文档文本内容
七年级
上册
数学
数学
义务教育教科书
（五·四学制）
上海教育出版社
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数学
七年级
上册
主编 李大潜
义务教育教科书
( 五·四学制)
上海教育出版社
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世间的万事万物都有数和形这两个侧面，数学这门学科是忽略了事物的其他属
性，仅仅从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的.
初中的数学，介于小学数学与高中数学之间，以往偏向于直观的数学教学将开始逐步
走向理性的阶段，对学生逻辑思维的训练会提出较高的要求，其认识也将不断得到深化.
数学是一门重理解和思考的学科. 数学学得好，主要看三条：一是理解要深入，
二是运作要熟练，三是表达要清晰. 这儿所提的“运作”，泛指推理及计算. 这三者中
最重要的是理解，只有理解深入，才能实现运作熟练和表达清晰这样一些外在层面上
的表现，才能真正掌握数学的精髓.
这些年参加了上海市的一些基础数学教科书的编写工作，常常听到一种说法：数
学是绝大多数学生一生中学得最多的一门功课，不少学生对数学是喜欢和热爱的，但
不太注意对数学真正的理解和感悟，花费了不少时间去刷题，学习负担虽重，却远未
达到应有的收获；还有相当一部分学生觉得数学抽象、难懂、神秘，从而望而生畏，甚
至避之唯恐不及. 所有这些，都不是我们希望看到的.
我们希望通过教师及学生的共同努力，使数学成为一门容易为学生接受，真正喜
闻乐见、可近可亲的课程；不仅负担不重，而且愈学愈想学，愈学愈有趣味，愈学愈觉
得数学内容丰富、奥妙无穷，深深地为其吸引和陶醉. 这是我们的一个理想，并相信
它是一定可以实现的.
为了实现我们的理想，我们希望这套教科书能真正抓住初中数学的真谛，用朴实
无华且单刀直入的方式展现初中阶段应该学习的基本数学内容，努力给学生带来明确
而清晰的印象，真正帮助他们理解与掌握有关的数学内容，使学生的数学知识随着年
龄的增长逐步增进，充分体现数学学科的育人价值.
本册教科书开始系统地介绍代数式. 在“整式的加减”“整式的乘除”两章中将学
习整式的四则运算. 在“因式分解”一章中学习代数式的分解. 在“分式”一章中学习
分式的性质及其运算. 此外，在“图形的运动”一章中学习图形的三种基本运动以及
两种对称. 在“综合与实践”中，将从数学角度研究传统连续纹样和现代镶嵌图形、制
订“阅读之星”评选方案.
主编的话
上海教育出版社
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目 录
10.1 整式
2
10.2 合并同类项
5
10.3 整式的加法和减法
10
内容提要
14
复习题
15
第10 章
整式的加减
11.1 整式的乘法
18
11.2 乘法公式
33
11.3 整式的除法
42
阅读材料
49
贾宪三角
整式除以整式——长除法
内容提要
52
复习题
53
第11 章
整式的乘除
12.1 因式分解的意义
55
12.2 因式分解的方法
58
内容提要
71
复习题
72
第12 章
因式分解
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从传统连续纹样到现代镶嵌图案
136
制订“阅读之星”评选方案
141
综合与实践
13.1 分式及其性质
76
13.2 分式的运算
82
13.3 分式方程
93
阅读材料
100
把一个分式写成几个分式的和
内容提要
102
复习题
103
第13 章
分式
14.1 平移
106
14.2 旋转
114
14.3 轴对称
119
14.4 中心对称
126
内容提要
131
复习题
132
第14 章
图形的运动
附录 部分中英文词汇索引
144
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第１０章
整式的加减
通过前面几章的学习，我们已掌握了有理数的运算，学习了用字
母表示数及与一次式有关的概念．是否还有二次式、三次式、高次式
存在？它们也能像数那样进行运算吗？
本章将展开关于一类代数式———整式的学习，重点是掌握合并同
类项，另外需要关注去括号的方法．学好整式的加减，能为之后学习
整式的乘除和因式分解打下基础．
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２
第１０章整式的加减
我们看以下几个例子：
（１）棱长为犪的正方体的表面积为６犪２，体积为犪３；
（２）铅笔的单价是狓元，圆珠笔的单价是铅笔单价的２．５倍，则圆珠笔的
单价是２．５狓元；
（３）全校学生总人数是犿，其中女生占总人数的４８％，则女生人数是
４８％犿；
（４）一辆汽车的速度是狏ｋｍ／ｈ，它狋ｈ行驶的路程为狏狋ｋｍ．
上面的例子中得到了一组代数式：６犪２、犪３、２．５狓、４８％犿、狏狋．
单独一个数或一个
字母也是单项式．
数或字母的乘积叫作单项式．
上面列出的代数式都是单项式．其中，６犪２的数
字因数为６，称６犪２的系数是６；犪３的数字因数为
１，称犪３的系数是１．一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系
数．例如，上面例子中的一组单项式的系数分别为６、１、２．５、４８％、１．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．例如，６犪２、
犪３、２．５狓、４８％犿、狏狋的次数分别为２、３、１、１、２．
特别地，非零的数是零次单项式，如５、－５２都是零次单项式．
例１ 请指出下列单项式的系数和次数：
（１）犪犫；
（２）３７狊３狋２；
（３）－５狓４狔２
１１．
解 （１）单项式犪犫的系数是１，次数是２．
（２）单项式３７狊３狋２的系数是３７，次数是５．
（３）单项式－５狓４狔２
１１的系数是－５１１，次数是６．
对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同，
１０．１整式
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１０．１ 整式３
那么称这两个单项式为同类项．
例２ 判断下列各组单项式是不是同类项：
（１）犪与３犪；
（２）２狓狔与２狓；
（３）２犪２犫２与－３犫２犪２；
（４）３狓２狔与２狔２狓．
解 （１）犪与３犪这两个单项式所含字母相同，均为字母犪，且字母犪的
指数也相同，都是１，所以它们是同类项．
（２）２狓狔与２狓这两个单项式所含字母不相同，前者含字母狔，而后者不
含字母狔，所以它们不是同类项．
（３）２犪２犫２与－３犫２犪２这两个单项式虽然所含字母顺序不同，但是它们所含
字母相同，均为字母犪和犫，且相同字母的指数也相同，所以它们是同类项．
（４）３狓２狔与２狔２狓这两个单项式虽然所含字母相同，均为字母狓和狔，
但是相同字母的指数不相同，前者中字母狓的指数为２，而后者中字母狓的
指数为１，所以它们不是同类项．
例３ 当犿和狀为何值时，关于狓、狔的单项式１３狓狀－１狔犿与－狓２犿狔４是
同类项？
解 因为关于狓、狔的单项式１３狓狀－１狔犿与－狓２犿狔４是同类项，所以
狀－１＝２犿，
犿＝４．
烅烄
烆
解得
犿＝４，
狀＝９．
烅烄
烆
因此犿的值为４，狀的值为９．
观察下面一组代数式：
４犪２－３犫３、－犿＋４、３狋２－狋－４、２犪犫＋２犪犮＋２犫犮．
它们都是由单项式求和而得到的代数式．
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４
第１０章整式的加减
单项式也是整式．
有限个单项式求和得到的代数式叫作整式．整
式也叫作多项式．上面列举的四个代数式均为整式．
例如，３狋２－狋－４是由３狋２、－狋和－４这三个单项式
求和得到的整式．
课堂练习１０．１
１．填表：
单项式
－狓狔４
犫７
－５１１狊４狋５
（－３）３狓２狔４
５狉２
７
系数
次数
２．已知整式－３狓３狔２＋３２狓２狔２－１３狓狔＋２．５狓－狔是由五个单项式求
和得到的，请将这些单项式以及它们各自的系数与次数填入下表：
单项式
系数
次数
３．判断下列各组单项式是不是同类项：
（１）３狓狔与－狔狓； （２）５犪２犫３犮与５犪３犫２犮；
（３）１３犿狀３与－狀３犿７；
（４）５狓２与－３狓２狔．
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１０．２ 合并同类项５
在学习一次式时，我们已经遇到了合并同类项．假设有两个边长分别为犪
和３犪的正方形，它们的周长之和为４犪＋１２犪，利用乘法对加法的分配律，可以
写成４犪＋１２犪＝（４＋１２）犪＝１６犪．同样地，这两个正方形的面积之和为犪２＋９犪２，
利用乘法对加法的分配律，可以写成犪２＋９犪２＝（１＋９）犪２＝１０犪２．
像这样，把同类项合并成一项的过程叫作合并同类项．
在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字
母和字母的指数不变．
例１ 合并同类项：
（１）２狓３＋３狓３－（－４狓３）；
（２）１４犿２－３狀３＋５犿狀－１１犿２＋１２狀３－７犿狀；
（３）３２狓２狔－２３狓２狔－狕４＋１６狔狓２＋狕４．
解 （１）２狓３＋３狓３－（－４狓３）
＝［２＋３－（－４）］狓３
＝（２＋３＋４）狓３
＝９狓３．
（２）１４犿２－３狀３＋５犿狀－１１犿２＋１２狀３－７犿狀
＝（１４－１１）犿２＋（－３＋１２）狀３＋（５－７）犿狀
＝３犿２＋９狀３－２犿狀．
（３）３２狓２狔－２３狓２狔－狕４＋１６狔狓２＋狕４
＝（３２－２３＋１６）狓２狔＋（－１＋１）狕４
＝狓２狔＋０狕４
＝狓２狔．
１０．２合并同类项
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６
第１０章整式的加减
例２ 先合并同类项，再求值：
（１）３狓－２狔－４狓＋６狔＋１，其中狓＝２，狔＝３；
（２）２狓２－４狓狔－３狔２＋４狓狔＋５＋２狔２，其中狓＝１２，狔＝２．
解 （１）３狓－２狔－４狓＋６狔＋１
＝（３－４）狓＋（－２＋６）狔＋１
＝－狓＋４狔＋１．
当狓＝２，狔＝３时，原式＝－２＋４×３＋１＝１１．
（２）２狓２－４狓狔－３狔２＋４狓狔＋５＋２狔２
＝２狓２＋（－４＋４）狓狔＋（－３＋２）狔２＋５
＝２狓２－狔２＋５．
当狓＝１２，狔＝２时，原式＝２×（１２）
２－２２＋５＝３２．
课堂练习１０．２（１）
１．合并同类项：
（１）１５犪２－７１５犪２＋８３犪２；
（２）－２狓３－２５狓＋４狓３＋１１狓－２狓３＋２８．
２．先合并同类项，再求值：
（１）５狓２＋４－３狓２－５狓－４＋６狓，其中狓＝－３；
（２）４犪＋犫２＋３犪犫－犫２－４犪＋３犪犫，其中犪＝１３，犫＝－１２．
合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是
几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项．各项中次数最高项的次数叫作
这个整式的次数．合并同类项后，整式有几项，就称为几项式．
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１０．２ 合并同类项７
例如，３狋２－狋－４的次数为２，有３项，所以称为二次三项式．其中，３狋２
是二次项，－狋是一次项，－４是常数项．
例３ 判断下列整式的次数：
（１）４犮５－３犮２＋１；
（２）狓４－狓２狔＋狓２狔３－狔３．
解 （１）因为４犮５是次数最高的项，其次数为５，所以４犮５－３犮２＋１的次
数是５．
（２）因为狓２狔３是次数最高的项，其次数为５，所以狓４－狓２狔＋狓２狔３－狔３
的次数是５．
为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将
一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列．
例如，将狓２＋５狓＋４狓４－３狓３＋２按狓的指数从大到小的顺序排列，写成
４狓４－３狓３＋狓２＋５狓＋２，称为按狓降幂排列；或者按狓的指数从小到大的顺
序排列，写成２＋５狓＋狓２－３狓３＋４狓４，称为按狓升幂排列．
例４ 将２狉－狉２＋４３狉３－４按狉降幂排列．
解 将２狉－狉２＋４３狉３－４按狉降幂排列为４３狉３－狉２＋２狉－４．
例５ 将３＋６狓２狔３－２狓狔４－５狓３狔－４狓４狔２按照下列要求排列：
（１）按狓升幂排列；
（２）按狔降幂排列．
解 （１）将３＋６狓２狔３－２狓狔４－５狓３狔－４狓４狔２按狓升幂排列为３－２狓狔４＋
６狓２狔３－５狓３狔－４狓４狔２．
（２）将３＋６狓２狔３－２狓狔４－５狓３狔－４狓４狔２按狔降幂排列为－２狓狔４＋
６狓２狔３－４狓４狔２－５狓３狔＋３．
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８
第１０章整式的加减
课堂练习１０．２（２）
１．填表：
整式
３狓５－８狓２－３狓＋１－犪３＋５犪６－７－２３犪２犫３犮＋４５犪３犫２－１４犫犮２－２
次数
项数
常数项
２．将下列整式按狓升幂排列：
（１）１４狓－３狓２－７－２狓４； （２）３狓３狔＋狓狔２－狓５－６狔３．
３．将下列整式按狔降幂排列：
（１）３２狔－５狔２＋５７；
（２）－７＋６狔＋狔２－１１狔４－３狔３．
习题１０．１—１０．２
１．给出以下单项式：
犪、３犪犫、１２犪２犫、２犫２犪、犪２、犫２、１３犪犫、２．５犪２犫、４犪犫２、犪２犫２、犪犫４、
－１５犪２犫、－２３犫２犪．
（１）犪２犫的同类项有：
；
（２）－犪犫的同类项有：
；
（３）３犪犫２的同类项有：
．
２．合并同类项：
（１）３犪－２犪２＋４－３犪２＋犪；
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１０．２ 合并同类项９
（２）狓狔＋２狓狔－３狓２－３狓狔＋狓２；
（３）５犪２犫－３犪犫－４犪犫２＋７犪犫－２犪犫２；
（４）４－２狓狔＋７狓狔－１５＋狓狔．
３．求下列整式的值：
（１）３犪２＋２犪－４３犪２＋１２犪－５３犪２－１３犪，其中犪＝１２；
（２）３狓２－４狓狔＋６狓狔－３狓２＋２狔２，其中狓＝５２，狔＝－３．
４．求代数式的值：２（犿＋狀）２－３（犿＋狀）－４（犿＋狀）２－７＋５（犿＋狀），其
中犿＝－３，狀＝１．
５．当｜狓－４｜＋｜狓－狔＋１｜＝０时，求整式１３狓２狔＋５３狓狔２－狓２狔＋狓狔２的值．
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１０
第１０章整式的加减
在六年级的学习中，我们知道小学学习的去括号的方法适用于一次式的
运算．同样的方法也适用于整式的运算．几个整式相加减，有括号的按照去括
号的方法去括号，再合并同类项，就得到这几个整式相加减的运算结果．
例１ 计算：
（１）２狓－（３狓－２狔＋３）＋（５狔－２）；
（２）（犪３＋３犪２＋４犪－１）－（犪２－３犪－犪３－３）．
解 （１）２狓－（３狓－２狔＋３）＋（５狔－２）
＝２狓－３狓＋２狔－３＋５狔－２
＝－狓＋７狔－５．
（２）（犪３＋３犪２＋４犪－１）－（犪２－３犪－犪３－３）
＝犪３＋３犪２＋４犪－１－犪２＋３犪＋犪３＋３
＝２犪３＋２犪２＋７犪＋２．
例２ 计算：
（１）２（３犪＋４犫）－３（２犪－３犫）；
（２）（狓２－２狓）－２［（狓２－１）＋４狓］．
解 （１）２（３犪＋４犫）－３（２犪－３犫）
＝６犪＋８犫－６犪＋９犫
＝１７犫．
（２）（狓２－２狓）－２［（狓２－１）＋４狓］
＝狓２－２狓－２（狓２－１＋４狓）
＝狓２－２狓－２狓２＋２－８狓
＝－狓２－１０狓＋２．
例３ 先化简，再求值：１５犪２－｛－４犪２＋［５犪－８犪２－（２犪２－犪）］｝，其中
犪＝－１２．
１０．３整式的加法和减法
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１０．３ 整式的加法和减法１１
分析 本题求值的代数式中包含了大、中、小三种括号，我们可以按照
去括号的方法，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
解 １５犪２－｛－４犪２＋［５犪－８犪２－（２犪２－犪）］｝
＝１５犪２－［－４犪２＋（５犪－８犪２－２犪２＋犪）］
＝１５犪２－［－４犪２＋（６犪－１０犪２）］
＝１５犪２－（－４犪２＋６犪－１０犪２）
＝１５犪２＋１４犪２－６犪
＝２９犪２－６犪．
当犪＝－１２时，原式＝２９×（－１２）
２－６×（－１２）＝２９４＋３＝４１４．
课堂练习１０．３（１）
１．计算：
（１）（狓－狔－狕）－（２狓＋３狔＋２狕）；
（２）－（２犪２＋４犪＋５）＋（３犪２－７犪－８）．
２．计算：
（１）－（３犪＋２犫）＋３（４犫－３犪＋１）－２（２犪－犫－３）；
（２）２狓－３狓－１２（狓－２）
熿燀
燄燅＋５狓－３２（狓－２）．
３．已知狓＝１２，狔＝１，求代数式１２狓－狓２＋２狔２－（１２狓－３）
熿燀
燄燅＋
（２狓２＋３狔２＋４）的值．
例４ 求４狓２＋狔２－５狓狔与３狓狔＋４狔２－７狓２的和．
解 （４狓２＋狔２－５狓狔）＋（３狓狔＋４狔２－７狓２）
＝４狓２＋狔２－５狓狔＋３狓狔＋４狔２－７狓２
＝－３狓２＋５狔２－２狓狔．
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１２
第１０章整式的加减
例５ 已知２犪３－１３犪＋１１与某个整式的和是５＋６犪＋３犪２－３犪３，求这个
整式．
分析 所求的整式应为５＋６犪＋３犪２－３犪３减去２犪３－１３犪＋１１的差．
解 根据题意，得
（５＋６犪＋３犪２－３犪３）－（２犪３－１３犪＋１１）
＝５＋６犪＋３犪２－３犪３－２犪３＋１３犪－１１
＝－５犪３＋３犪２＋１９犪－６．
因此，所求的整式是－５犪３＋３犪２＋１９犪－６．
例６ 已知犃＝２狓２－７狓＋２，犅＝３狓２－５狓＋４，犆＝狓２＋２狓－５，求
犃－犅＋犆．
解 根据题意，得
犃－犅＋犆
＝（２狓２－７狓＋２）－（３狓２－５狓＋４）＋（狓２＋２狓－５）
＝２狓２－７狓＋２－３狓２＋５狓－４＋狓２＋２狓－５
＝－７．
一个五次整式与一个四次整式的和是一个几次整式？
一个五次整式与一个五次整式的和是一个几次整式？
课堂练习１０．３（２）
１．求３狓＋５狔－１４与１２狓－３狔＋１２的和．
２．求１２狓２－３狓狔＋１４减去－２３狓２＋狓狔－２３的差．
３．计算：１２狓２－（狓２－２狓＋３）＋（狓－２）－（２３狓２－２狓＋１２）．
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１０．３ 整式的加法和减法１３
习题１０．３
１．计算：
（１）４狓３－（－６狓３）＋（－９狓３）；
（２）（７狓狔－狓２＋狔２）－（狓２－狔２＋７狓狔）；
（３）－２３犪犫＋１４犪２犫＋犪犫＋（－３４犪２犫）－１．
２．求４犪＋３犪犫－１２犫减去－２犪－３２犪犫＋１３犫的差．
３．已知某个整式与３狓２＋２狔２的和是狓２＋狓狔－１２狔２，求这个整式．
４．已知２（狓２－狓＋２）减去某个整式所得的差是１２狓－２，求这个整式．
５．先化简，再求值：２（狓２－狓）－狓－３（２狓２＋狓－１）
［
］－６狓２，其中狓＝－１２．
６．已知整式犃、犅、犆满足犃－２犅＝３犆，其中犃＝狓２－狓狔＋２狔２，犆＝
４狓２＋３狓狔－６狔２．求整式犅．
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１４
第１０章整式的加减
１．基本概念：单项式，整式，多项式，同类项，合并同类项．
（１）数或字母的乘积叫作单项式．一个含字母的单项式中的数字因数叫作
这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的
次数．
（２）有限个单项式求和得到的代数式叫作整式，也叫作多项式．合并同类
项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，不含字母的项叫作常数项．单项
式是只有一项的整式．
（３）对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相
同，那么称这两个单项式为同类项．
２．合并同类项：把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项．在
合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字母和字
