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五年级上册必考应用题专项训练
一、 和差问题
【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多
少，这类应用题叫和差问题。
【数量关系】 大数＝（和＋差） ÷ 2
小数＝（和－差） ÷ 2
【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂
的题目变通后再用公式。
例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班
各有多少人？
解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。
例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求
长方形的面积。解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）
宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）
长方形的面积 ＝10×8＝80（平方厘米）
答：长方形的面积为 80 平方厘米。
例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 3 2 千克，乙丙两袋
共重 3 0 千克，甲丙两袋共重 2 2 千克，求三袋化肥各重多少
千克。
解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多
（32－30）＝2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知
甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）
丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）
乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）
答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重
10 千克。例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到
乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少
筐？
解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还
多 3 筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是
（ 14× 2 ＋ 3 ） ，甲与乙的和是 97，因此
甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）
乙车筐数＝97－64＝33（筐）
答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。
二、 和倍问题
【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是
大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题
叫做和倍问题。
【数量关系】 总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数总和 － 较小的数 ＝ 较大的数
较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题
目变通后利用公式。
例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3
倍，求杏树、桃树各多少棵？
解 （1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。
例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮
数的 1.4 倍，求两库各存粮多少吨？
解 （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）
（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）
答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。例 3 甲站原有车 5 2 辆，乙站原有车 3 2 辆，若每天从甲站
开往乙站 2 8 辆，从乙站开往甲站 2 4 辆，几天后乙站车辆数
是甲站的 2 倍 ？
解 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相
当于每天从甲站开往乙站（ 2 8 － 2 4 ）辆。把几天以后甲站
的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站
的车辆总数（ 5 2 ＋ 3 2 ）就相当于（ 2 ＋ 1 ）倍，
那么，几天以后甲站的车辆数减少为
（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）
所求天数为 （52－28）÷（28－24）＝6（天）
答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。
例 4 甲乙丙三数之和是 17 0 ，乙比甲的 2 倍少 4 ，丙比甲的
3 倍多 6 ，求三数各是多少 ？
解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍
量。因为乙比甲的 2 倍少 4 ，所以给乙加上 4 ，乙数就变成甲
数的 2 倍；
又因为丙比甲的 3 倍多 6 ，所以丙数减去 6 就变为甲数的
3 倍；
这时（ 17 0 ＋ 4 － 6 ）就相当于（ 1 ＋ 2 ＋ 3 ）倍 。那么，
甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28
乙数＝28×2－4＝52
丙数＝28×3＋6＝90
答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。
三、差倍问题
【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数
是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用
题叫做差倍问题。
【数量关系】 两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的
题目变通后利用公式。
例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多
124 棵。求杏树、桃树各多少棵？
解 （1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。
例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄
的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁？
解 （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）
（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）
答：父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。
例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2
倍还多 1 2 万元，又知本月盈利比上月盈利多 3 0 万元，求这
两个月盈利各是多少万元？解 如果把上月盈利作为 1 倍量，则（30－12）万元就相当
于上月盈利的（2－1）倍，因此
上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）
本月盈利＝18＋30＝48（万元）
答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。
例 4 粮库有 9 4 吨小麦和 13 8 吨玉米，如果每天运出小麦
和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍？
解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的
数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小
麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，
（138－94）就相当于（3－1）倍，因此
剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）
运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）
运粮的天数＝72÷9＝8（天）
答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。
四、倍比问题【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量
