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七年级
下册
义务教育教科书( 五·四学制)
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七年级
下册
义务教育教科书( 五· 四学制)
·北 京·
人民教育出版社   课程教材研究所  编著
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
义务教育教科书（五·四学制）  数学  七年级  下册
人民教育出版社  课程教材研究所  编著
出    版 
  
          （北京市海淀区中关村南大街17 号院1 号楼  邮编：100081）
网    址  http://www.pep.com.cn
  
版权所有·侵权必究
  
顾    问：林  群  田  刚
主    编：王长平
执行主编：薛  彬
分册主编：刘长明
编写人员（以姓氏笔画为序）：
          孙  锋  宋莉莉  陆志强  胡红芳 
          姚  芳  袁亚良  崔佳佳  薛  彬   
责任编辑：张  伟
责任设计：王俊宏
责任校对：王  苗
责任印制：
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
致同学
亲爱的同学，新的学期开始了．在本学期的数学学习中，我们将要学习哪
些内容？快来了解一下吧．
对于要求两个未知数的实际问题，“二元一次方程组”将带你列出含有两
个未知数的一次方程组表示其中的相等关系，并通过解方程组获得实际问题的
答案．通过类比等式、一元一次方程学习“不等式与不等式组”，你将对不等
关系有新的认识，并进一步学习不等式的性质和解法．这些内容的学习有助于
你抽象能力、运算能力、模型观念和应用意识的提升．
相信你对三角形并不陌生，比如我们在小学已经学过“三角形的内角和等
于１８０°”，怎样证明这个结论呢？在“三角形”中，你不仅能够解决这个问题，
而且能够学到研究几何图形的重要思想和方法．“全等三角形”将带你认识全
等这种图形间特殊的关系，获得判断两个三角形全等的方法，探索并证明角的
平分线的性质．学习了这些内容，你的推理能力和解决问题的能力会进一步
提升．我们已经学习了整式这种基本的代数式，学习了整式的加减运算，在“整
式的乘法”中，你将类比数的运算，进一步学习整式的乘除运算，学习一些重
要的运算性质和公式，加深对“从数到式”这个由具体到抽象的过程的认识．
通过本章内容的学习，你的运算能力会进一步提升．
此外，综合与实践“低碳生活”将带你了解“碳达峰”“碳中和”，计算生
活中的“碳足迹”，设计自己的低碳生活行动方案；“确定匀质薄板的重心位
置”将带你了解重心的概念，探究确定平面组合图形重心位置的方法．
数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功．让我们扬帆
起航，开启一段新的数学之旅吧！
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
目　　录
第十六章　二元一次方程组
１
１６．１　二元一次方程组的概念
２
１６．２　消元———解二元一次方程组
５
１６．３　实际问题与二元一次方程组
１５
１６．４　三元一次方程组的解法
２１
图说数学史　中国古代数学的光辉成就
———解多元一次方程组
２６
阅读与思考　中国古代著名的一次不定
方程组问题
２８
数学活动
２９
小结
３１
第十七章　不等式与不等式组
３４
１７．１　不等式
３５
阅读与思考　用求差法比较大小
４４
１７．２　一元一次不等式
４５
１７．３　一元一次不等式组
５４
数学活动
５９
小结
６０
综合与实践　低碳生活
６３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
６７
１８．１　三角形的概念
６８
１８．２　与三角形有关的线段
７１
１８．３　三角形的内角与外角
７７
阅读与思考　为什么要证明
８４
数学活动
８５
小结
８６
综合与实践　确定匀质薄板的重心位置
８９
第十九章　全等三角形
９４
１９．１　全等三角形及其性质
９５
１９．２　三角形全等的判定
９８
信息技术应用　探究三角形全等的条件
１１２
１９．３　角的平分线
１１４
图说数学史　公理化方法
１２０
数学活动
１２２
小结
１２３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
１２７
２０．１　幂的运算
１２８
２０．２　整式的乘法
１３３
２０．３　乘法公式
１４３
阅读与思考　杨辉三角
１５０
数学活动
１５１
小结
１５２
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第十六章　二元一次方程组
在解决一些问题时，经常会遇到求两个未知数的情形．看下面的问题．
新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采
摘的主要方式．某种棉大户租用６台大、小两种型号的采棉机，１ｈ就完成了
８ｈｍ２棉田的采摘．如果每台大型采棉机１ｈ完成２ｈｍ２棉田的采摘，每台小型
采棉机１ｈ完成１ｈｍ２棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机
各多少台？
在这个问题中，要求的是两个未知数．如果用一元一次方程来解决，列方
程时，要用一个未知数表示另一个未知数．能不能根据题意直接设两个未知
数，使列方程变得容易呢？我们从这个想法出发开始本章的学习．
在本章中，我们将从实际问题出发，认识二元一次方程组，学习解二元一
次方程组的方法，并运用二元一次方程组解决一些实际问题．在此基础上，学
习三元一次方程组及其解法．通过本章的学习，你将对方程（组）有新的认识．
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
１６．１二元一次方程组的概念
我们来看本章引言中的问题．
 Ꮶ
列方程要先找到相等关系．本章引言中的问题包含了哪些必须同时满
足的相等关系？若设这个种棉大户租用了狓台大型采棉机，狔台小型采棉
机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？
容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系：
大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数，
大型采棉机１ｈ采摘面积＋小型采棉机１ｈ采摘面积＝１ｈ采摘总面积．
这两个相等关系可以分别用方程狓＋狔＝６和２狓＋狔＝８表示．
上面的两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？
可以看出，在上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（狓和狔），且
含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是１，像这样的方程叫
作二元一次方程（ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）．
上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系，也就是未知数狓，狔必
须同时满足方程
狓＋狔＝６
①
和
２狓＋狔＝８．
②
把这两个方程合在一起，写成
狓＋狔＝６，
２狓＋狔＝８，
烅烄
烆
就组成了一个方程组．这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都
是整式，含有未知数的项的次数都是１，一共有两个方程，像这样的方程组叫
作二元一次方程组（ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）．
２
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
ᣏ/

满足方程①，且符合问题的实际意义的狓，狔的值有哪些？把它们填
入表中．
狓
狔
上表中哪对狓，狔的值还满足方程②？
显然，狓＝１，狔＝５；狓＝２，狔＝４；…；狓＝５，狔＝１满足方程①，也就是
使方程狓＋狔＝６两边的值相等，它们都是方程狓＋狔＝６的解．如果不考虑方
程狓＋狔＝６与上面实际问题的联系，那么狓＝－１，狔＝７；狓＝０．１，狔＝５．９；…
也都是这个方程的解．
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次
方程的解．
我们还发现，狓＝２，狔＝４既满足方程①，又满足方程②．也就是说，
狓＝２，狔＝４是方程①与方程②的公共解．我们把狓＝２，狔＝４叫作二元一次方
程组狓＋狔＝６，
２狓＋狔＝８
烅烄
烆
的解，这个解通常记作狓＝２，
狔＝４．
烅烄
烆
联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了２台大型采棉机，４台小型采
棉机．一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组
的解．
ጷ˸
对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题
的解．
１．某村乡村振兴项目计划把２８ｔ黄桃加工成罐头，刚开始每天加工２ｔ，
后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工４ｔ，前后共用８天完
成全部加工任务．这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？
２．在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜１场得２分，负１场得
１分．某队在１０场比赛中得到１６分，这个队的胜、负场数分别是多少？
３
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第十六章　二元一次方程组

ܭ˸ ڍ
１．填表，使上下每对狓，狔的值是方程３狓＋狔＝５的解．
狓
－２
０
０．４
５３
狔
－１
－２－２．５－３
２．方程组狓＋６狔＝４，
３狓－狔＝２．５
烅烄
烆
的解是（　　）．
（Ａ）狓＝２，
狔＝－０．２５
烅烄
烆
　　　　　　　　　　（Ｂ）狓＝－５．５，
狔＝４
烅烄
烆
（Ｃ）狓＝１，
狔＝０．５
烅烄
烆
　　
（Ｄ）狓＝－１，
狔＝－０．５
烅烄
烆
፬Ռᤂၹ
３．如果三角形的三个内角分别是狓°，狔°，狔°，求：
（１）狓，狔满足的关系式；
（２）当狓＝９０时，狔的值；
（３）当狔＝６０时，狓的值．
４．我国古代数学著作《孙子算经》（成书于公元４００年前后）中有“鸡兔同笼”
问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．你能用
二元一次方程组表示问题中的数量关系吗？试找出问题的解．
   ጊ
５．把一根长７ｍ的钢管截成２ｍ长和１ｍ长两种规格的钢管，为了不造成浪费，
应截成２ｍ长和１ｍ长的钢管各多少根？你能用二元一次方程来解决这个问
题吗？
４
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第十六章　二元一次方程组
１６．２消元———解二元一次方程组
在上一节中，我们根据本章引言中的问题列出了方程
组，并结合未知数的实际意义，通过逐一尝试的方法，找出
了方程组的解．本节我们继续研究怎样解二元一次方程组．
１６２１　代入消元法
在上一节中，我们已经看到，直接设两个未知数：租用了狓台大型采棉
机，狔台小型采棉机，可以列方程组
狓＋狔＝６，
２狓＋狔＝８
烅烄
烆
表示本章引言中问题包含的相等关系．如果只设一个未知数：租用了狓台大型
采棉机，那么这个问题也可以用一元一次方程
２狓＋（６－狓）＝８
来解决．
 Ꮶ
对于本章引言中的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相
等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程．你能由所列出的
二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？
我们发现，二元一次方程组中第一个方程狓＋狔＝６可以写为狔＝６－狓．由于两
个方程中的狔都表示租用小型采棉机的台数，所以可以通过等量代换，把第二个方
程２狓＋狔＝８中的狔换为６－狓，这个方程就化为一元一次方程２狓＋（６－狓）＝８．解
这个一元一次方程，得狓＝２．把狓＝２代入狔＝６－狓，得狔＝４，从而得到这个方程
组的解．
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以
把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知
数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思
想，叫作消元思想．
５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未
知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次
方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
例１　用代入法解方程组
狓－狔＝３，
３狓－８狔＝１４．
烅烄
烆
①
②
分析：方程①中狓的系数是１，用含狔的式子表示狓，再代入方程②，比较简便．
解：由①，得
狓＝狔＋３．
③
　　把③代入①可以
吗？试试看．
把③代入②，得
３（狔＋３）－８狔＝１４．
解这个方程，得
狔＝－１．
　　把狔＝－１代入①
或②可以吗？
把狔＝－１代入③，得
狓＝２．
所以这个方程组的解是
狓＝２，
狔＝－１．
烅烄
烆
例２　用代入法解方程组
３狓－５狔＝３，
２狓－狔＝１６．
烅烄
烆
①
②
分析：方程②中狔的系数是－１，用含狓的式子表示狔，再代入方程①，
比较简便．
解：由②，得
狔＝２狓－１６．
③
把③代入①，得
３狓－５（２狓－１６）＝３．
解这个方程，得
狓＝１１．
６
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第十六章　二元一次方程组
把狓＝１１代入③，得
狔＝６．
所以这个方程组的解是
狓＝１１，
狔＝６．
烅烄
烆
ጷ˸
１．把下列方程改写成用含狓的式子表示狔的形式：
（１）３狓＋狔－１＝０；　　　　　（２）２狓－狔＝３．
２．用代入法解下列方程组：
（１）２狓－狔＝５，
３狓＋４狔＝２；
烅烄
烆
　　　
（２）３狓－２狔＝５，
２狓＋狔＝８；
烅烄
烆
（３）４犪－３犫＝５，
２犪＋犫＝５；
烅烄
烆
　　　
（４）狊－３狋＝－２，
狊＋５狋＝６．
烅烄
烆
上面要解的二元一次方程组的两个方程中有一个未知数的系数为１或－１，
下面再来看另外一些例子．
例３　用代入法解方程组
２狓－５狔＝－１１，
９狓＋７狔＝３９．
烅烄
烆
①
②
分析：方程①中狓的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含狔的式
子表示狓，再代入方程②．
解：由①，得
狓＝５２狔－１１２．
③
　　解这个方程组时，可
以先消去狔吗？试试看．
把③代入②，得
９（５２狔－１１２）＋７狔＝３９．
解这个方程，得
狔＝３．
把狔＝３代入③，得
７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
狓＝２．
所以这个方程组的解是
狓＝２，
狔＝３．
烅烄
烆
例４　快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快
递员星期一的送件数和揽件数分别为１２０件和４５件，报酬为２７０元；他星期二的送
件数和揽件数分别为９０件和２５件，报酬为１８５元．如果该快递员每送一件的报酬
都相同，每揽一件的报酬也都相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
分析：由题意可知，
送１２０件的报酬＋揽４５件的报酬＝２７０，
送９０件的报酬＋揽２５件的报酬＝１８５．
由此可以列出方程组，通过解方程组解决问题．
解：设该快递员每送一件的报酬是狓元，每揽一件的报酬是狔元．
根据该快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，列得方程组
１２０狓＋４５狔＝２７０，
９０狓＋２５狔＝１８５．
烅烄
烆
①
②
由①，得
狓＝９４－３８狔．
③
把③代入②，得
９０（９４－３８狔）＋２５狔＝１８５．
解这个方程，得
狔＝２．
把狔＝２代入③，得
狓＝１．５．
所以这个方程组的解是
狓＝１．５，
狔＝２．
烅烄
烆
答：该快递员每送一件的报酬是１．５元，每揽一件的报酬是２元．
８
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
ጷ˸
１．用代入法解下列方程组：
（１）４狓－３狔＝－２，
５狓＋４狔＝１３；
烅烄
烆
　　　　（２）３犿＋２狀＝１７，
２犿－３狀＋６＝０．
烅烄
烆
２．一种商品分装在大、小两种包装盒内，３大盒、４小盒共装１０８瓶，２大
盒、３小盒共装７６瓶．大、小包装盒每盒各装多少瓶？
１６２２　加减消元法
 Ꮶ
前面我们用代入法求出了方程组
狓＋狔＝６，
２狓＋狔＝８
烅烄
烆
①
②
的解．这个方程组的两个方程中，狔的系数有什么关系？利用这种关系，
你能发现新的消元方法吗？
　　②－①就是用方程
②的左边减去方程①的
左边，方程②的右边减
去方程①的右边．
这两个方程中未知数狔的系数相等，②－①可
以消去未知数狔，得
狓＝２．
把狓＝２代入①，得
狔＝４．
所以这个方程组的解是
狓＝２，
狔＝４．
烅烄
烆
 Ꮶ
联系上面的解法，想一想怎样解方程组３狓＋１０狔＝２．８，
１５狓－１０狔＝８．
烅烄
烆
从上面两个方程组的解法可以看出，当二元一次方程组的两个方程中某个
未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就
能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．
９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法．
例５　用加减法解方程组
３狓＋狔２＝０，
２狓－狔２＝１５．
烅
烄
烆
①
②
解：①＋②，得
５狓＝１５，
狓＝３．
　　把狓＝３代入②，
可以解得狔吗？
把狓＝３代入①，得
３×３＋狔２＝０，
狔＝－１８．
所以这个方程组的解是
狓＝３，
狔＝－１８．
烅烄
烆
ጷ˸
用加减法解下列方程组：
（１）狓＋２狔＝９，
３狓－２狔＝－１；
烅烄
烆
　　　　　　　　　（２）２犪－３犫＝－９，
７犪－３犫＝６；
烅烄
烆
（３）５狓＋２狔＝２７，
５狓－４狔＝２１；
烅烄
烆
　　　　　　　　　　（４）狓３－５狔＝１３，
狓＋５狔＝－４１．
烅
烄
烆
当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相
反数时，能用加减法解方程组吗？看下面的例子．
例６　用加减法解方程组
３狓－２狔＝４，
７狓＋４狔＝１８．
烅烄
烆
①
②
分析：这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接
０１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
把这两个方程进行加减不能消元．观察这两个方程中未知数狔的系数之间的关
系，将①×２可以使两个方程中狔的系数互为相反数，就可以用加减法求解了．
解：①×２，得
６狓－４狔＝８．
③
②＋③，得
１３狓＝２６，
狓＝２．
把狓＝２代入①，得
３×２－２狔＝４，
狔＝１．
所以这个方程组的解是
狓＝２，
狔＝１．
烅烄
烆
例７　我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
意思是：假设５头牛、２只羊，共值金１０两；２头牛、５只羊，共值金８
两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？
分析：由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据“５头牛、２只羊，
共值金１０两；２头牛、５只羊，共值金８两”可列得方程组．
　　利用等式的性质对
方程适当变形，使两个方
程中某个未知数的系数互
为相反数或相等，就可以
用加减法求解了．
解：设每头牛和每只羊分别值金狓两和狔两．
根据问题中的相等关系，列得方程组
５狓＋２狔＝１０，
２狓＋５狔＝８．
烅烄
烆
①
②
①×２，得
１０狓＋４狔＝２０．
③
②×５，得
１０狓＋２５狔＝４０．
④
④－③，得
２１狔＝２０，
１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
狔＝２０２１．
　　如果用加减法消去
狔，应该怎样解？解得的
结果一样吗？
把狔＝２０２１代入①，得
狓＝３４２１．
所以这个方程组的解是
狓＝３４２１，
狔＝２０２１．
烅
烄
烆
答：每头牛和每只羊分别值金３４２１两和２０２１两．
解方程组的基本思想是消元．代入消元法和加减消元法是二元一次方程组
的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方
法不同．应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法．
 Ꮶ
（１）怎样解下面的方程组？
２狓＋狔＝１．５，
０．８狓＋０．６狔＝１．３；
烅烄
烆
　　　　　　　　　狓＋２狔＝３，
３狓－２狔＝５．
烅烄
烆
（２）选择你认为简便的方法解习题１６．１的第４题（“鸡兔同笼”问题）．
ጷ˸
１．用加减法解下列方程组：
（１）３狓＋４狔＝１６，
５狓－６狔＝３３；
烅烄
烆
　　　　　　　　　（２）２狓＋３狔＝－２０９，
３狓＋２狔＝－５３．
烅
烄
烆
２．周末，王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子．已知鲈鱼每千克３５元，茄
子每千克６元，王芳买的茄子比鲈鱼多０．５ｋｇ，共花费４４元．她买了
鲈鱼和茄子各多少千克？
２１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组

ܭ˸ ڍ
１．把下列方程改写成用含狓的式子表示狔的形式：
（１）３２狓＋２狔＝１；　　　　　　　（２）１４狓＋７４狔＝２；
（３）５狓－３狔＝狓＋２狔；　　　　　（４）２（３狔－３）＝６狓＋４．
２．用代入法解下列方程组：
（１）狔＝狓＋３，
７狓＋５狔＝９；
烅烄
烆
　　　　
（２）３狊－狋＝５，
５狊＋２狋＝１５；
烅烄
烆
（３）２狓＋３狔＝－５，
３狓－４狔＝１８；
烅烄
烆
　　　
（４）狓＋狔
３＋狓－狔
２＝６，
３（狓＋狔）－２（狓－狔）＝２８．
烅烄
烆
３．用加减法解下列方程组：
（１）３狌＋２狋＝７，
６狌－２狋＝１１；
烅烄
烆
　　　　
（２）２犪＋犫＝３，
３犪＋犫＝４；
烅烄
烆
（３）２狓－５狔＝７，
４狓－３狔＝７；
烅烄
烆
　　　　　
（４）１３狓－３２狔＝－３，
５狓＋狔＝２．
烅烄
烆
４．某旅行社组织２００人到花果岭和云水洞旅游．经统计，到花果岭旅游的人数比
到云水洞的人数的２倍少１．到这两地旅游的人数各是多少？
５．一条船顺流航行，每小时行驶２０ｋｍ；逆流航行，每小时行驶１６ｋｍ．船在静
水中的速度与水流速度分别是多少？
６．七年级（１）班的同学去参加科技体验活动，第一组有２人选择“九天揽月”
活动，３人选择“深海探幽”活动，共花费１３０元；第二组有４人选择“九天
揽月”活动，２人选择“深海探幽”活动，共花费１４０元．每张“九天揽月”
和“深海探幽”活动的票价各为多少元？
፬Ռᤂၹ
７．解下列方程组：
（１）３（狓－１）＝狔＋５，
３（狓＋５）＝５（狔－１）；
烅烄
烆
　　　　　（２）
２狌３＋３狏４＝１２，
４狌５＋５狏６＝７１５．
烅
烄
烆
３１
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第十六章　二元一次方程组
８．《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五
寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳
子剩余４．５尺，将绳子对折再量木头，木头剩余１尺，问木头长多少尺．请
你解决这个问题．
９．某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过３ｋｍ，超过３ｋｍ的部分按一定
标准另外收取里程费．张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为
７ｋｍ，起步价和里程费共计１７．２元；第二次乘车行驶的路程为１３ｋｍ，起步
价和里程费共计２８元．你能由此计算出出租车的起步价和超过３ｋｍ后的里程
费收费标准吗？
１０．为举办“我和我的祖国”文艺会演，学校为七年级（１）班表演诗朗诵的５名
男生和３名女生租用演出服的总费用是１９０元；为七年级（２）班表演小合唱
的１１名男生和１２名女生租用演出服的总费用是５８０元．如果每套男、女生
演出服的租用费分别相同，每套男、女生演出服的租用费各是多少元？
１１．２台大型收割机和５台小型收割机同时工作２ｈ共收割小麦３．６ｈｍ２，３台大
型收割机和２台小型收割机同时工作５ｈ共收割小麦８ｈｍ２．１台大型收割机
和１台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？
   ጊ
１２．我国明代数学家程大位（１５３３—１６０６）所著《算法统宗》中记载了“二果问
价”问题：
九百九十九文钱，甜果苦果买一千．
甜果九个十一文，苦果七个四文钱．
试问甜苦果几个，又问各该几个钱．
意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九
个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果、
苦果分别花了多少文钱？请你解决这个问题．
４１
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第十六章　二元一次方程组
１６．３实际问题与二元一次方程组
前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次
方程组解决了一些简单的实际问题．本节我们继续探究如何
用二元一次方程组解决实际问题．
ᣏ/

养牛场原有３０头大牛和１５头小牛，１天约用饲料６７５ｋｇ；一周后又
购进１２头大牛和５头小牛，这时１天约用饲料９４０ｋｇ．饲养员李大叔估
计每头大牛１天需饲料１８～２０ｋｇ，每头小牛１天需饲料７～８ｋｇ．你能通
过计算检验他的估计吗？
分析：设每头大牛和每头小牛１天各约用饲料狓ｋｇ和狔ｋｇ．
根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组
　　可以先独立分析问
题中的数量关系，列出
方程组，得出问题的解
答，再与同学交流．
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　．
烅烄
烆
解这个方程组，得
狓＝　　　，
狔＝　　　．
烅烄
烆
这就是说，每头大牛１天约需饲料　　　ｋｇ，
每头小牛１天约需饲料　　　ｋｇ．因此，饲养员李
大叔对大牛食量的估计　　　　，对小牛食量的估计　　　　．
ጷ˸
１．为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．Ａ车间购买了３盏甲
型节能灯和５盏乙型节能灯，共花费５０元；Ｂ车间购买了１２盏甲型节
能灯和４盏乙型节能灯，共花费８８元．１盏甲型节能灯和１盏乙型节能
灯的售价各是多少元？
５１
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第十六章　二元一次方程组
２．学校图书馆分两次购买了相同版本的《西游记》和《水浒传》供学生
借阅．第一次买了２套《西游记》和３套《水浒传》，共花费１５１元；
第二次买了４套《西游记》和２套《水浒传》，共花费１７８元．每套
《西游记》和《水浒传》的价格分别是多少元？
３．某公司前两年产生的餐厨垃圾、建筑垃圾的质量都基本没变，但支付
的餐厨垃圾处理费和建筑垃圾清运费的总和由７０２０元上升为８５２０元，
原因是餐厨垃圾处理费的收费标准由２４０元／ｔ上调为３００元／ｔ，建筑垃
圾清运费的收费标准由１５０元／ｔ上调为１８０元／ｔ．这家公司去年的餐厨
垃圾和建筑垃圾各有多少吨？
ᣏ/

据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是１∶２．现要把
一块长２００ｍ、宽１００ｍ的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种
植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比
是３∶４？
A
D
F
C
B
E
y m
x m
图１６．３１
分析：如图１６．３１，一种划分方案为：甲、乙两
种作物的种植区域分别为长方形犃犈犉犇和长方形
犈犅犆犉．
此时设犃犈＝狓ｍ，犈犅＝狔ｍ，根据问题中涉及
长度、产量的相等关系，列得方程组
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　．
烅烄
烆
解这个方程组，得
狓＝　　　，
狔＝　　　．
烅烄
烆
过长方形土地的长边上离一端　　　　处，作这条边的垂线，把这块土地
分为两块长方形土地．较大一块土地种植　　　种作物，较小一块土地种植
　　　种作物．
６１
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第十六章　二元一次方程组
ጷ˸
１．对于探究２中的问题，如果按照如图的方式划分土地，分别在长方形
犇犕犖犆和犕犃犅犖土地中种植甲、乙两种作物，那么犃犕的长度是多少？
A
B
C
D
N
M
　
２狓
３
２
狓＋２狔－３
４狔
　　　　　（第１题）　　　　　　　　　　　　（第２题）
２．如图，３×３的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及
对角线上的三个数之和均相等，狓，狔各应取什么值？
３．某地为打造运河风光带，雇用Ａ，Ｂ两个工程队共同完成一段长为
１８０ｍ的河道的清理任务．已知Ａ工程队每天清理１２ｍ，Ｂ工程队每天
清理８ｍ，两个工程队工作天数之和为２０天，Ａ，Ｂ工程队分别清理了
多长的河道？
ᣏ/

A
B
Н᡹10 km
km
ᨡ᡹110
Н᡹20 km
ᨡ᡹120 km
ˍ᡹ጰጻԈ
图１６．３２
如图１６．３２，丝路纺织
厂与Ａ，Ｂ两地由公路、铁
路相连．这家纺织厂从Ａ地
购进一批长绒棉运回工厂，
制成纺织面料运往Ｂ地．已知
长绒棉的进价为３．０８万元／ｔ，
纺织面料的出厂价为４．２５万元／ｔ，公路运价为０．５元／（ｔ·ｋｍ），铁路
运价为０．２元／（ｔ·ｋｍ），且这两次运输共支出公路运费５２００元，铁路
运费１６６４０元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒
棉的价格）与运输费的和多多少元？
分析：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关．设购买狓ｔ长绒棉，
制成狔ｔ纺织面料．根据题中数量关系填写表１６．３１．
７１
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第十六章　二元一次方程组
表１６３１
狓ｔ长绒棉
狔ｔ纺织面料
合计
公路运费／元
铁路运费／元
价值／元
题目所求的是　　　　　　　　　，为此需先解出　　　　与　　　　．
由表１６．３１，列得方程组
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　．
烅烄
烆
解这个方程组，得
狓＝　　　　　　，
狔＝　　　　　　．
烅烄
烆
因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多
　元．
从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．用
方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解
后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
ጷ˸
１．某运输公司有大小两种型号的货车，２辆大货车与３辆小货车一次可以
运货１５．５ｔ，５辆大货车与６辆小货车一次可以运货３５ｔ．３辆大货车与
５辆小货车一次可以运货多少吨？
票种
票价／元
往返
８０
单程
４５
２．七年级的地质兴趣小组到一座山顶进
行田野调查．上山之前，２０名成员各
买了一张缆车票，共花费１１８０元．缆
车票价如右表所示，他们购买了往返
票和单程票各多少张？
３．甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员
在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为３０ｋｍ／ｈ，平路的
速度为４０ｋｍ／ｈ，下坡的速度为５０ｋｍ／ｈ，那么他从甲地骑到乙地需
５４ｍｉｎ，从乙地骑到甲地需４２ｍｉｎ．甲地到乙地全程是多少千米？
８１
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第十六章　二元一次方程组

