文档文本内容
八年级
上册
数学
数学
义务教育教科书
（五·四学制）
上海教育出版社
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数学
八年级
上册
主编 李大潜
义务教育教科书
( 五·四学制)
上海教育出版社
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世间的万事万物都有数和形这两个侧面，数学这门学科是忽略了事物的其他属
性，仅仅从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的.
初中的数学，介于小学数学与高中数学之间，以往偏向于直观的数学教学将开始逐步
走向理性的阶段，对学生逻辑思维的训练会提出较高的要求，其认识也将不断得到深化.
数学是一门重理解和思考的学科. 数学学得好，主要看三条：一是理解要深入，
二是运作要熟练，三是表达要清晰. 这儿所提的“运作”，泛指推理及计算. 这三者中
最重要的是理解，只有理解深入，才能实现运作熟练和表达清晰这样一些外在层面上
的表现，才能真正掌握数学的精髓.
这些年参加了上海市的一些基础数学教科书的编写工作，常常听到一种说法：数
学是绝大多数学生一生中学得最多的一门功课，不少学生对数学是喜欢和热爱的，但
不太注意对数学真正的理解和感悟，花费了不少时间去刷题，学习负担虽重，却远未
达到应有的收获；还有相当一部分学生觉得数学抽象、难懂、神秘，从而望而生畏，甚
至避之唯恐不及. 所有这些，都不是我们希望看到的.
我们希望通过教师及学生的共同努力，使数学成为一门容易为学生接受，真正喜
闻乐见、可近可亲的课程；不仅负担不重，而且愈学愈想学，愈学愈有趣味，愈学愈觉
得数学内容丰富、奥妙无穷，深深地为其吸引和陶醉. 这是我们的一个理想，并相信
它是一定可以实现的.
为了实现我们的理想，我们希望这套教科书能真正抓住初中数学的真谛，用朴实
无华且单刀直入的方式展现初中阶段应该学习的基本数学内容，努力给学生带来明确
而清晰的印象，真正帮助他们理解与掌握有关的数学内容，使学生的数学知识随着年
龄的增长逐步增进，充分体现数学学科的育人价值.
在已学习了有理数及其运算的基础上，从本册开始认识实数并学习二次根式的运
算，然后学习一元二次方程的解法、判别式、根与系数的关系以及有关的应用问题.
在“直角三角形”一章中，学习直角三角形的性质、判定及全等的判定，角平分线的作
法和性质，以及著名的勾股定理. 在综合与实践中，将从数学角度研究理财问题、体
验“勾股定理”证明中的中国智慧.
主编的话
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目 录
19.1 平方根与立方根
2
19.2 实数
11
内容提要
31
复习题
32
第19 章
实数
20.1 二次根式及其性质
36
20.2 二次根式的运算
43
内容提要
55
复习题
56
第20 章
二次根式
21.1 一元二次方程的概念
59
21.2 一元二次方程的解法
63
21.3 一元二次方程的判别式
78
21.4 一元二次方程的根与系数的关系
83
21.5 一元二次方程的应用
88
阅读材料
102
一元高次方程的求解之路
内容提要
103
复习题
104
第21 章
一元二次方程
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22.1 直角三角形
109
22.2 角平分线
117
22.3 勾股定理
124
阅读材料
136
勾股定理简史
内容提要
138
复习题
139
第22 章
直角三角形
理财小课堂
143
“勾股定理”证明中的中国智慧
146
综合与实践
附录 部分中英文词汇索引
148
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第１９章
实 数
在之前的学习中，我们已经认识了自然数、整数和有理数．历史
上人们曾认为一切数均可表示为整数和整数之比（即有理数），后来发
现边长为１的正方形的对角线的长度并不是有理数，从而发现了一类
新的数，称之为无理数．实际上，圆周率π就是一个无理数．无理数的
发现是数学史上一个重要的里程碑．
有理数和无理数统称为实数．本章我们将学习平方根和立方根，
了解２的算术平方根是无理数，揭示实数与数轴上的点一一对应，体
会数系的扩充，并把有理数的运算法则、性质及大小比较等内容推广
到实数范畴．
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２
第１９章实数
１．算术平方根
问题１ 已知一个正方形的边长，可以通过平方运算求出它的面积．反
过来，已知正方形的面积，它的边长应该如何计算？
例如，要裁一张面积为１００ｃｍ２的正方形纸片，它的边长应该取多少呢？
设正方形纸片的边长为狓ｃｍ（狓＞０），根据已知条件，得狓２＝１００．因为１０２＝
１００，所以这张正方形纸片的边长是１０ｃｍ．这实际上是“已知一个正数的平
方，求这个正数”的问题．
一般地，如果一个正数狓的平方等于犪，即狓２＝犪，那么这个正数狓叫作
犪的算术平方根．犪的算术平方根记为“槡犪”，读作“根号犪”．犪叫作被开方数．
因为０的平方是０，所以规定０的算术平方根是０，记为槡０＝０．
例１ 求下列各数的算术平方根：
（１）６４；
（２）１２１；
（３）９２５；
（４）１００
８１．
解 （１）因为８２＝６４，所以６４的算术平方根是８，即槡６４＝８．
（２）因为１１２＝１２１，所以１２１的算术平方根是１１，即槡１２１＝１１．
（３）因为（３５）
２＝９２５，所以９２５的算术平方根是３５，即９２５槡＝３５．
（４）因为（１０９）
２＝１００
８１，所以１００
８１的算术平方根是１０９，即１００
８１槡＝１０９．
例２ 化简：
（１）槡４９；
（２）１１６槡；
（３）２１４槡；
（４）１３
槡２．
解 （１）槡４９＝７．
１９．１平方根与立方根
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１９．１ 平方根与立方根３
（２）１１６槡＝１４．
（３）２１４槡＝９４槡＝３２．
（４）１３
槡２＝１３．
例３ 化简：
（１）槡４；
（２）槡４００；
（３）槡４００００；（４）槡４００００００．
解 （１）槡４＝２．
（２）槡４００＝２０．
（３）槡４００００＝２００．
（４）槡４００００００＝２０００．
我们知道，如果狓２＝犪，那么（１０狓）２＝１００犪．这说明一个数扩大为原来的
１０倍，它的平方就扩大为原来的１００倍．反过来，一个数扩大为原来的１００
倍，它的算术平方根就扩大为原来的１０倍．
例４ 化简：
（１）槡２５；
（２）０．
槡２５；
（３）０．
槡００２５；（４）０．
槡００００２５．
解 （１）槡２５＝５．
（２）０．
槡２５＝０．５．
（３）０．
槡００２５＝０．０５．
（４）０．
槡００００２５＝０．００５．
一个数缩小为原来的１１００，它的算术平方根就缩小为原来的１１０．
被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相
应地向右或者向左移动一位．
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４
第１９章实数
例５ 化简：
（１）槡９００００；
（２）槡２２５００００００；
（３）０．
槡００３６；
（４）０．
槡０００１６９．
解 （１）因为槡９＝３，所以槡９００００＝３００．
（２）因为槡２２５＝１５，所以槡２２５００００００＝１５０００．
（３）因为槡３６＝６，所以０．
槡００３６＝０．０６．
（４）因为槡１６９＝１３，所以０．
槡０００１６９＝０．０１３．
课堂练习１９．１（１）
１．判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“”，错误的在括号
里打“×”：
（１）２是４的算术平方根；
（ ）
（２）－３是９的算术平方根；
（ ）
（３）０．０１是０．１的算术平方根；
（ ）
（４）０．０４是０．０１６的算术平方根．
（ ）
２．求下列各数的算术平方根：
（１）１９６；
（２）０．８１；
（３）９６４；
（４）１７９．
３．化简：
（１）槡３６００００；
（２）槡２５６００；
（３）０．
槡０００１；
（４）０．
槡００００４９．
２．平方根
问题２ 已知一个数的平方等于１００，那么这个数是多少？
设这个数是狓，根据已知条件，得
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１９．１ 平方根与立方根５
狓２＝１００．
因为１０２＝１００，（－１０）２＝１００，所以这个数是１０或－１０．这实际上是“已
知一个数的平方，求这个数”的问题．
一般地，如果一个数狓的平方等于犪，即狓２＝犪，那么这个数狓叫作犪的
平方根，也称为二次方根．犪叫作被开方数．
求一个数犪的平方根的运算叫作开平方．例如，求６４的平方根，就是要
对６４进行开平方运算，６４是被开方数．
例６ 求下列各数的平方根：
（１）４；
（２）０．１６； （３）９２５．
解 （１）因为２２＝４，（－２）２＝４，所以４的平方根是±２．
（２）因为０．４２＝０．１６，（－０．４）２＝０．１６，所以０．１６的平方根是±０．４．
（３）因为（３５）
２＝９２５，（－３５）
２＝９２５，所以９２５的平方根是±３５．
正数的平方根有什么特点？０有平方根吗？负数有平方根吗？
正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根就是这个数的算
术平方根；０有平方根，０的平方根是０；负数没有平方根，因为在我们现在
所认识的数中，任何一个正数、０或负数的平方都不是负数．
正数有两个平方根，它们互为相反数；
０的平方根是０；
负数没有平方根．
正数犪的两个平方根可以用符号“±槡犪”表示．其中，“＋槡犪”表示犪的正
的平方根，即犪的算术平方根；“－槡犪”表示犪的负的平方根，读作“负根号犪”．
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６
第１９章实数
０的平方根记为“槡０”，槡０＝０．
例７ 化简：
（１）槡２２５；
（２）－０．
槡４９； （３）± １８１槡．
解 （１）槡２２５＝１５．
（２）－０．
槡４９＝－０．７．
（３）± １８１槡＝±１９．
根据一个数的算术平方根，可以写出它的负的平方根吗？为什么？
课堂练习１９．１（２）
１．判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“”，错误的在括号
里打“×”：
（１）４的平方根是２；
（ ）
（２）－４的平方根是－２；
（ ）
（３）２是４的一个平方根；
（ ）
（４）（－２）２的算术平方根是２．
（ ）
２．求下列各数的平方根：
（１）２５；
（２）６４
１２１；
（３）０．３６；
（４）１６９００００．
３．化简：
（１）槡１４４；
（２）－｜－２．２５
槡
｜；