母的指数不变．合并同类项后，各项中次数最高项的次数叫作这个整式的
次数．
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复习题１５
１．填空题：
（１）２狓４＋４狓２－３是 次 项式，其常数项是 ．
（２）若（犪－２）狓２狔犪＋３是关于狓、狔的六次单项式，则犪＝ ．
（３）将－２狓５狔５－狓４狔６－３狓狔４＋１２狓２狔３－３狔－１４狓３狔２按下列要求排列：
按狓降幂排列：
．
按狔升幂排列：
．
（４）若１２狓２狔狕与－１３狓犪狔狕犫是同类项，则犪＝ ，犫＝ ．
２．选择题：
（１）下列各组单项式中，不是同类项的是
（ ）
Ａ．－狓５与狓；
Ｂ．４狓狔２与－４狔２狓；
Ｃ．６７狓５狔与６７狓；
Ｄ．－４与π２．
（２）如果狓、狔互为相反数，犪、犫互为倒数，那么１３（狓＋狔）＋３犪犫的
值是
（ ）
Ａ．３；
Ｂ．０；
Ｃ．－３；
Ｄ．以上都不对．
（３）如果犪－（犫＋犮－犱）＝（犪－犮）＋犃，那么犃等于
（ ）
Ａ．犱－犫；
Ｂ．－犫－犱；
Ｃ．犫－犱；
Ｄ．犫＋犱．
（４）下面是小华做的一道整式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴
在了上面：
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１６
第１０章整式的加减
（－狓２＋３狓狔－１２狔２）－（－１２狓２＋４狓狔－３２狔２）＝－１２狓２
＋狔２，
阴影部分即为被墨迹遮住的部分．被墨迹遮住的一项应是
（ ）
Ａ．－７狓狔； Ｂ．＋７狓狔；
Ｃ．－狓狔；
Ｄ．＋狓狔．
３．先化简，再求值：－３狓２－２狔２＋３２狓２＋４狔２－４，其中狓＝－１，狔＝５２．
４．已知犃＝３犪２－２犪＋１，犅＝５犪２－３犪＋２，求２犃－３犅．
５．已知（犪－４）狓３－狓犫＋狓－犫是关于狓的二次三项式，求犪－犫．
６．已知关于狓的整式犪狓３－２狓２＋６＋（犪－１）狓２＋２犫狓－７中不含狓的一次
项和二次项，求犪、犫的值．
７．有这样一道题“当犪＝２，犫＝－２时，求３犪３犫３－１２犪２犫＋犫－（４犪３犫３－
１４犪２犫－犫２）＋（犪３犫３＋１４犪２犫）－２犫２＋３的值”．甲同学做题时把犪＝２错抄成
犪＝－２，乙同学没抄错题，但他们做出的结果却一样，你知道这是怎么回事
吗？请说明理由．
８．如果当狓＝２时，狆狓３＋狇狓＋１的值等于１０００，那么当狓＝－２时，
狆狓３＋狇狓＋１的值是多少？
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第１１章
整式的乘除
本章在整式加减运算的基础上，进一步学习整式的乘除运算．整
式的四则运算在很多方面可以类比有理数的四则运算，它们也是学习
方程、分式、根式和函数等知识的基础．
本章首先学习正整数指数幂的运算，然后根据幂的运算性质，学
习整式的乘除运算．在整式乘法运算中，我们将得到一些常用的乘法
公式，不仅可以利用它们进行简单的计算和推理，也为因式分解的学
习打下基础．
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１８
第１１章整式的乘除
１．同底数幂的乘法
a
n
Ꮒ
ᠴ
፯
我们知道，犪·犪·犪表示三个犪相乘，记作犪３，叫作
“犪的立方”或“犪的三次方”．
一般地，将狀个犪相乘的运算叫作乘方，
犪·犪·犪·…·犪·犪
烐
烏
烑
狀个犪
记作犪狀，乘方的结果叫作幂．在犪狀
中，犪叫作底数，正整数狀叫作指数．犪狀读作“犪的狀次方”，当犪狀被看作是
犪的狀次方的结果时，也读作“犪的狀次幂”．当狀＝１时，我们规定：犪１＝犪．
２２×２３＝（２×２）×（２×２×２）＝２×２×２×２×２＝２５＝２２＋３；
犪２·犪３＝（犪·犪）·（犪·犪·犪）＝犪·犪·犪·犪·犪＝犪５＝犪２＋３．
一般地，设犿、狀是正整数，如何计算犪犿·犪狀？
事实上，
犪犿·犪狀
＝（犪·犪·犪·…·犪·犪
烐
烏
烑
犿个犪
）·（犪·犪·犪·…·犪·犪
烐
烏
烑
狀个犪
） （乘方的意义）
＝犪·犪·犪·…·犪·犪
烐
烏
烑
（犿＋狀）个犪
＝犪犿＋狀 （乘方的意义）．
同底数幂的乘法性质：
犪犿·犪狀＝犪犿＋狀（犿、狀是正整数）．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
同底数幂的乘法运算，可以转化为指数的加法运算．
１１．１整式的乘法
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１１．１ 整式的乘法１９
例１ 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（１）１０２×１０３；
（２）（－１２）
４×（－１２）
５；
（３）犪２·犪４；
（４）（犪－犫）·（犪－犫）３；
（５）狔·狔２·狔３．
解 （１）１０２×１０３＝１０２＋３＝１０５．
一般地，
犪犿·犪狀·犪狆＝犪犿＋狀＋狆
（犿、狀、狆都是正整
数）．
（２）（－１２）
４×（－１２）
５＝（－１２）
４＋５＝（－１２）
９．
（３）犪２·犪４＝犪２＋４＝犪６．
（４）（犪－犫）·（犪－犫）３＝（犪－犫）１＋３＝（犪－犫）４．
（５）狔·狔２·狔３＝狔１＋２·狔３＝狔１＋２＋３＝狔６．
例２ 计算：
（１）（－犫２）·（－犫３）；
（２）狓３·（－狓４）；
（３）犪３·犪３－犪３－犪３．
解 （１）（－犫２）·（－犫３）＝（－１）×（－１）·犫２·犫３＝犫２＋３＝犫５．
（２）狓３·（－狓４）＝－狓３·狓４＝－狓３＋４＝－狓７．
（３）犪３·犪３－犪３－犪３＝犪３＋３－（犪３＋犪３）＝犪６－２犪３．
课堂练习１１．１（１）
１．下列计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？
（１）狓４·狓＝狓４；
（２）狓２＋狓２＝狓４．
２．计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（１）（３７）
３×（３７）
５；
（２）（－犪）·犪２·（－犪２）；
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２０
第１１章整式的乘除
（３）狓·（－狓３）·（－狓５）； （４）（犫－犪）２·（犫－犪）３．
３．计算：
（１）犪２·犪５＋犪·犪３·犪３；
（２）犪＋２犪＋３犪＋４犪－犪·犪２·犪３·犪４．
２．幂的乘方
（２３）２＝２３×２３＝２３＋３＝２３×２；
（犪３）２＝犪３·犪３＝犪３＋３＝犪３×２；
（犪犿）２＝犪犿·犪犿＝犪犿＋犿＝犪２犿（犿是正整数）．
一般地，设犿、狀是正整数，如何计算（犪犿）狀？
事实上，（犪犿）狀＝犪犿·犪犿·…·犪犿
烐
烏
烑
狀个犪犿
（乘方的意义）
＝犪 犿＋犿＋…＋犿
烐
烏
烑
狀个犿
（同底数幂的乘法性质）
＝犪犿狀．
幂的乘方性质：
（犪犿）狀＝犪犿狀（犿、狀是正整数）．
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
幂的乘方运算，可以转化为指数的乘法运算．
例３ 计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（１）（１０２）３；
（２）（犪３）４；
（３）［（－犫）３］３；
（４）［（犪＋犫）５］３．
解 （１）（１０２）３＝１０２×３＝１０６．
（２）（犪３）４＝犪３×４＝犪１２．
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１１．１ 整式的乘法２１
（３）［（－犫）３］３＝（－犫）３×３＝（－犫）９．
（４）［（犪＋犫）５］３＝（犪＋犫）５×３＝（犪＋犫）１５．
例４ 计算：
（１）（犪３）４·（犪４）３·犪；
（２）（狓３）２·（狓３）５．
解 （１）（犪３）４·（犪４）３·犪
＝犪３×４·犪４×３·犪
＝犪１２＋１２＋１＝犪２５．
（２）也能这样算：
（狓３）２·（狓３）５
＝（狓３）２＋５
＝（狓３）７
＝狓２１．
（２）（狓３）２·（狓３）５
＝狓６·狓１５
＝狓２１．
例５ 计算：
（１）（犪２）３＋犪２·犪３；
（２）犿＋２犿＋３犿＋犿·犿２·犿３－（犿２）３．
解 （１）（犪２）３＋犪２·犪３＝犪２×３＋犪２＋３＝犪６＋犪５．
（２）犿＋２犿＋３犿＋犿·犿２·犿３－（犿２）３
＝６犿＋犿６－犿６
＝６犿．
课堂练习１１．１（２）
１．下列计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？
（１）（犪５）２＝犪７；
（２）犪５·犪２＝犪１０．
２．计算下列各式，结果用幂的形式表示：
（１）（狓４）３·狓２；
（２）－（狓３）５·（－狓３）；
（３）狔３·（狔２）３·（狔３）２；
（４）（－狓）·［（－狓）２］３；
（５）［（狓－狔）３］２；
（６）［（犪＋１）３］４·（犪＋１）３．
３．随着科技的进步，纳米技术的运用越来越广泛．１ｍ＝１０９ｎｍ，那
么１ｍ２＝ ｎｍ２（ｎｍ：长度单位纳米的符号）．
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２２
第１１章整式的乘除
３．积的乘方
（犪犫）２＝（犪犫）·（犪犫）＝（犪·犪）·（犫·犫）＝犪２犫２；
（犪犫）３＝（犪犫）·（犪犫）·（犪犫）＝（犪·犪·犪）·（犫·犫·犫）＝犪３犫３．
一般地，设狀是正整数，如何计算（犪犫）狀？
事实上，
（犪犫）狀＝（犪犫）·（犪犫）·…·（犪犫）
烐
烏
烑
狀个犪犫
（乘方的意义）
＝（犪·犪·…·犪）
烐
烏
烑
狀个犪
·（犫·犫·…·犫）
烐
烏
烑
狀个犫
（乘法的交换律、结合律）
＝犪狀犫狀 （乘方的意义）．
积的乘方性质：
（犪犫）狀＝犪狀犫狀（狀是正整数）．
积的乘方，等于乘方的积．
例６ 计算：
（１）（４犿）２；
（２）（２３犪）
３；
（３）（－狓狔２）３；
（４）（－３犪犫２）４．
解 （１）（４犿）２＝４２·犿２＝１６犿２．
（２）（２３犪）
３＝（２３）
３·犪３＝８２７犪３．
（３）（－狓狔２）３＝（－狓）３·（狔２）３＝（－１）３·狓３·狔６＝－狓３狔６．
（４）（－３犪犫２）４＝（－３犪）４·（犫２）４＝（－３）４·犪４·犫８＝８１犪４犫８．
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１１．１ 整式的乘法２３
计算：（犪犫犮）狀（狀是正整数）．
事实上，（犪犫犮）狀＝（犪犫）狀·犮狀＝犪狀犫狀犮狀．
例７ 计算：
（１）（狓狔２狕３）５；
（２）（２犪犫２）２·（２犪犫２）３．
解 （１）（狓狔２狕３）５＝狓５·（狔２）５·（狕３）５
＝狓５狔１０狕１５．
（２）（２犪犫２）２·（２犪犫２）３＝（２犪犫２）５
＝２５·犪５·（犫２）５
＝３２犪５犫１０．
例８ 计算：
（１）狓２·狓３＋（３狓２）３＋（－２狓）５；
（２）（－犪）·犪狀＋１＋（－３犪）２·犪狀（狀是正整数）；
（３）［３（狓＋狔）３］２－［２（狓＋狔）２］３ （结果用幂的形式表示）．
解 （１）狓２·狓３＋（３狓２）３＋（－２狓）５
＝狓５＋３３·（狓２）３＋（－２）５·狓５
＝狓５＋２７狓６－３２狓５
＝２７狓６－３１狓５．
（２）（－犪）·犪狀＋１＋（－３犪）２·犪狀
＝－犪１＋（狀＋１）＋（－３）２犪２·犪狀
＝－犪狀＋２＋９犪狀＋２
＝８犪狀＋２．
（３）［３（狓＋狔）３］２－［２（狓＋狔）２］３
＝９（狓＋狔）６－８（狓＋狔）６
＝（狓＋狔）６．
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２４
第１１章整式的乘除
课堂练习１１．１（３）
１．下列计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？
（１）（３犪）２＝３犪２；
（２）（犪３犫２）３＝犪６犫５；
（３）（－２犪犫２）３＝－８犪３犫６； （４）（２３犪２犫２）
３＝８９犪６犫６．
２．计算：
（１）（－狓３狔２）３；
（２）（３４狓狔２狕）
２．
３．计算：
（１）（犿２）３·（２犿）４·（－犿）２；
（２）狓·狓２·狓狀－３－（－狓）２·狓狀－２（狀是大于３的正整数）；
（３）（狓－狔）２·（狓－狔）３·（狔－狓）４（结果用幂的形式表示）；
（４）［（犪＋犫）３］２－［（－犪－犫）２］３．
４．整式的乘法
问题 光在真空中的速度约为３×１０５ｋｍ／ｓ，１光年是指光在真空中经过
１年所行的距离，它是一个长度单位．若取一年的时间约为３．１５×１０７ｓ，则１
光年的距离大约为多少？
１光年等于光在真空中的速度乘一年的时间，即
（３×１０５）×（３．１５×１０７）
＝（３×３．１５）×（１０５×１０７）
＝９．４５×１０１２（ｋｍ）．
所以１光年的距离大约为９．４５×１０１２ｋｍ．
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１１．１ 整式的乘法２５
３犪狓５·犫狓７＝（３犪·犫）·（狓５·狓７）＝３犪犫狓１２．
以上计算是单项式与单项式相乘，用到了哪些运算律与运算法则？
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘．
例９ 计算：
（１）１２狓狔２·（－狓２狕）；
（２）（－４犪狓２）·（－３犪２狓３）；
（３）（－２狓）３·（５狓２狔）２．
解 （１）１２狓狔２·（－狓２狕）
＝１２×（－１）
熿燀
燄燅·（狓·狓２）·狔２·狕
＝－１２狓３狔２狕．
（２）（－４犪狓２）·（－３犪２狓３）
＝［（－４）×（－３）］·（犪·犪２）·（狓２·狓３）
＝１２犪３狓５．
（３）（－２狓）３·（５狓２狔）２
＝（－８狓３）·（２５狓４狔２）
＝（－８×２５）·（狓３·狓４）·狔２
＝－２００狓７狔２．
例１０ 求单项式－２狓２狔、５狓狔３与－３５狓２狔２的乘积．
解 （－２狓２狔）·（５狓狔３）·（－３５狓２狔２）
＝（－２）×５×（－３５）
熿燀
燄燅·（狓２·狓·狓２）·（狔·狔３·狔２）
＝６狓５狔６．
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第１１章整式的乘除
３狓５·（４狓７＋２狓）＝３狓５·４狓７＋３狓５·２狓＝１２狓１２＋６狓６．
这是单项式乘整式，用到了哪些运算律与运算法则？
单项式乘整式，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加．
例１１ 计算：
（１）２犪犫·（３犪２犫－２犪犫２）；
（２）（１４狓－２３狓２狔）·（－１２狓狔）；
（３）（－１３狓狔２）·（－３狓狔＋９狔狕＋１）．
解 （１）２犪犫·（３犪２犫－２犪犫２）
＝２犪犫·３犪２犫＋２犪犫·（－２犪犫２）
＝６犪３犫２－４犪２犫３．
（２）（１４狓－２３狓２狔）·（－１２狓狔）
＝１４狓·（－１２狓狔）＋（－２３狓２狔）·（－１２狓狔）
＝－３狓２狔＋８狓３狔２．
（３）（－１３狓狔２）·（－３狓狔＋９狔狕＋１）
＝（－１３狓狔２）·（－３狓狔）＋（－１３狓狔２）·９狔狕＋（－１３狓狔２）·１
＝狓２狔３－３狓狔３狕－１３狓狔２．
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１１．１ 整式的乘法２７
如何求图１１１１中涂色部分的面积？
a
b
c
c
图１１１１
课堂练习１１．１（４）
１．计算：
（１）５１２犪犫２·３犪犫；
（２）（－狓２狔）·（２狓狔）３；
（３）－狓·（狓２＋２狓－２）；
（４）（４犪３－２犪＋１）·（－２犪）２．
２．计算：
（１）犫·（犪＋犫）－犪·（犫－犪）；（２）狓·（狓－狔）－狔·（狓－狔）；
（３）犪·（犪２＋犪＋１）＋（－１）·（犪２＋犪＋１）；
（４）狓·（狓２－狓－１）＋２·（狓２＋１）－１３狓·（３狓２＋６狓）．
如何计算（２狓３＋３狓狔）·（狓＋狔２）？
可以把狓＋狔２看成一个整体，运用乘法对加法的分配律计算，得
（２狓３＋３狓狔）·（狓＋狔２）
＝２狓３·（狓＋狔２）＋３狓狔·（狓＋狔２）
＝２狓３·狓＋２狓３·狔２＋３狓狔·狓＋３狓狔·狔２
＝２狓４＋２狓３狔２＋３狓２狔＋３狓狔３．
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２８
第１１章整式的乘除
整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式中的每一项，
再把所得的积相加．
例１２ 计算：
（１）（狓－２）·（狔＋３）；
（２）（２犪＋犫）·（犪－３犫）；
（３）（犿＋狀）·（犿２－犿狀＋狀２）．
解 （１）（狓－２）·（狔＋３）＝狓狔＋３狓－２狔－６．
（２）（２犪＋犫）·（犪－３犫）＝２犪２－６犪犫＋犪犫－３犫２＝２犪２－５犪犫－３犫２．
（３）（犿＋狀）·（犿２－犿狀＋狀２）
＝犿３－犿２狀＋犿狀２＋犿２狀－犿狀２＋狀３
＝犿３＋狀３．
例１３ 计算：
（１）（狓＋狔）·（狓－狔）·（狓２＋狔２）；
（２）（狓＋狔）·（狓２－２狓狔＋狔２）－狔·（狓２＋狔２）．
解 （１）（狓＋狔）·（狓－狔）·（狓２＋狔２）
＝（狓２－狓狔＋狓狔－狔２）·（狓２＋狔２）
＝（狓２－狔２）·（狓２＋狔２）
＝狓４＋狓２狔２－狓２狔２－狔４
＝狓４－狔４．
（２）（狓＋狔）·（狓２－２狓狔＋狔２）－狔·（狓２＋狔２）
＝狓３－２狓２狔＋狓狔２＋狓２狔－２狓狔２＋狔３－狓２狔－狔３
＝狓３－２狓２狔－狓狔２．
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１１．１ 整式的乘法２９
例１４ 图１１１２是一个相框的平面图形．图中大长方形的长为犪、宽为
犫（犪＞犫）．四周框的宽度为狓（０＜狓＜犫２）．求图中小长方形（涂色部分）的面积．
a
b
x
x
x
x
图１１１２
解 小长方形的面积为
（犪－２狓）·（犫－２狓）
＝犪犫－２犪狓－２犫狓＋４狓２．
因此，小长方形的面积为犪犫－２犪狓－２犫狓＋４狓２．
课堂练习１１．１（５）
１．计算：
（１）（狓＋２）·（狓＋１）；
（２）（狓－２）·（３狓＋１）．
２．计算：
（１）（３犪＋犫）·（３犪－犫）；
（２）（狓２＋１）·（２＋狓２）；
（３）（狓＋２）２；
（４）（犿－狀）·（犿２＋犿狀＋狀２）；
（５）（狓＋１）·（狓－２）·（２狓－１）；
（６）（１３＋犪）·（１３－犪）·（１９＋犪２）．
３．计算：
（１）（狓＋犪）·（狓＋犫）；
（２）（狓－犪）·（狓－犫）．
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３０
第１１章整式的乘除
习题１１．１
１．填表：
幂
底数
指数
积的形式
（－３狔）２
－３狔
２
（－３狔）·（－３狔）
（２３犪）
４
（２＋犪）３
２．按要求填空：
（５３）
３×（５３）
５
＝（ ）×（ ） （将幂表示成积的形式）
＝５３×５３×…×５３
烐
烏
烑
（ ）个５３
（乘法结合律）
＝ （将积表示成幂的形式）．
３．填空题（结果用幂的形式表示）：
（１）１０×１０４＝ ；
（２）（－２）４×（－２）６＝ ；
（３）（－犪）·（－犪）３·（－犪）５＝ ；
（４）（犿－狀）２·（犿－狀）４·（犿－狀）６＝ ．
４．选择题：
（１）（２犪２）３的结果是
（ ）
Ａ．２犪６；
Ｂ．８犪５；
Ｃ．８犪６；
Ｄ．８犪８．
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１１．１ 整式的乘法３１
（２）２犪２·３犪３的结果是
（ ）
Ａ．５犪５；
Ｂ．６犪６；
Ｃ．５犪６；
Ｄ．６犪５．
（３）下列计算中正确的是
（ ）
Ａ．２犪＋３犪＝５犪；
Ｂ．犪２·犪３＝犪６；
Ｃ．２犪·３犪＝５犪２；
Ｄ．（犪２）３＝犪５．
５．计算：
（１）犪４·犪５＋犪·犪４·犪４；
（２）犪２·（犪２）３·（犪２）５；
（３）犪３·犪５－（犪３）５；
（４）（－狓）２·（－狓６）·（－狓２）３；
（５）（狓－狔）·（狔－狓）５＋（狓－狔）２·（狔－狓）４；
（６）（－２犪２）３＋（－３犪３）２＋（－犪）６；
（７）（－１２犪２犫）·（－２５犪犫２）－（－犪犫）３；
（８）（４狓２－４９狓＋１）·（－３狓２）；
（９）（狓２＋３）·（狓２－９）；
（１０）５狓·（狓２－２狓－１）－狓·（２狓＋３）·（狓－５）．
６．已知狔·（狔－２）－２＝０，求３·（狔＋１）·（狔－３）＋２的值．
７．如果犃、犅都是关于狓的单项式，且犃·犅是一个九次单项式，犃＋犅是
一个五次式，那么犃－犅的次数
（ ）
Ａ．一定是９；
Ｂ．一定是５；
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３２
