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2025 年遂宁市初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学试卷
试卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答
题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“ 米”，那么向西跑20米记为
（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正负数表示相反意义的量；根据题意，向东记为“+”，则向西应记为“−”，且数值与
方向无关，仅符号相反，即可解答．
【详解】解：根据题意，向东跑20米记为“ 米”，说明向东为正方向，向西则为负方向，向西跑的
距离与向东跑的距离绝对值相同，方向相反，因此向西跑20米应记为“ 米”；选项中B符合这一规
则；
故答案为：B．
2. 汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面
是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是关键；
根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图
形叫做轴对称图形，逐项判定即可得解.
【详解】解：A、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、能看作是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球
影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 ，其中 ，n为整数，正确确
定a与n的值是关键．
【详解】解：150亿用科学记数法表示为 ；
故选：C．
4. 如图，圆柱的底面直径为 ，高为 ，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧
面沿 剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键；
根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：现将圆柱侧面沿 剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是：
，
故选：B．
5. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘及完全平方公式；
根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂相乘的法则及完全平方公式逐项判断即得答案.
【详解】解：A、 ，故本选项运算错误；
B、 ，故本选项运算错误；
C、 ，故本选项运算正确；
D、 ，故本选项运算错误；
故选：C.
6. 已知关于 的一元二次方程 有实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键；
根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值
范围．
【详解】解：对于方程 ，其判别式为： ，
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方程有实数根需满足 ，即： ，
解得 ；
故选：D．
7. 已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ ）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟知多边形的内角和与外角和公式是解题的关键，
根据多边形内角和与外角和公式，建立方程求解边数即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意可得：
解方程，得
因此，该多边形的边数为10，
故选：A．
8. 若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 0或2 D. 或3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键；
将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解
即可．
【详解】解：原方程两边同乘 ，得：
化简得： ，
即 ；
当整式方程无解时：即当 且 时，即 ，此时方程无解；
当解为增根时：即当解 时，
解得 ，此时 使原方程分母为零，无意义；
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综上， 的值为 或 ；
故选：D．
9. 在 中， ，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段 的长为
（ ）
A. B. C. 6 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性
质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键；
先根据勾股定理求出 ，设 交于点M，作 于点N，如图，利用角平分线的性质可得
，利用等积法求出 ，进而可得 ，证明 ，再根据相似三角形的性质求
解即可.
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ,
由题意可得： 平分 ，即 ，
设 交于点M，作 于点N，如图，
则 ，
设 ，
∵ ，
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∴ ，
即 ，
解得： ，即 ，
则 ，
由作图痕迹可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
故选：A.
10. 如图，已知抛物线 （ 为常数，且 ）的对称轴是直线 ，且抛物线与
轴的一个交点坐标是 ，与 轴交点坐标是 且 ．有下列结论：① ；②
；③ ；④关于 的一元二次方程 必有两个不相
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等 实 根 ； ⑤ 若 点 在 抛 物 线 上 ， 且
，当 时，则 的取值范围为 ．其中正确的
有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关
键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断 的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个
交点坐标为 ，则当 时， ，即可判断②；根据 ， ，结合
抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得 的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解
情况即可判断④；根据 ，结合函数图象分析，即可得出 ，进而判断⑤，即可求解．
【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则 ，对称轴为直线 ，则
∴ ，
又∵抛物线与 轴交点坐标是 ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线与 轴的一个交点坐标是 ，对称轴为直线 ，
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∴另一个交点坐标为 ，
∴当 时， ，故②错误；
∵ ， 在抛物线 的图象上，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ 即 ，
当 时， 取得最大值，最大值为 ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ， ， ，
即 ，
∵
对称轴为直线 ，当 时， 的值随 的增大而增大，
又∵ ，
∴ ，
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∴当 时， ，
∴当 时， 恒成立，即 必有两个不相等实根，故④正确；
∵若点 在抛物线 上，且
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
即 ， ，