的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出
要求的数，这类应用题叫做倍比问题。
【数量关系】 总量÷一个数量＝倍数
另一个数量×倍数＝另一总量
【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要
求的数。
例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽
3700 千克，可以榨油多少？
解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？ 3700÷100＝
37（倍）
（2）可以榨油多少千克？ 40×37＝1480（千克）
列成综合算式 40×（3700÷100）＝1480（千克）
答：可以榨油 1480 千克。
例 2 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400
棵，照这样计算，全县 48000 名师生共植树多少棵？解 （1）48000 名是 300 名的多少倍？ 48000÷300＝160
（倍）
（2）共植树多少棵？ 400×160＝64000（棵）
列成综合算式 400×（48000÷300）＝64000（棵）
答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。
例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园
收入 11111 元，照这样计算，全乡 800 亩果园共收入多少
元？全县 16000 亩果园共收入多少元？
解 （1）800 亩是 4 亩的几倍？ 800÷4＝200（倍）
（2）800 亩收入多少元？ 11111×200＝2222200（元）
（3）16000 亩是 800 亩的几倍？ 16000÷800＝20（倍）
（4）16000 亩收入多少元？ 2222200×20＝44444000
（元）
答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000 亩
果园共收入 44444000 元。
五、相遇问题【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在
途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】 相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂
的题目变通后再利用公式。
例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出
一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行 28 千米，从
上海开出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇？
解 392÷（28＋21）＝8（小时）
答：经过 8 小时两船相遇。
例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小
李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时
出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长
时间？
解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为 400×2
相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）
答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。
例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时
行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处相
遇，求两地的距离。
解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意
的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千
米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）
千米，因此，
相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）
两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）
答：两地距离是 84 千米。
六、追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同
一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出
发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面
的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面
的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】 追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）
追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的
题目变通后利用公式。
例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先
走 12 天，好马几天能追上劣马？
解 （1）劣马先走 12 天能走多少千米？ 75×12＝900
（千米）
（2）好马几天追上劣马？ 900÷（120－75）＝20
（天）列成综合算式 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20
（天）
答：好马 20 天能追上劣马。
例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈
用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一
次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。
解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，
此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追
及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用
40 秒，则跑 500 米用［ 40× （ 500÷20 0 ）］秒 ，所以小亮
的速度是
（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3
（米）
答：小亮的速度是每秒 3 米。
例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16
点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃跑，解放军在晚上22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。
已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌
人？
解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）
小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－16）］千
米，甲乙两地相距 60 千米。由此推知
追及时间＝［10×（22－16）＋60］÷（30－10）＝
120÷20＝6（小时）
答：解放军在 6 小时后可以追上敌人。
例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆
货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两
站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。
解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题
中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时
间就是前面所说的相遇时间，
这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时）所以两站间的距离为 （48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式 （48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝
88×4＝352（千米）
答：甲乙两站的距离是 352 千米。
例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹
