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疑难压轴2 能量与动量的综合分析与应用
1．（2024•福建）如图，木板A 放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N 与桌面
上的两个固定挡板相连。小物块B 放在A 的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电
的小球C 相连，轻绳绝缘且不可伸长，B 与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向
上的匀强电场，A、B、C 均静止，M、N 处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。t＝0 时撤去
电场，C 向下加速运动，下降0.2m 后开始匀速运动，C 开始做匀速运动瞬间弹簧N 的弹性势能
为0.1J。已知A、B、C 的质量分别为0.3kg、0.4kg、0.2kg，小球C 的带电量为1×10﹣6C，重力
加速度大小取10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮
间的摩擦力不计。
（1）求匀强电场的场强大小；
（2）求A 与B 间的动摩擦因数及C 做匀速运动时的速度大小；
（3）若t＝0 时电场方向改为竖直向下，当B 与A 即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B 继续
向右运动，一段时间后，A 从右向左运动。求A 第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。
（整个过程B 未与A 脱离，C 未与地面相碰）
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2．（2024•甘肃）如图，质量为2kg 的小球A（视为质点）在细绳O′P 和OP 作用下处于平衡状态，
细绳O'P＝OP＝1.6m，与竖直方向的夹角均为60°。质量为6kg 的木板B 静止在光滑水平面上，质
量为2kg 的物块C 静止在B 的左端。剪断细绳O′P，小球A 开始运动。（重力加速度g 取
10m/s2）
（1）求A 运动到最低点时细绳OP 所受的拉力。
（2）A 在最低点时，细绳OP 断裂。A 飞出后恰好与C 左侧碰撞（时间极短），碰后A 竖直下
落，C 水平向右运动。求碰后C 的速度大小。
（3）A、C 碰后，C 相对B 滑行4m 后与B 共速。求C 和B 之间的动摩擦因数。
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3．（2024•安徽）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四
分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点。一物块静止于小车最左端，一
小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O 点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置，
静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿小车上的轨道运动。
已知细线长L＝1.25m。小球质量m＝0.20kg。物块、小车质量均为M＝0.30kg。小车上的水平轨
道长s＝1.0m。圆弧轨道半径R＝0.15m。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速
度g 取10m/s2。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前，所受拉力的大小；
（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数
μ 的取值范围。
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4．（2024•浙江）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角θ＝37°的直轨道AB，半径R＝1m 的圆
弧轨道BCD，长度L＝1.25m、倾角为θ 的直轨道DE，半径为R、圆心角为θ 的圆弧管道EF 组
成，轨道间平滑连接。在轨道末端F 的右侧，光滑水平面上紧靠着质量m＝0.5kg 滑块b，其上
