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专题10 复数及其应用
【考点1 复数的基本概念及应用】
【考点2 复数的四则混合运算】
【考点3 复数的高次幂计算】
【考点4 复数相等与共轭复数】
【考点5 复数的几何意义】
【考点6 复数的模长及简单应用】
【考点7 复数范围内的解方程】
【考点8 复数代数式与三角形互化】
知识点1：复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，
其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b 为实数)
复数的分类
a＋bi 为实数⇔b ＝
0
a＋bi 为虚数⇔b ≠
0
a＋bi 为纯虚数⇔a ＝
0 且
b ≠
0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a ＝
c 且
b ＝
d (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi 与c＋di 共轭⇔a ＝
c ，
b ＝－
d (a，b，c，d∈R).
(5)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi 的模，记作| a ＋
b i| 或| z | ，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
知识点2：复数的几何意义
复数z＝a＋bi 与复平面内的点Z ( a ，
b ) 及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
知识点3：复数的四则运算
1
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(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝( a ＋
c ) ＋
( b ＋
d )i ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝( a －
c ) ＋
( b －
d )i ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝( ac
－
bd
) ＋
( ad
＋
bc
)i ；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ＝OZ1
＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
常用结论
1.i 的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.复数的模与共轭复数的关系z·z＝|z|2＝|z|2.
知识点4 复数的三角形式
1、复数的辅角
（1）辅角的定义：设复数z =a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ
所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角.
（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无
限多个值，且这些值相差2π的整数倍.
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作arg z
【注意】因为复数0 对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0 的辅角是任意的。
2、复数的三角形式
定义：任何一个复数都可以表示成z =r(cosθ+i sinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复
数的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。
3、复数的代数式与三角式互化
将复数z =a+bi(a,b∈R)化为三角形式z =r(cosθ+i sinθ)时，要注意以下两点：
（1）r =√a
2+b
2，
（2）cosθ = a
r ，sinθ = b
r ，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
2
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当a=0，b>0时，arg z = π
2
【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯
一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义
（1）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
则z1 z1=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的
和。
（2）复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量⃗
O Z1，⃗O Z2，
然后把向量⃗O Z1绕O点按逆时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把⃗O Z1绕点O按顺时针方向
旋转角|θ2|），再把它的模变成原来的r2倍，得到向量⃗OZ，⃗OZ表示的复数就是积z1 z2，
这就是复数乘法的几何意义。
（3）复数乘法运算三角表示推广：
z1 z2… zn=r1(cosθ1+isinθ1)∙r2(cosθ2+isinθ2)∙…∙rn(cosθn+isinθn)
=r1r2…rn[cos (θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]
特别的，当z1= z2=…= zn=r(cosθ+i sinθ)时，[r(cosθ+i sinθ)]
n=r
n(cosnθ+i sinnθ)
5、复数除法运算的三角表示及其几何意义
（1）复数除法运算的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)
则
z1
z2
= r1(cosθ1+isinθ1)
r2(cosθ2+isinθ2) = r1
r2 [cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.
（2）两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量⃗O Z1，⃗O Z2，然后把向量⃗
O Z1绕O点按顺时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把⃗O Z1绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|
），再把它的模变成原来的1
r2
倍，得到向量⃗OZ，⃗OZ表示的复数就是商
z1
z2
，这就是复数除
法的几何意义。
3
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【考点1 复数的基本概念及应用】
【典例1】（2024·陕西西安·三模）已知复数z =3+i，则z−i
z−1
的虚部为（ ）
A．−3
B．−3
5
C．3
D．3
5
【典例2】（2024·重庆·三模）设复数z 满足2 z−i z =1，则z 的虚部为（ ）
A．1
3
B．−1
3
C．3
D．−3
【典例3】（2024·陕西安康·模拟预测）若z = 4−xi
1+i
的虚部为2，则x =（ ）
A．4
B．−4
C．8
D．−8
【典例4】（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数z = −i
2+i
−1−i
3
,则z的虚部是（ ）
A．1
B．−1
C．i
D．−i
【典例5】（2024·广东深圳·模拟预测）复数z 满足z (2−i)=|3+ 4i|，则复数z 的虚部是
（ ）
A．2
B．2i
C．1
D．i
【典例6】（2024·天津北辰·三模）i是虚数单位，复数Z = 1−i
3+ 4i
的虚部为 .