ܭ˸ ڍ
１．解下列方程组：
（１）３狓－狔＝５，
５狔－１＝３狓＋５；
烅烄
烆
　　　　　　　（２）
２狓３＋３狔４＝１７１２，
狓６－狔２＝－１３．
烅
烄
烆
２．一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动．两天的徒步时间分别为
８ｈ和１０ｈ，共走了９８ｋｍ，且第一天比第二天少走２ｋｍ，这个俱乐部的成员
两天徒步的平均速度各是多少？
３．《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客
多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？
４．某港口码头使用Ａ，Ｂ两种型号的机器人搬运货物．在２４ｈ内，３台Ａ型机器
人和２台Ｂ型机器人共搬运货物４５０ｔ，且每台Ａ型机器人比Ｂ型机器人多搬
运货物２５ｔ，每台Ａ型机器人和每台Ｂ型机器人２４ｈ的搬运量分别是多少？
፬Ռᤂၹ
A
B
C
D
M
N
（第５题）
５．如图，学校规划在一块长１８ｍ、宽１３ｍ的长方形场
地犃犅犆犇上，分别设计与犃犇，犃犅平行的横向和纵
向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，
六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边
犃犕∶犃犖＝８∶９，那么通道的宽是多少？
６．一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册
和横幅，其中宣传册的数量是展板的５倍．广告公司
制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．
产品
展板
宣传册
横幅
时间／ｈ
１
０．２
０．５
利润／元
６０
３．５
２０
若制作三种产品共需２５ｈ，所获利润为９７５元，求这三种产品的总件数．
７．七年级书法兴趣小组到文具店购买Ａ，Ｂ两种型号的毛笔，文具店的销售方
式是：
９１
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第十六章　二元一次方程组
（１）一次性购买Ａ型毛笔不超过２０支时，按零售价销售；超过２０支时，超
过部分每支的价格比零售价低０．４元．
（２）一次性购买Ｂ型毛笔不超过１５支时，按零售价销售；超过１５支时，超
过部分每支的价格比零售价低０．６元．
该小组共有２０名同学，若每人买１支Ａ型毛笔和２支Ｂ型毛笔，共需支付
３２５元；若每人买２支Ａ型毛笔和１支Ｂ型毛笔，共需支付３０９元．这家文具
店Ａ，Ｂ型毛笔的零售价分别是多少？
   ጊ
８．一家超市的账目记录显示，某天卖出３９支牙刷和２１盒牙膏，收入３９６元；另
一天，以同样的价格卖出同样的牙刷５２支和牙膏２８盒，收入５１８元．这个记
录是否有误？如果有误，请说明理由．
９．编一道符合实际意义的应用题，使其中的未知数满足方程组
２狓＋３狔＝２１，
３狓＋４狔＝２９．
烅烄
烆
与同学交流一下，并解决这个问题．
０２
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
１６．４三元一次方程组的解法
前面我们通过列二元一次方程组解决了一些问题．实际
上，有不少问题含有更多的未知数，类比二元一次方程组的
研究方法，我们来解决这样的问题．
看下面的问题．
问题　在一次足球联赛中，一支球队共参加了２２场比赛，积４７分，且胜
的场数比负的场数的４倍多２．按照足球联赛的积分规则，胜一场得３分，平
一场得１分，负一场得０分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
解决这个问题的一个自然的想法是，设这个球队胜、平、负的场数分别为
狓，狔，狕，根据题意，可以得到下面三个方程：
狓＋狔＋狕＝２２，
３狓＋狔＝４７，
狓＝４狕＋２．
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在
一起，写成
狓＋狔＋狕＝２２，
３狓＋狔＝４７，
狓＝４狕＋２．
烅
烄
烆
这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数
的项的次数都是１，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或
加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同样的思
路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次
方程组呢？
１２
本节内容为选学内容．
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
让我们看前面列出的三元一次方程组
狓＋狔＋狕＝２２，
３狓＋狔＝４７，
狓＝４狕＋２．
烅
烄
烆
①
②
③
仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②并化简，得到两个只含
狔，狕的方程狔＋５狕＝２０和狔＋１２狕＝４１，它们组成方程组
　　你还能用其他方法解
这个三元一次方程组吗？
狔＋５狕＝２０，
狔＋１２狕＝４１．
烅烄
烆
解这个二元一次方程组，可以求出狔和狕，进而可
以求出狓．
从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”
或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为
解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的
思路是一样的．
三元一次方程组
→
消元二元一次方程组
→
消元
一元一次方程
例１　解三元一次方程组
３狓＋４狕＝７，
２狓＋３狔＋狕＝９，
５狓－９狔＋７狕＝８．
烅
烄
烆
①
②
③
分析：方程①只含狓，狕，因此，可以由②③消去狔，得到一个只含狓，狕
的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．
解：②×３＋③，得
１１狓＋１０狕＝３５．
④
①与④组成方程组
３狓＋４狕＝７，
１１狓＋１０狕＝３５．
烅烄
烆
解这个方程组，得
狓＝５，
狕＝－２．
烅烄
烆
２２
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
把狓＝５，狕＝－２代入②，得
　　你还有其他解法吗？
试一试，并与这种解法
进行比较．
２×５＋３狔－２＝９，
狔＝１３．
因此，这个三元一次方程组的解为
狓＝５，
狔＝１３，
狕＝－２．
烅
烄
烆
ጷ˸
解下列三元一次方程组：
（１）狓－２狔＝－９，
狔－狕＝３，
２狕＋狓＝４７；
烅
烄
烆
　　　　　　（２）４狓－９狕＝１７，
３狓＋狔＋１５狕＝１８，
狓＋２狔＋３狕＝２；
烅
烄
烆
（３）狓＋狔＝３，
狔＋狕＝４，
狕＋狓＝５；
烅
烄
烆
　　　　
（４）３狓－狔＋狕＝４，
２狓＋３狔－狕＝１２，
狓＋狔＋狕＝６．
烅
烄
烆
在解决一些含有三个未知数的问题时，可以考虑列三元一次方程组，通过
解方程组获得问题的答案．
例２　在等式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮中，当狓＝－１时，狔＝０；当狓＝２时，狔＝３；
当狓＝５时，狔＝６０．求犪，犫，犮的值．
分析：把犪，犫，犮看作三个未知数，分别把已知的狓，狔值代入原等式，
就可以得到一个三元一次方程组．
解：根据题意，列得三元一次方程组
犪－犫＋犮＝０，
４犪＋２犫＋犮＝３，
２５犪＋５犫＋犮＝６０．
烅
烄
烆
①
②
③
②－①，得
３２
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
犪＋犫＝１．
④
③－①，得
４犪＋犫＝１０．
⑤
④与⑤组成二元一次方程组
犪＋犫＝１，
４犪＋犫＝１０．
烅烄
烆
解这个方程组，得
犪＝３，
犫＝－２．
烅烄
烆
把犪＝３，犫＝－２代入①，得
犮＝－５．
因此犪，犫，犮的值分别为３，－２，－５．
例３　一个三位数，各数位上的数的和为１４，百位上的数的２倍减去十位
上的数的差是个位上的数的１３．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交
换位置，那么所得的新数比原数小９９．求这个三位数．
分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相
等关系，可以列三元一次方程组．
解：设这个三位数百位上的数为狓，十位上的数为狔，个位上的数为狕．
根据题意，列得三元一次方程组
狓＋狔＋狕＝１４，
２狓－狔＝１３狕，
１００狕＋１０狔＋狓＋９９＝１００狓＋１０狔＋狕．
烅
烄
烆
①
②
③
解这个方程组，得
狓＝４，
狔＝７，
狕＝３．
烅
烄
烆
因此这个三位数是４７３．
４２
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
ጷ˸
１．甲、乙、丙三个数的和是３５，甲数的２倍比乙数大５，乙数的１３等于丙
数的１２．求这三个数．
２．在等式狕＝犪狓＋犫狔＋犮中，当狓＝１，狔＝２时，狕＝８；当狓＝２，狔＝１
时，狕＝５；当狓＝－１，狔＝－１时，狕＝４．求犪，犫，犮的值．

ܭ˸ ڍ
１．解下列三元一次方程组：
（１）狔＝２狓－７，
５狓＋３狔＋２狕＝２，
３狓－４狕＝４；
烅
烄
烆
　　　　　　（２）
４狓＋９狔＝１２，
３狔－２狕＝１，
７狓＋５狕＝１９４．
烅
烄
烆
２．解下列三元一次方程组：
（１）狓２＝狔３＝狕４，
２狓－狔＋２狕＝２７；
烅烄
烆
　　　　　　（２）２狓＋４狔＋３狕＝９，
３狓－２狔＋５狕＝１１，
５狓－６狔＋７狕＝１３．
烅
烄
烆
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３．在等式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮中，当狓＝１时，狔＝－２；当狓＝－１时，狔＝２０；当
狓＝３２与狓＝１３时，狔的值相等．求犪，犫，犮的值．
４．一个三位数，十位上的数等于百位上的数的２倍，百位上的数的３倍减去个位
上的数等于十位上的数的１４，且各数位上的数的和为１１．求这个三位数．
   ጊ
５．甲地到乙地全程是３．３ｋｍ，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成．如
果保持上坡每小时走３ｋｍ，平路每小时走４ｋｍ，下坡每小时走５ｋｍ，那么
从甲地到乙地需５１ｍｉｎ，从乙地到甲地需５３．４ｍｉｎ．从甲地到乙地时，上坡、
平路、下坡的路程各是多少？
５２
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第十六章　二元一次方程组
我国古代很早就开始对多元一次方程组进行研究，古代数学著
作《九章算术》中专门设“方程”章讨论多元一次方程组．多元一
次方程组的解法是我国在世界上领先的重大数学成就之一．我国古
代解多元一次方程组的方法主要有直除法和互乘相消法．
３狓＋２狔＋狕＝３９，①
２狓＋３狔＋狕＝３４，②
狓＋２狔＋３狕＝２６，③
烅
烄
烆
②×３－①－①
③×３－①
３狓＋２狔＋狕＝３９，
５狔＋狕＝２４，
４狔＋８狕＝３９．
烅
烄
烆
继续使用此法，将一行消到只剩下一个未知数，即可求解．
《九章算术》中的“直除法”具有普遍性，相当于现代高等代
数的矩阵解法．《九章算术》是世界上最早记录这种解法的著作．
刘徽给出了直除法的理论
基础———举率以相减，不害余
数之课也，即两个方程对应相
减，方程组的解不变．刘徽还
创造了“互乘相消法”．
贾宪根据题目特点灵活地
选择直除法和互乘相消法，并
且不再借助具体问题阐述如何
解多元一次方程组，他将中国
传统数学的抽象化推进到了一
个新阶段．
６２
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第十六章　二元一次方程组
解多元一次方程组的方法反映了中国古代数学程序化的特点．宋元时
期，中国数学家朱世杰又发展了多元高次方程组的求解方法．我国著名数学
家吴文俊先生就借鉴中国古代数学的思想和方法，古为今用，创立了数学机
械化理论，在国际上产生了巨大的影响．
５狓＋２狔＝１０，①
２狓＋５狔＝８，②
烅烄
烆
　①×２
②×５　１０狓＋４狔＝２０，
１０狓＋２５狔＝４０．
烅烄
烆
然后用第二行减去第一行，消去狓，可以得到狔的值．
互乘相消法不但起到事半功倍的作用，而且可以推广，正
如刘徽所说：“以小推大，虽四、五行不异也．”
杨辉率先以接近现代的
形式列、解多元一次方程
组，并对如何解多元一次方
程组进行了系统的论述．
梅文鼎系统整理和总结了
中国传统数学中多元一次方程
组的解法．
７２
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
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中国古代著名的一次不定方程组问题
《九章算术》的“方程”章中记载了一道有趣的
“五家共井问题”：今有五家共井，甲二绠不足，如乙
一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一
绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠．
各得所不足一绠，皆逮．问井深、绠长各几何．
这个问题的意思是：今有五家人共用一口水井，
每家都备有打水绳，但各家的绳长可能不同．如果把
２条甲家的绳子和１条乙家的绳子接起来，刚好能够
着井里的水面；把３条乙家的绳子和１条丙家的绳子
接起来，刚好能够着井里的水面；……那么这五家的
打水绳各有多长？井深是多少？
显然，问题中包含了多个未知数．若设甲、乙、丙、丁、戊各家绳长分别
为狓，狔，狕，狌，狏，井深为犺，则可列得方程组
２狓＋狔＝犺，
３狔＋狕＝犺，
４狕＋狌＝犺，
５狌＋狏＝犺，
６狏＋狓＝犺．
烅
烄
烆
（）
与二元、三元一次方程组不同的是，上述一次方程组有６个未知数，５个方
程．任意给定犺的一个值，就可求出狓，狔，狕，狌，狏的值，也就是说，（）
有无穷多个解．像（）这样的方程组被称为不定方程组．
“五家共井问题”可能是中国古代数学中最早出现
的不定方程组问题．到了５世纪，《张丘建算经》中记
载的“百鸡问题”引起了后世中外数学家的广泛兴趣，
成了中国古代数学中流传更广的不定方程组问题．
“百鸡问题”的意思是：如果１只公鸡值５个钱，
１只母鸡值３个钱，３只小鸡值１个钱．现用１００个钱，
买了１００只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只．
８２
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第十六章　二元一次方程组
如果设公鸡、母鸡、小鸡的只数分别为狓，狔，狕，那么可列得一次不定方
程组
５狓＋３狔＋１３狕＝１００，
狓＋狔＋狕＝１００．
烅烄
烆
这个方程组的解必须是正整数，你能找出其中一个正整数解吗？
事实上，数学家研究的不定方程组常常把解限定在正整数、整数、有理数
等范围内．“百鸡问题”属于典型的一次不定方程组问题．在张丘建之后，我国
数学家又编制了许多其他一次不定方程组问题，但都没有给出这类方程组的一
般解法．直到１９世纪，清代数学家利用南宋数学家秦九韶（约１２０２—约１２６１）
发现的“大衍求一术”，终于使一次不定方程组问题的求解获得了新的突破．
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（１）在平面直角坐标系中，你能把二元一次方程狓－狔＝０的一个解
用一个点表示出来吗？标出一些以方程狓－狔＝０的解为坐标的点，过这
些点中的任意两点作直线，你有什么发现？在这条直线上任取一点，这
个点的坐标是方程狓－狔＝０的解吗？
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程
的图象．想一想，二元一次方程的图象是什么几何图形？
（２）根据（１）的结论，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方
程组
２狓＋狔＝４，
狓－狔＝－１
烅烄
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中的两个二元一次方程的图象．由这两个二元一次方程的图象，你能得出
这个二元一次方程组的解吗？
９２
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第十六章　二元一次方程组
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　　为了让轮胎均匀磨损并延
长轮胎的使用寿命，我们建议
每行驶１００００ｋｍ进行一次轮
胎换位．
随着人们生活水平的提高，很多家庭
都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱
动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮
严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后
轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的
安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如
果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会
提高．为了解决这个问题，一般的汽车使
用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的
建议．
资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到６００００ｋｍ时报废，
而后轮轮胎应在汽车行驶达到８００００ｋｍ时报废．如果在轮胎的使用寿命
内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少时，交换
前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车
的行驶里程．
０３
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第十六章　二元一次方程组
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本章我们通过实际问题引入了二元一次方程（组），学习了二元一次
方程组的解法———代入消元法和加减消元法，运用二元一次方程组解决
了一些实际问题．在此基础上，学习了简单的三元一次方程组及其解法．
消元是解二（三）元一次方程组的基本思想．根据方程组的具体情
况，利用代入消元法或加减消元法，把“三元”转化为“二元”，把“二
元”转化为“一元”，这一过程体现了化归思想．通过解二（三）元一次
方程组，你的运算能力也得到了提升．
二（三）元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，在现实中
具有广泛的应用．用它解决实际问题时，要注意分析问题中的各种数量关
系，找出其中的相等关系，引进适当的未知数，列出相应的方程组，解
方程组并检验解的意义，这一过程有助于培养你的模型观念和应用意识．
请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧．
１．什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？什么是二（三）
元一次方程组？什么是二（三）元一次方程组的解？
２．举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组．“代入”与“加
１３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
减”的目的是什么？
３．解三元一次方程组与解二元一次方程组有什么联系与区别？你能
说一说“消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？
４．提出一个实际问题，并用二元或三元一次方程组解决它．你能说
一说用方程组解决实际问题的基本思路吗？
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１．用代入法解下列方程组：
（１）犪＝２犫＋３，
犪＝３犫＋２０；
烅烄
烆
　　　　　　　　（２）狓－狔＝１３，
狓＝６狔－７；
烅烄
烆
（３）狓－狔＝４，
４狓＋２狔＝－１；
烅烄
烆
　　
（４）５狓－狔＝１１０，
９狔－狓＝１１０．
烅烄
烆
２．用加减法解下列方程组：
（１）３犿＋犫＝１１，
－４犿－犫＝１１；
烅烄
烆
　　
（２）０．６狓－０．４狔＝１．１，
０．２狓－０．４狔＝２．３；
烅烄
烆
（３）４犳＋犵＝１５，
３犵－４犳＝－３；
烅烄
烆
　　
（４）０．５狓＋３狔＝－６，
０．５狓＋狔＝２．
烅烄
烆
３．解下列方程组：
（１）４狓－狔－１
（
）＝３１－狔
（
）－２，
狓２＋狔３＝２；
烅烄
烆
（２）２狓－狔
（
）
３－狓＋狔
４＝－１，
６狓＋狔
（
）－４２狓－狔
（
）＝１６．
烅烄
烆
４．解下列方程组：
（１）３狓－狔＋狕＝３，
２狓＋狔－３狕＝１１，
狓＋狔＋狕＝１２；
烅
烄
烆
（２）５狓－４狔＋４狕＝１３，
２狓＋７狔－３狕＝１９，
３狓＋２狔－狕＝１８．
烅
烄
烆
５．１号仓库与２号仓库共存粮４５０ｔ．现从１号仓库运出存粮的６０％，从２号仓库运
出存粮的４０％，结果２号仓库剩余粮食比１号仓库剩余粮食多３０ｔ．１号仓库与
２号仓库原来各存粮多少吨？
２３
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第十六章　二元一次方程组
፬Ռᤂၹ
６．王芳花１９元买了若干支记号笔和中性笔，记号笔和中性笔的价格分别为５元／支
和３元／支．王芳买了多少支记号笔？多少支中性笔？
７．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量
不超过１２ｍ３时，按一级单价收费；超过１２ｍ３时，超过部分按二级单价收费．
五月份张华家用水１４ｍ３，缴费３７．６元；李明家用水１７ｍ３，缴费４７．２元．那么
该市一级水费、二级水费的单价分别是多少？
８．“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京２０２２年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．一家商
店连续两个月销售规格为“１０ｃｍ”的“冰墩墩”和“雪容融”摆件，销售情况
如下表所示．
销售量／件
冰墩墩雪容融销售额／元
第１个月
１００
４０
１２３２０
第２个月
１６０
６０
１９３６０
分别求“冰墩墩”和“雪容融”摆件的零售价格．
９．甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑
步．如果同时同地出发，反向而行，每隔
２ｍｉｎ相遇一次；如果同时同地出发，同向
而行，每隔６ｍｉｎ相遇一次．已知甲比乙跑
得快，甲、乙两人跑一圈各需要多少分钟？
１０．《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二
斛．问大小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知５个大容器和１个小
容器的总容量为３斛（斛是过去的一种量器），１个大容器和５个小容器的总容
量为２斛．大、小容器的容量分别是多少斛？
   ጊ
１１．现有１角、５角、１元硬币各１０枚，从中取出１５枚，共值７元．１角、５角、
１元硬币各取出多少枚？
１２．某电脑公司有Ａ型、Ｂ型、Ｃ型三种型号的电脑，其中Ａ型电脑每台６０００元，
Ｂ型电脑每台４０００元，Ｃ型电脑每台２５００元．某中学现有资金１００５００元，
计划全部用于从这家电脑公司购进３６台两种型号的电脑．请你设计几种不同的
购买方案供这所学校选择，并说明理由．
３３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十六章　二元一次方程组
第十七章　不等式与不等式组
数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系．现实世界中存在
大量涉及不等关系的问题．例如，当两家超市推出不同的优惠方案时，到哪家
超市购物花费较少？这个问题就蕴含了不等关系．对于这样的问题，常常要分
析问题中的数量关系，找到其中的不等关系，列出相应的数学式子———不等式
（组），并通过解不等式（组）得出结论．这样的思路与利用方程（组）研究相
等关系问题的思路是类似的．
本章我们将从什么是不等式说起，类比等式和方程，探究不等式的性质，
学习一元一次不等式（组）及其解法，并利用不等式的知识解决一些问题，感
受不等式在研究不等关系问题中的重要作用．
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
１７．１不等式
前面我们学习了用等式表示问题中的相等关系，本节我
们将学习不等式及其性质．有了不等式，就可以表示问题中
的不等关系了．
１７１１　不等式及其解集
问题　一辆汽车在高速公路上匀速行驶，
６：００时汽车距前方的Ａ地２１０ｋｍ，汽车要在
８：００之前驶过Ａ地，车速应满足什么条件？
分析：设车速是狓ｋｍ／ｈ．
汽车要在８：００之前驶过Ａ地，从时间上
看，就是以狓ｋｍ／ｈ的速度行驶２１０ｋｍ的时
间不到２ｈ，这个不等关系可以表示为
２１０狓＜２．
①
从路程上看，就是以狓ｋｍ／ｈ的速度行驶２ｈ的路程要超过２１０ｋｍ，这个不等
关系可以表示为
２狓＞２１０．
②
像①②这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式
（ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）．像犪＋２≠犪－２这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
有些不等式中不含字母，例如３＜４，－１＞－２；有些不等式中含有字母，
例如①②这样的不等式．我们常用不等式来表示不等关系．
例１　用不等式表示下列不等关系：
（１）犪与１５的和大于２７；
（２）犫的一半与３的差是负数；
（３）某县在乡村振兴项目的援助下，共种植１３３３ｈｍ２猕猴桃，种植面积
超过全县原有猕猴桃种植面积的１８倍．
解：（１）犪＋１５＞２７；
５３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
（２）犫２－３＜０；
（３）设该县原有猕猴桃种植面积为狓ｈｍ２，那么１３３３＞１８狓，也可以表示
为１８狓＜１３３３．
当不等式中的字母表示未知数时，经常需要求出未知数应取哪些值．如对
于前面问题中的不等式２狓＞２１０，我们需要了解满足条件的车速狓的值．例如，
当狓＝９０时，２狓＝１８０，不等式２狓＞２１０不成立；当狓＝１１０时，２狓＝２２０，不等
式２狓＞２１０成立．这就是说，当狓取某些值（如１１０）时，不等式２狓＞２１０成
立；当狓取某些值（如９０）时，不等式不成立．
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解．例
如，１１０是不等式２狓＞２１０的解，而９０不是不等式２狓＞２１０的解．
ᣏ/
再取狓的一些值试一试，看一看哪些是不等式２狓＞２１０的解．
狓
…
９０
１１０
…
２狓
…
１８０
２２０
…
观察不等式２狓＞２１０的解，它们都满足什么条件？
可以发现，当狓＞１０５时，不等式２狓＞２１０总成立；而当狓＜１０５或狓＝１０５时，
不等式２狓＞２１０不成立．这就是说，任何一个大于１０５的数都是不等式２狓＞２１０的
解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于１０５的数都不是不等式２狓＞２１０
的解．因此，狓＞１０５表示了能使不等式２狓＞２１０成立的狓的取值范围．
由上可知，在前面的问题中，汽车要在８：００之前驶过Ａ地，车速应大于
１０５ｋｍ／ｈ．
　　在表示１０５的点上
画空心圆圈，表示解集
不包含这个点所对应
的数．
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的
解，组成这个不等式的解集．例如狓＞１０５是不等
式２狓＞２１０的解集，它可以在数轴上直观表示
（图１７．１１）．求不等式的解集的过程叫作解不等式．
105
0
图１７．１１
６３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
ጷ˸
１．用不等式表示下列不等关系：
（１）犪是正数；　　　　　　　　（２）５与狓的和小于７；
（３）－４与犿的积大于８；　　（４）犿与１的差小于犿的３倍；
（５）经检测，某公园的环境噪声在５０ｄＢ（分贝）以下；　　　
（６）某市有公交车１２０００辆，其中新能源公交车所占比例超过６６％．
２．下列数中哪些是不等式狓＋３＞６的解？哪些不是？
－４，－２．５，０，１，２．５，３，３．２，４．８，８，１２．
３．直接说出下列不等式的解集：
（１）狓＋３＞６；　　（２）２狓＜８；　　（３）狓－２＞０．
１７１２　不等式的性质
对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式狓＋４＞１０
的解集是狓＞６，不等式２狓＜６的解集是狓＜３．但是对于比较复杂的不等式，
例如５狓＋１
６－２＞狓－５
４，直接得出它的解集就比较困难．因此，还要讨论怎样
解不等式．
与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质．为
此，我们先来看一看不等式有什么性质．
　　类比等式的性质，你
能猜想不等式有哪些性
质吗？
因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻
画，所以可以类比等式的性质研究不等式的性质．
与等式类似，关于不等式，有以下两个基本
事实．
（１）交换不等式两边，不等号的方向改变：
　　可以借助数轴理解
这两个基本事实．
如果犪＞犫，那么犫＜犪．
例如，由５＞狓，可得狓＜５．
（２）不等关系可以传递：
如果犪＞犫，犫＞犮，那么犪＞犮．
例如，由狔＞狓，狓＞－３，可得狔＞－３．
７３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
我们知道，等式两边加或减同一个数（或式子），乘或除以同一个数（除
数不为０），结果仍相等．不等式是否也有类似的性质呢？
先考虑不等式两边加（或减）同一个数的情况．
ᣏ/
用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中
的规律：
（１）５＞３，　　　　　　　　　（２）－１＜３，
　　５＋２　　　３＋２，　　
　　－１＋４　　　３＋４，
　　５＋０　　　３＋０，　　
　　－１＋０　　　３＋０，
　　５＋（－２）　　　３＋（－２）；　　－１＋（－７）　　　３＋（－７）．
　　换一些其他数，验
证这个发现．
根据发现的规律填空：不等式两边加同一个
数，不等号的方向　　　　．
由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于
不等式两边减去同一个数的情形仍然成立．
　　可以借助数轴理解
这个性质．
一般地，不等式有如下性质：
不等式的性质１　不等式两边加（或减）同一
个数（或式子），不等号的方向不变．
如果犪＞犫，那么犪±犮＞犫±犮．
接下来，考虑不等式两边乘（或除以）同一个不为０的数的情况．
ᣏ/
用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中
的规律：
（１）６＞２，　　
（２）－２＜３，
　　６×５　　　２×５，
　　－２×４　　　３×４，
　　６×（－５）　　　２×（－５）；　　－２×（－０．５）　　　３×（－０．５）．
根据发现的规律填空：不等式两边乘同一个正数，不等号的方向　　　　；
不等式两边乘同一个负数，不等号的方向　　　　．
８３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
　　换一些其他数，验
证这个发现．如果不等式
两边乘０，结果又如何呢？
由于除以一个不为０的数等于乘这个数的倒
数，并且这个数的倒数和它的符号相同，因而这个
规律对于不等式两边除以同一个不为０的数的情形
仍然成立．
一般地，不等式还有如下两个性质：
不等式的性质２　不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变．
如果犪＞犫，犮＞０，那么犪犮＞犫犮（或犪犮＞犫犮）．
不等式的性质３　不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向
改变．
如果犪＞犫，犮＜０，那么犪犮＜犫犮（或犪犮＜犫犮）．
比较不等式的性质２和性质３，指出它们有什么区别．再比较不等式的性
质和等式的性质，它们有什么异同？
例２　已知犪＞犫，比较下列两个式子的大小，并说明依据．
（１）犪＋３与犫＋３；　　（２）－２犪与－２犫．
解：（１）因为犪＞犫，
所以　犪＋３＞犫＋３（不等式的性质１）．
（２）因为犪＞犫，
所以　－２犪＜－２犫（不等式的性质３）．
ጷ˸
１．已知狆＞狇，用“＞”或“＜”填空，并说明依据：
（１）狆＋１２　　狇＋１２；（２）狆－２　　狇－２；（３）狆＋２犿　　狇＋２犿；
（４）－５狆　　－５狇；（５）狆３　　狇３；
（６）４狆＋１　　４狇＋１．
２．已知犿＞３，利用不等式的性质写出下列各式的取值范围：
（１）犿＋５；　　（２）犿６；　　（３）－２犿；　　（４）３犿－４．
９３
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第十七章　不等式与不等式组
与解方程类似，解不等式要借助不等式的性质，将不等式逐步化为狓＞犿
或狓＜犿（犿为常数）的形式．
例３　利用不等式的性质解下列不等式：
（１）狓－７＞２６；　　　　　（２）３狓＜２狓＋１；
（３）２３狓＞５０；　　
（４）－４狓＞３．
解：（１）根据不等式的性质１，不等式两边加７，不等号的方向不变，所以
狓－７＋７＞２６＋７，
狓＞３３．
（２）根据不等式的性质１，不等式两边减２狓，不等号的方向不变，所以
３狓－２狓＜２狓＋１－２狓，
狓＜１．
（３）根据不等式的性质２，不等式两边乘３２，不等号的方向不变，所以
３２×２３狓＞３２×５０，
狓＞７５．
（４）根据不等式的性质３，不等式两边除以－４，不等号的方向改变，所以
－４狓
－４＜３－４，
狓＜－３４．
还可以在数轴上直观地表示例３中不等式的解集，如不等式狓－７＞２６的
解集狓＞３３在数轴上的表示如图１７．１２所示．
　　请你分别在数轴上
表示例３中其他两个不
等式的解集．
33
0
图１７．１２
不等式３狓＜２狓＋１的解集狓＜１在数轴上的表
示如图１７．１３所示．
1
0
图１７．１３
０４
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第十七章　不等式与不等式组
除了含有＜，＞，≠的不等式，像犪≥犫或犪≤犫这样的式子，也经常用来
表示两个数量的大小关系，它们也是不等式．例
　　符号“≥”与“＞”
的含义有什么区别？“≤”
与“＜”呢？
如，狓≥３表示狓＞３或狓＝３，即狓可以取３和
大于３的所有值．符号“≥”读作“大于或等
于”，也可以说是“不小于”；符号“≤”读作
“小于或等于”，也可以说是“不大于”．
犪≥犫或犪≤犫形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质．
例如，如果犪≥犫，那么－２犪≤－２犫．
　图１７．１４
生活中也有很多不等关系可以用形如犪≥犫
或犪≤犫的不等式表示．如图１７．１４所示的高速
公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的
最低车速应为８０ｋｍ／ｈ，最高车速应为１００ｋｍ／ｈ．
如果用狏（单位：ｋｍ／ｈ）表示汽车的速度，则狏应
满足：狏≥８０且狏≤１００，或表示为８０≤狏≤１００．
回到本节开头的问题，如果汽车所行驶道路
10 dm
3.5 dm
7 dm
　图１７．１５
的最高限速是１２０ｋｍ／ｈ，那么车速狓应满足什
么条件？
例４　如图１７．１５，一个长方体形状的鱼缸
长１０ｄｍ，宽３．５ｄｍ，高７ｄｍ．若鱼缸内已有
水的高度为１ｄｍ，现准备向鱼缸内继续注水．用
犞（单位：ｄｍ３）表示新注入水的体积，写出犞
的取值范围并在数轴上表示．
分析：问题中的不等关系是：已有水的体积
与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积．
解：因为“已有水的体积＋新注入水的体积犞≤鱼缸的容积”，所以
１０×３．５×１＋犞≤１０×３．５×７，
解得
犞≤２１０．
又由于新注入水的体积犞不能是负数，所以犞的取值范围是
０≤犞≤２１０．
１４
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第十七章　不等式与不等式组
在数轴上表示犞的取值范围如图１７．１６所示．
　　在表示０和２１０的
点上画实心圆点，表示
取值范围包含这两个点
所对应的数．
0
210
图１７．１６
ጷ˸
１．关于狓的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出相应的解集．
（１）　
0
-2
　　　　　（２）
0
3
（３）　
0
4
-1
２．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）狓＋５＞－１；　　　　　　　
（２）４狓＜３狓＋５；
（３）１７狓≤６７；　　
（４）－８狓＞１０．
３．某日北京的最低气温是１９℃，最高气温是２８℃，用不等式表示这天的
气温狋（单位：℃）的变化范围．