第１１章整式的乘除
Ｃ．一定是４；
Ｄ．无法确定．
８．将关于狓的一次二项式犪狓＋犫与二次三项式狓２＋２狓＋３相乘，积中不
出现一次项，且二次项系数为１．求犪、犫的值．
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１１．２ 乘法公式３３
（犪＋犫）（犪－犫）的结果有什么特征？
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犪犫＋犪犫－犫２＝犪２－犫２，即两个数的和与这两个数的
差的乘积等于这两个数的平方的差．
平方差公式：（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２．
分别计算图１１２１（１）（２）中涂色组合图形的面积，你能从中发现
平方差公式吗？
a
b
a
b
a
b
a
b
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图１１２１
满足平方差公式特征的整式乘法，可以用平方差公式直接写出运算结果．
例１ 计算：
（１）（狔＋１）（狔－１）；
（２）（２犿＋３狀）（２犿－３狀）；
（３）（１２狓＋２３狔）（１２狓－２３狔）．
分析 以（３）为例，我们可以应用平方差公式：
１１．２乘法公式
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３４
第１１章整式的乘除
（１２狓＋２３狔）（１２狓－２３狔）＝（１２狓）
２－（２３狔）
２
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２
解 （１）（狔＋１）（狔－１）＝狔２－１２＝狔２－１．
（２）（２犿＋３狀）（２犿－３狀）＝（２犿）２－（３狀）２＝４犿２－９狀２．
（３）（１２狓＋２３狔）（１２狓－２３狔）＝（１２狓）
２－（２３狔）
２＝１４狓２－４９狔２．
例２ 计算：
（１）（－狓＋１）（－狓－１）；
（２）（２犪－３犫）（－２犪－３犫）．
解 （１）（－狓＋１）（－狓－１）
＝（－狓）２－１２
＝狓２－１．
（２）（２犪－３犫）（－２犪－３犫）
＝（－３犫＋２犪）（－３犫－２犪）
＝（－３犫）２－（２犪）２
＝９犫２－４犪２．
课堂练习１１．２（１）
１．计算：
（１）（２狓＋５）（２狓－５）；
（２）（１－２犪）（１＋２犪）；
（３）（１２狓２＋１３）（１２狓２－１３）；
（４）（－２狓－３狔）（３狔－２狓）；
（５）（－３－２狓）（３－２狓）；
（６）（狓－２狔）（狓＋２狔）＋（２狓－狔）（２狓＋狔）．
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１１．２ 乘法公式３５
（犪＋犫）２和（犪－犫）２的结果有什么特征？
（犪＋犫）２＝（犪＋犫）（犪＋犫）＝犪２＋犪犫＋犪犫＋犫２＝犪２＋２犪犫＋犫２，（犪－犫）２＝
（犪－犫）（犪－犫）＝犪２－犪犫－犪犫＋犫２＝犪２－２犪犫＋犫２，即两数和（或差）的平方，等
于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍．
完全平方公式：（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２，（犪－犫）２＝犪２－２犪犫＋犫２．
你能分别根据图１１２２（１）（２）中涂色组合图形的面积计算发现两
个完全平方公式吗？
a
2
ab
ab
a
b
2
b
a
b
(aᅄb)
2
a
b
2
b
a
b
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图１１２２
对于满足完全平方公式特征的整式乘法，可以利用完全平方公式直接写
出运算结果．平方差公式与完全平方公式是常用的乘法公式．
例３ 计算：
（１）（狓＋１）２；
（２）（犿＋２狀）２；
（３）（３－狔）２；
（４）（１２狋－１）
２．
解 （１）（狓＋１）２＝狓２＋２·狓·１＋１２＝狓２＋２狓＋１．
（２）（犿＋２狀）２＝犿２＋２·犿·（２狀）＋（２狀）２＝犿２＋４犿狀＋４狀２．
（３）（３－狔）２＝９－２×３·狔＋狔２＝９－６狔＋狔２．
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３６
第１１章整式的乘除
（４）（１２狋－１）
２＝（１２狋）
２－２·（１２狋）·１＋１２＝１４狋２－狋＋１．
例４ 计算：
（１）（－狓＋１）２；
（２）（－３－狔）２；
（３）（犿３－２狀２）２．
解 （１）（－狓＋１）２
＝（－狓）２＋２·（－狓）·１＋１２
＝狓２－２狓＋１．
（２）（－３－狔）２
＝［－（３＋狔）］２＝（３＋狔）２
＝３２＋２×３·狔＋狔２
＝９＋６狔＋狔２．
（３）（犿３－２狀２）２
＝（犿３）２－２·（犿３）·（２狀２）＋（２狀２）２
＝犿６－４犿３狀２＋４狀４．
例５ 利用完全平方公式计算：（犪＋犫＋犮）２．
解 （犪＋犫＋犮）２
＝［（犪＋犫）＋犮］２
＝（犪＋犫）２＋２（犪＋犫）犮＋犮２
＝犪２＋犫２＋犮２＋２犪犫＋２犫犮＋２犪犮．
课堂练习１１．２（２）
１．下列计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？
（１）（犪＋犫）２＝犪２＋犫２；
（２）（７－犪）２＝４９－犪２；
（３）（犪＋２犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２；
（４）（犪－２犫）２＝犪２－４犪犫－４犫２．
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１１．２ 乘法公式３７
２．计算：
（１）（２狓＋狔）２；
（２）（－犪－犫）２；
（３）（１４犿－２３狀）
２；
（４）（－犪３＋２犫３）２；
（５）（２狓＋３）（２狓－３）（４狓２－９）； （６）（犪＋犫－犮）２．
例６ 计算：
（１）（狓２＋３狔）（－３狔－狓２）；
（２）（２犪＋３犫）２－（２犪－３犫）２；
（３）（犿＋２狀）（犿－２狀）（犿２＋４狀２）．
解 （１）（狓２＋３狔）（－３狔－狓２）
＝（狓２＋３狔）［－（狓２＋３狔）］
＝－（狓２＋３狔）２
＝－（狓４＋６狓２狔＋９狔２）
＝－狓４－６狓２狔－９狔２．
（２）（２犪＋３犫）２－（２犪－３犫）２
＝（４犪２＋１２犪犫＋９犫２）－（４犪２－１２犪犫＋９犫２）
＝２４犪犫．
（３）（犿＋２狀）（犿－２狀）（犿２＋４狀２）
＝（犿２－４狀２）（犿２＋４狀２）
＝犿４－１６狀４．
例７ 计算：
（１）（犪－２犫＋３犮）２；
（２）（犪＋犫－犮）（犪－犫＋犮）．
解 （１）（犪－２犫＋３犮）２
＝［（犪－２犫）＋３犮］２
＝（犪－２犫）２＋２（犪－２犫）·３犮＋（３犮）２
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３８
第１１章整式的乘除
＝犪２－４犪犫＋４犫２＋６犪犮－１２犫犮＋９犮２
＝犪２＋４犫２＋９犮２－４犪犫＋６犪犮－１２犫犮．
（２）（犪＋犫－犮）（犪－犫＋犮）
＝［犪＋（犫－犮）］［犪－（犫－犮）］
＝犪２－（犫－犮）２
＝犪２－（犫２－２犫犮＋犮２）
＝犪２－犫２＋２犫犮－犮２．
例８ 利用乘法公式计算：
（１）１０１×９９；
（２）９８２．
解 （１）１０１×９９＝（１００＋１）×（１００－１）＝１００２－１２＝９９９９．
（２）９８２＝（１００－２）２＝１００２－２×１００×２＋２２＝９６０４．
课堂练习１１．２（３）
１．利用平方差公式计算：
（１）８８×９２；
（２）９９３４×１００１４．
２．利用完全平方公式计算：
（１）１０２２；
（２）９９．９２．
３．计算：
（１）（－狓＋狔）（狓－狔）；
（２）（－狓－狔）（狓＋狔）；
（３）（狓－２）（狓＋２）（狓２＋４）；（４）（犪＋２犫－３）（犪－２犫＋３）．
利用乘法公式，可以较简便地求某些代数式的值和计算．
例９ 已知（犪＋犫）２＝９，（犪－犫）２＝２５．求犪２＋犫２与犪犫的值．
解 因为（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２，（犪－犫）２＝犪２－２犪犫＋犫２，所以
（犪＋犫）２＋（犪－犫）２＝２犪２＋２犫２，
（犪＋犫）２－（犪－犫）２＝４犪犫．
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１１．２ 乘法公式３９
这样，
犪２＋犫２＝（犪＋犫）２＋（犪－犫）２
２
，
犪犫＝（犪＋犫）２－（犪－犫）２
４
．
当（犪＋犫）２＝９，（犪－犫）２＝２５时，犪２＋犫２＝１７，犪犫＝－４．
例１０ 计算：９９８×１００２＋４．
解 ９９８×１００２＋４＝（１０００－２）×（１０００＋２）＋４
＝１０００２－２２＋４＝１００００００．
a
b
b
图１１２３
例１１ 如图１１２３，一张直径为犪＋２犫的圆
形纸片，从中挖去直径分别为犪、犫、犫的三个圆形
纸片．求剩下纸片的面积（结果保留π）．
解 剩下纸片的面积为
π（犪＋２犫
２）
２－π（犪２）
２－π（犫２）
２－π（犫２）
２
＝π４［（犪＋２犫）２－犪２－犫２－犫２］
＝π４（４犪犫＋２犫２）＝π犪犫＋π２犫２．
因此，剩下纸片的面积为π犪犫＋π２犫２．
课堂练习１１．２（４）
１．计算：９８７２－９８６×９８８．
２．已知犪＋犫＝５，犪犫＝６．求犪２＋犫２与（犪－犫）２的值．
３．先化简，再求值：（犪－２犫）（犪－３犫）＋（犪－２犫）２－２（犪－３犫）２，其
中犪＝－１３，犫＝－２．
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４０
第１１章整式的乘除
４．对平方差公式（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２运用等式性质，得到
犪２＝（犪＋犫）（犪－犫）＋犫２．
可以利用这个等式进行如下计算：
９８２＝（９８＋２）×（９８－２）＋２２＝１００×９６＋４＝９６０４；
１０１２＝（１０１＋１）×（１０１－１）＋１２＝１０２×１００＋１＝１０２０１．
请试着用这个方法计算：６５２和１０３２．
习题１１．２
１．给出下列式子：
①（狓－狔）（狓＋狔），②（狓＋狔）（狔－狓），③（狔－狓）（－狔－狓），
④（－狓＋狔）（狓－狔），⑤（－狓－狔）（狓＋狔），⑥（－狓－狔）（狓－狔）．
其中，符合平方差公式特征的有 （填序号）．
２．填空题：
（１）（３犪＋２犫）（３犪－２犫）＝ ；
（２）（－３犪＋２犫）（３犪－２犫）＝ ；
（３）（３犪＋２犫）（－３犪－２犫）＝ ；
（４）（狓＋４狔）２＝ ；
（５）（狓－４狔）２＝ ；
（６）（－狓－１２）
２＝ ．
３．计算：
（１）（狓－１）（狓＋１）（狓２＋１）；
（２）（２狓＋３狔）２－（３狔－２狓）２；
（３）（犪－２犫－犮）２；
（４）（狓＋３狔－２）（狓＋３狔＋２）；
（５）（狓２＋狓－３）（狓２－狓＋３）； （６）（犪犫＋１２）
２（犪犫－１２）
２．
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１１．２ 乘法公式４１
４．简便计算：
（１）－１９７９×（－２０２９）；
（２）３９．９２．
５．已知关于狓的整式９狓２＋（２犽－１）狓＋４是某个关于狓的整式的平方，
求犽的值．
６．已知（犪－犫）２＝２５，犪犫＝－６．求下列各式的值：
（１）犪２＋犫２；
（２）犪４＋犫４．
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４２
第１１章整式的乘除
１．同底数幂的除法
２５÷２２＝２５
２２＝２×２×２×２×２
２×２
＝２３＝２５－２；
犪５÷犪２＝犪５
犪２＝犪·犪·犪·犪·犪
犪·犪
＝犪３＝犪５－２（犪≠０）；
（－３）犿÷（－３）狀＝（－３）犿
（－３）狀＝（－３）×（－３）×…×（－３）
烉
烇
烋
犿个－３
（－３）×（－３）×…×（－３）
烐
烏
烑
狀个－３
＝（－３）犿－狀
（犿、狀是正整数且犿＞狀）．
一般地，设犿、狀是正整数且犿＞狀，犪≠０，如何计算犪犿÷犪狀？
犪犿÷犪狀＝犪犿
犪狀＝犪·犪·…·犪
烉
烇
烋
犿个犪
犪·犪·…·犪
烐
烏
烑
狀个犪
＝犪·犪·…·犪
烐
烏
烑
（犿－狀）个犪
＝犪犿－狀．
同底数幂的除法性质：
犪犿÷犪狀＝犪犿－狀（犿、狀是正整数且犿＞狀，犪≠０）．
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
同底数幂的除法运算，可以转化为指数的减法运算．
当犪≠０时，犪犿÷犪犿＝１．要使得同底数幂的除法性质在犿＝狀时仍成立，
即犪犿÷犪犿＝犪犿－犿＝犪０，规定
１１．３整式的除法
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１１．３ 整式的除法４３
犪０＝１（犪≠０），即任何不等于零的数的零次幂都等于１．
例１ 计算：
（１）（－２）６÷（－２）３；
在（３）中，要求狓≠
０且狔≠０．在本章中进
行除法运算时，总是默
认除数不为零．
（２）（２３）
７÷（２３）
５；
（３）（－１２狓狔）
５÷（－１２狓狔）
２．
解 （１）（－２）６÷（－２）３＝（－２）６－３＝（－２）３＝－８．
（２）（２３）
７÷（２３）
５＝（２３）
７－５＝（２３）
２＝４９．
（３）（－１２狓狔）
５÷（－１２狓狔）
２＝（－１２狓狔）
５－２＝（－１２狓狔）
３＝－１８狓３狔３．
例２ 计算：
（１）２２×２３÷２５；
（２）（犪＋犫）犿＋２÷（犪＋犫）犿（犿是正整数）．
解 （１）２２×２３÷２５
＝２５÷２５
＝１．
（２）（犪＋犫）犿＋２÷（犪＋犫）犿
＝（犪＋犫）犿＋２－犿
＝（犪＋犫）２
＝犪２＋２犪犫＋犫２．
课堂练习１１．３（１）
１．计算：
（１）３５÷３３；
（２）（－２）１２÷（－２）１０；
（３）５５０÷５５０；
（４）－４６÷４５．
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４４
第１１章整式的乘除
２．计算：
（１）犪１０÷犪７； （２）－狓１０２÷狓１０２；
（３）（３４）
６÷（３４）
４．
３．计算：
（１）（－２狓狔）５÷（－２狓狔）２； （２）－３６÷（－３）５×（－３）０．
２．单项式除以单项式
问题 ２０２２年我国粮食总产量大约为７．０×１０１１ｋｇ．如果按我国人口
１．４×１０９人计算，那么人均粮食产量大约是多少？
（７．０×１０１１）÷（１．４×１０９）
＝７．０×１０１１
１．４×１０９．
计算：（７．０×１０１１）÷（１．４×１０９）．
（７．０×１０１１）÷（１．４×１０９）
＝（７．０÷１．４）×（１０１１÷１０９）
＝５×１０２（ｋｇ）．
如何用单项式和单项式的乘法验证上面的计算？
可以计算（５狓２）·（１．４狓９）＝（５×１．４）·（狓２·狓９）＝７狓１１，由于除法是乘法
的逆运算，因此
这里，７狓１１÷１．４狓９指的是
（７狓１１）÷（１．４狓９）．今后，在以单项
式作为除式时，我们总是这样处理．
７狓１１÷１．４狓９＝（７÷１．４）·（狓１１÷狓９）
＝５狓１１－９＝５狓２．
两个单项式相除，把系数和同底数幂分别相除．
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１１．３ 整式的除法４５
例３ 计算：
（１）１６狓５狔６÷４狓２狔５；
（２）－３犪３犫６犮÷６犪犫３；
（３）犿４狀５÷（－２３犿狀）．
解 （１）１６狓５狔６÷４狓２狔５
＝（１６÷４）·（狓５÷狓２）·（狔６÷狔５）
＝４狓５－２狔６－５＝４狓３狔．
（２）－３犪３犫６犮÷６犪犫３
＝（－３÷６）·（犪３÷犪）·（犫６÷犫３）·犮
＝－１２犪３－１犫６－３犮＝－１２犪２犫３犮．
（３）犿４狀５÷（－２３犿狀）＝１÷（－２３）
熿燀
燄燅犿４－１狀５－１＝－３２犿３狀４．
课堂练习１１．３（２）
１．计算：
（１）１０犪８÷２犪４；
（２）犪４犫犮÷２犪犫；
（３）－４犪狓２÷６狓２；
（４）３狓７狔３÷（－１３狓狔２）．
２．填空题：
（１）（ ）÷２犪犫＝６犪犫２；
（２）（ ）÷（－５狓狔２）＝１５狓狔；
（３）１２５犪２狓３÷（ ）＝５犪；
（４）２４犪３犫２÷（ ）＝－３犪犫．
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４６
第１１章整式的乘除
３．整式除以单项式
（犿犪＋犿犫＋犿犮）÷犿＝犪＋犫＋犮．
你能用整式乘法验证这个结果吗？
整式除以单项式，先用整式的每一项除以单项式，再把所得的商
相加．
例４ 计算：
（１）（２１犪３－１４犪２－７犪）÷７犪；
（２）（１０犿５狀４＋５犿３狀２－１５犿狀）÷（－１５犿狀）；
（３）（－２３狓２狔３＋３４狓狔２－２狓２狔）÷（－１２狓狔）；
（４）（３犮３犱－６犮２犱２＋犮２）÷（－３犮２）．
解 （１）（２１犪３－１４犪２－７犪）÷７犪
＝２１犪３÷７犪－１４犪２÷７犪－７犪÷７犪
＝３犪２－２犪－１．
（２）（１０犿５狀４＋５犿３狀２－１５犿狀）÷（－１５犿狀）
＝１０犿５狀４÷（－１５犿狀）＋５犿３狀２÷（－１５犿狀）－１５犿狀÷（－１５犿狀）
＝－２３犿４狀３－１３犿２狀＋１．
（３）（－２３狓２狔３＋３４狓狔２－２狓２狔）÷（－１２狓狔）
＝（－２３狓２狔３）÷（－１２狓狔）＋３４狓狔２÷（－１２狓狔）－２狓２狔÷（－１２狓狔）
＝４３狓狔２－３２狔＋４狓．
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１１．３ 整式的除法４７
（４）（３犮３犱－６犮２犱２＋犮２）÷（－３犮２）
＝３犮３犱÷（－３犮２）－６犮２犱２÷（－３犮２）＋犮２÷（－３犮２）
＝－犮犱＋２犱２－１３．
课堂练习１１．３（３）
１．计算：
（１）（４犪３－２犪２＋２犪）÷２犪；
（２）（１２犪狓３－２７犪狓）÷３犪狓；
（３）（－１８狓３狔２＋１２狓２狔３－６狓２狔２）÷（－３狓２狔２）．
２．计算：
（１）６犪（２犪３＋３犪２＋４犪）÷１２犪２；
（２）（１８狓２狔２－３０狓３狔２）÷３狓÷２狔２．
习题１１．３
１．（口答）计算：
（１）犪３÷犪３；
（２）犪８÷犪４；
（３）犪９÷犪３·犪；
（４）犪５÷（犪３·犪２）．
２．计算：
（１）（－２５）
７÷（－２５）
５÷２５；
（２）（４×１０２）３÷（－２×１０３）；
（３）（狓４）２÷狓５÷（－狓）２；
（４）（犪３·犪２）２÷（犪３÷犪）３；
（５）２犪３÷３犪２；
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４８
第１１章整式的乘除
（６）３狓７狔３狕÷（－１３狓狔２）；
（７）（２０狓２狔２－５狓）÷５狓；
（８）２狓２狔３（２狓２－３狓狔＋５狔２）÷（－４狓２狔２）．
３．先化简，再求值：（３犪狀＋２＋９犪狀＋１－犪狀）÷（－６犪狀），其中犪＝－２（狀是
正整数）．
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阅读材料４９
贾宪三角
我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子：
（犪＋犫）０＝１；
（犪＋犫）１＝犪＋犫；
（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２；
（犪＋犫）３＝犪３＋３犪２犫＋３犪犫２＋犫３；
（犪＋犫）４＝犪４＋４犪３犫＋６犪２犫２＋４犪犫３＋犫４；
……
你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？
这些系数的规律早在１１世纪就已被我国北宋数学家贾宪（约１１世纪上半
叶）发现．
１２６１年，我国南宋数学家杨辉（１３世纪）在他所著的《详解九章算法》中给
᱙/
ጓ/
K
Ꭰ/
//̶
΅/
΅/
ρ΅/
K
"
ᎠK
/K̶
΅K
΅K
ρ΅K̭
ι̶̶̭̭̭̭̭̭̭̭
ښ
̭
ρ
ρ̭
ښ
ρ
ι
ρ
ښ̭̭
5
K
В
΅
͚
:
5
+
=
Ͱ
K
0
ጓ
=
Ͱ
/
图１
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５０
第１１章整式的乘除
出了一个“开方作法本源图”，如图１所示，并指明：“开方作法本源图出自
《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．
“贾宪三角”中还蕴含了许多数字的规律．你也许已经发现，这个“三角形”
