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七年级
上册
义务教育教科书( 五·四学制)
七年级
上册
义务教育教科书( 五· 四学制)
·北 京·
人民教育出版社   课程教材研究所  编著
致同学
亲爱的同学，新的学期开始了．在本学期的数学学习中，我们将要学习哪
些内容？快来了解一下吧．
在生活中你会遇到很多实际问题，“一元一次方程”为你解决实际问题提
供了一种数学模型．通过分析问题中的数量关系，并利用其中的相等关系列出
方程，进而通过解方程就可以得到实际问题的答案．通过这一章的学习，你的
抽象能力、运算能力、模型观念和应用意识将得到提升．
“相交线与平行线”将学习平面内的两条相交直线和平行直线，你将通过
直观想象、操作确认、推理论证等方法，得出它们的性质，初步体会通过推理
获得数学结论的方法，培养言之有据的思考习惯；你还将在小学学习的基础
上，进一步学习平移这种图形变化，经历探究图形变化规律的过程．
在“实数”中，你将认识一类新的数———无理数．有了无理数，数的范围
将从有理数扩充到实数．你还将学习用数轴上的点表示实数，体会实数与数轴
上的点的一一对应关系，从而借助几何直观理解实数．
“平面直角坐标系”将为你建立平面内的点与有序数对之间的联系，这样
你就可以用数和运算研究图形，用图形表示数和运算结果了，这将有利于增强
你的几何直观．
在现实世界中，人们经常需要根据信息作出合理决策，这就要用到统计学
知识．在“数据的收集、整理与描述”中，你将学习统计学中收集和整理数据
的常用方法，你还将学习如何用图表直观地描述数据，培养数据观念．
此外，综合与实践“地球表面位置的刻画和距离计算”将带你探究表示地
球表面的位置和计算两地之间的距离的方法；“白昼时长规律的探究”将带你
探究不同地区白昼时长的变化规律，进一步认识和理解现实世界．
数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功．让我们扬帆
起航，开启一段新的数学之旅吧！
目　　录
第十一章　一元一次方程
１
１１．１　方程
２
１１．２　解一元一次方程
１１
探究与发现　无限循环小数化分数
２４
１１．３　实际问题与一元一次方程
２５
阅读与思考　初步认识数学模型
３４
数学活动
３５
小结
３７
第十二章　相交线与平行线
４１
１２．１　相交线
４２
观察与猜想　看图时的错觉
５０
１２．２　平行线
５１
１２．３　定义、命题、定理
６２
１２．４　平移
６６
探究与发现　利用平移设计图案
７０
数学活动
７２
小结
７４
第十三章　实数
７９
１３．１　平方根
８０
１３．２　立方根
８８
１３．３　实数及其简单运算
９２
阅读与思考　为什么　槡２不是有理数
９８
数学活动
９９
小结
１００
第十四章　平面直角坐标系
１０３
１４．１　用坐标描述平面内点的位置
１０４
阅读与思考　用经纬度表示地理位置
１１３
１４．２　坐标方法的简单应用
１１４
数学活动
１２４
小结
１２５
综合与实践　地球表面位置的刻画和距离
计算
１２９
第十五章　数据的收集、整理与描述
１３２
１５．１　统计调查
１３３
探究与发现　瓶子中有多少粒豆子
１４１
１５．２　用统计图描述数据
１４２
信息技术应用　利用信息技术工具画统计图１６０
图说数学史　统计学点滴
１６２
数学活动
１６４
小结
１６５
综合与实践　白昼时长规律的探究
１７０
ܸ ᖹ
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Ղᖹڡ
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第十一章　一元一次方程
甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营１ｋｍ
的一号营地出发，每小时行进１．２ｋｍ；乙队从距大本营３ｋｍ的二号营地出
发，每小时行进０．８ｋｍ．多长时间后，甲队在途中追上乙队？
你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？本章我们将学习一种新的方
法，通过列方程来解决这个问题．方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的
数学工具．解决许多实际问题时，人们经常用字母表示其中的未知数，通过分
析问题中的数量关系，列出方程表示相等关系，然后解方程求出未知数，从而
获得实际问题的答案．
怎样根据问题中的数量关系列方程？怎样解方程？这是本章研究的主要
问题．通过解决本章中丰富多彩的问题，你将初步感受方程的作用，并学习利用
一元一次方程解决问题的方法．
第十一章　一元一次方程
１１．１方程
在小学，我们利用算术方法解决了很多实际问题．接下
来，我们将引入方程解决一些实际问题．首先来认识一下什
么是方程．
１１１１　从算式到方程
先来看本章引言中的问题．请你先试着用列算式的方法解决．
下面，我们引入一种新的方法来解决这个问题．在这个问题中，甲、乙两
队的行进速度是已知的，行进的时间和路程是未知
　　想一想，甲队追上乙
队时，他们距大本营的路
程之间有什么关系？
的．如果设两队行进的时间为狓ｈ，根据“路程＝
速度×时间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为
１．２狓ｋｍ和０．８狓ｋｍ，从而甲、乙两队距大本营的路
程可以分别表示为（１．２狓＋１）ｋｍ和（０．８狓＋３）ｋｍ．
甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时
甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程，
因此
１．２狓＋１＝０．８狓＋３．
这样，我们就根据实际问题中的相等关系，得到了一个含有未知数狓的等式．
通过本章的学习，我们将能够从这个含有未知数狓的等式中解出未知数的值
狓＝５，从而求出５ｈ后甲队追上乙队．
再来看两个实际问题．
问题１　用买３个大水杯的钱，恰好能买４个小水杯，大水杯的单价比小
水杯的单价多５元，两种水杯的单价各是多少元？
如果设大水杯的单价为狓元，那么小水杯的单价为（狓－５）元．因为用买
３个大水杯的钱，恰好能买４个小水杯，所以
３狓＝４（狓－５）．
由这个含有未知数狓的等式可以求出大水杯的单价，进而可以求出小水杯
的单价．
２
第十一章　一元一次方程
　图１１．１１
问题２　图１１．１１是一枚长方形的庆祝中国共
产党成立１００周年银质纪念币，其面积是４０００ｍｍ２，
长和宽的比为８∶５（即宽是长的５８）．这枚纪念币的
长和宽分别是多少？
　　在我国古代，一般
用“天元”“地元”“人
元” “物元”等表示未
知数．１７世纪，法国数
学家笛卡儿最早使用狓，
狔，狕等字母表示未知
数，后来也用狓，狔，狕
等表示变量，这些做法
一直沿用至今．
如果设这枚纪念币的长为狓ｍｍ，则纪念币的宽
可以表示为５８狓ｍｍ，面积可以表示为５８狓２ｍｍ２．已
知纪念币的面积为４０００ｍｍ２，所以
５８狓２＝４０００．
由这个含有未知数狓的等式可以求出这枚纪念
币的长，进而可以求出纪念币的宽．
像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问
题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这
样的等式叫作方程（ｅｑｕａｔｉｏｎ）．
##
李善兰（１８１１—１８８２）
汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数
的等式的问题．我国古代数学著作《九章算术》
中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问
题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的
解法，称为“方程术”．１９世纪５０年代，清代数
学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将ｅｑｕａｔｉｏｎ
（指含有未知数的等式）一词译为“方程”．
用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只
含有已知数，不含未知数；而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中
既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，这为解决许多问题带来了方便．
通过今后的学习，你会逐步认识到：从算式到方程是数学的一大进步．
３
第十一章　一元一次方程
5 m
图１１．１２
例１　根据下列问题，设未知数并列出方程：
（１）某校女生占全体学生数的５２％，比男生多
８０人，这所学校有多少名学生？
（２）如图１１．１２，一块正方形绿地沿某一方向
加宽５ｍ，扩大后的绿地面积是５００ｍ２，求正方形
绿地的边长．
　　你能解释这些方程
的左边、右边各表示什么
意思吗？由此体会如何根
据相等关系列方程．
解：（１）设这所学校的学生数为狓，那么女生
数为０．５２狓，男生数为（１－０．５２）狓．根据“女生比
男生多８０人”，列得方程
０．５２狓－（１－０．５２）狓＝８０．
（２）设正方形绿地的边长为狓ｍ，那么扩大后
的绿地面积为（狓２＋５狓）ｍ２．根据“扩大后的绿地面
积是５００ｍ２”，列得方程
狓２＋５狓＝５００．
ᑿ3
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数
学解决实际问题的一种方法．这个过程可以表示如下：
჋KKM
᫦/
᝺ ᅼ Ὂၹե  ᅼ ᄊ኎ ᛫ᇨᄱ኎Тጇ
ጷ˸
根据下列问题，设未知数并列出方程：
１．甲种铅笔每支１．４元，乙种铅笔每支１．８元．用２３元钱买这两种铅笔，
一共买了１５支，两种铅笔各买了多少支？
（第３题）
２．有两条电线，第一条长９０ｍ，第二条长４０ｍ．要从第一条
截下一段接在第二条上，使两条电线长度相等．求截下的那
段电线的长度（两条电线接头部分的长度忽略不计）．
３．某圆环形状的工件如图所示，它的面积是２００ｃｍ２，外
沿大圆的半径是１０ｃｍ，内沿小圆的半径是多少？
４
第十一章　一元一次方程
列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出
方程中未知数的值．
对于前面根据本章引言中的问题列出的方程１．２狓＋１＝０．８狓＋３，可以发
现，当狓＝５时，左边＝１．２×５＋１＝７，右边＝０．８×５＋３＝７，这时方程左、
右两边的值相等．
一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解（ｓｏｌｕ
ｔｉｏｎ）．例如，狓＝５就是方程１．２狓＋１＝０．８狓＋３的解．求方程的解的过程，叫
作解方程．
例２　（１）狓＝２，狓＝３２是方程２狓＝３的解吗？
（２）狓＝１０，狓＝２０是方程３狓＝４（狓－５）的解吗？
解：（１）当狓＝２时，方程２狓＝３的左边＝２×２＝４，右边＝３，方程左、
右两边的值不相等，所以狓＝２不是方程２狓＝３的解．
当狓＝３２时，方程２狓＝３的左边＝２×３２＝３，右边＝３，方程左、右两边的
值相等，所以狓＝３２是方程２狓＝３的解．
（２）当狓＝１０时，方程３狓＝４（狓－５）的左边＝３×１０＝３０，右边＝４×
（１０－５）＝２０，方程左、右两边的值不相等，所以狓＝１０不是方程３狓＝４（狓－
５）的解．
当狓＝２０时，方程３狓＝４（狓－５）的左边＝３×２０＝６０，右边＝４×（２０－５）＝
６０，方程左、右两边的值相等，所以狓＝２０是方程３狓＝４（狓－５）的解．
 Ꮶ
狓＝６０是方程５８狓２＝４０００的解吗？狓＝８０呢？
方程有多种类型，本章我们先来研究一类最简单的方程．
 Ꮶ
观察方程
１．２狓＋１＝０．８狓＋３，３狓＝４（狓－５），０．５２狓－（１－０．５２）狓＝８０，
它们有什么共同特征？
５
第十一章　一元一次方程
一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是
整式，未知数的次数都是１，这样的方程叫作一元一次方程（ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎ
ｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）．
##
用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的“天元术”．天元术指的
是用“天元”表示未知数，进而列出方程．现存的使用天元术的最早著作
是这一时期我国数学家李冶（１１９２—１２７９）于１２４８年所著的《测圆海
镜》，书中的“立天元一”相当于现在的“设未知数狓”．后来在研究涉及
多个未知数的问题时，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多个未知数．
ጷ˸
１．判断狓＝２和狓＝４是不是方程２狓－３＝５的解．
２．下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
（１）２＋３＝３＋２；　　（２）８狔－９＝９－狔；　　（３）狓２＋２狓＋１＝４．
１１１２　等式的性质
像２狓＝３，狓＋１＝３这样的简单方程，我们可以直接看出方程的解，但是
对于比较复杂的方程，仅靠观察来解方程是困难的．因此，还要研究怎样解方
程．方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质．
像犿＋狀＝狀＋犿，狓＋２狓＝３狓，３×３＋１＝５×２，３狓＋１＝５狔这样的式子，
都是等式．我们可以用犪＝犫表示一般的等式．
首先，给出关于等式的两个基本事实．
等式两边可以交换．如果犪＝犫，那么犫＝犪．
相等关系可以传递．如果犪＝犫，犫＝犮，那么犪＝犮．
 Ꮶ
在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个数，同时乘
同一个数，或同时除以同一个不为０的数，结果仍相等．引入负数后，这
些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试．
６
第十一章　一元一次方程
一般地，等式有以下性质：
等式的性质１　等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果犪＝犫，那么犪±犮＝犫±犮．
等式的性质２　等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数，结果仍相等．
如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮；
如果犪＝犫，犮≠０，那么犪犮＝犫犮．
例３　根据等式的性质填空，并说明依据：
（１）如果２狓＝５－狓，那么２狓＋
＝５；
（２）如果犿＋２狀＝５＋２狀，那么犿＝
；
（３）如果狓＝－４，那么
·狓＝２８；
（４）如果３犿＝４狀，那么３２犿＝
·狀．
解：（１）２狓＋狓＝５；根据等式的性质１，等式两边加狓，结果仍相等．
（２）犿＝５；根据等式的性质１，等式两边减２狀，结果仍相等．
（３）－７·狓＝２８；根据等式的性质２，等式两边乘－７，结果仍相等．
（４）３２犿＝２·狀；根据等式的性质２，等式两边除以２，结果仍相等．
利用等式的性质可以解方程．
例４　利用等式的性质解下列方程：
（１）狓＋７＝２６；　（２）－５狓＝２０；　（３）－１３狓－５＝４．
分析：要使方程狓＋７＝２６转化为狓＝犿（常数）的形式，需要去掉方程
左边的７，利用等式的性质１，方程两边减７就得出狓的值．类似地，利用等式
的性质，可以将另外两个方程转化为狓＝犿的形式．
解：（１）方程两边减７，得
狓＋７－７＝２６－７．
于是
狓＝１９．
７
第十一章　一元一次方程
（２）方程两边除以－５，得
　　解以狓为未知数的
方程，就是把方程逐步
转化为狓＝犿（常数）
的形式．等式的性质是
转化的重要依据．
－５狓
－５＝２０－５．
于是
狓＝－４．
（３）方程两边加５，得
－１３狓－５＋５＝４＋５．
化简，得
－１３狓＝９．
方程两边乘－３，得
狓＝－２７．
一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个
值能否使方程左、右两边的值相等．例如，将狓＝－２７代入方程－１３狓－５＝４
的左边，得
－１３×（－２７）－５＝４．
方程左、右两边的值相等，所以狓＝－２７是方程－１３狓－５＝４的解．
ጷ˸
１．根据等式的性质填空：
（１）如果狓＝狔，那么狓＋１＝狔＋
；
（２）如果狓＋２＝狔＋２，那么
＝狔；
（３）如果狓＝狔，那么
·狓＝５狔；
（４）如果３狓＝６狔，那么狓＝
·狔．
２．利用等式的性质解下列方程，并检验：
（１）狓－５＝６；　　　（２）０．３狓＝４５；
（３）５狓＋４＝０；
（４）２－１４狓＝３．
８
第十一章　一元一次方程

ܭ˸ ڍ
　　第１题是把用文字
表示的关系转化成用等
式表示．
１．列等式表示：
（１）比犪大５的数等于８；
（２）犫的三分之一等于９；
（３）狓的２倍与１０的和等于１８；
（４）狓的三分之一与狔的差等于６；
（５）比犪的３倍大５的数等于犪的４倍；
（６）比犫的一半小７的数等于犪与犫的和．
２．根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程：
և᫂
 
x 2
x 3
x
xc
č3xĎc
xc
x31
x
᭧ሥ 
（１）
（２）
（３）
（第２题）
３．狓＝３，狓＝０，狓＝－２分别是下列哪个方程的解？
（１）５狓＋７＝７－２狓；　　　　　　　（２）６狓－８＝８狓－４；
（３）３狓－２＝４＋狓；
（４）２狓－３＝５狓－６．
４．利用等式的性质解下列方程：
（１）狓－４＝２９；
（２）１２狓＋２＝６；
（３）３狓＋１＝４；
（４）４狓－２＝２．
፬Ռᤂၹ
列方程（第５～１０题）：
５．某校七年级（１）班共有学生４８人，其中女生人数比男生人数的４５多３，这个
班有男生多少人？
６．把１００００元奖学金按照两种奖项奖给２０名学生，其中一等奖每人８００元，二
等奖每人４００元．获得一等奖的学生有多少人？
９
第十一章　一元一次方程
７．去年某镇居民人均可支配收入为３０４３８元，比前年增长了６．８％，前年这个
镇居民人均可支配收入为多少元？
８．一辆汽车已行驶了１２０００ｋｍ，计划每月再行驶８００ｋｍ，几个月后这辆汽车行驶
的总路程为２０８００ｋｍ？
９．一个圆柱形包装盒（厚度忽略不计）的高是１２ｃｍ，表面积是１０８．５πｃｍ２．这
个包装盒的底面半径是多少？
１０．某校号召学生用零花钱为地震灾区捐款．七年级（１）班全体学生一共捐款
４２８元，七年级（２）班平均每名学生捐款１０元，七年级（１）班的捐款数比
七年级（２）班少２２元．七年级（２）班有多少名学生？
   ጊ
１１．一个两位数个位上的数字是１，十位上的数字是狓．把１与狓对调，新的两
位数比原两位数小１８，狓的值是多少？请你用方程解决这个问题．
０１
第十一章　一元一次方程
１１．２解一元一次方程
我们已经知道，直接利用等式的性质可以解简单的方程．
本节我们将结合方程的具体特点，继续研究如何解一元一次
方程．
问题１　某校三年共购买计算机１４０台，去年购买的数量是前年的２倍，
今年购买的数量又是去年的２倍．前年这所学校购买了多少台计算机？
设前年购买计算机狓台，则去年购买计算机２狓台，今年购买计算机４狓
台．根据“三年共购买计算机１４０台”，可以得到如下相等关系：
　　“各部分量的和＝
总量”是一个基本的相
等关系．
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝１４０．
列得方程
狓＋２狓＋４狓＝１４０．
把含有狓的项合并同类项，得
７狓＝１４０．
　　请你自己检验狓＝
２０是方程狓＋２狓＋４狓＝
１４０的解．
系数化为１，得
狓＝２０．
因此，前年这所学校购买了２０台计算机．
 Ꮶ
上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？
例１　解下列方程：
　　根据等式的性质解
一元一次方程时，得到
的狓＝犿就是方程的解
（想一想为什么）．今后，
检验环节通常可以省略．
（１）２狓－５２狓＝６－８；
（２）７狓－２．５狓＋３狓－１．５狓＝－１５×４－６×３．
解：（１）合并同类项，得
－１２狓＝－２．
系数化为１，得
１１
第十一章　一元一次方程
狓＝４．
（２）合并同类项，得
６狓＝－７８．
系数化为１，得
狓＝－１３．
例２　有一列数１，－３，９，－２７，８１，－２４３，…，其中第狀个数是（－３）狀－１
（狀＞１），如果这列数中某三个相邻数的和是－１７０１，那么这三个数各是多少？
分析：从符号和绝对值两方面观察，可以发现这列数的排列规律，后面的
数是它前面的数与－３的乘积．
解：设所求三个数中的第１个数是狓，则后两个数分别是－３狓，９狓．
由三个数的和是－１７０１，得
狓－３狓＋９狓＝－１７０１．
合并同类项，得
７狓＝－１７０１．
系数化为１，得
狓＝－２４３．
所以
－３狓＝７２９，
９狓＝－２１８７．
答：这三个数是－２４３，７２９，－２１８７．
ጷ˸
１．解下列方程：
（１）５狓－２狓＝９；　　　　　　（２）狓２＋３狓２＝７；
（３）－３狓＋０．５狓＝１０；
（４）７狓－４．５狓＝２．５×３－５．
２．某工厂的产值连续增长，２０２２年是２０２１年的１．５倍，２０２３年是２０２２
年的２倍，这三年的总产值为５５０万元．２０２１年的产值是多少？
３．某洗衣机厂今年计划生产Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型洗衣机共２５５００台，其中
Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为１∶２∶１４．洗衣机厂计划生
产这三种洗衣机各多少台？
２１
第十一章　一元一次方程
问题２　把一批图书分给某班学生阅读，若每人分３本，则剩余２０本；若
　　这批书的总数有几种
表示方法？它们之间有什
么关系？
每人分４本，则缺２５本．这个班有多少名学生？
设这个班有狓名学生．
每人分３本，共分出３狓本，加上剩余的２０
本，这批书共（３狓＋２０）本．
　　“表示同一个量的
两个不同的式子相等”
是一个基本的相等关系．
每人分４本，需要４狓本，减去缺的２５本，这
批书共（４狓－２５）本．
这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子
应相等，根据这一相等关系列得方程
３狓＋２０＝４狓－２５．
 Ꮶ
方程３狓＋２０＝４狓－２５的两边都有含狓的项（３狓与４狓）和不含字母
的常数项（２０与－２５），怎样才能把它转化为狓＝犿（常数）的形式呢？
为了使方程的右边没有含狓的项，等式两边减４狓，利用等式的性质１，得
３狓＋２０－４狓＝－２５．
为了使方程的左边没有常数项，等式两边减２０，利用等式的性质１，得
３狓－４狓＝－２５－２０．
把上面的方程与原方程作比较，这个变形相当于
　　把某项从等式的一边
移到另一边时，这项有什
么变化？
即把原方程左边的２０变为－２０移到右边，把右边的４狓变为－４狓移到左边．
像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项．
下面，我们继续解这个方程．
对方程３狓－４狓＝－２５－２０合并同类项，得
－狓＝－４５．
３１
第十一章　一元一次方程
系数化为１，得
狓＝４５．
由上可知，这个班有４５名学生．
 Ꮶ
上面解方程中“移项”起了什么作用？
例３　解下列方程：
（１）３狓＋７＝３２－２狓；　　　　　　　（２）狓－３＝３２狓＋１．
櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲
解：（１）移项，得
３狓＋２狓＝３２－７．
合并同类项，得
５狓＝２５．
系数化为１，得
狓＝５．
（２）移项，得
狓－３２狓＝１＋３．
合并同类项，得
－１２狓＝４．
系数化为１，得
狓＝－８．
例４　某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的
最大量还多２００ｔ；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少１００ｔ．新、
旧工艺的废水排量之比为２∶５，采用两种工艺的废水排量各是多少？
分析：因为采用新、旧工艺的废水排量之比为２∶５，所以可设它们分别为
２狓ｔ和５狓ｔ，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程．
解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为２狓ｔ和５狓ｔ．
　　等式两边代表哪个
数量？
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
５狓－２００＝２狓＋１００．
移项，得
５狓－２狓＝１００＋２００．
合并同类项，得
３狓＝３００．
系数化为１，得
４１
第十一章　一元一次方程
狓＝１００．
所以
２狓＝２００，５狓＝５００．
答：采用新、旧工艺的废水排量分别为２００ｔ和５００ｔ．
##
约８２０年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对
消计算概要》），其中，“还原”指的是“移项”，“对消”隐含着移项后合
并同类项．我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了
“对消”和“还原”的方法．
ጷ˸
１．解下列方程：
（１）３狓＝４狓＋３；　　　　　　（２）６狓－８＝４狓；
（３）６狔－７＝４狔－５；　
（４）１２狔－６＝３４狔．
２．解根据本章引言中的问题列出的方程１．２狓＋１＝０．８狓＋３．
３．李明出生时父亲２８岁，现在父亲的年龄是李明年龄的３倍．求现在李
明的年龄．
４．王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘８ｋｇ，张华平均每小
时采摘７ｋｇ．采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出０．２５ｋｇ给了张
华，这时两人的樱桃一样多．她们采摘用了多长时间？
问题３　某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量
减少２０００ｋＷ·ｈ（千瓦时），全年的用电量是１５００００ｋＷ·ｈ．这个工厂去年
　　一台功率为１ｋＷ
的电器１ｈ的用电量是
１ｋＷ·ｈ．
上半年平均每月的用电量是多少？
设去年上半年平均每月的用电量是狓ｋＷ·ｈ，
则下半年平均每月的用电量是（狓－２０００）ｋＷ·ｈ；
上半年的用电量是６狓ｋＷ·ｈ，下半年的用电量是
６（狓－２０００）ｋＷ·ｈ．
５１
第十一章　一元一次方程
根据全年的用电量是１５００００ｋＷ·ｈ，列得方程
　　当方程中有带括号
的式子时，去括号是常
用的化简步骤．
６狓＋６（狓－２０００）＝１５００００．
方程左边去括号，得
６狓＋６狓－１２０００＝１５００００．
移项，得
６狓＋６狓＝１５００００＋１２０００．
合并同类项，得
１２狓＝１６２０００．
系数化为１，得
狓＝１３５００．
由上可知，这个工厂去年上半年平均每月的用电量是１３５００ｋＷ·ｈ．
例５　解下列方程：
（１）２狓－（狓＋１０）＝５狓＋２（狓－１）；　　（２）３狓－７（狓－１）＝３－２（狓＋３）．
櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲
解：（１）去括号，得
２狓－狓－１０＝５狓＋２狓－２．
移项，得
２狓－狓－５狓－２狓＝－２＋１０．
合并同类项，得
－６狓＝８．
系数化为１，得
狓＝－４３．
（２）去括号，得
３狓－７狓＋７＝３－２狓－６．
移项，得
３狓－７狓＋２狓＝３－６－７．
合并同类项，得
－２狓＝－１０．
系数化为１，得
狓＝５．
例６　一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了２ｈ；从乙码头返回甲码头
逆水而行，用了２．５ｈ．已知水流的速度是３ｋｍ／ｈ，求船在静水中的平均速度．
分析：一般情况下，可以认为这艘船往返的路程相等．根据这个相等关
系，可以列方程求出船在静水中的平均速度．
解：设船在静水中的平均速度为狓ｋｍ／ｈ，则顺水速度为（狓＋３）ｋｍ／ｈ，
逆水速度为（狓－３）ｋｍ／ｈ．
根据往返路程相等，列得方程
２（狓＋３）＝２．５（狓－３）．
６１
第十一章　一元一次方程
去括号，得
２狓＋６＝２．５狓－７．５．
移项及合并同类项，得
－０．５狓＝－１３．５．
系数化为１，得
狓＝２７．
答：船在静水中的平均速度为２７ｋｍ／ｈ．
ጷ˸
１．解下列方程：
（１）２（狓＋３）＝５狓；
（２）４狓＋３（２狓－３）＝１２－（狓＋４）；
（３）６（１２狓－４）＋２狓＝７－（１３狓－１）；
（４）２－３（狓＋１）＝１－２（１＋０．５狓）．
２．一个长方形的长减少２ｃｍ，宽增加２ｃｍ后，面积
保持不变．已知这个长方形的长是６ｃｍ，求它
的宽．
３．编织大、小两种中国结共６个，总计用绳２０ｍ．已
知编织１个大号中国结需用绳４ｍ，编织１个小号
中国结需用绳３ｍ．问这两种中国结各编织了多少个．
问题４　如图１１．２１，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山５０ｋｍ，距绿
水７０ｋｍ．某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如
表１１．２１所示．王家庄距翠湖的路程有多远？
x km
50 km
70 km
ဍ  
᭟ 
Ꮩຬ
፯ 
图１１．２１
７１
第十一章　一元一次方程
表１１２１
地名
王家庄
青山
绿水
时间
１０：００
１３：００
１５：００
　　你还能列得其他方
程吗？
设王家庄距翠湖的路程为狓ｋｍ，则王家庄距
青山的路程为（狓－５０）ｋｍ，王家庄距绿水的路程
为（狓＋７０）ｋｍ．由表１１．２１可知，汽车从王家庄
到青山的行驶时间为３ｈ，从王家庄到绿水的行驶
时间为５ｈ．
根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程
狓－５０
３＝狓＋７０
５．
这个方程中未知数的系数不是整数，如果能化去分母，把未知数的系数化成整
数，就可以使解方程中的计算更简便些．
我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等．这个方程中各分母的最小
公倍数是１５，方程两边都乘１５，得
５（狓－５０）＝３（狓＋７０）．
去括号，得
５狓－２５０＝３狓＋２１０．
移项，得
５狓－３狓＝２１０＋２５０．
合并同类项，得
２狓＝４６０．
系数化为１，得
狓＝２３０．
因此，王家庄距翠湖的路程为２３０ｋｍ．
为了更全面地研究问题，我们再以方程３狓＋１
２－２＝３狓－２
１０－２狓＋３
５为例，
以框图的形式展示解这类一元一次方程的步骤．
８１
第十一章　一元一次方程
　　方程两边的每一项
都要乘分母的最小公倍
数１０．
你能说出每个步骤
的依据吗？
Ռ Տዝᮊ
ረᮊ
ԝ Ղ
ԝѬ 
ጇ ӑ˞1
ᑿ3
解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类
项、系数化为１等．通过这些步骤，可以使以狓为未知数的一元一次方程
逐步转化为狓＝犿的形式．这个过程主要依据等式的性质和运算律等．
ጷ˸
１．解下列方程：
（１）１９
１００狓＝２１
１００（狓－２）；（２）１３（狓＋４）＝１２（３狓－２）；
（３）狓＋１
２－２＝狓４；
（４）１－狓－２
５＝３－狓２；
（５）５狓－１
４＝３狓＋１
２－２－狓３．
２．伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文
物———莱茵德纸草书．这是古埃及人用象形文字
写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作．书中
记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：
９１
第十一章　一元一次方程
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来
总共是３３．这个数是多少？请你用方程解决这个问题．
例７　解下列方程：
（１）狓＋１
２－１＝２＋２－狓４；　　　　（２）３狓＋狓－１
２＝３－２狓－１
３．
解：（１）去分母（方程两边乘４），得
　　对于２狓＋２－４＝
８＋２－狓，也可以先合
并同类项，再移项．
２（狓＋１）－４＝８＋（２－狓）．
去括号，得
２狓＋２－４＝８＋２－狓．
移项，得
２狓＋狓＝８＋２－２＋４．
合并同类项，得
３狓＝１２．
系数化为１，得
狓＝４．
（２）去分母（方程两边乘６），得
１８狓＋３（狓－１）＝１８－２（２狓－１）．
去括号，得
１８狓＋３狓－３＝１８－４狓＋２．
移项，得
１８狓＋３狓＋４狓＝１８＋２＋３．
合并同类项，得
２５狓＝２３．
系数化为１，得
狓＝２３２５．
例８　有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天３名一级技工去粉刷８个房
间，结果有５０ｍ２墙面没来得及粉刷；同样时间内５名二级技工除了粉刷了１０
个房间，还多粉刷了另外的４０ｍ２墙面．每名一级技工比二级技工每天多粉刷
０２
第十一章　一元一次方程
１０ｍ２墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积．
解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为狓ｍ２．
根据题意，列得方程
８狓－５０
３－１０狓＋４０
５＝１０．
去分母（方程两边乘１５），得
５（８狓－５０）－３（１０狓＋４０）＝１５０．
去括号，得
还可以用其他的方
法解决这个问题吗？
４０狓－２５０－３０狓－１２０＝１５０．
移项，得
４０狓－３０狓＝１５０＋１２０＋２５０．
合并同类项，得
１０狓＝５２０．
系数化为１，得
狓＝５２．
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为５２ｍ２．
ጷ˸
１．解下列方程：
（１）１５狓－１４（３－２狓）＝１；　　　　（２）１－１６（狓－１２）＝１２（狓＋１）；
（３）３２狓－２－１２（２－狓）
熿燀
燄燅＝５；　（４）１．２狓
０．８－狓－１．４
０．２＝２１．
２．一辆客车和一辆卡车同时从Ａ地出发沿同一公路同方向匀速行驶，客
车的行驶速度是７０ｋｍ／ｈ，卡车的行驶速度是６０ｋｍ／ｈ，客车比卡车早
１ｈ经过Ｂ地．求Ａ，Ｂ两地相距的路程．
３．某地发生地震，救援指挥部计划将一批救援物资运抵震区．已知有两种
货车，载重量分别为８ｔ和１０ｔ．如果用载重量为８ｔ的货车若干辆，刚
好装满；如果用载重量为１０ｔ的货车可少用１辆，且有一辆车差６ｔ没
装满．这批救援物资有多少吨？
１２
第十一章　一元一次方程