（３）± ９１６槡；
（４）（－６）
槡
２．
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１９．１ 平方根与立方根７
３．立方根
问题３ 有一个体积为１０００ｃｍ３的正方体纸盒，它的棱长是多少？
设这个正方体纸盒的棱长是狓ｃｍ，根据已知条件，得狓３＝１０００．因为
１０３＝１０００，所以这个正方体纸盒的棱长是１０ｃｍ．这实际上是“已知一个数的
立方，求这个数”的问题．
一般地，如果一个数狓的立方等于犪，即狓３＝犪，那么这个数狓叫作犪的
立方根，也称为三次方根．犪叫作被开方数．
求一个数犪的立方根的运算叫作开立方．例如，求６４的立方根，就是要
对６４进行开立方运算，６４是被开方数．
例８ 求下列各数的立方根：
（１）２７；
（２）－１０００；
（３）６４
１２５；
（４）０．
解 （１）因为３３＝２７，所以２７的立方根是３．
（２）因为（－１０）３＝－１０００，所以－１０００的立方根是－１０．
（３）因为（４５）
３＝６４
１２５，所以６４
１２５的立方根是４５．
（４）因为０３＝０，所以０的立方根是０．
正数、０、负数的立方根各有什么特点？
正数的立方是正数，０的立方是０，负数的立方是负数．在我们现在所认
识的数中，任何一个数都有立方根，且只有一个立方根．
正数的立方根是正数；
０的立方根是０；
负数的立方根是负数．
类似平方根，数犪的立方根用符号“３槡犪”表示．
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８
第１９章实数
例９ 化简：
（１）３槡２１６；
（２）３槡－２１６；
（３）
３１８槡；
（４）
３－１８
槡．
一般地，３－
槡犪＝－３槡犪．
解 （１）３槡２１６＝６．
（２）３槡－２１６＝－６．
（３）
３１８槡＝１２．
（４）
３－１８
槡＝－１２．
例１０ 化简：
（１）３槡２７０００； （２）３槡－１２５０００； （３）３槡－１００００００．
解 （１）３槡２７０００＝３０．
（２）３槡－１２５０００＝－５０．
（３）３槡－１００００００＝－１００．
例１１ 化简：
（１）３－０．
槡００８； （２）３０．
槡０６４； （３）３０．
槡０００００１．
解 （１）３－０．
槡００８＝－０．２．
（２）３０．
槡０６４＝０．４．
（３）３０．
槡０００００１＝０．０１．
（１）将被开方数扩大为原来的１０００倍，它的立方根如何变化？
（２）将被开方数缩小为原来的１
１０００，它的立方根如何变化？
被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地
向右或者向左移动一位．
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１９．１ 平方根与立方根９
课堂练习１９．１（３）
１．已知犪３＝１２５，犫３＝－１２１６，犮３＝０．００８．求犪、犫、犮的值．
２．化简：
（１）３槡６４；
（２）３槡－１２５；
（３）
３－１２７
槡；
（４）
３３３８槡．
３．化简：
（１）３槡８００００００；
（２）３０．
槡１２５；
（３）３槡－２１６０００；
（４）３－０．
槡００００２７．
习题１９．１
１．判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“”，错误的在括号里打“×”：
（１）１的平方根是１；
（ ）
（２）０的平方根是０；
（ ）
（３）－１的平方根是－１；
（ ）
（４）１６２５槡＝±４５；
（ ）
（５）（－２）
槡
２＝－２；
（ ）
（６）｜－４｜的平方根是２．
（ ）
２．求下列各数的算术平方根：
（１）３６；
（２）１００
１２１；
（３）０．０００４；
（４）２２５００．
３．求下列各数的平方根：
（１）４９；
（２）２７９；
（３）１．９６；
（４）１４４００００．
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１０
第１９章实数
４．求下列各数的立方根：
（１）１；
（２）－８２７；
（３）－０．０６４；
（４）２１６０００．
５．化简：
（１）槡９００；
（２）－３１１６
槡；（３）０．
槡００８１；（４）±槡１２１００００．
６．化简：
（１）３槡－２７；
（２）
３１６４槡；
（３）
３１５５８
槡；
（４）３－８
槡
２．
７．下列说法是否正确？如果不正确，请说明理由．
（１）互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；
（２）立方根是它本身的数只有０；
（３）算术平方根是它本身的数只有０；
（４）平方根与立方根相等的数只有０．
８．根据下表回答问题：
狓
３．１
３．２
３．３
３．４
３．５
３．６
３．７
３．８
３．９
狓２９．６１１０．２４１０．８９１１．５６１２．２５１２．９６１３．６９１４．４４１５．２１
狓３２９．７９１３２．７６８３５．９３７３９．３０４４２．８７５４６．６５６５０．６５３５４．８７２５９．３１９
（１）１３．６９的平方根是 ，１０．
槡２４＝ ；
（２）３５．９３７的立方根是 ，３５９．
槡３１９＝ ；
（３）根据表中的数据，你能分别写出下列各式的值吗？如果能，请写出
这个值；如果不能，请说明理由．
①槡１２９６００００；
②０．
槡０００１５２１；
③３槡２９７９１０００００；
④３０．
槡００００４６６５６．
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１９．２ 实数１１
１．有理数的小数形式
我们知道，有理数是能够写成分数犫犪（犪、犫是整数，犪≠０）的数，请把下
列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
５２、－４５、２２７、－１６９、３２２．
我们发现，这些有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即
５２＝２．５，－４５＝－０．８，２２７＝３．１
·４２８５７
·，－１６９＝－１．７
·，３２２＝０．１３
·６
·．
在小学，我们曾经学习过分数与小数的互化，知道分数化成小数即用分
子除以分母．当分子除以分母能够除尽时，分数可以化成有限小数，例如，
５２＝５÷２＝２．５．
当分子除以分母除不尽时，分数为什么一定能化成无限循环小数呢？我
们以３２２为例加以说明，下面是３２２化成小数的过程：
ᅊᅅᅇ
ᅉᅉ
ᅏᅇ
ᅍᅍ
ᅈᅋᅇ
ᅈᅊᅉ
ᅏᅇ
ᅍᅍ
ᅈᅋᅇ
ᅈᅊᅉ
ᅏ
ᅇᅅᅈᅊᅍᅊᅍ
ᅉᅉ
由于除法中余数一定小于除数，因此在除数确定的情况下，出现的余数
只有有限种可能，如除数是２２时，出现的余数只有０、１、２、…、２１，共２２
１９．２实数
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１２
第１９章实数
种可能．如果永远除不尽，那么相同的余数一定会重复出现，如３÷２２，相同
的余数８和１４依次重复出现．一旦出现相同的余数，补０后再继续相除，商
也一定会出现循环，如３２２＝３÷２２＝０．１３
·６
·，在相同的余数８和１４依次重复出
现后，商相应出现循环节３６．所以当分子除以分母除不尽时，分数一定能化
成无限循环小数．
可以把整数看成小数点后是０的小数，于是任何一个有理数都可以写成
有限小数或无限循环小数的形式．
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．在小学，我们已经
学习了如何把有限小数化成分数，如０．９＝９１０，２．１２＝２１２
１００＝２３２５．那么，无
限循环小数如何化成分数呢？这个问题将在高中数学学习中作更深入的研究，
这里仅介绍一种将无限循环小数化成分数的方法．
例１ 将０．５
·化成分数．
解 设狓＝０．５
·，那么１０狓＝５．５
·．
因为５．５
·＝５＋０．５
·，所以１０狓＝５＋狓．
化简，得９狓＝５，解得狓＝５９．
所以，０．５
·＝５９．
例２ 将１．５
·３
·化成分数．
解 设狓＝０．５
·３
·，那么１００狓＝５３．５
·３
·．
因为５３．５
·３
·＝５３＋０．５
·３
·，所以１００狓＝５３＋狓．
化简，得９９狓＝５３，解得狓＝５３９９．
所以，１．５
·３
·＝１５３９９．
说明：带“”的内容为选学内容．
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１９．２ 实数１３
例３ 将０．１５
·０３
·化成分数．
解 设狓＝０．５
·０３
·，那么１０００狓＝５０３．５
·０３
·．
因为５０３．５
·０３
·＝５０３＋０．５
·０３
·，所以１０００狓＝５０３＋狓．
化简，得９９９狓＝５０３，解得狓＝５０３
９９９．
又因为０．１５
·０３
·＝０．１＋０．０５
·０３
·＝１１０＋１１０×０．５
·０３
·＝１＋狓
１０，所以０．１５
·０３
·＝
１５０２
９９９０＝７５１
４９９５．
至此我们知道：
有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循
环小数必为有理数．
课堂练习１９．２（１）
１．判断下列说法是否正确，并说明理由：
（１）有限小数一定是有理数；
（２）有理数一定是有限小数；
（３）无限循环小数一定是有理数；
（４）有理数是有限小数或无限循环小数．
２．将下列有理数化成小数：
（１）１１１６；
（２）４２７；
（３）３２１５；
（４）－１７２２．
３．将下列无限循环小数化成分数：
（１）４．１
·０２
·；
（２）０．３１
·６
·．
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１４
第１９章实数
２．无理数
如图１９２１，把边长为１的两个正方形分别沿着它们的一条对角线剪开，
得到四个形状、大小都相同的等腰直角三角形，它们的面积都是１２；再把这四
个等腰直角三角形拼成一个四边形犃犅犆犇，那么我们就得到一个面积为２的
正方形．
A
B
D
C
图１９２１
问题１ 图１９２１中，正方形犃犅犆犇的边长是多少？
设正方形犃犅犆犇的边长为狓，则
狓２＝２．
由算术平方根的意义，得狓＝槡２．
所以正方形犃犅犆犇的边长是槡２．
问题２ 图１９２１中，正方形犃犅犆犇的边长是一条线段的长，即槡２
表示一个数，那么槡２是有理数吗？
事实上，槡２不是有理数．可以用反证法证明如下：
假设槡２是一个有理数，那么存在互素的正整数犪、犫，使槡２＝犪犫．两边平
方，得２＝（犪犫）
２，即犪２＝２犫２．
于是犪２是２的倍数，所以犪也是２的倍数．
设犪＝２犿，其中犿是正整数，就有（２犿）２＝２犫２，即犫２＝２犿２．
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１９．２ 实数１５
于是犫２是２的倍数，所以犫也是２的倍数．
由此可见，犪与犫不是互素的，与假设的犪与犫互素相矛盾．因此槡２不是
有理数．
这样，我们就得到了槡２不是有理数，也就是说，槡２既不是有限小数，也