的两条斜的“边”都是由数字１组成的，而其他数都等于它“肩上”的两个数的
和．按此规律，这个数字三角形可以写到任意层．这样一种（犪＋犫）狀的展开式
中各项系数的规律，在西方数学史上被称为“帕斯卡三角形”．帕斯卡（Ｂｌａｉｓｅ
Ｐａｓｃａｌ，１６２３—１６６２）是法国数学家，他在１６５４年所著的书中给出了类似于
“贾宪三角”的数字三角形表．
仔细观察，你也许还会发现“贾宪三角”中数字的其他规律．
整式除以整式———长除法
类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算．其步
骤是：
（１）把被除式和除式按同一字母降幂排列（若有缺项用零补齐）；
（２）用竖式进行运算；
（３）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．
例如，求（５狓４＋３狓３＋２狓－４）÷（狓２＋１）的商式和余式，可以计算：
ᅌY
ᅉᅂᅊY ᅄᅌ
Y
ᅉᅂᅇY ᅂᅈ
ᅌY
ᅋᅂᅊY
ᅊᅂᅇY
ᅉᅂᅉY ᅄᅋ
ᅌY
ᅋᅂᅇY
ᅊᅂᅌY
ᅉ
ᅊY
ᅊᅄᅌY
ᅉᅂᅉY
ᅊY
ᅊᅂᅇY
ᅉᅂᅊY
ᅄᅌY
ᅉᅄY ᅄᅋ
ᅄᅌY
ᅉᅂᅇY ᅄᅌ
ᅄY ᅂᅈ
因此，商式是５狓２＋３狓－５，余式是－狓＋１．只写出系数，上面的计算也
可以表示为
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阅读材料５１
ᅌᅂᅊᅄᅌ
ᅈᅂᅇᅂᅈ
ᅌᅂᅊᅂᅇᅂᅉᅄᅋ
ᅌᅂᅇᅂᅌ
ᅊᅄᅌᅂᅉ
ᅊᅂᅇᅂᅊ
ᅄᅌᅄᅈᅄᅋ
ᅄᅌᅂᅇᅄᅌ
ᅄᅈᅂᅈ
思考：已知狓４＋狓３＋犪狓２＋狓＋犫除以狓２＋狓＋１的余式为零，你能根据
以上的方法分别求出犪、犫的值吗？
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５２
第１１章整式的乘除
１．基本概念：幂，底数，指数．
２．正整数指数幂与零指数幂的运算：
（１）犪犿·犪狀＝犪犿＋狀（犿、狀是正整数）．
（２）（犪犿）狀＝犪犿狀（犿、狀是正整数）．
（３）（犪犫）狀＝犪狀犫狀（狀是正整数）．
（４）犪犿÷犪狀＝犪犿－狀（犿、狀是正整数且犿＞狀，犪≠０）．
（５）犪０＝１（犪≠０）．
３．整式的乘法与除法：
（１）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘．
（２）整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式中的每一项，
再把所得的积相加．
（３）两个单项式相除，把系数和同底数幂分别相除．
（４）整式除以单项式，先用整式的每一项除以单项式，再把所得的商
相加．
４．乘法公式：
（１）平方差公式：（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２．
（２）完全平方公式：（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２，（犪－犫）２＝犪２－２犪犫＋犫２．
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复习题５３
１．对于（－２）３与－２３，下列叙述中正确的是
（ ）
Ａ．底数相同，运算结果相同； Ｂ．底数相同，运算结果不同；
Ｃ．底数不同，运算结果相同； Ｄ．底数不同，运算结果不同．
２．对于自然数狀，等式（－犪）狀＝－犪狀（犪≠０）成立的条件是
（ ）
Ａ．狀是正奇数；
Ｂ．狀是正偶数；
Ｃ．狀是零；
Ｄ．狀是正整数．
３．下列式子一定成立的是
（ ）
Ａ．狓２＋狓２＝２狓４；
Ｂ．（狓２）３＝狓５；
Ｃ．（－狓５）２＝（－狓２）５；
Ｄ．（－狓５）（－狓）２＝－狓７．
４．计算：
（１）２狓２（－２３狓狔３）
３；
（２）（３狓－２狔）（２狓－３狔）；
（３）（３狓＋１２狔）
２（３狓－１２狔）
２；
（４）（３犪犫２）３÷（－２犪犫）２；
（５）（－狓＋５狔）（－狓－５狔）（狓２＋２５狔２）；
（６）（２犪３狓２－犪２狓２）÷（－２３犪２狓２）．
５．简便计算：
（１）（９９１２）
２；
（２）１９９１５×２００４５．
６．已知关于狓的整式狓＋狋与３狓＋４的积中不含狓的一次项，求狋的值．
７．已知（犪＋犫）２＝９，（犪－犫）２＝１．求（犪＋１）（犫＋１）（犪－１）（犫－１）的值．
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第１２章
因式分解
因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法运算
有着密切的联系，也是进一步学习分式和一元二次方程的基础．
本章将从整式乘法的逆向思维出发，理解因式分解的意义，研
究如何把一个含多个项的整式分解成几个整式的乘积．在探索因式
分解方法的过程中，认识因式分解与整式乘法之间的关系，体会数
学知识之间的联系和逆向思考问题的方法．通过分析如何将一个含
多个项的整式因式分解，掌握因式分解的常用方法，并发展观察、
分析和应用的能力．
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１２．１ 因式分解的意义５５
我们已经学习了整式的乘法，可以将几个整式的乘积化为一个整式．如：
犿（犪＋犫＋犮）＝犿犪＋犿犫＋犿犮；
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２；
（犪－犫）２＝犪２－２犪犫＋犫２．
反过来，有时候我们需要将一个整式化为几个整式的积．
你能把下列整式化为几个整式的积吗？
（１）犿犪＋犿犫＋犿犮＝ ；
（２）犪２－犫２＝ ；
（３）犪２－２犪犫＋犫２＝ ．
几个整式相乘，其中每个整式都称为积的因式．把含多个项的整式化为几
个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解．如：
狓２＋狓＝狓（狓＋１）；
狓４－１＝（狓２＋１）（狓２－１）＝（狓２＋１）（狓＋１）（狓－１）．
其中，狓、狓＋１是狓２＋狓的因式，狓２＋１、狓＋１、狓－１是狓４－１的因式．
因式分解一般要分解到每个因式都不能再分解为止，如在狓４－１因式分
解的过程中，因式狓２＋１不能继续因式分解，狓２－１还能继续因式分解为
（狓＋１）（狓－１）．
例１ 下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？
（１）（狓－２）（狓＋３）＝狓２＋狓－６；
（２）６犿３＋９犿＝３犿（２犿２＋３）；
（３）４狔２－４狔＋１＝（２狔－１）２；
（４）犪２－犫２＋３＝（犪＋犫）（犪－犫）＋３．
１２．１因式分解的意义
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５６
第１２章因式分解
分析 （１）等式（狓－２）（狓＋３）＝狓２＋狓－６从左到右的变形是整式的乘法
运算；
（２）等式６犿３＋９犿＝３犿（２犿２＋３）从左到右的变形可看作将６犿３＋９犿化
为３犿与２犿２＋３的乘积，是因式分解；
（３）等式４狔２－４狔＋１＝（２狔－１）２从左到右的变形可看作将４狔２－４狔＋１化
为２狔－１与２狔－１的乘积，是因式分解；
（４）等式犪２－犫２＋３＝（犪＋犫）（犪－犫）＋３的右边不是几个整式的积，而是
（犪＋犫）（犪－犫）与３的和，不是因式分解．
解 （１）不是．
（２）是．
（３）是．
（４）不是．
因式分解和整式乘法有什么关系？试举例说明．
课堂练习１２．１
１．（口答）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解？
（１）１＋２狓＋３狓２＝１＋狓（２＋３狓）；
（２）３狓（狓＋狔）＝３狓２＋３狓狔；
（３）６犪２犫＋３犪犫２－犪犫＝犪犫（６犪＋３犫－１）；
（４）犿２－９狀２＝（犿＋３狀）（犿－３狀）．
２．利用整式的乘法计算下列各式：
（１）３狓（狓＋２）＝ ；
（２）（５狓＋１）（５狓－１）＝ ；
（３）（犪－４）２＝ ；
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１２．１ 因式分解的意义５７
（４）（犿＋１）（犿－６）＝ ．
根据上述算式，完成下列因式分解：
（５）３狓２＋６狓＝ ；
（６）２５狓２－１＝ ；
（７）犪２－８犪＋１６＝ ；
（８）犿２－５犿－６＝ ．
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５８
第１２章因式分解
观察犿犪＋犿犫＋犿犮的每一项，你有什么发现？
我们把含多个项的整式中的每一项都含有的公共的因式叫作这个整式各
项的公因式．
由犿（犪＋犫＋犮）＝犿犪＋犿犫＋犿犮，可得
犿犪＋犿犫＋犿犮＝犿（犪＋犫＋犮）．
这就将犿犪＋犿犫＋犿犮分解成两个整式的积．其中，犿是犿犪＋犿犫＋犿犮各项的
公因式．
如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，那么可以把这个公因
式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式的积，这种因式分解
的方法叫作提取公因式法．
如何将６狓狔２＋９狓狔因式分解？
先找出６狓狔２＋９狓狔各项的公因式，再用提取公因式法因式分解．这个整
式有两项６狓狔２与９狓狔，这两项的系数６与９有最大公因数３，这两项的字母
部分狓狔２与狓狔都含有字母狓和狔，且狓和狔的最低次数都是１，因此可提取
公因式３狓狔，得
６狓狔２＋９狓狔＝３狓狔·２狔＋３狓狔·３＝３狓狔（２狔＋３）．
如果含多个项的整式的各项的系数都是整数，提取公因式时，通常提取
各项系数的最大公因数．
例１ 因式分解：
（１）６犪２－８犪３；
（２）１５犪２犫＋３犪犫；
（３）８狓２狔＋４狓狔２－１２狓狔；
（４）－４狓２狔＋６狓狔２－２狓狔．
１２．２因式分解的方法
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１２．２ 因式分解的方法５９
解 （１）６犪２－８犪３＝２犪２·３－２犪２·４犪＝２犪２（３－４犪）．
（２）１５犪２犫＋３犪犫＝３犪犫·５犪＋３犪犫·１＝３犪犫（５犪＋１）．
（３）８狓２狔＋４狓狔２－１２狓狔＝４狓狔·２狓＋４狓狔·狔－４狓狔·３
＝４狓狔（２狓＋狔－３）．
（４）－４狓２狔＋６狓狔２－２狓狔＝－（４狓２狔－６狓狔２＋２狓狔）
＝－（２狓狔·２狓－２狓狔·３狔＋２狓狔·１）
＝－２狓狔（２狓－３狔＋１）．
例２ 因式分解：
（１）犪（狓＋狔）＋犫（狓＋狔）；
（２）狓（犪－犫）２－狔（犫－犪）３．
（１）中，将狓＋狔看
作一个整体，作为公因
式提取．
解 （１）犪（狓＋狔）＋犫（狓＋狔）
＝（狓＋狔）（犪＋犫）．
（２）狓（犪－犫）２－狔（犫－犪）３
＝狓（犪－犫）２＋狔（犪－犫）３
＝（犪－犫）２（狓＋犪狔－犫狔）．
课堂练习１２．２（１）
１．因式分解：
（１）２犪狓３＋６犪２狓２；
（２）３狓２狔＋６狓狔２狕－３狓狔；
（３）－５犪犫犮＋１０犪犫＋１５犪； （４）２７犪２犫犮－９犪犫２犮＋３犪犫犮２．
２．填空题：
（１）２犿（狔－狓）２＝（ ）（狓－狔）２；
（２）２犿（狔－狓）３＝（ ）（狓－狔）３．
３．因式分解：
（１）３犪（犿－狀）－２犫（犿－狀）；
（２）２（狓－狔）２－（狔－狓）．
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６０
第１２章因式分解
犪２－犫２有什么特征？
由平方差公式（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２，可得
犪２－犫２＝（犪＋犫）（犪－犫）．
这就将犪２－犫２分解成两个整式的积．
平方差公式（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２从左到右的变形是整式的乘法，从右
到左的变形是因式分解．如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用
平方差公式把它因式分解．
例３ 因式分解：
（１）１－９狓２；
（２）－４狓２＋狔２；
（３）９１６犪２－犫２；
（４）（犪＋犫）２－（犪＋犮）２．
解 （１）１－９狓２
＝１－（３狓）２
＝（１＋３狓）（１－３狓）．
（２）－４狓２＋狔２
＝狔２－（２狓）２
＝（狔＋２狓）（狔－２狓）．
（３）９１６犪２－犫２
＝（３４犪）
２－犫２
＝（３４犪＋犫）（３４犪－犫）．
（４）（犪＋犫）２－（犪＋犮）２
＝［（犪＋犫）＋（犪＋犮）］［（犪＋犫）－（犪＋犮）］
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１２．２ 因式分解的方法６１
＝（２犪＋犫＋犮）（犫－犮）．
例４ 因式分解：
（１）３狓３－１２狓；
当整式的各项含有
公因式时，通常先提取
公因式，然后再考虑是
否能进一步因式分解．
（２）狓４－８１．
解 （１）３狓３－１２狓
＝３狓（狓２－４）
＝３狓（狓＋２）（狓－２）．
因式分解要分解到
每个因式都不能再分解
为止．如狓２－９还能分
解为（狓＋３）（狓－３）．
（２）狓４－８１
＝（狓２）２－９２
＝（狓２＋９）（狓２－９）
＝（狓２＋９）（狓＋３）（狓－３）．
课堂练习１２．２（２）
O r
R
（第３题）
１．（口答）下列整式能用平方差公式因式分解吗？为什么？
（１）４＋犪２；
（２）４－犪２；
（３）－４＋犪２；
（４）－４－犪２．
２．因式分解：
（１）狓２－１６；
（２）狓２－４２５狔２；
（３）９犪２犫２－８１犪２；
（４）犪２（犪－犫）＋犫２（犫－犪）．
３．如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半
径分别为犚和狉．
（１）用含犚和狉的代数式表示圆环的面积；
（２）如果犚＝５．５，狉＝１．５，求圆环的面积（π取
３．１４）．
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６２
第１２章因式分解
犪２＋２犪犫＋犫２、犪２－２犪犫＋犫２有什么特征？
由完全平方公式（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２，（犪－犫）２＝犪２－２犪犫＋犫２，可得
犪２＋２犪犫＋犫２＝（犪＋犫）２，
犪２－２犪犫＋犫２＝（犪－犫）２．
这就将犪２＋２犪犫＋犫２与犪２－２犪犫＋犫２分别分解成两个相同的整式的积．
完全平方公式（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋犫２，（犪－犫）２＝犪２－２犪犫＋犫２从左到右
的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解．如果一个整式符合完全平
方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解．
例５ 因式分解：
（１）９狓２－１２狓＋４；
（２）４狓２＋２０狓＋２５；
（３）－犪２＋４犪犫－４犫２；
（４）狓２狔２－２３狓狔＋１９．
分析 用完全平方公式因式分解时，关键在于判断这个整式是否符合完
全平方公式的特征．例如，在（１）中，９狓２＝（３狓）２，４＝２２，－１２狓＝－２·
（３狓）·２，所以９狓２－１２狓＋４可以用该方法因式分解，即
９狓２－１２狓＋４＝（３狓）２－２·（３狓）·２＋２２＝（３狓－２）２．
犪２－２犪犫＋犫２＝（犪－犫）２
解 （１）９狓２－１２狓＋４
＝（３狓）２－２·（３狓）·２＋２２
＝（３狓－２）２．
（２）４狓２＋２０狓＋２５
＝（２狓）２＋２·（２狓）·５＋５２
＝（２狓＋５）２．
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１２．２ 因式分解的方法６３
（３）－犪２＋４犪犫－４犫２
＝－（犪２－４犪犫＋４犫２）
＝－［犪２－２·犪·（２犫）＋（２犫）２］
＝－（犪－２犫）２．
（４）狓２狔２－２３狓狔＋１９
＝（狓狔）２－２·（狓狔）·１３＋（１３）
２
＝（狓狔－１３）
２．
例６ 因式分解：
（１）２犪狓２－１２犪狓狔＋１８犪狔２；
（２）（狓＋狔）２＋８（狓＋狔）＋１６．
解 （１）２犪狓２－１２犪狓狔＋１８犪狔２
＝２犪（狓２－６狓狔＋９狔２）
＝２犪（狓－３狔）２．
（２）（狓＋狔）２＋８（狓＋狔）＋１６
＝（狓＋狔）２＋２·（狓＋狔）·４＋４２
＝（狓＋狔＋４）２．
根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将
具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解
的方法叫作公式法．
课堂练习１２．２（３）
１．（口答）下列整式能用完全平方公式因式分解吗？为什么？
（１）犪２＋４犪＋１６；
（２）４狓２＋４狓－１；
（３）９犫２－２４犫＋１６；
（４）－狓２－１０狓－２５．
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６４
第１２章因式分解
２．因式分解：
（１）４犪２＋１２犪＋９；
（２）犿２＋犿＋１４；
（３）狓２－１６狓狔＋６４狔２；
（４）－犿２狀２＋８犿狀－１６．
３．因式分解：
（１）８犪狓２＋１６犪２狓＋８犪３；
（２）（２狓－狔）２－１０（２狓－狔）＋２５．
关于狓的整式
狓２＋（犪＋犫）狓＋犪犫
有什么特征？
狓２＋（犪＋犫）狓＋犪犫是一个关于狓的二次三项式，其中二次项系数为１，常
数项是两个数犪与犫的积，而一次项系数恰好是这两个数犪与犫的和．
由（狓＋犪）（狓＋犫）＝狓２＋（犪＋犫）狓＋犪犫，可得
狓２＋（犪＋犫）狓＋犪犫＝（狓＋犪）（狓＋犫）．
这就将狓２＋（犪＋犫）狓＋犪犫分解成两个整式的积．
如果关于狓的二次三项式狓２＋狆狓＋狇的常数项狇能分解成两个因数犪与
犫的积，且一次项系数狆又恰好等于犪＋犫，那么狓２＋狆狓＋狇就可以进行如下
的因式分解：
狓２＋狆狓＋狇＝狓２＋（犪＋犫）狓＋犪犫＝（狓＋犪）（狓＋犫）．
如何将二次三项式狓２＋３狓＋２因式分解？
观察狓２＋３狓＋２的系数，它的二次项系数是１，常数项２＝１×２，一次项
系数３＝１＋２，所以狓２＋３狓＋２＝狓２＋（１＋２）狓＋１×２＝（狓＋１）（狓＋２）．
上述将狓２＋３狓＋２因式分解的过程，可以形象地表示为
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１２．２ 因式分解的方法６５
１ １
１ ２
先分解二次项系数１＝１×１，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解
常数项２＝１×２，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘并求
和，看它是否等于一次项系数３．
一般地，如果二次三项式
狓２＋狆狓＋狇＝狓２＋（犪＋犫）狓＋犪犫＝（狓＋犪）（狓＋犫），
那么这样的因式分解的过程可以表示为
１ 犪
１ 犫
像这样，通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解的方法叫作十字相
乘法．
用十字相乘法将关于狓的二次三项式狓２＋狆狓＋狇因式分解，关键在于是
否能将常数项狇分解成两个因数犪与犫的积，且犪与犫的和又恰好等于一次项
系数狆．
常数项的因数分解
往往有多种情况，此时
选择的关键在于判断哪
两个因数的和恰好等于
一次项的系数．
例如，用十字相乘法将二次三项式狓２－５狓＋６
因式分解，常数项６＝１×６＝２×３＝（－１）×（－６）
＝（－２）×（－３），因为（－２）＋（－３）＝－５，所以选
择６＝（－２）×（－３），即
１ －２
１ －３
所以狓２－５狓＋６＝［狓＋（－２）］［狓＋（－３）］＝（狓－２）（狓－３）．
例７ 因式分解：
（１）狓２＋７狓＋１２；
（２）狓２－８狓＋１２；
（３）狓２＋４狓－１２；
（４）狓２－１１狓－１２．
解 （１）狓２＋７狓＋１２
＝（狓＋３）（狓＋４）． １ ３
１ ４
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６６
第１２章因式分解
（２）狓２－８狓＋１２
＝（狓－６）（狓－２）．
１ －６
１ －２
（３）狓２＋４狓－１２
＝（狓－２）（狓＋６）．
１ －２
１ ６
（４）狓２－１１狓－１２
＝（狓＋１）（狓－１２）．
１
１
１ －１２
如何将狓２＋７狓狔＋１２狔２因式分解？
类比二次三项式狓２＋７狓＋１２的因式分解，同样考虑十字相乘法．将狓２＋