ܭ˸ ڍ
１．下列数中哪些是不等式２狓＋３＞９的解？哪些不是？
－４，－２，０，３，３．０１，４，６，１００．
２．用不等式表示下列不等关系：
（１）犪与５的和是正数；　　　　　　　（２）犫与１２的差大于－５；
（３）犮的４倍大于或等于８；
（４）某市２０２１年空气质量为优良的天数比２０１７年的２２４天多出的天数超过了６０．
３．直接写出下列不等式的解集：
（１）狓＋２＞６；　　　　
（２）２狓＜－８；
（３）狓－２＞０．１；　　
（４）－３狓＜１０．
２４
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第十七章　不等式与不等式组
   ጊ
４．已知犿＞狀，用“＜”或“＞”填空，并说明依据：
（１）犿－５　　　狀－５；　
（２）６犿　　　６狀；
（３）－１３犿　　　－１３狀；　
（４）犿＋３狀　　　４狀．
５．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）狓＋３＞－１；　
（２）６狓≤５狓－７；
（３）－１３狔＜２３；　
（４）４狔≥－１２．
፬Ռᤂၹ
火焰色调
温度狋／℃
最初赤色
４７５
最初赤色至暗赤４７５～６５０
暗赤至樱桃红
６５０～７５０
樱桃红至鲜红
７５０～８２０
鲜红至橘黄
８２０～９００
橘黄至黄色
９００～１０９０
黄色至浅黄色１０９０～１３２０
浅黄色至白色１３２０～１５４０
灰白色
１５４０以上
６．陶器和瓷器被誉为“土与火的艺术”，陶瓷
的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度
的控制．我国古代窑工根据火焰的不同色调，
就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如
右表所示．设窑内温度为狋℃．
（１）用不等式表示当火焰色调为“暗赤至樱
桃红”时，窑内温度的范围；
（２）烧制某瓷器时，窑内温度的范围是
１２６０≤狋≤１３１０，窑内火焰的色调是怎
样的？
７．已知犪＞犫，用“＜”或“＞”填空，并说明依据：
（１）２犪－５　　　２犫－５；　
（２）－３．５犫＋１　　　－３．５犪＋１．
８．用不等式表示下列不等关系，写出解集并在数轴上表示解集：
（１）狓的３倍大于１；　
（２）狓与３的和不小于７；
（３）狔的１４小于或等于－２；
（４）狔的２倍小于狔与１的差．
L
40
0.02
（第９题）
９．如图是机器零件的设计图纸（图中长度单位：ｍｍ），用
不等式表示零件长度犔的合格尺寸（犔的取值范围）．
１０．某市地铁票收费标准如下：
不超过６ｋｍ３元；超过６ｋｍ到１２ｋｍ（含）４元；
超过１２ｋｍ到２２ｋｍ（含）５元；超过２２ｋｍ到３２ｋｍ（含）６元；
超过３２ｋｍ部分，每增加１元可再乘坐２０ｋｍ．
３４
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第十七章　不等式与不等式组
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了８元，设他乘坐地铁的里程为狓ｋｍ，用不
等式表示狓的范围．
１１．有一个两位数，如果把它的个位上的数犪和十位上的数犫对调，那么什么情
况下得到的两位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数比原来的两
位数小？什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？
１２．已知三个正整数犪，犫，犮满足犪＜犫＜犮，且１犪＋１犫＋１犮＝１，求犪，犫，犮．
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
用求差法比较大小
制作某产品有两种用料方案．方案一：用４块Ａ型钢板，８块Ｂ型钢板；
方案二：用３块Ａ型钢板，９块Ｂ型钢板．Ａ型钢板的面积比Ｂ型钢板大．从
省料角度考虑，应选哪种方案？
设Ａ、Ｂ型钢板的面积分别为狓和狔，则两种方案用料面积分别为４狓＋８狔
和３狓＋９狔．现在需要比较这两个数量的大小．
两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数犪，犫比较大小，那么
当犪＞犫时，一定有犪－犫＞０；
当犪＝犫时，一定有犪－犫＝０；
当犪＜犫时，一定有犪－犫＜０．
反过来也对，即
当犪－犫＞０时，一定有犪＞犫；
当犪－犫＝０时，一定有犪＝犫；
当犪－犫＜０时，一定有犪＜犫．
因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的
正负判断对象的大小．
用求差的方法，你能回答前面的用料问题吗？
４４
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
１７．２一元一次不等式
不等式有多种类型．与学习了方程后重点研究一元一次
方程类似，本节我们研究一类简单的不等式，探索它的解
法，并用它解决一些实际问题．
 Ꮶ
观察下面的不等式：
狓－７＞２６，３狓＜２狓＋１，２３狓＞５０，－４狓＞３．
它们有哪些共同特征？
可以发现，上述每个不等式都只含有一个未知数，且含有未知数的式子都
是整式，未知数的次数是１．类似于一元一次方程，只含有一个未知数，且含
有未知数的式子都是整式，未知数的次数是１的不等式，叫作一元一次不等式
（ｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）．
在上一节例３解不等式
狓－７＞２６
的过程中，根据不等式的性质１，不等式两边加７，不等号的方向不变，得
狓－７＋７＞２６＋７，
即
狓＞２６＋７．
这一过程相当于把不等式狓－７＞２６左边的项“－７”，变号为“＋７”后移
到右边．这就是说，解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号
后移到另一边，而不等号的方向不变．
一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以
求出一元一次不等式的解集．
例１　解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）５狓－６＞８；　　　　　　　　（２）１＋狓＜４＋７狓．
解：（１）移项，得
５４
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第十七章　不等式与不等式组
５狓＞８＋６．
合并同类项，得
５狓＞１４．
系数化为１，得
狓＞１４５．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图１７．２１所示．
0
5
14
图１７．２１
（２）移项，得
狓－７狓＜４－１．
合并同类项，得
－６狓＜３．
系数化为１，得
狓＞－１２．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图１７．２２所示．
0
2
1
图１７．２２
ጷ˸
１．解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）５６狓≤１；　　　　　　　　（２）１－１２狓≥５２；
（３）３狓＋１＜６狓＋１３；　　
（４）７狓－２＞１１狓－１０．
２．解不等式２．５狓－４＞－１６－１．５狓，把它的解集在数轴上表示出来，并
求出其负整数解．
６４
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第十七章　不等式与不等式组
例２　解不等式３（狓－１）＜狓－２，并在数轴上表示解集：
解：去括号，得
３狓－３＜狓－２．
移项，得
３狓－狓＜－２＋３．
合并同类项，得
２狓＜１．
系数化为１，得
狓＜１２．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图１７．２３所示．
0
2
1
图１７．２３
例３　解不等式狓－５
４＋２≥５狓＋１
６，并在数轴上表示解集：
解：去分母，得
３（狓－５）＋２４≥２（５狓＋１）．
去括号，得
３狓－１５＋２４≥１０狓＋２．
移项，得
３狓－１０狓≥２＋１５－２４．
合并同类项，得
－７狓≥－７．
系数化为１，得
狓≤１．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图１７．２４所示．
0
1
图１７．２４
７４
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第十七章　不等式与不等式组
 Ꮶ
解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处？
ᑿ3
解一元一次方程，要依据等式的性质，将方程逐步化为狓＝犿的形式；
而解一元一次不等式，则要依据不等式的性质，将不等式逐步化为狓＜犿
（狓≤犿）或狓＞犿（狓≥犿）的形式．
ጷ˸
１．解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（１）５狓＋１５＞４狓－１；　　　　（２）２（狓＋５）≤３（狓－５）；
（３）狓－１
７＞２狓＋５
３；　
（４）狓＋１
６≥２狓－５
４＋１．
２．当狓或狔满足什么条件时，下列关系成立？
（１）２（狓＋１）大于或等于１；
（２）４狓与７的和不小于６；
（３）狔与１的差不大于２狔与３的差；
（４）３狔与７的和的１４小于－２．
与用一元一次方程解决实际问题类似，通过用不等式表示实际问题中的不
等关系，可以把实际问题转化为数学问题，进而通过解不等式得到实际问题的
答案．
例４　七年级举办古诗词知识竞赛，共有２０道题，每一题答对得１０分，
答错或不答都扣５分．如果规定初赛成绩超过９０分晋级决赛，那么至少要答对
多少道题才能成功晋级？
分析：“初赛成绩超过９０分”是问题中蕴含的不等关系，可以根据这个不
等关系列出不等式．
解：设初赛答对了狓道题．
根据“初赛成绩超过９０分”晋级决赛，列得不等式
１０狓－５（２０－狓）＞９０．
８４
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
去括号，得
１０狓－１００＋５狓＞９０．
移项，合并同类项，得
１５狓＞１９０．
系数化为１，得
　　万元地区生产总值
能耗是指每万元地区生
产总值所消费的能源总
量（折算为标准煤），
其下降率是衡量一个地
区节能减排成效的重要
指标．
狓＞１２２３．
由狓应为正整数，可得狓至少为１３．
答：初赛至少要答对１３道题才能成功晋级．
例５　某市去年万元地区生产总值能耗为０．３２０ｔ
标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比
去年的下降率不小于５％，那么该市今年万元地区
生产总值能耗至多为多少？
分析：“今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于５％”是问题中
蕴含的不等关系，即
去年万元地区生产总值能耗－今年万元地区生产总值能耗
去年万元地区生产总值能耗
×１００％≥５％．
解：设该市今年万元地区生产总值能耗为狓ｔ标准煤．
根据题意，列得不等式
０．３２０－狓
０．３２０×１００％≥５％．
去分母，得
０．３２０－狓≥０．３２０×５％．
移项，合并同类项，得
－狓≥－０．３０４．
系数化为１，得
狓≤０．３０４．
答：该市今年万元地区生产总值能耗至多为０．３０４ｔ标准煤．
９４
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
ጷ˸
１．某工程队计划在１０天内修路６ｋｍ．施工前２天修完１．２ｋｍ后，计划
发生变化，准备至少提前２天完成修路任务，以后几天内平均每天至少
要修路多少？
２．一家商店以每辆３４０元的进价购入一批自行车共１５０辆，并以每辆４５０
元的价格销售．两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总
费用，这时至少已售出多少辆自行车？
下面再来看一个实际问题．
例６　甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的
优惠方案：在甲超市累计购物超过１００元后，超出１００元的部分按九折收费；
在乙超市累计购物超过５０元后，超出５０元的部分按九五折收费．顾客到哪家
超市购物花费较少？
分析：在甲超市累计购物超过１００元后享受优惠，在乙超市累计购物超过
５０元后享受优惠．因此，需要分三种情况讨论：
（１）累计购物不超过５０元；
（２）累计购物超过５０元而不超过１００元；
（３）累计购物超过１００元．
解：设累计购物狓元．
（１）当累计购物不超过５０元，即狓≤５０时，在甲、乙两超市购物都不享
受优惠，而两家超市以同样价格出售同样的商品，因此到两超市购物花费
相同．
（２）当累计购物超过５０元而不超过１００元，即５０＜狓≤１００时，在甲超市
购物不享受优惠，但在乙超市购物能享受优惠，因此到乙超市购物花费较少．
（３）当累计购物超过１００元，即狓＞１００时，在甲、乙两超市购物都能享
受优惠．
①若到甲超市购物花费较少，则
１００＋０．９（狓－１００）＜５０＋０．９５（狓－５０）．
解得
０５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
狓＞１５０．
即狓＞１５０时，到甲超市购物花费较少．
②若到乙超市购物花费较少，则
１００＋０．９（狓－１００）＞５０＋０．９５（狓－５０）．
解得
狓＜１５０．
即１００＜狓＜１５０时，到乙超市购物花费较少．
③若到两超市购物花费相同，则
１００＋０．９（狓－１００）＝５０＋０．９５（狓－５０）．
解得
狓＝１５０．
即狓＝１５０时，到甲、乙两超市购物花费相同．
答：当累计购物不超过５０元或等于１５０元时，到两家超市购物花费相同；
当累计购物超过５０元而不到１５０元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物
超过１５０元时，到甲超市购物花费较少．
ጷ˸
１．学校打算购买某款笔记本和中性笔作为奖品，奖励给在绘画比赛中获
奖的学生．笔记本的价格为１６元／本，中性笔的价格为４元／支．如果学
校一共要购买１００件奖品，总费用不能超过９００元，那么学校最多能买
多少本笔记本？
２．一家水果店花费１００００元购进了大樱桃和小樱桃各２００ｋｇ，计划分别
以３９元／ｋｇ和２９元／ｋｇ的价格销售，但大樱桃在运输中损耗了２０％．
若小樱桃的售价不变，为了使获得的总利润不低于预期利润的９０％，
大樱桃的售价至少要定为每千克多少元？
１５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组

ܭ˸ ڍ
１．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（１）３（２狓＋５）＞２（４狓＋３）；　　　　（２）１０－４（狓－４）≤２（狓－１）；
（３）２狓－４
７＜狓－５
２；　
（４）２狓－１
３≤３狓－４
６；
（５）３狔－１
５－２＞狔＋１
４；　
（６）狔＋１
６－２狔－５
４≥１．
２．犪取什么值时，代数式４犪＋１
６表示下列数？
（１）正数；　　　　（２）小于－２的数；　　　　（３）０．
３．下列解不等式的过程是否正确？如果不正确，请加以改正．
（１）－３狓＋２≥－４；
解：移项，得－３狓≥－６．
两边都除以－３，得狓≥２．
（２）狓－４＜２狓＋１．
解：移项，得－４－１＜２狓－狓．
合并同类项，得－５＜狓．
即狓＜－５．
４．求满足下列条件的正整数狓的值：
（１）狓＋２＜６；　　　　　　　　　（２）２狓＋５＜１０；
（３）狓－３
２≥２狓－５
３；　
（４）２＋狓
２≥２狓－１
３－２．
፬Ռᤂၹ
５．长跑比赛中，刘伟跑在前面，在离终点１００ｍ时，他以６．５ｍ／ｓ的速度向终
点冲刺．在他身后１０ｍ的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在刘伟
之前到达终点？
６．电脑专营店销售一批笔记本电脑，第一个月以５５００元／台的价格售出６０台，
第二个月起降价，以５０００元／台的价格将这批笔记本电脑全部售出，销售款
总额超过５５万元．这批笔记本电脑至少有多少台？
７．一批苹果的进价是８．５５元／ｋｇ，销售中估计有５％的苹果正常损耗．商家把售
价至少定为多少，才能避免亏本？
２５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
８．一条食品包装生产线完成智能化升级后，每个月生产的无菌纸盒包装饮料的
数量是原来月均产量的１．７倍．升级后，该生产线８个月生产的无菌纸盒包装
饮料的数量比原来１２个月的生产量至少多１０００万盒，该生产线原来平均每月
的产量至少是多少万盒？
   ጊ
９．分别求出不等式５狓－１＞３（狓＋１）与１２狓－１＜７－３２狓的解集，并尝试确定它们
的公共部分．
１０．某校七年级５６０名学生和１２位老师准备乘坐客车去参观历史博物馆．客运公
司有两种型号的客车可供租用，每辆车的载客量和租金如下表所示．
车型
Ａ型
Ｂ型
载客量／人
４０
５０
租金／元
１０００
１２００
学校计划租用１２辆客车，那么
（１）最多可以租用多少辆Ａ型客车？
（２）共有几种租车方案？哪种方案的租金最低？
３５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
１７．３一元一次不等式组
一个不等式可以表示一个不等关系，当一个问题中含有
多个不等关系时，怎样用不等式表示并求解呢？
问题　某工程队用每小时可抽３０ｔ水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，
估计积存的污水超过１２００ｔ而不足１５００ｔ，求将污水抽完所用时间的范围．
设用狓ｈ将污水抽完，则狓同时满足不等式
３０狓＞１２００，
３０狓＜１５００．
①
②
类似于方程组，把这两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成
一个一元一次不等式组（ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ），记作
３０狓＞１２００，
３０狓＜１５００．
烅烄
烆
怎样确定不等式组中狓的取值范围呢？
类似方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组
中狓的取值范围．
由不等式①，解得
狓＞４０．
由不等式②，解得
狓＜５０．
　　利用数轴体会：不
等式组中狓的取值范围
是两个不等式解集的公
共部分．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，
就容易看出不等式①和②的解集的公共部分
（图１７．３１）．
50
0
40
图１７．３１
所以不等式组中狓的取值范围是
４５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
４０＜狓＜５０．
这就是说，将污水抽完所用时间多于４０ｈ而少于５０ｈ．
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的
解集．解不等式组就是求它的解集．例如，不等式组３０狓＞１２００，
３０狓＜１５００
烅烄
烆
的解集是
４０＜狓＜５０．
例１　解下列不等式组：
（１）２狓－１＞狓＋１，　　　　①
狓＋８＜４狓－１；
②
烅烄
烆
（２）２狓＋３≥狓＋１１，　　　　①
２狓＋５
３－１＜２－狓．　
②
烅
烄
烆
解：（１）解不等式①，得
狓＞２．
解不等式②，得
狓＞３．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，就可以找出两个不等式解集的
公共部分（图１７．３２）．
　　利用数轴可以直观
地确定不等式组的解集．
3
2
0
图１７．３２
所以不等式组的解集为
狓＞３．
（２）解不等式①，得
狓≥８．
解不等式②，得
狓＜４５．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，就可以看到这两个不等式的解
集没有公共部分（图１７．３３）．
５５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
8
0
5
4
图１７．３３
所以不等式组无解．
ᑿ3
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这
些解集的公共部分．利用数轴可以直观地确定不等式组的解集．
ጷ˸
１．利用数轴确定下列不等式组的解集：
（１）狓＜０，
狓＜－１；
烅烄
烆
　　（２）狓≥－２，
狓＜１；
烅烄
烆
　　（３）狓≥－３，
狓≥４；
烅烄
烆
　　（４）狓＞２，
狓≤０．
烅烄
烆
２．解下列不等式组：
（１）２狓＞１－狓，
狓＋２＜４狓－１；
烅烄
烆
　　（２）狓－５＞１＋２狓，
３狓＋２≤４狓；
烅烄
烆
　（３）
２３狓＋５＞１－狓，
狓－１≤３４狓－１８．
烅
烄
烆
例２　狓取哪些整数值时，不等式５狓＋２＞３（狓－１）与１２狓－１≤７－３２狓都
成立？
分析：使两个不等式都成立的狓的值，就是两个不等式的公共解，因此求
出由这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是狓可取的整数值．
解：解不等式组
５狓＋２＞３（狓－１），
１２狓－１≤７－３２狓，
烅
烄
烆
得
－５２＜狓≤４．
所以狓可取的整数值是－２，－１，０，１，２，３，４．
６５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
例３　狓取什么值时，代数式４－２狓
５的值不小于－２且小于４３？
解：根据题意，得不等式组
４－２狓
５≥－２，
４－２狓
５＜４３．
烅
烄
烆
解得－４３＜狓≤７．
因此，当－４３＜狓≤７时，代数式４－２狓
５的值不小于－２且小于４３．
ጷ˸
１．解下列不等式组：
（１）３（狓－１）＜狓＋５，
－４（狓－１）＋８＞２狓；
烅烄
烆
　　　（２）
２狓－２
３＜狓３＋狓－２
４，
１－３狓
４－４３≤３－狓
１２．
烅
烄
烆
２．狓取哪些正整数值时，不等式狓＋３＞６与２狓－１＜１０都成立？