解得： 且 ，
∴ ，故⑤错误；
的
故正确 有①③④，共3个．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11. 实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 ______0．（填“>”“=”或“<”）
【答案】<
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得 ，且 ，故 ，即可作答．
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【详解】解：观察数轴，得 ，且 ，
∴
即 ，
故答案为：<．
12. 已知 是方程 的解，则 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把 代入 ，解
得 ，即可作答．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2
13. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘
者进行了测试，测试成绩如下表：
应聘者
项
目
甲 乙 丙
学
历
经
验
能
力
态
度
公司将学历、经验、能力和态度得分按 的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，
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则______将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙）
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得
出答案，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
【详解】解：甲的最终得分是 分，
乙的最终得分是 分，
丙的最终得分是 分，
∵ ，
∴乙将被择优录用，
故答案为：乙．
14. 综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其
边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两
枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬
币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情
形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为______．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解
题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于 ，证明 是等边三角形，同理得出
其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图 3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移
动路径长，再进行求解，即可作答．
【详解】解：依题意， ，
则 是等边三角形；
则 ，
同理得 、 、 是等边三角形，
则
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ；
依题意， ，
∴ 是等边三角形；
则 ，
同理得 、 、 是等边三角形，
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则
则 ，
则
故答案为： ．
15. 如图，在边长为 的正方形 的对角线 上取一点 ，使 ，连结 并延长至点
，连结 ，使 ， 与 相交于点 ．有下列结论：① ；② ；
③ ；④点 是 边上一动点，连结 ，将 沿 翻折，点 落在点 处，
连结 交 于点 ，连结 ，则 的最小值为 其中正确的结论有______．（填序
号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】证明 即可判断①，在 上取一点 ，使得 ，证明
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，进而判断②；过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，则
，根据相似三角形的性质即可判断③，取 的中点 ，连接 ，根据题意得出 在以
为直径的圆上运动，进而得出当 在 上时， 取得最小值，最小值为 的长，勾股定理求得
的长，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，点 是正方形 的对角线 上的点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
如图，在 上取一点 ，使得 ，
∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
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又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，故②正确；
如图，连接 交 于点 ，则 ，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴
∴
∵
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∴
∴
在 中，
∵
∴
∴
∴ ，故③错误
如图
∵
∴
即
∵点 是 边上一动点，连结 ，将 沿 翻折，点 落在点 处，
∴
∴
∴ 在以 为直径的圆上运动
取 的中点 ，连接 ，
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∴当 在 上时， 取得最小值，最小值为 的长，
∴
∴
∴
∴ ，故④正确
为
故答案 ：①②④．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形
的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
16. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，化简绝对值，先化简特殊角的三角
函数，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
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17. 先化简，再求值： ，其中a满足 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键；
先根据分式的混合运算法则化简原分式，然后结合分式有意义的条件代值求解即可．
【详解】解：
，
∵a满足 ，即 但 ，
∴ ，
∴当 时，原式 ．
18. 如图，在四边形 中， ，点E，F在对角线 上， ，且 ，
．
（1）求证： ；
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（2）连接 ，若 ，请判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）四边形 是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形和平行四边形的判定等知识；
（1）根据垂直的定义可得 ，根据平行线的性质可得 ，根据已知条
件可得 ，即可证明结论；
（2）根据 可得 ， ，即得 ，进而可得四边形
是平行四边形，然后根据30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质证得
，即可得到结论.
【小问1详解】
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：四边形 是菱形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
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在直角三角形 中，∵ ，
∴ ，
在
直角三角形 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形.
