作 ，交 于点 ；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
同理可得： ， …，
∴ 的长为 ，
故答案为： ．
17. 如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点 ， 分别在 轴， 轴正半轴上，
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， ， ．以 为边作等边 ．连接 ，则 的最大值为
___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解直角三角形得出
，由等边三角形的性质可得 ， ，取 的中点 ，连接 、
，作 交 的延长线于 ，则 ， ，求出 ，
，从而可得 ，由勾股定理可得 ，最后根据三角形三边关系可得
，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在 中， ， ， ．
∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
如图，取 的中点 ，连接 、 ，作 交 的延长线于 ，
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，
则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
根据三角形三边关系可得： ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
三、解答题（共8个题．共82分）
18. 解不等式组： ，并在数轴上表示其解集．
【答案】 ，见解析
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，先分别解不等式组中的
两个不等式，再在数轴上表示解集的公共部分即可．
【详解】解： ，
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由①得： ，
由②得： ，
在数轴上表示其解集如下：
∴不等式组的解集为： ．
19. 如图， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明 ，结合
， ，证明 即可.
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
20. 去年暑假，小张与小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张
平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？
【答案】10筐
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小李平均每小时掰玉米 筐，则小张平均每小时掰玉米
筐．根据题意，两人劳动时间相同，所以掰的玉米筐数之比等于他们的速度之比，可得： ，再
解方程即可.
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【详解】解：设小李平均每小时掰玉米 筐，则小张平均每小时掰玉米 筐．
方程两边同乘 得： ，
展开并化简： ，
移项： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根且符合题意；
所以，小李平均每小时掰玉米10筐．
21. 某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要
求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项．以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图
和统计表，请根据相关信息解答下列问题，
选择球类兴趣班人数条形统计图
选择球类兴趣班人数占比统计表
组 球类活动兴趣 占调查总人数百分
别 班 比
A 足球
B 篮球
C 乒乓球
D 羽毛球
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（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮
球兴趣班的扇形圆心角为___________度；
（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；
（3）若用电脑随机选择A，B，C，D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两
名同学都选择乒乓球兴趣班的概率
【答案】（1）补全上述条形统计图和占比统计表见解析，
（2） 人
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、统计表、由样本估计总体、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上
知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先求出本次调查的总人数，即可计算出 组的人数，从而即可补全条形统计图，分别求出 组、
组、 组人数占调查总人数百分比，即可补全选择球类兴趣班人数占比统计表，用 乘以篮球兴趣班
人数所占比例即可得解；
（2）用400乘以选择乒乓球兴趣班的人数所占的比例即可得解；
（3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，本次调查的总人数为： （人），
故 组的人数为 （人），
补全条形统计图如图所示：
；
组人数占调查总人数百分比为 ，
组人数占调查总人数百分比为 ，
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组人数占调查总人数百分比为 ，
补全选择球类兴趣班人数占比统计表
组 球类活动兴趣 占调查总人数百分
别 班 比
A 足球
B 篮球
C 乒乓球
D 羽毛球
若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为 ；
故答案为：90；
【小问2详解】
解： （人），
故估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数为 人；
【小问3详解】
解：列表得：
甲
乙
由表格可得，共有 种等可能出现的结果，其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的情况有
种，
∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为 ．
22. 如图，等圆 和 相交于 两点， 经过 的圆心 ，连接 ，作直径 ，延长
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到点 ，使 ，连接 ．
（1） ___________度；
（2）求证： 为 的切线；
（3）若 ，求 上 的长．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）如图，连接 ， ， ，证明 ，四边形 是菱形， ，
是等边三角形，可得 ，进一步可得结论；
（2）如图，连接 ，由（1）得： ， 是等边三角形，可得 ，
证明 为等边三角形，可得 ， ，证明 ，可得
，再进一步证明即可；
（3）由 ， ， ，可得 ，结合
，再利用弧长公式计算即可.
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【小问1详解】
解：如图，连接 ， ， ，
∵ 和 相交于 两点，且 经过 的圆心 ，
∴ ， ，
∴四边形 是菱形， ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：如图，连接 ，
由（1）得： ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为半径，
∴ 为 的切线；
【小问3详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 上 的长 .
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，切线的判定，等腰三角形的判定与
性质，锐角三角函数的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键.
23. 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点 ，点 是线段 上异于端点
的一点，过点 作 轴的垂线．交反比例函数的图象于点 ．
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（1）求 的值；
（2）若 ，求点 坐标；
（3）双曲线 关于 轴对称的图象为 ，直接写出射线 绕点 旋转 后与 的交点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）射线 绕点 旋转 后与 的交点坐标为 或 .