７狓狔＋１２狔２看作关于狓的二次三项式，它的二次项系数是１，常数项１２狔２＝
３狔·４狔，一次项系数７狔＝３狔＋４狔．于是有
１ ３狔
１ ４狔
因此狓２＋７狓狔＋１２狔２＝（狓＋３狔）（狓＋４狔）．
例８ 因式分解：
（１）狓２＋６狓狔＋８狔２；
（２）狓２＋５狓狔－６狔２．
解 （１）狓２＋６狓狔＋８狔２
＝（狓＋２狔）（狓＋４狔）． １ ２狔
１ ４狔
（２）狓２＋５狓狔－６狔２
＝（狓－狔）（狓＋６狔）． １ －狔
１ ６狔
课堂练习１２．２（４）
１．因式分解：
（１）狓２＋３狓－４；
（２）狓２－５狓－２４；
（３）狓２＋１２狓＋２７；
（４）狓２－９狓＋１４．
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１２．２ 因式分解的方法６７
２．因式分解：
（１）狓２＋狓狔－６狔２；
（２）狓２－３狓狔－１０狔２．
如何将犪狓＋犪狔＋犫狓＋犫狔因式分解？
观察犪狓＋犪狔＋犫狓＋犫狔的特征，它的前两项、后两项分别有公因式犪与
犫，如果把它的项分成犪狓＋犪狔与犫狓＋犫狔两组，从前一组中提取公因式犪，从
后一组中提取公因式犫，那么得到的另一个因式都是狓＋狔，就可以继续提取
公因式把这个整式因式分解，即
观察犪狓＋犪狔＋
犫狓＋犫狔的特征，你还
有其他的分组方法因式
分解吗？
犪狓＋犪狔＋犫狓＋犫狔
＝（犪狓＋犪狔）＋（犫狓＋犫狔）
＝犪（狓＋狔）＋犫（狓＋狔）
＝（狓＋狔）（犪＋犫）．
例９ 因式分解：
（１）犪犫－犪犮＋犫－犮；
（２）３狓２狔＋６狓狔－４狓－８．
解 （１）犪犫－犪犮＋犫－犮
＝（犪犫－犪犮）＋（犫－犮）
＝犪（犫－犮）＋（犫－犮）
＝（犪＋１）（犫－犮）．
（２）３狓２狔＋６狓狔－４狓－８
＝（３狓２狔＋６狓狔）－（４狓＋８）
＝３狓狔（狓＋２）－４（狓＋２）
＝（３狓狔－４）（狓＋２）．
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６８
第１２章因式分解
还有其他的分组方法可以对例９中的整式因式分解吗？如果有，
那么因式分解的结果是否相同？
如何将犪２＋２犪犫＋犫２－１因式分解？
观察犪２＋２犪犫＋犫２－１的特征，它的前面三项符合完全平方公式的特征，
即犪２＋２犪犫＋犫２＝（犪＋犫）２，如果把它的项分成犪２＋２犪犫＋犫２与－１两组，就可
以继续用公式法因式分解，即
犪２＋２犪犫＋犫２－１
＝（犪２＋２犪犫＋犫２）－１
＝（犪＋犫）２－１２
＝（犪＋犫＋１）（犪＋犫－１）．
例１０ 因式分解：
（１）狓２－４狓狔＋４狔２－４；
（２）９犪２－３犪＋犫－犫２．
分析 狓２－４狓狔＋４狔２－４的前面三项符合完全平方公式的特征，分组后
可以用公式法因式分解；将９犪２－３犪＋犫－犫２的第一项与第四项分为一组，第
二项与第三项分为一组，第一组用公式法因式分解后与第二组有公因式３犪－犫，
可以用提取公因式法因式分解．
解 （１）狓２－４狓狔＋４狔２－４
＝（狓２－４狓狔＋４狔２）－４
＝（狓－２狔）２－４
＝（狓－２狔＋２）（狓－２狔－２）．
（２）９犪２－３犪＋犫－犫２
＝（９犪２－犫２）－（３犪－犫）
＝（３犪＋犫）（３犪－犫）－（３犪－犫）
＝（３犪－犫）（３犪＋犫－１）．
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１２．２ 因式分解的方法６９
观察整式的特征，通过适当分组，我们可以将某些整式因式分解．
课堂练习１２．２（５）
１．因式分解：
（１）犪２－犪犫－２犪＋２犫； （２）３犪－９犫＋２犪犮－６犫犮；
（３）狓２＋３狔－狓狔－３狓； （４）狓３＋２狓２狔－９狓－１８狔．
２．因式分解：
（１）狓２＋４狔２－１－４狓狔； （２）犪２－犫２－犮２＋２犫犮；
（３）狓２－２狓＋６狔－９狔２； （４）犪２＋２犪－犫２－２犫．
习题１２．１—１２．２
１．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由．
（１）犪２－２犪＋１＝犪（犪－２）＋１；
（２）（狓－１）（狓＋６）＝狓２＋５狓－６；
（３）狓３－狓＝狓（狓＋１）（狓－１）；
（４）犿＋４＝犿（１＋４犿）．
２．已知整式狓２－５狓＋犪因式分解的结果是（狓＋犫）２，求犪、犫的值．
３．因式分解：
（１）１２狓３狔狕－３０狓狔２；
（２）－４犪２犫＋６犪犫２－２犪犫；
（３）１５狆（狆＋狇）－１０狇（狆＋狇）；
（４）（犿－狀）（狆－狇）－（狀－犿）２（狇－狆）．
４．因式分解：
（１）１－２５犪２；
（２）（狓＋狔）２－４（狓－狔）２；
（３）犪２－１６犪＋６４；
（４）４狓２＋２０狓＋２５．
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７０
第１２章因式分解
５．因式分解：
（１）狓２－１５狓＋５４；
（２）犪２＋１２犪＋３２；
（３）狓３＋２狓２－２狓－４；
（４）１－犪２－犫２－２犪犫．
６．已知犪－犫＝２，犫＋犮＝－５．求犪２＋犪犮－犪犫－犫犮的值．
７．因式分解：
（１）狓（狓－狔）＋狔（狔－狓）－２（狔－狓）２；
（２）（狓２＋狔２）２－４狓２狔２；
（３）（犪－犫）３－４犪犫（犫－犪）；
（４）（狓２－２狓）２－６（狓２－２狓）＋９．
８．因式分解：
（１）犪３－犪２犫＋４犫－４犪；
（２）２狓２狔－６狓狔＋２狓２－６狓；
（３）犿２狀＋犿狀２＋２犿２－４犿；
（４）犪２－犫（犫＋４）－４．
９．如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用１张卡片①、６张
卡片②和９张卡片③无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形，求该正方形的
边长．
a
a
a
b
b
b
ŗ
Ř
ř
（第９题）
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内容提要７１
１．基本概念：因式，因式分解，公因式．
把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式
分解．
２．因式分解的方法：
（１）提取公因式法：如果含多个项的整式的各项含有非常数的公因式，
那么可以把这个公因式提取出来，从而将这个整式化为两个次数更低的整式
的积．
（２）公式法：根据常用的乘法公式将整式因式分解，如：
犪２－犫２＝（犪＋犫）（犪－犫）．
犪２＋２犪犫＋犫２＝（犪＋犫）２，犪２－２犪犫＋犫２＝（犪－犫）２．
（３）十字相乘法：通过适当地分解系数，把二次三项式因式分解：
狓２＋狆狓＋狇
＝狓２＋（犪＋犫）狓＋犪犫
＝（狓＋犪）（狓＋犫）．
１ 犪
１ 犫
其中，狆＝犪＋犫，狇＝犪犫．
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７２
第１２章因式分解
１．选择题：
（１）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
（ ）
Ａ．（狓－１）２＝狓２－２狓＋１；
Ｂ．犪２＋４犪＋１＝（犪＋２）２－３；
Ｃ．犪２－犫２＋犮２－犱２＝（犪＋犫）（犪－犫）＋（犮＋犱）（犮－犱）；
Ｄ．－１２狓２＋９狓狔＝－３狓（４狓－３狔）．
（２）下列因式分解正确的是
（ ）
Ａ．４犪２犫２－６犪犫２＋２犪犫＝２犪犫（２犪犫－３犫）；
Ｂ．－狓２－狓＋６＝狓２＋狓－６＝（狓＋３）（狓－２）；
Ｃ．狓２－狔２－２狔－１＝（狓＋狔＋１）（狓－狔－１）；
Ｄ．犪２＋犫２－２犪犫＝（犪＋犫）２．
（３）下列各式中，能用平方差公式因式分解的是
（ ）
Ａ．（－狓）２－狔２；
Ｂ．－狓２－狔２；
Ｃ．狓２＋狔２；
Ｄ．狓２＋（－狔）２．
（４）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是
（ ）
Ａ．犪２＋４犪－４；
Ｂ．犪２＋２犪＋４；
Ｃ．狓２－狓＋１４；
Ｄ．－狓２＋６狓狔＋９狔２．
２．因式分解：
（１）６犪２犫－１５犪犫２；
（２）１０狓狔２＋８狓狔－２狔；
（３）２狓（犪＋犫）－３狔（犪＋犫）；
（４）（犪＋犫）（狓－狔）－（犪－犫）（狔－狓）．
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复习题７３
３．因式分解：
（１）２５狓２－１６狔２；
（２）４犪２－１２犪＋９；
（３）１６狀３－９犿２狀；
（４）（狓－狔）２－２狋（狓－狔）＋狋２．
４．因式分解：
（１）狓２－１１狓＋１８；
（２）狓２－１０狓狔＋９狔２；
（３）狓２－狓狔＋狔狕－狓狕；
（４）犪２－４犫２－犮２＋４犫犮．
a
b
（第５题）
５．如图，在一块边长为犪ｍ的正方形空地的四角各
留出一块边长为犫ｍ（犫＜犪２）的正方形，用来修建花坛，
其余地方均为草坪．
（１）用含犪、犫的代数式表示草坪的面积犛；
（２）当犪＝１５．２，犫＝２．６时，利用因式分解计算此时
草坪的面积．
６．填空题：
（１）如果２狓２＋狆狓＋狇因式分解的结果为（狓＋３）（２狓－１），那么
狆＝ ，狇＝ ；
（２）如果狓－３狔＝５，狓２－９狔２＝３５，那么狓＋３狔＝ ；
（３）如果犪＋犫＝－１，那么１２犪２＋犪犫＋１２犫２的值为 ．
７．因式分解：
（１）狓－１＋狓２（１－狓）；
（２）狓３＋２狓２狔－９狓－１８狔；
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７４
第１２章因式分解
（３）（狓２＋５狓）２＋５（狓２＋５狓）－６；
（４）（狓－狔）２－２（狓－狔）－犪２＋１．
８．（１）如果关于狓的整式狓２＋狆狓＋６可以因式分解为（狓＋犪）（狓＋犫），
其中犪、犫均为整数，那么满足条件的狆的值有多少个？为什么？
（２）如果关于狓的整式狓２＋６狓＋狇可以因式分解为（狓＋犮）（狓＋犱），其中
犮、犱均为整数，那么满足条件的狇的值有多少个？为什么？
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第１３章
分 式
分式是作为“分子”和“分母”的两个整式相除所得的代数式．分式
与整式的关系可以类比分数与整数．
分式的基本性质与运算法则可以类比分数得到．需要注意的是，
对分式的变形及运算，必须在分式有意义的前提下进行，即字母的取
值不能使分母为零．本章还将正整数指数幂推广到整数指数幂，并把
分式与负整数指数幂有机地联系起来．
可化为一元一次方程的分式方程是一类特殊的方程．通过解决有
关的问题，可以逐步理解分式方程的概念、解法以及验根的步骤和
意义．
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７６
第１３章分式
１．分式
两个整数相除，可以用分数表示，如：５÷３＝５３．两个整式相除，应该如
何表示呢？
问题
（１）长方形的面积是犛，长是犪，宽是多少？
（２）走一段１０ｋｍ的路，骑车需用狋ｈ，步行需用的时间
是骑车的２倍还多１ｈ．步行的速度是多少？
（３）一名篮球运动员在一场比赛中投进狓个罚球（每１球
得１分）、狔个２分球、狕个３分球．这名篮球运动员的３分球
得分占其总得分的几分之几？
上述问题的结果可以依次表示为犛犪、１０
２狋＋１和
３狕
狓＋２狔＋３狕．一般地，
对于两个整式犃、犅（犅是非零整式），犃÷犅可以表示为犃犅的形式，犃犅叫
作分式，也称为有理式，其中犃称为分子，犅称为分母．本章主要讨论分
母中含有字母的分式．
用数值代替分式中的字母，计算得出的代数式的值就是分式的值．
例１ 当狓＝－３，狔＝２时，分别计算下列分式的值：
（１）３狓－２狔
狓；
（２）狔＋６
狓＋７．
解 当狓＝－３，狔＝２时，
（１）３狓－２狔
狓＝３×（－３）－２×２
－３
＝－１３
－３＝１３３．
（２）狔＋６
狓＋７＝２＋６
－３＋７＝８４＝２．
１３．１分式及其性质
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１３．１ 分式及其性质７７
求分式狔－３
狓＋７的值时，狓能取－７吗？
当狓＝－７时，分母狓＋７＝０，所以狓不能取－７．
一般地，分母的值为０时，分式无意义；分母的值不为０时，分式有
意义．例２ 当狓取什么值时，下列分式有意义？
（１）狓２＋１
２狓；
（２）狓＋５
狓＋２；
（３）２狓
狓２＋１．
解 （１）由２狓＝０，得狓＝０．所以狓≠０时，分式狓２＋１
２狓有意义．
（２）由狓＋２＝０，得狓＝－２．所以狓≠－２时，分式狓＋５
狓＋２有意义．
（３）因为狓２＋１≠０，所以狓取一切数时，分式２狓
狓２＋１有意义．
例３ 当狓取什么值时，分式２狓＋１
３狓－１的值为０？
分析 在分式中，只有当分子的值为０且分母的值不为０时，分式的值才
为０．
解 由分子２狓＋１＝０，得狓＝－１２．
当狓＝－１２时，分母３狓－１＝３×（－１２）－１＝－５２≠０．所以，当狓＝
－１２时，分式２狓＋１
３狓－１的值为０．
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７８
第１３章分式
课堂练习１３．１（１）
１．将下列式子表示为分式：
（１）３÷狓；
（２）２犪狓÷犫狔；
（３）（狓２＋１）÷狓；
（４）２狓÷（３狓＋５）．
２．当狓满足什么条件时，下列分式有意义？分式的值为０？
（１）１－狓
１＋２狓；
（２）３狓
狓＋２．
３．当狓＝－１，狔＝－４时，计算下列分式的值：
（１）狔狓；
（２）狓－狔
狓＋狔．
２．分式的基本性质
在分数中，有
５８＝５×３
８×３，９２４＝９÷３
２４÷３．
这是分数的基本性质：分数的分子和分母乘（或除以）同一个不为０的数，分
数的值不变．用字母表示为
犪犫＝犪·犿
犫·犿（犿≠０），犪犫＝犪÷狀
犫÷狀（狀≠０）．
类似地，分式也有下面的基本性质：
分式的分子和分母乘（或除以）同一个整式，当该整式的值不为０时，
分式的值不变，即
犃犅＝犃·犕
犅·犕（犕≠０），犃犅＝犃÷犖
犅÷犖（犖≠０）．
例如：
对任意数狓，３５＝３（狓２＋１）
５（狓２＋１）；
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１３．１ 分式及其性质７９
当３狓≠０时，３５＝３×３狓
５×３狓＝９狓
１５狓；
当２狓狔≠０时，－６狓狔２
１０狓２狔＝－６狓狔２÷２狓狔
１０狓２狔÷２狓狔＝－３狔５狓．
２狓狔是分式－６狓狔２
１０狓２狔分子、分母的一个公因式，运用分式的基本性质，可
以把分子、分母中的２狓狔约去．像这样，把一个分式的分子与分母中的公因
式约去的过程，叫作约分．
如无特殊说明，本
章出现的分式的变形与
运算，总是在分式有意
义的前提下进行．
当２狓狔＝０时，－６狓狔２
１０狓２狔无意义，约分无法
进行．例４ 约分：
（１）６狓２狔
９狓狔２；
（２）３５（狓－狔）２
４５（狓－狔）３；
（３）
狓＋２
（狓＋２）（狓－２）．
解 （１）６狓２狔
９狓狔２＝２狓·（３狓狔）
３狔·（３狓狔）＝２狓３狔．
（２）３５（狓－狔）２
４５（狓－狔）３＝７×５（狓－狔）２
９（狓－狔）·５（狓－狔）２＝７
９（狓－狔）．
（３）
狓＋２
（狓＋２）（狓－２）＝１
狓－２．
分式２狓３狔、７
９（狓－狔）、１
狓－２的分子与分母没有一次及以上的公因式，这样的
分式叫作最简分式．６狓９狔与２狓３狔都是最简分式，习惯上，在结果中将６狓９狔化为２狓３狔．
约分可以化简分式．如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约
去相同因式．有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分．分式的约分一般
要使结果成为最简分式．
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８０
第１３章分式
例５ 化简：
（１）狓－２
狓２－４狓＋４；
（２）狓２－狓－６
狓２－９；
（３）１５犫－５犪
２犪－６犫．
解 （１）狓－２
狓２－４狓＋４＝狓－２
（狓－２）２＝１
狓－２．
（２）狓２－狓－６
狓２－９＝（狓－３）（狓＋２）
（狓－３）（狓＋３）＝狓＋２
狓＋３．
（３）１５犫－５犪
２犪－６犫＝５（３犫－犪）
２（犪－３犫）＝－５（犪－３犫）
２（犪－３犫）＝－５２．
课堂练习１３．１（２）
１．下列分式中，哪些是最简分式？
６犪犫
５犪２、３（犪２－犫２）
犪＋犫、狓＋１
２狓＋１、狓－１
３狓－３．
２．化简：
（１）６犿２狀３
３犿狀；
（２）－２０狓
２５狓２；
（３）９犪犫
１２犪２；
（４）２（狓＋狔）２
狓＋狔．
３．化简：
（１）狓－５
１５－３狓；
（２）狓２－２狓
４－２狓；
（３）狓２＋５狓＋６
狓＋２；
（４）狓２－狓－２
狓２＋６狓＋５．
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１３．１ 分式及其性质８１
习题１３．１
１．将下列式子表示为分式：
（１）犪÷犫；
（２）３÷２犪犫；
（３）犪犫÷（犪＋犫）；
（４）（狓２＋狔２）÷２狓狔．
２．当狓满足什么条件时，下列分式有意义？分式的值为０？
（１）狓＋２
３狓；
（２）－狓＋５
３－狓； （３）狓－８
３＋狓２．
３．求下列各分式的值：
（１）狓２－狓＋１
狓２＋２狓＋１，其中狓＝３；
（２）２狓狔
狓２＋狔２，其中狓＝－１２，狔＝２．
４．化简：
（１）４犪２
１６犪４；
（２）－１８狓狔
２７狓２狔２；
（３）１２（狓＋狔）２
２０（狓＋狔）（狓＋２狔）．
５．化简：
（１）９狓－９
４－４狓； （２）狓２－１
狓２＋狓－２；
（３）狓２－４狓＋４
２狓－４．
６．甲、乙两人从一条公路的某处出发，同向而行，乙提前１ｈ出发．已知
甲的速度为犪ｋｍ／ｈ，乙的速度为犫ｋｍ／ｈ，犪＞犫．那么甲追上乙需要多少时
间？当犪＝６，犫＝５时，甲追上乙需要多少时间？
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８２
第１３章分式
１．分式的乘除
（１）类比４５×３２＝４×３
５×２，１６５×３４＝１６×３
５×４，如何计算狓２
５·３狓？
（２）类比４５÷３２５＝４５×２５３，４７÷３４９＝４７×４９３，如何计算４狓÷３狓２？
与分数的乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则如下：
两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母．
分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．
用式子表示为：
犃犅·犆犇＝犃·犆
犅·犇，犃犅÷犆犇＝犃犅·犇犆＝犃·犇
犅·犆．
例１ 计算：
（１）２犪２
３·犫４犪；
（２）３狔（狓＋３）
狓－３·２（狓－３）
９狔２．
解 （１）２犪２
３·犫４犪＝２犪２犫
３×４犪＝犪犫６．
（２）３狔（狓＋３）
狓－３·２（狓－３）
９狔２
＝６狔（狓＋３）（狓－３）
９狔２（狓－３）
＝２（狓＋３）
３狔．
１３．２分式的运算
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１３．２ 分式的运算８３
例２ 计算：
（１）（－５犿
狀）÷１０犿２
３狀；
（２）狓＋１
狓２＋２狓－３÷狓＋１
狓－１；
（３）２犪－犫
犪２－２犪犫＋犫２÷４犪２－犫２
犪犫２－犪２犫．
（１）中，除法能够
进行的前提是犿≠０且
狀≠０．在本章中做分式
除法时，总是默认除式
的值不为０．
解 （１）（－５犿
狀）÷１０犿２
３狀
＝（－５犿
狀）· ３狀
１０犿２
＝－１５犿狀
１０狀犿２
＝－３２犿．
（２）狓＋１
狓２＋２狓－３÷狓＋１
狓－１
＝
狓＋１
（狓＋３）（狓－１）÷狓＋１
狓－１
＝
狓＋１
（狓＋３）（狓－１）·狓－１
狓＋１
＝
（狓＋１）（狓－１）
（狓＋３）（狓－１）（狓＋１）
＝１
狓＋３．
（３）２犪－犫
犪２－２犪犫＋犫２÷４犪２－犫２
犪犫２－犪２犫
＝２犪－犫
（犪－犫）２÷（２犪－犫）（２犪＋犫）
犪犫（犫－犪）
＝２犪－犫
（犪－犫）２· 犪犫（犫－犪）
（２犪－犫）（２犪＋犫）
＝犪犫（２犪－犫）（犫－犪）
（犪－犫）２（２犪－犫）（２犪＋犫）
＝－
犪犫
（犪－犫）（２犪＋犫）．
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８４
第１３章分式
分式的运算结果一般要化简为最简分式．
h
r
图１３２１
例３ 如图１３２１，用一个半径为狉ｍ的半圆和一
个一边长度为犺ｍ的长方形，组成一扇窗．根据设计要
求，整扇窗的面积为４ｍ２．
（１）用含狉的代数式表示犺；
（２）当狉＝１时，求窗的高度（π取３．１４，结果精确