【考点2 复数的四则混合运算】
【典例1】（2024·西藏·模拟预测）已知复数z =2−i，则
z
z−z =（ ）
A．−1
2 +i
B．1
2 −i
C．1
2 +i
D．−1
2 −i
【典例2】（2024·青海海西·模拟预测）2i
2−i
i−1
=（ ）
A．1
2 + 3
2 i
B．−1
2 + 3
2 i
C．1
2 −3
2 i
D．−1
2 −3
2 i
【典例3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数z满足|z|−z =2+i，则z =（ ）
4
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A．3
4 +i
B．−3
4 +i
C．3
4 −i
D．−3
4 −i
【典例4】（2024·上海·模拟预测）复数z = 1+2i
3+ 4i
，则z⋅z = .
【考点3 复数的高次幂计算】
【典例1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知复数z =2+i，则i
2025
z
=（ ）
A．1
5 −2i
5
B．−1
5 −2i
5
C．1
5 + 2i
5
D．−1
5 + 2i
5
【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）若z满足z (1+i)=2i
3−i
2024, z
对应的点Z关于原点
对称的点为Z1，则Z1对应的z1为（ ）
A．−3
2 −1
2 i
B．3
2 + 1
2 i
C．−3
2 + 1
2 i
D．3
2 −1
2 i
【典例3】（2024·江西鹰潭·三模）复数z = −7+ 4i
i
2024−2i
复平面内对应的点位于（ ）
A．直线2 x +3 y =0上
B．直线2 x−3 y =0上
C．直线3 x +2 y =0上
D．直线3 x−2 y =0上
【典例4】（2024·福建泉州·模拟预测）若z⋅(2+i)=3−i
2024，则z的虚部为（ ）
A．−1
B．7
5
C．−2
5
D．−2
5 i
【典5】（2024·河南南阳·三模）若z =i
2024+2
1−i
，则|z|=
【考点4 复数相等与共轭复数】
【典例1】（2024·重庆·三模）已知a,b∈R ,(a+i)i=b−2i（i为虚数单位），则复数
z =a+bi的共轭复数为（ ）
A．−2+i
B．2−i
C．1+2i
D．1−2i
【典例2】（2024·四川·模拟预测）已知复数z 满足z−2 z =2−3i，则z =（ ）
A．−2−i
B．2−i
C．−2+i
D．2+i
5
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【典例3】（2024·山东·模拟预测）若复数z满足(1−2i) z =10−5i，则z =（ ）
A．−4 +3i
B．4 +3i
C．−4−3i
D．4−3i
【典例4】（2024·全国·模拟预测）i为虚数单位，复数z +|z|=8+ 4i，复数z的共轭复数为
z，则z的虚部为 ．
【考点5 复数的几何意义】
【典例1】（2024·山东日照·模拟预测）设i为虚数单位，若复数z满足i
3 z =1+2i，则z在
复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【典例2】（2024·福建南平·模拟预测）已知z = 7+5i
1+i
，则z在复平面内的对应点所在的象
限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【典例3】（2024·北京西城·三模）在复平面，复数z 对应的点坐标为(1,−1)，则z
1+i =
（ ）
A．i
B．-i
C．1−i
D．1+i
【典例4】（2024·山东·二模）已知复数z满足(1−i) z =3+i，则z在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【典例5】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数3−√3i对应的向量⃗a按顺时针
方向旋转π
3
，所得向量在⃗a上的投影向量对应复数是（ ）
A．2√3−3i
B．3−2√3i
C．√3−3i
2
D．3−√3i
2
【考点6 复数的模长及简单应用】
【典例1】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知复数z =i
1−i
，z表示z 的共轭复数，则|z|=
（ ）
A．√2
4
B．1
2
C．√2
2
D．√2
【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知z = 3+i
1−i
，则|z +1|=（ ）
6
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A．2
B．2√2
C．4
D．4√2
【典例3】（2024·湖南邵阳·三模）已知复数z满足：z (1+i)=i
2024−i
，其中i是虚数单位，
则|z|的值为（ ）
A．√2
B．1
C．2
D．4
【典例4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设z = −2+i
2+ 4i
i
3
，则|z|= .
【考点7 复数范围内的解方程】
【典例1】（2024·上海·三模）已知关于x的一元二次方程x
2+ kx + k
2−2k =0有两个虚根
x1, x2
，且x1
2+ x2
2=3，则实数k的值为 .
【典例2】（2024·湖南衡阳·三模）已知1−2i是关于x的方程x
2+ px +q =0（其中p、q 为
实数）的一个根，则p−q的值为 .