不是无限循环小数，那么槡２一定是无限不循环小数．实际上，很多数的平方
根和立方根都是无限不循环小数．
无限不循环小数又叫作无理数．例如，槡３、－槡５、３槡２等都是无理数，π
也是无理数．
槡２究竟有多大？
虽然槡２是无理数，但我们可以用有理数估计它的大致范围．我们知道，
边长越大的正方形的面积越大；反之，面积越大的正方形的边长也越大．所以
被开方数越大，对应的算术平方根也越大，即如果犪＞犫≥０，那么槡犪＞槡犫．
利用这个结论，我们可以估计槡２的大小：
表１９１
２所在的范围
槡２所在的范围
１２＜２＜２２
１＜槡２＜２
１．４２＜２＜１．５２
１．４＜槡２＜１．５
１．４１２＜２＜１．４２２
１．４１＜槡２＜１．４２
１．４１４２＜２＜１．４１５２
１．４１４＜槡２＜１．４１５
１．４１４２２＜２＜１．４１４３２
１．４１４２＜槡２＜１．４１４３
１．４１４２１２＜２＜１．４１４２２２
１．４１４２１＜槡２＜１．４１４２２
１．４１４２１３２＜２＜１．４１４２１４２
１．４１４２１３＜槡２＜１．４１４２１４
…
…
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１６
第１９章实数
如果表１９１继续下去，可以得到槡２的更精确的近似值．我们可以用计
算器求出一个数的平方根或其近似值．
例４ 用计算器求值（近似值保留三位小数）：
（１）槡２；
（２）槡４４８９；
（３）３７槡；
（４）０．
槡０３９２．
用计算器求一个数
的平方根时，按键顺序
与计算器的型号有关，
具体操作可以参考计算
器的使用说明书．
解 （１）槡２≈１．４１４．
（２）槡４４８９＝６７．
（３）３７槡≈０．６５５．
（４）０．
槡０３９２≈０．１９８．
同样地，我们也可以用计算器求一个数的立方根或其近似值．
例５ 用计算器求值（近似值保留四位小数）：
（１）３槡２４；
（２）３槡１７５７６；
（３）３－３．
槡９６；
（４）
３２２３槡．
解 （１）３槡２４≈２．８８４５．
（２）３槡１７５７６＝２６．
（３）３－３．
槡９６≈－１．５８２１．
（４）
３２２３槡≈１．３８６７．
课堂练习１９．２（２）
１．无限小数一定是无理数吗？无理数一定是无限小数吗？请说明理由．
２．下列无理数分别介于哪两个相邻的整数之间？
（１）槡１０；
（２）－槡２１．
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１９．２ 实数１７
３．用计算器求值（近似值保留三位小数）：
（１）－槡５；
（２）３槡１７２８；
（３）± ６８１３
槡；
（４）３－１９３７．
槡
７．
３．实数与数轴
有理数和无理数统称为实数．有理数为有限小数或无限循环小数，无理数
为无限不循环小数．不是有理数的实数就是无理数．实数可以这样分类：
实数
有理数
正有理数
０
负有理数
烅
烄
烆
烍
烌
烎
有限小数或无限循环小数
无理数正无理数
负无理数
烅烄
烆
烍烌
烎无限不循环小数
烅
烄
烆
实数也可以分为正实数、０、负实数．
例６ 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
０、－２、槡２、４、３．１４１６、－０．２
·３
·、２２７、π、－０．３７３７７３７７７３…（位数无
限且相邻两个“３”之间依次增加１个“７”）．
解 有理数有：０、－２、４、３．１４１６、－０．２
·３
·、２２７．
无理数有：槡２、π、－０．３７３７７３７７７３…（位数无限且相邻两个“３”之间依
次增加１个“７”）．
我们知道，每一个有理数都可以对应数轴上的一个点，那么一个无理数
可以对应数轴上的一个点吗？
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１８
第１９章实数
问题３ 槡２能用数轴上的一个点对应表示吗？
利用计算机技术，可以求出槡２＝１．４１４２１３５６２３７３０９５０４８８０１６８８７２４２０９
６９８０７８５６９６７１８７５３７６９４８０７３１７６６７９…，其值在有理数１～２之间，进一步
在１．４～１．５之间，１．４１～１．４２之间，……（如表１９１所示）．
如图１９２２，在数轴上，以上面各对有理数所对应的点为端点的线段的
长度依次为１、０．１、０．０１、…，这些线段的长度越来越小，最终收缩为一点，
这个点就是数轴上与槡２对应的唯一的一个点．
0
1
1.5
1.5
1.4
1.4
1.41
1.414 1.415
1.42
2
1.42
1.41
1 42
1 5
2
2
2
图１９２２
类似地，任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示．这样，除任
意一个有理数在数轴上有唯一的对应点外，任意一个无理数在数轴上也有唯
一的对应点，从而任意一个实数在数轴上有唯一的对应点．反之，数轴上任意
给定的一点可对应一个有理数或一个无理数．所以，实数与数轴上的点一一
对应．
一个无理数在数轴
上所对应的点，可以利
用这个无理数的近似值
（有理数）所对应的点来
大致确定．
例７ 在数轴上分别标出－槡３、槡５所对应的点
的大致位置．
解 用计算器可得－槡３≈－１．７３２，槡５≈２．２３６，
它们在数轴上所对应的点的大致位置如图１９２３
所示．
0
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ2
ᅄ1
1
2
3
4
5
ᅄ3
5
图１９２３
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１９．２ 实数１９
课堂练习１９．２（３）
１．判断下列说法是否正确，并说明理由：
（１）正实数包括正有理数和正无理数；
（２）实数可以分为正实数和负实数两类；
（３）所有有理数都可以对应数轴上的点；
（４）数轴上的所有点都对应有理数．
２．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
－π、３．１４、－槡２、６３２０、３５５
１１３、１３、０．９
·、０．０３
·、０．３１３１１３１１１３…（位
数无限且相邻两个“３”之间依次增加１个“１”）．
３．在如图所示的数轴上分别标出－槡２、３槡５所对应的点的大致位置．
0
ᅄ3
ᅄ2
ᅄ1
1
2
3
（第３题）
４．实数的绝对值和大小比较
借助数轴，可以将有理数的绝对值、大小比较推广到实数．有理数关于相
反数和绝对值的意义同样适合于实数．
一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离，叫作这个实数的绝对值．实
数犪的绝对值记作犪．
绝对值相等、符号相反的两个实数互为相反数；０的相反数是０．非零实
数犪的相反数是－犪．
一个正实数的绝对值是它本身，０的绝对值是０，一个负实数的绝对值是
它的相反数．设犪表示一个实数，则
｜犪｜＝
犪， 当犪＞０时；
０， 当犪＝０时；
－犪， 当犪＜０时．
烅
烄
烆
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２０
第１９章实数
例８ （１）分别写出槡１０、３槡－２７的绝对值；
（２）分别写出－槡２、π－３．１４的相反数；
（３）已知一个数的绝对值是槡１５，求这个数．
解 （１）因为槡１０＞０，３槡－２７＝－３＜０，所以｜槡１０｜＝槡１０，｜３槡－２７｜＝３．
（２）因为－（－槡２）＝槡２，－（π－３．１４）＝３．１４－π，所以－槡２、π－３．１４的
相反数分别是槡２、３．１４－π．
（３）因为｜槡１５｜＝槡１５，｜－槡１５｜＝槡１５，所以绝对值是槡１５的数是槡１５
或－槡１５．
两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．
从数轴上看，右边的点对应的实数总比左边的点对应的实数大．
负实数小于０；０小于正实数；负实数小于正实数．
两个正实数，绝对值大的数较大；两个负实数，绝对值大的数较小．
例９ 不用计算器，比较下列各组数的大小：
（１）槡５与－槡６；
（２）槡５与槡６；
（３）－槡５与－槡６．
解 （１）因为负数小于正数，所以－槡６＜槡５．
（２）因为５＜６，所以槡５＜槡６．
（３）因为｜－槡５｜＝槡５，｜－槡６｜＝槡６，又槡５＜槡６，所以－槡５＞－槡６．
例１０ 如图１９２４，已知数轴上的三点犃、犅、犆所对应的实数依次是
槡２、－２３、２１２，犗为原点．
（１）求线段犗犃、犗犅、犗犆的长；
（２）求线段犅犆、犃犆的长．
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１９．２ 实数２１
0
1
A
B
O
C
2
3
1
2 2
ᅄ
2
图１９２４
解 （１）线段犗犃的长就是点犃到原点犗的距离，所以
犗犃＝｜槡２｜＝槡２．
同理，得
犗犅＝－２３＝２３，
犗犆＝２１２＝２１２．
（２）结合图１９２４，可知
犅犆＝犗犅＋犗犆＝２３＋２１２＝３１６，
犃犆＝犗犆－犗犃＝２１２－槡２．
在数轴上，如果点犃、犅对应的实数分别是犪、犫，那么线段犃犅
的长与｜犪－犫｜之间有什么关系？
课堂练习１９．２（４）
１．写出下列各数的相反数与绝对值：
（１）－槡３； （２）３槡１０； （３）０； （４）２－槡５； （５）π＋１．
２．不用计算器，比较下列各组数的大小：
（１）１０与槡６４；
（２）－２与－槡５；
（３）－槡１２与－８；
（４）３槡７与２．
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２２
第１９章实数
３．已知数轴上的四点犃、犅、犆、犇所对应的实数依次是－１．２、
－３１３、３４、４．３．
（１）在如图所示的数轴上标出点犃、犅、犆、犇；
0
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ5
ᅄ2
ᅄ1
1
2
3
4
5
（第３题）
（２）求线段犃犅、犆犇、犃犆的长．
５．实数的运算
实数的加、减、乘、除、乘方运算的意义，和有理数运算的意义一样．我
们学过的有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同
样适用．
若犪、犫、犮为实数，则有
加法交换律：犪＋犫＝犫＋犪．
加法结合律：（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮）．
乘法交换律：犪犫＝犫犪．
乘法结合律：（犪犫）犮＝犪（犫犮）．
乘法对加法的分配律：犪（犫＋犮）＝犪犫＋犪犮．
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和０可以
进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．实数混合运算的顺序
为：先乘方和开平（立）方，再乘除，最后加减．
对于涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那
么通常是利用实数的运算法则和运算律对算式进行