ܭ˸ ڍ
１．解下列方程：
（１）狓＋３狓＝－１６；　　　　　　　　（２）１６狔－２．５狔－７．５狔＝５；
（３）３狓＋５＝４狓＋１；　　　
（４）９－３狔＝５狔＋５．
２．解下列方程：
（１）５犮＋（２－４犮）＝０；
（２）２５犫－（犫－５）＝２９；
（３）７狓＋２（３狓－３）＝２０；
（４）８狔－３（３狔＋２）＝６．
３．解下列方程：
（１）３狓＋５
２＝２狓－１
３；
（２）狓－３
－５＝３狓＋４
１５；
（３）３狔－１
４－１＝５狔－７
６；
（４）５狔＋４
３＋狔－１
４＝２－５狔－５
１２．
４．用方程解答下列问题：
（１）狓的５倍与２的和等于狓的３倍与４的差，求狓；
（２）狔与－５的积等于狔与５的和，求狔；
（３）狓与４的和的１．２倍等于狓与１４的差的３．６倍，求狓；
（４）狔的３倍与１．５的和的１２等于狔与１的差的１４，求狔．
５．用一根６０ｍ长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的１．５倍．长方形的长
和宽各应是多少？
６．几个人共同种一批树苗，如果每人种１０棵，则剩下６棵树苗未种；如果每人
种１２棵，则缺６棵树苗．求参加种树的人数．
７．买两种布料共６４ｍ，花了５５０元，其中蓝布料每米８元，黑布料每米９元．
两种布料各买了多少米？
፬Ռᤂၹ
８．一个两位数的个位上数字的３倍加１是十位上的数字，个位上的数字与十位
上数字的和等于９．这个两位数是多少？
９．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步
推广．喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式．
灌溉三块同样大的田地，第一块用漫灌方式，
第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式．后两
２２
第十一章　一元一次方程
种方式的用水量分别是漫灌的２５％和１５％．
（１）设第一块田地用水狓ｔ，则另两块田地的用水量各如何表示？
（２）如果三块田地共用水４２０ｔ，三块田地各用水多少吨？
１０．某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产．去年１０月该厂生产再生纸
２０５０ｔ，比前年１０月再生纸产量的２倍还多１５０ｔ．前年１０月该造纸厂生产
再生纸多少吨？
１１．张华和李明登一座山．张华平均每分钟登高１０ｍ，并且先出发３０ｍｉｎ，李明
平均每分钟登高１５ｍ，两人同时登上山顶．设张华登山用了狓ｍｉｎ．
（１）如何用含狓的代数式表示李明登山所用时间？
（２）试用方程求狓的值．由狓的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？
１２．两辆汽车分别从相距８４ｋｍ的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的
速度快２０ｋｍ／ｈ，半小时后两车相遇．两车的速度各是多少？
１３．在风速为２４ｋｍ／ｈ的条件下，一架飞机顺风从Ａ机场飞到Ｂ机场要用２．８ｈ，
它逆风飞行同一航线要用３ｈ．求：
     ʷ  ̄
  ʼ  پ  ̋
  О
　（第１４题）
（１）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；
（２）两机场之间的航程．
１４．如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一
列的三个日期数之和能否为３０？如果能，这三
个日期数分别是多少？
１５．为举办迎新年联欢会，七年级（１）班计划用一
部分班费购买大、小两种型号的节日气球，其中大号气球每个０．８元，小号
气球每个０．５元．这部分班费如果全部用于购买大号气球，则比购买相同数
量的小号气球多花３０元．七年级（１）班计划用多少元班费购买气球？
   ጊ
１６．李明骑自行车从Ａ地到Ｂ地，刘伟骑自行车从Ｂ地到Ａ地，两人沿同一公路
匀速前进．已知两人在上午８时同时出发，到上午８时半，两人相距９ｋｍ，到
上午９时，两人又相距９ｋｍ．求Ａ，Ｂ两地相距的路程．
１７．一列火车匀速行驶，经过一条长３００ｍ的隧道需要２０ｓ的时间．隧道的顶上
有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是１０ｓ．
（１）设火车长狓ｍ，用含狓的代数式表示：从车头经过灯下到车尾经过灯
下，火车所走的路程和这段时间内火车的速度．
３２
第十一章　一元一次方程
（２）设火车长狓ｍ，用含狓的代数式表示：从车头进入隧道到车尾离开隧
道，火车所走的路程和这段时间内火车的速度．
（３）求这列火车的长度．
 ቃˁԧဘ
 ቃˁԧဘ
 ቃˁԧဘ
无限循环小数化分数
我们知道分数１３可以写成小数０．３
，反过来，无限循环小数０．３
可以
写成分数１３．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数狆狇（狆，狇是
整数，狇≠０）的形式吗？如果可以，应怎样写呢？
先以无限循环小数０．７
为例进行讨论．
设０．７
＝狓，由０．７
＝０．７７７…可知，１０狓＝７．７７７…，所以１０狓－狓＝７．
解方程，得狓＝７９．于是，０．７
＝７９．
想一想：如何把像０．１
，０．２
，…，０．９
这样的无限循环小数化为分数
形式？动手试一试．
再以无限循环小数０．７
３
为例，作进一步的讨论．
无限循环小数０．７
３
＝０．７３７３７３…，它的循环节有两位，类比上面的
做法，可以想到：
设０．７
３
＝狓，由０．７
３
＝０．７３７３７３…可知，１００狓＝７３．７３７３…，所以
１００狓－狓＝７３．解方程，得狓＝７３９９．于是０．７
３
＝７３９９．
想一想：如何把像０．１
０
，０．１
２
，…，０．９
８
这样的无限循环小数化为
分数形式？动手试一试．
想一想：如何把无限循环小数０．７
３５
，０．８
２３１
化为分数形式？动手试
一试，并总结把无限循环小数化为分数形式的一般方法．
４２
第十一章　一元一次方程
１１．３实际问题与一元一次方程
从前面的学习可以看出，方程是分析和解决问题的一种
很有用的数学工具．本节我们重点研究如何用一元一次方程
解决实际问题．
例１　某车间有２２名工人，每人每天可以生产１２００个螺栓或２０００个螺
母．１个螺栓需要配２个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排
生产螺栓和螺母的工人各多少名？
分析：每天生产的螺母数量是螺栓数量的２倍时，它们刚好配套．
如果设狓名工人生
产螺母，怎样列方程？
解：设应安排狓名工人生产螺栓，（２２－狓）名
工人生产螺母．
根据螺母数量应是螺栓数量的２倍，列得方程
２０００（２２－狓）＝２×１２００狓．
这类问题中配套的
物品之间具有一定的数
量关系，这可以作为列
方程的依据．
解方程，得
狓＝１０．
进而
２２－狓＝１２．
答：应安排１０名工人生产螺栓，１２名工人生
产螺母．
例２　整理一批图书，由１人整理需要４０ｈ完成．现计划由一部分人先整
理４ｈ，然后增加２人与他们一起整理８ｈ，完成这项工作．假设这些人的工作
效率相同，应先安排多少人进行整理？
分析：如果把总工作量设为１，则人均效率（１人１ｈ完成的工作量）为
１４０，狓人先整理４ｈ完成的工作量为４狓４０，增加２人后再整理８ｈ完成的工作量
为８（狓＋２）
４０，这两个工作量之和应等于总工作量．
解：设先安排狓人整理４ｈ．
５２
第十一章　一元一次方程
这类问题中常常把
总工作量看作１，并利
用“工作量＝人均效率×
人数×时间”的关系考
虑问题．
根据先后两个时段的工作量之和等于总工作
量，列得方程
４狓４０＋８（狓＋２）
４０＝１．
解方程，得
狓＝２．
答：应先安排２人进行整理．
ᑿ3
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
 ᬅ᫈ᮥ
 



ᰎ
᝺ ᅼ Ὂѵ ሮ
ʷЋʷ  ሮ
ʷЋʷ  ሮᄊᝍ
 ᬅ᫈ᮥ
ᄊን 
ᝍ
 
ሮ
    
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方
程、解方程、检验所得结果、确定答案．正确分析问题中的相等关系是列
方程的基础．
ጷ˸
１．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要１２天，由乙工程队单独铺设需要２４
天．如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？
２．在一次劳动课上，有２７名同学在甲处劳动，有１９名同学在乙处劳动．
现在从其他班级另调２０人去支援，使得在甲处的人数为在乙处人数的
２倍，应调往甲、乙两处各多少人？
３．一台仪器由１个Ａ部件和３个Ｂ部件构成．用１ｍ３钢材可以做４０个Ａ
部件或２４０个Ｂ部件．现要用６ｍ３钢材制作这种仪器，应用多少钢材
做Ａ部件，多少钢材做Ｂ部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制
成多少台仪器？
６２
第十一章　一元一次方程
有些实际问题中的数量关系比较隐蔽，需要仔细分析才能列出方程．下面
我们进一步探究几个这样的问题．
ᣏ/

销售中的盈亏
一商店以每件６０元的价格卖出两件衣服，
其中一件盈利２５％，另一件亏损２５％，卖这两
件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
可以先大体估计盈
亏，再通过准确计算检
验你的判断．
分析：有同学可能认为，一件盈利２５％，另一
件亏损２５％，合起来是不盈不亏；实际上，是盈是
亏要看这家商店买进这两件衣服时共花了多少钱．
如果总售价大于总进价就盈利，总售价小于总进价
就亏损，相等就不盈不亏．
假设一件商品的进价是４０元，如果卖出后盈利２５％，那么商品利润是
４０×２５％元；如果卖出后亏损２５％，那么商品利润是４０×（－２５％）元．
在本问题中，设盈利２５％的那件衣服的进价是狓元，它的商品利润就是
０．２５狓元．根据进价与利润的和等于售价，列得方程
狓＋０．２５狓＝６０．
解得
狓＝４８．
类似地，可以设另一件衣服的进价为狔元，它的商品利润是－０．２５狔元，
列得方程
狔－０．２５狔＝６０．
解得
狔＝８０．
两件衣服的总进价是４８＋８０＝１２８（元），而两件衣服的总售价是６０＋６０＝
１２０（元），总售价小于总进价，由此可知卖这两件衣服共亏损８元．
列、解方程后得出的结论与你先前的估计一致吗？通过对本题的探究，你
对方程在实际问题中的应用有什么新的认识？
７２
第十一章　一元一次方程
ጷ˸
１．某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少１０元，而它们的售
后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为３０％，每个大书包的利
润率为２０％．试求两种书包的进价．
２．一件商品按成本价提高２０％后标价，再打八折销售，售价为１４４元．售
出这件商品是盈利还是亏损？
ᣏ/

球赛积分表问题
表１１３１　某次篮球联赛积分
队名比赛场次
胜场
负场
积分
前进
１４
１０
４
２４
东方
１４
１０
４
２４
光明
１４
９
５
２３
蓝天
１４
９
５
２３
雄鹰
１４
７
７
２１
远大
１４
７
７
２１
卫星
１４
４
１０
１８
钢铁
１４
０
１４
１４
（１）胜一场和负一场各积多少分？
（２）用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系．
（３）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
分析：（１）观察表１１．３１，从最下面一行数据可以看出，负一场积１分．
设胜一场积狓分，由表１１．３１中其他任何一行可以列方程，求出狓的值．
例如，由第一行得方程
１０狓＋１×４＝２４．
解得
狓＝２．
用表１１．３１中其他行可以验证，得出结论：胜一场积２分，负一场积１分．
８２
第十一章　一元一次方程
（２）若一支球队胜犿场，则负（１４－犿）场，胜场积分为２犿，负场积分
为１４－犿，总积分为
２犿＋（１４－犿），
即
犿＋１４．
（３）设一支球队胜了狔场，则负了（１４－狔）场．若这支球队的胜场总积
分等于负场总积分，则得方程
２狔＝１４－狔．
解得
狔＝１４３．
这个问题说明：利
用方程不仅能求具体数
值，而且可以进行推理
判断．
想一想，狔表示什么量？它可以不取整数吗？
由此你能得出什么结论？
解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符
合实际．因为狔（所胜的场数）的值必须是整数，
所以狔＝１４３不符合实际，由此可以判定没有哪支球
队的胜场总积分等于负场总积分．
上面的问题说明，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否
正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．
ጷ˸
１．在足球联赛中，胜一场得３分，平一场得１分，负一场得０分．某队９
场比赛保持不败．
（１）如果这支球队９场比赛得到的积分是２１分，你能算出这９场比赛
中的胜场数和平场数吗？
（２）这支球队９场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？
２．下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其
中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．
９２
第十一章　一元一次方程
年级
课外小组活动
总时间／ｈ
文艺小组
活动次数
科技小组
活动次数
七年级
１２．５
４
３
八年级
１０．５
３
３
九年级
７
请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表．
ᣏ/

不同能效空调的综合费用比较





ᏲᑟͰ
Ᏺᑟᰴ
中国能效标识
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．
某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，表１１．３２是
这两款空调的部分基本信息．如果电价是０．５元／（ｋＷ·ｈ），
请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低．
表１１３２　两款空调的部分基本信息
匹数
能效等级
售价／元
平均每年
耗电量／（ｋＷ·ｈ）
１．５
１级
３０００
６４０
１．５
３级
２６００
８００
分析：在这个问题中，
综合费用＝空调的售价＋电费．
选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关．
设空调的使用年数是狋，则１级能效空调的综合费用（单位：元）是
３０００＋０．５×６４０狋，
即
３０００＋３２０狋．
３级能效空调的综合费用（单位：元）是
２６００＋０．５×８００狋，
０３
第十一章　一元一次方程
即
２６００＋４００狋．
先来看狋取什么值时，两款空调的综合费用相等．
列方程
３０００＋３２０狋＝２６００＋４００狋，
解得
狋＝５．
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示３级能效空调的综合费用的式
子２６００＋４００狋变形为１级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即
（３０００＋３２０狋）＋（８０狋－４００），
也就是
３０００＋３２０狋＋８０（狋－５）．
这样，当狋＜５时，８０（狋－５）是负数，这表明３级能效空调的综合费用较低；当
狋＞５时，８０（狋－５）是正数，这表明１级能效空调的综合费用较低．
通常，１级能效空
调既节能又省钱！
由此可见，同样是１．５匹的空调，１级能效空
调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超
过５年）时综合费用反而低．根据相关行业标准，
空调的安全使用年限是１０年（从生产日期计起），
因此购买、使用１级能效空调更划算．
ጷ˸
１．在甲复印店用Ａ４纸复印文件，复印页数不超过２０时，每页收费０．１２
元；复印页数超过２０时，超过部分每页收费降为０．０９元．在乙复印店
用Ａ４纸复印文件，不论复印多少页，每页都收费０．１元．复印页数为
多少时，两店的收费相同？
２．现有两种地铁机场线计次月票：第一种售价２００元，每月包含１０次；
第二种售价３００元，每月包含２０次．两种月票超出每月包含次数后，
都需要另外购票，票价为２５元／次．某人每月乘坐地铁机场线超过１０
次，他购买哪种月票比较节省费用？
１３
第十一章　一元一次方程

ܭ˸ ڍ
１．结合本节内容体会例２后归纳的框图．
２．制作一张桌子要用１个桌面和４条桌腿，１ｍ３木材可制作２０个桌面，或者制
作４００条桌腿．现有１２ｍ３木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
３．某车间每天能制作５００个甲种零件，或２５０个乙种零件（同一天内不能同时
制作这两种零件），甲、乙两种零件各１个配成１套产品．现要用３０天制作最
多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？
４．某项工作由甲、乙两人单独做分别需要７．５ｈ和５ｈ．如果让甲、乙两人一起
工作１ｈ，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？
５．整理一批数据，由１人整理需８０ｈ完成．现在计划先由一些人整理２ｈ，再增
加５人整理８ｈ，完成这项工作的３４．怎样安排参与整理数据的具体人数？
፬Ռᤂၹ
６．用Ａ型和Ｂ型机器生产同样的产品，已知５台Ａ型机器一天生产的产品装满
８箱后还剩４个，７台Ｂ型机器一天生产的产品装满１１箱后还剩１个，每台Ａ
型机器比Ｂ型机器一天多生产１个产品．求每箱装多少个产品．
７．下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设温度的变化是均匀的．
时间／ｍｉｎ
０
５
１０
１５
２０
２５
温度／℃
１０
２５
４０
５５
７０
８５
（１）实验进行２１ｍｉｎ时的温度是多少？
（２）实验进行多长时间的温度是３４℃？
８．某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装２块大月饼和４块小月饼．
制作１块大月饼要用０．０５ｋｇ面粉，制作１块小月饼要用０．０２ｋｇ面粉．现有
面粉４５００ｋｇ，应各用多少面粉制作两种月饼，才能生产最多的盒装月饼？
９．李明和刘伟分别从Ａ，Ｂ两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条
道路相向匀速而行，出发２４ｍｉｎ后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进
４．８ｋｍ，相遇后６ｍｉｎ李明到达Ｂ地．两人每小时分别行进多少千米？相遇
后经过多长时间刘伟到达Ａ地？
２３
第十一章　一元一次方程
１０．商店对某商品降价２０％促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销
售时增加百分之几？
１１．甲组的４名工人３月份完成的总工作量比此月人均定额的４倍多２０件，乙组
的５名工人３月份完成的总工作量比此月人均定额的６倍少２０件．
（１）如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？
（２）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的多２件，那么此月人
均定额是多少件？
（３）如果甲组工人此月人均实际完成的工作量比乙组的少２件，那么此月人
均定额是多少件？
   ጊ
１２．将探究２的积分表换为你们学校某次足球联赛（或其他联赛）积分表，请你
根据积分表提出一些数学问题并加以解决．
１３．希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：
“他生命的六分之一是幸福的童年；
再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；
丢番图（Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ，
活动于２５０年前后）
又度过了一生的七分之一，他结了婚；
再过五年，他有了儿子，感到很幸福；
可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；
儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长
辞了．”
根据以上信息，请你算出：
（１）丢番图的寿命；
（２）丢番图开始当爸爸时的年龄；
（３）儿子死时丢番图的年龄．
１４．下面是某购物平台的两种图书促销方式．
方式一：满１００元减５０元．
方式二：单件打六折．
考虑下列问题：
（１）设某本书的原价为狋元，列表说明当狋在不同范围内取值时，按两种方
式购买分别需要支付的金额．
（２）观察你的列表，你能从中发现如何根据图书的原价选择省钱的购买方式
吗？通过计算验证你的想法．
３３
第十一章　一元一次方程
᫞឴
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᫞឴
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᫞឴
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初步认识数学模型
什么是模型呢？模型可以是按照一定比例缩小的实物，如建筑模型（图１）、
船舶模型；模型也可以是从实际问题抽象出的数学式子或计算机程序．模型有
物理模型、数学模型、生物模型（图２）、计算机仿真模型（图３）等．建立模
型通常是为了用简单的方法去描述现实，即通过研究简化了的模型，来把握现
实世界的本质或规律．具体到数学模型，就是要抽象出现实世界中的事物或因
素之间的关系，然后用数学表达式（数字、字母和数学符号构成的等式和不等
式等）、表格、图象、框图或计算机程序等来表示．
图１
　　　　
图２
　　　　
图３
方程就是一类常见的重要数学模型．从初等数学中简单的代数方程（如一
元一次方程），到高等数学中复杂的微分方程、积分方程等，无论方程的类型如
何变化，方程模型本质上表示的都是一种相等关系，即方程两边的式子表达的
是对同一个事物从不同角度或不同方面的刻画．因此，利用方程模型解决现实
问题时，关键是要分析并找到现实问题中蕴含的相等关系．
我们已经知道如何利用一元一次方程解决实际问题．这个过程实际上也反
映了建立数学模型解决实际问题的基本过程：首先构造数学模型，这需要对实
际问题进行分析，明确其中蕴含的关系或规律，可能还要作一些合理的假设，
将实际问题抽象成数学问题（数学模型）；然后求解数学模型，即解决数学问题
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本身；最后用数学结论解释并解决实
际问题，这时需要结合实际问题的意
义，来检验数学模型的解，有时候还
需要适当改进数学模型，最终得到实
际问题的答案．
４３
第十一章　一元一次方程
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居民生活用水通常按户计费．下表是某城市居民生活用水的收费标准
（户内人口不超过４人），称这样的收费方式为阶梯计价．
收费方式
年用水量／ｍ３
费用／（元／ｍ３）
第一阶梯
０～１８０
４．５
第二阶梯
１８１～２４０
６
第三阶梯
２４０以上
８
考虑如下问题：
（１）设某户居民的年用水量为狋ｍ３（狋是正整数）．请你列表说明，
当狋在不同范围内取值时，如何计费．
（２）已知某户居民一年的水费为９３０元，这户居民的年用水量是
多少？
（３）查阅资料，了解自己所在地区的城市居民生活用水收费标准．据
此你能提出一些数学问题并加以解决吗？
（４）查阅资料，了解生活中还有哪些阶梯计价问题（如电费、停车
场收费、出租车收费等），根据相应的收费标准，自己提出可以利用一元
一次方程解决的问题，并正确地表述问题及其解决过程．
用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验：
（１）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木
杆的支点；
（２）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡；
（３）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右
移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离；
（４）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向
右移动，直至左右平衡，记录此时支点与木杆左右两边挂重物处的距离；
５３
第十一章　一元一次方程
（５）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录．
根据记录你能发现什么规律？
如图１，在木杆右端挂一重物，支点左边挂狀个重物，并使左右平
衡．设木杆长为犾ｃｍ，支点在木杆中点处，支点与木杆左边挂重物处的
距离为狓ｃｍ，把狀，犾作为已知数，列出关于狓的一元一次方程．
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图１
６３
 ፇ
ʷnj ቦᅼគፇ ڏ̄
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第十一章　一元一次方程
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方程是一种描述现实世界的重要的数学模型．在本章，我们结合一些
实际问题，学习了方程的有关概念，并重点研究了最基本的方程———
一元一次方程，为进一步学习方程打下基础．
方程是含有未知数的等式，解方程就是求出方程中的未知数的值．解
以狓为未知数的方程，就是把方程逐步转化为狓＝犿（常数）的形式．
一元一次方程是只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未
知数的次数都是１的方程．一元一次方程都可以化为标准形式犪狓＋犫＝０
（其中狓是未知数，犪，犫是已知数，并且犪≠０）．解一元一次方程是使方
程形式逐步化简，最终得出未知数的值．在此过程中，化归的思想起了重
要作用，而等式的性质及运算律是化归的根据．
利用方程解决实际问题，应认真分析其中的数量关系，关键是要找
出相等关系，由此设未知数、列方程，从而把实际问题转化为数学问题；
然后通过解方程获得数学结论；最后用数学结论解释实际问题．这是一个
“实际问题—数学问题—实际问题”的过程．今后，我们还将不断经历这
７３
第十一章　一元一次方程
一过程，提高用数学解决实际问题的能力．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明方程与等式之间的关系以及一元一次方程的特征．
２．回顾等式的性质，说明解方程和等式的性质之间有什么关系．
３．回顾解一元一次方程的一般步骤，结合例子体会：解关于狓的一
元一次方程，就是运用等式性质和运算律，根据方程的具体特点，通过
灵活变形将方程逐步化简，最后变为狓＝犿（常数）的形式而得解．
４．你能举例说明用字母表示数、列代数式和列方程的区别和联系吗？
５．在用方程解决实际问题的过程中，要特别关注从实际问题中分析
出相等关系，进而把实际问题转化为方程问题．你能举例对此加以说明吗？
６．请收集一些重要问题（如气候、节能环保、经济等）的有关数据，
经过分析后提出可以利用一元一次方程解决的问题，并正确地表述问题
及其解决过程．
ܭ˸ᮥ

ܭ˸ ڍ
１．列方程表示下列语句中的相等关系：
（１）某地２０２３年９月１０日的温差是４℃，这天最高气温是狋℃，最低气温是
５６狋℃；　
（２）某校七年级学生人数为狀，其中男生占４５％，女生有１１０人；
（３）一种商品每件进价为犪元，售价为进价的１．１倍，现每件的售价又降低１０
元，现售价为每件２１０元；
（４）在５天中，第一小组共植树６０棵，第二小组共植树狓（狓＜６０）棵，平均每
天第一小组比第二小组多植２棵树．
２．指出狓＝１，狓＝２，狓＝３各是下列哪个方程的解：
（１）３狓－３＝２狓；　　　　　　　　　　（２）０．３狓－３０＝－９．７－２０狓；
（３）３２狓－３＝２狓－４．
８３
第十一章　一元一次方程
３．解下列方程：
（１）４３－８狓＝３－１１２狓；　　　　　　
（２）０．５狓－０．７＝６．５－１．３狓；
（３）１６（３狓－６）＝２５狓－３；　
（４）１－２狓
３＝３狓＋１
７－３．
４．当狓为何值时，下列各组中两个式子的值相等？
（１）狓－狓－１
３和７－狓＋３
５；　　　
（２）２５狓＋狓－１
２和３（狓－１）
２－８５狓．
５．在梯形面积公式犛＝１２（犪＋犫）犺中，
（１）已知犛＝３０，犪＝６，犺＝４，求犫；
（２）已知犛＝６０，犫＝４，犺＝１２，求犪；
（３）已知犛＝５０，犪＝６，犫＝５３犪，求犺．
６．李明在超市买了４瓶矿泉水和２条毛巾，共花了２２元．已知１瓶矿泉水的售价
是１．５元，１条毛巾的售价是多少元？
፬Ռᤂၹ
７．在北京２０２２年冬奥会上，中国代表团共获得１５枚奖牌，其中金牌数比银牌数多
５枚，银牌数比铜牌数多２枚．中国代表团一共获得多少枚金牌？
８．（我国古代问题）? 跑得快的马每天走２４０里，跑得慢的马每天走１５０里．慢马
先走１２天，快马几天可以追上慢马？
９．某人年初购买了Ａ，Ｂ两只基金共２００００元，年底卖出后发现两只基金的实际
收益恰好相等，且实际收益率分别为４．４％和３．６％．Ａ，Ｂ两只基金各购买了多
少元？
９３
? 这道题选自我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（１２９９年）．原题是：
“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日
追及之．”题中的“里”是我国古代长度单位．
　
第十一章　一元一次方程
１０．李明和刘伟在６００ｍ环形跑道上跑步．李明平均每分钟跑１９０ｍ，刘伟平均每
分钟跑２１０ｍ．两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？又经过
多长时间再次相遇？
１１．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住６只鸽子，则剩余３只鸽子无鸽笼可
住；如果再飞来５只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住８只鸽子．原来
有多少只鸽子和多少个鸽笼？
１２．父亲和女儿现在的年龄之和是９１，当父亲的年龄是女儿现在年龄的２倍时，女
儿的年龄是父亲现在年龄的１３．求女儿现在的年龄．
   ጊ
１３．学校组织知识竞赛，共设２０道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了
５名参赛同学的得分情况．
参赛者答对题数答错题数得分
Ａ
２０
０
１００
Ｂ
１９
１
９４
Ｃ
１８
２
８８
Ｄ
１４
６
６４
Ｅ
１０
１０
４０
（１）同学Ｆ得了７６分，他答对了几道题？
（２）同学Ｇ说他得了８０分，你认为可能吗？为什么？
１４．一家游泳馆每年６月—８月出售夏季会员证．每张会员证１２０元，只限本人使
用，凭会员证购入场券每张１５元，不凭会员证购入场券每张２０元．讨论并回
答下列问题：
（１）在什么情况下，使用会员证与不使用会员证付一样的钱？
（２）在什么情况下，使用会员证比不使用会员证更合算？
（３）在什么情况下，不使用会员证比使用会员证更合算？
１５．“丰收１号”油菜籽平均每公顷的产量为２４００ｋｇ，含油率为４０％．“丰收２号”
油菜籽比“丰收１号”平均每公顷的产量提高了３００ｋｇ，含油率提高了１０个
百分点．某村去年种植“丰收１号”油菜，今年改种“丰收２号”油菜，虽然
种植面积比去年减少了３ｈｍ２，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高了
３７５０ｋｇ．这个村去年和今年油菜的种植面积各是多少公顷？
０４
第十二章　相交线与平行线
你对两条直线相交、平行一定不陌生吧！菜园篱笆上交叉的竹竿，笔直的
公路上的车行道线，大桥的吊索、钢梁上的钢条，棋盘中的横线和竖线，教室
里课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边……都给我们以相交线或平行
线的形象．你能再举出一些相交线和平行线的实例吗？
在第十章中，我们认识了几何图形，并学习了一些基本的平面图形———直
线、射线、线段和角．本章我们将学习平面内不重合的两条直线的位置关系：
相交与平行．对于相交，要研究两条直线相交所成的角的位置关系和数量关
系；对于平行，要借助一条直线与另外两条直线相交所成的角，研究平行线的
判定和性质．在此基础上，还要学习图形的平移等．在本章中获得的知识，是
后面学习三角形、四边形等平面图形的基础．
在本章中，我们还将学习通过简单的推理得出数学结论的方法，逐步养成
言之有据的思考习惯．
第十二章　相交线与平行线
１２．１相交线
在第十章中，我们认识了相交线，知道相交是直线之间
的一种基本位置关系，如何刻画这种位置关系呢？本节我们
借助直线相交所成的角的位置关系和数量关系，研究相交线．
１２１１　两条直线相交
b
a
图１２．１１
如图１２．１１，取两根木条犪，犫，将它们钉在一
起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线
的模型．在转动木条的过程中，它们所成的角也在
变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？
ᣏ/
1
2
3
4
A
B
C
D
O
图１２．１２
任意画两条相交的直线，形成四个角（图１２．１
２），∠１和∠２有怎样的位置关系？∠１和∠３呢？
分别量一下各个角的度数，∠１和∠２的度
数有什么关系？∠１和∠３呢？
利用信息技术工具，改变两条直线相交所成
的角的大小，上述关系还保持吗？为什么？
∠１和∠２有一条公共边犗犆，它们的另一边互为反向延长线（∠１和∠２
互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角．
图１２．１２中还有没有
其他邻补角与对顶角？
∠１和∠３有一个公共顶点犗，并且∠１的两边
分别是∠３的两边的反向延长线，具有这种位置关
系的两个角，互为对顶角．
在图１２．１２中，∠１＝∠３．这个结论还可以通过补角的性质得到：∠１与
∠２互补，∠３与∠２互补，由“同角的补角相等”，可得∠１＝∠３．类似地，
可得∠２＝∠４．这样，可以得到对顶角的性质：
对顶角相等．
上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式：
２４
第十二章　相交线与平行线
因为　∠１与∠２互补，∠３与∠２互补，
所以　∠１＝∠３（同角的补角相等）．
b
a
1
2
3
4
　图１２．１３
例１　如图１２．１３，直线犪，犫相交，∠１＝４０°，
求∠２，∠３，∠４的度数．
解：由∠１和∠２互为邻补角，得
∠２＝１８０°－∠１＝１８０°－４０°＝１４０°．
由对顶角相等，得
∠３＝∠１＝４０°，∠４＝∠２＝１４０°．
ጷ˸
１．在下列各图中，∠１和∠２是不是对顶角？
1
2
2
1
1
2
2
1
（第１题）
２．如图，在相交线的模型中，如果两根木条犪，犫所成的角中有一个角∠α＝
３５°，其他三个角分别等于多少度？如果∠α等于９０°，１１５°，犿°呢？
Ü
b
a
（第２题）
　　　　　
A
B
C
D
O
（第３题）
３．如图，直线犃犅，犆犇相交于点犗，∠犃犗犆∶∠犅犗犆＝２∶７，则
∠犅犗犆＝
°，∠犃犗犇＝
°．
１２１２　两条直线垂直
垂直是相交的一种特殊情形．在相交线的模型（图１２．１１）中，固定木条犪，
转动木条犫．当犫的位置变化时，犪，犫所成的∠α也会发生变化．当∠α＝９０°时
３４
第十二章　相交线与平行线
（图１２．１４），这两根木条垂直．
Ü
b
b
a
图１２．１４
　　　　　
O
A
B
C
D
A
B
C
D
O
图１２．１５
一般地，当两条直线犪，犫相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我
们说犪与犫互相垂直（ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ），记作“犪⊥犫”．
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点
叫作垂足．在图１２．１５中，犃犅⊥犆犇，垂足为犗．
由上可知，如果两条直线相交所成的四个角中
反过来，如果犃犅⊥
犆犇，那么∠犃犗犇是多
少度？写出这个推理
过程．
有一个角等于９０°，那么这两条直线互相垂直．在图
１２．１５中，如果直线犃犅，犆犇相交于点犗，
∠犃犗犇＝９０°，那么犃犅⊥犆犇．这个推理过程可以
写成下面的形式：
因为　∠犃犗犇＝９０°，
所以　犃犅⊥犆犇．
在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，例如图１２．１６中窗户
上互相垂直的木条、网球拍上互相垂直的网线．你能再举出其他例子吗？
图１２．１６
４４
第十二章　相交线与平行线
接下来我们研究互相垂直的两条直线的性质．
ᣏ/
如图１２．１７，用三角尺或量角器画已知直线犾的垂线．
（１）经过直线犾上一点犃画犾的垂线，这样的垂线能画出几条？
（２）经过直线犾外一点犅画犾的垂线，这样的垂线能画出几条？
l
A
l
B
图１２．１７
可以发现，经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条
垂线，并且只能画出一条垂线．由此得到关于垂线的基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
例２　如图１２．１８，过点犘画出射线犃犅或线段犃犅的垂线．
画一条射线或线段
的垂线，就是画它们所
在直线的垂线．
A
B
P
P
A
B
P
A
B
图１２．１８
解：如图１２．１９所示．
P
A
B
P
A
B
A
B
P
O
O
图１２．１９
５４
第十二章　相交线与平行线
我们再来研究互相垂直的两条直线的另一个性质．
ᕊ5
P
图１２．１１０
如图１２．１１０，在灌溉时，要把河中的水引到
农田犘处，如何挖渠能使渠道最短？
ᣏ/
P
l
O
A
图１２．１１１
如图１２．１１１，犘是直线犾外一点，犘犗⊥犾，
垂足为犗，我们称犘犗为点犘到直线犾的垂线段．
犃是直线犾上除点犗外一点，连接犘犃．测量并比较
线段犘犗与犘犃的长度，你能得到什么结论？改变
点犃的位置呢？
你也可以利用信息技术工具，在直线犾上拖动
点犃，改变点犃的位置，探究犘犗与犘犃的长度关系．
可以发现，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．
对于图１２．１１０，现在你知道如何挖渠能使渠道最短了吗？
ጷ˸
A
B
C
D
P
（第２题）
１．当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条
直线有什么位置关系？为什么？
２．如图，分别过点犘画直线犃犅，犆犇的垂线，并量
出点犘到直线犃犅的距离．
A
B
C
（第３题）
３．如图，在三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°．
（１）分别指出点犃到直线犆犅，点犅到直线犃犆的
距离是哪些线段的长度；
（２）三条边犃犅，犃犆，犆犅中哪条边最长？为什么？
６４
第十二章　相交线与平行线
１２１３　两条直线被第三条直线所截
A
C
D
B
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
　图１２．１１２
前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的
情形，接下来，我们进一步研究同一平面内一条直
线与两条直线分别相交的情形．
∠２和∠６是同位角
吗？图１２．１１２中还有
没有其他同位角？若有，
标记出它们．
如图１２．１１２，直线犃犅，犆犇与犈犉相交（也
可以说两条直线犃犅，犆犇被第三条直线犈犉所截），
构成八个角．我们已经学习了有公共顶点的角的关
系，下面我们看那些没有公共顶点的两个角的关系．
先看图１２．１１２中的∠１和∠５，这两个角分别
在直线犃犅，犆犇的同一侧（上方），并且都在直线
犈犉的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫
作同位角．
图１２．１１２中还有没
有其他内错角与同旁内
角？若有，标记出它们．
再看∠３和∠５，这两个角都在直线犃犅，犆犇
之间，并且分别在直线犈犉的两侧（∠３在直线犈犉
的左侧，∠５在直线犈犉的右侧），具有这种位置关
系的一对角叫作内错角．∠３和∠６虽然也都在直线
犃犅，犆犇之间，但是它们在直线犈犉的同一旁（左
侧），具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角．
A
C
D
B
E
1
2
3
4
图１２．１１３
例３　如图１２．１１３，直线犇犈，犅犆被直线犃犅
所截．
（１）∠１和∠２，∠１和∠３，∠１和∠４各是什
么位置关系的角？
（２）如果∠１＝∠４，那么∠１和∠２相等吗？
∠１和∠３互补吗？为什么？
解：（１）∠１和∠２是内错角，∠１和∠３是同旁内角，∠１和∠４是同
位角．
（２）如果∠１＝∠４，又由对顶角相等，可得∠２＝∠４，因此∠１＝∠２．
因为∠４和∠３互补，所以∠４＋∠３＝１８０°．又因为∠１＝∠４，所以∠１＋
∠３＝１８０°，即∠１和∠３互补．
７４
第十二章　相交线与平行线
ጷ˸
１．分别指出下列各图中的同位角、内错角、同旁内角．
a
1
2
3
4
5
6
7
8
b
c
a
1
2
3
4
b
c
（第１题）
　　　
A
C
D
B
E
（第２题）
２．如图，∠犅与哪个角是内错角？与哪个角是同旁内角？它们分别是哪
两条直线被哪一条直线所截形成的？对∠犆进行同样的讨论．