【典例3】（2024·广东广州·模拟预测）已知(1+i) z = 4i，z是关于x的实系数方程
x
2+mx +n=0的一个根，则mn= .
【考点8 复数代数式与三角形互化】
【典例1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数z =a+bi(a,b∈R ,i是虚数单位)在复平面内
对应点为Z，设r =|OZ|,θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则
z =a+bi=r (cosθ+isinθ)，把r (cosθ+isinθ)叫做复数a+bi的三角形式，利用复数
的三角形式可以进行复数的指数运算，
[r (cosθ+isinθ)]
n=r
n(cosnθ+isinnθ)(n∈N
*)，例如：
(−1
2 + √3
2 i)
3
=(cos 2π
3 +isin 2π
3 )
3
=cos2π+isin2π=1，
(1+i)
4=(√2(cosπ
4 +isinπ
4 ))
4
= 4 (cosπ+isinπ)=−4，复数z满足：z
3=1+i，
则z可能取值为（ ）
7
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A．√2(cosπ
12 +isinπ
12)
B．√2(cos 3π
4 +isin 3π
4 )
C．6√2(cos 5π
4 +isin 5π
4 )
D．6√2(cos 17π
12 +isin 17π
12 )
【典例2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知e
iθ=cosθ+isinθ，则在下列表达式中表示
sinθ的是（ ）
A． e
iθ−e
−iθ
2i
B．e
iθ+e
−iθ
2i
C． e
−iθ−e
iθ
2i
D．−e
iθ+e
−iθ
2i
【典例3】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式
(cos x +i⋅sin x)
n=cos(nx)+i⋅sin(nx)（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗
（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cosπ
3 +i⋅sinπ
3 )
2
在复平面内所对
应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
1．（2024·西藏林芝·模拟预测）复数z =(1−i)(2+i)的模为（ ）
A．√6
B．2√2
C．3
D．√10
2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知i是虚数单位，复数z满足(i+1) z =2i，则复数z在
复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数z 满足(1+i) z =2i，则|z|=（ ）
A．√2
2
B．1
C．√2
D．2
8
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4．（2024·河南信阳·模拟预测）复数z = −i
1−i
的虚部为（ ）
A．−1
2 i
B．−1
2
C．1
D．2
5．（2024·青海·模拟预测）设z = 3+ 4i
(1+i)
2
，则|z|=（ ）
A．5
2
B．3
C．√5
2
D．5
4
6．（2024·辽宁大连·二模）设x∈R，则“x =1”是“复数z =(x
2−1)+(x +1)i为纯虚
数”的（ ）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2024·广东汕头·三模）已知复数z = 2i
1−i
，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8．（2024·山西阳泉·三模）已知2+i是实系数方程x
2+ px−q =0的一个复数根，则p+q =
（ ）
A．−9
B．−1
C．1
D．9
9．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知复数z 满足z(3−4i)=|3+ 4i|，则z =（ ）
A．3+ 4i
B．3−4i
5
C．3+ 4i
5
D．−7+24i
25
10．（2024·山西运城·三模）设z =
1+i
1+i
2+i
5，则z =（ ）
A．1−i
B．1+i
C．−1−i
D．−1+i
11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知i为虚数单位，且
1−√3i
(1+i)
2 =cosθ+isinθ ,θ∈(0,2π)，则θ =（ ）
A．π
6
B．5π
6
C．7π
6
D．11π
6
12．多选题（2024·全国·模拟预测）已知复数z =cosθ+isinθ(θ∈R)，则（ ）
9
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A．|z|=1
B．|z
2|=|z|
2
C．z· z =1
D．|z +1|≥2
13．多选题（2024·山东济南·二模）已知方程x
n=1在复数范围内有n个根，且这n个根在复
平面内对应的点n等分单位圆.下列复数是方程x
9=1的根的是（ ）
A．1
B．i
C．−1
2 −√3
2 i
D．cos40
∘+isin 40
∘
14．多选题（2024·河南·二模）已知复数z =i
8
1−i
，z是z的共轭复数，则下列说法正确的是
（ ）
A．z的实部为1
2
B．复数z在复平面中对应的点在第四象限
C．z> z
D．z⋅z = 1
2
15．（2024·广东广州·二模）已知复数z = 2cosθ+isinθ
1+i
(θ∈R)的实部为0，则tan2θ =
．
10