每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿
原路回家去取，行至离校 180 米处和妹妹相遇。问他们家离
学校有多远？
解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从
题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多
走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－
60）米，
那么，二人从家出走到相遇所用时间为
180×2÷（90－60）＝12（分钟）
家离学校的距离为 90×12－180＝900（米）
答：家离学校有 900 米远。例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校，他以每小时 4 千米
的速度从家步行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了
1 0 分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来
算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9
分钟到学校。求孙亮跑步的速度。
解 手表慢了 10 分钟，就等于晚出发 10 分钟，如果按原
速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时
到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。如果
从家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知，行 1 千
米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。
所以 步行 1 千米所用时间为 1÷［9－（10－5）］＝
0.25（小时）＝15（分钟）
跑步 1 千米所用时间为 15－［9－（10－5）］＝11（分
钟）
跑步速度为每小时 1÷11／60＝5.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。
七、植树问题
【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三
个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用
题叫做植树问题。
【数量关系】 线形植树 棵数＝距离 ÷ 棵距＋ 1
环形植树 棵数＝距离 ÷ 棵距
方形植树 棵数＝距离 ÷ 棵距－ 4
三角形植树 棵数＝距离 ÷ 棵距－ 3
面积植树 棵数＝面积 ÷ （棵距 × 行距）
【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可
以利用公式。
例 1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都
栽，一共要栽多少棵垂柳？
解 136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一
棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？
解 400÷4＝100（棵）
答：一共能栽 100 棵白杨树。
例 3 一个正方形的运动场，每边长 22 0 米，每隔 8 米安
装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？
解 220×4÷8－4＝110－4＝106（个）
答：一共可以安装 106 个照明灯。
例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地
板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块
地板砖？
解 96÷（0.6×0.4）＝96÷0.24＝400（块）
答：至少需要 400 块地板砖。
例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，
若每隔 50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共
可以安装多少盏路灯？解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 500÷50＋1＝11
（个）
（2）桥的两边有多少个电杆？ 11×2＝22（个）
（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）
答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。
八、 行船问题
【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类
问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也
就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只
顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度
是船速与水速之差。
【数量关系】 （顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速
（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速
顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2
逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系
的公式。
例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水流速度为每
小时 15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？
解 由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为
每小时 15 千米，
所以，船速为每小时 320÷8－15＝25（千米）
船的逆水速为 25－15＝10（千米）
船逆水行这段路程的时间为 320÷10＝32（小时）
答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。
例 2 甲船逆水行 36 0 千米需 1 8 小时，返回原地需 1 0 小
时；乙船逆水行同样一段距离需 1 5 小时，返回原地需多少
时间？
解由题意得 甲船速＋水速＝360÷10＝36
甲船速－水速＝360÷18＝20
可见 （36－20）相当于水速的 2 倍，所以， 水速为每小时 （36－20）÷2＝8（千米）
又因为， 乙船速－水速＝360÷15，
所以， 乙船速为 360÷15＋8＝32（千米）
乙船顺水速为 32＋8＝40（千米）
所以， 乙船顺水航行 360 千米需要 360÷40＝9（小
时）
答：乙船返回原地需要 9 小时。
例 3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小
时 576 千米，风速为每小时 24 千米，飞机逆风飞行 3 小时
到达，顺风飞回需要几小时？
解 这道题可以按照流水问题来解答。
（1）两城相距多少千米？ （576－24）×3＝1656
（千米）
（2）顺风飞回需要多少小时？ 1656÷（576＋24）＝
2.76（小时）列成综合算式 ［（576－24）×3］÷
（576＋24）＝2.76（小时）
答：飞机顺风飞回需要 2.76 小时。
九、列车问题
【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注
意列车车身的长度。
【数量关系】 火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷
车速
火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷
（甲车速－乙车速）
火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷
（甲车速＋乙车速）
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系
的公式。例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速
度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这
列火车长多少米？
解 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的
和。
（1）火车 3 分钟行多少米？ 900×3＝2700（米）
（2）这列火车长多少米？ 2700－2400＝300（米）
列成综合算式 900×3－2400＝300（米）
答：这列火车长 300 米。
例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大
桥，用了 2 分 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？
解 火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒＝125 秒，所走的路