化简，其结果可能是一个化简了的算式，如２＋槡３、
２槡３．
２槡３＝２×槡３．
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１９．２ 实数２３
例１１ 计算：
（１）２槡７＋３槡７－槡７；
（２）槡２×槡３÷１槡２；
（３）（－３）２＋（槡７）
槡
２；
（４）（－２槡３＋２＋３槡３）×槡３．
解 （１）２槡７＋３槡７－槡７
＝（２＋３－１）×槡７ （乘法对加法的分配律）
＝４槡７．
（２）槡２×槡３÷１槡２
＝槡２×槡３×槡２
＝（槡２）２×槡３ （乘法交换律）
＝２槡３．
（３）（－３）２＋（槡７）
槡
２
＝槡９＋７
＝槡１６
＝４．
（４）（－２槡３＋２＋３槡３）×槡３
＝（－２槡３＋３槡３＋２）×槡３ （加法交换律）
＝（槡３＋２）×槡３
＝（槡３）２＋２×槡３ （乘法对加法的分配律）
＝３＋２槡３．
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２４
第１９章实数
一星期有７天，１ｃｍ＝０．０１ｍ，２的算术平方根是槡２，圆周率是π，这里
的７、０．０１、槡２、π都是精确的数．但是，一年约有３６５．２４天，某个轮子的直
径约是０．６６ｍ，槡２约为１．４１４，圆周率约为３．１４，这里的３６５．２４、０．６６、
１．４１４、３．１４都不精确，是近似数．
对于涉及无理数的实数运算，很多时候需要对结果取近似值．这时，可以
先对算式进行适当化简，然后一般用“四舍五入法”，按照所要求的精确度取
近似值．
例１２ 计算（结果保留两位小数）：
（１）（π＋２槡２）－槡２；
（２）［（槡５）２－１］×槡３．
解 （１）（π＋２槡２）－槡２
＝π＋（２槡２－槡２） （加法结合律）
＝π＋槡２
≈４．５６．
（２）［（槡５）２－１］×槡３
＝（５－１）×槡３
＝４槡３
≈６．９３．
例１３ 伞兵脱离飞机打开降落伞前下降的高度犺（单位：ｍ）与下降的时
间狋（单位：ｓ）近似地满足犺＝４．９狋２（不计空气阻力）．某伞兵在打开降落伞前
下降了９２０ｍ，问：大约经过了多少时间（结果精确到１ｓ）？
解 由犺＝４．９狋２，犺＝９２０，得狋２＝９２０
４．９．
因为狋＞０，所以狋＝９２０
４．９槡≈１４（ｓ）．
答：大约经过了１４ｓ．
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１９．２ 实数２５
（１）如果犪、犫都是有理数，分别通过加、减、乘、除四则运算，
得到的结果一定是有理数吗？
（２）如果犪、犫都是无理数，分别通过加、减、乘、除四则运算，
得到的结果一定是无理数吗？
（３）除了之前出现的无理数，你还能找出其他的一些无理数吗？
课堂练习１９．２（５）
１．计算：
（１）２槡６＋３槡６－４槡６；
（２）槡２×（１＋槡２）；
（３）槡５÷１槡２×２槡２；
（４）槡５×（槡５－２槡５）
槡
．
２．计算（结果保留两位小数）：
（１）［（槡２）３－２槡３］＋槡３；
（２）槡７×［２－槡１０
（）２］．
３．如图，在地面上有一个花坛，其底部外周由一段圆弧与正方形的
三条边组成．已知圆弧的半径和正方形的边长相等，正方形犃犅犆犇的面
积为３０ｍ２．求花坛底部的周长（π取３．１４，结果精确到０．１ｍ）．
O
A
D
B
C
（第３题）
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２６
第１９章实数
６．科学记数法
在科学研究和日常生活中，人们往往会遇到绝对值较大或较小的数，如
光在真空中的传播速度约为３００００００００ｍ／ｓ，１ｎｍ等于０．００００００００１ｍ．这些
数直接写起来很不方便，可以用１０的整数次幂的形式来表示，如３００００００００＝
３×１０８，０．００００００００１＝１×１０－９．
把一个数表示成犪×１０狀（１≤｜犪｜＜１０，犪是整数或小数，狀是整数）的形
式，这种记数方法叫作科学记数法．当犪＝１或犪＝－１时，“１”常省略不写，
如０．００００００００１＝１０－９，－１００００００＝－１０６．
用科学记数法表示绝对值较大或较小的数给表达和计算带来了方便．对于
绝对值较大的数，可以直观地表示这个数的整数的位数，如３．２×１０５有六个
整数位．对于绝对值较小的数，可以直观地表示这个数的小数点与左起第一个
非零数字之间０的个数，如１．２３×１０－４的小数点与左起第一个非零数字１之间
有三个０．
例１４ 用科学记数法表示下列各数：
（１）９６０００００；
（２）－１３００００００００；
（３）０．００００３１４２；
（４）－０．０００００００３７．
解 （１）９６０００００＝９．６×１０６．
（２）－１３００００００００＝－１．３×１０９．
（３）０．００００３１４２＝３．１４２×１０－５．
（４）－０．０００００００３７＝－３．７×１０－８．
例１５ 用科学记数法表示下列各数：
（１）地球的表面积约为５１０００００００ｋｍ２；
（２）月球的质量约为７３５０００００００００００００万吨；
（３）在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于０．０００００００２ｓ．
解 （１）５１０００００００＝５．１×１０８．
（２）７３５０００００００００００００＝７．３５×１０１５．
（３）０．０００００００２＝２×１０－８．
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１９．２ 实数２７
例１６ 根据２０２１年５月１１日发布的《第七次全国人口普查公报（第二
号）》，２０２０年１１月１日零时，全国总人口约为１．４４×１０９人．如果平均每人
每天食用粮食０．５ｋｇ，那么上述人口普查公报中的所有人一天食用多少吨粮
食？如果一年按３６５天计算，一年食用多少吨粮食？（结果用科学记数法表示）
解 ０．５×１．４４×１０９＝７．２×１０８（ｋｇ）＝７．２×１０５（ｔ），
７．２×１０５×３６５＝２．６２８×１０８（ｔ）．
答：上述人口普查公报中的所有人一天食用７．２×１０５ｔ粮食，一年食用
２．６２８×１０８ｔ粮食．
例１７ 已知１ｍ３的铁的质量是７．９×１０３ｋｇ．现在有一个铁制的零件，
它的体积是３ｍｍ３，那么它的质量是多少千克（结果用科学记数法表示）？
解 １ｍｍ＝１０－３ｍ，１ｍｍ３＝１０－９ｍ３．
７．９×１０３×３×１０－９＝２．３７×１０－５（ｋｇ）．
答：这个零件的质量是２．３７×１０－５ｋｇ．
课堂练习１９．２（６）
１．用科学记数法表示下列各数：
（１）２６１５００；
（２）－１０２０００００；
（３）０．０００７６；
（４）－０．００００１０３２．
２．（１）２．０２３×１０８有 个整数位；
（２）－６．９１×１０７有 个整数位；
（３）１．９８×１０－５的小数点与左起第一个非零数字之间有 个０；
（４）－４．３７２×１０－６的小数点与左起第一个非零数字之间有
个０．
３．一天有８．６４×１０４ｓ，如果一年按３６５天计算，一年有多少秒（结
果用科学记数法表示）？
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２８
第１９章实数
习题１９．２
１．填空题：
（１）将５１１化成小数是 ；
（２）将０．２
·３
·化成分数是 ．
２．将下列各数填入适当的圈内：
２．５、槡３、－１１７、π、槡１１、０．３
·、０．１０２０３０４０５０６０７０８…（位数无限且从
１开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个０）．ᰶ
)
ᬍ)
３．用计算器求值（结果保留三位小数）：
（１）槡７；
（２）３槡２１；
（３）２３７槡；
（４）３１．
槡００２．
４．已知实数０．６
·、－槡６、－槡２、２．５、０，它们在数轴上所对应的点如图
所示：
0
ᅄ3
ᅄ2
ᅄ1
1
2
3
A
B
C D
E
（第４题）
试指出点犃、犅、犆、犇、犈所对应的实数．
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１９．２ 实数２９
５．化简：
（１）｜２－槡３｜；
（２）｜槡５－槡７｜；
（３）｜３－槡３｜＋｜２＋槡３｜；
（４）｜槡７－２｜＋２．
６．不用计算器，比较下列各组数的大小：
（１）槡１０与槡１２；
（２）－槡１０与－３；
（３）－２槡２与－２槡３；
（４）槡８２与３２．
７．已知数轴上的点犃、犅、犆、犇所对应的实数依次是－１．４、３２３、
２．７５、－槡１０．
（１）在如图所示的数轴上标出点犃、犅、犆的位置和点犇的大致位置；
0
ᅄ3
ᅄ4
ᅄ2
ᅄ1
1
2
3
4
5
（第７题）
（２）求线段犃犅、犅犆、犃犇的长．
８．计算：
（１）３槡２＋５槡２－７槡２－２槡２；
（２）３２槡３－５４槡３＋１４槡３＋５２槡３；
（３）槡１０×槡３÷２槡１０÷槡３；
（４）３槡－１０００－槡１００＋３０．
槡００１＋槡３６．
９．人站在距地面犺ｋｍ的高处，能看到的最远距离犱近似满足犱＝２槡犚犺，
其中犚是地球的半径．上海“东方明珠”太空舱距地面的高度约为３５０ｍ，如果
没有障碍物的影响，站在太空舱的人可以看到多远（犚取６３７１ｋｍ，结果精确
到０．１ｋｍ）？
１０．用科学记数法表示下列各数：
（１）１７０２００００；
（２）－２３０００００；
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３０
第１９章实数
（３）０．０００４５６；
（４）－０．００６０７．
１１．判断下列说法是否正确，并说明理由：
（１）无理数与无理数的和一定是无理数；
（２）无理数与无理数的积一定是无理数；
（３）有理数与无理数的和一定是无理数；
（４）有理数与无理数的积一定是无理数．
１２．试说明槡３是无理数的理由．
１３．我们知道，正方形的面积越大，其边长也越大，即如果两个正方形的
面积分别为犪和犫，且犪＜犫，那么槡犪＜槡犫．
因为１２＜３＜２２，所以１＜槡３＜２，可知槡３的整数部分是１．取１和２的中间
值１＋２
２＝１．５，由１．５２＝２．２５＜３，得１．５＜槡３＜２；取１．５和２的中间值１．５＋２
２＝
１．７５，由１．７５２＝３．０６２５＞３，得１．５＜槡３＜１．７５；……
请继续上面的方法和步骤，确定槡３的十分位上的数字．
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内容提要３１
１．基本概念：算术平方根，平方根，立方根，无理数，实数．
２．平方根和立方根：
（１）正数有两个平方根，它们互为相反数；０的平方根是０；负数没有平
方根．
（２）正数的立方根是正数；０的立方根是０；负数的立方根是负数．
３．实数：
（１）有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循
环小数必为有理数．
（２）无限不循环小数又叫作无理数．
（３）有理数和无理数统称为实数．实数与数轴上的点一一对应．
（４）有理数的运算法则、运算律以及运算顺序的规定，在实数范围内同
样适用．实数混合运算的顺序为：先乘方和开平（立）方，再乘除，最后加减．