到０．０１ｍ）．
分析 窗的面积等于半圆的面积与长方形的面积之
和．窗的高度等于犺与狉的和．
解 （１）由１２π狉２＋２狉犺＝４，得
２狉犺＝４－１２π狉２．
从而犺＝１２狉（４－１２π狉２），因此
犺＝２狉－１４π狉．
（２）当狉＝１时，犺＝２１－１４×３．１４×１＝１．２１５（ｍ）．
犺＋狉＝１．２１５＋１＝２．２１５≈２．２２（ｍ）．
答：窗的高度约为２．２２ｍ．
课堂练习１３．２（１）
１．计算：
（１）２狓·狓４；
（２）３狓２狔
４·狔６狓；
（３）２
２狓＋１· １
２狓＋１．
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１３．２ 分式的运算８５
２．计算：
（１）狓２－４
狓＋１·２狓＋２
２－狓； （２）２狓＋１
狓÷６＋１２狓
５；
（３）狓２－５狓＋６
狓２＋３狓＋２÷狓－２
狓＋１．
２．分式的加减
（１）类比２５＋１５＝２＋１
５＝３５，如何计算２狓＋１狓？
（２）类比３４－１４＝３－１
４＝２４＝１２，如何计算３狓－１狓？
与同分母的分数加减法类似，同分母分式的加减法法则如下：
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
例４ 计算：
（１）狓
３狓－１＋３
３狓－１；
（２）２
狓２－４－狓
狓２－４；
（３）３狓２－１
狓２－３狓＋２－狓＋２
狓２－３狓＋２＋１－２狓２
狓２－３狓＋２．
解 （１）狓
３狓－１＋３
３狓－１＝狓＋３
３狓－１．
（２）２
狓２－４－狓
狓２－４
＝２－狓
狓２－４
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８６
第１３章分式
＝
２－狓
（狓－２）（狓＋２）
＝－
狓－２
（狓－２）（狓＋２）
＝－１
狓＋２．
（３）３狓２－１
狓２－３狓＋２－狓＋２
狓２－３狓＋２＋１－２狓２
狓２－３狓＋２
＝３狓２－１－（狓＋２）＋１－２狓２
狓２－３狓＋２
＝狓２－狓－２
狓２－３狓＋２
＝（狓＋１）（狓－２）
（狓－２）（狓－１）
＝狓＋１
狓－１．
（１）类比３４＋１６＝９１２＋２１２＝９＋２
１２＝１１１２，如何计算３２狓＋１３狓？
（２）类比２３－１９＝６９－１９＝６－１
９＝５９，如何计算２狓－１狓２？
异分母分数相加减，先将它们转化为分母相同的分数，再利用同分母分
数的加减法法则进行计算．异分母分式的加减与之类似．将几个异分母分式分
别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫作通分．例如
３２狓＋１３狓＝９６狓＋２６狓＝１１６狓，
其中６狓称为３２狓和１３狓的公分母．
异分母分式相加减，先将它们通分，然后进行加减．
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１３．２ 分式的运算８７
例５ 计算：
（１）狓２＋２狓；
（２）狓
狓２－狔２－１
狓＋狔；
（３）狔２狓＋狓狔－２狓－１
狔２．
分析 （１）狓２和２狓的公分母可取为２狓；
（２）因为狓２－狔２＝（狓＋狔）（狓－狔），所以狓
狓２－狔２和１
狓＋狔的公分母可取
为狓２－狔２；
（３）狔２狓、狓狔和２狓－１
狔２的公分母可取为２狓狔２．
解 （１）狓２＋２狓＝狓·狓
２狓＋２×２
２狓＝狓２＋４
２狓．
（２）狓
狓２－狔２－１
狓＋狔
＝狓
狓２－狔２－
狓－狔
（狓＋狔）（狓－狔）
＝狓－狓＋狔
狓２－狔２
＝狔
狓２－狔２．
（３）狔２狓＋狓狔－２狓－１
狔２
＝狔·狔２
２狓·狔２＋狓·２狓狔
狔·２狓狔－（２狓－１）·２狓
狔２·２狓
＝狔３＋２狓２狔－４狓２＋２狓
２狓狔２
．
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８８
第１３章分式
课堂练习１３．２（２）
１．计算：
（１）２３狓－１３狓；
（２）２犪＋１
犪犫－１犪犫；
（３）狓＋２狔
１－狓２＋狔－１
狓２－１－狔
１－狓２．
２．下列各式的计算正确吗？如果不正确，应该如何改正？
（１）犮－犱
犪－犮＋犱
犪＝犮－犱－犮＋犱
犪
＝０犪＝０；
（２）犫犪－犪犫＝犫－犪
犪犫；
（３）狓
狓－狔－狔
狓＋狔＝狓（狓＋狔）－狔（狓－狔）
（狓－狔）（狓＋狔）＝狓２－狔２
狓２－狔２＝１．
３．计算：
（１）２３狓－３４狓；
（２）２
狓－２－３
狓＋２－８
狓２－４；
（３）２狓
狓－１＋１
狓＋３－３狓＋５
狓２＋２狓－３．
３．整数指数幂
计算：犪５÷犪７（犪≠０）．
犪５÷犪７＝犪５
犪７＝１犪２．
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１３．２ 分式的运算８９
当犿、狀是正整数，且犿＞狀或犿＝狀时，有犪犿÷犪狀＝犪犿－狀（犪≠０）．如
果以上性质对犿＜狀仍然成立，那么犪５÷犪７＝犪５－７＝犪－２．这样会得到犪－２＝
１犪２．
由此，规定
犪－狀＝１犪狀（犪≠０，狀是正整数）．
到现在为止，在犪≠０时，犪狀中的指数狀可以是正整数、零或负整数．
当犿、狀是正整数且犿＜狀时，犪犿÷犪狀＝犪犿
犪狀＝犪犿÷犪犿
犪狀÷犪犿＝１
犪狀－犿＝犪犿－狀．
因此，
犪犿÷犪狀＝犪犿
犪狀＝犪犿－狀（犪≠０，犿、狀是正整数）．
例６ 计算：
（１）２６÷２８； （２）１０１０１÷１０１０４；
（３）５１２÷５１２．
解 （１）２６÷２８＝２６－８＝２－２＝１２２＝１４．
（２）１０１０１÷１０１０４＝１０１０１－１０４＝１０－３＝１１０３＝１
１０００．
（３）５１２÷５１２＝５１２－１２＝５０＝１．
我们知道２２×２５＝２２＋５，那么２２×２－５是否等于２２＋（－５）？
当犪≠０时，犪犿·犪狀＝犪犿＋狀是否对任意整数犿、狀都成立？
下面我们先讨论犿是任意整数且狀是负整数的情况：
（１）当犿＞０时，由－狀是正整数，得
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９０
第１３章分式
犪犿·犪狀＝犪犿· １犪－狀＝犪犿
犪－狀＝犪犿－（－狀）＝犪犿＋狀；
（２）当犿＝０时，
犪犿·犪狀＝１·犪狀＝犪０＋狀＝犪犿＋狀；
（３）当犿＜０时，由－犿、－狀是正整数，得
犪犿·犪狀＝１
犪－犿· １犪－狀＝１
犪－（犿＋狀）＝犪犿＋狀．
当犿是任意整数且狀是正整数或０时，也可以验证犪犿·犪狀＝犪犿＋狀是成
立的．
随着指数的取值范围由正整数扩大到全体整数，前面学过的正整数指数
幂的运算性质也推广到了整数指数幂．
当犪、犫不为０时，对于整数指数幂，有
（１）犪犿·犪狀＝犪犿＋狀；
（２）（犪犫）狀＝犪狀犫狀；
（３）（犪犿）狀＝犪犿狀．
当犪≠０时，对于任意整数犿、狀，是否有犪犿÷犪狀＝犪犿－狀？
例７ 计算：
（１）狓－５·狓２；
（２）（２－２）３；
（３）１００÷３－３；
（４）（３犪）３·（２犪）－２．
解 （１）狓－５·狓２＝狓（－５）＋２＝狓－３．
（２）（２－２）３＝２（－２）×３＝２－６＝１６４．
（３）１００÷３－３＝１÷１３３＝１×３３＝２７．
（４）（３犪）３·（２犪）－２＝３３·犪３·２－２·犪－２＝３３×２－２·犪３－２＝２７４犪．
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１３．２ 分式的运算９１
课堂练习１３．２（３）
１．计算：
（１）３５÷３８；
（２）狓４÷狓１０；
（３）２－５×２；
（４）３－２×３－１．
２．下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？
（１）２３×２４＝２３×４；
（２）犪４·犪－３＝犪４÷３；
（３）３－１＝－３；
（４）（－１０）０＝－１．
３．计算：
（１）［（－２）－３］２；
（２）［（－２）－３］－２；
（３）（２犪）－３·犪４．
习题１３．２
１．下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？
（１）犫犪÷犪＝犫；
（２）－狓
２犫·６犫狓２＝３犫狓；
（３）４狓３犪÷犪２狓＝２３；
（４）狓
狓－狔－狔
狔－狓＝１．
２．计算：
（１）４犪
３犫２犮·犫犮８犪２；
（２）２４狓２狔· ７
３６狓２狔２；
（３）２狓＋２
３狓２·２狓
狓＋１．
３．计算：
（１）狓＋２
狓－１·狓２－１
狓２－４；
（２）犪２－犫２
２犪犫· 犪２－２犪犫
犪２－犪犫－２犫２；
（３）（２犪３犫２）
２÷（－犪犫）
３；
（４）１２狓狔２
狓＋狔÷ ４狓狔
狓２－狔２．
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９２
第１３章分式
４．计算：
（１）２３狓＋５６狓；
（２）２狓－２狓－１
狓２；
（３）犮犪犫＋犪犫犮＋犫犮犪；
（４）３狓－３
狓＋１；
（５）狓
狓＋２－８
狓２－４；
（６）１
狓＋１＋１
狓－１＋狓２＋１
狓２－１．
５．将下列各式表示成只含有正整数指数幂的形式：
（１）－狓－２；
（２）２狓２狔－３；
（３）５狓狔（狓＋狔）－２；
（４）４－３犪－１犫２．
６．将下列各式表示成不含分母的形式：
（１）－２狓狔；
（２）２狓狔
狓＋２狔；
（３）犪＋犫
２犪２犫３；
（４）
２犪
狓２狔２（狓２＋狔２）．
７．计算：
（１）（－犪２）３·（－犪３）－２；
（２）（２犪犫２）２·（３犪犫）－３；
（３）（４犪犫）
４÷（犪２犫８）
－３；
（４）（２狓）－４＋（４狓２）－２；
（５）狓狔（狓－１＋狔－１）；
（６）狓－１－狔－１
狓－２－狔－２．
８．先化简，再求值：１
狓＋１－狓＋３
狓２－１÷狓２＋４狓＋３
狓２－２狓＋１，其中狓＝－２．
９．市场里有甲、乙两种苹果．甲种苹果每箱质量为犿ｋｇ，售价犪元；乙
种苹果每箱质量为狀ｋｇ，售价犫元．每千克甲种苹果的价格是乙种苹果的多
少倍？
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１３．３ 分式方程９３
问题 京沪高铁上海虹桥站至北京南站全程约１３１８ｋｍ．如果某趟列车
的平均速度提高１６，其从上海虹桥站至北京南站的行驶时间将缩短３７ｍｉｎ，
那么这趟列车提速前后的平均速度分别为多少（结果精确到１ｋｍ／ｈ）？
设火车提速前的平均速度是狓ｋｍ／ｈ，根据问题可以列出方程
１３１８
狓－１３１８
（１＋１６）狓＝３７６０．
像这样，分母里含有未知数的方程叫作分式方程．像一元一次方程等分母
里不含有未知数的方程称为整式方程．只含有一个未知数的方程的解称为这个
方程的根．
解分式方程的关键是把分母“去掉”，将其转化成整式方程．
分式方程１３１８
狓－１３１８
（１＋１６）狓＝３７６０的两边都乘公分母７６狓，得到一元一次
方程
１３１８×７６－１３１８＝３７６０×７６狓．
解得
狓≈３０５．
所以这趟列车提速前的平均速度约为３０５ｋｍ／ｈ，提速后的平均速度约为
３５６ｋｍ／ｈ．
观察分式方程１狓＋１
狓＋１＝１
狓２＋狓．
方程的两边都乘公分母狓（狓＋１），得到一元一次方程
（狓＋１）＋狓＝１．
解得
狓＝０．
１３．３分式方程
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９４
第１３章分式
由于狓＝０使１狓的分母的值为０，因此，０不是原分式方程的根，原分式
方程无解．
在分式方程变形时，有时会产生不符合原分式方程的根，这种根称为原
分式方程的增根，应舍去．检验一个数是否是方程的根的过程，称为验根．
在上面的求解中，狓＝０是分式方程１狓＋１
狓＋１＝１
狓２＋狓的增根．
解分式方程为什么会产生增根？
在分式方程两边同乘一个整式，由于这个整式的值可能为０，这就可能产
生增根．
本节我们研究可化为一元一次方程的分式方程．
例１ 解方程２狓－１
３狓＋１＝１２．
解 方程两边同乘２（３狓＋１），得
２（２狓－１）＝３狓＋１．
去括号，得
４狓－２＝３狓＋１．
移项，化简，得
狓＝３．
将狓＝３代入原方程检验，得
左边＝２×３－１
３×３＋１＝１２＝右边．
所以原方程的解是狓＝３．
例２ 解方程狓
狓－１＋１＝１
狓－１．
解 方程两边同乘狓－１，得狓＋（狓－１）＝１．
移项，化简，得
狓＝１．
将狓＝１代入原方程检验，此时方程中分式的分母的值为０，分式无意义．
所以狓＝１不是原方程的解．原方程无解．
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１３．３ 分式方程９５
你能归纳出解分式方程的一般步骤吗？
解分式方程的一般步骤是：
（１）去分母，转化成整式方程并求解；
（２）验根，并写出结论．
课堂练习１３．３（１）
１．下列方程中，哪些是分式方程？
（１）狓＋１狓＝３；
（２）１狓＝２；
（３）２狓－５
４＋狓３＝１２；
（４）２
狓－２＝１
狓－１．
２．解方程：
（１）２狓＝５；
（２）２
狓－２＝１狓；
（３）２狓＋１２狓＝１；
（４）４
狓－３＝１
３－狓＋２．
３．狓＝２是下列哪个分式方程的解？
（１）狓２＋１
狓＝５２； （２）狓－１狓＝５２； （３）１
狓－２＝４
狓＋２．
例３ 现有一包１５ｇ的果汁粉，用水冲泡成浓度为６％的饮料，需要加
多少水（浓度＝溶质质量
溶液质量）？
解 设需要加狓ｇ水．根据题意，得
１５
狓＋１５＝６％．
方程两边同乘１００（狓＋１５），得
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９６
第１３章分式
１５００＝６（狓＋１５）．
解得
狓＝２３５．
经检验，狓＝２３５是原方程的解．
答：需要加２３５ｇ水．
例４ 某商店促销，购买某款电器每台可享受减免３００元的优惠．若同
样用３３０００元购买若干台此款电器，优惠后可购买的台数比优惠前多１０％，
这款电器优惠前的售价为多少元？
分析 根据“优惠后可购买的台数比优惠前多１０％”，可以得到“优惠前
３３０００元购买的台数×（１＋１０％）＝优惠后３３０００元购买的台数”．
解 设该款电器优惠前的售价为狓元．根据题意，可得
３３０００
狓×（１＋１０％）＝３３０００
狓－３００，
即
１．１狓＝１
狓－３００．
方程两边同乘狓（狓－３００），得
１．１（狓－３００）＝狓．
解得
狓＝３３００．
经检验，狓＝３３００是原方程的解．
答：这款电器优惠前的售价为３３００元．
例５ 甲地至乙地的铁路路程约３００ｋｍ．如果行驶在这一路段的快车与
慢车的车速之比为５∶３，快车比慢车快１ｈ到达，那么甲地至乙地的快车与慢
车的速度各是多少？
分析 根据“快车与慢车的车速之比为５∶３”，若设快车的速度是５狓ｋｍ／ｈ，
则慢车的速度是３狓ｋｍ／ｈ．由速度、时间、路程之间的关系，可列出表１３１：
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１３．３ 分式方程９７
表１３１
车型
速度／（ｋｍ／ｈ）
路程／ｋｍ
时间／ｈ
快车
５狓
３００
３００
５狓
慢车
３狓
３００
３００
３狓
根据“快车比慢车快１ｈ到达”，可以得到“慢车所用时间－快车所用时间＝
１ｈ”，据此可以列出方程．
解 设甲地至乙地的快车的速度是５狓ｋｍ／ｈ，则慢车的速度是３狓ｋｍ／ｈ．
根据题意，可得
３００
３狓－３００
５狓＝１．
方程两边同乘１５狓，得
３００×５－３００×３＝１５狓．
解得
狓＝４０．
经检验，狓＝４０是原方程的解．
５狓＝２００，３狓＝１２０．
答：甲地至乙地的快车的速度是２００ｋｍ／ｈ，慢车的速度是１２０ｋｍ／ｈ．
课堂练习１３．３（２）
１．某中学七年级学生到距离学校１５ｋｍ的青少年营地活动，先遣部
队的行进速度是大部队行进速度的１．２倍，预计比大部队早０．５ｈ到达目
的地．求先遣部队与大部队各自的行进速度．
２．甲、乙两单位为爱心基金捐款，甲单位捐款４８００元，乙单位捐
款６０００元．已知乙单位捐款人数比甲单位多１０人，且两单位人均捐款
额相等．这两单位共有多少人捐款？人均捐款额是多少？
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９８
第１３章分式
３．小华和小海一起做速算练习，小海每分钟比小华多做４道速算
题，结果在相同的时间内，小海做了２４０道速算题，小华只做了１６０道
速算题．小华每分钟做多少道速算题？
习题１３．３
１．填空题：
（１）当狓＝ 时，分式狓＋３
狓－１的值等于２；
（２）如果方程１
狓＋２＝犪
狓－１的解为狓＝２，那么犪的值为 ．
２．解方程：
（１）２
狓－１＝３
狓＋１；
（２）５
２狓－１＋３
１－２狓＝２；
（３）１狓＋１２狓＋１３狓＝１；
（４）３狓－４
狓－１＝６
狓－狓２．
３．通信员要从营地前往相距２４００ｍ的哨所送信，然后立即按原路返回，
这样从出发到回到营地共花了４０ｍｉｎ．若通信员去送信时的速度是返回时的速
度的１．５倍，求他去送信时的速度．
４．某工程队承接了９０万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，
实际的工作效率比原计划提高了２５％，结果提前３０天完成了任务．求原计划
每天绿化的面积．
５．已知关于狓的方程２
狓－２＋犽
２－狓＝３狓
狓－２无解，求犽的值．
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１３．３ 分式方程９９
６．某班组织登山活动，分甲、乙两组从山脚下沿着同一条道路，同时向
山顶进发．已知甲、乙两组行进同一段路所用的时间之比为２∶３．
（１）直接写出甲、乙两组行进的速度之比；
（２）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰Ａ处，且Ａ处离山顶的路程尚
有１．２ｋｍ，求山脚离山顶的路程．
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１００
第１３章分式
把一个分式写成几个分式的和
通过分式的加减运算，可以把几个分式的和写成一个分式．有时候需要把
这一过程反过来，即要把一个分式写成几个分式的和．
观察：
１
１×２＋１
２×３＋１
３×４＋…＋１
９９×１００
＝（１－１２）＋（１２－１３）＋（１３－１４）＋…＋（１９９－１１００）
＝１－１１００
＝９９
１００．
在上述的计算过程中，应用了１
狀（狀＋１）＝１狀－１
狀＋１，使运算变得简便．
如何用简单方法计算
１
１×３＋１
３×５＋…＋１
９７×９９？
是否可以将分式
１
狓（狓＋２）写成犃狓＋犅
狓＋２（犃、犅是有理数）的形式？
如果可以，怎样确定犃、犅的值？
方法一：如果
１
狓（狓＋２）＝犃狓＋犅
狓＋２成立，那么当狓＝－１或狓＝１时等
式成立．于是，得方程组－１＝－犃＋犅，
１３＝犃＋犅３．
烅
烄
烆
解得犃＝１２，
犅＝－１２．
烅
烄
烆
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阅读材料１０１
将犃、犅的值代回检验，１２狓－１
２（狓＋２）＝（狓＋２）－狓
２狓（狓＋２）＝１
狓（狓＋２）．
因此，１
狓（狓＋２）＝１２狓－１
２（狓＋２）．
方法二：因为犃狓＋犅
狓＋２＝犃（狓＋２）＋犅狓
狓（狓＋２）＝（犃＋犅）狓＋２犃
狓（狓＋２），所以要使
１
狓（狓＋２）＝犃狓＋犅
狓＋２成立，只要犃＋犅＝０，
２犃＝１
烅烄
烆
成立，解得犃＝１２，
犅＝－１２．
烅
烄
烆
应用
１
狓（狓＋２）＝１２（１狓－１
狓＋２），如何计算１
１×３＋１
３×５＋…＋１
９７×９９？
你能将分式
１
狓（狓＋１）（狓＋２）写成犃狓＋犅
狓＋１＋犆
狓＋２（犃、犅、犆是有理
数）的形式吗？
将一个分式写成几个分式的和的形式，在微积分中将有重要的应用．
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１０２
第１３章分式
１．基本概念：分式，最简分式，分式方程．
对于两个整式犃、犅（犅是非零整式），犃÷犅可以表示为犃犅的形式，叫
作分式．
分子与分母没有一次及以上的公因式的分式叫作最简分式．
分母里含有未知数的方程叫作分式方程．
２．分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个整式，当该整
式的值不为０时，分式的值不变．
３．分式的运算：
分式的变形和运算总是在分式有意义的条件下进行．
（１）乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作
分母．
（２）除法：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除
式相乘．
（３）加减法：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式