ܭ˸ ڍ
A
B
C
D
O
E
F
（第１题）
１．如图，直线犃犅，犆犇，犈犉相交于点犗．
（１）写出∠犃犗犆，∠犅犗犈的邻补角；
（２）写出∠犇犗犃，∠犈犗犆的对顶角；
（３）如果∠犃犗犆＝５０°，求∠犅犗犇，∠犆犗犅的度数．
２．如图，在一张半透明的纸上画一条直线犾，在犾上任取
P
l
（第２题）
一点犘，在犾外任取一点犙，折出过点犘且与犾垂直的
直线．这样的直线能折出几条？为什么？过点犙呢？
３．如图，直线犃犅，犆犇相交于点犗，犈犗⊥犃犅，垂足
为犗，∠犈犗犆＝３５°．求∠犃犗犇的度数．
４．如图，画犃犈⊥犅犆，犆犉⊥犃犇，垂足分别为犈，犉．
A
B
O
D
E
C
（第３题）
　　　　　
A
B
C
D
（第４题）
８４
第十二章　相交线与平行线
፬Ռᤂၹ
５．如图，直线犃犅，犆犇相交于点犗，犗犃平分∠犈犗犆．
（１）若∠犈犗犆＝７０°，求∠犅犗犇的度数；
（２）若∠犈犗犆∶∠犈犗犇＝２∶３，求∠犅犗犇的度数．
A
B
C
D
O
E
（第５题）
　　　　　
ᡑ
᡺
ጳ
（第６题）
６．如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少
（比例尺为１∶１６０）？
７．如图，∠１和∠２，∠３和∠４各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们
各是什么位置关系的角？
A
C
D
B
1
2
3
4
A
B
E
C
D
1
2
3
4
（第７题）
   ጊ
A
C
B
l
（第８题）
８．如图，犃犅⊥犾，犆犅⊥犾，犅为垂足，那么犃，犅，犆三点在
同一条直线上吗？请说明理由．
９．直线犃犅，犆犇相交于点犗．
（１）犗犈，犗犉分别是∠犃犗犆，∠犅犗犇的平分线．画出这个
图形．
（２）射线犗犈，犗犉在同一条直线上吗？为什么？
９４
第十二章　相交线与平行线
᜺ ˁ࿯ 
᜺ ˁ࿯ 
᜺ ˁ࿯ 
看图时的错觉
观察以下图形，并回答提出的问题．
１．图１每组中的线段犪与犫哪一条长？
a
b
a
b
a
b
图１
２．图２每组中蓝色的圆犃和圆犅哪一个大？
A
B
B
A
图２
你对自己的结论有把握吗？利用刻度尺量一量，这时你的答案是什么？
要对事物作出某种判断，总是基于对这个事物的观察、实验与思考．其中
观察的结果是作出判断的重要依据，所以观察时必须认真、仔细．有时观察得
出的猜想不一定正确，还要借助于实验等进行验证．
图３每组中蓝色的线段互相平行吗？如何检验？学习了平行线的知识后，
你的检验方法会更多．
图３
０５
第十二章　相交线与平行线
１２．２平行线
除相交外，平行也是直线之间的基本位置关系，本节我
们将研究平行线．与相交线类似，我们借助两条直线被第三
条直线所截形成的角，研究平行线的判定与性质．
１２２１　平行线的概念
ᕊ5
如图１２．２１，将两根木条犪，犫分别与木条犮钉在一起，并把它们想
象成在同一平面内两端无限延伸的三条直线．固定木条犫和犮，转动木条
犪，直线犪从在犮的左侧与直线犫相交逐步变为在犮的右侧与直线犫相交．
想象一下，在这个过程中，有没有直线犪与直线犫不相交的位置呢？
a
b
c
b
c
a
b
a
c
图１２．２１
　图１２．２２
可以发现，在木条犪转动的过程中，存在直线犪与犫不相交的位置．在同
一平面内，当直线犪，犫不相交时，我们说直线犪与犫互相平行（ｐａｒａｌｌｅｌ），记
作“犪∥犫”．在同一平面内，不重合
的两条直线只有两种位置关系：相交
与平行．
在实际生活中，平行线随处可
见，例如农田中平行的田垄、建筑物
表面平行的栅格线（图１２．２２）．你
还能举出其他例子吗？
１５
第十二章　相交线与平行线
b
a
图１２．２３
可以借助直尺和三角尺画平行线．如图１２．２３，
保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线
犪，犫，则犪∥犫．
ᕊ5
B
a
C
图１２．２４
在图１２．２１转动木条犪的过程中，有几个位
置使得直线犪与犫平行？
如图１２．２４，过点犅画直线犪的平行线，能
画出几条？过点犆呢？
一般地，有如下关于平行线的基本事实：
c
b
a
图１２．２５
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
由以上基本事实，可以进一步得到如下结论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条
直线也互相平行．
也就是说：如果犫∥犪，犮∥犪，那么犫∥犮（图１２．２５）．
ጷ˸
１．如图，用直尺和三角尺画平行线：
（１）过点犃画犕犖∥犅犆；
（２）过点犆画犆犈∥犇犃，与犃犅交于点犈；过点犆画犆犉∥犇犅，与
犃犅的延长线交于点犉．
A
B
C
A
B
C
D
（第１题）
２．读下面的语句，并画出图形：点犘是直线犃犅外一点，直线犆犇经过点犘，
且与直线犃犅平行，直线犈犉经过点犘，且与直线犃犅垂直，垂足为犙．
２５
第十二章　相交线与平行线
１２２２　平行线的判定
我们已经知道，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平
行．但是，由于直线是无限延伸的，检验它们是否相交有困难，所以难以直接
根据两条直线不相交来判断它们是否平行．那么，有没有其他判定方法呢？
ᕊ5
在如图１２．２３利用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什
么样的作用？
b
a
c
1
2
图１２．２６
记图１２．２３中紧贴三角尺的直尺的边所在直线
为犮，得到图１２．２６．可以看出，画互相平行的直线
犪和犫，实际上就是分别画相等的∠１和∠２的一条
边，而∠１和∠２正是直线犪，犫被直线犮截得的同位
角．这说明，如果同位角∠１＝∠２，那么犪∥犫．
一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行
的基本事实：
判定方法１　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条
直线平行．
简单说成：同位角相等，两直线平行．
1
2
a
b
c
图１２．２７
例１　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条
直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应
角的关系来判断两条直线是否平行．
解：这两条直线平行．理由如下：
此处符号“∵”表
示“因为”，符号“∴”
表示“所以”．
如图１２．２７，
∵　犫⊥犪，
∴　∠１＝９０°．
同理　∠２＝９０°．
∴　∠１＝∠２．
又　∠１和∠２是同位角，
∴　犫∥犮（同位角相等，两直线平行）．
３５
第十二章　相交线与平行线
ጷ˸
１．如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？
２．如图，∠犃＝∠犇＝∠１，指出图中互相平行的直线，并说明理由．
（第１题）
　　　
A
B
C
D
E
1
F
（第２题）
　　　
1
2
l1
l2
l3
（第３题）
３．如图，直线犾１，犾２被直线犾３所截，∠１＝６０°，∠２＝１２０°，直线犾１，犾２
平行吗？为什么？
两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角．由同
位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直
线平行呢？
ᣏ/
c
4
1
a
b
2
3
图１２．２８
如图１２．２８，直线犪，犫被直线犮所截．
（１）内错角∠１与∠２满足什么条件时，能得出
犪∥犫？　
（２）同旁内角∠１与∠３满足什么条件时，能得出
犪∥犫？　
如果∠１＝∠２，由判定方法１，能得到犪∥犫，理由如下：
遇到一个新问题
时，常常把它转化为已
知的（或已解决的）
问题．
因为∠１＝∠２，而∠２＝∠４（为什么？），所以
∠１＝∠４，即同位角相等，从而犪∥犫．
这样，就得到了利用内错角判定两条直线平行
的方法：
判定方法２　两条直线被第三条直线所截，如
果内错角相等，那么这两条直线平行．
４５
第十二章　相交线与平行线
简单说成：内错角相等，两直线平行．
类似地，如果∠１与∠３互补，由判定方法１或判定方法２，能得到犪∥犫
（为什么？）．这样，就得到了利用同旁内角判定两条直线平行的方法：
判定方法３　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两
条直线平行．
简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
例２　如图１２．２９，犅犈平分∠犃犅犇，犇犈平分∠犅犇犆，∠１＋∠２＝９０°，
直线犃犅，犆犇是否平行？为什么？
解：直线犃犅与犆犇平行．理由如下：
A
B
C
D
E
1
2
图１２．２９
∵　犅犈平分∠犃犅犇，犇犈平分∠犅犇犆，
∴　∠犃犅犇＝２∠１，∠犅犇犆＝２∠２．
∵　∠１＋∠２＝９０°，
∴　∠犃犅犇＋∠犅犇犆＝２（∠１＋∠２）＝１８０°．
∴　犃犅∥犆犇（同旁内角互补，两直线平行）．
ጷ˸
１．对于前面的例１，你还能利用其他方法说明犫∥犮吗？
２．如图，犈是犃犅上一点，犉是犇犆上一点，犌是犅犆的延长线上一点．
（１）如果∠犇＝∠犇犆犌，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？
（２）如果∠犇＋∠犇犉犈＝１８０°，那么可以判断哪两条直线平行？为什么？
（３）添加一个条件，使直线犃犅与犆犇平行，并说明理由．
A
C
D
B
E
F
G
（第２题）
　　　
1
2
3
4
5
ID
D᳂
（第３题）
３．在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知∠２是直角，
要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角？为什么？
５５
第十二章　相交线与平行线
（第４题）
４．如图是两条道路互相垂直的交叉路口，你能
画出它的平面示意图（用两条平行线段表示
一条道路）吗？你能用类似的方法，画出两
条道路成４５°角的交叉路口的平面示意图吗？
１２２３　平行线的性质
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直
线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关
系呢？这就是下面要学习的平行线的性质．
类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条
直线截得的同位角的关系．
ᣏ/
2
1
3
4
5
6
7
8
b
a
c
图１２．２１０
如图１２．２１０，画两条平行线犪∥犫，然后任意
画一条截线犮与这两条平行线相交，度量所形成的
八个角的度数．
在∠１，∠２，…，∠８中，哪些是同位角？它
们的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三
条直线截得的同位角有什么关系．
利用信息技术工具改变截线犮的位置，同样度
量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？
一般地，平行线具有性质：
性质１　两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
简单说成：两直线平行，同位角相等．
ᕊ5
前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两
直线平行”．类似地，你能由性质１推出两条平行线被第三条直线截得的
内错角之间的关系吗？
６５
第十二章　相交线与平行线
2
1
a
b
c
3
　图１２．２１１
如图１２．２１１，直线犪∥犫，犮是截线．根据“两直线平
行，同位角相等”，可得∠１＝∠２．而∠３和∠２互为对顶
角，所以∠３＝∠２．所以∠３＝∠１．这样就得到了平行线的
另一个性质：
性质２　两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
简单说成：两直线平行，内错角相等．
类似地，由性质１或性质２，可以推出平行线关于同旁
内角的性质（请你自己完成推理过程）：
性质３　两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A
C
B
D
　图１２．２１２
简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
例３　图１２．２１２是一块梯形铁片的残余部分，量得
∠犃＝１００°，∠犅＝１１５°，梯形的另外两个角∠犇，∠犆分
别是多少度？
解：因为梯形上、下两底犇犆与犃犅互相平行，根据
“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠犃与∠犇互补，∠犅与∠犆互补．于是
∠犇＝１８０°－∠犃＝１８０°－１００°＝８０°，
∠犆＝１８０°－∠犅＝１８０°－１１５°＝６５°．
所以梯形的另外两个角∠犇，∠犆分别是８０°，６５°．
ጷ˸
１．如图，直线犪∥犫，∠１＝５４°，∠２，∠３，∠４各是多少度？
1
2
3
4
a
b
（第１题）
　　　　　　　　　　
A
C
D
B
E
（第２题）
２．如图，在三角形犃犅犆中，犇是犃犅上一点，犈是犃犆上一点，∠犃犇犈＝
６０°，∠犅＝６０°，∠犃犈犇＝４０°．
７５
第十二章　相交线与平行线
（１）犇犈和犅犆平行吗？为什么？
（２）∠犆是多少度？为什么？
３．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是
（填序号）．
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
（第３题）
①∠１＝∠２；
②∠４＋∠５＝１８０°；
③∠１＋∠４＝９０°；
④∠４＋９０°＝∠３．
1
3
a
b
c
d
2
图１２．２１３
前面我们学习了平行线的判定和性质，在解决问题
时，经常需要把它们结合起来使用．
例４　如图１２．２１３，已知直线犪∥犫，∠１＝∠３，那
么直线犮与犱平行吗？为什么？
分析：由于∠２和∠３是直线犮与犱被直线犫所截形
成的同位角，所以如果能推出∠２＝∠３，就可以判断直
线犮和犱是平行的．而已知∠１＝∠３，所以只需由直线
犪∥犫，推出∠１＝∠２．
解：直线犮与犱平行．理由如下：
你能用其他方法判定
直线犮与犱平行吗？
如图１２．２１３，
∵　犪∥犫，
∴　∠１＝∠２（两直线平行，内错角相等）．
又　∠１＝∠３，
∴　∠２＝∠３．
1
3
a
b
2
A
B
C
图１２．２１４
∴　犮∥犱（同位角相等，两直线平行）．
例５　如图１２．２１４，∠１＝∠２，∠３＝５０°，∠犃犅犆
等于多少度？
分析：由于∠３的大小是已知的，所以可以尝试推导
∠犃犅犆与∠３的大小关系．而由已知条件∠１＝∠２，可以
推出犪∥犫，从而可以得到∠犃犅犆＝∠３．
８５
第十二章　相交线与平行线
解：∵∠１＝∠２，
∴　犪∥犫（内错角相等，两直线平行）．
∴　∠３＝∠犃犅犆（两直线平行，同位角相等）．
又　∠３＝５０°，
∴　∠犃犅犆＝５０°．
ጷ˸
１．如图，如果直线犪∥犫，∠１＋∠２＝１８０°，那么直线犫和犮平行吗？为
什么？
1
a
b
c
2
（第１题）
　　　　　　
2
1
A
B
C
D
F
E
（第２题）
２．如图，犃犅∥犆犇，且∠１＝∠２，那么直线犅犈与犆犉平行吗？为什么？

ܭ˸ ڍ
１．读下列语句，并画出图形：
（１）直线犃犅垂直于犆犇，垂足是犗，点犘是直线犃犅上一点，直线犈犉经过
点犘且与直线犆犇平行；
（２）直线犃犅，犆犇相交于点犗，点犘是直线犃犅，犆犇外的一点，直线犘犈与
直线犆犇平行，且与直线犃犅相交于点犈．
A
B
C
D
O
E
（第２题）
２．如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁犇犈，
使犇犈∥犅犆．如果∠犃犅犆＝３１°，∠犃犇犈应为多
少度？
９５
第十二章　相交线与平行线
３．如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠犃是
１３５°，第二次的拐角∠犅是多少度？为什么？
A
B
（第３题）
　　　　　
（第４题）
４．如图，有一块方形玻璃，如何检验它相对的两条边是否平行？
５．如图，在下列条件中，能判断直线犪∥犫的是（　　）．
（Ａ）∠２＋∠５＝１８０°　　　　（Ｂ）∠２＝∠４
（Ｃ）∠４＋∠５＝１８０°
（Ｄ）∠１＝∠３
1
2
3
4
a
b
5
（第５题）
　　　
c
b
a
d
1
2
3
4
5
（第６题）　　　
b
40e
50e
c
d
e
a
40e
40e
（第７题）
６．如图，犪∥犫，直线犮，犱是截线，∠１＝８０°，∠５＝７０°．∠２，∠３，∠４各是
多少度？为什么？
７．找出图中互相平行的直线和互相垂直的直线．
፬Ռᤂၹ
８．当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，折射到空气中
也是平行的．如图，∠１＝４５°，∠２＝１２２°，求图中∠３，∠４的度数．
1
3
2
4
፧ึ๊
（第８题）
　　　
（第９题）　　　
A
B
C
D
E
F
（第１０题）
９．图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？
１０．如图，若犃犅∥犉犈，犅犆∥犇犈，则∠犈＋∠犅等于多少度？
０６
第十二章　相交线与平行线
１１．如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的．请你用平行条纹设计一些
图案，并与同学交流一下．
（第１１题）
   ጊ
１２．如图，当∠１＝∠３时，直线犪，犫平行吗？当∠２＋∠３＝１８０°时，直线犪，犫
平行吗？为什么？
1
2
a
3
b
c
（第１２题）　　　　　A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（第１３题）
１３．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系：
犃１犅１
犃犅，犃犃１
犃犅，犃１犇１
犇１犆１，犃犇
犅犆．
你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下．
１４．如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，
∠１＝∠２，∠３＝∠４，∠２和∠３有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和
离开潜望镜的光线是平行的？（提示：分析这两条光线被哪条直线所截．）
1
2
3
4
5
6
А
ጳ
（第１４题）
１６
第十二章　相交线与平行线
１２．３定义、命题、定理
前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描
述．例如：
（１）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
（２）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；
（３）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个
角的平分线；
（４）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．
这样的描述称为数学对象的定义（ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ）．一个数学对象的定义揭示
了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断．例如，
“数轴”指的是一条直线，而且这条直线上有规定的原点、正方向和单位长度；
根据方程的解的定义，可以判断狓＝３２是方程２狓＝３的解．
我们再来看一些可以判断正确与否的陈述语句，例如：
（１）等式两边加同一个数，结果仍相等；
（２）对顶角相等；
（３）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（４）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（５）如果一个数能被２整除，那么它也能被４整除．
容易判断，前４个语句都是正确的，第５个语句是错误的．像这样可以判
断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．被判
断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假
命题．数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后
接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．例如，在上面的命题（３）中，
“两条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论．
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出来，从而将它们写成
“如果……那么……”的形式．例如，命题“对顶角相等”可以写成“如果两
２６
第十二章　相交线与平行线
个角是对顶角，那么这两个角相等”．
由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命
题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误
的．例如，命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是正确的，命题“如果
两个角互补，那么它们是邻补角”是错误的．
ጷ˸
１．举出一些学过的定义的例子．
２．举出一些学过的真命题的例子．
３．指出下列命题的题设和结论：
（１）若犪＝犫，则５犪＝５犫；
（２）如果犃犅⊥犆犇，垂足为犗，那么∠犃犗犆＝９０°；
（３）如果∠１＝∠２，∠２＝∠３，那么∠１＝∠３；
（４）两直线平行，同位角相等．
在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题．其中有些命题是基
本事实，如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直
线平行”等．还有一些命题，如“对顶角相等” “内错角相等，两直线平行”，
它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理（ｔｈｅｏｒｅｍ）．定理也
可以作为继续推理的依据．
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理
过程叫作证明（ｐｒｏｏｆ）．下面以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直
于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明．
1
2
a
b
c
　图１２．３１
例　如图１２．３１，已知直线犪⊥犫，犫∥犮，求证犪⊥犮．
证明：∵　犪⊥犫（已知），
∴　∠１＝９０°（垂直的定义）．
∵　犫∥犮（已知），
∴　∠１＝∠２（两直线平行，同位角相等）．
∴　∠２＝９０°（等式的基本事实）．
∴　犪⊥犮（垂直的定义）．
３６
第十二章　相交线与平行线
由例题可以看出，证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这
些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．
A
B
C
O
1
2
图１２．３２
判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反
例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
例如，要判断命题“相等的角是对顶角”是错误的，
可以举出如下反例：在图１２．３２中，犗犆是∠犃犗犅的平
分线，∠１＝∠２，但它们不是对顶角．
ጷ˸
A
B
C
D
（第１题）
１．在下面的括号内，填上推理的依据．
如图，∠犃＋∠犅＝１８０°，求证∠犆＋∠犇＝１８０°．
证明：∵　∠犃＋∠犅＝１８０°，
∴　犃犇∥犅犆（
）．
∴　∠犆＋∠犇＝１８０°（
）．
２．命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举
出反例．

ܭ˸ ڍ
１．下列语句哪些是命题？哪些是真命题？
（１）如果犪＝犫，犫＝犮，那么犪＝犮；
（２）等角的补角相等；
（３）过一点作直线犾的垂线；
（４）两个锐角的和是钝角．
1
3
2
A
C
D
B
E
F
（第２题）
２．如图，用符号表示下列推理过程：
（１）因为∠１和∠２相等，根据“内错角相等，两直线
平行”，所以犃犅和犈犉平行；
（２）因为犇犈和犅犆平行，根据“两直线平行，同位角
相等”，所以∠１＝∠犅，∠３＝∠犆．
４６
第十二章　相交线与平行线
፬Ռᤂၹ
３．完成下面的证明．
（１）如图（１），犃犅∥犆犇，犅犆∥犈犇．求证∠犅＋∠犇＝１８０°．
证明：∵　犃犅∥犆犇，
∴　∠犅＝
（
）．
∵　犅犆∥犈犇，
∴　∠犆＋∠犇＝１８０°（
）．
∴　∠犅＋∠犇＝１８０°．
A
B
E
C
D
A
D
C
B
1
2
Ą
B
Ą
C
Ą
D
Ą
A
（第３题）
（２）如图（２），∠犃犅犆＝∠犃′犅′犆′，犅犇，犅′犇′分别是∠犃犅犆，∠犃′犅′犆′的
平分线．求证∠１＝∠２．
证明：∵　犅犇，犅′犇′分别是∠犃犅犆，∠犃′犅′犆′的平分线，
∴　∠１＝１２∠犃犅犆，∠２＝
（
）．
又　∠犃犅犆＝∠犃′犅′犆′，
∴　１２∠犃犅犆＝１２∠犃′犅′犆′ （
）．
∴　∠１＝∠２．
   ጊ
F
G
A
B
C
D
E
H
（第４题）
４．如图，平行直线犃犅，犆犇与犈犉相交，交点分别为犈，
犉，犈犌平分∠犃犈犉，犉犎平分∠犈犉犇，犈犌和犉犎平
行吗？为什么？
５６
第十二章　相交线与平行线
１２．４平移
在日常生活中，一些图案可以看成由其中的一部分平行移动得到，例如
图１２．４１中建筑物表面、瓷砖和织物上的图案等．这样的图案常常给人整齐、
和谐的感觉．你能再举出一些类似的例子吗？
图１２．４１
ᕊ5
仔细观察下面的图案（图１２．４２），它们有什么共同特征？能否根据
其中的一部分绘制出整个图案？
图１２．４２
可以发现，图１２．４２中的每个图案都是由一些相同的图形组成的，将其
中的一个图形平行移动，就可以得到整个图案．例如，图１２．４２（１）中的图
案是由大小相同的平行四边形组成的，将其中的一个平行移动，再涂上不同的
颜色，就可以得到整个图案．
一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形
运动叫作平移（ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ）．图形平移的方向不限于水平或竖直方向，图形可
以沿平面内任何方向平移．
６６
第十二章　相交线与平行线
下面我们研究平移前后图形的关系．
ᣏ/
如图１２．４３（１），把一张半透明的纸盖在一个四边形上，在纸上描出
四边形，然后将这张纸沿着某一方向移动一定距离．这两个四边形的形
状、大小有什么关系？
A
B
Ą
B
Ą
A
图１２．４３
如图１２．４３（２），在这两个四边形中，找出两组对应点犃与犃′，犅
与犅′，连接它们得到线段犃犃′，犅犅′，犃犃′和犅犅′有什么位置关系？测量
它们的长度，它们的长度有什么关系？
画出连接其他一些对
应点的线段，它们仍有类
似的关系吗？
可以发现，经过平移得到的四边形与原四边形
的形状、大小完全相同；连接两组对应点得到的线
段犃犃′与犅犅′平行，并且它们的长度相等，即
犃犃′∥犅犅′，并且犃犃′＝犅犅′．
事实上，对于平移前后的图形，都能发现类似的规律（你也可以利用平移
再画出一些图形进行研究）．于是，我们归纳出平移的性质．
ᑿ3
把一个图形平移，得到的新图形具有下列特点：
１．新图形与原图形的形状和大小完全相同．
２．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这
两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且
相等．
给定一个图形，可以画出这个图形平移后的图形．
例　如图１２．４４，平移三角形犃犅犆，使点犃移动到点犃′，画出平移后的
三角形犃′犅′犆′．
７６
第十二章　相交线与平行线
AĄ
A
B
C
图１２．４４
　　　　　
AĄ
A
B
C
BĄ
l
CĄ
图１２．４５
分析：要画出平移后的三角形犃′犅′犆′，关键是确定其三个顶点的位置．题
目中已知点犃的对应点犃′，由平移前后的图形对应点的连线平行且相等，即
可确定点犅，犆的对应点犅′，犆′的位置．
解：如图１２．４５，连接犃犃′，过点犅画犃犃′的平行线犾，在犾上截取犅犅′＝
犃犃′，则点犅′就是点犅的对应点．
类似地，作出点犆的对应点犆′，连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犃′，就得到了平移
后的三角形犃′犅′犆′．
实际上，几何图形都可以看作由点组成，对于一些规则的几何图形，只要
画出图形中的一些关键点经过平移后的对应点，连接这些对应点，就可以得到
原图形平移后的图形．
利用平移，人们可以设计出美丽的图案，许多装饰图案就是利用平移设计
的（图１２．４６）．
图１２．４６
ᣏ/
选择一个图形作为基本图形，利用平移设计一个图案，再给它们涂上
颜色．和同学交流一下你的设计．
利用信息技术工具，可以方便地平移图形，设计图案，你也可以试
一试．
８６
第十二章　相交线与平行线
ጷ˸
１．在方格纸中平移三角形犃犅犆，使点犃移到点犕，点犅和点犆应移到
什么位置？再次平移三角形，使点犃由点犕移到点犖．分别画出两次
平移后的三角形．如果直接平移三角形犃犅犆，使点犃移到点犖，平移
后的三角形和前面第二次平移后得到的三角形位置相同吗？
A
B
C
M
N
（第１题）
　　　
A
B
C
D
Ą
A
（第２题）
　　
（第３题）
２．如图，经过平移，四边形犃犅犆犇的顶点犃移到点犃′．画出平移后的四
边形犃′犅′犆′犇′．
３．利用平移，绘制出如图所示的图案．