４．科学记数法：
把一个数表示成犪×１０狀（１≤｜犪｜＜１０，犪是整数或小数，狀是整数）的形
式，这种记数方法叫作科学记数法．
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３２
第１９章实数
１．填空题：
（１）２５８１的平方根是 ；
（２）－６４
１２５的立方根是 ；
（３）１５的两个平方根的积是 ；
（４）将７１２化成小数是 ；
（５）将０．１３
·５
·化成分数是 ；
（６）比较大小：槡８０ ９（填不等号）；
（７）在数轴上，实数２－槡２对应的点在原点的 侧；
（８）面积为２的正方形的周长是 ，体积是２的正方体的所有棱长
之和是 ．
２．选择题：
（１）（－３）
槡
２的平方根是
（ ）
Ａ．±３；
Ｂ．３；
Ｃ．±槡３；
Ｄ．槡３．
（２）下列等式中正确的是
（ ）
Ａ．－（－８）
槡
２＝－８；
Ｂ．（－槡８）２＝６４；
Ｃ．（－２５）
槡
２＝±２５；
Ｄ．９１１６
槡＝３１４．
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复习题３３
（３）下列说法中正确的是
（ ）
Ａ．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应；
Ｂ．不带根号的数一定是有理数；
Ｃ．负数没有立方根；
Ｄ．－槡１７是１７的一个平方根．
３．用计算器求下列各数的值（结果保留三位小数），并分别写出它们的相
反数及绝对值．
（１）槡１１；
（２）３槡－４；
（３）－槡３；
（４）３槡３．
４．计算：
（１）槡１５－３２槡１５＋１４槡１５；
（２）（３－槡３）÷槡３．
５．根据实验数据，钢轨温度每变化１℃，每一米钢轨就伸缩约０．００００１２ｍ．
如果一年中气温相差４０℃，那么１００ｍ长的铁路最多可伸缩多少（结果用科学
记数法表示）？
６．用４８０ｍ长的篱笆在空地上围一个绿化场地，有两种设计方案：一种
是围成正方形；另一种是围成圆形．选用哪一种方案围成的场地面积较大？大
多少（π取３．１４，结果精确到１ｍ２）？
７．如图，面积为３０ｍ２的正方形犃犅犆犇的四个角都是面积为３ｍ２的小正
方形，用计算器求阴影部分正方形的边长（结果精确到０．０１ｍ）．
B
C
A
D
（第７题）
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３４
第１９章实数
８．给定按一定规律排列的一列数：１、槡２、－槡３、２、槡５、－槡６、槡７、…．
（１）写出第１００个数．
（２）如果从１开始依次连续取若干个数，使它们的和大于５，那么至少要
选多少个数？将算式及结果写出来（可以使用计算器）．
９．请利用计算器探究：
（１）任取一个大于１的数，先对它开平方，再对得到的算术平方根开平
方，……，若将这样的开平方运算持续进行下去，其结果向什么数靠近？写
出你的探究过程和结论．
（２）任取一个小于１且大于０的数先对它开平方，再对得到的算术平方根
开平方，……，若将这样的开平方运算持续进行下去，其结果向什么数靠近？
写出你的探究过程和结论．
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第２０章
二次根式
在六、七年级学习代数式的概念时，所涉及的运算局限于加、
减、乘、除及乘方，所出现的代数式也局限于有理式．由于在“实数”
一章中已引进了数的开方运算，因此代数式的类型也随之扩展，产生
了根式．
本章将学习二次根式的概念、性质和运算．将二次根式化为最简
二次根式，不仅是简化表达的需要，还可以帮助识别那些表示形式不
同但实质相同的二次根式．
本章将为后续学习一元二次方程等内容奠定基础．
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３６
第２０章二次根式
在“实数”一章，我们学习了开平方运算，知道了当犪≥０时，槡犪表示犪的
算术平方根．
形如槡犪的代数式（其中犪为有理式），叫作二次根式．例如，槡２、２３槡、
犪２
槡＋１、犫２－４
槡
犪犮、１
狓－２
槡
等，都是二次根式．
在实数范围内，负数没有平方根，所以如槡－３、槡犫（犫＜０）这样的式子没
有意义，槡犪有意义的条件是代数式犪的值不小于０，即犪≥０．
例１ 设狓是实数，当狓满足什么条件时，下列各式有意义？
（１）２狓
槡－１；
（２）２－
槡狓；
（３）１狓槡；
（４）１＋狓
槡
２．
解 （１）由２狓－１≥０，得狓≥１２．
所以，当狓≥１２时，２狓
槡－１有意义．
（２）由２－狓≥０，得狓≤２．
所以，当狓≤２时，２－
槡狓有意义．
（３）由１狓≥０，得狓＞０．
如无特别说明，本
章出现的二次根式的变
形与运算总是在二次根
式有意义的前提下进行．
所以，当狓＞０时，１狓槡有意义．
（４）不论狓是什么实数，都有１＋狓２＞０．
所以，当狓是任意实数时，１＋狓
槡
２都有意义．
因为槡犪表示犪的算术平方根，所以槡犪的平方等于犪．现在把这个结论作
２０．１二次根式及其性质
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２０．１ 二次根式及其性质３７
为二次根式的性质：
性质１ （槡犪）２＝犪 （犪≥０）．
犪槡２与犪一定相等吗？为什么？
犪槡２是犪２的算术平方根，是一个非负数，而犪可能为负数，所以犪槡２与犪
不一定相等，如（－１）
槡
２≠－１．当犪＞０时，犪２的算术平方根为犪；当犪＝
０时，犪２的算术平方根为０；当犪＜０时，犪２的算术平方根为－犪．这是二次根
式的又一性质：
性质２ 犪槡２＝犪．
例２ 求下列二次根式的值：
（１）（３－π）
槡
２；
（２）狓２－２狓
槡
＋１，其中狓＝－槡３．
解 （１）（３－π）
槡
２＝３－π＝π－３．
（２）狓２－２狓
槡
＋１＝（狓－１）
槡
２＝狓－１．
当狓＝－槡３时，原式＝－槡３－１＝槡３＋１．
课堂练习２０．１（１）
１．设狓是实数，当狓满足什么条件时，下列各式有意义？
（１）１３－２
槡狓；
（２）－２狓槡；
（３）狓２－２狓
槡
＋１．
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３８
第２０章二次根式
２．求下列二次根式的值：
（１）－犮犪槡，其中犪＝２，犮＝－１２；
（２）
１
（犿＋２）２
槡
，其中犿＝－５．
３．设犪、犫、犮分别是三角形三边的长，化简：
（犪－犫＋犮）
槡
２＋（犫－犮－犪）
槡
２．
槡６与槡２×槡３相等吗？３２槡与槡３槡２相等吗？为什么？
当犪≥０，犫≥０时，（槡犪·槡犫）２＝（槡犪）２·（槡犫）２＝犪犫，根据算术平方根的意
义，得槡犪犫＝槡犪·槡犫．当犪≥０，犫＞０时，也可以推出犪犫槡＝槡犪槡犫．我们把这
两个结论也作为二次根式的性质：
性质３ 槡犪犫＝槡犪·槡犫 （犪≥０，犫≥０）．
性质４ 犪犫槡＝槡犪槡犫 （犪≥０，犫＞０）．
在二次根式的运算或变换中，可以根据性质３、性质４进行转化．例如：
槡１８＝２×３
槡
２＝槡２× ３槡２＝３槡２，
３４槡＝槡３槡４＝槡３２．
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２０．１ 二次根式及其性质３９
一般地，根据性质３，设犪≥０，那么
犪犫
槡２＝槡犪· 犫槡２＝犫槡犪．
形如犃２（犃为整
式）的代数式称为完全平
方式，如犫２、（犪＋犫）２．
这说明，如果二次根式里被开方数是几个因式
的积，其中有的因式是完全平方式，那么这样的因
式可用它的算术平方根代替后移到根号外面．
根据性质４，设犪犫≥０，那么
犪犫槡＝犪·犫
犫·犫
槡＝槡犪犫犫槡２＝槡犪犫犫．
这说明，如果二次根式里被开方数含有分母，那么可以将分子和分母同
乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的算术平方根代替后
移到根号外面作为新的分母，从而化去被开方数中的分母．
把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去
被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”．
为了方便，我们常把形如犫槡犪（其中犪、犫为有理式）的代数式也称为二
次根式，如３槡２、槡６４、－槡３等．
例３ 化简下列二次根式：
（１）槡７２；
（２）１２犪
槡
３； （３）１８狓
槡
２（狓≥０）．
解 （１）槡７２＝６２
槡×２＝６槡２．
（２）由１２犪３≥０，可知犪≥０．
所以１２犪
槡
３＝２２×３×犪２×
槡
犪＝（２犪）２·３
槡
犪＝２｜犪｜３槡犪＝２犪３槡犪．
（３）１８狓
槡
２＝３２×２×狓
槡
２＝３槡２｜狓｜．
因为狓≥０，所以１８狓
槡
２＝３槡２狓．
例４ 化简下列二次根式：
（１）犪３槡；
（２）５２狓槡；
（３）犫２
９犪槡（犫＞０）．
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４０
第２０章二次根式
解 （１）犪３槡＝３犪３２槡＝３槡犪３槡２＝３槡犪３．
（２）由５２狓≥０，可知狓＞０．
所以５２狓槡＝５·２狓
２２·狓２
槡
＝１０
槡狓
（２狓）
槡
２＝１０
槡狓
２｜狓｜＝１０
槡狓
２狓．
（３）已知犫＞０，又由犫２
９犪≥０，可知犪＞０．
所以犫２
９犪槡＝犫２·犪
３２·犪２
槡
＝犫２·
槡犪
（３犪）
槡
２＝｜犫｜槡犪
３｜犪｜＝犫槡犪
３犪．
将例３、例４中的二次根式化简前后相比较，化简后的二次根式，
如６槡２、２犪３槡犪、３槡犪３等，其被开方数有什么共同特点？
被开方数中的因式
是指因式分解和素因数
分解后的因式和因数．
由以上观察，可以发现：
（１）被开方数中各因式的指数都为１；
（２）被开方数不含分母．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最
简二次根式．
在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式．
例５ 判断下列二次根式是不是最简二次根式：
（１）５犪３槡；
（２）４２
槡犪；
（３）２４狓
槡
３；
（４）３（犪２＋２犪＋１
槡
）．
解 （１）因为被开方数５犪３含分母３，所以５犪３槡不是最简二次根式．
（２）因为被开方数可分解为４２犪＝２×３×７×犪，各因式的指数都为１，所
以４２
槡犪是最简二次根式．
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２０．１ 二次根式及其性质４１
（３）因为被开方数含因式狓３，它的指数不为１，所以２４狓
槡
３不是最简二次
根式．
（４）因为被开方数可分解为３（犪２＋２犪＋１）＝３（犪＋１）２，其中因式（犪＋１）２
的指数为２，所以３（犪２＋２犪＋１
槡
）不是最简二次根式．
如何将例５中（１）（３）（４）的二次根式化成最简二次根式？
课堂练习２０．１（２）
１．判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：
１３槡、槡犪犫、２犮
槡２、狔狓槡、４犪２＋４犪
