文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
疑难压轴3 带电粒子在电磁场中的运动
1．（2024•浙江）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和
“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强
度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别
为φ Ⅰ和φ Ⅲ，其电势差U＝φ Ⅰ﹣φ Ⅲ。一束质量为m、电荷量为e 的质子从O 点以入射角θ 射
向Ⅰ区，在P 点以出射角θ 射出，实现“反射”；质子束从P 点以入射角θ 射入Ⅱ区，经Ⅱ区
“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时
间发射的质子数为N，初速度为v0，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和
电势分布的影响。
（1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d 的最小值；
（2）若U = mv0
2
2e
，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）；
（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P 点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回
Ⅰ区）；
（4）在P 点下方距离√3m v0
eB
处水平放置一长为4 m v0
eB
的探测板CQD（Q 在P 的正下方），CQ
长为m v0
eB
，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左
右对称，同时从O 点射入Ⅰ区，且θ＝30°，求探测板受到竖直方向力F 的大小与U 之间的关系。
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2024•海南）如图，在xOy 坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x 轴和y 轴相切于P 点和
S 点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2 倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心O1、O2连线与x 轴平行，
半圆与圆相切于Q 点，QF 垂直于x 轴，半圆的直径MN 所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ
分别有磁感应强度大小为B、B
2
的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源
和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q 的粒子由电场加速到v0。改变发射器的
位置，使带电粒子在OF 范围内都沿着y 轴正方向以相同的速度v0沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒
子从P 点射入区域Ⅰ，并从Q 点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响）。
（1）求加速电场两板间的电压U 和区域Ⅰ的半径R；
（2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域
Ⅱ中运动的总时间t；
（3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度
的大小E＝Bv0，方向沿x 轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区
域Ⅲ时速度方向与y 轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小以及所在
的位置到y 轴的距离。(sin37° = 3
5 ，sin53° = 4
5 )。
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2024•浙江）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截
面如图所示。在xOy 平面内，除x 轴和虚线之间的区域之外，存在磁感应强度大小为B、方向垂
直平面向外的匀强磁场。在无磁场区域内，沿着x 轴依次放置离子源、长度为L 的喷镀板P、长
度均为L 的栅极板M 和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P 上表面中点Q 的坐标为
（1.5L，0），栅极板M 中点S 的坐标为（3L，0）。离子源产生a 和b 两种正离子，其中a 离子
质量为m、电荷量为q，b 离子的比荷为a 离子的1
4 倍，经电压U＝kU0（其中U 0= q B
2 L
2
8m
，k 大
小可调，a 和b 离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y 轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极