ܭ˸ ڍ
１．解下列不等式组：
（１）狓－１＜３，
狓＋１＜３；
烅烄
烆
　　　　　　　　　　（２）狓－１＞３，
狓＋１＞３；
烅烄
烆
（３）狓－１＜３，
狓＋１＞３；
烅烄
烆
（４）狓－１＞３，
狓＋１＜３．
烅烄
烆
２．解下列不等式组：
（１）２狓－１＞０，
狓＋１≤３；
烅烄
烆
　　
（２）３狓－１
（
）＋１３＜５狓－２５－狓
（
），
５－２狓＋１
（
）＞３－６狓；
烅烄
烆
７５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
（３）狓－３狓－２
（
）≥４，
１＋２狓
３＞狓－１；
烅烄
烆
　
（４）
１２狓＋４
（
）＜２，
狓＋２
２＞狓＋３
３．
烅
烄
烆
፬Ռᤂၹ
３．狓取哪些整数值时，不等式４（狓－０．３）＜０．５狓＋５．８与３＋狓＞１２狓＋１都
成立？
４．狓取哪些整数值时，２≤３狓－７＜８成立？
   ጊ
５．某超市有单价１２元的什锦糖果１０ｋｇ，现在要加入２０ｋｇ的糖果，使重新混合
后的什锦糖果单价不低于１５元，且不高于１８元．加入糖果的单价应该在什么
范围？
６．把一些书分给几名同学，如果每人分３本，那么剩余８本；如果前面的每名
同学分５本，那么最后一人分到了书但不到３本．这些书有多少本？共有多少
名同学？
８５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
 ߦำү
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᪝ᰭ
๔
统计资料表明，某地区某年的城市建成区面积为９８６．３５ｋｍ２，城市建成
区绿地面积为３４１．３２ｋｍ２，城市建成区绿地率为３４．６％．五年后这个地区的
城市建成区面积增加了约２０８ｋｍ２，城市建成区绿地率超过了４０％．
根据上述资料，试用一元一次不等式解决下面的问题：
这个地区这五年增加的城市建成区绿地面积超过了多少平方千米？
通过报刊、图书、网络等再收集一些资料，分析其中的数量关系，
编成问题．看一看能不能用一元一次不等式解决这些问题．
在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了５０张同样的卡
片，上面分别写有１，２，３，…，４９，５０．
A
B
C
D
E
图１
游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取
五张，并将它们正面向下放置在桌上（图１）．这五张卡片
分别记为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ．张华依次将相邻两张卡片上
的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数
最大．
下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号Ａ，Ｂ
Ｂ，Ｃ
Ｃ，Ｄ
Ｄ，Ｅ
Ｅ，Ａ
两数的和
５４
６６
５９
７１
４８
李明经过思考，说出答案：“Ｂ卡片上的数最大．”
张华说：“答对了！”
李明又说：“我还知道，如果按照卡片上的数从小到大的排序来排列
这些卡片，那么顺序是Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｂ．”
张华惊讶地说：“你说对了！你是怎么猜出来的？”
试试和同学一起玩这个游戏，想一想李明是用什么办法找到答案的．
９５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
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ʷnj ቦᅼគፇ ڏ̄
njڀᮏˁ Ꮶ
第十七章　不等式与不等式组
 ᬅ᫈ᮥ
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ᄊᝍ
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὆ʷЋʷ ˀ኎  
὆ӊեˀ኎Тጇ὇
ᝍ
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኎
 
Ἧ
ጸ
ἰ
ʷЋʷ ˀ኎ ጸ὇
不等式（组）是刻画不等关系的数学模型，它有广泛的应用．本章我
们主要学习了不等式的基础知识以及一类最简单的不等式（组）———
一元一次不等式（组），并运用不等式解决了一些简单的实际问题．
本章的许多内容都可以和等式、方程类比．等式、不等式都能够表示
问题中的数量关系，等式表示相等关系，不等式则表示不等关系；不等
式具有与等式类似的性质；解方程需要依据等式的性质，解不等式则需
要依据不等式的性质；解一元一次方程是将方程逐步化为狓＝犿的形式，
解一元一次不等式则是将不等式逐步化为狓＜犿（狓≤犿）或狓＞犿
（狓≥犿）的形式，两者都运用了化归的思想，解一元一次不等式的过程
也与解一元一次方程类似．类比地学习，有利于对知识的理解和掌握．通
过解不等式（组），你的运算能力也得到了进一步提升．
用不等式解决实际问题也与方程类似：首先要分析问题中的数量关
系，找出不等关系，通过设未知数、列不等式，把实际问题转化为数学问
０６
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
题；然后通过解不等式获得数学结论；最后讨论数学结论是否符合实际
意义，并用数学结论解释实际问题．这也体现了建立数学模型解决实际问
题的一般过程，有助于培养模型观念和应用意识．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．总结不等式的性质，并与等式的性质进行比较．
２．总结一元一次不等式的解法，并与一元一次方程的解法进行比较．
结合具体例子说明：解未知数为狓的不等式，就是依据不等式的性质将
不等式逐步化为狓＜犿（狓≤犿）或狓＞犿（狓≥犿）的形式．
３．如何解一元一次不等式组？结合具体例子说明：解不等式组就是
求相关不等式的解集的公共部分．
４．举例说明数轴在解不等式（组）中的作用．
５．结合实例体会运用不等式解决实际问题的过程．
ܭ˸ᮥ

ܭ˸ ڍ
１．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（１）３（２狓＋７）＞２３；　　　　　　　　　（２）１２－４（３狓－１）≤２（２狓－１６）；
（３）狓＋３
５＜２狓－５
３－１；　
（４）２狓－１
３－３狓－１
２≥５１２．
２．犪取什么值时，１５－７犪的值满足下列条件？
（１）大于１；　　　　（２）小于１；　　　　（３）等于１．
３．解下列不等式组：
（１）２狓＋１＞－１，
２狓＋１＜３；
烅烄
烆
　
（２）－（狓－１）＞３，
２狓＋９＞３；
烅烄
烆
（３）３（狓－１）＋１＞５狓－２（１－狓），
５－（２狓－１）＜－６狓；
烅烄
烆
　
（４）－２（狓＋０．５）≤４－３狓，
２狓－１
３＞狓－１
２．
烅烄
烆
４．狓＋３
５的值能否同时大于２狓＋３和１－狓的值？说明理由．
５．若犪是一个实数，比较犪与２犪的大小．
１６
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十七章　不等式与不等式组
፬Ռᤂၹ
６．某运动员５０００ｍ长跑的个人最好成绩为１６ｍｉｎ４５ｓ．在一次５０００ｍ长跑比赛
中，他跑完前３０００ｍ用时１０ｍｉｎ３０ｓ．如果该运动员希望在本次比赛中获得的
成绩不低于自己的个人最好成绩，那么在剩下的路程中，他的平均速度至少要
为多少？
７．在装修施工过程中，两位施工人员要用一辆手推车将一批瓷砖用电梯运送上楼．
电梯额定载重量为１０５０ｋｇ，他俩的体重分别为７０ｋｇ和７５ｋｇ，手推车的质量
为２１ｋｇ，一箱瓷砖的质量约为５１ｋｇ，那么他俩用电梯一次最多能将多少箱瓷砖
运送上楼？
８．在一场篮球比赛中，某队罚篮得分为１０分，投进２分球和３分球共４８个．如果
该球队在本场比赛中总得分超过１１０分，那么他们至少投进多少个３分球？
９．某汽车销售公司计划购买并销售Ａ型和Ｂ型两种型号的新能源汽车共２０辆．这
两款汽车每辆车的进价和售价如下表所示．
单位：万元／辆　　　　
类型
进价
售价
Ａ型
２７
２７．８
Ｂ型
２４．４
２５．８
为了保证将这２０辆车全部售出后，所得利润要超过２０．５万元，那么该公司最多
能购买Ａ型汽车多少辆？
   ጊ
１０．按照如下程序操作，规定：从“输入一个值狓”到“结果是否大于８５”为一次
程序操作．如果结果得到的数小于或等于８５，则用得到的这个数进行下一次
操作．
Dڒ
 
᭜
։ 
4
1
85
（１）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的狓的取值范围是多少？
（２）如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的狓的取值范围是多少？
１１．甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水．如果甲打满一桶水需
犪ｍｉｎ，乙打满一桶水需犫ｍｉｎ，那么谁先打水，能使两人都打满一桶水所用时
间和（包含等待时间）较少？
２６
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
综合与实践　低碳生活
综合与实践
低碳生活
全球气候正在变暖，科学家认
为，这与大气中二氧化碳等温室气
体的浓度变化有关．２０１５年，《巴
黎协定》通过，这一协定要求各缔
约方共同努力，把全球平均气温升
幅控制在工业化前水平以上低于
２℃之内，并努力将气温升幅限制
在工业化前水平以上１．５℃之内．２０２０年，我国承诺，二氧化碳排放力争于
２０３０年前“碳达峰”，２０６０年前实现“碳中和”．什么是“碳达峰”“碳中和”？
要实现我国“碳达峰”“碳中和”的目标，除了国家层面的规划和实施，我们
每个人还能作出什么贡献呢？我们该进行怎样的低碳生活呢？
ำүᄬ 
通过对“碳达峰” “碳中和”等相关知识的学习，以及对身边“碳足迹”
计算的认识，建立低碳生活的理念，并设计自己的低碳生活行动方案．
ำүюܬ
通过报刊、图书、网络等查阅、收集“碳中和”的相关资料．
ำү͊
Ҭ
ำүʷ 　学习“碳中和”等相关知识
“碳中和”“碳交易”等是落实《巴黎协定》要求并促进各国低碳绿色发展
活动的重要概念，要建立低碳生活的理念，需深入学习相关知识．
任务１　分享交流
分享课前查阅的相关资料，对“碳中和”“碳交易”等相关概念，以及在
当前国际、国内背景下二氧化碳减排发展情况等进行组内交流分享．
３６
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
综合与实践　低碳生活
任务２　问题探究
在我们生活的大气层中，二氧化碳虽然只约占大气体积的０．０３％，但其对
气温有较大的影响．
根据此信息，你能提出哪些问题？你能解决其中的哪些问题？
ำү̄ 　计算生活中的“碳足迹”
每个人的日常消费都会产生二氧化碳（温室气体都可转化为二氧化碳当量
计算）排放．积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任．
任务１　计算“碳足迹”
查阅、收集相关资料，计算你的家庭某月的“碳足迹”．
姓名
家庭人数
家庭某月“碳足迹”计算
序号
种类
某月消耗量
某月耗碳量／ｋｇ
１
家庭用电
ｋＷ·ｈ
２
水
ｔ
３
天然气
ｍ３
４
液化气
ｋｇ
５
汽油／柴油
Ｌ
６
煤
ｋｇ
７
鸡肉
ｋｇ
８
牛肉
ｋｇ
９
Ａ４纸
张
１０
塑料袋
个
１１
中途飞机
（２００～１０００ｋｍ）
次
１２
长途飞机
（１０００ｋｍ以上）
次
…
……
……
４６
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
综合与实践　低碳生活
任务２　根据完成的任务１，你有哪些思考？请在组内分享交流．
ำүʼ 　认识、分析我国“碳达峰”“碳中和”目标
２０２１年我国发布的《中国应对气候变化的政策与行动》白皮书指出，２０２０
年我国碳排放强度（单位国内生产总值二氧化碳排放）比２０１５年下降１８．８％，
比２００５年下降４８．４％，超额完成了我国向国际社会承诺的“到２０２０年下降
４０％～４５％”的目标，累计少排放二氧化碳约５８亿吨，基本扭转了二氧化碳
排放快速增长的局面．与此同时，我国经济也实现跨越式发展．２０２０年，我国
宣布自主贡献新目标举措：中国二氧化碳排放力争于２０３０年前达到峰值，到
２０３０年，单位国内生产总值二氧化碳排放将比２００５年下降６５％以上，努力争
取２０６０年前实现“碳中和”．
任务１　提出问题
根据以上材料，要实现我国“碳达峰”的目标，你能从碳排放强度、二氧
化碳排放量、国内生产总值（ＧＤＰ）等方面提出哪些数学问题？
任务２　解决问题
在任务１提出的问题中，你能解决哪些问题？请给出解决方案．
任务３　自主研究
根据你查阅得到的资料，你还能结合低碳生活提出一些数学问题吗？试解
决你提出的问题．
ำүپ 　设计低碳生活行动方案
任务　选择低碳生活是我们每个人的责任与义务，从身边做起，请设计你
们小组的低碳生活行动方案．
ำү᣿ሮ
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
５６
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
综合与实践　低碳生活
划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．
ำүក͉
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．
６６
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
三角形是一种基本的几何图形．从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨
大的高压输电塔到微小的分子结构，到处都有三角形的形象．为什么在工程建
筑、机械制造中经常采用三角形的结构呢？这与三角形的性质有关．
一个三角形有三条边、三个角．三条边之间有什么关系？三个角之间有什
么关系？在小学，我们通过测量、剪拼等方法，知道三角形两边的和大于第三
边，三角形的内角和等于１８０°等结论．而在几何中，要确认一个命题的正确
性，还必须通过推理证明．在本章中，我们就来证明这些结论．
本章我们将比较系统地学习三角形，同时进一步学习推理证明的方法．学
习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且可以学习一些几何中研究问
题的基本思路和方法．
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
１８．１三角形的概念
在小学，我们已经初步认识了三角形．本节我们将进一
步学习三角形的有关概念及其符号表示，以及三角形的分类．
A
B
C
a
c
b
图１８．１１
如图１８．１１，由不在同一条直线上的三条线段首
尾顺次相接所组成的图形叫作三角形（ｔｒｉａｎｇｌｅ）．组成
三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点
叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形
的内角，简称三角形的角．例如，在图１８．１１中，线
段犃犅，犅犆，犆犃是三角形的边；点犃，犅，犆是三角
形的顶点；∠犃，∠犅，∠犆是三角形的角．
顶点是犃，犅，犆的三角形，记作“△犃犅犆”，读作“三角形犃犅犆”．
△犃犅犆的三边有时也用犪，犫，犮来表示．如图１８．１１，顶点犃所对的边犅犆
用犪表示，顶点犅所对的边犃犆用犫表示，顶点犆所对的边犃犅用犮表示．
ᣏ/
我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、
直角三角形和钝角三角形．如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说一
说你的想法，并与同学交流．
在三角形中，有的三角形三边都不相等（图１８．１２（１）），有的三角形有
两边相等（图１８．１２（２）），有的三角形三边都相等（图１８．１２（３））．
A
C
B
C
B
C
B
A
A
（１）
（２）
（３）
图１８．１２
有两边相等的三角形叫作等腰三角形（ｉｓｏｓｃｅｌｅｓｔｒｉａｎｇｌｅ），其中相等的两
边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底
８６
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
角．三边都相等的三角形叫作等边三角形（ｅｑｕｉｌａｔｅｒａｌｔｒｉａｎｇｌｅ），等边三角形
是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形．
ሶᎳልʳ
ᢧ 
Ꮃᩮ
ʳᢧ 
Ꮃᗆ
ʳᢧ 
ʳᩮᬌʷ
三角形
因此，可以先按“是否有边相等”，将三角形分
成两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形；再
将等腰三角形分为底边和腰不相等的等腰三角形和
等边三角形，得到三角形按边的相等关系分类如下：
三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
烅烄
烆
烅
烄
烆
A
C
D
B
图１８．１３
例　如图１８．１３，在△犃犅犆中，点犇在边犅犆
上，犅犇＝犃犇＝犇犆＝犃犆．
（１）写出以点犆为顶点的三角形；
（２）写出以犃犅为边的三角形；
（３）找出图中的等腰三角形和等边三角形．
解：（１）以点犆为顶点的三角形是△犃犅犆，△犃犇犆；
（２）以犃犅为边的三角形是△犃犅犆，△犃犅犇；
（３）等腰三角形是△犃犅犇，△犃犇犆；等边三角形是△犃犇犆．
ጷ˸
１．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犅犆＝犆犃，点犗在△犃犅犆内，犗犃＝犗犅＝
犗犆，找出图中的等腰三角形和等边三角形．
A
B
C
O
（第１题）
　　　
A
C
D
B
E
（第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，∠犅犃犆是直角，犃犇⊥犅犆，垂足为犇，点犈在
线段犅犇上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
９６
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形

ܭ˸ ڍ
１．如图，写出以∠犃为角的三角形，写出以犅犆为边的三角形．
A
B
C
D
E
（第１题）　　　
A
B
C
D
E
（第２题）
２．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
፬Ռᤂၹ
３．如图，在△犃犅犆中，犃犇⊥犅犆，垂足为犇，∠犅犃犆是钝角，犈是犇犆上一
点，且∠犅犃犈是锐角，犈犉⊥犃犆，垂足为犉．
（１）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
（２）找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
　　　
A
F
C
D
B
E
（第３题）
　　　　
A
C
D
B
（第４题）
４．如图，犃犅＝犅犆＝犆犇＝犇犃＝犃犆，找出图中的等腰三角形和等边三角形．
   ጊ
A
B
C
D
E
a
b
（第５题）
５．如图，已知点犃，犅在直线犪上，点犆，犇，犈在直
线犫上．以点犃，犅，犆，犇，犈中的任意三点作为
三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写
出这些三角形．
０７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
１８．２与三角形有关的线段
三角形的边是构成三角形的元素，本节我们研究三角形
三边之间的关系，并认识与三角形有关的三种重要线段．
１８２１　三角形的边
ᣏ/
A
B
C
图１８．２１
任意画一个△犃犅犆（图１８．２１），从点犅出发，
沿三角形的边到点犆，有几条线路可以选择？各条线
路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关
系？能证明你的结论吗？
在从点犅到点犆的线路中，由点犅先到点犃再到点犆的线路，比由点犅
直接到点犆的线路长，即犅犃＋犃犆＞犅犆，这利用了在小学我们学过的“三角
形两边的和大于第三边”的结论．下面对这个结论进行证明．
对于任意一个△犃犅犆，如果把其中任意两个顶点（例如犅，犆）看成定
点，由“两点之间，线段最短”，可得
犃犅＋犃犆＞犅犆．
①
同理有
犃犆＋犅犆＞犃犅，
②
犃犅＋犅犆＞犃犆．
③
这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边．
进一步，由不等式②③，移项可得
犅犆＞犃犅－犃犆，
犅犆＞犃犆－犃犅．
这就是说，三角形两边的差小于第三边．
ᕊ5
上面的结论表明了三角形三边之间的关系．反过来，对于三条线段，
当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
１７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条
线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，
那么这三条线段不能组成三角形．
例　用一条长为１８ｃｍ的细绳围成一个等腰三角形．
（１）如果腰长是底边长的２倍，那么各边的长是多少？
（２）能围成有一边的长是４ｃｍ的等腰三角形吗？为什么？
解：（１）设底边长为狓ｃｍ，则腰长为２狓ｃｍ，则
狓＋２狓＋２狓＝１８．
解得狓＝３．６．
所以，三角形三边的长分别为３．６ｃｍ，７．２ｃｍ，７．２ｃｍ．
（２）因为长为４ｃｍ的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．
①如果４ｃｍ长的边为底边，设腰长为狓ｃｍ，则
４＋２狓＝１８．
解得狓＝７．
②如果４ｃｍ长的边为腰，设底边长为狔ｃｍ，则
２×４＋狔＝１８．
解得狔＝１０．
因为４＋４＜１０，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰
长是４ｃｍ的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长是４ｃｍ的等腰三角形．
图１８．２２
在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且
工程建筑中经常采用三角形的结构，如图１８．２２中
的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？
ᣏ/
图１８．２３　
如图１８．２３，将三根木条用钉子钉成一个三
角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性
的图形．
２７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
三角形的稳定性有着广泛的应用，图１８．２４表示其中一些例子．你能再举
一些例子吗？
BFᱧ
I᳣
ᶒ
图１８．２４
ጷ˸
１．下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（１）３，４，８；　　（２）５，６，１１；　　（３）５，６，１０．
２．一根４ｄｍ长的木条和两根１ｄｍ长的木条，能否组成一个等腰三角形？
两根４ｄｍ长的木条和一根１ｄｍ长的木条呢？
１８２２　三角形的中线、角平分线、高
与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段：三角形的中
线、角平分线、高．
如图１８．２５（１），连接△犃犅犆的顶点犃和它所对的边犅犆的中点犇，所
得线段犃犇叫作△犃犅犆的边犅犆上的中线．
A
C
D
B
A
C
D
B
F
E
（１）
（２）
图１８．２５
一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（图１８．２５（２））．三角
形三条中线的交点叫作三角形的重心．
如图１８．２６（１），画△犃犅犆的∠犃的平分线犃犇，交∠犃所对的边犅犆于
点犇，所得线段犃犇叫作△犃犅犆的角平分线．三角形的三条角平分线相交于一
３７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
点（图１８．２６（２））．
A
C
D
B
A
C
D
B
F
E
（１）
（２）
图１８．２６
A
C
D
B 图１８．２７
如图１８．２７，从△犃犅犆的顶点犃向它所对的边犅犆所
在直线画垂线，垂足为犇，所得线段犃犇叫作△犃犅犆的边
犅犆上的高线．三角形的高线简称三角形的高．
ᣏ/
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什
么发现？
锐角三角形的三条高都在三角形的内部（图１８．２８（１））；直角三角形有
两条高恰好是它的两条直角边（图１８．２８（２））；钝角三角形有两条高在三角
形的外部，两个垂足落在边的延长线上（图１８．２８（３））．
A
C
B
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
（１）
（２）
（３）
图１８．２８
ጷ˸
１．如图，过△犃犅犆的顶点犆分别画出它的中线、角平分线和高．
A
B
C
（第１题）
A
C
D
B
F
E
A
C
D
B
E
F
2
1
3
4
（１）
（２）
（第２题）
４７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
２．填空题．
（１）如图（１），犃犇，犅犈，犆犉是△犃犅犆的三条中线，则犅犇＝　　，
犃犈＝１２　　　　，犃犅＝２　　　　；
（２）如图（２），犃犇，犅犈，犆犉是△犃犅犆的三条角平分线，则∠１＝　　，
∠３＝１２　　　　，∠犃犆犅＝２　　　　．

ܭ˸ ڍ
１．三角形的三边长分别为２，７，犪，则犪的取值范围是　　　　．
２．长为１００ｃｍ，７０ｃｍ，５０ｃｍ，３０ｃｍ的四根木条，选其中三根组成三角形，
有几种选法？为什么？
３．对于下面每个三角形，分别过顶点犃画出它的中线、角平分线和高．
A
B
C
A
B
C
A
B
C
（１）
（２）
（３）
（第３题）
４．如图，在△犃犅犆中，犃犈是中线，犃犇是角平分线，犃犉是高．填空：
A
B
F
D
E
C
（第４题）　　　　
（１）犅犈＝　　　　＝１２　　　　；
（２）∠犅犃犇＝　　　　＝１２　　　　；
（３）∠犃犉犅＝　　　　＝９０°；
（４）若犅犆＝８，犃犉＝５，
则犛△犃犅犆＝　　　　，
犛△犃犅犈＝　　　　．
５７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
፬Ռᤂၹ
５．一个等腰三角形的一边长为６，周长为２０，求其他两边的长．
６．（１）已知等腰三角形的一边长为５，一边长为６，求它的周长；
A
C
D
B
E
（第７题）
（２）已知等腰三角形的一边长为４，一边长为９，
求它的周长．
７．如图，在△犃犅犆中，若犃犅＝２，犅犆＝４，则
△犃犅犆的高犃犇与犆犈的比是多少？（提示：利用
三角形的面积公式．）
   ጊ
A
B
C
E
F
D
1 2
（第８题）
８．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线，犇犈∥
犃犆，犇犈交犃犅于点犈，犇犉∥犃犅，犇犉交犃犆于
点犉．图中∠１与∠２有什么关系？为什么？
６７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
１８．３三角形的内角与外角
与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素．本节我
们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习其他与
三角形有关的角．
１８３１　三角形的内角
在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于１８０°，这样
的方法获得的结论可靠吗？
由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于１８０°，不能完全令人
信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所
有三角形的内角和等于１８０°．因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三
角形的内角和等于１８０°．
ᣏ/
你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？图
１８．３１给出了两种剪拼的方法．从这个操作过程中，你能发现证明的思
路吗？
A
C
B
B
C
l
A
C
l
B
B
A
（１）
（２）
图１８．３１
在图１８．３１（１）中，将△犃犅犆的∠犅和∠犆剪下，分别拼在∠犃的左
右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点犃的直线犾，移动后的∠犅和
∠犆各有一条边在直线犾上．想一想，直线犾与△犃犅犆的边犅犆有什么关系？
你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于１８０°”的方法吗？
由上述拼合过程得到启发，过△犃犅犆的顶点犃作直线犾平行于△犃犅犆的
７７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
1
2
A
C
l
B
3
4
5
　图１８．３２
边犅犆（图１８．３２）．由平行线的性质与平角的定义
就能证明“三角形的内角和等于１８０°”这个结论．
已知：△犃犅犆（图１８．３２）．
求证：∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°．
由图１８．３１（２），
你能给出这个定理的其
他证法吗？
证明：如图１８．３２，过点犃作直线犾，使犾∥犅犆．
∵　犾∥犅犆，
∴　∠２＝∠４（两直线平行，内错角相等）．
同理　∠３＝∠５．
∵　∠１，∠４，∠５组成平角，
∴　∠１＋∠４＋∠５＝１８０°（平角定义）．
∴　∠１＋∠２＋∠３＝１８０°（等量代换）．
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都
等于１８０°，得到如下三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于１８０°．
A
C
D
B
　　　图１８．３３
例１　如图１８．３３，在△犃犅犆中，∠犅犃犆＝
４０°，∠犅＝７５°，犃犇是△犃犅犆的角平分线．求
∠犃犇犅的度数．
解：由∠犅犃犆＝４０°，犃犇是△犃犅犆的角平分
线，得
∠犅犃犇＝１２∠犅犃犆＝２０°．
在△犃犅犇中，
∠犃犇犅＝１８０°－∠犅－∠犅犃犇＝１８０°－７５°－２０°＝８５°．
A
C
D
B
E
Ӟ
Ӟ
　图１８．３４
例２　图１８．３４是犃，犅，犆三岛的平面图，犆
岛在犃岛的北偏东５０°方向，犅岛在犃岛的北偏东
８０°方向，犆岛在犅岛的北偏西４０°方向．从犅岛看
犃，犆两岛的视角∠犃犅犆是多少度？从犆岛看犃，
犅两岛的视角∠犃犆犅呢？
分析：犃，犅，犆三岛的连线构成△犃犅犆，所求的∠犃犆犅是△犃犅犆的一
个内角．如果能求出∠犆犃犅，∠犃犅犆，就能求出∠犃犆犅．
８７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
解：∠犆犃犅＝∠犅犃犇－∠犆犃犇＝８０°－５０°＝３０°．
由犃犇∥犅犈，得
∠犅犃犇＋∠犃犅犈＝１８０°．
你还能给出其他解
法吗？
所以
∠犃犅犈＝１８０°－∠犅犃犇＝１８０°－８０°＝１００°，
∠犃犅犆＝∠犃犅犈－∠犆犅犈＝１００°－４０°＝６０°．
在△犃犅犆中，
∠犃犆犅＝１８０°－∠犃犅犆－∠犆犃犅
＝１８０°－６０°－３０°＝９０°．
答：从犅岛看犃，犆两岛的视角∠犃犅犆是６０°，从犆岛看犃，犅两岛的视
角∠犃犆犅是９０°．
ጷ˸
１．如图，从犃处观测犆处的仰角∠犆犃犇＝３０°，从犅处观测犆处的仰角
∠犆犅犇＝４５°．从犆处观测犃，犅两处的视角∠犃犆犅是多少度？
A
C
D
B
（第１题）
　　　　　　　
E
A
C
D
B
（第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，∠犃＝４０°，求∠犅＋∠犆＋∠犃犇犈＋∠犃犈犇的度数．
利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系．
如图１８．３５，在直角三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°，
由三角形的内角和定理，得
A
C
B
图１８．３５
∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°，
即
∠犃＋∠犅＋９０°＝１８０°，
所以
∠犃＋∠犅＝９０°．
９７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
也就是说，直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形可以用符号“Ｒｔ△”表示，直角三角形犃犅犆可以写成
Ｒｔ△犃犅犆．
例３　如图１８．３６，∠犆＝∠犇＝９０°，犃犇，犅犆相交于点犈．比较∠犆犃犈
与∠犇犅犈的大小．
A
C
D
B
E
图１８．３６
解：在Ｒｔ△犃犆犈中，
∠犆犃犈＝９０°－∠犃犈犆．
在Ｒｔ△犅犇犈中，
∠犇犅犈＝９０°－∠犅犈犇．
∵　∠犃犈犆＝∠犅犈犇，
∴　∠犆犃犈＝∠犇犅犈．
ᕊ5
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角
互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由．
由三角形的内角和定理可得（请你自己完成证明）：
有两个角互余的三角形是直角三角形．
ጷ˸
１．如图，在△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犆犇⊥犃犅，垂足为犇．∠犃犆犇与
∠犅有什么关系？为什么？
A
C
D
B
（第１题）
　　　　　　
E
1
2
A
C
D
B
（第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，点犇，犈分别在边犃犅，犃犆上，且
∠１＝∠２，△犃犇犈是直角三角形吗？为什么？
０８
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
A
C
D
B
图１８．３７
１８３２　三角形的外角
如图１８．３７，把△犃犅犆的一边犅犆延长，得
到∠犃犆犇．像这样，三角形的一边与另一边的延
长线组成的角，叫作三角形的外角．
ᕊ5
如图１８．３８，在△犃犅犆中，∠犃＝７０°，∠犅＝６０°，∠犃犆犇是
△犃犅犆的一个外角．能由∠犃，∠犅求出∠犃犆犇吗？如果能，∠犃犆犇与
∠犃，∠犅有什么关系？
任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
70e
60e
A
D
B
C
图１８．３８
推论是由定理直接
推出的结论．和定理一
样，推论可以作为进一
步推理的依据．
一般地，由三角形的内角和定理可以推出下面
的推论（请你自己完成证明）：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
例４　如图１８．３９，∠犅犃犈，∠犆犅犉，∠犃犆犇
是△犃犅犆的三个外角，它们的和是多少？
A
C
D
B
E
F
1
2
3
图１８．３９
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两
个内角的和，得
∠犅犃犈＝∠２＋∠３，
∠犆犅犉＝∠１＋∠３，
∠犃犆犇＝∠１＋∠２．
所以
你还能给出其他解
法吗？
∠犅犃犈＋∠犆犅犉＋∠犃犆犇＝２（∠１＋∠２＋∠３）．
由∠１＋∠２＋∠３＝１８０°，得
∠犅犃犈＋∠犆犅犉＋∠犃犆犇＝２×１８０°＝３６０°．
１８
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
ጷ˸
说出下列各图形中∠１和∠２的度数：
1
2
60e
80e
（１）
　　
1
2
30e
40e
（２）
　　
1
2
40e
（３）
70e
A
B
40e
E
C
D
2
1 CEᎠܳ
ϪACD
（４）
　
1
2
60e
60e
20e
（５）
　
1
2
30e
（６）