表面与轨道末端F 所在的水平面平齐。质量m＝0.5kg 的小物块a 从轨道AB 上高度为h 静止释
放，经圆弧轨道BCD 滑上轨道DE，轨道DE 由特殊材料制成，小物块a 向上运动时动摩擦因数
μ1＝0.25，向下运动时动摩擦因数μ2＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a 在滑块
b 上滑动时动摩擦因数恒为μ1，小物块a 运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其
它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取10m/s2）
（1）若h＝0.8m，求小物块：
①第一次经过C 点的向心加速度大小；
②在DE 上经过的总路程；
③在DE 上向上运动时间t 上和向下运动时间t 下之比；
（2）若h＝1.6m，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
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5．（2024•浙江一模）如图所示，一弹射游戏装置由安装在水平台面上的固定弹射器、水平直轨道
AB、圆心为O 的竖直半圆轨道BCD、水平直轨道EF、GH 组成。BCD 的最高点D 与EF 的右端
点E 在同一竖直线上，且D 点略高于E 点。木板静止在GH 上，其上表面与EF 相平，右端紧靠
竖直边FG，左端固定一竖直弹性挡板。游戏时滑块从A 点弹出，经过轨道AB、BCD、EF 后滑
上木板。已知可视为质点的滑块质量m＝0.3kg，木板质量M＝0.1kg，长度l＝1m，BCD 的半径
R＝0.4m，弹簧弹性势能的最大值为8J，滑块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与轨道GH 间的
动摩擦因数为μ2，其余各处均光滑，不考虑弹射过程中及滑块经过轨道连接处时的能量损失，
滑块与挡板发生弹性碰撞。
（1）若滑块恰好能够滑上轨道EF，求滑到圆心O 等高处的C 点时，滑块受到的弹力大小FN；
（2）若μ1＝0.2，μ2＝0，则在满足滑块始终不脱离木板的条件下，求滑块在木板上的动能最大
值Ekm；
（3）若μ1＝0，μ2＝0.1，滑块恰好能够滑上轨道EF，求在滑块与挡板刚发生第2 次碰撞前，摩
擦力对木板做的功W。
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6．（2024•温州一模）如图所示，处于竖直平面内的轨道，由倾角θ＝37°的足够长直轨道AB、圆
心为O1的半圆形轨道BCD、圆心为O2的圆形细圆管轨道DE、倾角α＝45°的直轨道EF、水平
直轨道FG 组成，各段轨道均光滑且各处平滑连接，B 和D 为轨道间的相切点，点E、圆心O2处
于同一竖直线上，C、F、G 处于同一水平面上。在轨道末端G 的右侧光滑水平面上，紧靠着质
量M＝0.6kg、长度d＝2m 的无动力摆渡车，车上表面与直轨道FG 平齐。可视为质点、质量m
＝0.3kg 的滑块从直轨道AB 上某处静止释放。己知轨道BCD 和DE 的半径R＝0.5m。（sin37°＝
0.6，cos37°＝0.8）
（1）若释放点距点B 的距离l＝1.5m，求滑块到最低点C 时轨道对其支持力FN的大小；
（2）若滑块始终不脱离轨道ABCDE，求释放点与C 点高度差h 的取值范围；
（3）若滑块从E 点飞出后落在轨道EF 上，与轨道碰撞后瞬间沿轨道速度分量保持不变，垂直
轨道速度分量减为零，再沿轨道滑至摆渡车上。己知滑块和摆渡车之间的动摩擦因数μ= 2
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，且
滑块恰好不脱离摆渡车，求：
①滑块运动至点G 的速度大小vG；
②滑块离开点E 的速度大小vE。
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7．（2024•镇海区校级一模）图甲为某游戏项目模型，由弹性发射装置P、倾角θ＝37°长l1＝
2.75m 的固定斜面AB、质量m1＝1kg 的表面为四分之一光滑圆弧的滑块M 和质量m2＝4kg 长度
l2＝2.25m 的平板小车等四部分组成。圆弧CD 的半径R＝1m，最低点C 与小车等高。当P 把m
＝1kg 的小物块（视为质点）以v0＝4m/s 速度水平弹出，恰好由A 点沿斜面方向进入斜面，不
考虑其运动时通过各连接点间的动能损失。小物块与AB 间的动摩擦因数μ1＝0.5，忽略小车和
M 下表面与地面的摩擦。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