程是（8×125）米，这段路程就是（200 米＋桥长），所
以，桥长为
8×125－200＝800（米）
答：大桥的长度是 800 米。例 3 一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列
长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在后面追赶，求快车从
追上到追过慢车需要多长时间？
解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225＋140）米，
而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此，所求的时间
为
（225＋140）÷（22－17）＝73（秒）
答：需要 73 秒。
例 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有一
个扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走来，那么，火车从工人
身旁驶过需要多少时间？
解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火
车相遇问题。
150÷（22＋3）＝6（秒）
答：火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。例 5 一列火车穿越一条长 200 0 米的隧道用了 8 8 秒，以
同样的速度通过一条长 125 0 米的大桥用了 5 8 秒。求这列火
车的车速和车身长度各是多少？
解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间
不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒的
时间内行驶了（2000－1250）米的路程，因此，火车的车
速为每秒
（2000－1250）÷（88－58）＝25（米）
进而可知，车长和桥长的和为（25×58）米，
因此，车长为 25×58－1250＝200（米）
答：这列火车的车速是每秒 25 米，车身长 200 米。
十、盈亏问题
【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分
配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有
余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈
亏问题。【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，
一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
如果两次都盈或都亏，则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系
的公式。
例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；
若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？
解 按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的
数量关系：
（1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12
（人）
（2）有多少个苹果？ 3×12＋11＝47（个）
答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。例 2 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延
长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条
路全长多少米？
解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总
人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分
配差”的数量关系，可以得知
原定完成任务的天数为
（260×8－300×4）÷（300－260）＝22（天）
这条路全长为 300×（22＋4）＝7800（米）
答：这条路全长 7800 米。
例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30
人；如果每辆车坐 45 人，就刚好坐完。问有多少车？多少
人？
解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于
是就有
（1）有多少车？ （30－0）÷（45－40）＝6（辆）（2）有多少人？ 40×6＋30＝270（人）
答：有 6 辆车，有 270 人。
十一、 工程问题
【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时
间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出
工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土
地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常
用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作
“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位
时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作
量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公
式。
例 1 一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做
需要 15 天完成，现在两队合作，需要几天完成？
解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项
工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于
甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙
队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的 1/15；两队合
做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。
由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6
（天）
答：两队合做需要 6 天完成。
例 2 一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完
成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做 2 4 个，求这批
零件共有多少个？解 设总工作量为 1，则甲每小时完成 1/6，乙每小时完
成 1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每
小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋
1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做 24 个零件，所以
（1）每小时甲比乙多做多少零件？
24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）
（2）这批零件共有多少个？
7÷（1/6－1/8）＝168（个）
答：这批零件共有 168 个。
解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：
两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/6∶1/8＝
4∶3
由此可知，甲比乙多完成总工作量的 4－3 / 4＋3 ＝
1/7
所以，这批零件共有 24÷1/7＝168（个）例 3 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完
成，丙独做 15 小时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙
丙二人合做，还需几小时才能完成？
解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用
整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量
为 12、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 60，则甲
乙丙三人的工作效率分别是
60÷12＝5 60÷10＝6 60÷15＝4
因此余下的工作量由乙丙合做还需要
（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）
答：还需要 5 小时才能完成。 也可以用
（1-1/12*2）/（1/10+1/15）