19. 在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度 ，在A处用高为1.6米的测角仪 测得摩天轮顶端C
的仰角 ，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角 ．求摩天轮
的高度．（结果精确到0.1米）
（ 参 考 数 据 ： ， ， ， ， ，
）
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先根据三个角都是直角的四边形是矩形得
四边形 都是矩形，则 ， ，然后分别在 中，
，在 中， ，代入数值化简得 ，解得
，即可作答．
【详解】解：延长 交 于 ，则有 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
同理得四边形 都是矩形，
∴ ， ，
设 ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
∴ ，
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整理得 ，
在 中， ，
即 ，
∴
整理得 ，
∴ ，
解得 ，
则 ．
20. 我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们
规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．
（1）请同学们判断下列分别用含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻
等内接四边形的有______（填序号）．
（2）如图，四边形 是邻等内接四边形，且 ， ， ， ，求四
边形 的面积．
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【答案】（1）③ （2）
【解析】
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答．
（2）先根据勾股定理算出 ，设 ， ，结合勾股定理整理得
，代入数值得 ，再证明 是 的中位线，则 ，
分别算出 和 ，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形，
图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形，
故答案为：③；
【小问2详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是邻等内接四边形，
∴ 四点共圆，且 为直径，
把 的中点记为点 ，即 四点在 上，
连接 ， ，相交于点 ，
∵ ，
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∴ ，
设 ， ，
∵ ，
∴ ，
则在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴
则
即 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
则 ．
，
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∴四边形 的面积 ．
【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
21. 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买 两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料
材料一：已知购买 个 型号的新型垃圾桶和购买 个 型号的新型垃圾桶共 元；购买 个 型号的
新型垃圾桶和购买 个 型号的新型垃圾桶共 元．
材料二：据统计该社区需购买 两种型号 新的型垃圾桶共 个，但总费用不超过 元，且 型
号的新型垃圾桶数量不少于 型号的新型垃圾桶数量的 ．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求 两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用 是多少元？
【答案】任务一： 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元；任务二：
有三种购买方案：①购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；②购买 种型
号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；③购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买
种型号的新型垃圾桶 个；任务三：购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶
个更省钱，最低购买费用是 元．
【解析】
【分析】任务一：设 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元，根据题
意列出方程组即可求解；
任务二：设购买 种型号的新型垃圾桶 个，则购买 种型号的新型垃圾桶 个，根据题意列出
不等式组，解不等式组求出 的取值范围即可求解；
任务三：由 种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买 种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据此
解答即可求解；
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本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是
解题的关键．
【详解】解：任务一：设 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
答： 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元；
任务二：设购买 种型号的新型垃圾桶 个，则购买 种型号的新型垃圾桶 个，
由题意得， ，
解得 ，
∵ 为整数，
∴ 或 或 ，
∴有三种购买方案：①购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；
②购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；
③购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；
任务三：∵ 种型号的新型垃圾桶价格更低，
∴购买 种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，
即购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个更省钱，
∴最低购买费用为 元，
答：购买 种型号的新型垃圾桶 个，购买 种型号的新型垃圾桶 个更省钱，最低购买费用是
元．
22. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的
春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该
校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
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调
查
“逐梦科技强国”活动中模具设计水平
主
题
调
查 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数
目 据观念，发展应用意识．
的
调
查
某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查
对
象
随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用 表示），并整理，将
其分成如下四组：
， ， ， ．
下面给出了部分信息：
其中 组的成绩为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
数
， ， ， ， ， ， ， ， ．
据
收
集
与
表
示
根据以上信息解决下列问题：
（ ）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在
数
扇形统计图中， 组对应圆心角的度数为______；