ܭ˸ ڍ
１．求出下列各图形中狓的值：
108e
39e
xe
xe
xe
xe
72e
xe
xe
(x-36)e (x+36)e
xe
（１）
（２）
（３）
（４）
（第１题）
２．（１）一个三角形最多有几个直角？为什么？
65e
1
2
A
C
B
D
（第４题）
（２）一个三角形最多有几个钝角？为什么？
（３）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？
３．在△犃犅犆中，∠犅比∠犃大１０°，∠犆比∠犅
大１０°．求△犃犅犆各内角的度数．
４．如图，在△犃犅犆中，犃犇⊥犅犆，垂足为犇，
∠１＝∠２，∠犆＝６５°．求∠犅犃犆的度数．
２８
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
፬Ռᤂၹ
５．如图，犃犅∥犆犇，∠犃＝４０°，∠犇＝４５°．求∠１和∠２的度数．
A
C
D
B
1
2
40e
45e
（第５题）　　　　　　　　　
A
C
D
O
B
E
45e
（第６题）
６．如图，犃犅∥犆犇，犃犈与犆犇相交于点犗，∠犃＝４５°，∠犆＝∠犈．求∠犆的度数．
７．如图，犅处在犃处的南偏西４５°方向，犆处在犃处的南偏东１５°方向，犆处在
犅处的北偏东８０°方向．求∠犃犆犅的度数．
A
C
B
Ӓ
ӯ
（第７题）
　　　
A
C
D
B
E
F
（第８题）　　　
xe
A
B
C
100e
1
2
3
4
（第９题）
８．如图，在△犃犅犆中，犇是边犃犅上一点，犈是边犃犆上一点，犅犈，犆犇相交于
点犉，∠犃＝６２°，∠犃犆犇＝３５°，∠犃犅犈＝２０°．求∠犅犇犆和∠犅犉犇的度数．
９．如图，在△犃犅犆中，∠犃＝１００°，∠１＝∠２，∠３＝∠４．求狓的值．
   ጊ
１０．如图，犃犅∥犆犇，∠犅犃犈＝∠犇犆犈＝４５°．填空：
∵　犃犅∥犆犇，
∴　∠１＋４５°＋∠２＋４５°＝　　　．
∴　∠１＋∠２＝　　　．
∴　∠犈＝　　　．
45e
E
D
A
B
C
1
2
45e
（第１０题）　　　　　　　　　B
A
C
D
E
（第１１题）
１１．如图，犆犈是△犃犅犆的外角∠犃犆犇的平分线，且犆犈交犅犃的延长线于点
犈．求证∠犅犃犆＝∠犅＋２∠犈．
３８
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
为什么要证明
李明：我们观察任意一个三角形，量出它的每个内角，都能得出它的内角
和等于１８０°，为什么还要证明这个结论呢？
刘老师：通过观察、试验等可以寻找规律，但是由于观察可能有误差，试
验可能受干扰，考察对象可能不具有一般性等原因，一般来说，由观察、试验
等所产生的“结论”未必正确．例如，让一个班的学生每人任意画一个三角形，
再量出它的每个内角，计算三个内角的和，得到的结果未必全是１８０°，可能有
的会比１８０°大一些，有的会比１８０°小一些．
李明：如果观察细致，仪器精确，不产生误差，还需要证明吗？
刘老师：仅通过观察、试验等就下结论有时也缺乏说服力．例如，即使不
考虑误差等因素，当上面观察的所有结果全是１８０°时，人们还会有疑问：“不同
形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有限个，其余三角形的内
角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证吗？”事实上，不管我们经历多长
时间，画出多少个三角形，观察、试验的对象也是有限个．因此，要确认“三
角形的内角和等于１８０°”，就不能仅依靠度量等手段进行验证，而必须进行推理
论证———对于一般的三角形，推出它的三个内角的和等于一个平角，从而得出
“无论三角形的具体形状如何，它的内角和一定等于１８０°”．
李明：现在我明白了，一个数学命题是否正确，需要经过理由充足、使人
信服的推理论证才能得出结论．观察、试验等是发现数学公式、定理的重要途
径，而证明则是确认数学公式、定理的必要步骤．
４８
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第十八章　三角形
 ߦำү
"ߕȟᥚ0D̶
>ᒏ
"ߕȟ็
Dᒏ+̶
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图１
图２
取一些等长的磁力棒（图１）．用３根磁力棒能组成１
个等边三角形（图２），用６根磁力棒能组成４个等边三角
形吗？用９根磁力棒最多能组成几个等边三角形？动手试
一试，并与同学交流．（提示：可以考虑立体图形．）
与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边
形．容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个
多边形是否都能分割成三角形呢？
把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形
内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．图３给出了七
边形的三角剖分的几种方法．
图３
（１）试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分，分别能剖
分出多少个三角形？狀边形呢？
（２）将一个四边形进行三角剖分，你有多少种剖分方法？五边形呢？
１７５１年，瑞士数学家欧拉（Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）向德国俄国数学家哥德
巴赫（Ｇｏｌｄｂａｃｈ，１６９０—１７６４）提出了一个狀边形的三角剖分有多少种不同
方法的问题，并归纳得出了狀边形的不同三角剖分方法数（犇狀）的公式．后
来数学家发现并证明：当狀≥３时，犇狀＋１
犇狀＝４狀－６
狀（犇３＝１）．请你利用上述公
式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数．
５８
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
 ፇ
ʷnj ቦᅼគፇ ڏ̄
njڀᮏˁ Ꮶ
第十八章　三角形
ʼᝈ 
ʼᝈ ᄊ Т  ԣѬዝ
ˁʼᝈ  Тᄊጳ 
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ʼᝈ ᄊЯᝈ֗
ʼᝈ ᄊܱ
ᝈ
ʼᝈ ᄊ˗ጳnjᝈ Ѭጳnjᰴ
ʼᝈ ᄊЯᝈˁܱ
ᝈ
三角形是基本的几何图形，也是最简单的多边形．本章我们在小学学
习的基础上，学习了三角形的有关概念及分类，探索并证明了三角形三
边之间的关系以及三角形的内角和定理，了解了三角形具有稳定性．
构成几何图形的元素之间的关系是几何研究的重要内容．边和角是构
成三角形的元素．对于边，我们研究了三角形三边之间的关系，并认识了
三角形的中线、角平分线、高；对于角，我们研究了三角形三个内角之
间的关系，得到了三角形的内角和定理，并认识了三角形的外角．
三角形的内角和定理是几何中一个很重要的结论，我们可以借助几
何直观，由平行线的性质与平角的定义对它进行证明．由三角形的内角和
定理，可以推理得到直角三角形两个锐角的关系及三角形外角的有关结
论，这也可以进一步提升我们的推理能力．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．按照内角的大小，三角形可以怎样分类？按照边呢？
２．三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？
６８
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
３．三角形中有哪几种重要的线段？你能画出这些线段吗？
４．三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论？
５．直角三角形的两个锐角有怎样的关系？得出这个结论的依据是
什么？
６．三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角有怎样的关系？这个
结论能由三角形的内角和定理得出吗？
ܭ˸ᮥ

ܭ˸ ڍ
１．下列四个条件：
①在△犃犅犆中，∠犃，∠犅都是锐角；
②△犃犅犆的三个内角的度数之比是１∶２∶３；
③在△犃犅犆中，∠犃－∠犅＝∠犆；
④△犃犅犆的三个外角的度数之比是３∶４∶５．
其中能确定△犃犅犆是直角三角形的是　　　　　　（只填序号）．
２．如图，在△犃犅犆中，犃犇，犃犈分别是边犅犆上的中线和高，犃犈＝２，犛△犃犅犇＝
１．５．求犅犆和犇犆的长．
A
B
C
D E
（第２题）　　　　　　　　　
A
B
C
D
P
（第３题）
３．如图，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得
犃犅＋犃犇＞　　　　　，
犘犇＋犆犇＞　　　　　．
将不等式左边、右边分别相加，得
犃犅＋犃犇＋犘犇＋犆犇＞　　　　　，
即犃犅＋犃犆＞　　　　　．
７８
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十八章　三角形
４．求出下列各图形中狓的值．
40e
xe xe
xe
x
e
10
(       )
x
e
70
(       )
50e
xe
（１）
（２）
（３）
（第４题）
፬Ռᤂၹ
５．如图，∠犅＝４２°，∠犃比∠１小１０°，∠犃犆犇＝６４°．求证犃犅∥犆犇．
64e
C
D
42e
1
A
B
　　（第５题）
　　　
A
B
C
D
（第６题）　　　
A
B
C
D
E
O
F
（第７题）
６．如图，在△犃犅犆中，∠犆＝∠犃犅犆＝２∠犃，犅犇是边犃犆上的高．求∠犇犅犆的
度数．
７．如图，在△犃犅犆中，犃犇是高，犃犈，犅犉是角平分线，且犃犈，犅犉相交于点
犗，∠犅犃犆＝５０°，∠犆＝７０°．求∠犇犃犆和∠犅犗犃的度数．
   ጊ
８．如图，在△犃犅犆中，犅犈，犆犉是角平分线，且犅犈，犆犉相交于点犌．求证：
（１）∠犅犌犆＝１８０°－１２（∠犃犅犆＋∠犃犆犅）；　（２）∠犅犌犆＝９０°＋１２∠犃．
A
B
C
E
F
G
（第８题）　　　　　　　　　
A
B
C
D
E
（第９题）
９．如图，连接犃犆，犃犇，犅犇，犅犈，犆犈，求证∠犃＋∠犅＋∠犆＋∠犇＋∠犈＝１８０°．
８８
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
综合与实践　确定匀质薄板的重心位置
综合与实践
确定匀质薄板的重心位置
物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．例如，
比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向（图１）；
杂技演员在表演转盘子时，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动
（图２）；等等．
图１
　　　
图２
在工程中，物体重心的位置也有重要的应用．例如，水坝、挡土墙等建筑
的重心必须在一定的范围内，否则可能会导致坍塌（图３）；当飞机的重心位于
合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机
具有良好的操纵性能（图４）；为了产生预期的搅拌效果，混凝土搅拌机转动部
分的重心会设计得偏离转轴一定的距离（图５）；等等．
图３
　
图４
　
图５
工程中使用的许多物体具有均匀的质地，如工程中常用的工字钢、角钢、
槽钢等型钢（图６）．你能通过数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的
重心吗？
９８
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
综合与实践　确定匀质薄板的重心位置
图６
接下来，我们一起来探究解决这个问题．
ำүᄬ 
发现确定匀质薄板、薄壳（厚度可忽略）的重心位置的方法．
ำүюܬ
１．材料用具
质地均匀的薄纸板、直尺、量角器、剪刀、细线．
２．资料学习
查阅资料，了解重心的概念以及工程中确定物体重心位置的方法．
ำү͊
Ҭ
由于许多工程用薄板的形状是由常见的简单平面图形组合而成的（如图６
中的型钢截面），所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置，
再探究确定平面组合图形重心位置的方法．
ำүʷ 　确定简单平面图形的重心位置
我们已经知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，那么其他平面图形
的重心在什么位置呢？
任务１　认识平面图形的重心
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题．
　图７
（１）在物理学中，物体的重心指的是什么？匀质
薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关？
（２）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板（图７），
慢慢调整薄板，使其在支点上能够保持平衡．此时，薄
板与支点接触的点就是薄板的重心．三角形匀质薄板的
重心位置与三角形的重心位置有什么关系？
０９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
综合与实践　确定匀质薄板的重心位置
（３）你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的重心下一个定义吗？
任务２　了解平面图形重心位置的分布特点
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题．
（１）你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗？
（２）怎样确定其他常见的几何图形（如线段、正方形、长方形、平行四边
形等）的重心位置？这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什
么三角形的重心也满足上述特点吗？
（３）如果有人问你“一个平面图形的重心指的是什么？位于它的什么位
置？”，你会怎样回答？
任务３　确定一些平面图形的重心位置
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，利用前面获得的结论，选择
一些平面图形，尝试确定它们的重心位置．
（１）你选择的是什么图形？能否根据它的形状确定其重心位置？如果能，
你的依据是什么？如何验证你找到的重心位置的准确性？
（２）当不能根据图形的形状确定它的重心位置时，你能通过把它分割成已
知重心位置的图形来寻找它的重心位置吗？如果能，你是如何做的？如果不
能，你遇到了什么困难？
ำү̄ 　确定平面组合图形的重心位置
平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置
与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的
重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐
标系，用坐标来研究重心的位置．
任务１　把一个图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分
的重心位置之间的关系．
通过小组合作活动，选择一个已知重心位置的平面图形，将它分成已知重
心位置的两部分，建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置与两部分的重心
位置坐标之间的关系．
（１）你选择的是什么图形？你是按照什么标准把图形分成两部分的？图形
的重心位置和两部分的重心位置分别位于哪里？
（２）你是如何建立平面直角坐标系的？图形的重心位置的横坐标狓、纵坐
１９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
综合与实践　确定匀质薄板的重心位置
标狔与两部分的重心位置的横坐标狓１，狓２、纵坐标狔１，狔２之间有什么数量关
系？例如，能写成“狓＝（　）狓１＋（　）狓２，狔＝（　）狔１＋（　）狔２”
的形式吗？两者之间的关系与你选择的分割图形的标准有关吗？如果不能发现
狓与狓１，狓２、狔与狔１，狔２之间的关系，换一种方式建立平面直角坐标系试
试看．
（３）换一个标准把图形分成两部分，你能得到图形重心位置的横、纵坐标
与两部分的重心位置的横、纵坐标之间的什么数量关系？这种关系是否与前面
得到的关系具有一致性？
（４）你能根据前面的探究结论，猜想这个图形的重心位置的横、纵坐标与
分成的两部分的重心位置的横、纵坐标之间的数量关系吗？如果能，你能用式
子把这个关系表达出来，并进一步验证它的正确性吗？如果不能，可能的原因
是什么？
任务２　确定一个工程用薄板类工件的重心位置
要求：以小组合作的形式，选择一个组合图形的薄板、薄壳工件（或工件
的横截面），也可以从图８提供的工件（或横截面）中选择一个，通过推理、
计算确定它的重心位置．
10 cm
30 cm 10 cm
10 cm
30 cm
30 cm
12 cm
80 cm
120 cm
12 cm
20 cm
“!”形角钢的横截面
“"”形薄板
由小正方形薄板拼接成的薄板
图８
ำүʼ 　跳高运动员为什么采用“背越式”（选做）
如图９，当跳高运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨
越式”和“滚式”要好．试通过查资料、讨论等小组合作活动，探究其中的
原因．
２９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
综合与实践　确定匀质薄板的重心位置
跨越式
滚式
背越式
图９
ำү᣿ሮ
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．
ำүក͉
通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．
３９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
第十九章　全等三角形
铺设地面的方砖、钢架桥中的三角形结构、足球比赛的场地……，都能在
其中找到形状、大小相同的图形的形象．形状、大小相同的图形是全等形．本
章我们以全等三角形为例研究全等形，重点学习全等三角形的性质和判定三角
形全等的方法．
前面我们通过推理论证得到了三角形的内角和定理等重要结论．在本章推
理论证将发挥更大的作用．我们将通过证明三角形全等来证明线段相等或角相
等，利用全等三角形证明角的平分线的性质．通过本章的学习，你对三角形的
认识会更加丰富，推理能力会进一步提升．
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
１９．１全等三角形及其性质
如图１９．１１，对开的大门、设计的图案中都有形状、大小相同的图形的形
象，你能再举出一些类似的例子吗？
图１９．１１
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形
叫作全等形．
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形（ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｔｒｉａｎｇｌｅｓ）．
ᕊ5
在图１９．１２（１）中，把△犃犅犆沿直线犅犆平移，得到△犇犈犉．
在图１９．１２（２）中，把△犃犅犆沿直线犅犆翻折１８０°，得到△犇犅犆．
在图１９．１２（３）中，把△犃犅犆绕点犃旋转，得到△犃犇犈．
各图中的两个三角形全等吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
（１）
（２）
（３）
图１９．１２
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改
变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．全等用符号“≌”表示，读作“全等
于”．例如，图１９．１２（１）中的△犃犅犆和△犇犈犉全等，记作△犃犅犆≌△犇犈犉．
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫
５９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
记两个三角形全等
时，通常把表示对应顶
点的字母写在对应的位
置上．
作对应边，重合的角叫作对应角．例如，图１９．１２（１）
中△犃犅犆≌△犇犈犉，其中点犃和点犇，点犅和点
犈，点犆和点犉是对应顶点；犃犅和犇犈，犅犆和
犈犉，犃犆和犇犉是对应边；∠犃和∠犇，∠犅和
∠犈，∠犆和∠犉是对应角．
ᕊ5
图１９．１２（１）中，△犃犅犆≌△犇犈犉，对应边有什么关系？对应角
呢？其他两图中的全等三角形呢？
全等三角形有这样的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
例　如图１９．１３，△犃犅犆≌△犅犃犇，点犃和点犅，点犆和点犇是对应顶
点，∠犅犃犆＝６５°，∠犃犅犆＝２６°，犃犆，犅犇的延长线相交于点犈．求∠犆犅犇，
∠犈的度数．
A
B
C
D
E
　图１９．１３
解：∵　△犃犅犆≌△犅犃犇，
∴　∠犃犅犇＝∠犅犃犆＝６５°．
∴　∠犆犅犇＝∠犃犅犇－∠犃犅犆＝６５°－２６°＝３９°．
在△犃犈犅中，∠犈＋∠犅犃犈＋∠犃犅犈＝１８０°，
∴　∠犈＝１８０°－∠犅犃犈－∠犃犅犈＝１８０°－６５°－６５°＝５０°．
ጷ˸
１．如图，△犃犅犆≌△犅犇犈，∠犃和∠犈犅犇，∠犆和∠犈是对应角．说出
这两个三角形的对应边和另一组对应角．
A
C
D
B
E
（第１题）
　　　A
B
O
C
D
（第２题）
２．如图，△犗犆犃≌△犗犅犇，点犆和点犅，点犃和点犇是对应顶点．说出
这两个三角形中相等的边和角．
６９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形