板N 和M 间电压UNM调控 （UNM＞0），a 和b 离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收
且电中和。忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。
（1）若U＝U0，求a 离子经磁场偏转后，到达x 轴上的位置x0（用L 表示）；
（2）调节U 和UNM，并保持U NM = 3
4 U，使a 离子能落到喷镀板P 上表面任意位置，求；
①U 的调节范围（用U0表示）；
②b 离子落在喷镀板P 下表面的区域长度；
（3）要求a 和b 离子恰好分别落在喷镀板P 上下表面的中点，求U 和UNM的大小。
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2024•北京）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图为某种霍尔推进器
的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。放电室的左、右两端分别为阳极和
阴极，间距为d。阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入。
稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强
度大小分别为E 和B1；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等。放电室内的大量电子
可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R 的匀速圆周运动（如截面图所
示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离。每个氙离子的质量为M、电荷量为+e，初速度
近似为零。氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子
刚好完全中和。
已知电子的质量为m、电荷量为﹣e；对于氙离子，仅考虑电场的作用。
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小B2；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总
数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F。
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
5．（2024•镇海区模拟）如图为某同学设计的带电粒子的聚焦和加速装置示意图。位于S 点的粒子
源可以沿纸面内与SO1（O1为圆形磁场的圆心）的夹角为θ（θ≤60°）的方向内均匀地发射速度
为v0＝10m/s、电荷量均为q＝﹣2.0×10﹣4C、质量均为m＝1.0×10﹣6kg 的粒子，粒子射入半径为
R＝0.1m 的圆形区域匀强磁场。已知粒子源在单位时间发射N＝2.0×105个粒子，圆形区域磁场
方向垂直纸面向里，沿着SO1射入圆形区域磁场的粒子恰好沿着水平方向射出磁场。粒子数控
制系统是由竖直宽度为L、且L 在0≤L≤2R 范围内大小可调的粒子通道构成，通道竖直宽度L
的中点与O1始终等高。聚焦系统是由有界匀强电场和有界匀强磁场构成，匀强电场的方向水平
向右、场强E＝0.625N/C，边界由x 轴、曲线OA 和直线GF（方程为：y＝﹣x+0.4（m））构成，
匀强磁场方向垂直纸面向里、磁感应强度B＝0.25T，磁场的边界由x 轴、直线GF、y 轴构成，
已知所有经过聚焦系统的粒子均可以从F 点沿垂直x 轴的方向经过一段真空区域射入加速系统。
加速系统是由两个开有小孔的平行金属板构成，两小孔的连线过P 点，上下两板间电势差U＝﹣
10kv，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。求：
（1）圆形磁场的磁感应强度B0；
（2）当L＝R 时，求单位时间进入聚焦系统的粒子数N0；
（3）若进入加速系统内粒子的初速度均忽略不计，设从加速系统射出的粒子在测试样品中运动
所受的阻力f 与其速度v 关系为f＝kv（k＝0.2N•s•m﹣1），求粒子在样品中可达的深度d；
（4）曲线OA 的方程。
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
6．（2024•宁波模拟）如图甲所示，曲线OP 上方有沿﹣y 方向的匀强电场，其场强大小为E1，曲
线左侧有一粒子源AB，B 端位于x 轴上，能够持续不断地沿+x 方向发射速度为v0、质量为m、
电荷量为q 的粒子束，这些粒子经电场偏转后均能够通过O 点，已知从A 点入射粒子恰好从P
点进入电场，不计重力及粒子间的相互作用。
（1）写出匀强电场边界OP 段的边界方程（粒子入射点的坐标y 和x 间的关系式）；
（2）若第四象限内存在边界平行于坐标轴的矩形匀强磁场B1（未画出），磁场方向垂直纸面向
外。自O 点射入的粒子束，经磁场偏转后均能够返回y 轴，若粒子在第四象限运动时始终未离
开磁场，求磁场的最小面积；
（3）若第一象限与第四象限间存在多组紧密相邻的匀强磁场B2和匀强电场E2（如图乙），电
磁场边界与y 轴平行，宽度均为d，长度足够长。匀强磁场B2= mv0
qd
，方向垂直纸面向里，匀强
电场E2= m v0
2
4 qd
，方向沿x 轴正方向。现仅考虑自A 端射入的粒子，经匀强电场E1偏转后，恰好
与y 轴负方向成θ＝45°从O 点射入，试确定该粒子将在第几个磁场区域拐弯（即速度恰好与y