例 4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有
若干个同样粗细的进水管。当打开 4 个进水管时，需要 5 小
时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 1 5 小时才能注满水池；现在要用 2 小时将水池注满，至少要打开多少个
进水管？
解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水
或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单
位时间内水的流量就是工作效率。
要 2 小时内将水池注满，即要使 2 小时内的进水量与排
水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的
工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位
1，其余两个量便可由条件推出。
我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4 个进水
管 5 小时注水量为（1×4×5），2 个进水管 15 小时注水量
为（1×2×15），从而可知
每小时的排水量为 （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）
＝1
即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知
一池水的总工作量为 1×4×5－1×5＝15又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为 1×2，
所以，2 小时内注满一池水
至少需要多少个进水管？ （15＋1×2）÷（1×2）＝
8.5≈9（个）
答：至少需要 9 个进水管。
29 最值问题
【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求
效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小
的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。
【数量关系】 一般是求最大值或最小值。
【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小
值。例 1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要 3
分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少
需要多少分钟？
解 先将两块饼同时放上烤，3 分钟后都熟了一面，这时
将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过 3 分
钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼
烤另一面，再烤 3 分钟即可。这样做，用的时间最少，为 9
分钟。
答：最少需要 9 分钟。
例 2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离
都是 10 千米，已知 1 号煤场存煤 100 吨，2 号煤场存煤 200
吨，5 号煤场存煤 400 吨，其余两个煤场是空的。现在要把
所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运 1 千米花费 1 元，集
中到几号煤场花费最少？
解 我们采用尝试比较的方法来解答。集中到 1 号场总费用为 1×200×10＋1×400×40＝
18000（元）集中到 2 号场总费用为 1×100×10＋
1×400×30＝13000（元）
集中到 3 号场总费用为 1×100×20＋1×200×10＋
1×400×10＝12000（元）
集中到 4 号场总费用为 1×100×30＋1×200×20＋
1×400×10＝11000（元）
集中到 5 号场总费用为 1×100×40＋1×200×30＝
10000（元）
经过比较，显然，集中到 5 号煤场费用最少。
答：集中到 5 号煤场费用最少。
例 3 北京和上海同时制成计算机若干
重庆 武汉
北京 800 400
台，北京可调运外地 10 台，上海可调运
上海 500 300
外地 4 台。现决定给重庆调运 8 台，给武汉调运 6
台，
若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京
往重庆应尽量少调运。这样，把上海的 4 台全都调
往重庆，再从北京调往重庆 4 台，调往武汉 6 台，运费就会
最少，其数额为 500×4＋800×4＋400×6＝7600（元）
答：上海调往重庆 4 台，北京调往武汉 6 台，调往重庆 4
台，这样运费最少。
30 列方程问题
【含义】 把应用题中的未知数用字母 Χ 代替，根据等
量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程
而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用
题。
【数量关系】 方程的等号两边数量相等。
【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、
验、答”六字法。
（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各
是什么，问题中的等量关系是什么。（2）设：把应用题中的未知数设为 Χ。
（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照
等量关系列出方程。
（4）解；求出所列方程的解。
（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。
（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。
同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即
设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在 Χ 后
面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名
称，求出的 Χ 值也不带单位名称，在答语中要写出单位名
称。检验的过程不必写出，但必须检验。
例 1 甲乙两班共 90 人，甲班比乙班人数的 2 倍少 30 人，求
两班各有多少人？
解 第一种方法：设乙班有 Χ 人，则甲班有（90－Χ）人。
找等量关系：甲班人数＝乙班人数×2－30 人。列方程： 90－Χ＝2Χ－30
解方程得 Χ＝40 从而知 90－Χ＝50
第二种方法：设乙班有 Χ 人，则甲班有（2Χ－30）
人。
列方程 （2Χ－30）＋Χ＝90
解方程得 Χ＝40 从而得知 2Χ－30＝50
答：甲班有 50 人，乙班有 40 人。
例 2 鸡兔 35 只，共有 94 只脚，问有多少兔？多少鸡？
解 第一种方法：设兔为 Χ 只，则鸡为（35－Χ）只，
兔的脚数为 4Χ 个，鸡的脚数为 2（35－Χ）个。根据等量
关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”
可列出方程 4Χ＋2（35－Χ）＝94 解方程得 Χ＝12
则 35－Χ＝23
第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都
是鸡，
则有 兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）所以 兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：鸡是 23 只，兔是 12 只。
例 3 仓库里有化肥 940 袋，两辆汽车 4 次可以运完，已知
甲汽车每次运 125 袋，乙汽车每次运多少袋？
解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去
甲车一次运的袋数，即是所求。
940÷4－125＝110（袋）
第二种方法：从总量里减去甲汽车 4 次运的袋数，即为乙汽
车共运的袋数，再除以 4，即是所求。
（940－125×4）÷4＝110（袋）
第三种方法：设乙汽车每次运 Χ 袋，可列出方程 940÷4－
Χ＝125
解方程得 Χ＝110
第四种方法：设乙汽车每次运 Χ 袋，依题意得
（125＋Χ）×4＝940 解方程得 Χ＝110答：乙汽车每次运 110 袋。
消去法
在一些应用题中，有时会出现两个或两个以上并列的未
知数，我们可以根据数据特点，设法消去一个或两个未知
数，只保留其中的一个未知数，在求得这个未知数后，再
求出其它的未知数。这种解题思路和方法就是消去法。
[例 1]学校买了 4 张办公桌和 1 把椅子，共用去 510 元，后
又买来 6 张办公桌和 1 把椅子共用去 750 元。求每张办公桌
和每把椅子各多少元？
[分析与解]根据已知条件，列出关系式：
4 张桌子的价钱+1 把椅子的价钱=510 元---------------①
6 张桌子的价钱+1 把椅子的价钱=750 元---------------②
观察比较两个等式，②式比①式多买了（6-4）张桌子，
就多用了（750-510）元，从而可以求出每张办公桌为
（750-510）÷（6-4）=120 元，每把椅子为 510-120×4=30
元