ܭ˸ ڍ
１．如图，△犃犅犆≌△犆犇犃，犃犅和犆犇，犅犆和犇犃是对应边．写出其他对应边
和对应角．
A
B
C
D
（第１题）　　　
A
B
C
M
N
（第２题）
２．如图，△犃犅犖≌△犃犆犕，犃犅和犃犆是对应边，∠犅和∠犆是对应角．写出
其他对应边和对应角．
፬Ռᤂၹ
３．图中有两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则∠１等于多少度？
60e
a
54e
b
c
b
c
1
（第３题）
４．如图，△犈犉犌≌△犖犕犎，∠犉和∠犕是对应角．在△犈犉犌中，犉犌是最长
边．在△犖犕犎中，犕犎是最长边，且犈犉＝２．１，犈犎＝１．１，犖犎＝３．３．
（１）写出其他对应边及对应角；　　（２）求线段犖犕及线段犎犌的长度．
N
M
G
H
E
F
（第４题）
　　　
A
B
C
E
D
（第５题）
   ጊ
５．如图，△犃犅犆≌△犇犈犆，犆犃和犆犇，犆犅和犆犈是对应边．∠犃犆犇和∠犅犆犈
相等吗？为什么？
７９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
１９．２三角形全等的判定
性质和判定是几何研究的主要内容．在上一节，我们学
习了全等三角形的性质，知道了全等三角形的对应边相等、
对应角相等．反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？
我们从构成三角形的元素———边、角的关系出发，研究三角
形全等的判定方法．
根据全等三角形的定义，如果△犃犅犆与△犃′犅′犆′满足三条边分别相等，
三个角分别相等，即
犃犅＝犃′犅′，犅犆＝犅′犆′，犆犃＝犆′犃′，
∠犃＝∠犃′，∠犅＝∠犅′，∠犆＝∠犆′，
就能判定△犃犅犆≌△犃′犅′犆′ （图１９．２１）．
A
B
C
Ą
B
Ą
C
Ą
A
图１９．２１
一定要满足三条边分别相等，三个角也分别
相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条
件中，有些条件是相关的．能否在上述六个条件
中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全
等呢？
我们按照条件由少到多的顺序进行研究．
4K
先任意画出一个△犃犅犆．再画一个△犃′犅′犆′，使△犃犅犆与△犃′犅′犆′
满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一
边一角或两角分别相等）．你画出的△犃′犅′犆′与△犃犅犆一定全等吗？
通过画图容易举出△犃犅犆和△犃′犅′犆′不全等的例子，因此满足上述六个
条件中的一个或两个，△犃犅犆与△犃′犅′犆′不一定全等．满足上述六个条件中
的三个，能保证△犃犅犆与△犃′犅′犆′全等吗？
我们分情况进行讨论．
８９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
4K
A
B
C
Ą
B
Ą
C
Ą
A
图１９．２２
如图１９．２２，直观上，如果∠犃，犃犅，
犃犆的大小确定了，△犃犅犆的形状、大小也就
确定了．也就是说，在△犃′犅′犆′与△犃犅犆中，
如果∠犃′＝∠犃，犃′犅′＝犃犅，犃′犆′＝犃犆，那
AU   U
Ą
A
BU   U
Ą
B
CU   U
Ą
C
图１９．２３
么△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．这个判断正确吗？
如图１９．２３，由∠犃′＝∠犃可知，如果使点犃′与点犃
重合，并且使射线犃′犅′与射线犃犅重合，那么射线犃′犆′与
射线犃犆重合．再由犃′犅′＝犃犅，犃′犆′＝犃犆，可知点犅′，
犆′分别与点犅，犆重合．这样，△犃′犅′犆′的三个顶点与
△犃犅犆的三个顶点分别重合，△犃′犅′犆′与△犃犅犆能够完
全重合，因而△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．
由探究２可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或
“ＳＡＳ”）．
因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相
等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决．
A
B
C
D
图１９．２４
例１　如图１９．２４，犃犆＝犃犇，犃犅平分∠犆犃犇，求证
∠犆＝∠犇．
分析：如果能证明△犃犅犆≌△犃犅犇，就可以得出∠犆＝
∠犇．由题意可知，△犃犅犆与△犃犅犇具备“边角边”的条件．
证明：∵　犃犅平分∠犆犃犇，
犃犅既是△犃犅犆的
边又是△犃犅犇的边．我
们称它为这两个三角形
的公共边．
∴　∠犆犃犅＝∠犇犃犅．
在△犃犅犆和△犃犅犇中，
犃犆＝犃犇，
∠犆犃犅＝∠犇犃犅，
犃犅＝犃犅，
烅
烄
烆
∴　△犃犅犆≌△犃犅犇（ＳＡＳ）．
∴　∠犆＝∠犇．
９９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
ᕊ5
我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两
个三角形全等．如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么
这两个三角形全等吗？
A
B
C
D
图１９．２５
如图１９．２５，△犃犅犆与△犃犅犇满足两边和其中一边
的对角分别相等，即犃犅＝犃犅，犃犆＝犃犇，∠犅＝∠犅，
但△犃犅犆与△犃犅犇显然不全等．这说明，两边和其中一
边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
ጷ˸
１．如图，有一池塘，要测池塘两端犃，犅的距离，可先在平地上取一个
点犆，从点犆不经过池塘可以直接到达点犃和点犅．连接犃犆并延长到
点犇，使犆犇＝犆犃．连接犅犆并延长到点犈，使犆犈＝犆犅．连接犇犈，
那么量出犇犈的长就是犃，犅的距离．为什么？
A
B
C
D
E
（第１题）
　　　
A
B
C
D
E
F
（第２题）
２．如图，点犈，犉在犅犆上，犅犈＝犆犉，犃犅＝犇犆，∠犅＝∠犆．求证∠犃＝∠犇．
前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况．接下来研究两
个三角形的两角和一边分别相等的情况．
4K
A
B
C
Ą
B
Ą
C
Ą
A
图１９．２６
如图１９．２６，直观上，犃犅，∠犃，∠犅的大
小确定了，△犃犅犆的形状、大小也就确定了．也
就是说，在△犃′犅′犆′与△犃犅犆中，如果犃′犅′＝
犃犅，∠犃′＝∠犃，∠犅′＝∠犅，那么△犃′犅′犆′≌
△犃犅犆．这个判断正确吗？
００１
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第十九章　全等三角形
AU   U
Ą
A
BU   U
Ą
B
CU   U
Ą
C
图１９．２７
如图１９．２７，由犃′犅′＝犃犅可知，如果使点犃′与点犃
重合，点犅′在射线犃犅上，那么点犅′与点犅重合．再由
∠犃′＝∠犃，∠犅′＝∠犅，可知射线犃′犆′与射线犃犆重合，
射线犅′犆′与射线犅犆重合，于是射线犃′犆′，犅′犆′的交点犆′与
射线犃犆，犅犆的交点犆重合．这样，△犃′犅′犆′的三个顶点与
△犃犅犆的三个顶点分别重合，△犃′犅′犆′与△犃犅犆能够完全
重合，因而△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．
由探究３可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或
“ＡＳＡ”）．
例２　如图１９．２８，点犇在犃犅上，点犈在犃犆上，犃犅＝犃犆，∠犅＝
∠犆．求证犃犇＝犃犈．
分析：如果能证明△犃犆犇≌△犃犅犈，就可以得出犃犇＝犃犈．由题意可知，
△犃犆犇和△犃犅犈具备“角边角”的条件．
A
B
C
D
E
图１９．２８
证明：在△犃犆犇和△犃犅犈中，
∠犃＝∠犃（公共角），
犃犆＝犃犅，
∠犆＝∠犅，
烅
烄
烆
∴　△犃犆犇≌△犃犅犈（ＡＳＡ）．
∴　犃犇＝犃犈．
两个三角形的两角和一边分别相等，除了两角和它们的夹边分别相等，还
有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的情况．
ᕊ5
如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这
两个三角形全等吗？
根据三角形的内角和定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们
的另一个角也相等．这样，由两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对
边相等，可以得到这两个三角形的两角和它们的夹边分别相等，进而利用“角
边角”的基本事实，就可以判定这两个三角形全等．
１０１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
A
B
C
Ą
B
Ą
C
Ą
A
图１９．２９
如图１９．２９，在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，∠犃＝
∠犃′，∠犅＝∠犅′，犅犆＝犅′犆′．请你按照上述思路证
明△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
由此，我们可以得到下面的结论：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两
个三角形全等（可以简写成“角角边”或“ＡＡＳ”）．
ጷ˸
１．如图，犃犅⊥犅犆，犃犇⊥犇犆，垂足分别为犅，犇，且∠１＝∠２．求证
犃犅＝犃犇．
A
B
C
D
1 2
（第１题）
　　　
E
F
A
B
C
D
（第２题）
２．如图，要测量池塘两岸相对的两点犃，犅的距离，可以在池塘外取
犃犅的垂线犅犉上的两点犆，犇，使犅犆＝犆犇，再画出犅犉的垂线
犇犈，使点犈与点犃，犆在一条直线上，这时测得犇犈的长就是犃犅
的长．为什么？
前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况以及两角和一边
分别相等的情况．接下来研究三边分别相等的情况．
4K
A
B
C
Ą
B
Ą
C
Ą
A
图１９．２１０
如图１９．２１０，直观上，犃犅，犅犆，犆犃
的大小确定了，△犃犅犆的形状、大小也就确
定了．也就是说，在△犃′犅′犆′与△犃犅犆中，
如果犃′犅′＝犃犅，犅′犆′＝犅犆，犆′犃′＝犆犃，
那么△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．这个判断正确吗？
２０１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
AU   U
Ą
A
BU   U
Ą
B
CU   U
Ą
C
图１９．２１１
如图１９．２１１，由犃′犅′＝犃犅可知，如果点犃′
与点犃重合，点犅′在射线犃犅上，那么点犅′与点
犅重合．另外，使点犆′落在直线犃犅的含有点犆
的一侧．由于点犆是以点犃为圆心、犃犆为半径的
圆和以点犅为圆心、犅犆为半径的圆的交点，点犆′
是以点犃′为圆心、犃′犆′为半径的圆和以点犅′为圆
心、犅′犆′为半径的圆的交点，所以由犃′犆′＝犃犆，
犅′犆′＝犅犆可知点犆′与点犆重合．这样，△犃′犅′犆′
的三个顶点与△犃犅犆的三个顶点分别重合，
△犃′犅′犆′与△犃犅犆能够完全重合，因而△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．
由探究４可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“ＳＳＳ”）．
利用这个基本事实，可以说明我们曾经做过的实验的结果：将三根木条钉
成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了，也就是三角形具
有稳定性．
上述分析过程也告诉我们：已知三角形的三边，可以利用直尺和圆规作一
个三角形．
如图１９．２１２，已知三条线段犪，犫，犮（其中任意两条线段的和大于第三
条线段），求作△犃犅犆，使其三边分别为犪，犫，犮．
a
b
c
图１９．２１２
　　　　　　　　　A
B
C
图１９．２１３
作法：如图１９．２１３．
（１）作线段犃犅＝犮；
（２）分别以点犃，犅为圆心，线段犫，犪为半径作弧，两弧相交于点犆；
（３）连接犃犆，犅犆，则△犃犅犆就是所求作的三角形．
例３　在如图１９．２１４所示的三角形钢架中，犃犅＝犃犆，犃犇是连接点犃
与犅犆中点犇的支架．求证犃犇⊥犅犆．
分析：如果△犃犅犇≌△犃犆犇，那么∠犃犇犅＝∠犃犇犆，从而有犃犇⊥犅犆．
３０１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
而△犃犅犇与△犃犆犇具备“边边边”的条件．
A
B
C
D
图１９．２１４
证明：∵　犇是犅犆的中点，
∴　犅犇＝犆犇．
在△犃犅犇和△犃犆犇中，
犃犅＝犃犆，
犅犇＝犆犇，
犃犇＝犃犇，
烅
烄
烆
∴　△犃犅犇≌△犃犆犇（ＳＳＳ）．
∴　∠犃犇犅＝∠犃犇犆．
又　∠犃犇犅＋∠犃犇犆＝１８０°，
∴　∠犃犇犅＝９０°．
∴　犃犇⊥犅犆．
最后来看两个三角形的三角分别相等的情况．
ᕊ5
三角分别相等的两个三角形全等吗？解答这个问题后，把三角形全等
的判定方法做一个小结．
ጷ˸
１．如图，犃犆＝犅犇，犅犆＝犃犇．求证∠犃犅犆＝∠犅犃犇．
A
B
C
D
（第１题）
　　　　　　　　　
A
B
O
M
N
C
（第２题）
２．工人师傅常用角尺平分一个任意角．如图，在∠犃犗犅的边犗犃，犗犅上
分别取犗犕＝犗犖，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点犕，犖
重合．过角尺顶点犆的射线犗犆便是∠犃犗犅的平分线．为什么？
４０１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
下面，利用三角形全等的判定方法，我们再来研究一些尺规作图问题．
ᕊ5
线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素．我们
已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一
个角等于已知角呢？
如图１９．２１５（１），已知∠犃犗犅，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关
键是能用直尺和圆规确定∠犃犗犅的大小．
对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的．如果能将∠犃犗犅“放在”
某个三角形中，作为其一个角，而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形，进
而再作出与这个三角形全等的三角形，根据全等三角形的性质，∠犃犗犅的对
应角就是要求作的角．这就说明可以用直尺和圆规确定∠犃犗犅．
A
B
O
C
D
A
B
O
Ą
C
Ą
D
Ą
O
（１）
（２）
（３）
图１９．２１５
为了作图方便，一
般取犗犆＝犗犇．
显然，这样的三角形是容易作出的．如图
１９．２１５（２），在∠犃犗犅的边犗犃，犗犅上分别取点
犆，犇，连接犆犇，得到△犆犗犇，∠犃犗犅就是
△犆犗犇的一个内角．再作出△犆′犗′犇′ （图１９．２１５
（３）），使△犆′犗′犇′≌△犆犗犇，则∠犆′犗′犇′＝
∠犆犗犇＝∠犃犗犅．
由此我们得到作一个角∠犃′犗′犅′等于已知角∠犃犗犅的方法．
作法：如图１９．２１６．
A
B
C
D
O
Ą
B
Ą
C
Ą
D
Ą
A
Ą
O
图１９．２１６
５０１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
（１）以点犗为圆心，任意长为半径作弧，分别交犗犃，犗犅于点犆，犇；
（２）作一条射线犗′犃′，以点犗′为圆心，犗犆为半径作弧，交犗′犃′于
点犆′；
（３）以点犆′为圆心，犆犇为半径作弧，与上一步作的弧相交于点犇′；
（４）过点犇′作射线犗′犅′，则∠犃′犗′犅′＝∠犃犗犅．
与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、
常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图．
例４　如图１９．２１７，已知直线犃犅及直线犃犅外一点犆．利用直尺和圆规
过点犆作直线犃犅的平行线犆犇．
A
B
C
图１９．２１７
　　　　　　　　　A
B
C
D
E
F
图１９．２１８
分析：我们知道，同位角相等，两直线平行．可以利用这个结论，过点犆
作直线犃犅的平行线犆犇．为此需要先作出截线，再作出相等的同位角．
作法：如图１９．２１８．
还可以利用“内错
角相等，两直线平行”
作图．
（１）过点犆作一条直线，与直线犃犅相交于
点犈；
（２）在点犆处作∠犆犈犅的同位角∠犉犆犇，使
∠犉犆犇＝∠犆犈犅；
（３）反向延长犆犇，得直线犆犇，则直线犆犇∥犃犅．
例５　如图１９．２１９，已知线段犪，犫和∠α，求作△犃犅犆，使犃犅＝犪，
犃犆＝犫，∠犃＝∠α．
　　　　　
Ü
a
b
图１９．２１９
　
　　A
B
C
D
E
图１９．２２０
６０１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
作法：如图１９．２２０．
（１）作∠犇犃犈＝∠α；
（２）在射线犃犇上作犃犅＝犪，在射线犃犈上作犃犆＝犫；
（３）连接犅犆，则△犃犅犆就是所求作的三角形．
ጷ˸
１．如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△犃犅犆的顶点犃，并
且与边犅犆平行．
A
B
C
（第１题）
　　　
a
Ü
á
（第２题）
２．如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于
∠α，∠β，这两角的夹边等于线段犪．
下面我们来研究直角三角形全等的判定．
前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同
样也适用于直角三角形．因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角
三角形，满足一直角边和它相对（或相邻）的锐角分别相等，或斜边和一锐角
分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了．如果满足斜边
和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
4K
A
B
C
Ą
B
Ą
C
Ą
A
图１９．２２１
如图１９．２２１，在△犃犅犆和
△犃′犅′犆′中，∠犆′＝∠犆＝９０°，
犃′犅′＝犃犅，犅′犆′＝犅犆．这两个三
角形全等吗？
如图１９．２２２，由∠犆′＝∠犆＝９０°可知，如果使点犆′与点犆重合，并且
使射线犆′犃′与射线犆犃重合，那么射线犆′犅′与射线犆犅重合．再由犅′犆′＝
犅犆，可知点犅′与点犅重合．
７０１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
AU   U
Ą
A
BU   U
Ą
B
CU   U
Ą
C
M
N
Ą
M
图１９．２２２
为了判断点犃′与点犃是否重合，我们讨论射
线犆犃上除点犆，犃外的点与点犅的连线和边犃犅
的大小关系．
在今后的学习中，
我们将用勾股定理证明
这个判定方法．
设点犕在直角边犃犆（不包括端点）上，连接
犅犕，则∠犅犕犃＞∠犆，∠犅犕犃是钝角．若过点
犕且垂直于犅犕的直线与线段犃犅相交于点犕′，
则有犃犅＞犅犕′＞犅犕．设点犖在线段犆犃的延长
线上，连接犅犖，同理可得犅犖＞犃犅．因此，在射
线犆犃上，与点犅的连线长度等于犃犅的点只有一
个．再由点犃′在射线犆犃上，犃′犅′＝犃犅，可知点
犃′与点犃重合．这样，△犃′犅′犆′的三个顶点与
△犃犅犆的三个顶点分别重合，△犃′犅′犆′与△犃犅犆
能够完全重合，因而△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．
一般地，有如下判定直角三角形全等的方法：
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直
角边”或“ＨＬ”）．
例６　如图１９．２２３，犃犆⊥犅犆，犅犇⊥犃犇，垂足分别为犆，犇，犃犆＝
犅犇．求证犅犆＝犃犇．
分析：如果能证明Ｒｔ△犃犅犆≌Ｒｔ△犅犃犇，就可以得出犅犆＝犃犇．由题意
可知，Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犅犃犇具备“斜边、直角边”的条件．
A
B
C
D
图１９．２２３
证明：∵　犃犆⊥犅犆，犅犇⊥犃犇，
∴　∠犆＝∠犇＝９０°．
在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犅犃犇中，
犃犅＝犅犃，
犃犆＝犅犇，
烅烄
烆
∴　Ｒｔ△犃犅犆≌Ｒｔ△犅犃犇（ＨＬ）．
∴　犅犆＝犃犇．
８０１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
ጷ˸
１．如图，犆是路段犃犅的中点，两人从犆同时出发，以相同的速度分别
沿两条直线行走，并同时到达犇，犈两地，且犇犃⊥犃犅，犈犅⊥犃犅．
犇，犈到路段犃犅的距离相等吗？为什么？
A
B
C
E
D
（第１题）
　　　　　　　　　
A
B
C
D
E
F
（第２题）
２．如图，犃犅＝犆犇，犃犈⊥犅犆，犇犉⊥犅犆，垂足分别为犈，犉，犆犈＝犅犉．
求证犃犈＝犇犉．

ܭ˸ ڍ
１．如图，犕是犃犅的中点，∠犃犕犆＝∠犅犕犇，犕犆＝犕犇．求证犃犆＝犅犇．
A
B
C
D
M
（第１题）
　　　　　　　
A
B
C
D
E
（第２题）
２．如图，犃犅＝犃犆，犃犇＝犃犈，求证∠犅＝∠犆．
A
B
O
Ą
B
Ą
A
（第３题）
３．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量
工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽
犃犅，只需要测量哪些量？为什么？
９０１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
４．如图，∠１＝∠２，∠３＝∠４．求证犃犆＝犃犇．
A
B
C
D
1
2
3
4
（第４题）　　　　　　　　　
A
B
C
D
1
2
（第５题）
５．如图，∠１＝∠２，∠犅＝∠犇．求证犃犅＝犆犇．
６．如图，从犆地看犃，犅两地的视角∠犆是锐角，犆地与犃，犅两地的距离相
等．犃地到路段犅犆的距离犃犇与犅地到路段犃犆的距离犅犈相等吗？为
什么？
A
B
C
D
E
（第６题）　　　　　　　　　
A
B
C
D
E
（第７题）
７．如图，犃犅＝犃犇，犃犆＝犃犈，犅犆＝犇犈．求证∠犅犃犆＝∠犇犃犈．
８．如图，在一个平分角的仪器中，犃犅＝犃犇，犅犆＝犇犆．将点犃放在角的顶点，
犃犅和犃犇沿着角的两边放下，沿犃犆画一条射线犃犈，犃犈就是这个角的平
分线．你能说明它的道理吗？
A
D
C
E
B
（第８题）　　　　　　　O
A
B
C
（第９题）　　　　　　　
C
B
A
（第１０题）
９．如图，点犆在∠犃犗犅的边犗犅上．利用直尺和圆规过点犆作射线犗犃的平行
线犆犇．
１０．如图，已知△犃犅犆．利用直尺和圆规作△犃犅犇，使∠犅犃犇＝∠犅犃犆，犃犇＝
犃犆（点犇与点犆在犃犅的不同侧）．
０１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
１１．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犃犇是高．求证：犅犇＝犆犇，∠犅犃犇＝∠犆犃犇．
B
C
D
A
（第１１题）　　　　　　　　　
A
B
C
D
（第１２题）
１２．如图，犃犆⊥犆犅，犇犅⊥犆犅，垂足分别为犆，犅，犃犅＝犇犆．求证∠犃犅犇＝
∠犃犆犇．
፬Ռᤂၹ
１３．如图，点犅，犈，犆，犉在一条直线上，犃犅＝犇犈，犃犆＝犇犉，犅犈＝犆犉．求
证∠犃＝∠犇．
A
B
C
E
D
F
（第１３题）
　　　　　　　　　A
B
C
O
D
（第１４题）
１４．如图，犃犆和犅犇相交于点犗，犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇．求证犃犅∥犆犇．
１５．如图，点犅，犉，犆，犈在一条直线上，犉犅＝犆犈，犃犅∥犇犈，犃犆∥犇犉．求
证：犃犅＝犇犈，犃犆＝犇犉．
A
B
C
D
E
F
（第１５题）
　　　
A
B
C
D
Ą
B
Ą
C
Ą
D
Ą
A
（第１６题）
１６．如图，△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，犃犇，犃′犇′分别是△犃犅犆，△犃′犅′犆′的对应角的
平分线．求证犃犇＝犃′犇′．
１１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
   ጊ
１７．如图，犇是犃犅上一点，犇犉交犃犆于点犈，犇犈＝犉犈，犉犆∥犃犅．犃犈与
犆犈有什么关系？证明你的结论．
A
B
C
E
D
F
（第１７题）　　　　　　　　　
A
B
C
D
E
（第１８题）
１８．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇是犅犆的中点，点犈在犃犇上．找出
图中的全等三角形，并证明它们全等．
η    ၹ
η    ၹ
η    ၹ
探究三角形全等的条件
我们知道，三条边、三个角这六个元素中的两个分别相等的两个三角形不
一定全等．通过在两个元素分别相等的基础上添加一个元素相等的条件，可以
得到判定这两个三角形全等的方法．利用信息技术工具也可以探究这个问题．
A
B
C
Ą
C
图１
先来探究在两边分别相等的基础上再添加它们夹角
相等的情况．
如图１，任意画△犃犅犆，在∠犅犃犆的内部作犃犆′，
使犃犆′＝犃犆，连接犅犆′．这样△犃犅犆与△犃犅犆′有两边
分别相等．让犃犆′绕点犃旋转，使△犃犅犆与△犃犅犆′在
犃犅的同旁，测量∠犅犃犆，∠犅犃犆′．可以发现：
当∠犅犃犆′＜∠犅犃犆时，点犆′在∠犅犃犆的内部（图２）；
A
B
C
Ą
C
ĹBAC63.57˚
ĹBACĄ31.26˚
图２
　　A
B
CĄ
C(     )
ĹBAC63.57˚
ĹBACĄ63.57˚
图３
　　
A
B
C
Ą
C
ĹBAC63.57˚
ĹBACĄ94.76˚
图４
２１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
当∠犅犃犆′＝∠犅犃犆时，点犆′与点犆重合（图３）；
当∠犅犃犆′＞∠犅犃犆时，点犆′在∠犅犃犆的外部（图４）．
由此你能得出什么结论？
类似地，你能探究在两边分别相等的基础上再添加一边相等的情况吗？
我们再来探究两角和它们的夹边分别相等的两个三角形是否全等．
A
B
C
Ą
C
图５
如图５，任意画△犃犅犆，在边犃犆上取点犆′，连接
犅犆′．这样△犃犅犆与△犃犅犆′有一边和一角分别相等．沿
射线犃犆拖动点犆′，测量∠犃犅犆，∠犃犅犆′．可以发现：
当∠犃犅犆′＜∠犃犅犆时，点犆′在边犃犆（不包括端
点）上（图６）；
当∠犃犅犆′＝∠犃犅犆时，点犆′与点犆重合（图７）；
当∠犃犅犆′＞∠犃犅犆时，点犆′在边犃犆的延长线上
（图８）．
由此你能得出什么结论？
A
B
C
Ą
C
ĹABC67.44˚
ĹABCĄ44.52˚
图６
　　
A
B
CĄ
C(     )
ĹABC67.44˚
ĹABCĄ67.44˚
图７
　　
A
B
C
Ą
C
ĹABC67.44˚
ĹABCĄ77.16˚
图８
类似地，你能探究斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形是否全等吗？
３１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
１９．３角的平分线
前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通
过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等．本节利用这
个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特
性，以及满足什么条件的点在角的平分线上．
角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的．我们先来看角
的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系．
ᣏ/
A
B
C
M
N
P
O
图１９．３１
如图１９．３１，犗犆是∠犃犗犅的平分线，犘是犗犆
上的任意一点，犕，犖分别是犗犃，犗犅上的点，我们
研究犘犕与犘犖的关系．
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一
些特殊情况．在图１９．３１中，当犗犕与犗犖满足什么
关系时，犘犕＝犘犖？
在图１９．３１中可以发现，在△犗犘犕和△犗犘犖中，犗犘＝犗犘，∠犘犗犕＝
∠犘犗犖．如果犗犕＝犗犖，那么△犗犘犕≌△犗犘犖（ＳＡＳ），就有犘犕＝犘犖．
A
B
M
N
P
O
图１９．３２
反过来，如图１９．３２，犕，犖分别是∠犃犗犅的边
犗犃，犗犅上的点，犗犕＝犗犖．点犘在∠犃犗犅的内部，
犘犕＝犘犖．连接犗犘，可以证明△犗犘犕≌△犗犘犖
（ＳＳＳ），所以∠犘犗犕＝∠犘犗犖，即点犘在∠犃犗犅的平分
线上．
ᕊ5
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两
点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个
４１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
点的射线，就能得到角的平分线了．下面是具体作法．
作法：如图１９．３３，已知∠犃犗犅．
A
B
N
M
O
C
图１９．３３
（１）以点犗为圆心，适当长为半径作弧，交犗犃
于点犕，交犗犅于点犖；
（２）分别以点犕，犖为圆心，大于１２犕犖的长为
半径作弧（想一想为什么），两弧在∠犃犗犅的内部相
交于点犆；
（３）作射线犗犆，则射线犗犆为∠犃犗犅的平分线．
下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关
系，我们仍研究其中的特殊情形．
ᣏ/
A
B
C
D1
O
D2
D3
P1
P2 P3
E1
E2 E3
图１９．３４
如图１９．３４，犗犆是∠犃犗犅的平分线．点犘１，
犘２，犘３在犗犆上，过点犘１，犘２，犘３，…分别画
犗犃与犗犅的垂线，垂足分别为犇１与犈１、犇２与
犈２、犇３与犈３……．分别比较犘１犇１与犘１犈１、犘２犇２
与犘２犈２、犘３犇３与犘３犈３……，你有什么发现？
可以发现，犘１犇１＝犘１犈１，犘２犇２＝犘２犈２，犘３犇３＝犘３犈３，…，由此我们
猜想角的平分线有以下性质：
角的平分线上的点到角两边的距离相等．
下面，我们证明这个性质．首先，要分清其中的“已知”和“求证”．显
然，已知为“一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为“这个点到这个角
两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出
A
B
C
D
P
O
E
图１９．３５
图形，并用符号表示已知和求证．
如图１９．３５，犗犆是∠犃犗犅的平分线，点犘在
犗犆上，犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，垂足分别为犇，犈．求
证犘犇＝犘犈．
分析：如果能证明△犗犘犇≌△犗犘犈，就可以得到
犘犇＝犘犈．由题意可知，△犗犘犇和△犗犘犈具备“角角边”的条件．
５１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
证明：∵　犗犆是∠犃犗犅的平分线，
∴　∠犃犗犆＝∠犅犗犆．
∵　犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，
∴　∠犘犇犗＝∠犘犈犗＝９０°．
在△犗犘犇和△犗犘犈中，
∠犃犗犆＝∠犅犗犆，
∠犘犇犗＝∠犘犈犗，
犗犘＝犗犘，
烅
烄
烆
∴　△犗犘犇≌△犗犘犈（ＡＡＳ）．
∴　犘犇＝犘犈．
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
１．明确命题中的已知和求证；
２．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
３．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
ጷ˸
１．如图，在直线犕犖上求作一点犘，使点犘在∠犃犗犅的内部，且点犘
到射线犗犃和犗犅的距离相等．
B
A
N
O
M
（第１题）
　　　
A
B
E
D
O
F
C
P
G
（第２题）
２．如图，犗犆是∠犃犗犅的平分线，点犘在犗犆上，犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，
垂足分别为犇，犈．点犉，犌分别在犗犃，犗犅上，犇犉＝犈犌，连接
犘犉，犘犌．求证犘犉＝犘犌．
我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性
质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一
定在角的平分线上吗？
６１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
通过判定两个三角形全等，可以得到：
按照证明命题的步
骤，自己证明这个结论．
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
从上面两个结论可以看出，角的平分线上的点
到角两边的距离相等；反过来，角的内部到角两边
距离相等的点在角的平分线上．所以在角的内部，
角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相
等的所有点的集合．
A
B
N
M
D
F
P
E
C
　图１９．３６
例　如图１９．３６，△犃犅犆的角平分线犅犕，
犆犖相交于点犘．求证：
（１）点犘到三边犃犅，犅犆，犆犃的距离相等；
（２）△犃犅犆的三条角平分线交于一点．
分析：（１）由已知可得点犘到边犃犅，犅犆的距
离相等，点犘到边犅犆，犆犃的距离相等，由此可得点犘到三边的距离相等；
（２）要证△犃犅犆的三条角平分线交于一点，只要证点犘也在∠犃的平分线上．
证明：（１）过点犘作犘犇⊥犃犅，犘犈⊥犅犆，犘犉⊥犆犃，垂足分别为犇，犈，犉．
∵　犅犕是△犃犅犆的角平分线，点犘在犅犕上，
∴　犘犇＝犘犈．
同理　犘犈＝犘犉．
∴　犘犇＝犘犈＝犘犉．
即点犘到三边犃犅，犅犆，犆犃的距离相等．
（２）由（１）得，点犘到边犃犅，犆犃的距离相等，
∴　点犘在∠犃的平分线上．
∴　△犃犅犆的三条角平分线交于一点．
ጷ˸
A
B
C
D
E
F
（第１题）
１．如图，犃犅⊥犆犇，犆犈⊥犃犇，垂足分别为犅，犈，犃犅＝
犆犈，犃犅，犆犈相交于点犉，连接犇犉．求证：犉犇平
分∠犅犉犈．
２．如图，已知△犃犅犆，犅犉是△犃犅犆的外角∠犆犅犇的平
分线，犆犌是△犃犅犆的外角∠犅犆犈的平分线，犅犉，犆犌
７１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
相交于点犘．求证：
A
B
D
C
F
E
G
P
（第２题）
（１）点犘到三边犃犅，犅犆，犆犃所在直线的距
离相等；
（２）点犘在∠犃的平分线上．