ܭ˸ ڍ
１．图中的图案分别可以由什么图形平移形成？
（第１题）
　
A
B
C
D
E
F
（第２题）
　
A
B
C
D
（第３题）
２．如图，将三角形犃犅犆沿犅犆方向平移至三角形犇犈犉，找出图中平行的线段和
相等的线段．
３．将四边形犃犅犆犇沿箭头方向平移１ｃｍ，画出平移后的四边形犃′犅′犆′犇′．
９６
第十二章　相交线与平行线
፬Ռᤂၹ
４．用平移方法说明怎样得出平行四边形的面积公式犛＝犪犺．
a
h
a
h
（第４题）
　　　　　
（第５题）
５．如图，有一个由４个三角形组成的图形，通过平移，你能用它组成什么图案？
试一试，把你的图案与同学交流一下．
   ጊ
a
b m
m
（第６题）
６．如图，在一块长为犪ｍ，宽为犫ｍ的长方形草
地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右
平移１ｍ就是它的右边线．求这块草地青草覆
盖的面积．
 ቃˁԧဘ
 ቃˁԧဘ
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利用平移设计图案
通过平移一个图形，不仅可以绘制带状的图案，还可以绘制覆盖整个平面
的美丽图案，例如荷兰艺术家埃舍尔的作品、蜂巢、织物上的图案等（图１）．这
样的图案给人整齐有序、可以无限延展的感觉．
图１
０７
第十二章　相交线与平行线
你知道图１中的图案是怎样生成的吗？与利用平移绘制带状的图案类似，
在绘制这样的图案时，也要首先选定一个基本图形，然后把这个图形先按某一
方向重复移动一定距离，再按另一个方向（与之前平移的方向不平行）重复移
动一定距离，就可以得到一幅美丽的图案了．
再来看图１（１），不难发现，这个图案是由其中的一个“鸟”形图案（图２）
平移得到的．那么，这个“鸟”形图案又是怎样画出来的呢？
借助正方形上的平移，就可以画出“鸟”形图案．图３展示了由正方形上
的平移得到这个“鸟”形图案的过程．
图２
　　　　　
图３
这种正方形上的平移，因为是从一处移到另一处（上移到下、下移到上、
左移到右、右移到左），所以能保证这样的图案平移后互相吻合，不留缝隙，形
成一幅美丽的图案．
图４中的图案也是先通过正方形上的平移得到一个基本图形，再平移这个
图形得到的．你能分别说一说每个图案中的基本图形是怎样得到的吗？
图４
图１（３）中图案的基本图形是通过正六边形上的平移得到的，你能利用平
移画出这个基本图形吗？
最后，请你利用平移设计几幅美丽的图案吧！设计图案时，你也可以利用
信息技术工具．
１７
第十二章　相交线与平行线
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学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外
一点画这条直线的平行线的新方法．
李明的画法如图１所示．
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a
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b
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b
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b
2
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图１
刘伟的画法如图２所示．
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图２
王芳是通过折纸画的，方法如图３所示．
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a
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a
b
图３
你还有其他方法吗？动手试一试，与同学交流一下．
２７
第十二章　相交线与平行线
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如图４，传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独
特的艺术表现力和文化内涵．
图４
在各式各样的窗格图案中，有一类是仅由笔直的短木条或铁条沿横、
竖、斜方向交错构成的（图５）．这样的窗格子给人以明朗、匀称、简洁
的感觉．
图５
你能用交错的线段设计一些窗格图案吗？请在图６中试一试．
图６
３７
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第十二章　相交线与平行线
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在本章中，我们研究了平面内不重合的两条直线的位置关系———相交
与平行．对于相交，按照从一般到特殊的顺序，先研究了两条直线相交所
形成的邻补角和对顶角的位置关系和数量关系，这也是相交线的性质，
然后研究了相交的特殊情形———垂直，它在实际生产和生活中具有广泛
的应用．对于平行，借助两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错
角和同旁内角，研究了平行线的判定与性质．
通过对平行线的研究，我们知道了“图形的判定”讨论的是确定某
种图形需要什么条件．例如，两条直线与第三条直线相交，具备“同位角
相等”，就有“两直线平行”．而“图形的性质”讨论的是这类图形有怎样
的共同特性．例如，两条直线只要平行，它们被第三条直线所截时，就一
定有同位角相等．
学习本章时，要注意观察实物、模型和图形，通过观察、测量、实验、
４７
第十二章　相交线与平行线
对比、类比等，借助几何直观寻找图形中的位置关系和数量关系，发现
图形的性质．同时，还要注意体会通过推理获得数学结论的方法，培养言
之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．下面是本章学到的一些数学名词：邻补角、对顶角、垂直、平行、
同位角、内错角、同旁内角、平移，你能用自己的语言描述它们吗？你
能分别画一个图形表示它们吗？
２．两条直线相交形成的四个角具有怎样的位置关系和数量关系？
３．什么是点到直线的距离？你会度量吗？请举例说明．
４．怎样判定两条直线是否平行？平行线有什么性质？对比平行线的
性质和直线平行的判定方法，它们有什么异同？
５．什么是命题？如何判断一个命题是正确的还是错误的？请结合具
体例子说明．
６．图形平移时，连接各对应点的线段有什么关系？如何利用平移设
计图案？
ܭ˸ᮥ

ܭ˸ ڍ
1
2
3
A
B
C
D
O
E
F
（第１题）
１．如图，直线犃犅⊥犆犇，垂足为犗，直线犈犉经过点犗，
∠１＝２６°，求∠２，∠３，∠犅犗犈的度数．
２．如图是一根弯形管道的平面示意图，其中的拐角
∠犃犅犆＝１２０°，∠犅犆犇＝６０°，这时说管道犃犅与犇犆
A
B
C
D
（第２题）
平行对吗？为什么？
３．判断题．
（１）犪，犫，犮是直线，若犪∥犫，犫∥犮，则犪∥犮；
（２）犪，犫，犮是直线，若犪⊥犫，犫⊥犮，则犪⊥犮．
５７
第十二章　相交线与平行线
４．根据下列语句画出图形：
（１）过线段犃犅的中点犆，画犆犇⊥犃犅；
（２）点犘到直线犃犅的距离是３ｃｍ，过点犘画直线犃犅的垂线；
（３）过三角形犃犅犆内的一点犘，分别画犃犅，犅犆，犃犆的平行线．
５．如图，某人骑自行车自犃处沿正东方向前进，至犅处后，行驶方向改为东偏南
１５°，行驶到犆处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线．
15e
A
B
C
（第５题）
　　　
1
A
D
B
C
（第６题）
2
1
3
4
5
6
7
8
a
b
c
（第７题）
６．如图，∠１＝３０°，∠犅＝６０°，犃犅⊥犃犆，垂足为犃．
（１）∠犇犃犅＋∠犅等于多少度？
（２）犃犇与犅犆平行吗？犃犅与犇犆平行吗？
７．如图，平行线犪，犫被直线犮所截，若知道∠１～∠８中一个
角的度数，能否求出其他角的度数？如果能，用其中一个角
表示出其他各角．
፬Ռᤂၹ
８．选择题．
（１）如图（１），点犈在犃犆的延长线上，下列条件中能判断犃犅∥犆犇的是
（　　）．　
（Ａ）∠３＝∠４　　　　　　　　（Ｂ）∠１＝∠２
（Ｃ）∠犇＝∠犇犆犈
（Ｄ）∠犇＋∠犃犆犇＝１８０°
（２）如图（２），∠１＋∠２＝１８０°，∠３＝１０８°，则∠４＝（　　）．
（Ａ）７２°　　　（Ｂ）８０°　　　（Ｃ）８２°　　　（Ｄ）１０８°
1
2
3
4
A
D
B
C
E
b
a
1
2
3
4
c
d
（第８题）
６７
第十二章　相交线与平行线
９．图中所示为防护网的示意图，它可看成由两组平行线组成，你能通过检验一些
角的大小来验证其中的线段平行吗？说出你的做法．
（第９题）
　　　
A
B
O
P
（第１０题）　　　
A
B
C
D
l1
l2
（第１１题）
１０．如图，∠犃犗犅内有一点犘．
（１）过点犘画犘犆∥犗犅，交犗犃于点犆，画犘犇∥犗犃，交犗犅于点犇；
（２）写出图中相等的角；
（３）写出图中互补的角．
１１．如图，直线犾１∥犾２，犃犅⊥犾２，犆犇⊥犾１，犃犅和犆犇平行吗？为什么？
１２．完成下面的证明．
（１）如图（１），点犇，犈，犉分别是三角形犃犅犆的边犅犆，犆犃，犃犅上的点，
犇犈∥犅犃，犇犉∥犆犃．求证∠犉犇犈＝∠犃．
证明：∵　犇犈∥犅犃，
∴　∠犉犇犈＝
（
）．
∵　犇犉∥犆犃，
∴　∠犃＝
（
）．
∴　∠犉犇犈＝∠犃．
A
B
C
D
F
E
（１）
　　　
C
B
A
O
D
（２）
（第１２题）
（２）如图（２），犃犅和犆犇相交于点犗，∠犆＝∠犆犗犃，∠犇＝∠犅犗犇．求证
犃犆∥犇犅．
证明：∵　∠犆＝∠犆犗犃，∠犇＝∠犅犗犇，
且　∠犆犗犃＝∠犅犗犇（
），
７７
第十二章　相交线与平行线
∴　∠犆＝
．
∴　犃犆∥犇犅（
）．
１３．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，
举出一个反例．
（１）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（２）同旁内角相等，两直线平行；
（３）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．
１４．如图是两个整体图案的局部，分别指出下列图案中的基本图形，并说明怎样由
基本图形平移得到整个图案．
（第１４题）
   ጊ
１５．如图，这是一套住房的平面图，图中有许多相交线和平行线．量量你家的住房，
选择适当的比例尺，画出它的平面图．你能自己设计一个户型图吗？
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（第１５题）　　　　　
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A
N
C
R
D
M
B
P
（第１６题）
１６．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点犃滚向桌边犘犙，碰着犘犙
上的点犅后便反弹而滚向桌边犚犛，碰着犚犛上的点犆便反弹而滚向点犇．已知
犘犙∥犛犚，犃犅，犅犆，犆犇都是直线，且∠犃犅犆的平分线犅犖垂直于犘犙，
∠犅犆犇的平分线犆犕垂直于犛犚，那么，球经过两次反弹后所滚的路径犆犇是
否平行于原来的路径犃犅？
８７
第十三章　实数
当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度狏（单位：ｍ／ｓ）时，
它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星．狏的大小满足狏２＝２犵犚，其
中犵是地球表面的重力加速度，犵≈９．８（单位：ｍ／ｓ２），犚是地球半径，犚≈
６．４×１０６（单位：ｍ）．怎样求狏呢？这就要用到平方根的概念．
随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为１的正方形的对角线的
长度值不是有理数，这就需要引入一种新的数———无理数．实际中对第二宇宙
速度等的计算也要用到无理数．
在本章中，我们将首先学习平方根与立方根；在此基础上引入无理数，把
数的范围从有理数扩充到实数；然后类比有理数，引入实数在数轴上的表示和
实数的运算，从中进一步感悟数系扩充的过程，并用这些知识解决一些实际
问题．
第十三章　实数
１３．１平方根
我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的
平方．反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个
数呢？
ᕊ5
如果一个数的平方等于９，那么这个数是多少？
因为３２＝９，所以这个数可以是３；又因为（－３）２＝９，所以这个数也可以
是－３．除３，－３以外，任何一个数的平方都不等于９．因此，如果一个数的平
方等于９，那么这个数是３或－３．填写下表：
狓２
１
１６
３６
４９
４２５
狓
一般地，如果一个数狓的平方等于犪，即狓２＝犪，那么这个数狓叫作犪的
平方根（ｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ）或二次方根．例如，３和－３是９的平方根．通常把３和
－３合在一起简记为“±３”，则±３是９的平方根．求一个数的平方根的运算，
叫作开平方．
±３的平方等于９，９的平方根是±３，可以发现，平方与开平方互为逆运
算（图１３．１１）．根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根．
1
+1
-1
+2
-2
+3
-3
4
9
  
1
+1
-1
+2
-2
+3
-3
4
9
   
图１３．１１
例１　求下列各数的平方根：
（１）６４；　（２）９１００；　（３）０．０１．
０８
第十三章　实数
解：（１）因为（±８）２＝６４，所以６４的平方根是±８；
（２）因为（±３１０）
２＝９１００，所以９１００的平方根是±３１０；
（３）因为（±０．１）２＝０．０１，所以０．０１的平方根是±０．１．
ᕊ5
正数的平方根有什么特点？０的平方根是多少？负数有平方根吗？
可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数．
因为０２＝０，并且任何一个不为０的数的平方都不等于０，所以０的平方根
是０．正数的平方是正数，负数的平方也是正数，０的平方是０，即在我们所认
识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根．
只有当犪大于或等于
０时，槡犪有意义；而当犪
小于０时，槡犪没有意义．
为什么？
正数犪的正的平方根记为“槡犪”，读作“根号犪”，
犪叫作被开方数；正数犪的负的平方根可以用
“－槡犪”表示，故正数犪的平方根可以用“±槡犪”
表示，读作“正、负根号犪”．例如，±槡９表示９的
平方根，±槡９＝±３．特别地，０的平方根记为槡０．
例２　下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明
理由．
（１）０．３６；　　　（２）－５；　　　（３）（－４）２．
解：（１）因为０．３６是正数，所以０．３６有两个平方根，±槡０．３６＝±０．６；
（２）因为－５是负数，所以－５没有平方根；
（３）因为（－４）２＝１６是正数，所以（－４）２有两个平方根，
± （－４）
槡
２＝±槡１６＝±４．
ጷ˸
１．判断题．
（１）１的平方根是１；　　　　　　　（２）－１的平方根是－１；
（３）０．５是０．２５的一个平方根；
（４）０的平方根是０．
１８
第十三章　实数
２．求下列各数的平方根：
（１）６４８１；　　　（２）６２；　　　（３）０．４９．
３．求下列各式中狓的值：
（１）狓２＝２５；（２）９狓２＝４；（３）（狓－１）２＝１．
我们知道，正数犪有两个平方根，其中正的平方根槡犪叫作犪的算术平方
根．正数犪的算术平方根用槡犪来表示．
规定：０的算术平方根是０．０的算术平方根也记为槡０．
例３　求下列各数的算术平方根：
（１）１００；　　（２）４９６４；　　（３）０．０００１．
解：（１）因为１０２＝１００，所以１００的算术平方根是１０，即槡１００＝１０；
（２）因为（７８）
２＝４９６４，所以４９６４的算术平方根是７８，即４９６４槡＝７８；
（３）因为０．０１２＝０．０００１，所以０．０００１的算术平方根是０．０１，即
槡０．０００１＝０．０１．
从例３可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就越大．这个结论对
所有正数都成立．
ᣏ/
怎样用两个面积为１ｄｍ２的小正方形拼成一个面积为２ｄｍ２的大正方
形？这个大正方形的边长是多少？
如图１３．１２，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的４个直角三角
图１３．１２
２８
第十三章　实数
形拼在一起，就得到一个面积为２ｄｍ２的大正方形．
设大正方形的边长为狓ｄｍ，则
　　　　　　　狓２＝２．
小正方形的对角线
的长是多少呢？
由边长的实际意义可知
狓＝槡２，
所以大正方形的边长是槡２ｄｍ．
ᣏ/
槡２有多大呢？
因为１２＝１，２２＝４，１２＜２＜２２，所以
１＜槡２＜２；
因为１．４２＝１．９６，１．５２＝２．２５，１．４２＜２＜１．５２，所以
１．４＜槡２＜１．５；
因为１．４１２＝１．９８８１，１．４２２＝２．０１６４，１．４１２＜２＜１．４２２，所以
１．４１＜槡２＜１．４２；
因为１．４１４２＝１．９９９３９６，１．４１５２＝２．００２２２５，１．４１４２＜２＜１．４１５２，所以
１．４１４＜槡２＜１．４１５；
……
无限不循环小数是
指小数位数无限，且小
数部分不循环的小数．你
以前见过这样的数吗？
如此进行下去，可以得到槡２的更精确的估计范
围．事实上，槡２＝１．４１４２１３５６２３７３…，它是一个
无限不循环小数．
实际上，很多正有理数的算术平方根（例如
槡３，槡５，槡６等）都是无限不循环小数．
ጷ˸
１．求下列各数的算术平方根：
（１）０．０９；　　　　（２）８１４９；　　　　（３）５２．
３８
第十三章　实数
２．求下列各式的值：
（１）槡３６；　　　（２）－槡０．６４；　　　（３）± １６９槡．
３．排球比赛场地呈长方形，长是宽的２倍，面积为１６２ｍ２．它的长与宽分
别是多少？
大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或其
近似值）．不同品牌的计算器，按键顺序有所不同．
例４　用计算器求下列各式的值：
（１）槡３１３６；　　　（２）槡２（结果保留小数点后三位）．
解：（１）依次按键
，
显示：５６．
计算器上显示的
１．４１４２１３５６２是槡２的近
似值．
所以槡３１３６＝５６．
（２）依次按键
，
显示：１．４１４２１３５６２．
所以槡２≈１．４１４．
下面来解决本章引言中提出的问题．
由狏２＝２犵犚及狏的实际意义，得狏＝２犵
槡犚，其中犵≈９．８（单位：ｍ／ｓ２），
犚≈６．４×１０６（单位：ｍ）．用计算器求得
狏≈２×９．８×６．４×１０
槡
６＝１．１２×１０４．
因此，第二宇宙速度狏约为１．１２×１０４ｍ／ｓ，即１１．２ｋｍ／ｓ．
ᣏ/
（１）用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你
发现了什么规律？
… 槡０．０６２５槡０．６２５槡６．２５槡６２．５槡６２５槡６２５０槡６２５００…
…
…
４８
第十三章　实数
（２）用计算器计算槡３（结果保留小数点后三位），并利用你在（１）中
发现的规律求出槡０．０３，槡３００，槡３００００的近似值，你能根据槡３的值求出
槡３０的近似值吗？
在日常生活中，我们经常遇到估计一个数的大小的问题．
ʷ ᑟၹʷڱ᭧ሥܸ
ᄊጮྟ
ᜇѣʷڱ᭧ሥ ᄊጮྟ
Ἷ
!
Ὕ
　
例５　小丽想用一块面积为４００ｃｍ２
的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面
积为３００ｃｍ２的长方形纸片，使它的长与
宽的比为３∶２．但她不知道能否裁得出
来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，
一定能用一块面积大的纸片裁出一块面
积小的纸片！”
你同意小明的说法吗？小丽能用这
块纸片裁出想要的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为３狓ｃｍ，
宽为２狓ｃｍ．
根据边长与面积的关系，得
３狓·２狓＝３００，
６狓２＝３００，
狓２＝５０．
３槡５０就是３×槡５０．
由边长的实际意义，得
狓＝槡５０．
因此长方形纸片的长为３槡５０ｃｍ．
因为５０＞４９，所以槡５０＞７．
由上可知３槡５０＞２１，即长方形纸片的长应该大于２１ｃｍ．
因为槡４００＝２０，所以正方形纸片的边长只有２０ｃｍ．这样，长方形纸片的
长将大于正方形纸片的边长．
答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片．
５８
第十三章　实数
ጷ˸
１．用计算器求下列各式的值：
（１）槡９６１；　（２）槡９６．０４；　（３）槡４０３（结果保留小数点后三位）．
２．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？
（１）槡５；　　（２）槡２６；　　（３）８３槡．
３．长方形画纸的面积为７００ｃｍ２，长与宽的比为５∶４．王芳想从中裁出半
径为１２ｃｍ的圆形画纸，她的想法可行吗？

ܭ˸ ڍ
１．求下列各数的平方根：
（１）８１；　　　　　（２）１１０６；　　　　　（３）０．００１６．
２．求下列各数的算术平方根：
（１）２５６４；
（２）０．０４；
（３）１０２．
３．判断题．
（１）槡５是５的一个平方根；
（２）（－３）２的算术平方根是－３；
（３）槡４的平方根是±２；
（４）０的平方根与算术平方根都是０．
４．用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）：
（１）槡４０８；
（２）槡５１．４２５３４；（３）１１１４槡．
５．比较下列各组数的大小：
（１）槡６５与８；
（２）槡３３与槡２２；
（３）槡１０－１
２与１．
６８
第十三章　实数
፬Ռᤂၹ
６．求下列各式中狓的值：
（１）狓２－１００＝０；（２）２５狓２＝３６；
（３）（狓＋２）２＝０．４９．
７．估算面积为３ｄｍ２的正方形的边长是多少分米（结果保留小数点后两位）．
（第８题）
８．如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间
狋（单位：ｓ）与钟摆的长度犾（单位：ｍ）之间满足狋＝
２π 犾犵槡．当钟摆的长度为０．２５ｍ时，摆动一个来回所用
的时间是多少秒？（π取３．１４，犵取９．８ｍ／ｓ２．结果保留
小数点后两位．）
９．一个正方形的面积扩大为原来的４倍，它的边长变为原
来的多少倍？面积扩大为原来的９倍呢？狀倍呢？
   ጊ
１０．（１）求（槡０）２，（槡４）２，（槡９）２，（槡２５）２，（槡３６）２的值．对于任意非负数犪，
（槡犪）２等于多少？
（２）求０槡２，２槡２，（－３）
槡
２，５槡２，（－６）
槡
２的值．对于任意数犪，犪槡２等
于多少？
１１．任意找一个正数，比如１２３４，利用计算器对它开平方，再对得到的算术平
方根开平方……如此进行下去，你有什么发现？
７８
第十三章　实数
１３．２立方根
在上一节，我们通过研究平方的逆运算学习了平方根，
本节来研究立方的逆运算．
 Ꮶ
如果一个数的立方等于８，那么这个数是多少？
因为２３＝８，所以这个数可以是２．除２以外，任何一个数的立方都不等
于８．因此，如果一个数的立方等于８，那么这个数是２．
　　到了高中，我们将
学习一般的开方运算．
一般地，如果一个数狓的立方等于犪，即狓３＝犪，
那么这个数狓叫作犪的立方根（ｃｕｂｅｒｏｏｔ）或三次
方根．例如，２是８的立方根．求一个数的立方根的
运算，叫作开立方．
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．根据这
种互逆关系，可以求一个数的立方根．
ᣏ/

根据立方根的意义填空：
因为１３＝１，所以１的立方根是（　　）；
因为（　　）３＝０．０６４，所以０．０６４的立方根是（　　）；
因为（　　）３＝－８，所以－８的立方根是（　　）；
因为（　　）３＝－１８，所以－１８的立方根是（　　）；
因为（　　）３＝０，所以０的立方根是（　　）．
你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？０的立方根是多少？
ᑿ3
　　你能说一说数的立
方根与数的平方根有什
么不同吗？
正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数，
０的立方根是０．
８８
第十三章　实数
　　槡犪实际上省略了
２槡犪中的根指数２，因此
槡犪也可以读作“二次根
号犪”．
类似于平方根，一个数犪的立方根记为
“３槡犪”，读作“三次根号犪”，其中犪是被开方数，
３是根指数．例如，３槡８表示８的立方根，３槡８＝２；
３槡－８表示－８的立方根，３槡－８＝－２．３槡犪中的根指
数“３”不能省略．
例１　求下列各数的立方根：
（１）（－２）３；　　（２）３４３；　　（３）－６４；　　（４）１２５
２７．
解：（１）（－２）３的立方根是－２，即３（－２）
槡
３＝－２；
（２）因为７３＝３４３，所以３４３的立方根是７，即３槡３４３＝７；
（３）因为（－４）３＝－６４，所以－６４的立方根是－４，即３槡－６４＝－４；
（４）因为（５３）
３＝１２５
２７，所以１２５
２７的立方根是５３，即
３１２５
２７槡＝５３．
ጷ˸
１．判断题．
（１）－３是－２７的立方根；　　　　（２）±３是２７的立方根；
（３）（－１）３的立方根是－１；
（４）３槡－８的立方根是－２．
（第３题）
２．求下列各数的立方根：
（１）－１；　　（２）０．００８；　　（３）－６４２７．
３．如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为２１６ｃｍ３，
它的棱长是多少？
下面，我们探究互为相反数的两个数的立方根的关系．
ᣏ/

计算３槡８和３槡－８，它们有什么关系？３槡２７和３槡－２７呢？你能从中发现
什么规律？
一般地，３－
槡犪＝－３槡犪．
９８
第十三章　实数
例２　求下列各式的值：
（１）３槡－５１２；　　（２）－３槡－０．００１；　　（３）３－４
槡
３．
解：（１）３槡－５１２＝－３槡５１２＝－８；
（２）－３槡－０．００１＝３槡０．００１＝０．１；
（３）３－４
槡
３＝－３４槡３＝－４．
在例１、例２中，我们是利用开立方与立方的关系求立方根的．实际上，
很多有理数的立方根（如３槡２，３槡３，３槡４等）是无限不循环小数，我们可以用有
理数近似地表示它们．
一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）．例如，
用计算器求３槡２１９７，只需依次按键
，显示：１３，所以３槡２１９７＝１３．
用计算器求３槡３，只需依次按键
，显示３槡３的近似值：１．４４２２４９５７０，所以
３槡３≈１．４４２．
有些计算器需要调用备用功能求一个数的立方根，具体操作参见计算器
的使用说明．
ᣏ/

用计算器计算…，３槡０．０００２１６，３槡０．２１６，３槡２１６，３槡２１６０００，…，你
能发现什么规律？用计算器计算３槡１００（结果保留小数点后三位），并利用
你发现的规律求出３槡０．１，３槡０．０００１，３槡１０００００的近似值．
ጷ˸
１．求下列各式的值：
（１）３槡０．０２７；　　（２）３（－７）
槡
３；　　（３）
３－８２７
槡．
２．用计算器求下列各式的值：
（１）３槡６８５９；
（２）３槡６８９２１；
（３）３槡０．０２８０９２（结果保留小数点后三位）．
３．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？
（１）３槡７；　　
（２）３槡９９；　　
（３）３槡６３５；　　（４）３槡－２８．
０９
第十三章　实数

ܭ˸ ڍ
１．求下列各式的值：
（１）－３槡０．１２５；　　　（２）－３槡７２９；　　　（３）
３７８槡－１．
２．用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后三位）：
（１）３槡５５７２；　　
（２）－
３１１３槡；　　（３）±３槡２５．９８６５５８．
３．比较下列各组数的大小：
（１）３槡７与２；
（２）３槡９与２．５；
（３）－３槡３与－３２．
፬Ռᤂၹ
４．求下列各式中狓的值：
r
h
（第６题）
（１）狓３＝－０．０６４；　（２）狓３－３＝３８；　（３）（狓＋１）３＝８．
５．把一个长、宽、高分别为２１ｄｍ，２０ｄｍ，１９ｄｍ的长方体铁
块熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗），这个正方体的棱
长是多少分米（结果保留小数点后两位）？
６．如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为２２６００ｃｍ３，高犺
等于底面半径狉的５．４８倍，底面半径狉是多少厘米？（π取３．１４，
结果保留小数点后两位．）
７．一个正方体的体积扩大为原来的８倍，它的棱长变为原来的多少倍？扩大为
原来的２７倍呢？狀倍呢？
   ጊ
８．（１）求（３槡０）３，（３槡８）３，（３槡－８）３，（３槡２７）３，（３槡－２７）３的值．对于任意数犪，
（３槡犪）３等于多少？
（２）求３０槡３，３２槡３，３（－２）
槡
３，３（－３）
槡
３，３４槡３的值．对于任意数犪，３犪槡３等
于多少？
９．任意找一个数，比如１２３４，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立
方……如此进行下去，你有什么发现？
１９
第十三章　实数
１３．３实数及其简单运算
在前面的学习中，我们通过引入一类新的数———负数，
使数的范围扩充到有理数．本章我们认识了像槡２，３槡３这样的
无限不循环小数，它们是有理数吗？如果不是，我们将再次
扩充数的范围．
ᣏ/