相加减，先将它们通分，然后进行加减．
４．幂的运算：当犪、犫不为０，犿、狀是整数时，有
犪－狀＝１犪狀，犪犿·犪狀＝犪犿＋狀，（犪犫）狀＝犪狀犫狀，（犪犿）狀＝犪犿狀．
５．分式方程：解分式方程要注意验根．
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复习题１０３
１．填空题：
（１）如果分式２＋３狓
２－３狓有意义，那么狓的取值要满足的条件是 ；
（２）化简：狓
狓２－２狓＝ ；
（３）计算：狔２狓２·狓狔＝ ；
（４）计算：１犪－１３犪＝ ；
（５）计算：狓÷狓－１÷狓＝ ；
（６）计算：１犪＋（－２犪犫２）÷（－４犪犫）
２＝ ．
２．计算：
（１）狓２－９
４－狓２·狓２＋狓－２
狓２－４狓＋３；
（２）１
犪－犫－１
犪＋犫＋２犫
犪２＋犫２；
（３）狓
狓－３－狓＋６
狓２－３狓＋１狓．
３．计算：
（１）３－狓
２狓－４÷（狓＋２－５
狓－２）；
（２）（１
狓＋１＋１
狓－１）÷ 狓
狓＋１；
（３）１
狓＋１－狓＋３
狓２－１·狓２－２狓＋１
狓２＋４狓＋３；（４）（１狓－１２）÷（１－狓２＋４
４狓）．
４．解方程：
（１）１狓＋２狓＋３＝０；
（２）１狓＋１２狓＋１３＝０；
（３）３
狓＋３＝２
２狓＋１；
（４）２狓＋３
狓＋１＝６狓＋７
３狓＋４．
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１０４
第１３章分式
５．甲、乙两名学生各在电脑上输入１５００个汉字．乙的输入速度是甲的
３倍，且比甲少用２０ｍｉｎ完成任务．他们两人平均每分钟各输入多少个
汉字？
６．已知Ａ、Ｂ两地相距１２０ｋｍ，甲、乙两人都要从Ａ地前往Ｂ地．若甲
所用的时间比乙少１ｈ，且甲的速度是乙的１．５倍，求甲、乙各自的速度．
７．如果关于狓的方程犪狓＋１
狓－１＝１无解，那么犪＝ ．
８．先化简，再求值：狓２＋狓狔
狓２－２狓狔－３狔２·３狔－狓
狓－狔＋（狓－１＋狔－１）÷（狓－１－
狔－１），其中狓＝２，狔＝－１．
９．化简：狓２－９
狓＋３．
甲的解法：狓２－９
狓＋３＝（狓－３）（狓＋３）
狓＋３
＝狓－３．
乙的解法：狓２－９
狓＋３＝（狓２－９）（狓－３）
（狓＋３）（狓－３）＝（狓２－９）（狓－３）
狓２－９
＝狓－３．
甲、乙两人的解法是否都正确？为什么？
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第１４章
图形的运动
有些运动，只改变物体的位置，而不改变其形状和大小．例如，
站在自动扶梯上的乘客，可以由扶梯移送到下一层；风力发电机的叶
片绕着轴心转动；将“驦”字剪纸左右对折等．
如果将上述人、物的形体想象成一个平面几何图形，就可以将这
些运动想象成平面图形的运动，分别是图形的平移、旋转和轴对称．
它们的共同特征是经过运动后，图形的形状和大小都不改变．
本章中，我们将分别学习平移、旋转和轴对称这三种平面图形运
动的概念和性质，掌握与这些运动有关的对称图形的特征与性质，并
且应用这些知识解决相关的问题．本章的学习将为今后对三角形、平
行四边形和圆的学习提供直观铺垫．
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１０６
第１４章图形的运动
图１４１１是生活中常见的衣橱移门，当推动门把手时，门会从一个位置
沿轨道移动到另一个位置．如果把这扇门看作一个长方形，那么门的移动就是
这个长方形移动到另一个位置．
图１４１１
观察门移动的过程，可以得到以下结论：
（１）在移动门时，门的大小不会改变；
（２）如果门把手向左移动０．７５ｍ，那么这扇门的其他部分也向左移
动０．７５ｍ．
在平面上，将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，
叫作图形的平移．
如图１４１２，移动三角形犃犅犆得到三角形犃１犅１犆１．平移的方向为射线
犃犃１的方向，平移的距离是线段犃犃１的长度．其中，点犃与点犃１是对应
点；线段犃犅与线段犃１犅１是对应线段，它们的长度相等；∠犅犃犆与
∠犅１犃１犆１是对应角，它们的大小也相等．
A
A1
C1
B1
C
B
图１４１２
１４．１平移
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１４．１ 平移１０７
从上面的例子可以得到图形的平移具有以下性质：
（１）每组对应点之间的距离相等；
（２）分别连接两组对应点，所成的线段平行（或在同一直线上）且相等；
（３）对应角的大小相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等；
图１４１３
（４）平移后得到的图形与原图形形状相同，大小
相等．
图形平移前后对应点之间的距离叫作图形平移的
距离．
图形的平移在日常生活中有着广泛的应用，图１４１３是由一个基本图形
通过多次平移后得到的组合图形．
设计一个图案，使其由一个基本图形多次平移后组合得到．
例１ 如图１４１４，将三角形犃犅犆向右平移４格，再向下平移３格后的
图形为三角形犃１犅１犆１．
A
A1
C1
B1
C
B
图１４１４
（１）点犅、犆的对应点分别是哪两个点？
（２）线段犃犆的对应线段是哪条线段？它们的长度相等吗？∠犃犅犆的对
应角是哪个角？它们的大小相等吗？
（３）如果线段犃犅的中点是犇，那么能确定它的对应点的位置吗？
解 （１）点犅、犆的对应点分别是点犅１、犆１．
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１０８
第１４章图形的运动
（２）线段犃犆的对应线段是线段犃１犆１，犃犆＝犃１犆１；∠犃犅犆的对应角是
∠犃１犅１犆１，∠犃犅犆＝∠犃１犅１犆１．
（３）线段犃犅的中点犇的对应点是线段犃１犅１的中点犇１．
在图１４１４中画出三角形犃犅犆的平移方向，并量出平移的距离．
课堂练习１４．１（１）
１．如图，将（１）中的图形犖平移到如（２）所示的位置，则下列图形
犖的平移方法中，正确的是
（ ）
N
M
N
M
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
（第１题）
Ａ．向下平移１格； Ｂ．向上平移１格；
Ｃ．向上平移２格； Ｄ．向下平移２格．
２．如图，三角形犃′犅′犆′由三角形犃犅犆沿射线犃犆方向平移２ｃｍ得
到．若犃犆＝３ｃｍ，则犃′犆＝ ．
A
C
A′
B′
C′
B
（第２题）
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１４．１ 平移１０９
３．如图，每个小方格的边长都是１个单位长度．平移后三角形甲与
三角形乙重合．
（１）把三角形甲向 平移 个单位长度，再向
平移 个单位长度，便与三角形乙重合．
（２）要使这两个三角形重合，你还有其他平移的方法吗？请说出其
中一种．
*
Ά
（第３题）
B
D
F
A
E
C
图１４１５
例２ 如图１４１５，将等边三角形犉犅犇分割成４
个小等边三角形，假设它们的边长为１．３ｃｍ，你能通
过平移三角形犃犅犆得到其他三角形吗？若能，请说出
平移的方向和距离．
解 将三角形犃犅犆沿着射线犅犃方向平移１．３ｃｍ，
可以得到三角形犉犃犈；将三角形犃犅犆沿着射线犅犆方
向平移１．３ｃｍ，可以得到三角形犈犆犇．
不能通过平移三角形犃犅犆得到三角形犃犆犈．
例３ 如图１４１６，请回答下列问题：
（１）将图中四边形犃犅犆犇向右平移６格，画出平移后的图形犃′犅′犆′犇′．
（２）线段犅犆与线段犅′犆′之间有怎样的位置关系？
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１１０
第１４章图形的运动
（３）线段犃犅与线段犃′犅′、∠犅与∠犅′各有怎样的大小关系？
A
A′
B′
C′
D′
B
C
D
图１４１６
解 （１）分别将点犃、犅、犆、犇向右平移６格，得到对应点犃′、犅′、
犆′、犇′，再依次连接犃′犅′、犅′犆′、犆′犇′、犇′犃′，则四边形犃′犅′犆′犇′就是将
四边形犃犅犆犇向右平移６格所得的四边形．
（２）因为线段犅犆与线段犅′犆′是对应线段，所以犅犆∥犅′犆′．
（３）因为线段犃犅与线段犃′犅′是对应线段，所以犃犅＝犃′犅′；又因为
∠犅和∠犅′是对应角，所以∠犅＝∠犅′．
课堂练习１４．１（２）
１．如图，把旗状图形向右平移２格，画出平移后的图形．
（第１题） （第２题）
２．如图，把箭头图形先向右平移４格，再向下平移２格，画出平移
后的图形．
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１４．１ 平移１１１
３．如图，怎样将三角形甲平移到三角形乙的位置？画出平移的方
向，量出平移的距离（结果精确到０．１ｃｍ）．
*
Ά
（第３题）
习题１４．１
１．如图，每个小方格的边长都是１个单位长度．将三角形犃犅犆平移到三
角形犇犈犉的位置，下面正确的平移步骤是
（ ）
D
A
F
C
E
B
（第１题）
Ａ．先把三角形犃犅犆向左平移５个单位长度，再向下平移２个单位长度；
Ｂ．先把三角形犃犅犆向右平移５个单位长度，再向下平移２个单位长度；
Ｃ．先把三角形犃犅犆向左平移５个单位长度，再向上平移２个单位长度；
Ｄ．先把三角形犃犅犆向右平移５个单位长度，再向上平移２个单位长度．
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１１２
第１４章图形的运动
２．把图中的图形向下平移３格，画出平移后的图形，并写出点犃、犅、
犆、犇的对应点．
D
A
C
B
（第２题）
D
A
E
B
F
C
（第３题）
３．如图，三角形犃犅犆和三角形犇犈犉都是等边三角形，其中一个等边三
角形经过平移后成为另一个等边三角形．指出点犃、犅、犆的对应点，线段
犃犅、犅犆、犃犆的对应线段和∠犃、∠犅、∠犆的对应角．
４．把图中的图形先向下平移２格，再向右平移４格，画出平移后的图形．
（第４题）
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１４．１ 平移１１３
D
A
F
C
E
B
（第５题）
５．如图，已知在三角形犃犅犆中，犅犆＝４ｃｍ，把三
角形犃犅犆沿射线犅犆方向平移２ｃｍ，得到三角形犇犈犉．
（１）图中与∠犅相等的角有多少个？
（２）图中共有多少对相互平行且长度相等的线段？
请把它们写出来．
（３）求犅犈∶犈犆∶犆犉．
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１１４
第１４章图形的运动
在日常生活中，我们会遇到图形的转动．如图１４２１，电扇的叶片从位
置犃绕点犗按顺时针方向转动１５０°，转动到位置犅；铣床的铣刀从位置犆绕
点犗′按顺时针方向转动４０°，转动到位置犇．
O
A
B
D
C
O′
* '
Jܭ
图１４２１
从上述例子可以看到，电扇叶片的转动、铣床铣刀的转动，虽然转动的
角度各不相同，但它们有两个共同的特点：（１）图形都围绕着一个定点作转
动；（２）都有一个转动的角度．由此可以得到图形旋转的定义．
一般规定旋转角大
于０°，小于３６０°．
在平面上，将一个图形上的所有点绕一个定点按
某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋
转，这个定点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角．
O
A
C
C1
B1
A1
B
图１４２２
“某个方向”是指“顺时针方向”或者“逆时针方向”．
图形的旋转具有下列特点：旋转前的图形与旋转后的图
形形状相同，大小相等．
例如，在图１４２２中，三角形犃犅犆绕点犗按顺时
针方向旋转一个角度成为三角形犃１犅１犆１，点犗是旋转
中心，∠犃犗犃１是旋转角．在三角形犃犅犆的旋转中，点
犃与点犃１是对应点；线段犃犅与线段犃１犅１是对应线
段，它们的长度相等；∠犅犃犆与∠犅１犃１犆１是对应角，
这两个角的大小也相等．
１４．２旋转
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１４．２ 旋转１１５
在图１４２２中，你还能找出其他的对应线段和对应角吗？还有其他的旋
转角吗？
图１４２３
如图１４２３，将一张正方形纸片两条对角线的
公共点用大头针钉住．旋转正方形，至少旋转多少度
才可以使它与初始位置的正方形重合？每旋转多少度
会重复上述现象？
A
O
C
C1
B1
A1
B
图１４２４
例１ 如图１４２４，犗是三角形犃犅犆内一点，将
一枚图钉钉在点犗处，把三角形犃犅犆按逆时针方向旋
转成为三角形犃１犅１犆１．
（１）确定这个旋转的旋转中心和旋转角；
（２）找出点犃、犅、犆的对应点，并判断每一组对
应点到旋转中心的距离是否相等；
（３）找出线段犃犅、犅犆、犃犆的对应线段，并判断
每一组对应线段是否相等；
（４）找出∠犃犅犆、∠犅犃犆和∠犅犆犃的对应角，并判断每一组对应角是
否相等．
解 （１）旋转中心是点犗，旋转角为∠犃犗犃１（或∠犅犗犅１、∠犆犗犆１）．
（２）点犃与点犃１是一组对应点，犗犃＝犗犃１；点犅与点犅１是一组对应
点，犗犅＝犗犅１；点犆与点犆１是一组对应点，犗犆＝犗犆１．
（３）线段犃犅与线段犃１犅１是一组对应线段，犃犅＝犃１犅１；线段犅犆与线段
犅１犆１是一组对应线段，犅犆＝犅１犆１；线段犃犆与线段犃１犆１是一组对应线段，
犃犆＝犃１犆１．
（４）∠犃犅犆与∠犃１犅１犆１是一组对应角，∠犃犅犆＝∠犃１犅１犆１；∠犅犃犆
与∠犅１犃１犆１是一组对应角，∠犅犃犆＝∠犅１犃１犆１；∠犅犆犃与∠犅１犆１犃１是
一组对应角，∠犅犆犃＝∠犅１犆１犃１．
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１１６
第１４章图形的运动
如果把图１４２４中的三角形犃犅犆绕点犗按顺时针方向旋转９０°，
那么线段犗犃、犗犅、犗犆旋转的角度是多少？
上面一些例子告诉我们，图形的旋转具有以下性质：
（１）每组对应点到旋转中心的距离相等；
（２）两组对应点分别与旋转中心连线，所成的角相等；
（３）对应线段的长度相等，对应角的大小相等；
（４）旋转后得到的图形与原图形形状相同，大小相等．
例２ 如图１４２５（１），已知点犗与三角形犃犅犆，画出三角形犃犅犆绕点
犗按逆时针方向旋转４５°后的图形．
分析 因为图形旋转不改变图形的形状，对图形旋转的画图，关键是要
确定表示图形的“关键点”，找出这些点在旋转后的对应点，并按照原图形顺
序连接这些对应点．这里，图形三角形犃犅犆的“关键点”是顶点犃、犅、犆，
只需画出它们绕点犗旋转后的对应点犃１、犅１、犆１，就可得到所求的图形．
解 （１）把三角形犃犅犆的顶点犃、犅、犆与旋转中心犗连接起来，得到
犗犃、犗犅、犗犆．
B
A
O
C
B
B1
A1
C1
A
O
C
45°
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图１４２５
（２）以犗犃为始边，逆时针方向作４５°角，在角的终边上截取犗犃１，使
犗犃＝犗犃１，得到点犃的对应点犃１．
（３）类似步骤（２）的操作，可分别得到点犅、犆的对应点犅１、犆１．
（４）依次连接犃１犅１、犅１犆１、犆１犃１，得到三角形犃１犅１犆１，如图１４２５（２）．
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１４．２ 旋转１１７
三角形犃１犅１犆１就是三角形犃犅犆绕点犗按逆时针方向旋转４５°后的图形．
（１）如图１４２６（１），点犃绕点犗按逆时针方向旋转９０°后，经过
的路线是怎样的图形？
A
O
A
B
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图１４２６
（２）如图１４２６（２），线段犃犅绕点犃按顺时针方向旋转４５°后，
它所扫过的平面部分是怎样的图形？如果犃犅＝３ｃｍ，那么这个图形的
面积是多少？
课堂练习１４．２
１．画一个直角，并画出这个直角绕它的顶点按逆时针方向旋转１２０°
后的图形．
２．如图，绿色图形绕点犗按逆时针方向旋转几度后能与黄色图形重合？
O
（第２题）
D
O
A
B
C
（第３题）
３．画出图中以点犗为旋转中心按逆时针方向旋转６０°后的图形．
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１１８
第１４章图形的运动
习题１４．２
１．画一个６０°的角，并画出这个角绕它的顶点按逆时针方向旋转４５°后的
图形．
２．在图中，画出以点犗为旋转中心，按顺时针方向旋转９０°后的图形．
O
（第２题）
３．画一个四边形犃犅犆犇，任取一点犗为旋转中心，画出四边形犃犅犆犇绕
点犗旋转１８０°后的图形．
D
A
F
C
E
B
（第４题）
４．如图，直角三角形犃犈犆旋转后得到直角三角
形犅犉犇，确定图中的旋转中心和旋转角，并指出图
中相等的线段和相等的角．
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１４．３ 轴对称１１９
１．图形的翻折与轴对称图形
在日常生活及工作中，还会看到一类图形，将它们沿着某一条直线翻折，
其在直线两边的部分能够重合．如图１４３１，将“驦”在直线犾左边的部分沿着
直线犾翻折，犾两边的“喜”字重合．如图１４３２中的京剧脸谱，将它在直线犾
左边的部分沿着犾翻折，与右边部分重合．
l
图１４３１
l
图１４３２
如图１４３３，三角形犃犅犆和三角形犃１犅１犆１沿着直线犾翻折后重合，点
犃与点犃１是对应点，线段犃犅与线段犃１犅１是对应线段，∠犃与∠犃１是对
应角．
A
l
A1
C1
B1
C
B
图１４３３
１４．３轴对称
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１２０
第１４章图形的运动
对图１４３４中的两幅摄影作品，试分别找到一条直线，将它们各
自沿着该直线翻折，使直线两边的部分重合．
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图１４３４
若将一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两边的部分能够相互重合，
这个图形叫作轴对称图形，这条直线是它的对称轴，也称这个图形关于这条
直线对称．
线段、角、正方形和圆都是常见的轴对称图形．
例１ 判断图１４３５中的四个图形是不是轴对称图形．如果是轴对称图
形，请画出该图形的所有对称轴．
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
܄ᅊ܅
܄ᅋ܅
图１４３５
解 （１）（２）（３）是轴对称图形，它们的对称轴如图１４３６所示．（４）不是
轴对称图形．
图１４３６
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１４．３ 轴对称１２１
课堂练习１４．３（１）
１．将一张Ａ４纸对折后，再剪出一个图形，然后展开，使它成为一
个等腰三角形．
２．已知三角形犃犅犆是等边三角形，它有没有对称轴？如果有对称
轴，有几条？
３．在下列图形中找出轴对称图形，并分别画出它们的一条对称轴．
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
܄ᅊ܅
܄ᅋ܅
（第３题）
２．轴对称
对图１４３７中的两幅图，你能发现什么共同的特征？
l
l
图１４３７
把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么
就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴．翻折后能够重
合的点叫作对称点．
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１２２
第１４章图形的运动
如图１４３８，三角形犃犅犆沿着直线犕犖翻折后，与三角形犃１犅１犆１重
合，三角形犃犅犆与三角形犃１犅１犆１关于直线犕犖成轴对称，直线犕犖是对
称轴，点犃与点犃１、点犅与点犅１、点犆与点犆１是关于直线犕犖的对称点；
线段犃犅与线段犃１犅１是对应线段，对应线段犃犅与犃１犅１长度相等；∠犅和
∠犅１是对应角，对应角∠犅与∠犅１大小相等．
A
P
B
B1
C1
A1
C
M
N
图１４３８
图１４３８中还有其他关于直线犕犖成轴对称的线段或角吗？
在图１４３８中，点犃与点犃１是对称点，设犃犃１与对称轴犕犖交于点
犘，将三角形犃犅犆沿着直线犕犖翻折后，点犃与点犃１重合，犃犘＝犃１犘，
∠犕犘犃＝∠犕犘犃１＝９０°．
两个图形关于一条直线成轴对称，具有下面的性质：