ܭ˸ ڍ
１．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线，且犅犇＝犆犇，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥
犃犆，垂足分别为犈，犉．求证犈犅＝犉犆．
A
B
C
D
E
F
（第１题）　　　　　　　　　
A
B
C
D
E
F
（第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犅犇⊥犃犆，犆犈⊥犃犅，垂足分别为犇，犈，
犅犇，犆犈相交于点犉．求证：犉犃平分∠犇犉犈．
３．如图，犆犇⊥犃犅，犅犈⊥犃犆，垂足分别为犇，犈，犅犈，犆犇相交于点犗，犗犅＝
犗犆．求证∠１＝∠２．
A
B
C
D
1 2
E
O
（第３题）
　　　　　　　　　
A
B
C
（第４题）
４．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，在边犃犆上求作一点犘，使点犘到边犅犆
和边犃犅的距离相等．
８１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
፬Ռᤂၹ
５．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线，犘是犃犇上一点，犘犈∥犃犅，交
犅犆于点犈，犘犉∥犃犆，交犅犆于点犉．求证：点犇到犘犈和犘犉的距离相等．
A
B
C
D
E
F
P
（第５题）
　　　　　　　
A
B
E
D
O
F
C
P
（第６题）
６．如图，犗犆是∠犃犗犅的平分线，犘是犗犆上的一点，犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，
垂足分别为犇，犈．犉是犗犆上的另一点，连接犇犉，犈犉．求证犇犉＝犈犉．
   ጊ
７．如图，犃犇是△犃犅犆的角平分线，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，垂足分别为犈，犉，
连接犈犉，犈犉与犃犇相交于点犌．犃犇与犈犉垂直吗？证明你的结论．
A
D
E
F
G
B
C
（第７题）
　　　　　　　　　A
B
C
E
D
（第８题）
８．如图，∠犅＝∠犆＝９０°，犈是犅犆的中点，犇犈平分∠犃犇犆．求证：犃犈平分
∠犇犃犅．（提示：过点犈作犈犉⊥犃犇，垂足为犉．）
９１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
公理化方法，就是从尽可能少的基本概
念和尽可能少的一组不加证明的原始命题
（公理或公设）出发，应用严格的逻辑推理，
推导出其余的命题，使某一数学分支成为演
绎系统的一种方法．
借助这种方法，就可以将知识整理在一
个严密的系统中，建成一座“大厦”．《原本》
（犈犾犲犿犲狀狋狊）就是从５个公理、５个公设和一
些基本定义出发，建立了一座由４００多个定
理组成的“几何大厦”，这是历史上的第一
个数学公理化体系，也称欧氏几何．此后，
它成为数学乃至科学发展的公理化典范．
古希腊数学家欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ，活动于
公元前３００年前后）运用公理化方法，系
统整理已有的几何知识，写成了《原本》．
最早的《原本》（前六卷）汉译本是
１６０７年由徐光启（１５６２—１６３３）和利玛
窦（ＭａｔｔｅｏＲｉｃｃｉ，１５５２—１６１０）合译
的，翻译时使用了“几何原本”这个
名称．
０２１
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第十九章　全等三角形
在欧氏几何中，第五公设为：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，如果在某一
侧的两个内角的和小于１８０°，那么这两条直线无限延长后在这一侧相交．第五公设不像其他
几个公设那样，看上去简单明了，所以自古希腊时代，数学家们就想方设法地要“证明”
它，但都未成功．１９世纪初，罗巴切夫斯基（Ｌｏｂａｃｈｅｖｓｋｙ，１７９２—１８５６）、波尔约
（Ｂｏｌｙａｉ，１８０２—１８６０）、高斯（Ｇａｕｓｓ，１７７７—１８５５）等数学家从“证明”转向“替代”，于
是，当定义不相交的直线为平行线，在新系统中，使用新的平行公设时，新的公理系
统———非欧几何就诞生了．
过给定直线外一点，可以并
且只能作一条直线与已知直
线平行．（等价于第五公设．）
欧氏几何中，三角形的内
角和等于１８０°．
替代公设：过给定直线外一
点，至少可以作两条直线与
已知直线平行．
双曲几何中，三角形的内
角和小于１８０°．
替代公设：过给定直线外一
点，不能作任何一条直线与
已知直线平行．
球面几何中，三角形的内
角和大于１８０°．
面对新出现的几何，数学家们开始探索它们之间的本质联系，德国数学家希尔伯特
（Ｈｉｌｂｅｒｔ，１８６２—１９４３）在《几何基础》（１８９９年）一书中建立了一个完备的几何公理系统．
《原本》启示人们，在众多事物中，可以找出最基本的那些，并把它们作为起点，以推
导出各种各样的结论，形成公理体系．
１２１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
 ߦำү
"ߕȟݖ*ڕ0@@ ᵵ
"ߕȟ*ڕ0̶
>ᒏ@ᬻᠩ (ᘠ
图１是两个根据全等形设计的图案．仔细观察一下，每个图案中有哪
些全等形？有哪些全等三角形？你能类似地设计一些图案吗？
注意一下你的身边，哪些是全等形？哪些是全等三角形？各找几个
例子与同学交流．
图１
如图２，△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．把△犃犅犆，△犃′犅′犆′剪下来，用它们
拼图，使边犅犆与边犅′犆′重合，顶点犃与顶点犃′不重合，画出你拼出的
图形．在你画出的图形中，连接犃犃′，用测量、折纸等方法猜想犅犆，
犃犃′有什么关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
A
B
C
Ą
B
Ą
C
Ą
A
图２
２２１
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 ፇ
ʷnj ቦᅼគፇ ڏ̄
njڀᮏˁ Ꮶ
第十九章　全等三角形
Л኎ 
᣸ᝈ᣸Ὂᝈ᣸ᝈὊᝈᝈ᣸Ὂ
᣸᣸᣸Ὂ ᣸njᄰᝈ᣸
  ᣸ᄱ኎Ὂ  ᝈᄱ኎
Л኎ʼᝈ 
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Ѽ 
 ᠏
ᝈᄊ Ѭጳ
本章我们首先通过生活实例认识了全等形，了解了全等三角形及其
性质．然后，从定义出发，利用几何直观，得出了判定三角形全等的基本
事实（“边角边”“角边角”“边边边”）；由“角边角”的基本事实，通
过推理论证得到了“角角边”的判定方法；并通过证明三角形全等得出
线段相等或角相等．最后，利用全等三角形的知识进一步研究了角的平
分线．
三角形的三条边、三个角之间的关系刻画了三角形的性质，全等三
角形的性质也是用它们的对应边、对应角之间的关系刻画的．由全等三角
形的性质可知，如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等，对应角
相等．三角形全等的判定方法则指明了两个三角形的边、角分别满足什么
条件时这两个三角形全等．对于直角三角形的全等，还可以用“斜边、直
角边”来判定．
先判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质，可以证明线段
相等或角相等，角的平分线的性质就是用这种方法证明的．今后，我们经
常使用这种利用三角形全等研究图形性质的方法，以进一步提升我们的
推理能力．
３２１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
在本章中，我们还进一步学习了尺规作图，包括作一个角等于已知
角，已知三边、已知两边和它们的夹角或已知两角和它们的夹边作三角
形，作一个角的平分线，等等．我们经历了这些尺规作图的过程，理解了
这些尺规作图的原理和方法．在几何学习中，作出规范的图形往往有利于
图形性质的发现和问题的解决，对此你在后续的学习中会有进一步的体会．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．你能举一些实际生活中全等形的例子吗？
２．全等三角形有什么性质？
３．从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条
件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形
全等的条件是什么？
４．你对角的平分线有了哪些新的认识？你能通过判定三角形的全等
证明角的平分线的性质吗？
５．你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？
６．从一些基本事实出发，通过推理论证得到图形的性质是几何研究
的常用方法．结合本章的学习，你对此有什么体会？
ܭ˸ᮥ

ܭ˸ ڍ
１．图中有三个正方形，请你说出图中所有的全等三角形．
（第１题）　　　　　　　　　
A
B
D
F
E
C
（第２题）
２．如图，在长方形犃犅犆犇中，犃犉⊥犅犇，垂足为犈，犃犉交犅犆于点犉，连接犇犉．
（１）图中有全等三角形吗？
（２）图中有面积相等但不全等的三角形吗？
４２１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
３．如图，犃犅＝犃犆，犃犇＝犅犇＝犃犈＝犆犈．求证∠犇＝∠犈．
A
B
C
D
E
（第３题）　　　　　　　　　
A
B
C
D
E
1
2
（第４题）
４．如图，犆犃＝犆犇，∠１＝∠２，犅犆＝犈犆．求证犃犅＝犇犈．
５．如图，海岸上有犃，犅两个观测点，点犅在点犃的正东方，海岛犆在观测点犃
的正北方，海岛犇在观测点犅的正北方．如果从观测点犃看海岛犆，犇的视角
∠犆犃犇与从观测点犅看海岛犆，犇的视角∠犆犅犇相等，那么海岛犆，犇到观
测点犃，犅所在海岸的距离犆犃，犇犅相等．请你说明理由．
A
B
C
D
（第５题）
　　　　　　　　　A
B
C
D
E
（第６题）
６．如图，犃犅＝犆犇，犃犆⊥犅犇，垂足为犈，犃犈＝犆犈．求证犅犈＝犇犈．
７．如图，在△犃犅犆中，犇是犅犆的中点，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，垂足分别为犈，
犉，犅犈＝犆犉．求证：犃犇是△犃犅犆的角平分线．
A
B
C
D
E
F
（第７题）　　　　　　　　　
（第８题）
８．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个
度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？
፬Ռᤂၹ
９．如图，两车从路段犃犅的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间
５２１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第十九章　全等三角形
后分别到达犆，犇两地．犆，犇两地到路段犃犅的距离犆犈，犇犉相等吗？为什么？
A
B
C
D
F
E
（第９题）　　　　　　　　　
A
D
E
B
C
（第１０题）
１０．如图，点犆是犃犅的中点，犆犇∥犅犈，且犆犇＝犅犈．求证犃犇∥犆犈．
１１．如图，∠犃犆犅＝９０°，犃犆＝犅犆，犃犇⊥犆犈，犅犈⊥犆犈，垂足分别为犇，犈，犃犇＝
２．５，犇犈＝１．７．求犅犈的长．
A
B
C
D
E
（第１１题）　　　　　　　　　A
B
C
D
E
（第１２题）
１２．如图的三角形纸片犃犅犆中，犃犅＝８ｃｍ，犅犆＝６ｃｍ，犃犆＝５ｃｍ．沿过点犅的
直线折叠这个三角形，使点犆落在犃犅边上的点犈处，折痕为犅犇．求△犃犈犇
的周长．
１３．如图，△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，犃犇，犃′犇′分别是△犃犅犆，△犃′犅′犆′的对应边上的
中线．犃犇与犃′犇′有什么关系？证明你的结论．
A
B
C
D
Ą
B
Ą
C
Ą
D
Ą
A
（第１３题）
　　　
A
B
C
D
（第１４题）
   ጊ
１４．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线．求证犛△犃犅犇∶犛△犃犆犇＝犃犅∶犃犆．
１５．求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三
角形全等．
６２１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
第二十章　整式的乘法
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长为狆ｍ，宽为犫ｍ的长方形绿
地，向两边分别加宽犪ｍ和犮ｍ，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？不
同的表示方法之间有什么关系？
回答上面的问题，要用到整式的乘法知识．本章我们将在六年级学习整式
的加减法的基础上，继续学习整式的乘法．整式的乘法是代数运算以及解决许
多数学问题的重要基础．我们可以类比数的运算，以运算律为基础，研究整式
的乘法运算．
  ˲ข
b
c
a
p
a
p
b
p
c
p
p(a+b+c)=pa+pb+pc
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
２０．１幂的运算
幂的运算是整式的乘法的基础，学习整式的乘法，需要
先学习幂的运算性质．
　
搭载国产芯片的“神威·太湖之光”
是世界上首台运行速度超过每秒１０亿亿
次的超级计算机．
２０１１　同底数幂的乘法
问题　一种电子计算机每秒可进
行１亿亿（１０１６）次运算，它工作１０３ｓ
可进行多少次运算？
它工作１０３ｓ可进行运算的次数为
１０１６×１０３．怎样计算１０１６×１０３呢？
根据乘方的意义可知
１０１６×１０３＝（１０×１０×…×１０
烐
烏
烑
１６个１０
）×（１０×１０×１０）
＝１０×１０×…×１０
烐
烏
烑
１９个１０
＝１０１９．
ᣏ/
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
（１）１０５×１０２＝１０（　　）；
（２）犪３·犪２＝犪（　　）；
（３）５犿×５狀＝５（　　）（犿，狀都是正整数）．
一般地，对于任意底数犪与任意正整数犿，狀，
犪犿·犪狀＝（犪·犪·…·犪
烐
烏
烑
犿个犪
）·（犪·犪·…·犪
烐
烏
烑
狀个犪
）＝犪·犪·…·犪
烐
烏
烑
（犿＋狀）个犪＝犪犿＋狀．
本章中，若没有特
别说明，指数中的字母
均为正整数．
因此，我们有
犪犿·犪狀＝犪犿＋狀（犿，狀都是正整数）．
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
８２１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
例１　计算：
（１）狓２·狓５；　　　　　　　　　（２）犪·犪６；
（３）（－２）×（－２）４×（－２）３；
（４）狓犿·狓３犿＋１．
三个或三个以上同
底数幂相乘，也具有这
一性质．
解：（１）狓２·狓５＝狓２＋５＝狓７；
（２）犪·犪６＝犪１＋６＝犪７；
（３）　（－２）×（－２）４×（－２）３
＝（－２）１＋４＋３
＝（－２）８＝２５６；
（４）狓犿·狓３犿＋１＝狓犿＋３犿＋１＝狓４犿＋１．
ጷ˸
１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）犪３·犪２＝犪６；　　　　　　　（２）犪·犪３＝犪０＋３＝犪３；
（３）犿３·犿３＝２犿３；
（４）狓２犿·狓４狀－２＝狓２犿＋４狀－２．
２．计算：
（１）犪２·犪６；
（２）犫５·犫；
（３）狔２狀·狔狀＋１；
（４）（－１２）×（－１２）
２×（－１２）
３．
２０１２　幂的乘方
ᣏ/
根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能
发现什么规律？
（１）（３２）３＝３２×３２×３２＝３（　　）；
（２）（犪２）３＝
＝犪（　　）；
（３）（犪犿）３＝
＝犪（　　）．
一般地，对于任意底数犪与任意正整数犿，狀，
（犪犿）狀＝犪犿·犪犿·…·犪犿
烉
烇
烋
狀个犪犿
＝犪犿＋犿＋…＋犿
烉
烇
烋
狀个犿＝犪犿狀．
９２１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
因此，我们有
（犪犿）狀＝犪犿狀（犿，狀都是正整数）．
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
例２　计算：
（１）（１０３）５；　（２）（犪４）４；　（３）（犪犿）２；　（４）－（狓４）３．
解：（１）（１０３）５＝１０３×５＝１０１５；
（２）（犪４）４＝犪４×４＝犪１６；
（３）（犪犿）２＝犪犿×２＝犪２犿；
（４）－（狓４）３＝－狓４×３＝－狓１２．
ጷ˸
１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）（犪５）２＝犪７；　　　　　　（２）（狓４）３＝狓１２；
（３）（狔２）５＝狔３２．
２．计算：
（１）（１０３）３；
（２）（狓３）２；
（３）－（狓犿）５；
（４）（犪２）３·犪５．
３．已知犪犿＝１６，求犪２犿的值．
２０１３　积的乘方
ᣏ/
填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？
（１）（犪犫）２＝（犪犫）·（犪犫）＝（犪·犪）·（犫·犫）＝犪（　　）犫（　　）；
（２）（犪犫）３＝
＝
＝犪（　　）犫（　　）．
一般地，对于任意底数犪，犫与任意正整数狀，
（犪犫）狀＝（犪犫）·（犪犫）·…·（犪犫）
烉
烇
烋
狀个犪犫
＝（犪·犪·…·犪）
烉
烇
烋
狀个犪
·（犫·犫·…·犫）
烉
烇
烋
狀个犫
＝犪狀犫狀．
０３１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
三个或三个以上的
积的乘方，也具有这一
性质．
因此，我们有
（犪犫）狀＝犪狀犫狀（狀是正整数）．
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘．
例３　计算：
（１）（２犪）３；　（２）（－５犫）３；　（３）（狓狔２）２；　（４）（－２狓３狔）４．
解：（１）（２犪）３＝２３·犪３＝８犪３；
（２）（－５犫）３＝（－５）３·犫３＝－１２５犫３；
（３）（狓狔２）２＝狓２·（狔２）２＝狓２狔４；
（４）（－２狓３狔）４＝（－２）４·（狓３）４·狔４＝１６狓１２狔４．
ጷ˸
１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）（３犪２）２＝６犪４；　（２）（犪犫２）３＝犪犫６；　（３）（－２犪）２＝－４犪２．
２．计算：
（１）（犪犫）４；　　　　　　　　　（２）（－３×１０２）３；
（３）（－１２狓狔２）３；　
（４）（２犪犫２）３·２犪犫２．
３．求狓２·狓３·狓＋（狓２）３－（２狓３）２的值，其中狓＝－２．

ܭ˸ ڍ
１．计算：
（１）犫３·犫；
（２）犪５·犪２；
（３）（－狓）·（－狓）２·（－狓）３；　（４）狓犿·狓２犿－１．
２．计算：
（１）（１０２）８；
（２）（狓犿）２；
（３）［（－犪）３］５；　
（４）－（狓２）犿．
１３１
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第二十章　整式的乘法
３．计算：
（１）（２犪犫）３；
（２）（－３狓）４；　
（３）（狓犿狔狀）２；　
（４）（－２×１０３）４．
４．计算：
（１）狓·狓３＋狓２·狓２；
（２）（－３狆狇）３；　
（３）－（－２犪２犫）４；
（４）犪３·犪４·犪＋（犪２）４＋（－２犪４）２．
፬Ռᤂၹ
５．计算：
（１）（狓２）３·狓２－（狓４）２；　　　
（２）７狓２·狓５·（－狓）５＋５（狓４）３．
６．计算：
（１）［（－２犪２犫３）３］２；　　　　
（２）（－２狓狔２）６＋（－３狓２狔４）３．
７．信息存储设备常用Ｂ，ＫＢ，ＭＢ，ＧＢ，ＴＢ等作为存储量的单位，其中１ＫＢ＝
２１０Ｂ（字节），１ＭＢ＝２１０ＫＢ，１ＧＢ＝２１０ＭＢ，１ＴＢ＝２１０ＧＢ．例如，我们常说
某计算机的硬盘容量是２ＴＢ，某移动硬盘的容量是５１２ＧＢ，某文件的大小是
１５６ＫＢ等．对于一个存储量为６４ＧＢ的闪存盘，其容量有多少字节？
   ጊ
８．（１）已知２犿＝犪，３２狀＝犫，求２３犿＋１０狀；
（２）已知狓＋２狔－７＝０（狓，狔都是正整数），求２狓·４狔的值．
９．若犪犿＝犪狀（犪＞０，犪≠１），则犿＝狀．
请利用上面的结论解决下面的问题：
（１）如果２×８狓×１６狓＝２２２，求狓的值；
（２）如果（９狓）２＝３８，求狓的值．
２３１
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第二十章　整式的乘法
２０．２整式的乘法
前面，我们学习了幂的运算性质．本节我们将以运算律
及幂的运算性质为基础，研究整式的乘法．
问题１　光在空气中的速度约是３×１０５ｋｍ／ｓ，太阳光照射到地球上需要的时
间约是５×１０２ｓ，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？
根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是（３×１０５）×（５×１０２）ｋｍ．
ᕊ5
（１）怎样计算（３×１０５）×（５×１０２）？计算过程中用到哪些运算律及幂
的运算性质？
（２）如果将上式中的数字改为字母，比如犪犮５·犫犮２，怎样计算这个
式子？
（３×１０５）×（５×１０２）是３×１０５与５×１０２相乘，利用乘法交换律、结合律
及同底数幂的运算性质，可以得到
（３×１０５）×（５×１０２）＝（３×５）×（１０５×１０２）
＝１５×１０７
＝１．５×１０８．
犪犮５·犫犮２是单项式犪犮５与犫犮２相乘，由于其中的字母表示数，所以同样可
以利用乘法交换律、结合律以及同底数幂的运算性质来计算：
　　　　　犪犮５·犫犮２＝（犪·犫）·（犮５·犮２）　　（乘法的交换律、结合律）
＝犪犫犮５＋２　　　　　　　
（同底数幂的运算性质）
＝犪犫犮７．
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的
因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
例１　计算：
（１）３狓狔２·２狔３；　　　　　（２）（－５犪２犫）（－３犪）；
（３）（２狓）３（－５狓狔２）；　
（４）（－３狓２狔）２（－狓狔３）２．
３３１
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第二十章　整式的乘法
解：（１）　３狓狔２·２狔３；
＝（３×２）狓·（狔２·狔３）
＝６狓狔５；
（２）　（－５犪２犫）（－３犪）
＝［（－５）×（－３）］（犪２·犪）·犫
＝１５犪３犫；
（３）　（２狓）３（－５狓狔２）
＝８狓３·（－５狓狔２）
＝［８×（－５）］（狓３·狓）·狔２
由（犪犫）狀＝犪狀犫狀，可
知犪狀犫狀＝（犪犫）狀，据此
你能给出例１（４）的其
他解法吗？
＝－４０狓４狔２；
（４）　（－３狓２狔）２（－狓狔３）２
＝９狓４狔２·狓２狔６
＝９（狓４·狓２）（狔２·狔６）
＝９狓６狔８．
ጷ˸
１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）３犪３·２犪２＝６犪６；　　　　（２）３狓２·（－４狓２）＝－１２狓２；
（３）５狔３·３狔５＝１５狔１５；
（４）狓２·狔２（－狓狔３）２＝狓４狔８．
２．计算：
（１）３狓２·５狓３；　
（２）６狓２·３狓狔；
（３）４狔·（－２狓狔２）；　
（４）－２犪犫２·（－３犪犫）．
３．计算：
（１）（－３狓狔２）２（－２狓狔）２；　（２）（－犪）５－（２犪·３犪）２·（－犪）．
４．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）是７．９×１０３ｍ／ｓ，求卫星
绕地球运行１ｈ飞过的路程．
下面来看本章引言中提出的问题．
为了求扩大后的绿地面积，可以先求扩大后的绿地的边长，再求面积，即
狆（犪＋犫＋犮）．
①
４３１
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第二十章　整式的乘法
也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即
你能根据分配律得
到这个等式吗？
狆犪＋狆犫＋狆犮．
②
由于①②表示同一个数量，所以
狆（犪＋犫＋犮）＝狆犪＋狆犫＋狆犮．
b
c
a
p
pa
pb
pc
图２０．２１
上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法．
这个结果也可以由图２０．２１看出．
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式
去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
例２　计算：
（１）（－４狓２）（３狓＋１）；　　　（２）（２３犪犫２－２犪犫）·１２犪犫；
（３）（狓－３狔）（狓狔２）２；　
（４）狓（狔－狕）－狔（狕－狓）＋狕（狓－狔）．
把单项式与多项式
相乘的问题转化为单项
式与单项式相乘的问题．
解：（１）　（－４狓２）（３狓＋１）
＝（－４狓２）（３狓）＋（－４狓２）·１
＝（－４×３）（狓２·狓）＋（－４狓２）
＝－１２狓３－４狓２；
（２）　（２３犪犫２－２犪犫）·１２犪犫
＝２３犪犫２·１２犪犫＋（－２犪犫）·１２犪犫
＝１３犪２犫３－犪２犫２；
（３）　（狓－３狔）（狓狔２）２
＝（狓－３狔）·狓２狔４
与数的混合运算一
样，整式的混合运算要
注意运算顺序．
＝狓·狓２狔４＋（－３狔）·狓２狔４
＝狓３狔４－３狓２狔５；
（４）　狓（狔－狕）－狔（狕－狓）＋狕（狓－狔）
＝狓狔＋狓（－狕）＋（－狔）狕＋（－狔）（－狓）＋
　狕狓＋狕（－狔）
＝狓狔－狓狕－狔狕＋狔狓＋狕狓－狕狔
＝２狓狔－２狔狕．
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第二十章　整式的乘法
ጷ˸
１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）（－２狓）（狓２－狓）＝－２狓３－２狓２；
（２）犪（犫－犮）＋犫（犮－犪）＋犮（犪－犫）＝０．
２．计算：
（１）３犪（５犪－２犫）；　　　　　（２）－２狓狔（２狓狔２－３狓狔）；
（３）（狓－３狔）（－６狓）；　
（４）（－２犪犫）２（２犪－犫＋１）．
３．计算：狓（狓－１）＋２狓（狓＋１）－３狓（２狓－５）．
４．先化简，再求值：狓２（狓－１）－狓（狓２＋狓－１），其中狓＝１２．
p
ap
bp
aq
bq
a
b
q
　　图２０．２２
问题２　如图２０．２２，为了扩大街心
花园的绿地面积，把一块原长犪ｍ、宽
狆ｍ的长方形绿地，加长了犫ｍ，加宽了
狇ｍ．你能用几种方法求出扩大后的绿地
面积？
扩大后的绿地可以看成长为（犪＋犫）ｍ，
宽为（狆＋狇）ｍ的长方形，所以这块绿地的面积（单位：ｍ２）为
（犪＋犫）（狆＋狇）．
扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积（单
位：ｍ２）为
犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
因此　　　　（犪＋犫）（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法．
把多项式相乘的问
题转化为单项式与多项
式相乘的问题．
计算（犪＋犫）（狆＋狇），可以先把其中的一个多
项式（如狆＋狇）看成一个整体，运用单项式与多
项式相乘的法则，得
（犪＋犫）（狆＋狇）＝犪（狆＋狇）＋犫（狆＋狇），
再利用单项式与多项式相乘的法则，得
６３１
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第二十章　整式的乘法
犪（狆＋狇）＋犫（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
总体上看，（犪＋犫）（狆＋狇）的结果可以看作由犪＋犫的每一项乘狆＋狇的每
一项，再把所得的积相加而得到的，即
（犪＋犫）（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式
的每一项，再把所得的积相加．
例３　计算：
（１）（犪＋３）（犪－２）；　　　　（２）（３狓＋１）（狓＋２）；
（３）（狓－８狔）（狓－狔）；　
（４）（犪＋犫）（犪２－犪犫＋犫２）．
解：（１）　（犪＋３）（犪－２）
＝犪·犪＋犪·（－２）＋３·犪＋３×（－２）
＝犪２－２犪＋３犪－６
＝犪２＋犪－６；
（２）　（３狓＋１）（狓＋２）
＝（３狓）·狓＋（３狓）·２＋１·狓＋１×２
＝３狓２＋６狓＋狓＋２
＝３狓２＋７狓＋２；
（３）　（狓－８狔）（狓－狔）
＝狓２－狓狔－８狓狔＋８狔２
＝狓２－９狓狔＋８狔２；
（４）　（犪＋犫）（犪２－犪犫＋犫２）
＝犪３－犪２犫＋犪犫２＋犪２犫－犪犫２＋犫３
＝犪３＋犫３．
ጷ˸
１．计算：
（１）（２狓＋１）（狓＋３）；　　（２）（犿＋２狀）（３狀－犿）；
（３）（犪－１）２；
（４）（犪＋３犫）（犪－３犫）；
（５）（２狓２－１）（狓－４）；
（６）（狓２＋２狓＋３）（２狓－５）．
７３１
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第二十章　整式的乘法
x
2
x
qx
pq
px
p
x
q
　（第２题）　
２．计算：
（１）（狓＋２）（狓＋３）；
（２）（狓－４）（狓＋１）；
（３）（狓＋４）（狓－２）；
（４）（狓－５）（狓－３）．
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
（狓＋狆）（狓＋狇）＝（　　）２＋（　　）狓＋（　　）．
３．先化简，再求值：（狓－狔）（狓２＋狓狔＋狔２）－（狓＋狔）（狓２－狔２），其中狓＝１５，
狔＝５．
在整式的运算中，有时还会遇到两个整式相除的情况．像利用数的乘法研
究数的除法那样，可以利用整式的乘法来研究整式的除法．
首先来看同底数幂相除的情况．
我们来计算犪犿÷犪狀（犪≠０，犿，狀都是正整数，犿＞狀）．
我们知道，计算被除数除以除数所得的商，就是求一个数，使它与除数的积
等于被除数．类似地，计算犪犿÷犪狀，就是求一个式子，使它与犪狀的积等于犪犿．
因为犪犿－狀·犪狀＝犪（犿－狀）＋狀＝犪犿，
所以犪犿÷犪狀＝犪犿－狀．
一般地，我们有
犪犿÷犪狀＝犪犿－狀（犪≠０，犿，狀都是正整数，犿＞狀）．
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如犪犿÷犪犿，根据
除法的意义可知所得的商为１．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，
又有犪犿÷犪犿＝犪犿－犿＝犪０．于是规定
犪０＝１（犪≠０）．
这就是说，任何不等于０的数的０次幂都等于１．
例４　计算：
（１）狓８÷狓２；　　（２）（犪犫）５÷（犪犫）２；　　（３）犿３·（犿５）２÷（犿４）３．
解：（１）狓８÷狓２＝狓８－２＝狓６；
８３１
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第二十章　整式的乘法
（２）（犪犫）５÷（犪犫）２＝（犪犫）５－２＝（犪犫）３＝犪３犫３；
（３）犿３·（犿５）２÷（犿４）３＝犿３·犿１０÷犿１２＝犿３＋１０－１２＝犿．
ጷ˸
１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）犪１５÷犪５＝犪３；　　　　　　　　（２）犫１２÷犫９＝犫３；
（３）（－０．５）０＝１．
２．计算：
（１）狓７÷狓５；
（２）犿８÷犿８；
（３）（－犪）１０÷（－犪）７；
（４）（狓狔）５÷（狓狔）３．
３．计算：
（１）犿４·犿５÷犿８；
（２）（狓７）２÷狓６；
（３）犪１５÷犪３÷（犪４）２．
对于单项式除以单项式，例如，计算（１２犪３犫２狓３）÷（３犪犫２），就是要求一
个单项式，使它与３犪犫２的乘积等于１２犪３犫２狓３．
因为（４犪２狓３）·（３犪犫２）＝１２犪３犫２狓３，
所以（１２犪３犫２狓３）÷（３犪犫２）＝４犪２狓３．
上面的商式４犪２狓３的系数４＝１２÷３，犪的指数２＝３－１，犫的指数０＝
２－２，而犫０＝１，狓的指数３＝３－０．
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只
在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
例５　计算：
（１）（２８狓４狔２）÷（７狓３狔）；　　　　　（２）（－５犪５犫３犮）÷（１５犪４犫）．
解：（１）　（２８狓４狔２）÷（７狓３狔）
＝（２８÷７）狓４－３狔２－１
＝４狓狔；
（２）　（－５犪５犫３犮）÷（１５犪４犫）
＝［（－５）÷１５］犪５－４犫３－１犮
＝－１３犪犫２犮．
９３１
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第二十章　整式的乘法
对于多项式除以单项式，例如，计算（犪犿＋犫犿）÷犿，就是要求一个多项
式，使它与犿的积等于犪犿＋犫犿．
把多项式除以单项
式的问题转化为单项式
除以单项式的问题．
因为（犪＋犫）犿＝犪犿＋犫犿，
所以（犪犿＋犫犿）÷犿＝犪＋犫．
又犪犿÷犿＋犫犿÷犿＝犪＋犫，
所以（犪犿＋犫犿）÷犿＝犪犿÷犿＋犫犿÷犿．
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式
的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
例６　计算：
（１）（１２犪３－６犪２＋３犪）÷（３犪）；
（２）（２０犿３狀２－１５犿２狀４）÷（－５犿２狀２）．
解：（１）　（１２犪３－６犪２＋３犪）÷（３犪）
＝（１２犪３）÷（３犪）－（６犪２）÷（３犪）＋（３犪）÷（３犪）
＝４犪２－２犪＋１；
（２）　（２０犿３狀２－１５犿２狀４）÷（－５犿２狀２）
＝（２０犿３狀２）÷（－５犿２狀２）－（１５犿２狀４）÷（－５犿２狀２）
＝－４犿＋３狀２．
ጷ˸
１．计算：
（１）（１０犪犫３）÷（－５犪犫）；　　　　　　（２）（－８犪２犫３）÷（６犪犫２）；
（３）（－２１狓２狔４）÷（－３狓２狔３）；
（４）（６×１０８）÷（３×１０５）．
２．计算：
（１）（６犪犫＋５犪）÷犪；
（２）（１５狓２狔－１０狓狔２）÷（５狓狔）；
（３）（１４犪２犫３－７犪３犫２）÷ （－７犪２犫２）；
（４）（８犿４－６犿３－４犿２）÷（２犿２）．
０４１
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第二十章　整式的乘法