把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？
４，５２，－３５，２７４，１１９，９１１．
可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即
　　整数可以写成小数
点后为０的小数．
４＝４．０，５２＝２．５，－３５＝－０．６，
２７４＝６．７５，１１９＝１．２
·，９１１＝０．８
·１
·．
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数
或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或
无限循环小数也都是有理数．
　　无理数是不能写成
两个整数之比（分数）
的数，它和有理数一
样，都是现实世界中客
观存在的量的反映．
通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方
根、立方根是无限不循环小数，例如槡２，－槡５，
３槡２，３槡３等．π＝３．１４１５９２６５…也是无限不循环小数．
从上面的讨论可知，无限不循环小数都不是有理数．
无限不循环小数又叫作无理数（ｉｒｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ）．
像有理数一样，无理数也有正负之分．例如，
槡２，３槡３，π是正无理数，－槡２，－３槡３，－π是负无
理数．
２９
第十三章　实数
##
我国古人对无理数已经有了很多认识．《九章算术》中用“面”来表示开
平方开不尽的数．刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运
算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”．
有理数和无理数统称实数（ｒｅａｌｎｕｍｂｅｒ）．这样，我们学过的数可以这样
分类：
实数
有理数
正有理数
０负有理数
烅
烄
烆
烍
烌
烎
有限小数或无限循环小数
无理数正无理数
负无理数
烅烄
烆
烍烌
烎无限不循环小数
烅
烄
烆
由于非０有理数和无理数都有正负之分，所以非０实数也有正负之分，于
是实数也可以这样分类：
实数
正实数
０负实数
烅
烄
烆
与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示．
数轴上表示正无理数犪的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是犪个单位长
度；表示负无理数－犫（犫＞０）的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是犫个
单位长度．下面，我们以π，槡２，－槡２为例，看一看如何在数轴上表示无理数．
 Ꮶ
O
OĄ
4
3
2
1
图１３．３１
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π．如图１３．３１，从原点
开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点犗到达点犗′，
点犗′对应的数是多少？
３９
第十三章　实数
从图１３．３１中可以看出，犗犗′的长是这个圆的周长π，所以点犗′对应的
数是π．这样，数轴上的点犗′就表示无理数π．
以单位长度为边长画一个正方形（图１３．３２），以原点为圆心，正方形的
对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示槡２，与负半轴的交点就表示
－槡２．（为什么？）
3
2
1
-2
-1
-3
2
2
0
4
图１３．３２
当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点
来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．因此，实数与数轴上的
点是一一对应的．
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实
数总比左边的点表示的实数大．
ጷ˸
１．判断题．
（１）无限小数都是无理数；
（２）无理数都是无限小数；
（３）用根号表示的数都是无理数；
（４）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点
都表示有理数；
（５）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都
表示实数．
２．在０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０的平方根与立方根中，哪些是
有理数？哪些是无理数？
３．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）：
－２，槡２，３２，－π．
４９
第十三章　实数
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数．
 Ꮶ
（１）槡２的相反数是　　，－π的相反数是　　，０的相反数是　　；
（２）︱槡２︱＝　　，︱－π︱＝　　，︱０︱＝　　．
　　一个实数的绝对值
就是它在数轴上的对应
点与原点的距离．
一般地，对于实数，同样有
数犪的相反数是－犪．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的
绝对值是它的相反数；０的绝对值是０．即设犪表示
一个实数，则
｜犪｜＝
犪，当犪＞０时；
０，当犪＝０时；
－犪，当犪＜０时．
烅
烄
烆
例１　（１）分别写出－槡６，π－３．１４的相反数；
（２）指出－槡５，１－３槡３分别是什么数的相反数；
（３）求３槡－６４的绝对值；
（４）已知一个数的绝对值是槡３，求这个数．
解：（１）因为
－（－槡６）＝槡６，－（π－３．１４）＝３．１４－π，
所以－槡６，π－３．１４的相反数分别为槡６，３．１４－π．
（２）因为
－（槡５）＝－槡５，－（３槡３－１）＝１－３槡３，
所以－槡５，１－３槡３分别是槡５，３槡３－１的相反数．
（３）因为
３槡－６４＝－３槡６４＝－４，
所以
︱３槡－６４︱＝︱－４︱＝４．
（４）因为
５９
第十三章　实数
︱槡３︱＝槡３，︱－槡３︱＝槡３，
所以绝对值为槡３的数是槡３或－槡３．
　　随着数的范围的进
一步扩充，负数也将可
以进行开平方运算．
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不
为０）、乘方运算，而且正数及０可以进行开平方运算，
任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运
算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
例２　计算：
（１）（槡３＋槡２）－槡２；　　　　　　　　　（２）３槡３＋２槡３．
　　解：（１）（槡３＋槡２）－槡２
＝槡３＋（槡２－槡２）（加法结合律）
＝槡３＋０
＝槡３；
　（２）３槡３＋２槡３
＝（３＋２）槡３（分配律）
＝５槡３．

　　在近似计算时，计
算过程中有时也使用“去
尾法”，即用近似有限小
数去代替无理数时，直接
舍去要保留数位的下一位
数字，最后对计算结果四
舍五入．如槡５－槡７≈
２．２３６－２．６４５≈－０．４１．
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计
算结果的近似值时，一般先用近似有限小数（例
如，比计算结果要求的精确度多取一位）去代替无
理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入．
例３　计算（结果保留小数点后两位）：
（１）槡５－槡７；　　　（２）π·３槡３．
解：（１）槡５－槡７≈２．２３６－２．６４６＝－０．４１；
（２）π·３槡３≈３．１４２×１．４４２≈４．５３．
ጷ˸
１．求下列各数的相反数与绝对值：
槡１３，－槡７，－π２，１．４－槡２，槡５－１
２，０．
２．计算：
（１）２槡５－３槡５；　　　（２）３槡３－︱１－３槡３︱．
３．计算（结果保留小数点后两位）：
（１）槡１７＋槡２２；
（２）３槡６－槡６．
６９
第十三章　实数

ܭ˸ ڍ
１．在下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
３．１４，－２２７，槡３３，－槡６，槡３６，３槡５，３槡１２５．
２．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”连接）：
－１３，－１．５，２槡２，︱－３︱．
３．求下列各数的绝对值：
３槡－８，槡１７，－槡２３，槡３－２，１－３槡２．
４．计算（结果保留小数点后两位）：
（１）π－槡１０；　　　　　　　　　　　　（２）３槡２－３槡２．
５．计算：
（１）２（槡６－槡７）－︱２槡６－槡７︱；　
（２）（－槡２）２＋（－３槡２）３．
፬Ռᤂၹ
６．（１）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？
（２）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？
（３）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？
７．写出所有符合下列条件的数：
（１）小于槡３７的所有正整数；
3 cm2
1 cm2
　（第８题）
（２）大于－槡１０且小于槡１０的所有整数；
（３）绝对值小于槡６的所有整数．
８．如图，长方形内两个正方形的面积分别为３ｃｍ２，１ｃｍ２．
（１）求长方形的周长；
（２）求图中两块阴影部分的面积和．
   ጊ
９．已知数０．１０１００１０００１００００１…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个１之
间依次多一个０．这个数是有理数还是无理数？为什么？
７９
第十三章　实数
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
毕达哥拉斯（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ，
约公元前５８０—约前５００）
为什么槡２不是有理数
古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们认为“万
物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比表示．
后来毕达哥拉斯学派发现，边长为１的正方形的对
角线的长不能表示为整数或整数之比（即槡２不是
有理数），对此他们感到惊恐不安．由此，引发了
第一次数学危机．
事实上，“槡２不是有理数”是可以证明的，下
面给出一种证明方法．
假设槡２是有理数，那么存在两个互质的正整
数狆，狇，使得
狆狇＝槡２，
于是
狆＝槡２狇．
两边平方得
狆２＝２狇２．
由２狇２是偶数，得狆２是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以狆也是
偶数．
因此可设狆＝２狉（狉是正整数），代入上式，得４狉２＝２狇２，即
狇２＝２狉２．
所以狇也是偶数．这样，狆，狇都是偶数，与假设狆，狇互质矛盾．
这个矛盾说明，槡２不能写成分数的形式，即槡２不是有理数．
历史上，人们对无理数的认识经历了曲折、漫长的过程，直到１９世纪下半
叶，才最终给出了无理数的严格定义．这时，实数的理论体系才建立起来，持
续两千多年的第一次数学危机终于结束了．
８９
第十三章　实数
 ߦำү
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 0!/᫦ᵦ
按照国际标准，Ａ系列纸为长方形，其中Ａ０纸的面积为１ｍ２．将
Ａ０纸沿长边对折、裁开，便成Ａ１纸；将Ａ１纸沿长边对折、裁开，便成
Ａ２纸；将Ａ２纸沿长边对折、裁开，便成Ａ３纸；将Ａ３纸沿长边对折、
裁开，便成Ａ４纸……
将Ａ４纸按如图１所示的方式折叠，你有什么发现？你能据此估算
Ａ０纸的长与宽分别是多少毫米吗（结果取整数）？
图１
　华罗庚（１９１０—１９８５）
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他
的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是
５９３１９，求它的立方根．华罗庚脱口而出：３９．
你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？
按照下面的方法试一试：
（１）由１０３＝１０００，１００３＝１００００００，你能确定
３槡５９３１９是几位数吗？
（２）由５９３１９的个位上的数是９，你能确定３槡５９３１９的个位上的数是几吗？
（３）如果划去５９３１９后面的三位３１９得到数５９，而３３＝２７，４３＝６４，
由此你能确定３槡５９３１９的十位上的数是几吗？
已知１９６８３，１１０５９２都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它
们的立方根吗？
９９
 ፇ
ʷnj ቦᅼគፇ ڏ̄
njڀᮏˁ Ꮶ
第十三章　实数
  ᄊ Т  
  ᄊᤂካ
   
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ካ    
ᐭᎠ᫦
ᐭ/᫦
 
 
˲
 
本章我们学习了平方根和立方根，并通过开平方、开立方运算认识
了一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围从有理
数扩充到实数．随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展．在实数
范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对０和任意正数能
进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算，由此你的运算能力也
得到了提升．
在本章中，我们类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对
值等概念以及实数的运算和运算律；类比用数轴上的点表示有理数，用
数轴上的点表示无理数．学习时应注意体会“类比”这种思想方法的作
用．由于实数与数轴上的点是一一对应的，所以我们可以利用数轴将数与
形联系起来，借助几何直观理解实数的有关概念及运算．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．什么是平方根？什么样的数有平方根？
２．什么是算术平方根？平方根与算术平方根有什么联系和区别？
３．什么是立方根？任何实数都有立方根吗？
４．开平方与平方有怎样的关系？开立方与立方呢？
５．什么是无理数？无理数与有理数有什么区别？举例说明，怎样用
有理数估计一个开方开不尽的数的范围．
００１
第十三章　实数
６．实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有怎样的对应关系？
７．数的范围是如何从正整数逐步扩充到实数的？随着数的范围的不
断扩充，数的运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？
ܭ˸ᮥ

ܭ˸ ڍ
１．求下列各数的平方根及算术平方根：
（１）０．３６；　　　　（２）２５１６；　　　　（３）（－７８）
２；　　　　（４）１０４．
２．求下列各数的立方根：
（１）２７８；　
（２）－１６４；　
（３）－０．７２９；　
（４）３６．
３．求下列各式的值：
（１）－１－１６２５
槡
；　（２）３１０
槡３；　
（３）±槡０．０９；　
（４）（３－π）
槡
２．
４．用计算器求下列各式的值：
（１）槡１８０６２５；　
（２）－槡９．７７（结果保留小数点后三位）；
（３）３槡３９３０４；　
（４）３槡０．４３（结果保留小数点后三位）．
５．计算：
（１）槡２（槡２＋２）；　
（２）槡３（槡３＋１槡３）．
６．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？与哪个整数更接近？
（１）槡９１；　　　　
（２）３槡９１．
፬Ռᤂၹ
７．已知︱狓︱＜π（狓是整数），求狓的值，并在数轴上表示求得的数．
８．一个圆与一个正方形的面积都是２πｃｍ２，它们中哪一个的周长较大？你能从中
得到什么启示？
９．天气晴朗时，一个人站在海边能看到大海的最远距离狊（单位：ｋｍ）可用狊２＝
１６．７４犺来估计，其中犺（单位：ｍ）为眼睛到海平面的距离．王芳站在海边观
１０１
第十三章　实数
察，眼睛到海平面的距离为１．５ｍ，她能看到的最远距离是多少千米？如果她站
在海边的岩石上，眼睛到海平面的距离为８．７ｍ，她能看到的最远距离是多少千
米？（结果保留小数点后两位．）
１０．将一正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了５８ｍｍ．如果玻璃
杯内部的底面半径为９５ｍｍ，那么正方体的棱长是多少毫米？（π取３．１４，结
果取整数．）
   ጊ
（第１１题）
１１．（１）怎样把由５个边长为１的小正方形组成的图形（如图）剪
拼成一个大正方形？
（２）在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点．
２０１
第十三章　实数
第十四章　平面直角坐标系
在庆祝中华人民共和国成立７０周年联欢活动中，天安门广场上出现了
“祖国万岁”等壮观的图案，你知道它们是怎么组成的吗？
原来，表演现场设置了按排号、列号标识的点位，３０００多名表演者手举
光影屏，根据预先编排的流程，不停地变换所在的点位，就拼出了不同的图
案．类似于生活中用“第几排第几列”确定位置，在数学中可以通过建立平面
直角坐标系，用有顺序的两个数组成的坐标来刻画平面内点的位置．
在本章中，我们将学习平面直角坐标系等有关知识，由此建立图形与数量
之间的联系．这将为几何问题和代数问题的相互转化打下基础．
第十四章　平面直角坐标系
１４．１用坐标描述平面内点的位置
在本章引言中，天安门广场表演区内的点位是用有顺序的
一对数表示的．本节我们就来学习刻画平面内点的位置的方法．
１４１１　用有序数对表示位置
在实际生活中，我们经常用有顺序的两个数表示位置．例如，影剧院对观
众席的所有座位都按“几排几号”编号，以便确定每一个座位在影剧院中的位
置．这样，持有标明“９排７号”的演出票的观众，就能根据演出票上的“９
排”和“７号”准确地找到排数和号数“对号入座”．
图１４．１１是一个教室的平面图，假如有如下通知，你知道哪些同学将参
加讨论吗？
今天放学后，请以下座位的同学参加数学问题讨论：
（１，５），（２，４），（４，２），（３，３），（５，６）．
　　（２，４）和（４，２）
表示同一座位吗？
7
6
5
4
3
2
1
ᝯ 
ጫѵ
 
 
2
1
3
4
5
6
　　图１４．１１
 Ꮶ
怎样确定教室里座位的位置？排数和列数的前后顺序对位置有影响
吗？假设我们约定“列数在前，排数在后”，请你在图１４．１１中标出被通
知参加讨论的同学的座位．
４０１
第十四章　平面直角坐标系
　　当发现一本书上
某页有一处印刷错误
时，你能用有序数对
跟其他同学描述这一
处的位置吗？
上面的问题都是通过像“９排７号”“第１列第
５排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定
的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前
边的表示“排数”，后边的表示“号数”．我们把这种
有顺序的两个数犪与犫组成的数对，叫作有序数对，
记作“（犪，犫）”．
利用有序数对，可以准确地表示一个位置．生活中利用有序数对表示位置
的情况是很常见的，如人们常用经度和纬度来表示地球上的地点等．你能再举
出一些例子吗？
ጷ˸
１．如图，点犅的位置用（５，２）表示，写出表示其他各点位置的有序数对．
B
A
C
D
1
2
3
4
5
E
F
G
H
I
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
6
7
8
9
0
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100 m
Ӓ
ߦ 
Ӟᬓ
ڏ˺ᯞ
Нڇ
ʹᐲᯞ
ᥫ 
（第１题）　　　　　　　　　　　　　　　　（第２题）
２．如图，图书馆在学校以东４００ｍ，再往北３００ｍ处，它所在的位置可以
用（４，３）表示，用类似的方式表示图中其他场所的位置．
１４１２　平面直角坐标系的概念
我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上每个点都对应一个实
数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标．例如，在图１４．１２的数轴上，点犃
的坐标为－４，点犅的坐标为２．反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个点在
数轴上的位置也就确定了．例如，在图１４．１２的数轴上，坐标为５的点是点犆．
５０１
第十四章　平面直角坐标系
这样，利用数轴上点的坐标，可以确定直线上点的位置．
A
B
C
-2
0
2
1
3
4
5
-1
-3
-4
-5
图１４．１２
 Ꮶ
类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平
面内点的位置呢（例如图１４．１３中犃，犅，犆，犇，犈各点）？
A
C
E
D
B
-4
-2
2
O
y
x
-3
-1-1
-2
-3
1
2
3
4
5
y ᣉ
Ԕག
(3, 4)
M
N
-4
1
3 4 5
x ᣉ
A
C
D
B
E
图１４．１３　　　　　　　　　　　图１４．１４
如图１４．１４，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成
平面直角坐标系（ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｐｌａｎｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｓｙｓｔｅｍ）．水平的数轴称为狓轴
或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为狔轴或纵轴，习惯上取向上
为正方向；两坐标轴的交点犗称为平面直角坐标系的原点．
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．例
如，如图１４．１４，由点犃分别向狓轴和狔轴作垂线，垂足犕在狓轴上的坐标
是３，垂足犖在狔轴上的坐标是４，我们说点犃的横坐标是３，纵坐标是４，
有序数对（３，４）就叫作点犃的坐标，记作“犃（３，４）”．类似地，请你写
出点犅，犆，犇，犈的坐标：犅（　　　，　　　），犆（　　　，　　　），
犇（　　　，　　　，犈（　　　，　　　）．
 Ꮶ
原点犗的坐标是什么？狓轴和狔轴上的点的坐标有什么特点？
可以看出，原点犗的坐标为（０，０）；狓轴上的点的纵坐标为０，例如（１，０），
（－１，０），…；狔轴上的点的横坐标为０，例如（０，１），（０，－１），…．
６０１
第十四章　平面直角坐标系
建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ
四个部分（图１４．１５），每个部分称为象限，它们分别叫作第一象限、第二象
限、第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．
O
y
x
-4
-2
-3
-1
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
Ꭸ˽ᥚᲥ
ᎨʮᥚᲥ
ᎨʳᥚᲥ
ᎨڥᥚᲥ
Ĕ
ē
ĕ
Ė
2
1
3
4
5
A
-4
-2
2
O
y
x
-3
-1-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-5
5
6
-5
(4, 5)
1
3
4
5
B
C
D
E
图１４．１５　　　　　　　　　　　　　　　图１４．１６
例１　在平面直角坐标系中描出下列各点：
犃（４，５），犅（－２，３），犆（－２．５，－２），犇（４，－２），犈（０，－４）．
解：如图１４．１６，先在狓轴上找出表示４的点，再在狔轴上找出表示５的
点，过这两个点分别作狓轴和狔轴的垂线，垂线的交点就是点犃．
类似地，可在图１４．１６中描出点犅，犆，犇，犈．
类比数轴上的点与实数是一一对应的，对于坐标平面内任意一点犕，都有
唯一的一个有序实数对（狓，狔）（即点犕的坐标）和它对应；反过来，对于任
意一个有序实数对（狓，狔），在坐标平面内都有唯一的一点犕（即坐标为
（狓，狔）的点）和它对应．也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应
的．这样，利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置．
##
１７世纪，法国数学家笛卡儿（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６－
１６５０）引入坐标系，用方程表示曲线，开了用代数方法
解决几何问题的先河．从那以后，数学的面貌发生了划
时代的变化，代数和几何两大领域更加密切地联系起来．
７０１
第十四章　平面直角坐标系
ጷ˸
１．写出图中点犃，犅，犆，犇，犈，犉的坐标．
y
-4
O
x
-3
5
-5
-1
-2
-3
-4
7
1
2
3
4
5
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
6
-1
-2
-6
（第１，２题）
２．在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点：
犔（－５，－３），犕（４，０），犖（－６，２），
犘（５，－３．５），犙（０，５），犚（６，２）．
３．根据点所在的位置，用“＋”“－”填表．
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
在第一象限
＋
＋
在第二象限
在第三象限
在第四象限
１４１３　用坐标描述简单几何图形
几何图形都是由点组成的，坐标可以描述平面内点的位置，因而就可以描
述一些几何图形．
８０１
第十四章　平面直角坐标系
ᣏ/

A(O)
D
C
B
x
图１４．１７
如图１４．１７，正方形犃犅犆犇的边长为６，如果
以点犃为原点，犃犅所在直线为狓轴，建立平面直
角坐标系，那么以哪条线为狔轴？写出正方形的顶
点犃，犅，犆，犇的坐标．
请另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的
顶点犃，犅，犆，犇的坐标又分别是什么？与同学
交流一下．
显然，这样建立的平面直角坐标系以犃犇所在直线为狔轴．当取１个单位
长度代表长度“１”时，正方形的顶点犃，犅，犆，犇的坐标分别是（０，０），
（６，０），（６，６），（０，６）．若以犃犅的中点为原点，犃犅所在直线为狓轴，建
立平面直角坐标系，当取１个单位长度代表长度“１”时，则正方形的顶点犃，
犅，犆，犇的坐标分别是（－３，０），（３，０），（３，６），（－３，６）．
一般地，可以建立平面直角坐标系来描述一些简单几何图形．在用坐标描
述简单几何图形时，只需用坐标描述这些图形上关键点的位置．这时，建立的
平面直角坐标系不同，图形上点的坐标也不同．为了能方便地写出图形上点的
坐标，在建立平面直角坐标系时，要考虑图形的形状特征．
类似地，在平面直角坐标系中，由简单几何图形的一些关键点（例如顶
点）的坐标，可以确定这些关键点的位置，进而确定这个简单几何图形．
例２　在平面直角坐标系中，长方形犃犅犆犇的顶点坐标分别为犃（－３，２），
犅（－３，－２），犆（３，－２），犇（３，２）．画出长方形犃犅犆犇．
A
C
D
B
-4
-2
2
O
y
x
-3
-1-1
-2
-3
1
2
3
1
3
4
图１４．１８
分析：一个长方形四个顶点的位置确定了，
这个长方形就确定了．在平面直角坐标系中，由
顶点坐标描出长方形犃犅犆犇的四个顶点，就可以
画出这个长方形．
解：如图１４．１８，由长方形犃犅犆犇的顶点坐标
分别为犃（－３，２），犅（－３，－２），犆（３，－２），
犇（３，２），描出点犃，犅，犆，犇，连接犃犅，犅犆，
犆犇，犇犃，就可以画出长方形犃犅犆犇．
９０１
第十四章　平面直角坐标系
ጷ˸
１．方格纸上有犃，犅两点，若以点犅为原点建立平面直角坐标系，则点
犃的坐标为（－２，１）．若以点犃为原点建立平面直角坐标系，则点犅
的坐标为（　　）．
（Ａ）（－２，１）　（Ｂ）（２，－１）　（Ｃ）（－２，－１）　（Ｄ）（２，１）
２．如图，在直角三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝３，犅犆＝４．建立平面
直角坐标系，写出三角形犃犅犆三个顶点的坐标．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
（第２题）　　　　　　　　　　（第３题）
３．如图是一个角钢的横截面，建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示
角钢各顶点的位置（图中小正方形的边长代表１０ｃｍ长）．

ܭ˸ ڍ
１．如图，点犃的位置用（５，９）表示，用类似的方式表示点犅，犆，犇，犈的
位置．
6 
5 
4 
3 
2 
1 
1ᛤ
2ᛤ
3ᛤ
4ᛤ
5ᛤ
6ᛤ
ႁ
˳
0
1 2
3 4
5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
D
E
（第１题）　　　　　　　　　　　　　　（第２题）
０１１
第十四章　平面直角坐标系
２．如图，甲处表示２街与５巷的十字路口，乙处表示５街与２巷的十字路口．如
果用（２，５）表示甲处的位置，那么“（２，５）→（３，５）→（４，５）→（５，５）→
（５，４）→（５，３）→（５，２）”表示从甲处到乙处的一种路线．请你用这种形式写
出几种从甲处到乙处的其他路线．
A
O
y
x
-3
-1
1
2
3
4
-5
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
B
C
D
E
F
G
H
2
-2
1
3 4 5 6 7 8
-4
（第３题）
３．如图，写出标有字母的各点的坐
标，并指出它们的横坐标和纵
坐标．
４．在平面直角坐标系中，标出下列
各点：
点犃在狔轴上，位于原点上方，
距离原点２个单位长度；
点犅在狓轴上，位于原点右侧，
距离原点１个单位长度；
点犆在狓轴上方，狔轴右侧，到每条坐标轴的距离都是２个单位长度；
点犇在狓轴上，位于原点右侧，距离原点３个单位长度；
点犈在狓轴上方，狔轴右侧，到狓轴的距离是２个单位长度，到狔轴的距离
是４个单位长度．
依次连接这些点，你得到了什么图形？
５．如图，在所给的平面直角坐标系中描出点犃（－４，－４），犅（－２，－２），
犆（３，３），犇（５，５），犈（－３，－３），犉（０，０）．这些点有什么关系？你能再
找出一些类似的点吗？
A
B
C
D
E
F
G
-1-2
-3
-4
1
2
3
4
5
-4-3
5
-5
1 2 3 4
-1
-2
y
O
x
（第５题）　　　　　　　　　　　　　　　　（第６题）
６．如图，建立平面直角坐标系，使点犅，犆的坐标分别为（０，０）和（４，０），
写出点犃，犇，犈，犉，犌的坐标，并指出它们所在的象限．
１１１
第十四章　平面直角坐标系
፬Ռᤂၹ
Ф
༼
 ᯱ
（第７题）
７．如图是象棋棋盘一部分的示意图，建立平面直角坐
标系，使棋子“帅”位于点（０，－４），“马”位于点
（３，－４），则“兵”位于点　　　　．如果“马”再
走一步，那么“马”的新位置位于点　　　　．（按
照象棋规则，棋子“马”只能沿着棋盘上“ ”
或“
”的对角线行走．）
８．在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来．
（１）（０，４），（－２，２），（－１，２），（－３，０），（－１，０），（－４，－２），
（－１，－２），（－１，－４），（１，－４），（１，－２），（４，－２），（１，０），
（３，０），（１，２），（２，２），（０，４）；
（２）（－２，２），（０，２），（０，１），（－１，０），（－１，－２），（０，－３），（４，－３），
（３，－２），（６，０），（０，０），（１，１），（１，２．５），（０，３），（－２，２）．
观察得到的图形，你觉得它们分别像什么？求出所得图形的面积．
９．建立一个平面直角坐标系，描出点犃（－２，４），犅（３，４），画出直线犃犅．若
点犆为直线犃犅上的任意一点，则点犆的纵坐标是什么？想一想：
（１）如果一些点在平行于狓轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特点？
（２）如果一些点在平行于狔轴的直线上，那么这些点的横坐标有什么特点？
１０．在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点，标出它们的位
置，看一看它们在第几象限或在哪条坐标轴上：
（１）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＞０；
（２）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＜０；
（３）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＝０．
   ጊ
１１．已知点犗（０，０），犅（１，２），点犃在坐标轴上，且犛三角形犗犃犅＝２，求满足条
件的点犃的坐标．
１２．设计一个能够用它的顶点坐标描绘出来的图形，把这些坐标告诉你的同学，
看一看他能否画出你设计的图形．
２１１
第十四章　平面直角坐标系
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
用经纬度表示地理位置
怎样表示地理位置呢？通过地球上的经度和纬
度，人们可以确定一个地点在地球上的位置．
在地球仪和很多地图上，都布满了细线网，这
就是经线和纬线．地球仪上与赤道平行的线是纬线，
它们用度（°）来表示地理纬度．赤道上所有点的纬
度是０°，北极对应北纬９０°，南极对应南纬９０°．北
京位于北纬３９．９３°，但仅用纬度这一坐标确定北京
的位置还是不够的，还需要第二个坐标———经度．
地球仪上连接南北两极的线是经线，它们也用度（°）来表示地理经度．经
过英国格林尼治（Ｇｒｅｅｎｗｉｃｈ）天文台旧址的经线作为经度的起始线，即０°经
线．它东面的所有点有东经度值（从０°到１８０°），西面的所有点有西经度值．例
如北京位于东经１１６．３３°．
由于地球可近似地看作一个球体，所以经线和纬线在地球表面构成一个坐
标网．经线沿东西方向分布，纬线沿南北方向分布．指明一点的经度和纬度，
就可以确定这一点在地球上的位置．例如，“北纬３９．９３°，东经１１６．３３°”确定
了北京在地球上的位置．
以下是某台风中心位置的一些信息：
１２月１８日１４时，台风中心位于海南
省三沙市永暑礁东北方向约２７０ｋｍ的海面
上，地理坐标为北纬１１．２°，东经１１４．８°．
１２月２０日５时，台风中心位于海南省
三沙市永兴岛西偏南方向大约２００ｋｍ的海
面上，地理坐标为北纬１６．２°，东经１１０．６°．
你能从中找出哪几种表示位置的方法？
你能借助地球仪，找到这次台风的中心在上
述两个时刻的位置吗？
３１１
第十四章　平面直角坐标系
１４．２坐标方法的简单应用
平面直角坐标系建立了平面内的点与它的坐标的一一对
应关系，这样就可以利用坐标方法数形结合地研究一些问题．
１４２１　用坐标表示地理位置
在实际生活中，经常需要准确描述一些地点的位置，这时可以通过建立平
面直角坐标系，用坐标来表示地理位置．
ᣏ/

根据以下条件画一幅示意图，画出天安门、国家体育场、中国人民抗
日战争纪念馆、北京朝阳火车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置．
国家体育场：在天安门以北约９ｋｍ处．
中国人民抗日战争纪念馆：在天安门以西约１４．５ｋｍ，再往南约６ｋｍ处．
北京朝阳火车站：在天安门以东约９．５ｋｍ，再往北约４ｋｍ处．
首钢滑雪大跳台：在天安门以西约２１ｋｍ处．
颐和园：在天安门以西约１１ｋｍ，再往北约１０ｋｍ处．
如图１４．２１，选天安门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为狓轴、
狔轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表１ｋｍ长．依题目
所给条件，点（０，０）就是天安门的位置，点（０，９）就是国家体育场的位
置，点（－１４．５，－６）就是中国人民抗日战争纪念馆的位置．
(0, 9)
y/km
-2
-4
-6
-12
-14
-16
ڎ ʹᐲڤ
(-14.5, -6)ܹ
߷᫃
x/km
˗ڎ̡
    ̂
ጢ ᯞ
-2
2
4
-4
-6
-8
-10
-18
-20
6
8
10
Oܹ
2
4
6
8
10
图１４．２１　
４１１
第十四章　平面直角坐标系
　　选取天安门所在位置
为原点，并分别以正东、
正北方向为狓轴、狔轴的
正方向，有什么优点？
类似地，请你在图１４．２１上画出北京朝阳火
车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置，并标明它
们的坐标．
ᑿ3
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下：
（１）建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定狓
轴、狔轴的正方向；
（２）根据具体问题，确定单位长度；
（３）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
我们知道，通过建立平面直角坐标系，可以用坐标表示平面内点的位置．
还有其他方法吗？
 Ꮶ
60e
A
B
Ӓ
图１４．２２　
如图１４．２２，一艘船在犃处遇险后向相
距３５ｎｍｉｌｅ位于犅处的救生船报警，如何用
方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？
救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向
和距离描述遇险船相对于救生船的位置？
由图１４．２２可知，救生船在遇险船北偏东６０°的方向上，与遇险船的距离
是３５ｎｍｉｌｅ．用北偏东６０°，３５ｎｍｉｌｅ就可以确定救生船相对于遇险船的位置．
反过来，用南偏西６０°，３５ｎｍｉｌｅ就可以确定遇险船相对于救生船的位置．
一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示平面内的地理位置，还可
以用表示方向的角和距离表示平面内物体的位置．
例１　某海警舰艇编队在巡航时，舰艇观察员观测到一座东西向的海岛，
海岛的西端位于舰艇的北偏西６０°，１．３８ｎｍｉｌｅ处，东端位于舰艇北偏东４５°方
向．请你根据以上信息，估算这座海岛东西向的长度．（１ｎｍｉｌｅ＝１．８５２ｋｍ）
解：如图１４．２３，根据题目信息，画出表示舰艇和海岛相对位置的示意图．
量得犃犅≈４．０ｃｍ，犅犆≈５．５ｃｍ．由于犃犅的长度代表实际距离１．３８ｎｍｉｌｅ
５１１
第十四章　平面直角坐标系
A
B
C
Ӓ
60e45e
　图１４．２３
（约２．５６ｋｍ），可知图１４．２３中１ｃｍ代
表实际距离约０．６４ｋｍ，所以海岛东西向
的实际长度约为０．６４×５．５≈３．５（ｋｍ）．
ጷ˸
A
B
C
D
E
F
G
（第１题）
１．如图，（１）如果点犅，犆的坐标分别为
犅（－１，－２）和犆（１，－１），写出犃，
犇，犈，犉，犌各点的坐标；
（２）请你在图中再建立一个平面直角坐
标系，并写出各点的坐标．
B
A
40e
 
C
!Ҹᅧ὘1:1 000 000
（第３题）
２．李明家在学校以东１０００ｍ，再往北１５００ｍ
处；张华家在学校以西２０００ｍ，再往南
５００ｍ处；王芳家在学校以南１５００ｍ
处．建立适当的平面直角坐标系，画出
学校和这三位同学家的位置，并用坐标
表示出来．
３．如图是三艘舰艇的位置示意图，试用方
向和距离描述犃，犅处的两艘舰艇相对
于犆处舰艇的位置．
１４２２　用坐标表示平移
我们知道，对一个图形进行平移，图形上点的位置会发生变化．这时如果
建立平面直角坐标系，就可以用坐标的变化表示平移了．
ᣏ/

