文档文本内容
2025 年高考第一次模拟考试
高三数学（新高考Ⅰ卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知全集 ，集合 ， 或 ，则 （ ）
A． B． C．（－3，3] D．（2，3]
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形
3．记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．120 B．140 C．160 D．180
4．已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 ，且 ，
则实数 的值是（ ）
A． 和 B． C． D．
5．点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 是公比为 的等比数列， 是数列 的前 项和，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
7．已知平行六面体 中， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为 和
，这两组数据间的闵氏距离定义为 ，其中q表示阶数.现有下列
四个命题：①若 ，则 ；
②若 ，其中 ，则 ；
③若 ，其中 ，则 ；
④若 ，其中 ，则 的最小值为 .
其中所有真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7
场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（ ）
A．得分的中位数甲比乙要小 B．两人的平均数相同
C．两人得分的极差相同 D．得分的方差甲比乙小
10．已知函数 的定义域为 ，则（ ）
A． B．
C． 是奇函数 D． 是偶函数
11．已知圆 ，圆 分别是圆 与圆 上的点，则
（ ）
A．若圆 与圆 无公共点，则
B．当 时，两圆公共弦所在直线方程为
C．当 时，则 斜率的最大值为
D．当 时，过 点作圆 两条切线，切点分别为 ，则 不可能等于
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在 的展开式中， 的系数为 ．13．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为 ， ，且
，则它的内切球的体积为 .
14．椭圆 的左､右顶点分别为 ，点 在椭圆上第一象限内，记
，存在圆 经过点 ，且 ，则椭圆 的离心率为
.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，四面体 中， 是 的中点， ，
(1)求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；
(2)求点E到平面ACD的距离.
16．（15分）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 恒成立，求 的最小值．17．（15分）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先
得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分
者胜，该局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过
抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时甲得分的概率为
，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．
(1)若每局比赛甲获胜的概率 ，求该场比赛甲获胜的概率.
(2)已知第一局目前比分为10∶10，求
（ⅰ）再打两个球甲新增的得分 的分布列和均值；
（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率 ；
18．（17分）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺
边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端
固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺
上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运
动到点P处，此时， ， .设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为
x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的方程；
(2)斜率为k的直线 过点 ，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为(0,2)，若
，求 的范围.19．（17分）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高
斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如 的数称为复数，其中 称为实部，
称为虚部，i称为虚数单位， .当 时， 为实数；当 且时， 为纯虚数.其中
，叫做复数 的模.设 ， ， ， ， ， ， 如图，
点 ，复数 可用点 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，
有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数 都可以表示成 的形式，即
，其中 为复数 的模， 叫做复数 的辐角，我们规定 范围内的辐角 的值为辐
角的主值，记作 . 叫做复数 的三角形式.
(1)设复数 ， ，求 、 的三角形式；
(2)设复数 ， ，其中 ，求 ；
(3)在 中，已知 、 、 为三个内角 的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复
数相关内容，证明：
① ；
② ， ， .
注意：使用复数以外的方法证明不给分