槡
＋１、犪２＋犫
槡
２．
２．化简下列二次根式：
（１）槡３２；
（２）２７狓
槡
２（狓≥０）；（３）１２２４犿狀
槡
２（狀＞０）．
３．化简下列二次根式：
（１）２２３槡；
（２）犪４槡；
（３）６狔
１２狓２
槡
（狓＞０）．
习题２０．１
１．设狓是实数，当狓满足什么条件时，下列各式有意义？
（１）狓槡－１；
（２）２狓
槡＋３；
（３）狓＋３
２槡
；
（４）
１
２－３狓
槡
．
２．化简下列二次根式：
（１）（－１．５）
槡
２；
（２）（犪－３）
槡
２（犪＜３）；
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４２
第２０章二次根式
（３）（犫－４）
槡
２（犫＞４）；
（４）（犿－狀）
槡
２（犿≥狀）．
３．找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式．
槡６、槡４５、３犪
槡３、０．
槡５、５３槡．
４．化简下列二次根式：
（１）槡４８；
（２）２．
槡５； （３）１２５槡；
（４）１６槡１８；
（５）１０３８槡．
５．化简下列二次根式：
（１）槡５×１８×２２５；
（２）０．３×０．
槡
２７；
（３）３５－１３
槡
；
（４）１３２４犪２犫
槡
３（犪＜０，犫≥０）；
（５）８狀
１２犿５
槡
．
６．已知３＜狓＜５，化简：（３－狓）
槡
２＋狓－５．
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２０．２ 二次根式的运算４３
实数的运算律和运算顺序，在二次根式运算中同样适用．
把１２槡与槡１８化成最简二次根式，所得结果有什么相同之处？
１２槡＝槡２２，槡１８＝３槡２．二次根式槡２２与３槡２的被开方数相同，都是２．
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二
次根式叫作同类二次根式．例如，１２槡与槡１８是同类二次根式，而槡２与槡３不
是同类二次根式．
例１ 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
槡１２、槡２４、１２７槡、犪４
槡犫（犪≠０）、２犪３
槡犫（犪＞０）、－犪犫
槡３（犪＞０）．
解 把二次根式化成最简二次根式，得
槡１２＝２２
槡×３＝２槡３；
槡２４＝２２
槡×２×３＝２槡６；
１２７槡＝３９２槡＝槡３９；
犪４
槡犫＝犪２槡犫（犪≠０）；
２犪３
槡犫＝２犪２·
槡犪犫＝２犪槡犪犫（犪＞０）；
－犪犫
槡３＝－犪犫·犫
槡
２＝－犫槡犪犫（由犪＞０，可知犫≥０）．
所以，槡１２与１２７槡是同类二次根式，２犪３
槡犫（犪＞０）与－犪犫
槡３（犪＞０）也是
同类二次根式．
２０．２二次根式的运算
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４４
第２０章二次根式
二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式．为了合并
同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式．
例２ 合并下列各式中的同类二次根式：
（１）２槡２－１２槡３＋１３槡２＋槡３；
（２）３槡狓－犪槡狓．
解 （１）２槡２－１２槡３＋１３槡２＋槡３
＝（２＋１３）槡２＋（－１２＋１）槡３
＝７３槡２＋１２槡３．
（２）３槡狓－犪槡狓＝（３－犪）槡狓．
例３ 计算：
（１）３槡７５＋槡４８２；
（２）（０．
槡５－２１３槡）－（１８槡－槡１２）．
解 （１）３槡７５＋槡４８２
＝３５２
槡×３＋４２
槡×３
２
＝１５槡３＋２槡３＝１７槡３．
（２）（０．
槡５－２１３槡）－（１８槡－槡１２）
＝１２槡－２１３槡－１８槡＋槡１２
＝槡２２－２槡３３－槡２４＋２槡３
＝（１２－１４）槡２＋（２－２３）槡３＝１４槡２＋４３槡３．
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２０．２ 二次根式的运算４５
课堂练习２０．２（１）
１．判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：
（１）槡３２、槡５０、２１１８槡；
（２）４狓
槡３、２２槡狓、８狓
槡２（狓≥０）；
（３）３槡狓、３犪２狓
槡
３（犪＞０）、狓狔２
３槡（狔＞０）．
２．计算：
（１）２槡５－６槡５；
（２）槡１２＋２槡４８－３槡７５；
（３）２３槡－槡５＋１６槡．
３．计算：
（１）６槡３－（０．
槡１２－１１３槡）；
（２）８槡狓－２狓２槡＋０．５
槡狓．
x
y
y
2x
图２０２１
问题 如图２０２１，将一个正方形分割成面积分
别为狓和２狓的两个小正方形和面积为狔的两个长方形，
用含狓的代数式表示狔．
分析 图２０２１中，面积为狔的长方形的相邻两边
的长分别等于面积为狓和２狓的两个小正方形的边长，
即槡狓和２槡狓，其中狓＞０，由此可知狔＝槡狓· ２槡狓．
由二次根式的性质３，可得狔＝槡狓· ２槡狓＝狓·２
槡
狓＝２狓
槡２＝槡２狓．
应用二次根式的性质３从右向左进行转化，即得二次根式相乘的法则：
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４６
第２０章二次根式
槡犪·槡犫＝槡犪犫．
例４ 计算：
（１）槡１２×槡３２；
（２）１６槡×槡４８；
（３）３槡２×２槡６；
（４）槡犫· ４槡犫．
解 （１）槡１２×槡３２＝槡１２×３２＝２２×３×２
槡
５＝（２３）２
槡
×２×３＝２３×
槡２×３＝８槡６．
（２）１６槡×槡４８＝１６槡×４８＝２槡３＝２槡２．
（３）３槡２×２槡６＝３×２×槡２×６＝６×２槡３＝１２槡３．
（４）槡犫· ４槡犫＝犫·４
槡犫＝２２·犫
槡
２＝２｜犫｜．
因为槡犫有意义，所以犫≥０．
因此，槡犫· ４槡犫＝２犫．
同样地，二次根式的性质４给出了二次根式相除的法则，即
槡犪槡犫＝犪犫槡．
例５ 计算：
（１）槡３÷槡２；
（２）４３槡÷ １１５槡；
（３）２槡１８÷４槡３．
解 （１）槡３÷槡２＝槡３槡２＝３２槡＝３×２
２×２
槡＝６２２槡＝槡６２槡２＝槡６２．
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２０．２ 二次根式的运算４７
（２）４３槡÷ １１５槡＝４３÷１１５
槡
＝４３槡×１５＝槡４×５＝２槡５．
（３）２槡１８÷４槡３＝２槡１８
４槡３＝１２１８３槡＝槡６２．
课堂练习２０．２（２）
１．计算：
（１）２槡１５÷槡３；
（２）０．
槡１× ０．
槡０７；
（３）槡１３÷ １０４４槡．
２．计算：
（１）４槡犫÷ ６槡犫；
（２）槡３５× ５２槡÷ ４７槡；
（３）槡２４÷（槡１２÷槡２７）．
３．如果一个圆的面积与一个正方形的面积相等，那么该圆的周长与
该正方形周长的比值是多少？
槡３槡２＝槡３×槡２
槡２×槡２＝槡６
（槡２）２＝槡６２，
上式中槡３槡２的分母是槡２，槡６２的分母是２，分母中的槡２是怎样化为２的？
把分母中的根号化去的过程称为分母有理化．分母有理化的方法，一般是
把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号．
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４８
第２０章二次根式
例６ 计算：
（１）槡２÷槡１２；
（２）犪÷槡犪；
（３）２槡１８
槡４５．
分析 （１）（２）先写成“分式”的形式，再分母有理化．
解 （１）槡２÷槡１２＝槡２
槡１２＝槡２×槡３
２槡３×槡３＝槡６６．
（２）犪÷槡犪＝犪槡犪＝犪·槡犪
槡犪·槡犪＝犪槡犪犪＝槡犪．
（３）２槡１８
槡４５＝２×３槡２
３槡５＝２槡２×槡５
槡５×槡５＝２槡１０
５．
A
D
B
E
C
图２０２２
例７ 如图２０２２，在面积为２犪的正方形犃犅犆犇
中，截得面积为槡３３犪的直角三角形犃犅犈．求犅犈的长．
解 因为正方形犃犅犆犇的面积为２犪，所以它的边
长为２槡犪．设犅犈＝狓，根据题意，得
１２·狓· ２槡犪＝槡３３犪．
所以，狓＝槡３３犪÷ ２槡犪２
＝２槡３犪
３２槡犪＝２槡３犪· ２槡犪
３２槡犪· ２槡犪
＝２犪６槡犪
６犪＝６槡犪３，
即犅犈＝６槡犪３．
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２０．２ 二次根式的运算４９
如何将１
槡３＋槡２分母有理化？
１
槡３＋槡２＝
槡３－槡２
（槡３＋槡２）（槡３－槡２）＝槡３－槡２．
观察等式（槡３＋槡２）（槡３－槡２）＝１，其左边是两个含有二次根式的代数式
相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，
如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式．例
如，槡狓＋槡狔与槡狓－槡狔互为有理化因式，槡犪与槡犪互为有理化因式．
一个含有二次根式的非零代数式的有理化因式是唯一的吗？
例８ 把下列各式分母有理化：
（１）槡３
槡３＋１；
（２）
１
４槡３＋３槡２；
（３）犿－１
槡犿＋１（犿≠１）．
解 （１）槡３
槡３＋１＝槡３（槡３－１）
（槡３＋１）（槡３－１）
＝（槡３）２－槡３
（槡３）２－１２
＝３－槡３
２．
（２）
１
４槡３＋３槡２＝
４槡３－３槡２
（４槡３＋３槡２）（４槡３－３槡２）
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５０
第２０章二次根式
＝４槡３－３槡２
（４槡３）２－（３槡２）２
＝４槡３－３槡２
３０．
（３）已知式中犿≠１，所以
犿－１
槡犿＋１＝（犿－１）（槡犿－１）
（槡犿＋１）（槡犿－１）
＝（犿－１）（槡犿－１）
犿－１
＝槡犿－１．
例８中的（３）还可以按如下方式解答：
犿－１
槡犿＋１＝（槡犿＋１）（槡犿－１）
槡犿＋１
＝槡犿－１，
且此解题过程中犿可以等于１．
课堂练习２０．２（３）
１．把下列各式分母有理化：
（１）２槡３；
（２）槡５
３槡１８；
（３）１
犪２
槡＋１．
２．写出下列各式的一个有理化因式：
１－槡２、犪槡－１、槡狓－槡狔、２槡狌＋槡狏．
３．把下列各式分母有理化：
（１）２
１－槡３；
（２）１
１－槡狀；
（３）２槡狓＋３
２槡狓－３．
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２０．２ 二次根式的运算５１
例９ 计算：
（１）１０槡５－４
槡５－１；
（２）（槡犪＋１槡犪）
２．
解 （１）１０槡５－４
槡５－１＝１０×槡５
槡５×槡５－４（槡５＋１）
（槡５－１）（槡５＋１）
＝１０槡５
５－４（槡５＋１）
４
＝２槡５－（槡５＋１）
＝槡５－１．
（２）（槡犪＋１槡犪）
２＝（槡犪）２＋２槡犪·１槡犪＋（１槡犪）
２
＝犪＋２＋１犪．
例１０ 已知狓＝３－２槡２，求狓２－６狓＋２
狓－３的值．