如图１４．２４，将点犃（－２，－１）向右平移５个单位长度，得到点
犃１，在图上标出这个点，并写出它的坐标．观察坐标的变化，你能发现点
犃１的坐标与点犃的坐标之间有什么关系吗？把点犃向上平移４个单位长度呢？
６１１
第十四章　平面直角坐标系
2
O
y
x
-1-1
-3
3
-2
1
4
2
3
-2
-3
1
4
A
-1Ď
-2
(        
,
-4
图１４．２４
把点犃向左或向下平移２个单位长度呢？
再找几个点，对它们进行平移，观察各
组对应点的坐标之间的关系，你能从中发现
什么规律？
一般地，在平面直角坐标系中，将点（狓，狔）向右（或左）平移犪个单位长
度，可以得到对应点（狓＋犪，狔）（或（狓－犪，狔））；将点（狓，狔）向上（或下）平移
犫个单位长度，可以得到对应点（狓，狔＋犫）（或（狓，狔－犫））．
ᣏ/

如图１４．２５，正方形犃犅犆犇四个顶点的坐标分别是犃（－２，４），
犅（－２，３），犆（－１，３），犇（－１，４），将正方形犃犅犆犇先向下平移７个
单位长度，再向右平移８个单位长度，两次平移后四个顶点相应地变为点
犈，犉，犌，犎（图１４．２６），它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方
形犃犅犆犇，使点犃移到点犈，它和前面得到的正方形位置相同吗？
O
y
x
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
-5
-6
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7 8
A
O
y
x
-1
-2
-3
-4
1
2
4
5
-5
-6
B
C
D
A
B
C
D
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3
5 6 7 8
F
G
H
3
4
E
图１４．２５　　　　　　　　　　　　　　　图１４．２６
可以求出点犈，犉，犌，犎的坐标分别是（６，－３），（６，－４），（７，－４），
（７，－３）．如果直接平移正方形犃犅犆犇，使点犃移到点犈，它和前面得到的正方形
位置相同（图１４．２６）．
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过
将原来的图形作一次平移得到．
７１１
第十四章　平面直角坐标系
A
B
C
D
O
y
x
-1
1
3
4
-1
-2
-4
1 2
4 5 6 7
-2
2
-3
3
Ą
B
Ą
C
Ą
D
Ą
A
P(-3, 1)
-5
　图１４．２７
例２　（１）如图１４．２７，长方形犃′犅′犆′犇′
可以由长方形犃犅犆犇经过怎样的平移得到？对
应点的坐标有什么变化？
（２）点犘（－３，１）是长方形犃犅犆犇上
一点，写出点犘的对应点犘′的坐标．
解：（１）将长方形犃犅犆犇先向右平移３
个单位长度，再向上平移２个单位长度，可
以得到长方形犃′犅′犆′犇′．把长方形犃犅犆犇各个点的横坐标都加３，纵坐标都
加２，就得到了它们在长方形犃′犅′犆′犇′上对应点的坐标．
（２）由于点犘是长方形犃犅犆犇上一点，将点犘的横坐标加３，纵坐标加２，
就得到对应点犘′的坐标（０，３）．
ጷ˸
2
O
y
x
-1-1
-3
1
4
5
3
2
-2
3
-2
-3
-4
-5
(-1, 4)
(-4, -1)
(1, 1)
1
4
5
（第１题）
１．如图，将三角形向右平移２个单位长
度，再向上平移３个单位长度，则平
移后三个顶点的坐标分别是（　　）．
（Ａ）（２，２），（３，４），（１，７）
（Ｂ）（－２，２），（４，３），（１，７）
（Ｃ）（－２，２），（３，４），（１，７）
（Ｄ）（２，－２），（３，３），（１，７）
２．如图，图形Ⅱ可以由图形Ⅰ经过怎样
的平移得到？对应点的坐标有什么变化？
y
O
x
1
2
3
4
5
6
-6
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3
5 6
4
-1
-5
-6
-2
-3
-4
y
O
x
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3
5 6
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-6
ĉ■
ĉ■
Ĉ
Ĉ
（１）
（２）
（第２题）
８１１
第十四章　平面直角坐标系
A
B
O
y
x
-1
1
3
4
-1
-2
-4
1 2
4
-2
2
-3
3
-5
　（第３题）
３．在平面直角坐标系中，已知点犃（０，－２），
犅（３，０），先将线段犃犅向左平移２个单位
长度，向上平移３个单位长度，得到线段
犆犇；再将线段犆犇向左平移３个单位长度，
向下平移２个单位长度，得到线段犈犉．画
出平移后的线段犆犇和犈犉，并写出点犆，
犇，犈，犉的坐标．
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反
过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的
平移．
ᣏ/

O
y
x
-1
-2
-3
-4
1
2
4
-1
-2
-3
-4
1 2 3
3
4
-5
A
B
C
图１４．２８
如图１４．２８，三角形犃犅犆三个顶点的坐
标分别是犃（４，３），犅（３，１），犆（１，２）．
（１）将三角形犃犅犆三个顶点的横坐标都
减去６，纵坐标不变，分别得到点犃１，犅１，
犆１，依次连接犃１，犅１，犆１各点，所得三角形
犃１犅１犆１与三角形犃犅犆的大小、形状和位置
有什么关系？
（２）将三角形犃犅犆三个顶点的纵坐标都
减去５，横坐标不变，分别得到点犃２，犅２，犆２，依次连接犃２，犅２，犆２各
点，所得三角形犃２犅２犆２与三角形犃犅犆的大小、形状和位置有什么关系？
如图１４．２９，容易发现，所得三角形犃１犅１犆１与三角形犃犅犆的大小、形
状完全相同，三角形犃１犅１犆１可以看作将三角形犃犅犆向左平移６个单位长度得
到．类似地，三角形犃２犅２犆２与三角形犃犅犆的大小、形状完全相同，它可以看
作将三角形犃犅犆向下平移５个单位长度得到．
９１１
第十四章　平面直角坐标系
　　将三角形犃犅犆三个
顶点的横坐标都减去６，同
时纵坐标都减去５，画出得
到的图形．你有什么发现？
O
y
x
-1
-2
-3
-4
1
2
4
-1
-2
-3
-4
1 2 3
3
4
-5
A1
B1
C1
A
B
C
A2
B2
C2
图１４．２９
一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或
减去）一个正数犪，相应的新图形可以看作把原图形向右（或左）平移犪个单
位长度得到；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数犪，相应的新
图形可以看作把原图形向上（或下）平移犪个单位长度得到．
例３　如图１４．２１０，将三角形犃犅犆平移，得到三角形犃１犅１犆１，其中任意一
y
O
x
B(-4, -1)
C(2, 0)
A(-2, 3)
P
P
(x0, y0)
-1
-2
1
2
4
5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
5
6
7
3
4
6
(
+5,
+3)
1 x0
y0
　图１４．２１０
点犘（狓０，狔０）平移后的对应点为犘１（狓０＋５，
狔０＋３）．写出三角形犃犅犆的一种沿坐标轴方
向的平移方式，以及点犃１，犅１，犆１的坐标．
解：由平移前后的对应点犘和犘１的
坐标关系可知，将三角形犃犅犆先向右平
移５个单位长度，再向上平移３个单位长
度，可以得到三角形犃１犅１犆１．同时，还可
以得到点犃，犅，犆的对应点犃１，犅１，犆１的
坐标分别为（３，６），（１，２），（７，３）．
ጷ˸
y
O
x
1
2
4
5
1 2 3
3
4 5 6
6
7
A
B
C
D
(2, 3)
(2, 0)
-1-1
-2
（第１题）
１．如图，将四边形犃犅犆犇平移后，顶点
犆（２，３）的坐标变成了（２，０），这时点
犃（２，７），犅（１，５），犇（３，５）的坐标分
别变成了什么？画出四边形犃犅犆犇平移后
得到的图形．
０２１
第十四章　平面直角坐标系
y
1
2
3
2
O
x
6
A
B
C
1
3
4
5
-1
-2
-3
-1
-2
（第２题）
２．如图，平行四边形犃犗犆犅四个顶点的
坐标分别是犃（２，２），犗（０，０），犆（４，
０），犅（６，２）．将这四个顶点的横坐标
都减去３，同时纵坐标都加１，分别得
到点犃′，犗′，犆′，犅′．请在图中画出
四边形犃′犗′犆′犅′，它与平行四边形
犃犗犆犅有什么关系？
３．三角形犃犅犆的三个顶点的坐标分别为犃（－３，２），犅（１，１），犆（－１，
－２）．若将三角形犃犅犆平移，使点犃平移到点（１，－２）处，写出三
角形犃犅犆沿坐标轴方向平移的一种方式，以及点犅和点犆的对应点的
坐标．

ܭ˸ ڍ
１．如图，机械手要将一个工件从图中犃处移动到犅处，但是这个工件不能碰到
图中的红色障碍，试用坐标写出一条机械手在移动中可能要走过的路线．
y
x
O
1
A
B
 ᰎ 
 ߦ 
ڎ  
ڏ˺ᯞ
 ᫃
 Γ ὘110 000
Ӓ
ܭУ˗ߦ
 ᰎ 
 ߦ 
ڏ˺ᯞ
（第１题）　　　　　　　　　　　　　　（第２题）
２．如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标
表示教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．类似地，你能用坐标表
示你自己学校各主要建筑物的位置吗？
１２１
第十四章　平面直角坐标系
40e
A
B
Ӓ
　（第３题）
３．如图，在一次活动中，位于犃处的１班准备前往相距５ｋｍ
的犅处与位于犅处的２班会合，如何用方向和距离描述
２班相对于１班的位置？反过来，如何用方向和距离描述
１班相对于２班的位置？
４．如图，在一次飞行表演中，６架飞机犃，犅，犆，犇，犈，犉
编队飞行，且保持队形不变，分别写出它们的坐标．当飞机
犃飞行到犃′位置时，飞机犅，犆，犇，犈，犉飞到了什么位
置？用坐标表示这６架飞机的新位置．
2
y
x
-1
-3
1
4
3
2
3
-2
-3
1
4
5
O
-1
-2
A
B
C
D
-4
O
x
-3
5
-5
-1
-2
-3
1
2
3
1
2
3
4
-1
-2
y
A
B
D
E
F
C
Ą
A
（第４题）　　　　　　　　　　　　　（第５题）
５．如图，将平行四边形犃犅犆犇向左平移２个单位长度，再向上平移３个单位长
度，得到平行四边形犃′犅′犆′犇′．画出平移后的图形，并指出各个顶点的坐标．
፬Ռᤂၹ
６．如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄“底部”的点犃
的坐标为（－１，－２），表示叶片“顶部”的点犅的坐标为（２，６），请你写
出图中点犆，犇，犈，犉的坐标．
A
B
C
D
10
18
24
38
r =4
E
F
G
A
B
C
E
F
D
（第６题）　　　　　　　　　　　　　（第７题）
７．一长方形零件的尺寸（单位：ｍｍ）如图所示，建立适当的平面直角坐标系，
用坐标表示点犃，犅，犆，犇，犈，犉，犌的位置．
２２１
第十四章　平面直角坐标系
８．在制作动画片时，经常要用到图形的平移．如图，小鹿从点犃到犅，再到犆，
到犇，这几个过程中，分别进行了怎样的平移？
A
B
C
A
B
C
1 2 3
5 6
4
7 8 9
1
2
3
4
5
D
（第８题）　　　　　　　　　　　　（第９题）
９．如图，在平面直角坐标系中，三角形犃犅犆的顶点犃，犅的坐标分别为犃（３，６），
犅（－３，３）．把三角形犃犅犆平移得到三角形犆犇犈，使点犃平移到点犆处，那么点
犆平移后的对应点犈的坐标是什么？
   ጊ
１０．如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图的一部分．如
果这个平面直角坐标系分别以正东、正北方向为狓轴、狔轴的正方向，并且
猴山和狮虎山的坐标分别是（２，１）和（８，２），你能在此图上标出熊猫馆
（６，６）的位置吗？
-1
-2
1
2
3
O
5
4
6
-3
A
B
C
M
N
y
x
1
2
3
4
-2 -1
࿻ 
࿚ᘺ 
Ӓ
（第１０题）　　　　　　　　　　　　（第１１题）
１１．如图，三角形犆犗犅是由三角形犃犗犅经过某种变换后得到的图形，观察点犃
与对应点犆的坐标之间的关系．三角形犃犗犅内任意一点犕的坐标为（狓，
狔），点犕经过这种变换后得到点犖，点犖的坐标是什么？
３２１
第十四章　平面直角坐标系
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图１
春天到了，七年级（２）班组织同学
到人民公园春游，李明、张华对着景区
示意图（图１），描述牡丹园的位置（图
中小正方形的边长代表１００ｍ长）如下．
李明：“牡丹园的坐标是（３，３）．”
张华：“牡丹园在中心广场东北方
向约４２０ｍ处．”
实际上，他们所说的位置都是正
确的．你知道李明同学是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的吗？
你理解张华同学所说的“东北方向约４２０ｍ处”的含义吗？
用他们的方法，你能描述公园内其他景点的位置吗？与同学交流
一下．
“方阵表演”是运动会上非常受欢
迎的项目．各方阵借助色彩丰富、意
义独特的拼板、服装、道具等，通过
队形变化展示各自的特色风貌．
请以小组为单位，为你们班的方
阵表演设计一组动作，并写出表演设
计方案，与其他小组交流．设计方案
中要建立适当的平面直角坐标系，用
坐标表示方阵队员的位置．
４２１
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第十四章　平面直角坐标系
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本章我们通过具体实例学习了平面直角坐标系等知识，学习了应用
坐标描述一些简单图形，并应用坐标方法解决了一些简单问题．
建立平面直角坐标系后，对于坐标平面内任意一点犕，都有唯一的
一个有序实数对（狓，狔）与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对
（狓，狔），在坐标平面内都有唯一的点犕与它对应．这样，就建立了平面
内的点与它的坐标的一一对应关系，从而可以数形结合地研究问题．
坐标方法有广泛的应用．例如，我们可以利用坐标描述一些地点的分
布情况；还可以通过平面直角坐标系中对应点的坐标之间的关系，研究
图形的平移等问题．这种用数和运算来研究几何问题的方法是非常重要的，
可以培养我们的空间观念和几何直观，今后我们将不断地看到它的应用．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．结合具体实例，谈谈如何建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系
中描出原点以及其他一些点的位置，并分别指出它们的横坐标、纵坐标
及所在的象限．
２．当要用坐标描述一个简单几何图形时，你是如何建立平面直角坐
标系的？结合长方形谈谈你的做法．
３．你能结合具体实例，说一说怎样用坐标描述一个区域内的地点分
布情况吗？你又是怎样用方向和距离表示两个地点或物体的相对位置的？
请结合实例说明．
４．你能结合具体实例，说一说怎样借助坐标表示图形的平移吗？
５２１
第十四章　平面直角坐标系
ܭ˸ᮥ

ܭ˸ ڍ
-4
-2
2
O
y
x
-3
-1-1
-2-3
-4
1
2
3
4
-5
5
-5
1
3 4 5
（第２题）
１．在平面直角坐标系中描出下列各点，并指出
各点的横坐标和纵坐标及各点所在的象限．
犃（２，３），犅（－２，３），犆（－２，－３），犇（２，－３）．
２．如图，写出八边形各顶点的坐标．
３．在同一平面直角坐标系中描出下列各组点，
并将各组内的点用线段依次连接起来．
（１）（－２，０），（０，０），（０，５），（－２，２），
（－２，０）；
（２）（－５，０），（－２，－２），（０，－２），（０，０），（－５，０）；
（３）（２，０），（０，０），（０，－５），（２，－２），（２，０）；
（４）（５，０），（２，２），（０，２），（０，０），（５，０）．
观察所得的图形，你觉得它像什么？
４．图中标明了李明家附近的一些地方，这些地方都在网格线的交点处．
（１）写出书店和邮局的坐标；
（２）一个星期日早晨，李明从家出发，先后去了下列地点：（－１００，２００），
（１００，０），（２００，１００），（２００，－２００），（－１００，－２００），（０，－１００），最
后回到家里，依次写出他路上经过的地方；
（３）用线段依次连接他在（２）中经过的地点，你能得到什么图形？
4
2
4
6
8
8
6
6
6
6
2
2
2
2
2
4
4
4
4
6
8
8
8
8
000 010 020
030
040
050
060
070
080
090
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340 350
A
B
C
D
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x
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๗᫹ባ
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މމ 
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-100
100
200
300
400
-200
-300
-400
100
300
400
-100
-200
-300
 Ц 200
（第４题）　　　　　　　　　　　　　　（第５题）
６２１
第十四章　平面直角坐标系
５．如图，一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了犃，犅，犆，犇四个目标．
由雷达显示可知，目标犃在这艘船的南偏西７０°，４ｎｍｉｌｅ处．写出其他三个目
标相对这艘船的方向和距离．（图中中央位置为这艘船的位置）
６．平行四边形犃犅犆犗四个顶点的坐标分别是犃（槡３，槡３），犅（３槡３，槡３），犆（２槡３，
０），犗（０，０）．将这个平行四边形向左平移槡３个单位长度，得到平行四边形
犃′犅′犆′犗′．求平行四边形犃′犅′犆′犗′四个顶点的坐标．
፬Ռᤂၹ
７．（１）坐标（狓，３）中的狓分别取－３，－２，－１，０，１，２，３时所表示的点是
否在一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与狓轴有什么关系？
（２）坐标（３，狔）中的狔分别取－３，－２，－１，０，１，２，３时所表示的点是否在
一条直线上？如果这些点在一条直线上，这条直线与狓轴有什么关系？
８．图中显示了１０名学生平均每星期用于体育锻炼的课余时间和用于上网的课余时间
（单位：ｈ）．
（１）建立平面直角坐标系表示图中各点．
（２）图中有一个点位于方格纸的对角线上，这表示什么意思？
（３）图中方格纸的对角线的左上方的点有什么共同的特点？它右下方的点呢？
（４）估计一下你每星期用于体育锻炼的课余时间和用于上网的课余时间，在图
上描出对应的点，这个点位于什么位置？
5
5
ၹ̆
ʽᎪᄊិ
͸ ᫎ
ၹ̆
ʹ
ᐲ
᪐
ང
ᄊិ
͸
 ᫎ
（第８题）
９．树人中学的学生计划参观革命圣地延安，如图是校学生会绘制的宝塔山等地点
的分布图（图上标注的是各地点的位置，小正方形的边长代表实际约３５０ｍ长）．
７２１
第十四章　平面直角坐标系
请你在图上建立平面直角坐标系，表示各地点的位置．
 ڇ᭩֑
 ڧ
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ጢ ᯞ
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 ڧ
 ܉ 
љѝ ᳞
᭩֑
 ڧ
（第９题）
１０．兴康社区附近有五个快递中转站：第一个在居委会，第二个在居委会北偏东
３０°方向２０００ｍ处，第三个在居委会正西方向４５００ｍ处，第四个在居委会东
南方向３０００ｍ处，第五个在居委会正南方向２５００ｍ处．请你绘制一张平面
图，表示这五个快递中转站的位置．
   ጊ
１１．建立平面直角坐标系，并描出下列各点：
犃（１，１），犅（５，１），犆（３，３），犇（－３，３），犈（１，－２），犉（１，４），犌（３，２），
犎（３，－２），犐（－１，－１），犑（－１，１）．
连接犃犅，犆犇，犈犉，犌犎，犐犑，分别找出它们的中点，将这些中点的横坐标
和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们
之间有什么关系？写出你的发现，并与同学进行交流．
2
-1-1
-3
1
4
3
2
-2
3
-2
-3
-4
C
A
B
M
N
P
R
1
4
y
O
x
（第１２题）
１２．如图，三角形犘犙犚是三角形犃犅犆经过某种变
换后得到的图形，点犃，犅，犆经过这种变换
后分别得到点犘，犙，犚，观察对应点的坐标
之间的关系．三角形犃犅犆内任意一点犕的坐
标为（狓，狔），点犕经过这种变换后得到点
犖，点犖的坐标是什么？
８２１
综合与实践　地球表面位置的刻画和距离计算
综合与实践
地球表面位置的刻画和距离计算
建立平面直角坐标系后，可以用坐标精确表示平面内点的位置，进而得到
两点之间的距离．但我们无法将广袤的地球表面抽象为数学上的平面，并建立
平面直角坐标系．怎样准确定位地球表面的地点，进而计算两地之间的距
离呢？
人类具有无限的智慧，并且喜欢迎接各种挑战．在
古代，人们根据太阳、月球的形状，推测地球也是个
球体．为了定位地球表面的地点，古希腊天文学家喜帕
恰斯在地球这个“球体”表面设计了一个由经线和纬
线构成的网络．人们不断改进这个网络，就有了越来越
精确的经纬度坐标系统．利用地图投影方法，人们还绘
制出了地球表面的平面地图．
下面我们来探究表示地球表面的位置和计算两地之间的距离的方法．
ำүᄬ 
１．认识经纬度的意义，会用经纬度表示地球表面任意一点的位置；了解
地图投影方法在绘制平面地图中的应用及局限性．
２．初步认识球面上两点之间的距离的含义，能够分别计算位于同一经度
不同纬度、同一纬度不同经度的两地在球面上的距离．
　３．了解根据地球上两地的经度和纬度计算它们在球面上的距离的方法及
其局限性．
　４．认识不同背景下位置刻画的多样性，了解不同的坐标系．
ำүюܬ
１．观察地球仪、平面中国地图和世界地图，了解经线、纬线，以及经度、
纬度的概念．查阅相关资料，了解经线、纬线、经度、纬度等相关概念的由来．
２．查阅相关资料，了解如何应用投影方法绘制平面地图．
９２１
综合与实践　地球表面位置的刻画和距离计算
ำү͊
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　图１
ำүʷ 　认识经度、纬度可以表示
地球表面上点的位置
任务１　查阅相关资料，分享交流北
京、上海、三沙及你学校所在地的经度、
纬度．
任务２　结合北京的经度、纬度（图１），
阐释经线、纬线、经度、纬度的几何意义．
任务３　阐释用角度表示地球表面上
点的位置的原因．
任务４　简要阐释地图投影方法在绘
制平面地图中的应用及局限性．
ำү̄ 　根据两地的经度和纬度，计算它们在球面上的距离
任务１　查阅资料，回答下列问题：
球面上任意两点之间有无数条路径，这些路径之间是否存在最短的路径？
最短的路径是什么？
任务２　分别计算位于同一经度不同纬度、同一纬度不同经度的两地在球
面上的距离．
（１）北京与山东聊城、广东汕尾都处于东经１１６°附近，分别计算北京与聊
城、北京与汕尾在球面上的距离（用它们在东经１１６°经线圈上的距离计算，地
球半径约为６３７０ｋｍ）．
（２）北京与新疆库尔勒、美国纽约都处于北纬４０°附近，分别计算北京与
库尔勒、北京与纽约在球面上的距离（用它们在北纬４０°纬线圈上的距离计算，
北纬４０°纬线圈的半径约为４８８０ｋｍ）．
（３）在平面地图上度量上述两地之间的距离，并根据相应的比例尺，计算
两地之间的实际距离．你计算的结果与前面计算出的两地在球面上的距离有差
异吗？哪个差异更大？尝试从地图投影方法的局限性的角度解释原因．
任务３（选做）根据地球上任意两地的经度和纬度，计算它们在球面上的
距离时，可以使用Ｈａｖｅｒｓｉｎｅ公式．请你查阅资料，了解Ｈａｖｅｒｓｉｎｅ公式的使
０３１
综合与实践　地球表面位置的刻画和距离计算
用方法及其局限性，并据此分析下面的问题：
任务２中计算的北京与聊城、北京与汕尾在球面上的距离与使用
Ｈａｖｅｒｓｉｎｅ公式计算出的距离是否存在差异？如果存在差异，产生差异的原因
是什么？
ำүʼ 　了解不同的坐标系（选做）
随着后续的学习，我们会认识多种坐标系，如极坐标系、空间直角坐标
系、球坐标系、柱坐标系，等等，它们都是在解决具体问题中产生发展起来
的，各具特点．对于不同的问题，我们可以灵活选用不同的坐标系，以方便问
题的解决．
查阅资料，了解极坐标系、空间直角坐标系、球坐标系、柱坐标系，说说
它们刻画位置的方法，以及它们与平面直角坐标系的联系与区别．
ำү᣿ሮ
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．
ำүក͉
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．
１３１
第十五章
数据的收集、整理与描述
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的统计数据．例如，从２０１３年到
２０２２年，我国?ＧＤＰ从５９万亿元增长到１２１万亿元；２０２２年６月北京市的平
均气温为２５．７℃；育人中学七年级学生每星期校外体育锻炼的平均时间约为
５．２ｈ；等等．这些数据可以帮助人们了解周围世界的现状和变化规律，从而为
人们决策提供依据．你知道它们是如何获得的吗？你知道如何选择合适的统计
图表描述它们吗？
统计学（ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）是一门通过数据来研究问题和解决问题的科学，它能
帮助我们回答上面的问题．在本章中，我们将在小学所学统计知识的基础上，
学习收集数据的一些基本方法，在此基础上进一步学习如何整理数据，并用统
计图表直观形象地描述数据，从中发现数据蕴含的规律，获取我们需要的
信息．
? 今后如果不作特殊说明，本套书中涉及的有关全国统计数据涵盖的地域范围为全
国３１个省（自治区、直辖市），未包括我国台湾省、香港特别行政区和澳门特别行政区．
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
第十五章　数据的收集、整理与描述
１５．１统计调查
统计的研究对象是数据．面对一个统计问题，首要的任
务是收集数据，统计调查是收集数据的常用方法．
１５１１　全面调查
问题１　如果要了解全班同学对文学、科技、体育、艺术、劳技五类课外
活动的喜爱情况，你会怎么做？
为解决问题１，需要进行统计调查．
首先，可以通过问卷调查的方法收集数据，为此要设计调查问卷．
如果想了解男、女生
喜爱课外活动的差异，问
卷中还应该包含什么内容？
调查问卷
　　年　　月　
在下面五类课外活动中，你最喜爱
的是（　　）（单选）．
（Ａ）文学　（Ｂ）科技　（Ｃ）体育
（Ｄ）艺术　（Ｅ）劳技
利用调查问卷，可以收集到全班每位同学最喜爱的课外活动的编号（字
母），我们把它们称为数据．例如，某同学经过调查，收集到如下５０个数据：
用字母代替活动的
类型，可以方便统计．
ＣＥＡＣＤＣＤＣＢＤ
ＣＡＤＣＤＤＣＤＣＡ
ＢＣＡＢＣＤＣＡＣＣ
ＤＣＤＥＣＡＢＢＥＡ
ＢＤＣＥＢＤＢＤＣＤ
从上面的数据中，你能看出全班同学对各类课外活动的喜爱情况吗？
杂乱无章的数据不利于发现其中的规律．为了更清楚地了解数据所蕴含的
规律，需要对数据进行整理．统计中经常用表格整理数据，对前面５０个数据
的整理如表１５．１１所示．
３３１
第十五章　数据的收集、整理与描述
表１５１１　全班同学最喜爱的课外活动的人数统计表
课外活动类型
划记
人数
百分比
文学（Ａ）
正
７
１４％
科技（Ｂ）
正
８
１６％
体育（Ｃ）
正正正
１７
３４％
艺术（Ｄ）
正正
１４
２８％
劳技（Ｅ）
４
８％
合计
５０
１００％
在表１５．１１中，用划记法记录数据时，“正”字的每一划（笔画）代表一
位同学．例如，编号为Ａ的课外活动对应的人数是７，记为“正!”．
表１５．１１可以清楚地反映全班同学喜爱各类课外活动的情况．例如，最喜
爱文学类课外活动的同学有７人，占全班人数的１４％；最喜爱科技类课外活动
的同学有８人，占全班人数的１６％；等等．
为了更直观地表示表１５．１１中的信息，还可以用条形图（图１５．１１）和
扇形图（图１５．１２）来描述数据．
20
15
10
5
0̡
 
 ߦሙ ʹᐲᓨ ҷ ិܱ
ำүዝی
7
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17
14
4
图１５．１１
 ߦ
ሙ 
ʹᐲ
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ҷ 
28 
8 14 
16 
34 
图１５．１２
你能根据表１５．１１、图１５．１１和图１５．１２，说一说全班同学对五类课外
活动的喜爱情况吗？
在上面的调查中，我们利用调查问卷得到全班同学喜爱课外活动的数据，
利用表格整理数据，并用统计图对数据进行直观形象的描述．通过分析这些表
和图，了解全班同学喜爱课外活动的情况．在这个调查中，全班同学是要考察
的全体对象，我们对全体对象都进行了调查．像这样考察全体对象的调查叫作
全面调查．例如，２０２０年我国进行的第七次全国人口普查，就是一次全面调
查．普查结果显示，我国人口（包括现役军人、香港特别行政区、澳门特别行
政区和台湾地区的人口）共约１４４３５０万人．
在上面的调查中，全班同学是要考察的全体对象，称为总体，组成总体的
４３１
第十五章　数据的收集、整理与描述
每一名同学称为个体．为了强调调查目的，有时也把全班每一名同学喜爱的课
外活动类型的全体作为总体，每一名同学喜爱的课外活动类型作为个体．
ጷ˸
１．下列调查问题设计得合理吗？为什么？
（１）你每天睡眠充足吗？
（２）你们学校的环境噪声是否在５５ｄＢ以下？
（３）大多数同学认为学校操场应该铺设塑胶跑道，你同意吗？
２．下列调查问题的答案的选项设计得合理吗？如果不合理，如何修改？
（１）你对学校食堂的午餐满意吗？（　）
（Ａ）非常满意　（Ｂ）满意　　　（Ｃ）一般　　（Ｄ）不满意
（２）你平时最喜欢的一项课外活动是（　）．
（Ａ）读课外书　（Ｂ）体育活动　（Ｃ）看电视　（Ｄ）踢足球
３．举出一些生活中运用全面调查的例子．
１５１２　抽样调查
全面调查需要对调查对象的全体进行调查，能否通过调查一部分对象了解
调查对象的整体情况呢？
问题２　育人中学有２０００名学生，要想了解全校学生对文学、科技、体
育、艺术和劳技五类课外活动的喜爱情况，应该怎样进行调查？
可以用全面调查的方法对全校学生逐个进行调查，然后整理收集到的数
据，统计出全校学生对五类课外活动的喜爱情况．但是，育人中学的学生比较
多，全面调查花费的时间长，消耗的人力、物力大．因此，需要寻找一种不作
全面调查就能了解全校学生喜爱各类课外活动情况的方法，达到既省时省力又
能解决问题的目的．这就是我们要讨论的抽样调查．
抽样调查（ｓａｍｐｌｉｎｇｓｕｒｖｅｙ）是这样一种方法，它只抽取一部分对象进行
调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况．例如，在问题２中，我们可以
只抽取一部分学生进行调查，然后通过分析被调查学生的数据来推断全校学生
对五类课外活动的喜爱情况．全校学生是要考察的总体，而被抽取调查的那部
分学生构成总体的一个样本．
５３１
第十五章　数据的收集、整理与描述ͥ
ᝠ
  