ܭ˸ ڍ
１．计算：
（１）３狓·６狓２狔；
（２）犪２犫（－３犪犫２）；
（３）４狓２狔（－狓狔２）３；
（４）（１．２５×１０５）×（２×１０３）３．
２．计算：
（１）（４犪－犫２）（－２犫）；
（２）２狓２狓－１２
（）；
（３）５犪犫（２犪－犫＋０．２）；
（４）２犪２－２３犪－４９
（
）（－９犪）．
３．计算：
（１）（狓－６）（狓－３）；　
（２）狓＋１２
（）狓－１３
（）；
（３）（３狓＋２）（狓＋２）；
（４）（４狔－１）（５－狔）；
（５）（狓－２）（狓２＋４）；　
（６）（狓－１）（狓２＋狓＋１）．
４．计算：
（１）（犪３）２÷（犪２）３；　　
（２）（犪犫２）３÷（－犪犫）２；
（３）（２５犪３犫２）÷（５犪犫）２；
（４）（１４犿２狀）２÷（７犿２）÷（７犿）；
（５）－５犪３犫５犮＋３５犪２犫３犮２－犪犫犮
（
）÷ －犪犫犮
（
）；
（６）（－８１狓狀＋５＋１５狓狀＋１－３狓狀－１）÷（－３狓狀－１）．
５．计算：
（１）（－３狓２狔）２· －２３狓狔狕
（
）÷ ３４狓狔２
（）；
（２）（－４犪犫３）－１８犪犫
（
）－１２犪犫２
（）
２；
（３）（狓－３）（狓－２）－６（狓２＋狓－１）；
（４）（－４犪犫３＋８犪２犫２）÷（４犪犫）－（２犪＋犫）（犪－犫）．
፬Ռᤂၹ
６．计算：
（１）［５犪４·犪２－（３犪３）２］÷（２犪２）２；
（２）［（犪犫＋１）（犪犫－１）－２犪２犫２＋１］÷（－犪犫）２．
１４１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
７．先化简，再求值：
（１）狓（１－狓２）＋狓２（狓－１）＋狓（狓＋１），其中狓＝２；
（２）（犪２犫－２犪犫２－犫３）÷犫－（犪＋犫）２，其中犪＝１２，犫＝－１．
８．已知３狓－４狔＝３（狓，狔为正整数），求２７狓÷９２狔．
９．计算图中阴影所示绿地的面积（长度单位：ｍ）．
2.5a
a
2a
2a
1.5a
2a
a
（第９题）
　　　　　　
b
a
（第１０题）
１０．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四
周突出部分折起，制成一个高为犪ｃｍ的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒
的容积为４犪２犫ｃｍ３，底面长方形的一边长为犫（犫＜４犪）ｃｍ，求原长方形纸板
的长和宽．
   ጊ
１１．确定下列各式中犿的值（其中狆，狇为正整数）：
（１）（狓＋４）（狓＋９）＝狓２＋犿狓＋３６；
（２）（狓－２）（狓－１８）＝狓２＋犿狓＋３６；
（３）（狓＋３）（狓＋狆）＝狓２＋犿狓＋３６；
（４）（狓－６）（狓－狆）＝狓２＋犿狓＋３６；
（５）（狓＋狆）（狓＋狇）＝狓２＋犿狓＋３６．
２４１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
２０．３乘法公式
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇
到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果．
２０３１　平方差公式
ᣏ/
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（１）（狓＋１）（狓－１）＝　　　　；　（２）（犿＋２）（犿－２）＝　　　　；
（３）（２狓＋１）（２狓－１）＝　　　　．
上面的几个运算都是形如犪＋犫的多项式与形如犪－犫的多项式相乘．因为
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犪犫＋犪犫－犫２
＝犪２－犫２，
平方差公式是多项
式乘法（犪＋犫）（狆＋狇）
中狆＝犪，狇＝－犫的特
殊情形．
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以
直接写出运算结果，即
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２．
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的平方差．
这个公式叫作（乘法的）平方差公式．
ᕊ5
a
a
b
b
b
　图２０．３１
你能根据图２０．３１中图形的面积
说明平方差公式吗？
例１　运用平方差公式计算：
（１）（３狓＋２）（３狓－２）；　　（２）（－狓＋２狔）（－狓－２狔）．
３４１
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第二十章　整式的乘法
分析：在（１）中，可以把３狓看成犪，２看成犫，即
（３狓＋２）（３狓－２）＝（３狓）２－２２．
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２
解：（１）　（３狓＋２）（３狓－２）
＝（３狓）２－２２
＝９狓２－４；
（２）　（－狓＋２狔）（－狓－２狔）
＝（－狓）２－（２狔）２
＝狓２－４狔２．
例２　计算：
（１）（狓－１）（狓＋１）（狓２＋１）；　　　（２）（狔＋２）（狔－２）－（狔－１）（狔＋５）；
（３）１０２×９８．
解：（１）　（狓－１）（狓＋１）（狓２＋１）
＝（狓２－１）（狓２＋１）
＝狓４－１；
（２）　（狔＋２）（狔－２）－（狔－１）（狔＋５）
＝狔２－２２－（狔２＋４狔－５）
＝狔２－４－狔２－４狔＋５
＝－４狔＋１；
（３）１０２×９８＝（１００＋２）（１００－２）
＝１００２－２２＝１００００－４
＝９９９６．
ጷ˸
１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）（狓＋２）（狓－２）＝狓２－２；　　　
（２）（－犪－２）（犪－２）＝犪２－４；
（３）（狓＋２狔）（－狓－２狔）＝狓２－４狔２；
（４）（３犪＋４犫）（３犪－４犫）＝９犪２－４犫２．
４４１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
２．计算：
（１）（犪＋３犫）（犪－３犫）；　　　　（２）（３＋２犪）（－３＋２犪）；
（３）（狓狔＋１）（狓２狔２＋１）（狓狔－１）；
（４）（３狓＋４）（３狓－４）－（２狓＋３）（３狓－２）．
３．运用平方差公式计算：
（１）５１×４９；
（２）２００１５×１９９４５．
２０３２　完全平方公式
ᣏ/
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（１）（狆＋１）２＝（狆＋１）（狆＋１）＝
；
（２）（犿＋２）２＝（
）（
）＝
；
（３）（狆－１）２＝（
）（
）＝
；
（４）（犿－２）２＝（
）（
）＝
．
上面的几个运算都是形如（犪±犫）２的多项式相乘，因为
　　　　　　（犪＋犫）２＝（犪＋犫）（犪＋犫）
＝犪２＋犪犫＋犪犫＋犫２
＝犪２＋２犪犫＋犫２，
　　　　　　（犪－犫）２＝（犪－犫）（犪－犫）
＝犪２－犪犫－犪犫＋犫２
＝犪２－２犪犫＋犫２，
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即
（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋
犫２是多项式乘法（犪＋
犫）·（狆＋狇）中狆＝犪，
狇＝犫的特殊情形．
（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２，
（犪－犫）２＝犪２－２犪犫＋犫２．
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们
的平方和，加上（或减去）它们的积的２倍．
这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式．
５４１
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第二十章　整式的乘法
ᕊ5
你能根据图２０．３２和图２０．３３中图形的面积说明完全平方公式吗？
b
a
a
b
图２０．３２
　　　　　　
b
a
a
b
图２０．３３
例３　运用完全平方公式计算：
（１）（４犿＋狀）２；　　　　　（２）（狔－１２）２．
解：（１）（４犿＋狀）２＝（４犿）２＋２·（４犿）·狀＋狀２
＝１６犿２＋８犿狀＋狀２；
（２）（狔－１２）２＝狔２－２·狔·１２＋（１２）２
＝狔２－狔＋１４．
例４　运用完全平方公式计算：
（１）１０２２；　　　　　　　（２）９９２．
解：（１）　１０２２＝（１００＋２）２
＝１００２＋２×１００×２＋２２
＝１０４０４；
（２）　９９２＝（１００－１）２
＝１００２－２×１００×１＋１２
＝９８０１．
櫲櫲櫲櫲櫲
ᕊ5
（犪＋犫）２与（－犪－犫）２相等吗？（犪－犫）２与（犫－犪）２相等吗？
（犪－犫）２与犪２－犫２相等吗？为什么？
ጷ˸
１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）（犪＋犫）２＝犪２＋犫２；　（２）（犪－犫）２＝犪２－犪犫＋犫２．
６４１
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第二十章　整式的乘法
２．运用完全平方公式计算：
（１）（狓＋６）２；　　　　　　（２）（狔－５）２；　
（３）（－２狓＋５）２；　
（４）（３４狓－２３狔）２．
３．运用完全平方公式计算：
（１）９８２；
（２）７０．５２．
运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号．在前面，我们学过去括号，
由去括号法则可以得到
犪＋（犫＋犮）＝犪＋犫＋犮；
犪－（犫＋犮）＝犪－犫－犮．
反过来，就得到
犪＋犫＋犮＝犪＋（犫＋犮）；
犪－犫－犮＝犪－（犫＋犮）．
也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符
号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
例５　运用乘法公式计算：
（１）（犪＋犫＋犮）２；　（２）（１－狓－狔）２．
有些整式相乘需要
先作适当变形，然后再
用公式．
解：（１）　（犪＋犫＋犮）２
＝［（犪＋犫）＋犮］２
＝（犪＋犫）２＋２（犪＋犫）犮＋犮２
＝犪２＋２犪犫＋犫２＋２犪犮＋２犫犮＋犮２
＝犪２＋犫２＋犮２＋２犪犫＋２犪犮＋２犫犮；
（２）　（１－狓－狔）２
＝［１－（狓＋狔）］２
＝１－２（狓＋狔）＋（狓＋狔）２
＝１－２狓－２狔＋狓２＋２狓狔＋狔２
＝１－２狓－２狔＋２狓狔＋狓２＋狔２．
７４１
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第二十章　整式的乘法
ጷ˸
１．在等号右边的括号内填上适当的项．
（１）犪＋犫－犮＝犪＋（　　）；　　　（２）犪－犫＋犮＝犪－（　　）；
（３）犪＋犫－犮＝犪－（　　）；
（４）犪＋犫＋犮＝犪－（　　）．
２．运用乘法公式计算：
（１）（犪＋２犫－１）２；　
（２）（２狓－狔＋１）２．
例６　计算：
（１）（狓－２狔）（狓＋２狔）－（狓＋２狔）２；　　　（２）（狓＋２狔－３）（狓－２狔＋３）．
解：（１）　（狓－２狔）（狓＋２狔）－（狓＋２狔）２
＝狓２－４狔２－（狓２＋４狓狔＋４狔２）
＝－８狔２－４狓狔；
（２）　（狓＋２狔－３）（狓－２狔＋３）
＝［狓＋（２狔－３）］［狓－（２狔－３）］
＝狓２－（２狔－３）２
＝狓２－（４狔２－１２狔＋９）
运用完全平方公式
可以直接求某些整式
的值．
＝狓２－４狔２＋１２狔－９．
例７　已知犪＋犫＝５，犪犫＝３，求犪２＋犫２的值．
解：因为
（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２，
所以
犪２＋犫２＝（犪＋犫）２－２犪犫
＝５２－２×３＝１９．
ጷ˸
１．运用乘法公式计算：
（１）（狓＋狔－１）（狓－狔－１）；　　　　（２）（２狓＋狔＋狕）（２狓－狔－狕）．
２．已知犪２＋犫２＝７，犪犫＝１，求（犪－犫）２的值．
８４１
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第二十章　整式的乘法

ܭ˸ ڍ
１．运用平方差公式计算：
（１）２３狓－狔
（
）２３狓＋狔
（
）；（２）（狔２＋１）（狔２－１）；（３）（２犪－３犫）（３犫＋２犪）；
（４）（－２犫－５）（２犫－５）；（５）１００．５×９９．５；
（６）９９８×１００２．
２．运用完全平方公式计算：
（１）（２犪＋５犫）２；　
（２）（４狓－３狔）２；　
（３）（－２犿－１）２；
（４）１．５犪－２３犫
（
）
２；
（５）６３２；
（６）８５２．
３．运用乘法公式计算：
（１）（３狓－５）２－（２狓＋７）２；　　（２）（狓＋狔＋１）（狓＋狔－１）；
（３）（２狓－狔－３）２；　
（４）［（狓＋２）（狓－２）］２．
４．计算：
（１）（３狓＋４狔）（３狓－４狔）－（狓＋４狔）（９狓－４狔）；
（２）（６犪－５犫）２－１２犪（３犪－５犫）．
፬Ռᤂၹ
５．先化简，再求值：（２狓＋３狔）２－（２狓＋狔）（２狓－狔），其中狓＝１３，狔＝－１２．
b
a
（第７题）
６．一个正方形纸片的边长增加３ｃｍ，它的面积就增加
３９ｃｍ２，这个正方形纸片的边长是多少？
７．如图，一块直径为（犪＋犫）ｃｍ的圆形钢板，从中挖去
直径分别为犪ｃｍ与犫ｃｍ的两个圆，求剩下的钢板的
面积．
   ጊ
８．已知犪－犫＝２，犪犫＝３，求犪＋犫的值．
９．计算下列式子：
（狓－１）（狓＋１），（狓－１）（狓２＋狓＋１），（狓－１）（狓３＋狓２＋狓＋１），…．
你能发现什么规律？验证你发现的规律．利用你发现的规律，计算
２９＋２８＋２７＋…＋２＋１．
９４１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
᫞឴
ˁ Ꮶ
杨辉三角
我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一
ʷ
ʷ
ʷ̄
ʷ
ʷ
ʼ
ʷ
ʼ
ʷ
پ
ʷ
О
پ
ʷ̋
ʷ
ӡ
ӡ̋
ʷ
О
ʷ
ӡ
ʷ̄
ӡ̋
ӡ̋
О
图１
文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展
都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟
大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”
其中“杨辉三角”（图１）就是一例．
在我国南宋数学家杨辉（约１３世纪）所
著的《详解九章算法》（１２６１年）一书中，用
图１的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在
书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约１１
世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称
这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．
这个三角形被欧洲
学者称为“帕斯卡三角”．
法国数学家帕斯卡（Ｐａｓ
ｃａｌ，１６２３—１６６２）于１６５４
年发现了此三角形．
杨辉三角两腰上的数都是１，其余每个数为
它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三
角形给出了（犪＋犫）狀（狀＝０，１，２，３，４，５，
６）的展开式（按犪的次数由大到小的顺序）的
系数规律．例如，此三角形中第３行的３个数
１，２，１，恰好对应着（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２
展开式中各项的系数；第４行的４个数１，３，
３，１，恰好对应着（犪＋犫）３＝犪３＋３犪２犫＋３犪犫２＋犫３展开式中各项的系数；等等．
利用上面的三角形，你能写出（犪＋犫）６的展开式吗？请利用整式的乘法验
证你的结果．
０５１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
 ߦำү
"ߕ
 ᰵ ͚
+ຒ/U4U
"ߕ
 ͧ
Ⴧթ+͑
᪝/+>ᒸ
如图１是某月的月历．
     ʷ  ̄
  ʼ  پ  ̋
  О
图１
（１）选择其中所示的蓝色方框部分，将
每个蓝色方框部分中４个位置上的数交叉相
乘，再相减，能得出什么结论？请再选择几
个类似的部分试一试，看一看是否符合这个
规律．
（２）换一个月的月历试一试，是否有同
样的规律？
（３）请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
（４）你还能发现其他规律吗？
（１）计算下列两个数的积（每组中两个数的和为定值），你能发现结
果有什么规律吗？
①３０×３０，３５×２５，４３×１７，５２×８；
②５０×５０，５３×４７，７４×２６，９１×９．
（２）你能用本章所学知识解释你发现的规律吗？
（３）利用你发现的规律解决下面的问题：
用１０ｍ长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？此时
长方形的两条邻边长有什么关系？你能得出更一般的结论吗？
１５１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
 ፇ
ʷnj ቦᅼគፇ ڏ̄
njڀᮏˁ Ꮶ
第二十章　整式的乘法
˲ขН 
  ᄊ˲ขྲ
   ̉
ᤤᤂካ
  ᄊᬔข
 ᄊᤂካ ᠏
὆



὇
὆



὇
὆







὇
὆







὇
὆







὇
本章我们类比数的乘法学习整式的乘法．首先学习了幂的运算性质，
在此基础上学习了单项式的乘法、多项式的乘法等，并利用整式的乘法
学习了简单的整式除法．与整式的加减一样，整式的乘除也是今后进一步
学习代数式的运算的基础．根据运算法则和运算律进行运算，有助于提升
运算能力．
由于整式中的字母表示数，所以数的运算律和运算性质在整式的运
算中仍然成立．在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项
式的乘法，而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算．因
此，幂的运算是基础，单项式的乘法是关键．整式的除法也与此类似．
某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成乘法公式的形式，利用
它们可以简化运算．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算．
２．举例说明怎样将多项式乘（或除以）单项式转化为单项式乘（或
除以）单项式．多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？
３．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能
从几何直观的角度用图形的面积解释乘法公式吗？
２５１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
第二十章　整式的乘法
ܭ˸ᮥ

ܭ˸ ڍ
１．计算：
（１）１００×１０３×１０２；　　　（２）［（－２）２］３；
（３）（－狓）２·狓３；　
（４）狓·狓２·狓３＋（狓３）２．
２．计算：
（１）（－２狓２狔３）２（狓狔）３；　（２）（２犪＋３犫）（２犪－犫）；　（３）５狓２（狓＋１）（狓－１）；
（４）（２狓＋狔－１）２；　　　（５）５９．８×６０．２；　　
（６）１９８２．
３．计算：
（１）（２犪）３·犫４÷（１２犪３犫２）；　　　　　　（２）－２３犪７犫５
（
）÷ ３２犪２犫５
（
）；
（３）６５犪３狓４－０．９犪狓３
（
）÷ ３５犪狓３
（）；　
（４）（７狓２狔３－８狓３狔２狕）÷（８狓２狔２）．
４．计算：
（１）２狓（狓２－１）－狓（狓２＋２）；　　　　　（２）［（狓－３）（狓＋３）］２－（狓２＋１）２．
５．先化简，再求值：（狓＋２狔）２＋（狓＋狔）（狓－狔）－狔２，其中狓＝３，狔＝２．
፬Ռᤂၹ
６．计算：
（１）４（狓＋１）２－２（狓＋５）（２狓－１０）；
（２）３（狔－狕）２－（２狔＋狕）（－狕＋２狔）；
（３）（２狓２＋１）２－（狓＋２）（狓２＋４）（狓－２）；
（４）［狓（狓２狔２－狓狔）－狔（狓２－狓３狔）］÷（３狓２狔）．
７．已知犿＝１２，狀＝３５，求代数式（犿－２狀）（犿＋２狀）＋（犿＋２狀）２－４犿狀的值．
D
d
h
（第１０题）
８．已知（狓＋狔）２＝２５，（狓－狔）２＝９，求狓狔与狓２＋狔２的值．
９．一张正方形纸片的边长减少２ｃｍ，它的面积就减少２０ｃｍ２，
这张正方形纸片的边长是多少？
１０．如图是一水压机空心钢立柱的示意图．如果其高犺为１８ｍ，
外径犇为１ｍ，内径犱为０．４ｍ，每立方米钢的质量为
７．８ｔ，求该立柱的质量（π取３．１４）．
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第二十章　整式的乘法
   ጊ
１１．已知狓犿＝６４，狓狀＝８，求狓２犿－３狀的值．
１２．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
（１）第一次提价狆％，第二次提价狇％；
（２）第一次提价狇％，第二次提价狆％；
（３）第一、二次提价均为狆＋狇
２％．
其中狆，狇是不相等的正数．三种方案哪种提价最多？
（提示：因为狆≠狇，（狆－狇）２＝狆２－２狆狇＋狇２＞０，所以狆２＋狇２＞２狆狇．）
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本套教科书（六～九年级）由人民教育出版社课程教材研究所小学和中学数学课
程教材研究开发中心依据教育部《义务教育数学课程标准（２０２２年版）》编写．
本套教科书集中反映了基础教育课程改革的最新成果，总结了上一版《义务教育
教科书（五·四学制）　数学》的编写经验，凝聚了教育专家、学科专家、教材编写
人员、教研人员及一线教师的集体智慧．参加本套教科书统稿的还有李海东、王光
明，参加本册教科书统稿的还有赵楠，参加本册教科书编写讨论的还有王翠巧．本套
教科书封面设计由中央美术学院设计团队完成，人民教育出版社设计部制作．本册教
科书版式设计为王俊宏，内文插图绘制为王俊宏、张婷婷、康鲁雷．我们感谢所有对
教科书的编写、审读、试教、出版等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友．
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系，
得到了他们的大力支持．视觉中国、ＩＣｐｈｏｔｏ等为本册教科书提供了图片素材．对此，
我们表示衷心的感谢！
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵的意
见和建议．我们将本着精益求精的态度，集思广益，不断修订，努力使教科书日趋
完善．
联系方式
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