分析 可以把狓＝３－２槡２直接代入计算，但把（狓－３）看作整体代入，比
较简便．
解 因为狓－３＝－２槡２，所以
狓２－６狓＋２
狓－３＝（狓－３）２－７
狓－３
＝（－２槡２）２－７
－２槡２
＝－１２槡２＝－槡２４．
例１１ 解方程：槡３－２槡６狓＝－２槡２．
解 由槡３－２槡６狓＝－２槡２，得
－２槡６狓＝－２槡２－槡３．
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５２
第２０章二次根式
于是
狓＝２槡２＋槡３
２槡６．
因为
２槡２＋槡３
２槡６＝（２槡２＋槡３）×槡６
２槡６×槡６＝４槡３＋３槡２
１２
，
所以原方程的解是狓＝４槡３＋３槡２
１２．
例１２ 解不等式：槡２狓－１＜槡３狓．
解 移项、合并同类项，得
（槡２－槡３）狓＜１．
因为槡２－槡３＜０，所以
狓＞１
槡２－槡３．
又
１
槡２－槡３＝
槡２＋槡３
（槡２－槡３）（槡２＋槡３）＝－槡２－槡３，
所以原不等式的解集是狓＞－槡２－槡３．
课堂练习２０．２（４）
１．解下列方程或不等式：
（１）３槡５狓＋６槡３＝槡５狓；
（２）槡６狓＋２槡２＜０．
２．计算：
（１）（槡３－３槡２）２；
（２）（槡５３－２槡３）（３槡５－１２槡３）；
（３）槡狓÷槡狓＋１
狓－１．
３．设长方形的面积为犛，相邻两边长分别为犪、犫．已知犛＝４槡６，
犫＝槡１０．求犪．
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２０．２ 二次根式的运算５３
习题２０．２
１．当狀取４、６、８、１２、１６、１８中的哪些数时，槡狀和槡２是同类二次根式？
２．计算：
（１）－３４槡５＋３５槡５＋１２槡５－３１０槡５；
（２）（３槡犿－２３槡２）－（５６槡犿－１６槡２）．
３．计算：
（１）２槡１２－槡２７； （２）３槡５－１５槡；
（３）槡３２－槡１８＋槡２；
（４）３槡８－２１３槡－１槡２－槡３２．
４．计算：
（１）３槡４８×（－槡２４）；
（２）２槡狓·槡狓；
（３）犪８槡·槡２．
５．计算：
（１）２槡６÷槡２；
（２）５狓÷槡狓；
（３）２７
槡犪÷槡３．
６．把下列各式分母有理化：
（１）槡２槡５；
（２）槡１５
２槡６；
（３）１２槡狓．
７．把下列各式分母有理化：
（１）１
槡２－１；
（２）犪－１
槡犪－１；
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５４
第２０章二次根式
（３）狓＋２槡狓＋１
槡狓＋１．
８．计算：
（１）（槡５＋槡３）（槡５－槡３）；
（２）（槡３＋槡５）（５槡３＋３槡５）；
（３）（３槡２＋２槡３）÷（２槡３－３槡２）．
９．解下列方程或不等式：
（１）槡５－２槡３狓＝－槡２；
（２）槡３狓＋３＞槡５狓－１．
１０．当狓＝２时，求代数式（槡狓＋１３槡）３槡狓的值．
１１．已知狓＝２
槡３－１，求狓２－２狓＋２
狓－１的值．
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内容提要５５
１．基本概念：二次根式，最简二次根式．
２．二次根式的性质：
（１） 槡犪
（）２＝犪（犪≥０）；
（２） 犪槡２＝犪；
（３） 槡犪犫＝ 槡犪· 槡犫（犪≥０，犫≥０）；
（４）
犪犫槡＝
槡犪
槡犫（犪≥０，犫＞０）．
３．分母有理化：把分母中的根号化去的过程．一般通过分子、分母同乘分
母的有理化因式来实现．
４．二次根式的四则运算：
二次根式相加减：合并同类二次根式；
二次根式相乘： 槡犪· 槡犫＝ 槡犪犫；
二次根式相除：
槡犪
槡犫＝
犪犫槡．
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５６
第２０章二次根式
１．实数狓满足什么条件时，下列各式有意义？
（１）５－
槡狓；
（２）狓２
槡＋２；
（３）１
２狓
槡＋１；
（４）－３狓槡．
２．写出下列等式成立的条件：
（１）（狓－２）（狓－３
槡
）＝狓槡－２· 狓槡－３；
（２）３－狓
２－狓
槡＝３－
槡狓
２－
槡狓．
３．化简下列二次根式：
（１）槡２８８；
（２）３８槡； （３）３５１２３槡；
（４）０．０８×２．
槡
１６； （５）３２狓２槡； （６）３犪３
１０槡．
４．计算：
（１）３槡３－２槡１２＋槡４８；
（２）３槡２０×槡５４÷２槡３；
（３）（３槡２＋槡６）（３槡２－槡６）；
（４）（１３槡－５槡２７）÷（槡６－槡３）；
（５）２７
槡犮＋１２
槡犮－７５
槡犮；
（６）１
（槡５＋２）２．
５．解方程：１狓＝７＋４槡３．
６．解不等式：槡８狓＜１＋槡１８狓．
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复习题５７
７．已知犪＝槡３－１，求代数式犪２＋１犪２
槡
－２的值．
８．设１≤狓≤３，化简：狓２－２狓
槡
＋１＋狓２－６狓
槡
＋９．
９．落地钟的钟摆摆动一个来回所需要的时间称为一个周期
犜，其计算公式为犜＝２π 犾犵槡，其中犾表示摆长（单位：ｍ），
犵＝９．８ｍ／ｓ２．如果一台落地钟摆长为１．８ｍ，它摆动一个来回发
出一次嘀嗒声，那么听到１０次嘀嗒声大约需要多少时间（π取
３．１４，结果精确到１ｓ）？
１０．已知狀是正整数，且７５６
槡狀是整数．求狀的最小值．
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第２１章
一元二次方程
现实生活中所涉及的方程并非都是一次的，许多问题中的数
量关系可以抽象为一元二次方程．
本章将探索一元二次方程的解法，学习一元二次方程的判别
式以及根与系数的关系，并通过建立一元二次方程的数学模型解
决有关的实际问题，进一步体会数学与现实世界的联系．
一元二次方程是进一步学习其他数学知识必不可少的基础，
也是运用数学知识解决实际问题的重要工具．
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２１．１ 一元二次方程的概念５９
我们已经学过一元一次方程的解法．在此基础上，可以解决一些实际问
题．但是，基于实际问题列出的方程并不限于一元一次方程．
问题 一块长方形绿地的面积为１２００ｍ２，且已知长比宽多１０ｍ．问：
长和宽各为多少？
分析 设这块长方形绿地的宽为狓ｍ，它的长就是（狓＋１０）ｍ．因为绿地
面积为１２００ｍ２，所以狓（狓＋１０）＝１２００．
去括号，得
狓２＋１０狓＝１２００．
在上面的等式中，有一个用字母狓表示的未知数，可知它是一个关于狓
的一元方程；等号的两边都是整式，这样的方程是一个整式方程，其中未知
数狓的最高次数是２．求出这个方程中未知数狓的值，就可以求得长方形绿地
的宽．
一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是２的整式方程叫作
一元二次方程．一元二次方程的一般形式是
犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪、犫、犮为已知数，且犪≠０），
其中犪狓２叫作二次项，犪是二次项系数；犫狓叫作一次项，犫是一次项系数；犮
叫作常数项．
例如，（狓＋５）２＝１２，２狔２＋３狔＝－１，狓２＋５狓＝０都是一元二次方程，必
要时可以通过移项及化简把它们化成一般形式．
上述绿地面积问题中出现的方程狓２＋１０狓＝１２００，可通过移项化成一般
形式狓２＋１０狓－１２００＝０，其中二次项系数犪是１，一次项系数犫是１０，常数
项犮是－１２００．
例１ 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程中的各项与各项
的系数：
（１）狓（狓－１）＝３狓－４；
２１．１一元二次方程的概念
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６０
第２１章一元二次方程
（２）狔＋槡３＝槡２（狔２＋２）．
解 （１）去括号，得 狓２－狓＝３狓－４．
移项并合并同类项，得狓２－４狓＋４＝０．
因此，方程中的二次项是狓２，即１·狓２（１通常省略不写），所以二次项系
数是１；一次项是－４狓，一次项系数是－４；常数项是４．
（２）去括号，得
狔＋槡３＝槡２狔２＋２槡２．
移项，得
－槡２狔２＋狔＋槡３－２槡２＝０．
因此，方程中的二次项是－槡２狔２，二次项系数是－槡２；一次项是狔，一
次项系数是１；常数项是槡３－２槡２．
满足方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的实数狓叫作这个方程的实数根（或者
实数解），简称实根或者根．对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判
断一个未知数的值是不是这个方程的根．
例２ 判断－４、１２、２是不是一元二次方程狓２＋２狓－８＝０的根．
解 把狓＝－４代入方程狓２＋２狓－８＝０的左边，得左边的值为
（－４）２＋２×（－４）－８＝０，
而右边的值为０．
因为方程左右两边的值相等，所以狓＝－４是这个一元二次方程的根．
把狓＝１２代入方程狓２＋２狓－８＝０的左边，得左边的值为
（１２）
２＋２×１２－８＝－６３４，
而右边的值为０．
因为方程左右两边的值不相等，所以狓＝１２不是这个一元二次方程的根．
类似地，把狓＝２代入方程的左边，发现方程左右两边的值相等，可知
狓＝２也是这个一元二次方程的根．
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２１．１ 一元二次方程的概念６１
课堂练习２１．１
１．判断下列方程哪些是一元二次方程：
（１）狓２－１６＝０；
（２）３狔２－４狔＝０；
（３）狓－１狓＝０；
（４）槡３狓２－１３狓＋１＝０；
（５）（狓＋３）（狓－３）＋４＝０．
２．将下列一元二次方程化成一般形式，并分别指出它们的二次项系
数、一次项系数和常数项：
（１）１５狓２＋１＝３狓；
（２）槡３狔＝槡５狔２；
（３）２狓（狓－１）＝３（狓＋５）－４；
（４）５狓２－犿狓＋狀＝０（犿、狀是已知数）．
３．当犿满足什么条件时，方程犿狓２－３狓＝狓２－犿狓＋２是关于狓的
一元二次方程？
习题２１．１
１．判断下列方程是不是一元二次方程，是的在括号里打“”，不是的在
括号里打“×”：
（１）１－２狓２＝狓；
（ ）
（２）３狓２－槡２狓＝７；
（ ）
（３）狓２＋１２狓２＝０；
（ ）
（４）（３狓－２）（狓＋６）＝３狓２－７．
（ ）
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６２
第２１章一元二次方程
２．填表：
把下列一元二次方程化成一般形式，并填写各项的系数和常数项：
方程
一般形式
二次项
系数
一次项
系数
常数项
５－３狓＋２狓２＝０
狓（狓－２）＝１
（狓－２）２＝（３狓＋２）（狓－５）
（１－槡２）狓２＝（１＋槡２）狓
３．狓＝－３２是不是关于狓的一元二次方程２狓２－（２犪－３）狓－３犪＝０的根？
为什么？
４．写出一个一元二次方程，使这个方程的一个根是１，且它的一次项系数