（1）求水平弹出点离A 点的竖直高度h1；
（2）若锁定平板小车，小物块与小车间的动摩擦因数μ2＝0.6。求小物块滑上M 时对C 点的压
力F 及上滑的最大高度h2；
（3）现解除小车锁定，并在小车上表面喷涂一种特殊材料（不计喷涂材料的质量），使小物块
与小车间的动摩擦因数能从右（B 端）向左随距离变化，如图乙所示。若小物块仍以v0＝4m/s
速度水平弹出，试分析小物块能否通过C 点？并说明理由。
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8．（2024•衡水模拟）如图所示，半径R＝1m 的四分之一圆弧槽M 固定在地面上，圆弧槽末端位
于圆心O′正下方、且与平台KPQ 上表面水平相切，P 点放置质量为m0＝0.4kg 的小物块，
KP、PQ 长度分别为0.45m、2.75m，Q 右侧空间存在面积足够大的匀强磁场，磁感应强度B
= π
8 ×10
2T、方向水平向右，在右侧空间建立Oxyz 三维直角坐标系，坐标原点O 位于KPQ 延
长线上，x 轴正方向垂直于纸面向里，y 轴正方向竖直向上，z 轴正方向水平向右，QO 的距离d
＝16m，xOy 平面内放置有足够大的挡板。质量m＝0.1kg、带电量q＝+1.6×10﹣2C 的小球自圆弧
槽A 点正上方h＝4m 处从静止释放，小球与小物块发生碰撞同时，在KPQ 平台上方施加方向水
平向右、大小E＝2.5×102V/m 的匀强电场图中未画出。小球与小物块碰撞时无能量损失且小球
电量不变，重力加速度g 取10m/s2，小球和小物块均可看作质点，不计一切摩擦，求：
（1）小球运动到K 点时对轨道的压力FN；
（2）小物块飞离平台前与小球的碰撞次数；
（3）小球打在挡板上的坐标。（结果可含有π）
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9．（2024•开福区校级模拟）如图所示，质量为M 的凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有1
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光滑圆
弧轨道AB、水平粗糙轨道BC 和光滑半圆轨道CDO（D 为CDO 轨道的中点），轨道都处于竖
直平面内且各部分之间平滑连接，OA 处于同一水平线上。现将一个质量为m（m= 1
3 M）的小
物块P（可视为质点）从A 点的正上方距A 高H 处自由下落，已知轨道AB 段的半径为2R，BC
段轨道长为L（L＝2R），轨道CDO 的半径为R，小物块与BC 段轨道之间的动摩擦因数为μ＝
0.4，重力加速度为g。
（1）若固定凹槽静止不动，且H＝1.8R，求小物块第一次经过C 点后瞬间轨道对它的作用力与
其重力的比值；
（2）若不固定凹槽，且H＝1.8R，求小物块到达O 点的过程中，凹槽离开初始位置的最大距离；
（3）若不固定凹槽，且R＝1m，m＝1kg，g＝10m/s2，小物块第一次经过DO 间某位置时刚好
脱离轨道，该位置与半圆轨道圆心的连线与竖直方向成37°角，求H 的大小。（sin37°＝0.6）
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10．（2024•镇海区校级模拟）如图所示为某传送装置的示意图，整个装置由三部分组成，中间是
水平传送带，传送带顺时针匀速传动，其速度的大小v 可以由驱动系统根据需要设定，其左侧为
一倾斜直轨道，右侧为放置在光滑水平面上质量为M 的滑板，倾斜直轨道末端及滑板上表面与
传送带两端等高并平滑对接。一质量为m 的物块从倾斜直轨道的顶端由静止释放，物块经过传
送带后滑上滑板，滑板运动到D 时与固定挡板碰撞粘连，此后物块滑离滑板。已知物块的质量
m＝1.0kg，滑板的质量M＝2.0kg，倾斜直轨道顶端距离传送带平面的高度h＝2.5m，传送带两
轴心间距L1＝10.5m，滑板的长度L2＝2.8m，滑板右端到固定挡板D 的左端的距离为L3，物块
与倾斜直轨道的动摩擦因数满足μ1= 1
2 tanθ（θ 为斜直轨道的倾角），物块与传送带和滑板间的
动摩擦因数分别为μ2＝0.1、μ3＝0.5，重力加速度的大小g＝10m/s2。
（1）若v＝4m/s，求物块刚滑上传送带时的速度大小及通过传送带所需的时间；
（2）求物块刚滑上右侧滑板时所能达到的最大动能和最小动能；
（3）若v＝6m/s，讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力所做的功Wf与L3
的关系。
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