  
 ʹ
那么，抽取多少名学生进行调查比较合适？被调查的学生又该如何抽取呢？
想了解一锅八宝粥
里各种成分的比例，只
要搅拌均匀后，舀一勺
查看，就能对整锅的情
况估计个八九不离十．
这与抽取部分学生估计
全校学生情况有什么相
似之处？
你还能想出使每名
学生都有相等机会被抽
到的方法吗？
如果抽取调查的学生很少，样本就不容易具有代
表性，也就不能客观地反映总体的情况；如果抽取调
查的学生很多，虽然样本容易具有代表性，但花费的
时间、精力也很多，达不到省时省力的目的．因此抽
取调查的学生数目要适当．例如，问题２中可以抽取
１００名学生作为样本进行调查．一个样本中包含的个体
的数目称为样本容量，上述抽取的样本容量为１００．
为了使样本尽可能具有代表性，除抽取调查的
学生数要合适外，抽取样本时，不能偏向某些学
生，应使学校中的每一名学生都有相等的机会被抽
到．例如，上学时间在学校门口随机调查１００名学
生；在全校学生的学籍号中，随机抽取１００个号
码，调查这些号码对应的学生；等等．
表１５．１２是李明同学抽取的样本容量为１００的调查数据统计表．
表１５１２　抽样调查１００名学生最喜爱课外活动的人数统计表
课外活动类型
划记
人数
百分比
文学（Ａ）
正正
１３
１３％
科技（Ｂ）
正正正
１８
１８％
体育（Ｃ）
正正正正正正
３２
３２％
艺术（Ｄ）
正正正正正
２７
２７％
劳技（Ｅ）
正正
１０
１０％
合计
１００
１００％
６３１
第十五章　数据的收集、整理与描述
 ߦ
ሙ 
ʹᐲ
ᓨ 
ҷ 
27 
13 
18 
32 
10 
图１５．１３
从表１５．１２中可以看出，样本中最喜爱体育类
课外活动的学生最多，所占百分比为３２％．据此可
以估计，这所学校的学生中，最喜爱体育类课外活
动的学生最多，约占全校学生的３２％．类似地，由
表１５．１２可以估计育人中学最喜爱其他类课外活动
的学生占全校学生的百分比，如图１５．１３所示．
在上面抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，
像这样的抽样方法称为简单随机抽样．
抽样调查是实际中经常采用的收集数据的方法．除了具有花费少、省时省
力的特点，它还适用于一些不宜用全面调查的情况，例如检测某批次灯泡的使
用寿命等具有破坏性的调查．需要注意的是，在抽样调查中，如果抽取样本的
方法得当，一般样本能客观地反映总体的情况，抽样调查的结果会比较接近总
体的情况，否则抽样调查的结果往往会偏离总体的情况．
ᑿ3
全面调查和抽样调查是收集数据的两种方法．全面调查收集到的数据
全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽
样调查具有花费少、省时省力的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直
接关系到对总体估计的准确程度．
ጷ˸
１．在一次试验中，为了估算５００块大小相同的试验田中海水稻的产量，通
过简单随机抽样的方法抽取了５０块试验田进行测产．指出这项抽样调
查的总体、个体、样本和样本容量．
２．为了解全校同学的平均身高，某同学调查了座位在自己旁边的３名同
学，把他们身高的平均值作为全校同学平均身高的估计．
（１）这项调查是抽样调查吗？
（２）这项调查结果能较好地反映总体的情况吗？如果不能，请说明理由．
３．七年级（１）班要选３名同学代表全班参加班级之间的交流活动．现在
按下面的办法抽取：
７３１
第十五章　数据的收集、整理与描述
把全班同学的姓名分别写在没有明显差别的小纸片上，把纸片混放在
一个盒子里，充分搅拌后，随机抽取３张，按照纸片上所写的名字选取
３名同学．
你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？为什么？
４．在以下调查中，哪些适宜用全面调查，哪些适宜用抽样调查？
（１）了解全班同学的身高情况；
（２）调查超市售卖的草莓农药残留是否超标；
（３）选出学校短跑最快的学生参加全市比赛；
（４）调查某批次汽车的抗撞击能力．
请以小组为单位，合作解决下面的问题．
问题３　比较你所在学校三个年级同学的平均体重：
（１）制订调查方案，并实施调查；
（２）根据收集到的数据，分析出每个年级同学的平均体重，并用折线图表
示平均体重随年级增加的变化趋势；
（３）每组安排一位代表向全班介绍本组完成上述任务的情况，并进行比较
和评议．
ጷ˸
１．对全国人民作“你认同的低碳生活方式”的民意调查，下面是三名同
学设计的调查方法：
同学甲：可以把要调查的问题放到访问量很大的网站上．
同学乙：可以在所住的小区门口随机调查一些居民．
同学丙：只要在班上调查一些同学就可以了．
上面三名同学能获得比较准确的民意调查结果吗？为什么？
２．一名学生想了解全校同学的家庭用电量情况，调查了本校家住光明小
区的５０名同学的家庭月均用电量，并把这５０个家庭月均用电量的平均
数作为全校同学家庭月均用电量的平均数的估计值，你觉得合理吗？
若不合理，请说明理由，并设计一个抽样调查的方案．
８３１
第十五章　数据的收集、整理与描述
３．你的脉搏是一分钟多少次？测量一下．你认为一次测量所得的数据能代
表一般情况吗？为什么？请设计一个能够较准确地反映你脉搏的测量
方案．

ܭ˸ ڍ
１．两名同学在作统计调查时，使用了下面两种提问方式，哪一种较好？为什么？
（１）难道你不认为科幻片比纪录片更有意思吗？
（２）你更喜欢哪一类电影，科幻片还是纪录片？
２．要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中
最合适的是（　　）．
（Ａ）随机选取一个班的学生　　　　　（Ｂ）随机选取一个体育队的学生
（Ｃ）在全校女生中随机选取１００人　（Ｄ）在全校学生中随机选取１００人
３．一家茶饮店为了选出最受顾客欢迎的饮料，在某个星期日对光顾本店的前５０
位顾客进行了调查．结果显示，超过一半的顾客都认为柠檬茶是自己最爱喝的
饮料．这是否意味着大多数光顾这家店的顾客都最喜欢喝柠檬茶？为什么？
４．下列调查中，哪些适宜用全面调查，哪些适宜用抽样调查？
（１）了解全班同学每周课余用于阅读的平均时间；
（２）调查市场上某品牌花生油的真菌毒素含量是否符合食品安全国家标准；
（３）检测鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数；
（４）调查某车间２０名职工对安全生产知识的了解情况．
፬Ռᤂၹ
５．为了解全班同学的出生月份分布情况，需对全班同学进行调查，请设计调查
问卷进行调查，并用表格整理数据．
６．学校准备购买一批演出服，供学生活动时借用．七年级（１）班的同学随机调
查了全校４０名同学适合的演出服尺码，结果发现：穿Ｓ号的有５人，穿Ｍ号
的有１６人，穿Ｌ号的有１０人，穿ＸＬ号的有５人，穿ＸＸＬ号的有４人．根
据调查结果，你认为七年级（１）班的同学会为学校购买服装提出什么建议？
９３１
第十五章　数据的收集、整理与描述
７．下表是２０２１年我国分地区国家级自然保护区的个数统计表．
地区
北京
天津
河北
山西内蒙古辽宁
吉林黑龙江
个数
２
３
１４
８
２９
１９
２４
４９
地区
上海
江苏
浙江
安徽
福建
江西
山东
河南
个数
２
３
１１
８
１７
１６
７
１３
地区
湖北
湖南
广东
广西
海南
重庆
四川
贵州
个数
２２
２３
１５
２３
１０
７
３２
１１
地区
云南
西藏
陕西
甘肃
青海
宁夏
新疆
个数
２１
１１
２６
２１
７
９
１５
请将表中各地区国家级自然保护区的个数（用狓表示）按以下数据段进行分组，
用表格统计各数据段中的地区个数，并说一说国家级自然保护区的分布情况．
狓＜５，５≤狓＜１０?，１０≤狓＜１５，１５≤狓＜２０，２０≤狓＜２５，２５≤狓＜３０，
３０≤狓＜３５，３５≤狓＜４０，４０≤狓＜４５，４５≤狓＜５０．
８．一家食品公司为调查新开发的一种点心的咸度是否适中，随机邀请了３６人免
费品尝并评分，结果如下：
　Ａ　太咸
Ｂ　稍咸
Ｃ　适中
Ｄ　稍淡
Ｅ　太淡
　　　　　　
ＣＣＣＢＡＤＢＣＣ
ＤＣＣＡＢＤＣＥＣ
ＥＣＣＡＢＥＣＢＣ
ＣＢＣＣＣＢＣＤＣ
请用表格整理上面的数据，画出条形图，并推断
大多数顾客将如何评价这种点心的咸度．
   ጊ
９．为了解全校同学家庭丢弃不可降解塑料袋的情况，请制订调查方案，并实施
调查．根据调查结果，你能估计全校同学家庭一个月内丢弃不可降解塑料袋的
情况吗？
０４１
?５≤狓＜１０表示狓大于或等于５，且狓小于１０．
第十五章　数据的收集、整理与描述
 ቃˁԧဘ
 ቃˁԧဘ
 ቃˁԧဘ
瓶子中有多少粒豆子
一个瓶子中装有一些豆子，如何估计这个瓶子中豆子的数目？请同学们通
过小组合作完成下面的活动：
（１）从瓶子中取出一些豆子，记
录这些豆子的粒数犿；
（２）给这些豆子做上记号；
（３）把这些豆子放回瓶子中，充
分摇匀；
（４）从瓶子中再取出一些豆子，
记录这些豆子的粒数狆和其中带有
记号的豆子的粒数狀；
（５）利用得到的数据犿，狆，狀，估计原来瓶子中豆子的粒数狇≈　　　　；
（６）数出瓶子中豆子的总数，验证你的估计．
上面的试验利用了抽样调查的方法．类似的试验在生产和科研中经常用到．
例如，可以用这种方法估计一个养鱼池中鱼的数目．
首先从鱼池的不同地方捞出一些鱼，在这些鱼的身上做上记号，并记录捞出
的鱼的数目犿，然后把鱼放回鱼池．过一段时间后，在同样的地方再捞出一些鱼，
记录这些鱼的数目狆，数出其中带有记号的鱼的数目狀，把狀狆作为整个鱼池中带有
记号的鱼在鱼的总数中所占的比值．这样就可以估计鱼池里鱼的数目狇≈狆狀×犿．
１４１
第十五章　数据的收集、整理与描述
１５．２用统计图描述数据
对于收集到的统计数据，在对它们进行整理的基础上，
往往需要根据问题的特点，选择合适的统计图描述数据，直
观形象地反映数据的特征和其中蕴含的信息，从而解决相应
的问题．
１５２１　扇形图、条形图和折线图
在小学，我们学习过画条形图、折线图描述数据，并在六年级上册认识了
扇形图．在上一节中，我们通过扇形图直观描述了全班同学或全校同学喜爱各
类课外活动的情况，你知道上一节中的扇形图是如何画出来的吗？
我们知道，扇形图用圆代表总体，每一个扇形代表总体中的一部分，通过
扇形的大小反映各个部分占总体的百分比．由于在一个圆内，扇形的大小由它
的圆心角确定，因而只要根据各部分占总体的百分比求出圆心角的度数，就可
以画出各部分对应的扇形．
47e
65e
36e
97e
115e
　图１５．２１
例如，画图１５．１３的扇形图时，首先按各类课外活动
所占的百分比，计算出对应扇形的圆心角度数，如“文学”
对应扇形的圆心角为３６０°×１３％≈４７°．同样可以计算出“科
技”“体育” “艺术” “劳技”对应扇形的圆心角分别约为
６５°，１１５°，９７°，３６°．然后根据各圆心角的度数，在一个圆
中画出各个扇形（图１５．２１），并注明各类别的名称及其相
应的百分比，便得到图１５．１３的扇形图．
例１　体重指数（ＢＭＩ）是衡量人体胖瘦程度的常用指标（ＢＭＩ＝体重
身高２）．
某公司为了解员工的胖瘦状况，随机抽取了６０名员工的体检数据，计算得到
他们的体重指数数据（单位：ｋｇ／ｍ２），如表１５．２１所示．
请选择合适的统计图，表示这个公司６０名员工中各类别体重指数的员工
人数和所占的百分比．同时说一说从绘制的统计图中，能获得哪些信息．
２４１
第十五章　数据的收集、整理与描述
　
ＢＭＩ（犿）
分类
犿＜１８．５
体重过低
１８．５≤犿＜２４．０体重正常
２４．０≤犿＜２８．０超重
犿≥２８．０
肥胖
　　　　　　
表１５２１
２５．２１７．９２２．２２３．３２９．０２１．４１８．０１９．２
２１．０１７．５１８．９２２．９２７．２２１．２１８．８１８．３
２０．７１６．７１８．４１７．５２２．３２２．１２４．１２０．０
３４．６１７．４２１．２２２．５２６．１２１．５２０．８１９．４
２０．８１７．５１８．８２２．６２７．０１９．１２４．４２３．８
２１．７２２．１１９．５２３．７２３．７２１．４１９．７１９．３
２３．４２９．１２３．２２７．６２３．８２３．９２３．５３１．０
１８．４２３．９２３．４３１．０
分析：可以先借助表格，统计各类别体重指数的员工人数和所占的百分
比．为了清楚地表示各类别中的人数，可以绘制条形图；为了直观地表示各类
别中的人数所占的百分比，可以绘制扇形图．
解：根据表１５．２１中的数据，统计出这个公司６０名员工的体重指数情况，
如表１５．２２所示．
表１５２２
分类
划记
人数
百分比
体重过低
正正
１０
１６．７％
体重正常
正正正正正正正
３８
６３．３％
超重
正
７
１１．７％
肥胖
正
５
８．３％
合计
６０
１００％
分别画出条形图（图１５．２２）和扇形图（图１５．２３），表示这个公司各类
别体重指数的员工人数和所占的百分比．
40
30
20
10
10
38
5
0̡
 
ʹ᧘  
ዝی
5
15
25
35
ʹ᧘
᣿Ͱ
ʹ᧘
  
ᡔ᧘
ᐪᑃ
7
图１５．２２
ʹ᧘᣿Ͱ
ʹ᧘  
ᡔ᧘
ᐪᑃ
8.3 
16.7 
63.3 
11.7 
　图１５．２３
３４１
第十五章　数据的收集、整理与描述
从图１５．２２和图
１５．２３中，你还能推
断出这个公司员工胖
瘦程度的什么信息？
从图１５．２２和图１５．２３中可以看出，这个公司６０
名员工中体重正常的人数最多，有３８人，所占百分比
为６３．３％；体重过低的人数次之，有１０人，所占百分
比为１６．７％；超重的有７人，所占百分比为１１．７％；
肥胖的人数最少，有５人，所占百分比为８．３％．
由此可以推断这个公司员工的胖瘦状况．例如，这个公司大多数员工的体
重正常，但仍有大约８％的员工肥胖，需要引起注意．
ጷ˸
１．七年级的所有学生都参加了社团活动，因条件限制，每名学生都只能
加入一个社团．李明对全年级同学参加社团活动的情况进行了一次调
查．如图是根据李明的调查数据绘制的不完整的统计图，请根据图中信
息，回答下列问题，并将统计图补充完整．
20
10
0
30
40
50
60
70
80
90
ϧ᪝᪴
႓.
1).
7C.
4ᱜ. .  /᪴
႓.
1).
7C.
4ᱜ.
80
40
60
40 
10 
20 
（第１题）
（１）七年级共有多少名学生？
（２）七年级有多少名学生参加篮球社？
（３）七年级参加美术社的学生人数占全年级总人数的百分比是多少？
２．某学校全体学生来自青山、绿水、向阳三个村庄，其人数比为１∶２∶２．
（１）如果有２０人来自青山村，那么这所学校共有多少名学生？
（２）用扇形图表示来自三个村庄的学生数所占的百分比．
３．张华家下个月各项消费支出的预算额如下表所示．请选择合适的统计
图，描述张华家下个月各项支出的预算额占总预算额的百分比．
类别
食品住房贷款教育交通衣着医疗生活用品及水、电费其他
预算额／元２１００１７５０１１００５５０３５０５００
３５０
３００
４４１
第十五章　数据的收集、整理与描述
接下来，我们进一步学习用条形图和折线图描述数据．
例２　表１５．２３是２０１３—２０２２年我国货物出口总额与进口总额的数据．请
选择合适的统计图，描述这十年我国货物进、出口总额的变化情况，并对它们
进行比较．
表１５２３　２０１３—２０２２年我国货物进、出口总额
年份
２０１３
２０１４
２０１５
２０１６
２０１７
货物出口总额／亿元
１３７１３１
１４３８８４
１４１１６７
１３８４１９
１５３３０９
货物进口总额／亿元
１２１０３８
１２０３５８
１０４３３６
１０４９６７
１２４７９０
年份
２０１８
２０１９
２０２０
２０２１
２０２２
货物出口总额／亿元
１６４１２９
１７２３７４
１７９２７９
２１４２５５
２３７４１２
货物进口总额／亿元
１４０８８１
１４３２５４
１４２９３６
１７３１５９
１８０６００
分析：折线图用折线的上升或下降表示数据的增减变化情况，有利于描述
数据的发展趋势；条形图能直观地表示各个数据的大小，便于比较数据．因
此，可以绘制折线图或条形图描述这十年我国货物进、出口总额各自的变化情
况．而要比较货物出口总额和进口总额，则可以把它们表示在同一幅统计图
中，绘制复合折线图或复合条形图．
解：可以绘制复合折线图描述表１５．２３中的数据，如图１５．２４所示．
200 000
150 000
100 000
50 000
0
2021
2022
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
᠎ྭ
ᤉnjѣ԰ ᮩ
̣
Ћ
 ͋
250 000
᠎ྭ
ѣ԰ ᮩ
᠎ྭ
ᤉ԰ ᮩ
图１５．２４
也可以绘制复合条形图描述表１５．２３中的数据，如图１５．２５所示．
５４１
第十五章　数据的收集、整理与描述
2021
2022
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
᠎ྭ
ѣ԰ ᮩ
᠎ྭ
ᤉ԰ ᮩ
 ͋
200 000
150 000
100 000
50 000
0
250 000
᠎ྭ
ᤉnjѣ԰ ᮩ
̣
Ћ
图１５．２５
从图１５．２４或图１５．２５中可以看出，除２０１４，２０１５，２０１６年外，２０１３—
２０２２年这十年间，我国的货物出口总额与进口总额基本上都保持逐年增长的
趋势，而且每年的出口总额都大于进口总额．
ᕊ5
比较扇形图、条形图和折线图，它们在描述数据方面各有什么特点？
ጷ˸
１．我国可再生能源发展不断实现新突破．下表是２０１３—２０２２年我国安装
完毕并投入使用的风力和太阳能发电装机容量．请选择合适的统计图表
示这两组数据，并说一说从图中读到的信息．
年份
２０１３
２０１４
２０１５
２０１６
２０１７
风力发电／万千瓦
７６５２
９６５７
１３０７５１４７４７１６３２５
太阳能发电／万千瓦
１５８９
２４８６
４２１８
７６３１
１２９４２
年份
２０１８
２０１９
２０２０
２０２１
２０２２
风力发电／万千瓦
１８４２７２０９１５２８１６５３２８７１３６５６４
太阳能发电／万千瓦
１７４３３２０４１８２５３５６３０６５４３９２６８
２．下表记录了２０１６—２０２２年我国九年义务教育巩固率、高中阶段毛入学
率和高等教育毛入学率的情况．请选择合适的统计图描述这三组数据，
并说一说从图中读到的信息．
６４１
第十五章　数据的收集、整理与描述
年份
２０１６２０１７２０１８２０１９２０２０２０２１２０２２
九年义务教育巩固率／％９３．４９３．８９４．２９４．８９５．２９５．４９５．５
高中阶段毛入学率／％８７．５８８．３８８．８８９．５９１．２９１．４９１．６
高等教育毛入学率／％４２．７４５．７４８．１５１．６５４．４５７．８５９．６
１５２２　直方图
我们学习了条形图、扇形图和折线图等
描述数据的统计图，下面介绍另一种常用来
描述数据的统计图．
问题１　为了举办运动会，学校准备从七
年级学生中挑选身高接近的４０人组成入场式
仪仗队．有６３人报名参加选拔，他们的身高
（单位：ｃｍ）数据如表１５．２４所示．
表１５２４
１５８
１５８
１６０
１６８
１５９
１５９
１５１
１５８
１５９
１６８
１５８
１５４
１５８
１５４
１６９
１５８
１５８
１５８
１５９
１６７
１７０
１５３
１６０
１６０
１５９
１５９
１６０
１４９
１６３
１６３
１６２
１７２
１６１
１５３
１５６
１６２
１６２
１６３
１５７
１６２
１６２
１６１
１５７
１５７
１６４
１５５
１５６
１６５
１６６
１５６
１５４
１６６
１６４
１６５
１５６
１５７
１５３
１６５
１５９
１５７
１５５
１６４
１５６
选择身高在哪个范围的学生参加呢？
为了使选取的仪仗队队员的身高看起来比较整齐，需要知道数据（身高）
的分布情况，即在哪些身高范围的学生比较多，哪些身高范围的学生比较少．
为此，可以通过对这些数据适当分组来进行整理．
１．计算最大值与最小值的差
在表１５．２４的数据中，最大值是１７２，最小值是１４９，最大值与最小值的
差是２３，说明身高的变化范围是２３．
２．决定组距和组数
把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点间的距离（组内数据的取值
７４１
第十五章　数据的收集、整理与描述
范围）称为组距．根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同．在本问题中，
我们作等距分组，即令各组的组距相同．如果从最小值起每隔３作为一组，那
么由于
最大值－最小值
组距
＝２３３＝７２３，
所以要将数据分成８组：１４９≤狓＜１５２，１５２≤狓＜１５５，…，１７０≤狓＜１７３，其
中狓表示身高值．这里组距和组数分别为３和８．
对于本节问题１中的
数据，你能举出其他分组
的例子吗？
组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经
验和所研究的具体问题来决定．将一批数据分组，
一般数据越多，分的组数也越多．当数据在１００个
以内时，按照数据的多少，常分成５～１２组．
３．列频数分布表
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫作频
数．整理可得下面的频数分布表：
表１５２５　频数分布表
身高分组
划记
频数
身高分组
划记
频数
１４９≤狓＜１５２
２
１６４≤狓＜１６７
正
８
１５２≤狓＜１５５
正
６
１６７≤狓＜１７０
４
１５５≤狓＜１５８
正正
１２
１７０≤狓＜１７３
２
１５８≤狓＜１６１
正正正
１９
合计
６３
１６１≤狓＜１６４
正正
１０
４．画频数分布直方图
如图１５．２６，为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据表１５．２５
画出频数分布直方图（ｈｉｓｔｏｇｒａｍ）．
ᵅ ᑧ᧙
7
6
5
4
3
2
1
0
149 152 155 158 161 164 167 170 173 ᢶᰴcm
图１５．２６
８４１
第十五章　数据的收集、整理与描述
在图１５．２６中，横轴表示身高，纵轴表示频数与组距的比值．容易看出，
小长方形面积＝组距×频数
组距＝频数．
由此可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的
频数的大小，小长方形的高是频数与组距的比值．
等距分组时，各小长方形的面积（频数）与高的比是常数（组距）．因此，
画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高
表示频数．例如，图１５．２６表示的等距分组问题通常用图１５．２７的形式表示．
20
15
10
5
0
149 152 155 158 161 164 167 170 173
ᮠ 
὆ߦၷ̡
 ὇
ᢶᰴcm
图１５．２７
从表１５．２５和图１５．２７中可以看出，身高在１５５≤狓＜１５８，１５８≤狓＜１６１，
１６１≤狓＜１６４三个组的人数最多，共有１２＋１９＋１０＝４１（人）．因此，可以从身
高在１５５ｃｍ至１６４ｃｍ（不含１６４ｃｍ）范围的学生中挑选仪仗队队员．
ᣏ/
上面对数据进行分组时，组距取３，把数据分成８组．如果组距取２
或４，那么数据分成几个组？这样能否选出需要的４０名学生呢？
ጷ˸
10
M᪝
U႓*ϧ᪝U
17
14
5
2
0
20
30 40
50
60 ᬣKmin
（第１题）
１．如图反映了七年级（１）班全班同学
从家到学校所需的平均时间，请根据
直方图回答下列问题：
（１）七年级（１）班一共有多少名同学？
（２）从家到学校所需的平均时间在哪
个范围的同学最多？哪个范围的
同学最少？
９４１
第十五章　数据的收集、整理与描述
（３）你还能从图中获得什么信息？
２．菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的数学奖项，每４年评选一次，主要授
予为数学发展作出杰出贡献的年龄不超过４０岁的年轻数学家．下面是
截至２０２２年菲尔兹奖得主获奖时的年龄：
２９　３９　３５　３３　３９　２８　３３　３５　３１　３１　３７　３２　３８
３６　３１　３９　３２　３８　３７　３４　２９　３４　３８　３２　３５　３６
３３　２９　３２　３５　３６　３７　３９　３８　４０　３８　３７　３９　３８
３４　３３　４０　３６　３６　３７　４０　３１　３８　３８　４０　４０　３７
３５　４０　３９　３７　３０　４０　３４　３６　３６　３９　３５　３７
　请根据下面不同的分组方法列出频数分布表，画出频数分布直方图，比
较哪一种分组能更好地说明菲尔兹奖得主获奖时的年龄分布．
（１）组距是２，各组是２８≤狓＜３０，３０≤狓＜３２，…；
（２）组距是５，各组是２５≤狓＜３０，３０≤狓＜３５，…；
（３）组距是１０，各组是２０≤狓＜３０，３０≤狓＜４０，…．
在工农业生产和科学试验中，也常用直方图描述数据的频数分布情况．
例３　为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了１００根
麦穗，量得它们的长度（单位：ｃｍ）如表１５．２６所示．
表１５２６
６．５６．４６．７５．８５．９５．９５．２４．０５．４４．６
５．８５．５６．０６．５５．１６．５５．３５．９５．５５．８
６．２５．４５．０５．０６．８６．０５．０５．７６．０５．５
６．８６．０６．３５．５５．０６．３５．２６．０７．０６．４
６．４５．８５．９５．７６．８６．６６．０６．４５．７７．４
６．０５．４６．５６．０６．８５．８６．３６．０６．３５．６
５．３６．４５．７６．７６．２５．６６．０６．７６．７６．０
５．５６．２６．１５．３６．２６．８６．６４．７５．７５．７
５．８５．３７．０６．０６．０５．９５．４６．０５．２６．０
６．３５．７６．８６．１４．５５．６６．３６．０５．８６．３
０５１
第十五章　数据的收集、整理与描述
列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图，并估计这种大麦穗长的分
布情况．
解：（１）计算最大值与最小值的差．
在样本数据中，最大值是７．４，最小值是４．０，它们的差是
７．４－４．０＝３．４．
（２）决定组距与组数．
在本例中，最大值与最小值的差是３．４．如果取组距为０．３，那么由于
３．４
０．３＝１１１３，
所以可以分成１２组，组数适合．于是取组距为０．３，组数为１２．
（３）列频数分布表．
表１５２７
分组
划记
频数
分组
划记
频数
４．０≤狓＜４．３
１６．１≤狓＜６．４
正正
１３
４．３≤狓＜４．６
１６．４≤狓＜６．７
正正
１１
４．６≤狓＜４．９
２６．７≤狓＜７．０
正正
１０
４．９≤狓＜５．２
正
５７．０≤狓＜７．３
２
５．２≤狓＜５．５
正正
１１７．３≤狓＜７．６
１
５．５≤狓＜５．８
正正正
１５
合计
１００
５．８≤狓＜６．１正正正正正
２８
（４）画频数分布直方图，如图１５．２８所示．
ᵅ ፟
᱕cm
5
0
10
15
25
20
30
4.0 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8 6.1 6.4 6.7 7.0 7.3 7.6
图１５．２８
从表１５．２７和图１５．２８看到，麦穗长度大部分落在５．２ｃｍ至７．０ｃｍ（不
１５１
第十五章　数据的收集、整理与描述
含７．０ｃｍ）的范围，落在其他范围的较少．长度在５．８≤狓＜６．１范围的麦穗根
数最多，有２８根，而长度在４．０≤狓＜４．３，４．３≤狓＜４．６，４．６≤狓＜４．９，
７．０≤狓＜７．３，７．３≤狓＜７．６范围的麦穗根数很少，总共只有７根．由此可以
估计这种大麦穗长主要分布在５．２ｃｍ至７．０ｃｍ（不含７．０ｃｍ）的范围，其中
穗长在５．８ｃｍ至６．１ｃｍ（不含６．１ｃｍ）范围的大麦最多．
ᕊ5
比较条形图和直方图，它们在描述数据方面各有什么特点？
ጷ˸
１．如图，为了解８００ｍ赛跑后学生心率的分布情况，体育老师统计了全
班４８名学生８００ｍ赛跑后一分钟的脉搏次数，并根据收集的数据画出
了频数分布直方图．由于不小心，有一个小长方形被墨水盖住了．你能
根据已有信息把直方图补全吗？
12
10
8
6
4
2
0
M᪝
6᤼ ᪝
14
16
130 135 140 145 150 155 160 165 170
（第１题）
２．下面是从蔬菜大棚中收集的５０株番茄上的果实个数：
２８　６２　５４　２９　３２　４７　６８　２７　５５　４３
３６　７９　４６　５４　２５　８２　１６　３９　３２　６４
６１　５９　６７　５６　４５　７４　４９　３６　３９　５２
８５　６５　４８　５８　５９　６４　９１　６７　５４　５７
６８　５４　７１　２６　５９　４７　５８　５２　５２　７０
请按组距为１０将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图，
并分析这５０株番茄上果实个数分布的情况．
２５１
第十五章　数据的收集、整理与描述
１５２３　趋势图
前面，我们用折线图表示了与时间有关的量（如２０１３—２０２２年我国货物
进、出口总额）的发展趋势．在现实生活中，还经常需要研究更广泛的两个量
之间的关系，如ＧＤＰ随时间的变化趋势、学生体重与身高的关系、商品销售
收入与广告支出的关系等，用什么统计图描述它们之间的关系呢？
问题２　为了研究气温对冷饮销售的影响，一家饮品店经过一段时间的统
计，得到一组卖出的冷饮杯数与当天最高气温的数据，如表１５．２８所示．
表１５２８
最高气温／℃
１２１３１７１９２０２２２４２５２８
冷饮杯数
５０６９７４９０１０８９７１１９１２５１５４
你能用统计图描述这家饮品店一天中卖出的冷饮杯数与当天的最高气温之
间的关系吗？
由表１５．２８可以看出，随着最高气温的逐渐升高，饮品店卖出的冷饮杯
数大致呈现逐渐上升的趋势．为了更加清楚地看出冷饮杯数与最高气温之间的
关系，如图１５．２９，用横轴表示最高气温，用纵轴表示冷饮杯数，描出表
１５．２８中各对值（１２，５０），（１３，６９），…，（２８，１５４）所对应的点．
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
11
13
15
17
19
21
23 25
27
29
шᯍ  
 ᰴ ພĆ
图１５．２９
观察图１５．２９中散点的分布情况，可以发现，这些散点大致落在一条呈
上升趋势的直线附近．
ᣏ/
如果用一条尽可能靠近所有散点的直线来表示一天卖出的冷饮杯数
与当天最高气温之间的关系，你能试着在图１５．２９中画出这条直线吗？
３５１
第十五章　数据的收集、整理与描述
如图１５．２１０，有的同学可能会画出这样一条直线，让它经过尽可能多的点．
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
11
13
15
17
19
21
23 25
27
29
шᯍ  
 ᰴ ພĆ
图１５．２１０
如图１５．２１１，有的同学可能会画出这样一条直线，让它两侧的点的个数
大致相等．
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
11
13
15
17
19
21
23 25
27
29
шᯍ  
 ᰴ ພĆ
图１５．２１１
如图１５．２１２，有的同学可能会画出多条直线，然后测量各点到这些直线
的距离和，选取距离和最小的直线作为所求的直线．
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
11
13
15
17
19
21
23 25
27
29
шᯍ  
 ᰴ ພĆ
图１５．２１２
要画出“尽可能靠近所有散点的直线”，可以有很多种画法，上面的几种
画法都有一定的道理．到了高中，我们将学习计算“竖直距离”的平方和，当
这个平方和最小时，可以求出一条直线来描述饮品店一天卖出的冷饮杯数与当
４５１
第十五章　数据的收集、整理与描述
天最高气温之间的关系（图１５．２１３）．
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
11
13
15
17
19
21
23 25
27
29
шᯍ  
 ᰴ ພĆ
图１５．２１３
像上面这样，用一条线（直线或曲线）来描述一个量与另一个量之间关系
的统计图，叫作趋势图（ｔｅｎｄｅｎｃｙｃｈａｒｔ）．
趋势图比较清楚地表示了两个量之间的关系，有利于根据一个量的变化，
预测另一个量的变化趋势．例如，根据图１５．２１３中的趋势图，可以预测当一
天的最高气温为３０°Ｃ时，饮品店卖出的冷饮约为１５５杯．
ᕊ5
结合具体问题，说一说趋势图在描述数据方面有什么特点．
ጷ˸
１．下表记录了８位男生和他们的父亲的身高．用趋势图描述儿子身高与父
亲身高之间的关系，并根据你作的趋势图，估计当父亲身高为１７５ｃｍ
时儿子的身高．
父亲身高／ｃｍ
１６５１６８１７２１７４１７７１７７１８０１８３
儿子身高／ｃｍ
１６８１６９１７４１７７１７６１７８１８１１８２
２．下表是２０１６—２０２２年我国地下水供水量的数据．
年份
２０１６２０１７２０１８２０１９２０２０２０２１２０２２
地下水供水量／亿立方米１０５７１０１７９７６９３４８９３８５４８２８
用趋势图描述这段时间我国地下水供水量的变化趋势，并预测２０２３年
的地下水供水量．查阅资料，看一看你的预测值与２０２３年的实际值相
差多少．
５５１
第十五章　数据的收集、整理与描述