（１）对应线段的长度相等，对应角的大小相等，这两个图形形状相同，
大小相等；
（２）连接对称点的线段和对称轴垂直，并且被对称轴平分．
例２ 如图１４３９（１），画出四边形犃犅犆犇关于直线犾成轴对称的图形．
分析 利用两个成轴对称图形的性质，可知只需找出图形的“关键点”，
即四边形四个顶点关于直线犾的对称点，就可得到所求的图形．
解 （１）过点犃画直线犾的垂线犃犗，垂足为犗．延长犃犗到点犃１，使
犗犃１＝犗犃，就得到点犃关于直线犾的对称点犃１．
（２）类似步骤（１）的操作，分别画出点犅、犆、犇关于直线犾的对称点犅１、
犆１、犇１．
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１４．３ 轴对称１２３
（３）依次连接犃１犅１、犅１犆１、犆１犇１、犇１犃１，得到四边形犃１犅１犆１犇１，如
图１４３９（２）所示．
四边形犃１犅１犆１犇１就是四边形犃犅犆犇关于直线犾成轴对称的图形．
A
B
C
D
l
l
A
A1
D1
B1
C1
B
C
D
O
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图１４３９
在成轴对称的两个
图形中，分别连接两组
对称点，取中点，连接
两个中点所得的线段所
在的直线就是对称轴．
图１４３１０中的两个图形成轴对称，画出
它们的对称轴．
图１４３１０
课堂练习１４．３（２）
１．画出如图所示的三角形犃犅犆关于直线犕犖成轴对称的图形．
M
N
C
B
A
（第１题）
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１２４
第１４章图形的运动
２．画出下列图形关于直线犾成轴对称的图形．
C
D
C
l
l
A
A
B
B
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
（第２题）
习题１４．３
１．下列图形中，哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形，那么它们
各有多少条对称轴？分别画出它们的一条对称轴．
（第１题）
２．下列图形中，是轴对称图形的是 （填图形的编号）．
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（第２题）
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１４．３ 轴对称１２５
３．画出与图中图形关于直线犾成轴对称的图形．
l
（第３题）
４．下列图形中，哪些是轴对称图形？如果是轴对称图形，画出一条对
称轴．
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
܄ᅊ܅
܄ᅋ܅
܄ᅌ܅
（第４题）
５．下列各图形是轴对称图形，画出它们的所有对称轴．
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
܄ᅊ܅
（第５题）
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１２６
第１４章图形的运动
观察图１４４１中的两个图形，它们各自绕一个点旋转１８０°后，都能与原
图形重合．
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图１４４１
如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转１８０°后，能与
原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心．
如图１４４２，等边三角形、正方形、平行四边形、圆是不是中心
对称图形？
0D̶
>ᒏ
ᒏ
Ꭰ= Dᒏ
图１４４２
在平面上，一个图形绕着一个定点旋转１８０°后，能与另一个图形重合，
这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点
称为对称中心．
如果两个图形关于点犗成中心对称，那么对于一个图形中的一点犘绕点
犗旋转１８０°后，就与另一个图形中的一点犘′重合．这时，点犘与点犘′是这两
１４．４中心对称
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１４．４ 中心对称１２７
个成中心对称的图形的对应点，也叫作关于点犗的对称点．
如图１４４３，三角形犃犅犆与三角形犇犈犉关于点犗成中心对称，点犃的
对称点是点犇，线段犃犅的对应线段是线段犇犈，∠犅犃犆的对应角是∠犈犇犉．
A
B
C
O
F
D
E
图１４４３
你能写出图１４４３中其他的对称点、对应线段和对应角吗？
如图１４４３，将三角形犃犅犆绕点犗旋转，点犃和点犇是对称点，点犗
为对称中心．根据旋转的性质，犗犃＝犗犇．又因为旋转角为１８０°，所以犃、
犗、犇三点在同一直线上．
两个关于一点成中心对称的图形，具有下面的性质：
（１）对应线段平行（或在同一直线上）且相等；
（２）连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．
例１ 如图１４４４（１），画出四边形犃犅犆犇关于点犗成中心对称的图形．
分析 利用图形旋转的性质，可知只需找出四边形的“关键点”，即四个
顶点犃、犅、犆、犇关于点犗的对称点，就可得到所求的图形．
A
D
C
O
B
A
D
C
B1
A1
D1
C1
O
B
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
图１４４４
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１２８
第１４章图形的运动
解 （１）连接犃犗并延长到点犃１，使犗犃１＝犗犃，得到点犃的对称点犃１．
（２）类似步骤（１）的操作，可以画出点犅、犆、犇关于点犗的对称点犅１、
犆１、犇１．
（３）依次连接犃１犅１、犅１犆１、犆１犇１、犇１犃１，得到四边形犃１犅１犆１犇１，如
图１４４４（２）所示．
四边形犃犅犆犇和四边形犃１犅１犆１犇１是两个关于点犗成中心对称的图形．
O
B
A
C
图１４４５
把图１４４５中的三角形犃犅犆绕着边犃犅的
中点犗旋转１８０°，画出旋转后的图形．旋转后得
到的图形和原来的三角形犃犅犆组成的组合图形
是以前学过的哪一种几何图形？
课堂练习１４．４
１．画出图１４４５中与三角形犃犅犆关于点犗成中心对称的图形．
２．如图，有犗、犘、犙、犛、犜五个点．
P
Q
O
S
T
（第２题）
（１）分别画出与点犘、犙、犛、犜关于点犗成中心对称的点；
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１４．４ 中心对称１２９
（２）画出与线段犘犛关于点犗成中心对称的图形；
（３）画出与四边形犘犙犜犛关于点犗成中心对称的图形．
３．如图，画出与旗子关于点犗成中心对称的图形．
O
（第３题）
习题１４．４
１．画出与图中四边形犃犅犆犇关于点犗成中心对称的图形，并写出点犃、
犅、犆、犇的对称点．
D
A
B
C
O
（第１题）
O
B
C
A
（第２题）
２．如图，画出与三角形犃犅犆关于点犗成中心对称的图形．
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１３０
第１４章图形的运动
３．如图，画出与三角形犃犅犆关于点犗成中心对称的图形．
A
B
O
C
（第３题）
４．如图，桌上放着四张纸牌，现将其中的某一张纸牌在原地旋转１８０°，
发现旋转后在桌上看到的纸牌中的图案与原先一模一样．你能判断出旋转的是
哪一张纸牌吗？为什么？
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
܄ᅊ܅
܄ᅋ܅
（第４题）
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内容提要１３１
１．基本概念：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称．
２．图形平移后，每组对应点之间的距离相等；分别连接两组对应点，所
成的线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角的大小相等，对应线段平行
（或在同一直线上）且相等；平移后得到的图形与原图形形状相同，大小相等．
３．图形旋转后，每组对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与
旋转中心连线，所成的角相等；对应线段的长度相等，对应角的大小相等；
旋转后得到的图形与原图形形状相同，大小相等．
４．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那
么就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴．翻折后能够
重合的点叫作对称点．
两个图形关于一条直线成轴对称时，对应线段的长度相等，对应角的大
小相等，这两个图形形状相同，大小相等；连接对称点的线段和对称轴垂直，
并且被对称轴平分．
５．成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等；连
接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．
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１３２
第１４章图形的运动
１．长方形犈犉犌犎是由长方形犃犅犆犇平移后得到的，请分别写出点犃、犆
的对应点，线段犃犅、犆犇的对应线段，∠犃犇犆的对应角．
C
B
D
A
G
F
H
E
（第１题）
A
B
E
C
D
O
（第２题）
２．如图，画出与图中图形关于点犗成中心对称的图形．
３．把三角形犃犅犆绕着边犅犆、犅犃的中点犕、犖分别旋转１８０°，画出旋
转后所得的图形．
A
B
C
N
M
（第３题）
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复习题１３３
４．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
５．画出一个图形，使所画图形中同时有正方形和圆，并且这个图形既是
轴对称图形，又是中心对称图形．
（第６题）
６．（１）如图，由４个同样的小正方形所组成的图形，
请再补上一个同样的小正方形，使由５个小正方形组成的
图形成为一个轴对称图形；
（２）如图，由４个同样的小正方形所组成的图形，请
再补上一个同样的小正方形，使由５个小正方形组成的图
形成为一个中心对称图形．
７．如图，四边形犆犇犈犉旋转后能与正方形犃犅犆犇重
合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出．
A
B
E
F
C
D
（第７题）
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１３４
第１４章图形的运动
８．如图，把一张正方形纸片对折三次后，沿虚线剪开，画出最后所得的
纸片展开后的图形．它是轴对称图形吗？̷
ៅ
ៅ
̸
ៅ
!;3ޗᐭ
（第８题）
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１３６
综合与实践
从传统连续纹样到现代镶嵌图案
图１
图１展示的是湖北省博物馆的镇馆之宝———越
王勾践剑，被尊为“百兵之祖”．除了剑身正面所刻
的八字鸟篆铭文“越王鸠浅 自作用剑”（意为：越王
勾践亲自督造并使用的剑），这把剑吸引人的还有剑
身上呈网状分布的菱形花纹，从顶端到剑锋连续排
列，浑然一体．
这种以基本（单位）纹样（图案）为基础，根据一定的变换方式（如：平移、
旋转、轴对称等）重复排列所构成的不间断图案称为连续纹样．按纹样排列方
式的不同一般分为二方连续纹样和四方连续纹样，富有中国传统审美趣味．
活动１ 二方连续纹样与唐草纹
二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排列所形成的横
式或纵式带状纹样（也叫花边纹样），富有节奏和韵律感．越王勾践剑采用了二
方连续纹样设计．
唐代较多取忍冬、荷花、兰花、牡丹等花草图案构成二方连续纹样，这
些花草的枝茎滋长延伸、蔓蔓不断，有茂盛、长久的吉祥寓意．因盛行于唐
代，故名“唐草纹”．唐草纹经过恰当的变形后，可以装饰在各种实用器物上．
图２展示的三件唐代器物，造型精美细腻，无论外沿还是内壁，都有清晰可
见的二方连续花纹图饰，其结构严谨中又带有大唐一贯的典雅富丽风格，是
难得的珍宝．
［唐］鸳鸯莲瓣纹金碗
［唐］鎏金双狮纹银碗
［唐］鎏金飞狮纹盒顶盖
图２
上海教育出版社
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从传统连续纹样到现代镶嵌图案１３７
请仔细观察表１中的二方连续纹样，找出这些纹样中的单位纹样及其变
换方式，并填入表１．
表１ 二方连续纹样中的单位纹样及其变换方式
二方连续纹样
单位纹样
变换方式
活动２ 四方连续纹样
图３
二方连续纹样沿上下左右四个方向连续延
伸扩展就形成了四方连续纹样．仔细观察图３
中的清代描彩漆福寿纹葫芦式盒，填彩漆纹饰
中清晰可见四方连续的装饰形式．
请仔细观察表２中的四方连续纹样，找出
其中的单位纹样及其变换方式，并填入表２．
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１３８
综合与实践
表２ 四方连续纹样中的单位纹样及其变换方式
四方连续纹样
单位纹样
变换方式
平移
活动３ 鸽子瓷砖变形记
活动１和活动２中展示了单位纹样为规则几何图形（如三角形、矩形等）的
无交叠的连续阵列．在现代艺术中还有一类图案（图４），它们由不规则的基本图
案紧密相连，没有重叠、没有空隙地铺满一个封闭图形，被称为镶嵌图案．
带有几何和自然图案的
罗马镶嵌
浙江省松阳县黄家大院
梅兰竹菊轩厢房的窗棂
图４
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从传统连续纹样到现代镶嵌图案１３９
荷兰艺术家埃舍尔（ＭａｕｒｔｉｓＣｏｒｎｅｌｉｓＥｓｃｈｅｒ）在镶嵌图案方面所形成的独
特风格尤为引人瞩目，被称为“埃舍尔风格”．图５（１）展示了一种由多块瓷砖
密铺而成的图案，其中作为基本单位的鸽子图案（２）形状并不规则，较难直接
发现其密铺的方式．但我们通过裁剪和平移，可将其转换为规则的图形（３），
这样就可以通过四方连续密铺，再经过上色，得到图５中的瓷砖图案（４）了．
（１）
单位→
图案
（２）
→
平移
（３）
四方→
连续
（４）
图５ 鸽子瓷砖变形过程
请根据以上思路，填写表３中另两组鸽子瓷砖图案的密铺过程．
表３ 拼接鸽子瓷砖
鸽子瓷砖
单位图案
几何变换
基本几何图形
四方连续
平移
平行四边形
经过平移、旋转、轴对称等变换，基于线条的中国传统纹样的二方（或四
方）构图和基于色块的现代镶嵌图案的密铺构图在本质上实现了联系，让我们
再一次体会到数学工具的神奇．
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１４０
综合与实践
小组活动
请参照活动３的构图方式，设计出自己的图样，再请组内其他同学推测
出你的构图规律．
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制订“阅读之星”评选方案１４１
制订“阅读之星”评选方案
书籍是人类进步的阶梯．为引导学生读好书、读经典，２０２０年我国教育
部发布《中小学生阅读指导目录》，列出３００种图书，分为人文社科、文学、
自然科学和艺术四类，其中小学１１０种、初中１００种、高中９０种．
某校要举行“阅读之星”评选活动，成立了“阅读之星”评选小组，向全校
学生征集评选方案，要求在制订方案时考虑如下几个因素：（１）书籍的数量；
（２）书籍的类别数；（３）书籍的总页数；（４）学生提交的读书报告的质量．
活动１
评选小组收到一份“阅读之星”的评选方案．该方案根据阅读书籍的数量和
总页数给同学计分，得分排前十位的同学入围“阅读之星”．具体方案如图１
所示．
图１ “阅读之星”评选方案一
（１）请讨论，为什么书籍的总页数犅前的系数比书籍的数量犃前的系数
小很多？
（２）根据上述方案，选出班级中阅读得分排前十位的同学，授予“阅读之
星”称号．请他们分享阅读的书目．
（３）你对上面的方案有什么补充意见？
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１４２
综合与实践
活动２
对于评选方案一，有人建议将“书籍的类别数”作为评选的考虑因素，于
是有了第二个方案，如图２所示．
图２ “阅读之星”评选方案二
（１）请讨论犃、犅、犆前的系数是否合理．
（２）根据上述方案，选出班级中阅读得分排前十位的同学，授予“阅读之
星”称号．请他们分享阅读的书目．
（３）你对上面的方案有什么补充意见？
活动３
比较活动１和活动２，可以发现方案考虑的因素不同，评选结果可能不
同．一般来说，评选方案需要不断改进．
图３
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制订“阅读之星”评选方案１４３
请分组讨论，参考图３中所列的问题，制订一个“阅读之星”评选方案．
各小组展示所制订的“阅读之星”评选方案，讨论得到最佳方案．用你们的
最佳方案评选出全班的“阅读之星”．
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144
10. 整式的加减
单项式
monomial
2
系数
coefficient
2
整式
integral expression
4
多项式
polynomial
4
（整式的）项
term
6
常数项
constant term
6
（整式的）次数
degree
6
11. 整式的乘除
乘方
power
18
幂
exponentiation
18
底数
base number
18
指数
exponent
18
12. 因式分解
因式分解
factorization (of a polynomial)
55
公因式
common factor (of polynomials)
58
13. 分式
分式
algebraic rational fraction
76
分式方程
fractional equation
93
增根
extraneous root
94
14. 图形的运动
平移
translation
106
旋转
rotation
114
轴对称
reflection symmetry
120
中心对称
central symmetry
126
部分中英文词汇索引
附 录
上海教育出版社
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本套教科书根据教育部颁布的《义务教育数学课程标准（2022 年版）》
编写.
本册教科书是七年级上册. 在主编李大潜的主持下，由徐斌艳任本册主
编，各章的具体分工为：
王海生、张向韵、李文侠（第10 章），沈洁、李文侠、徐斌艳（第11 章），
鲁海燕、李文侠、徐斌艳（第12 章），朱丽霞、金荣生、徐斌艳（第13 章），王海生、
苗俊杰、李文侠（第14 章），朱雁、徐斌艳（综合与实践）.
感谢编写团队的团结协作和不懈努力，并对王建磐教授的协助表示衷心的
谢忱.
编写过程中，上海市课程教育教学研究基地（中小学课程方案基地）、上海
市心理教育教学研究基地、上海基础教育教材建设重点研究基地、两个上海市
数学教育教学研究基地（分别设在复旦大学和华东师范大学）等上海高校“立
德树人”人文社会科学重点研究基地对教科书编写工作给予了大力支持，在此
表示衷心的感谢.
我们要感谢一直支持、关心和帮助我们工作的同志和朋友们. 大家的热忱
指导和帮助，我们定会铭记于心，并化为我们的工作动力.
欢迎广大师生来电来函提出宝贵意见.
联系电话：021-64319241（内容） 021-64373213（印刷或装订）
电子邮箱：jcjy@seph.com.cn
地 址：上海市闵行区号景路159 弄C 座上海教育出版社（201101）
后 记
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SHUXUE
数学
七年级 上册
定 价： 9.80 元
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