轴平行）。
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
7．（2024•越秀区校级模拟）如图甲所示，两间距为d 的水平放置的平行金属板M、N，M 板某处
C 放有粒子源，C 的正上方的N 板D 处开有一个可穿过粒子的小孔．间距L＝2d 的平行金属导
轨P、Q 与金属板M、N 相连，导轨上存在一垂直纸面向里、大小为B 的匀强磁场，一导体棒ab
贴紧PQ 以一定的初速度向右匀速进入磁场．在ab 进入磁场的瞬间，粒子源飘出一个初速度视
为零、质量为m、带电量为q 的粒子，在M、N 间加速后从D 处射出．在N 板的上方（并与D
点相切）有一个内圆半径R1＝d、外圆半径R2＝3d 的圆环形匀强磁场，其大小也为B、方向垂
直纸面向外，两圆的圆心O 与C、D 在一竖直线上．不计粒子重力，忽略平行板外的电场以及
磁场间的相互影响．
（1）C 处飘出的粒子带何种电荷？已知ab 棒的速度为v0，求粒子到达N 板时速度v；
（2）为了不让粒子进入内圆半径为R1的无磁场区域，试求出ab 棒的速度v0最大值v0m；
（3）若ab 棒的速度只能是v '0= 5qBd
m
，为了实现粒子不进入半径为R1的内圆无磁场区域，可
以控制金属导轨P、Q 的磁场宽度（如图乙所示），求该磁场宽度S 的范围．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
8．（2024•江苏四模）如图所示，直线y= 3
4
x 与y 轴之间有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场区域Ⅱ，
直线x＝d 与y= 3
4
x 间有沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度E＝3×105V/m，另有一半径R= 10
3
m 的圆形匀强磁场区域I，磁感应强度B1＝0.9T，方向垂直坐标平面向外，该圆与直线x＝d 和x
轴均相切，且与x 轴相切于S 点。一带负电的粒子从S 点沿y 轴的正方向以速度v0进入圆形磁场
区域I，经过一段时间进入匀强磁场区域Ⅱ，且第一次进入匀强磁场区域Ⅱ时的速度方向与直线
y= 3
4
x 垂直。粒子速度大小v0＝3×105m/s，粒子的比荷为q
m =1×105C/kg，粒子重力不计。已知
sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：
（1）粒子在圆形匀强磁场区域工中做圆周运动的半径大小；
（2）坐标d 的值；
（3）要使粒子能运动到x 轴的负半轴，则匀强磁场区域Ⅱ的磁感应强度B2应满足的条件。
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
9．（2024•海安市校级二模）如图甲所示为质谱仪的原理图，加速电压为U。粒子源A 持续释放出
初速度可忽略、比荷分别k1和k2的两种正电荷，k1＞k2。粒子从O 点沿垂直磁场边界方向进入
匀强磁场，磁场下边界放置胶片C。比荷为k1的粒子恰好打在距O 点为L 的M 点，不计粒子重
力和粒子间的相互作用。求：
（1）磁感应强度B 的大小；
（2）若加速电压存在波动，在（U﹣ΔU）到（U+ΔU）之间变化，在胶片上分开两种粒子，ΔU
的取值范围；
（3）如图乙所示，若比荷为k1的粒子进入磁场时存在散射角θ＝60°，粒子在2θ 范围内均匀射
入，现撤去胶片C，紧靠M 点在其左侧水平放置一长度为0.4L 的接收器，求接收器中点左右两
侧在单位时间内接收到比荷为k1的粒子数之比η。
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
10．（2024•镇海区校级模拟）如图甲所示，真空中存在一间距为d＝0.02m 的水平平行板电容器，
板长L＝0.04m，板间电压为U、板间匀强电场方向向上，MN 为一垂直上极板PQ 的足够长的光
屏，其下端N 与极板右端Q 重合，在MN 所在竖直线右侧空间存在匀强磁场。在下极板左端有
一个粒子源A，可以紧贴极板水平向右连续发射带正电的粒子，粒子比荷为q
m =1×10
8C /kg，
初速度v0=1×10
5m/ s。已知粒子打到极板或光屏时会被吸收，粒子之间的作用力不计，粒子
的重力不计。
（1）为使粒子能够从极板间射出，求电压U 的最大值；
（2）若匀强磁场方向垂直纸面向里（如图甲），大小为B1＝0.05T，电压U 可任意调节，则求
粒子击中光屏形成痕迹的长度ΔL；
（3）若匀强磁场方向改成水平向右，大小变为B2= √3
20 T，电压U 可任意调节，在极板右侧放
置另一块与MN 平行的足够大的光屏CD，CD 在磁场中能左右移动，则求粒子打在光屏CD 上
留下所有痕迹的面积S；
（4）在满足第（3）问的条件下，同时在电容器的右侧与光屏之间加一水平向右的匀强电场，
其场强大小E = 3√3
π
×10
4 N /C，在光屏上以D 点原点（D 点为光屏与FG 直线的交点），垂
直纸面向内为x 轴，竖直向上为y 轴，水平向右的方向为z 轴，建立如图乙所示的三维直角坐标
系xyz。光屏位置到G 点的距离用K 表示，现将光屏CD 沿FG 直线从G 点开始从近到远依次放
在不同位置上，光屏CD 始终平行MN，当光屏距G 点为K1与K2这两个位置时打在光屏上所有
粒子的点迹首次先后出现如图丙、丁所示的两条直线（顺着匀强电场E，水平向右看光屏），其
中图丙为距离K1时的图样，图丁为距离K2时的图样，则K1与K2这两位置相距多少距离？
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
11