ܭ˸ ڍ
１．学校准备购买一批课外读物．为使课外读物能够满足学生的需求，学校就“我
最喜爱的课外读物类型”作了一次样本容量为１５０的抽样调查．如图是根据调
查结果绘制的统计图．
60
40
20
0̡
 
ዝѿ
 ߦ
ᓨ 
ሙ 
Х̵
50
35
28
37
（第１题）
（１）绘制扇形图，表示样本中喜爱各类课外读物的学生所占的百分比；
（２）学校计划购买课外读物４５００册，根据样本数据，估计学校购买多少册科
普类读物比较合理．
２．下面的折线图描述了某地一天的气温变化情况．
 ພĆ
2὘00
 ҉
4὘00
6὘00
8὘00
10὘00
12὘00
14὘00
16὘00
18὘00
20὘00
22὘00
24὘00
0὘
00
18
20
22
24
26
28
30
32
23
22
24
24
27
30
30
29
28
27
26
31
（第２题）
（１）这一天的最高气温是多少？什么时刻达到最高气温？
（２）这一天的最低气温是多少？什么时刻达到最低气温？
（３）估计这一天７时、１１时、１５时和１９时的气温．
（４）描述这一天气温的变化情况．
６５１
第十五章　数据的收集、整理与描述
３．下表记录了２０１６—２０２２年我国的汽车销量和新能源汽车销量．
年份
２０１６２０１７２０１８２０１９２０２０２０２１２０２２
汽车销量／万辆
２８０２．８２８８７．９２８０８．１２５７６．９２５３１．１２６２７．５２６８６．４
新能源汽车销量／万辆５０．７７７．７１２５．６１２０．６１３６．７３５２．１６８８．７
选择合适的统计图，描述这些年我国汽车销量和新能源汽车销量的变化情况，
以及新能源汽车销量在汽车销量中的占比的变化趋势．
４．体育委员统计了全班同学６０秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表．
分组
６０≤狓＜８０
８０≤狓＜１００
１００≤狓＜１２０１２０≤狓＜１４０
频数
３
４
１７
９
分组
１４０≤狓＜１６０１６０≤狓＜１８０１８０≤狓＜２００
频数
８
６
１
根据频数分布表回答下列问题：
（１）这个班有多少名同学？
（２）组距是多少？组数是多少？
（３）跳绳次数在１２０≤狓＜１６０范围的同学有多少？占全班人数的百分之几？
（４）画出适当的统计图表示频数分布表中的信息．
（５）你怎样评价这个班的跳绳成绩？
፬Ռᤂၹ
５．绿水村经过五年的乡村振兴发展，年经济收入翻了两番．五年前和现在，绿水
村的年经济收入中“种植收入”“养殖收入”“第三产业收入”和“其他收入”
的占比情况分别如图（１）（２）所示．
መ  К
Щ  К
ኄʼ̗
ˊ К
Х̵
 К̋
 Ғ
38 
24 
30 
8 
ဘښ
መ  К
Щ  К
ኄʼ̗
ˊ К
Х̵
 К
27 
6 
56 
11 
（第５题）
读图并回答下列问题：
（１）哪些项目的收入增长了，哪些项目的收入减少了，与五年前相比分别增
长或减少了多少？
７５１
第十五章　数据的收集、整理与描述
（２）按现在的趋势，什么产业可能成为绿水村的支柱产业（即年经济收入中
占比最多的产业）？为什么？
６．据统计，Ａ，Ｂ两省人口总数基本相同．某年Ａ省的城镇在校初中学生人数为
１５０万，乡村在校初中学生人数为１３万；Ｂ省的城镇在校初中学生人数为２１１万，
乡村在校初中学生人数为４０万．李明根据这些数据画出下面两种复合条形图．
250
200
150
100
50
0
Aᄵ
Bᄵۢ
᪚
˹ ۢ
᪚
˹ 
ᄵ͋
Ѻ˗ߦၷ̡
 ʺ
250
200
150
100
50
0
300
Aᄵ
Bᄵ
Ѻ˗ߦၷ̡
 ʺ
ᄵ͋
（第６题）
（１）哪种图能更好地反映两省在校初中学生总人数？
（２）哪种图能更好地比较Ａ（或Ｂ）省城镇与乡村在校初中学生人数？
（３）说一说这两种图的特点．
７．一个面粉批发商统计了前４８个星期的销售量（单位：ｔ）：
２４．４１９．１２２．７２０．４２１．０２１．６２２．８２０．９２１．８１８．６２４．３２０．５
１９．７２３．５２１．６１９．８２０．３２２．４２０．２２２．３２１．９２２．３２１．４１９．２
２３．５２０．５２２．１２２．７２３．２２１．７２１．１２３．１２３．４２３．３２１．０２４．１
１８．５２１．５２４．４２２．６２１．０２０．０２０．７２１．５１９．８１９．１１９．１２２．４
将数据适当分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图，并分析这个面粉
批发商每星期购进面粉多少吨比较合适．
８．下表是２０１３—２０２２年我国的ＧＤＰ数据．用趋势图描述我国这段时间ＧＤＰ的
发展趋势，并根据作出的趋势图，预测我国２０２３年的ＧＤＰ数值．查阅资料，
看一看你的预测值与２０２３年ＧＤＰ的实际值相差多少．
年份
２０１３
２０１４
２０１５
２０１６
２０１７
ＧＤＰ／亿元５９２９６３．２６４３５６３．１６８８８５８．２７４６３９５．１８３２０３５．９
年份
２０１８
２０１９
２０２０
２０２１
２０２２
ＧＤＰ／亿元９１９２８１．１９８６５１５．２１０１３５６７．０１１４９２３７．０１２１０２０７．２
８５１
第十五章　数据的收集、整理与描述
   ጊ
９．下表记录了１９９５—２０２０年每隔五年我国高新技术产品的出口额及其在当年商品
出口贸易总额中所占的百分比．请绘制合适的统计图表示我国高新技术产品出口
贸易的发展趋势．
年份
１９９５２０００２００５２０１０２０１５２０２０
高新技术产品
出口额／亿美元
１０１
３７０
２１８２４９２４６５５２７７６３
占商品出口贸易总额
的百分比／％
６．８
１４．８２８．６３１．２２８．８３０．０
１０．下表是２０２２年我国分地区城市绿地面积统计表．
地区
北京
天津
河北
山西
面积／ｈｍ２
９３５５８
４７７１３
１００５６３
５８２８８
地区
内蒙古
辽宁
吉林
黑龙江
面积／ｈｍ２
７１５７３
１５０４６２
９９４５１
７４５２７
地区
上海
江苏
浙江
安徽
面积／ｈｍ２
１７２６４７
３１９７２５
１８９７５７
１３２３６３
地区
福建
江西
山东
河南
面积／ｈｍ２
９１０８８
８０５６０
２８０６５０
１３５１７０
地区
湖北
湖南
广东
广西
面积／ｈｍ２
１１７９８５
９９４３９
５３９６０４
８１２３６
地区
海南
重庆
四川
贵州
面积／ｈｍ２
１９６８３
７６５８４
１４３４５９
１００４８７
地区
云南
西藏
陕西
甘肃
面积／ｈｍ２
６３２７０
６８５８
８０２６９
３２８３４
地区
青海
宁夏
新疆
面积／ｈｍ２
９１６０
２６４１８
９０６３９
根据上面提供的数据，分析２０２２年这些地区的城市绿地面积的分布情况．
９５１
第十五章　数据的收集、整理与描述
η    ၹ
η    ၹ
η    ၹ
利用信息技术工具画统计图
利用信息技术工具画统计图不但快捷方便，而且画出的统计图标准、美观．
能画统计图的信息技术工具有专门的统计软件，如Ｒ、ＳＰＳＳ、ＳＡＳ等；也有具
有一定统计功能的软件，如电子表格、ＧｅｏＧｅｂｒａ、网络画板等；还有图形计算
器等．
下面以绘制图１５．２６中的直方图为例，简单介绍一下用某计算机软件画统
计图的操作过程．
１．输入数据
将表１５．２４中的数据输入，形成列表ｌ１．
２．设置起点和组距
在输入栏输入命令“组限（ｌ１，１４９，ｄ）”，其中数值１４９代表起点，ｄ代表组
距，点击回车键，就创建了ｄ的一个滑动条，同时在“代数区”会出现列表ｌ２．
这时右键点击滑动条，可在“属性”中设置ｄ的变化范围和增量，如设置范围
为１≤ｄ≤５，增量为０．５（图１）．
图１
３．画直方图
在输入栏输入命令“直方图（ｆａｌｓｅ，ｌ２，ｌ１，ｔｒｕｅ）”，点击回车键，即可得到一
个直方图．
０６１
第十五章　数据的收集、整理与描述
４．改变组距
拖动滑动条使ｄ＝３，即可得到图１５．２６中的直方图（图２）．
图２
利用信息技术工具，不仅能画直方图，还可以画条形图、扇形图和折线图
等其他类型的统计图．请利用信息技术工具画出条形图１５．１１和扇形图１５．１２．
注意：不同软件或同一软件的不同版本，其具体操作可能不同．
１６１
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
3
2
1
第十五章　数据的收集、整理与描述
︽关于死亡表的自然的和政治的考察︾书影
１７世纪，英国学者格兰特通过整理和分析有关死亡
原因的公报中庞大的数据，对当时伦敦的人口问题作了一
些论断，于１６６２年出版了《关于死亡表的自然的和政治
的考察》，这对后世统计学发展有重大影响．
１８９４年，统计学家凯尔在挪威作
关于退休金和疾病保险金调查时，将人
口按城市和乡村进行“分层”，然后在
各层中按照比例抽取样本，这就是“代
表性抽样”．
由部分推断整体就会产生误差，
１９世纪的人们质疑抽样调查的可信性．
１９０６年，统计学家鲍利系统地说明了
如何测定抽样误差．经过几十年的努
力，抽样调查的方法最终被公众接受．
２６１
第十五章　数据的收集、整理与描述
“大数据”正在改变世界，
正在改变人们的思维模式和行为
方式……如今，计算机的发展使
需要大量计算的统计方法得以实
现，统计学仍然在发展中……
１８９９年，酿酒师戈塞特为了研究原料及生
产条件与啤酒质量的关系，需要分析酿酒过程中
的数据．由此，他开启了一个全新的课题———人
为试验下得到的少量数据的小样本统计问题．
随着小样本理论进一步完善和发展，统计分
析研究的范围进一步扩大，统计学的发展也迈上
了新台阶．
１８７０年，高尔顿开始用统计方法研
究遗传学，例如，他发现子女的平均身
高有向所有成年子女平均身高“回归”
的倾向．相关研究促进统计学取得了突破
性进展———回归和相关的发现和发展．这
不仅提供了一种重要的统计方法，而且
为２０世纪统计方法的发展提供了契机．
选自高尔顿１８８６年发表的论文
《遗传身高向平均身高的回归》
３６１
第十五章　数据的收集、整理与描述
 ߦำү
"ߕȟѝ@ڕ) ႓+Ꭰ CP
"ߕȟA+ Ꮑᔘ
通过小组合作完成下列活动：
根据本班人数准备相同数量的小纸片，这些小纸片没有明显差别．
１．调查并记录全班每名同学的身高，分别写在不同小纸片上，算出
全班同学的平均身高，然后把所有的小纸片放在一个纸盒里．
２．充分搅拌盒中的纸片，随机抽取出１５张纸片作为一个样本，计算
纸片上数字的平均值，将抽取的纸片放回纸盒．
３．比较样本平均身高和全班平均身高，谈谈你对这个结果的看法．
４．重复上述步骤２若干次，把每次求得的样本平均身高和全班平均
身高作比较，你有什么发现？
准备一把带刻度的直尺，和一位同学合作来测量反应速度．
第一步：伸出一只手，拇指和其余四
指分开；
第二步：让同伴把直尺直立，刻度０
在下方，拿到你的拇指和四指之间，使刻
度０的位置与拇指在同一高度，然后松手，
你要以最快的速度抓住直尺；
第三步：记录手抓在直尺上的刻度犾
（单位：ｃｍ）；
第四步：重复试验１０次，记录并整理
试验所得数据．
在１０次试验中，所得犾的最大值、最小值和平均值各是多少？犾的值
与反应速度有什么关系？与你的同伴对调，并重复上面的过程，看谁的反
应速度快．
４６１
 ፇ
ʷnj ቦᅼគፇ ڏ̄
njڀᮏˁ Ꮶ
第十五章　数据的收集、整理与描述
  ូ
 
Л᭧ូ
 ҄
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ڏ
 
ጳ
ڏ
ᄰ
 
ڏ
ᡖ
ҹ
ڏ
 
 
ڏ
为了更好地了解周围世界，经常需要有目的地收集一些数据，然后
用统计图表整理和描述数据，发现数据中蕴含的信息，再根据现有信息
作出合理推断和预测．这一过程不仅有助于具体问题的解决，也可以培养
数据观念．
本章我们学习了两种收集数据的方法———全面调查和抽样调查．全面
调查考察全体调查对象，抽样调查只考察部分调查对象．因为抽样调查是
根据样本来推断总体，所以在设计抽样方案时，要注意样本对总体的代
表性．简单随机抽样是一种基本且实用的抽样方法，它要求总体中的每一
个个体都有相等的机会被抽到．
利用统计图表等整理和描述数据，有利于发现和探索数据中蕴含的
规律，获取数据中的信息．不同的统计图在描述数据时有不同的特点，应
根据实际问题的需要选用合适的统计图描述数据．条形图、扇形图一般用
来描述分类数据．条形图直观地显示了每个类别数据的大小，利用它容易
比较各类别数据之间的差距；扇形图显示了每个类别数据占总数的百分
比，利用它容易看出各类别数据相对总数的大小，以及各类别数据之间
的相对大小．折线图常用于描述随时间变化的数据，它能够显示不同时刻
５６１
第十五章　数据的收集、整理与描述
的数据，利用它容易看出数据随时间的变化趋势．直方图一般用来描述连
续分组数据，通过对数据分组，显示数据取值的分布，利用它容易从整
体上把握数据分布的特点．趋势图可以用来描述两个量之间的关系，利用
它可以根据一个量的变化预测另一个量的变化趋势．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．什么是全面调查和抽样调查？它们各有什么优缺点？哪些情况下
宜用全面调查？哪些情况下宜用抽样调查？
２．为什么抽样调查可以作为了解总体的方法？为了使样本对总体有
较好的代表性，抽样时需要注意什么？
３．简单随机抽样有什么特点？用简单随机抽样抽取的样本是否一定
具有代表性？请举例说明．
４．扇形图、条形图、折线图、直方图和趋势图在描述数据方面各有
什么特点？请举例说明如何根据问题的需要选取恰当的统计图表示数据．
ܭ˸ᮥ

ܭ˸ ڍ
１．一家电影院为调查最近上映的电影的受欢迎程度，设计了如下调查问卷，调查
对象是来电影院的人．这个问卷中存在哪些不足？
姓名　　　　　　年龄　　　　　
１．今天晚上你看的电影是　　　　　　　　　　．
２．电影好看吗？（　　）
（Ａ）很好看　　　　　（Ｂ）好看　　　　　（Ｃ）不好看
３．你买爆米花了吗？（　　）
（Ａ）买了　　　
（Ｂ）没有
４．请用十分制为电影打分，你认为你今晚观看的电影可以打　　分．
５．今晚的电影与你看的上一场电影相比怎么样？（　　）
（Ａ）比上一场好看　　（Ｂ）差不多　　
（Ｃ）没有上一场好看
６６１
第十五章　数据的收集、整理与描述
２．要调查下列问题，应采用全面调查还是抽样调查？说一说理由．
（１）某城市的空气质量；
（２）全国中学生的视力和用眼卫生情况；
（３）某批应聘人员的技术水平；
（４）某池塘中现有鱼的数量．
３．下列调查的样本是否具有代表性？
（１）为了解全校同学喜爱课程的情况，对某班男同学进行调查；
（２）为了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查；
（３）为了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查．
４．校医务室调查了３０名在校七年级男生的体重情况，发现他们的平均体重为
４８ｋｇ，你觉得可以用它作为七年级学生平均体重的估计吗？为什么？
５．为了解全校学生参与家务劳动的情况，某学校开展了“一周参与家务劳动时间”
的问卷调查，根据收集到的数据，将劳动时间狓（单位：ｍｉｎ）分为Ａ（狓＜６０），
Ｂ（６０≤狓＜９０），Ｃ（９０≤狓＜１２０），Ｄ（狓≥１２０）四组进行统计，并绘制了如图
所示的不完整的条形图和扇形图．请把统计图补充完整，并回答以下问题：
（１）这次一共调查了多少名学生？
（２）若这所学校共有１５００名学生，根据以上调查结果，估计这所学校学生中一
周参与家务劳动时间不少于９０ｍｉｎ的学生大约有多少人．
60
50
40
30
20
10
0̡
 
70
80
90
A
B
C
D
70
30
ҷү ᫎ
35 
40 
A
B
C
D
（第５题）
６．学校想购买一批跑鞋供学生借用．七年级（１）班的同学负责调查女生的鞋号，
他们从全校各个年级随机抽查了３８名女同学的鞋号，具体数据如下：
３５　３７　４１　３５　３７　３６　３７　３８　３６　３７
３７　３８　３５　３４　３９　３５　４０　３６　３７　３６
３８　３９　３７　３９　３６　３５　３６　３７　３８　３４
４０　３７　３５　３８　４０　３６　３７　３６
７６１
第十五章　数据的收集、整理与描述
（１）整理上面的数据，看一看穿不同鞋号的女生各有多少．绘制合适的统计图，
表示穿不同鞋号的女生占调查总人数的百分比．
（２）你认为七年级（１）班的同学会为学校购买女生的运动鞋提出什么建议？
７．下表记录了２０１３—２０２２年我国高速铁路营业里程和客运量的数据．
年份
２０１３
２０１４
２０１５
２０１６
２０１７
营业里程／ｋｍ
１１０２８
１６４５６
１９８３８
２２９８０
２５１６４
客运量／万人
５２９６２
７０３７８
９６１３９
１２２１２８
１７５２１６
年份
２０１８
２０１９
２０２０
２０２１
２０２２
营业里程／ｋｍ
２９９０４
３５３８８
３７９２９
４０１３９
４２２４１
客运量／万人
２０５４３０
２３５８３３
１５５７０７
１９２２３６
１２７５３３
选择合适的统计图，分别表示我国高速铁路营业里程和客运量的变化情况，并
描述从图中读到的信息．
፬Ռᤂၹ
８．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查．下面是通过
简单随机抽样调查，获得的５０个家庭去年的月均用水量（单位：ｔ）数据．
３．９５．１７．７１１．３１．５１１．１７．３７．９５．６４．５
１０．７２４．８１１．４６．２１０．１２．１６．９１７．５３．１５．４
２２．２１８．０１３．６１５．９１６．７１０．２２．０４．９５．２１２．０
１２．５１３．８３．５５．７４．８７．１６．２５．９３．４８．９
２．４１４．４４．２６．４６．８７．３５．５９．７８．３１９．０
（１）选择合适的组距和组数，列出样本频数分布表，画出频数分布直方图．从直
方图中能得到什么信息？
（２）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按１．５
倍价格收费．若要使６０％的家庭水费支出不受影响，这个标准应该定为多
少？为什么？
９．在相同的条件下，对同一型号的３０辆汽车进行每百千米耗油试验，结果
（单位：Ｌ）如下：
７．１８．１７．３７．１７．８７．６７．６７．４６．９７．２
７．２７．９７．６７．５７．０７．２７．９７．７７．６７．４
７．４７．５７．４８．３８．０７．６７．４７．６７．５７．９
请统计分析这批汽车的耗油情况．
８６１
第十五章　数据的收集、整理与描述
１０．通常来说，广告支出越多，商品销售收入越高．下表记录了一家公司某产品的
广告支出与销售收入的数据．
广告支出／万元
１
２
４
５
７
销售收入／万元
１２
２０
２５
３０
４０
绘制趋势图描述销售收入随广告支出增加的变化趋势，并预测当广告支出为８
万元时，销售收入是多少．
   ጊ
１１．阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启
发，树立崇高理想，涵养浩然之气．请你设计一个调查方案，了解你所在学校
同学课余阅读的情况，并比较男、女生在阅读爱好和阅读量上是否有差异．
９６１
综合与实践　白昼时长规律的探究
综合与实践
白昼时长规律的探究
北京天安门广场上，五星红旗每天都
会早晨升起，傍晚降落．有同学可能会问：
天安门广场上，每天国旗的升降时刻都是
一样的吗？其实，天安门广场上每天升降
旗的时刻并不是固定不变的，而是根据北
京的日出、日落时刻变动的．根据生活经
验，我们知道：一年四季中白昼时长（白昼时长是指从日出到日落的时间长
度）并不是固定不变的．那么，一座城市每天的日出、日落时刻有什么规律
呢？下面我们就来共同探究这个问题吧．
ำүᄬ 
１．探究北京白昼时长的变化规律．
２．探究不同纬度、经度地区白昼时长变化规律的差异，并用这些规律解
决一些实际问题．
ำүюܬ
１．通过报刊、图书、网络等查阅资料，了解二十四节气；收集北京２０２４
年全年日出、日落时刻的数据；收集北京、新疆阿图什、广东揭阳２０２４年
二十四节气日的白昼时长数据．
２．学习如何使用信息技术工具绘制简单的统计图．
ำү͊
Ҭ
ำүʷ 　探究北京白昼时长的变化规律
通过查阅资料，可以收集到北京２０２４年全年日出、日落时刻的数据．通过
对数据的分析比较，可以发现不少有趣的规律，例如：
（１）１月１２日到６月１１日，日出时刻由７：３６逐渐提前到４：４５，平均每天
０７１
综合与实践　白昼时长规律的探究
提前约１ｍｉｎ８ｓ；
（２）６月１７日到１２月２９日，日出时刻由４：４５又逐渐推迟到７：３６，平均
每天推迟约５３ｓ；
（３）１月１日到１月１２日和１２月２９日到１２月３１日，每天的日出时刻大
约为７：３６，６月１１日到６月１７日，每天的日出时刻大约为４：４５．
它们反映了北京日出时刻的部分变化规律．那么，如何较为全面地刻画北
京白昼时长的变化规律呢？我们知道，北京全年的日出、日落时刻数据繁多，
能否选用其中一些具有代表性的数据来刻画呢？
我们知道，二十四节气日是气候变化的节点，北京日出、日落时刻以及白
昼时长与它们可能有着密切联系．二十四节气起源于我国黄河流域，是前人世
代农耕劳作智慧的结晶，是我国传统文化在历法中的体现．二十四节气的名称，
含有气候变化、物候特点和农业生产活动等多种含义（表１），２０１６年，我国
二十四节气被联合国教科文组织正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．
表１　二十四节气名称的含义
表示寒来暑往四季变化
立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至
象征气温变化
小暑、大暑、处暑、白露、寒露、霜降、小寒、大寒
反映降水
雨水、谷雨、小雪、大雪
反映物候现象或农事活动惊蛰、清明、小满、芒种
下面，我们通过北京２０２４年二十四节气日的日出、日落时刻，来探究北
京白昼时长的变化规律．
任务１　整理数据
利用收集到的北京２０２４年全年日出、日落时刻的数据，计算北京２０２４年
二十四节气日的白昼时长，完成表２．
表２　北京２０２４年二十四节气日白昼时长
节气
日期
日出时刻
日落时刻
白昼时长
小寒
１月６日
７：３６
１７：０４
９ｈ２８ｍｉｎ
大寒
１月２０日
立春
２月４日
雨水
２月１９日
惊蛰
３月５日
１７１
综合与实践　白昼时长规律的探究
续表
节气
日期
日出时刻
日落时刻
白昼时长
春分
３月２０日
清明
４月４日
谷雨
４月１９日
立夏
５月５日
小满
５月２０日
芒种
６月５日
夏至
６月２１日
小暑
７月６日
大暑
７月２２日
立秋
８月７日
处暑
８月２２日
白露
９月７日
秋分
９月２２日
寒露
１０月８日
霜降
１０月２３日
立冬
１１月７日
小雪
１１月２２日
大雪
１２月６日
冬至
１２月２１日
任务２　描述数据
利用信息技术工具绘制出北京２０２４年二十四节气日的日出、日落时刻的
散点图．
任务３　分析数据
你能推断北京２０２４年日出、日落时刻有什么规律吗？北京２０２４年中哪一
天的白昼最长？这一天是否也是日出最早、日落最晚的一天？北京２０２４年白
昼时长是如何变化的？请用数据和适当的统计图说明．
ำү̄ 　探究不同纬度、不同经度地区白昼时长的变化规律
每天的日出、日落时刻受地球的自转与公转影响．同一日期，不同地点每天日
出、日落的时刻各不相同；同一地点，日出、日落的时刻也随日期的变化而变化．
为了探究不同纬度和不同经度地区白昼时长的变化规律，我们选择北京
２７１
综合与实践　白昼时长规律的探究
（基准城市）、新疆阿图什（与北京纬度大致相同但经度不同）、广东揭阳（与
北京经度大致相同但纬度不同）三个城市，探究它们白昼时长的变化规律．
任务１　比较研究
（１）收集北京、新疆阿图什、广东揭阳三地２０２４年二十四节气日的白昼
时长数据．观察这些数据，你能发现这三地的白昼时长是如何变化的吗？请用
适当的统计图说明．
（２）观察统计图，你认为影响白昼时长变化的因素有哪些？这些因素又是
如何影响白昼时长的？
（３）２０２４年这三地的平均白昼时长是多少？这三地的白昼时长是否具有
１２ｈ附近的天数多，其他时长的天数少的特点？请用适当的统计图说明．
任务２　日出、日落时刻与正午时刻的关系
ʽӥ
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　图１
当某地太阳高度达到一天中的最大值
时，就是一天的正午时刻．理论上，一个地
区日出、日落时刻相对于当天的正午时刻应
该是“对称”的（图１），于是就能得到一个
简单的计算公式：
白昼时长＝（正午时刻－日出时刻）×２＝（日落时刻－正午时刻）×２．
通常情况下，公式中的“正午时刻”为当地的正午１２时整．根据上述计算
公式，如果已知某地某天的日出时刻或日落时刻，就能推算出当天的白昼时
长；反过来，如果已知此地某天的白昼时长，也能推算出当天的日出时刻与日
落时刻．
（１）根据以上公式，如果某地的白昼时长在某个阶段逐日变得越长时，那
么此地的日出时刻与日落时刻在那个阶段会如何变化？为什么？
（２）类比上述计算方法，如果已知某地后一天的日出时刻或前一天的日落
时刻，如何计算此地这两日之间的黑夜时长？
（３）观察表２收集的北京日出、日落时刻数据，我们发现，日出、日落时
刻并不是关于北京时间正午１２时整对称的（也就是说，正午时刻不是北京时
间正午１２时整），而是存在一定的误差．请以小组为单位，从报刊、图书、网
络等查阅资料或咨询专业人士，了解造成这种现象的原因．
３７１
综合与实践　白昼时长规律的探究
ำүʼ 　有趣的护眼模式（选做）
近年来，近视已经成为影响青少年健康的重要问题，
而手机、电脑等电子产品是造成青少年近视的主要原因
之一．为了尽量减少使用手机对眼睛带来的伤害，很多手
机在系统里开发了护眼模式，这种护眼模式可以智能地识
别日出、日落时刻．
任务　我们知道，各地每天的日出、日落时刻并不相
同，而手机的使用者可能分布在全国乃至全世界不同的地
方．那么智能手机是如何智能地识别日出、日落时刻的变
化呢？请你查阅相关资料，了解背后的道理吧．
ำү᣿ሮ
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．
ำүក͉
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．
４７１
!"#
本套教科书（六～九年级）由人民教育出版社课程教材研究所小学和中学数学课
程教材研究开发中心依据教育部《义务教育数学课程标准（２０２２年版）》编写．
本套教科书集中反映了基础教育课程改革的最新成果，总结了上一版《义务教育
教科书（五·四学制）　数学》的编写经验，凝聚了教育专家、学科专家、教材编写
人员、教研人员及一线教师的集体智慧．参加本套教科书统稿的还有李海东、王光
明，参加本册教科书统稿的还有宋莉莉，参加本册教科书编写讨论的还有张伟、王翠
巧．本套教科书封面设计由中央美术学院设计团队完成，人民教育出版社设计部制作．
本册教科书版式设计为王俊宏，封面插图绘制为康鲁雷，内文插图绘制为王俊宏、张
婷婷、康鲁雷．我们感谢所有对教科书的编写、审读、试教、出版等提供过帮助与支
持的同仁和社会各界朋友．
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系，
得到了他们的大力支持．新华社、国家卫星气象中心、视觉中国、ＩＣｐｈｏｔｏ、中新图
片和李文林、张朝平等为本册教科书提供了图片素材．对此，我们表示衷心的感谢！
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵的意
见和建议．我们将本着精益求精的态度，集思广益，不断修订，努力使教科书日趋
完善．
联系方式
电　　话：０１０５８７５８３１９，５８７５８８６６
电子邮箱：ｊｃｆｋ＠ｐｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ
意见反馈平台：ｊｃｙｊｆｋ．ｐｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ
人民教育出版社　课程教材研究所
®
WUSI XUEZHI
SHUXUE
YIWU JIAOYU JIAOKESHU
七年级   
上册
义务教育教科书( 五·四学制)
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