【解析】
【分析】（1）点 在反比例函数 上，可得 ，即 ，将 代入正比
例函数 中，进一步求解即可；
（2）设 ，结合过点 作 轴的垂线．交反比例函数的图象于点 ．可得 ，可
得 ，再解方程进一步求解即可；
（3）求解 ，如图，由旋转可得： ， ，过 作 轴于 ，过 作
轴于 ，证明 ，可得 ，证明 在 的图象上；结合反比例函
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数是中心对称图形可得： ，从而可得答案.
【小问1详解】
解：∵点 在反比例函数 上，
∴ ，即 ，
将 代入正比例函数 中，
得 ，
解得： ；
【小问2详解】
解：∵ 在直线 上，
设 ，
∵过点 作 轴的垂线．交反比例函数的图象于点 ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
解得： 或 （不符合题意舍去），
∴ ；
【小问3详解】
解：∵双曲线 关于 轴对称的图象为 ，
∴ ，
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如图，
由旋转可得： ， ，
过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 在 的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得： ，
∴射线 绕点 旋转 后与 的交点坐标为 或 .
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称
的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键.
24. 如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度
的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
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（1）制作工具
如图2，在矩形木板 上 点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物 ，过点 画射线
．测量时竖放木板，当重垂线 时，将等腰直角三角尺 的直角顶点 紧靠铁钉，
绕点 转动三角尺，通过 边瞄准目标 ，测量 可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时， 是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为 始终垂直于水平面，满足
就行．”求证： ．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼
阳台 处测得塔底 的仰角为 ，在25楼对应位置 处测得塔底 的俯角为 ，塔顶 的仰角为
．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个 ， ， ，
．在边 上取两点 ， ，使 ， ，量得 ，
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， ，则 ___________， ___________，
___________（结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊
提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
【答案】（1）见解析 （2） ， ，
（3）50米 （4）见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题
的关键．
（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）根据正切的定义计算即可得解；
（3）延长 交 于 ，延长 交 于 ，则四边形 为矩形，由矩形的性质可得 ，
，由题意可得 米， ， ， ，设 米，
则 米，解直角三角形得出 ，求出 米， 米，再解
直角三角形得出 米，即可得解；
（4）结合题意提出合理的建议即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵在 中， ， ， ， ，
∴ ；
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵在 中， ， ， ， ，
∴ ；
∵ ， ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ， ， ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图，延长 交 于 ，延长 交 于 ，
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，
则 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
由题意可得： 米， ， ， ，
设 米，则 米，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 米， 米，
∵ ，
∴ 米，
∴ 米，
即该塔高度为 米；
【小问4详解】
解：提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．
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25. 如图，在 中， 分别是 的中点，连接 ， 交于点 ．
（1）若 ， ， ，则四边形 的面积为___________；
（2）若 ， 的最大面积为 ．设 ，求 与 之间的函数关系式，并求 的最大
值；
（3）若（2）问中 取任意实数，将函数 的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数 的图象．
直线 交该图象于点 ， （ 点在 点左边），过点 的直线 交该图象于另
一点 ，过点 的直线与直线 交于点 ．若 ，试问直线 是否过定点？若过定点，
求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）
（2） ， 最大为
（3）是，
【解析】
【分析】（1）分割法得到四边形 的面积 ，即可得出结果；
（2）三角形的中位线定理，证明，进而推出 ，进而得到当四边形 的面积最大时，
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最大，过点 作 ，过点 作 ，则： ，进而得到四边形
的最大面积 ，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（3）根据平移规则，求出抛物线 的解析式，设 ，根据三角形的中线平分面积，得到 为
的中点，进而得到 点坐标，设 ，把 的坐标代入 ，求出 ，
根据直线 过点 ，将解析式写为 ，得到 ，令 ，
求出 值，即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵ ， ， ，
∴四边形 的面积
；
【小问2详解】
∵在 中， 分别是 的中点，
∴ 是 的中位数，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当四边形 的面积最大时， 的面积最大，
过点 作 ，过点 作 ，则： ，
∵四边形 的面积
∴四边形 的面积最大 ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴当 时， 最大为 ；
【小问3详解】
直线 是过定点：
由（2）知： ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ 为 的中点，
∵过点 的直线与直线 交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
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解得： ，
∴直线 ： ，
即： ，
，
∴当 ，即： 时， ，
∴直线 过定点 ．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平
移以及二次函数的综合应用，熟练掌握相关定理和性质，二次函数的图象和性质，以及平移规则，是解题
的关键．
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