据
分
（ ）请补全频数分布直方图；
析
与 （ ）请估计全校 名学生的模具设计成绩不低于 分的人数；
应
用 （ ）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学
作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概
率．
【答案】（ ） ， ， ；（ ）补图见解析；（ ） 人；（ ）
【解析】
【分析】（ ）由 组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出 组学生人数，再根据
中位数的定义和频数直方图即可求解；
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（ ）根据（ ）所得 组学生人数补全频数分布直方图即可；
（ ）用 乘以成绩不低于 分的人数占比即可；
（ ）画出树状图，根据树状图解答即可；
本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是
解题的关键．
【详解】解：（ ）∵ ，
∴本次共抽取了 名学生的模具设计成绩，
∴ 组学生人数为 人，
∵成绩由低到高排列，中位数为第 和第 个数据的平均数，
∴中位数 分，
组对应圆心角的度数为 ，
故答案为： ， ， ；
（ ）补全频数分布直方图如下：
（ ） ，
答：估计全校 名学生的模具设计成绩不低于 分的人数为 人；
（ ）画树状图如下：
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由树状图可知，共有 种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有 种，
∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为 ．
23. 如图，一次函数 （ 为常数， ）的图象与反比例函数 的图象交于
两点．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式．
（2）结合图形，请直接写出不等式 的解集．
（3）点 是 轴上的一点，若 是以 为直角边的直角三角形，求 的值．
【答案】（1）反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为
（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（ ）利用待定系数法解答即可；
（ ）求出直线 与反比例函数 的交点坐标，进而根据函数图象解答即可；
（ ）分 和 两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可；
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握
数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
【小问1详解】
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解：把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴反比例函数的关系式为 ，
把 代入 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
把 ， 代入一次函数 得，
，
解得 ，
∴一次函数的关系式为 ；
【小问2详解】
解：如图，设直线 与反比例函数 的图象相交于点 ，
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由 ，解得 ， ，
∴ ， ，
由函数图象可知，当 或 时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即 ，
∴不等式 的解集为 或 ；
【小问3详解】
解：当 时， ，
即 ，
整理得， ，
∴ ；
当 时， ，
即 ，
整理得， ，
∴ ；
综上， 的值为 或 ．
24. 如图， 是 的直径， 是 上的一点，连结接 ，延长 至点 ，连接 ，使
．
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（1）求证： 是 的切线．
（2）点 是 的中点，连接 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，
连接 ，若 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由圆周角定理得 ，又由等腰三角形的性质及已知可得 ，
即得 ，进而即可求证；
（2）连接 ，由 得 ，即得 ， ，即得到
，设 ，则 ，由勾股定理得 ，解得 ，再证
明 ，得 ，即得 ，进而由 得
，代入计算即可求解．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
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∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，
勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （ 为常数）的图像与 轴交于 、
两点，交 轴于点 ，对称轴为直线 ．
（1）求二次函数关系式．
（2）连接 ，抛物线上是否存在点 ，使 ，若存在，求出点 的坐标，若
不存在，说明理由．
（3）在 轴上方的抛物线上找一点 ，作射线 ，使 ，点 是线段 上的一动点，
过点 作 轴，垂足为点 ，连结 ，求 的最小值．
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【答案】（1）
（2）抛物线上存在点 ，使 ， 的坐标为 或
（3） 的最小值为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，
熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据抛物线的对称轴为直线 ，得出 则二次函数解析式为 代入
，得出 ，即可求解；
（2）设 ，根据点的坐标可得， ，分量种情况讨论，①当 在直线
的下方时，以 为斜边在 的下方作等腰直角三角形 ，设 关于 的对称点为 ，则
，验证 可得点 与点 重合，得出 ，当 在 的上方时，作
点 关于 的对称点 ，即 ，即可求解；
（3）在 上取一点 ，使得 ，得出 ，在 上取一点
，使得 ，垂足为 ，则 ，作 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，根据轴
对称的性质可得当 在 上时 取得最小值，最小值为 的长，等面积法求得
，则 ，进而得出 ，根据
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，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，即
∴二次函数解析式为
将 代入得，
解得： ，
∴二次函数关系式为 ；
【小问2详解】
解：在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
当 时， ，则
∴ ， ，
设 ，则
①当 在直线 的下方时，
如图，以 为斜边在 的下方作等腰直角三角形 ，
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∴ ， ，
设 关于 的对称点为 ，则 ，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴点 与点 重合，
∴
当 在 的上方时，作点 关于 的对称点
∵ 都是等腰直角三角形，
∴ 在 轴上，
综上所述，抛物线上存在点 ，使 ， 的坐标为 或
【小问3详解】
解：如图，在 上取一点 ，使得
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∴
设 ，则
在 中，
∴ ，即
解得：
∴
∴
∵ ，
在 上取一点 ，使得 ，垂足为 ，
∴
∴
即 ,
如图，作 关于 的对称点 ，连接 交 于点
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∴
∴当 在 上时 取得最小值，最小值为 的长，
在 中，
∴
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
∴
∴ 的最小值为 ．
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