为－１；并写出你构造这个方程的方法．
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２１．２ 一元二次方程的解法６３
１．特殊的一元二次方程的解法
怎样解第２１．１节的“问题”中出现的一元二次方程狓２＋１０狓＝１２００呢？
我们从常数项为０的特殊形式入手，讨论怎样解一元二次方程．
问题１ 怎样解方程狓２＋１０狓＝０？
①
我们已经学习过一元一次方程的解法，那么方程①能否转化为一元一次
方程求解呢？
观察方程①，其右边为０，左边可以因式分解，于是这个方程可变形为
狓（狓＋１０）＝０．
当犃·犅＝０时，
必有犃＝０或犅＝０；反
之，当犃＝０或犅＝０
时，必有犃·犅＝０．
此时，这个方程的左边是两个因式的积，右边
是０．我们知道，如果两个因式的积等于０，那么这
两个因式中至少有一个等于０；反之，如果两个因式
中至少有一个等于０，那么这两个因式的积也等于０．
未知数为狓的一元
二次方程的两个根通常
用狓１、狓２表示．
由此得
狓＝０或狓＋１０＝０．
解得
狓＝０或狓＝－１０．
所以，原方程的根是狓１＝０，狓２＝－１０．
例１ 解下列方程：
（１）５狓２－４狓＝０；
（２）２狓（１－狓）＝３（１－狓）．
解 （１）将方程的左边因式分解，得
狓（５狓－４）＝０．
由此得
狓＝０或５狓－４＝０．
解得
狓＝０或狓＝４５．
所以，原方程的根是狓１＝０，狓２＝４５．
２１．２一元二次方程的解法
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６４
第２１章一元二次方程
（２）通过移项，原方程可变形为
２狓（１－狓）－３（１－狓）＝０．
将方程的左边因式分解，得
（１－狓）（２狓－３）＝０．
由此得
１－狓＝０或２狓－３＝０．
解得
狓＝１或狓＝３２．
所以，原方程的根是狓１＝１，狓２＝３２．
可以发现，上述解法中，通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次
因式的积等于０的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方
程的问题．
像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法．
因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程．
例２ 解下列方程：
（１）狓２－７狓＋１２＝０；
（２）２狔（狔－２）＝狔２＋５；
（３）３（狓－２）＝５（狓－２）２．
解 （１）将方程的左边因式分解，得
（狓－４）（狓－３）＝０．
由此得
狓－４＝０或狓－３＝０．
解得
狓＝４或狓＝３．
所以，原方程的根是狓１＝４，狓２＝３．
（２）整理原方程，得
狔２－４狔－５＝０．
将方程的左边因式分解，得
（狔－５）（狔＋１）＝０．
由此得
狔－５＝０或狔＋１＝０．
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２１．２ 一元二次方程的解法６５
解得
狔＝５或狔＝－１．
所以，原方程的根是狔１＝５，狔２＝－１．
（３）移项，得
３（狓－２）－５（狓－２）２＝０．
将方程的左边因式分解，得
（狓－２）［３－５（狓－２）］＝０，
即
（狓－２）（１３－５狓）＝０．
由此得
狓－２＝０或１３－５狓＝０．
解得
狓＝２或狓＝１３５．
所以，原方程的根是狓１＝２，狓２＝１３５．
请同学们尝试用因式分解法求解方程狓２＋１０狓＝１２００．
课堂练习２１．２（１）
１．（口答）说出下列方程的根：
（１）狓（狓＋４）＝０；
（２）（狓－１）（狓＋１５）＝０；
（３）（５狓＋１）（２狓－槡２）＝０；
（４）（狓－犪）（狓＋犫）＝０（犪、犫是已知数）．
２．用因式分解法解下列方程：
（１）狓２－狓－２＝０；
（２）狓２－８狓＋１２＝０；
（３）狓２＋２＝３狓；
（４）狓２＋４狓＝２１．
３．小海与小华同时在解方程３（狓－３）＝（狓－３）２：
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６６
第２１章一元二次方程
小海：
两边同除以（狓－３），得
３＝狓－３．
解得狓＝６．
小华：
移项，得３（狓－３）－（狓－３）２＝０．
提取公因式，得（狓－３）（３－狓＋３）＝０．
由此得狓－３＝０或３－狓＋３＝０．
解得狓１＝３，狓２＝６．
你认为谁的解法正确？正确的请在框内打“”；不正确的请指出错
误的地方及错误原因．
下面，我们继续探讨一元二次方程的解法．
问题２ 怎样解方程狓２＝１２００？
②
分析 根据平方根的定义，可知狓是１２００的平方根，所以解方程②就是
求１２００的平方根，为此只要将方程两边开平方即可．
解 两边开平方，得 狓＝±２０槡３．
所以方程②有两个根：狓１＝２０槡３，狓２＝－２０槡３．
如果我们将方程②改成
狓２＝－１２００
③
的形式，这个方程③该怎么解呢？
分析 根据上面的分析，可知“解方程③就是求－１２００的平方根”．因为
负数在实数范围内没有平方根，所以方程③没有实数根．
上述解法中，我们利用了平方根的定义求解相应的方程．
可以像上面这样，直接通过求平方根来解某些特殊的一元二次方程．
例３ 解下列方程：
（１）９狓２－４＝０； （２）２狓２＋５＝０．
解 （１）移项，得
９狓２＝４．
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２１．２ 一元二次方程的解法６７
两边同除以９，得
狓２＝４９．
两边开平方，得
狓＝±２３．
所以，原方程的根是狓１＝２３，狓２＝－２３．
（２）移项，得
２狓２＝－５．
两边同除以２，得
狓２＝－５２．
因为任何一个实数的平方不可能是负数，所以原方程没有实数根．
形如犪狓２＋犮＝０（犪、犮为已知数，且犪≠０）的一元二次方程有根
吗？如果有，你能求出它的根吗？
一元二次方程犪狓２＋犮＝０（犪≠０）可以变形为狓２＝－犮犪．若将－犮犪记为犱，
则原方程转化为狓２＝犱．
（１）当犱＞０时，方程有两个不相等的实数根：狓１＝槡犱，狓２＝－槡犱；
（２）当犱＝０时，方程有两个相等的实数根：狓１＝狓２＝０；
（３）当犱＜０时，方程没有实数根．
问题３ 对照方程②的求解过程，你能解方程（狓＋５）２＝１２吗？
分析 如果把（狓＋５）看成一个整体，即看成一个未知数狔，那么方程
（狓＋５）２＝１２就可以看成方程狔２＝１２．
解 两边开平方，得
狓＋５＝２槡３或狓＋５＝－２槡３．
分别求这两个一元一次方程的根，得
狓＝２槡３－５或狓＝－２槡３－５．
所以，原方程的根是狓１＝２槡３－５，狓２＝－２槡３－５．
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６８
第２１章一元二次方程
例４ 解下列方程：
（１）（２狓－５）２＝９；
（２）２（狓＋３）２－４９＝０．
解 （１）两边开平方，得
２狓－５＝３或２狓－５＝－３．
解得
狓＝４或狓＝１．
所以，原方程的根是狓１＝４，狓２＝１．
（２）原方程可化为
（狓＋３）２＝４９２．
两边开平方，得
狓＋３＝７２槡２或狓＋３＝－７２槡２．
解得
狓＝７２槡２－３或狓＝－７２槡２－３．
所以，原方程的根是狓１＝７２槡２－３，狓２＝－７２槡２－３．
课堂练习２１．２（２）
１．（口答）说出下列方程的根：
（１）狓２＝１４４；
（２）狓２－２５３６＝０；
（３）５狓２＋２＝０；
（４）６４狔２＝１；
（５）－２狔２＋４＝０．
２．解下列方程：
（１）１２狓２－８＝０；
（２）１－０．１狓２＝０；
（３）（狓＋２）２＝２５；
（４）３（５－狓）２＝３６；
（５）１３（２狓－３）２＝２５．
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２１．２ 一元二次方程的解法６９
２．一般的一元二次方程的解法
我们知道，第２１．１节的“问题”中出现的一元二次方程狓２＋１０狓＝１２００可
以用因式分解法求解，但是，对于下面的方程④，用因式分解法求解就不容
易了，需要继续探索一元二次方程的一般解法．
问题４ 怎样解方程狓２＋１０狓＝１２？
④
我们已经会解“问题３”中的方程（狓＋５）２＝１２，因为它是狔２＝犱（犱≥０）的
形式，可以直接通过开平方求解．那么，能否将方程狓２＋１０狓＝１２转化为
狔２＝犱（犱≥０）的形式呢？
分析 观察方程④的左边狓２＋１０狓，它与（狓＋５）２的展开式相差一个常数
２５．如果在方程④的两边同加上一次项系数一半的平方，即２５，那么方程④
可化成（狓＋５）２＝３７的形式，然后两边开平方求解即可．
解方程④的过程可以表示如下：
原方程
狓２＋１０狓＝１２．
方程的两边同加上２５
狓２＋１０狓＋２５＝１２＋２５．
将左边写成完全平方式
（狓＋５）２＝３７．
两边开平方
狓＋５＝槡３７或狓＋５＝－槡３７．
解一元一次方程
狓１＝槡３７－５，狓２＝－槡３７－５．
像这样给狓２＋１０狓加上２５配成完全平方式（狓＋５）２的过程，简称“配方”．
例５ 解下列方程：
（１）狓２－２狓＝４；
（２）狓２＋３狓－７４＝０．
解 （１）在原方程两边同加上一个数，使方程左边配成完全平方式．为
此，加上１，原方程可化为
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第２１章一元二次方程
狓２－２狓＋１＝４＋１，
即
（狓－１）２＝５．
两边开平方，得
狓－１＝槡５或狓－１＝－槡５．
解得
狓＝１＋槡５或狓＝１－槡５．
所以，原方程的根是狓１＝１＋槡５，狓２＝１－槡５．
（２）移项，得
狓２＋３狓＝７４．
再在两边同加上一个数，使方程左边配成完全平方式．为此，加上（３２）
２，
原方程可化为
狓２＋３狓＋９４＝７４＋９４，
即
（狓＋３２）
２＝４．
两边开平方，得
狓＋３２＝２或狓＋３２＝－２．
解得
狓＝１２或狓＝－７２．
所以，原方程的根是狓１＝１２，狓２＝－７２．
像上面这样，通过“配方”来解一元二次方程的方法，可称为配方法．
请同学们尝试用配方法求解方程狓２＋１０狓＝１２００．
例６ 用配方法解方程：２狓２－３狓＋１２＝０．
分析 观察该方程，由于二次项系数为２，为了便于配方，往往先将二次
项系数化为１，为此将方程的两边同除以２．
解 移项，得
２狓２－３狓＝－１２．
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２１．２ 一元二次方程的解法７１
将二次项系数化为１，得
狓２－３２狓＝－１４．
配方，得
（狓－３４）
２＝５１６．
两边开平方，得
狓－３４＝槡５４或狓－３４＝－槡５４．
解得
狓＝３４＋槡５４或狓＝３４－槡５４．
所以，原方程的根是狓１＝３４＋槡５４，狓２＝３４－槡５４．
当一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的二次项系数犪≠１时，
能用配方法解该方程吗？如果能，那么该如何配方呢？
课堂练习２１．２（３）
１．填空题：
（１）狓２＋６狓＋ ＝（狓＋ ）２；
（２）狓２－７狓＋ ＝（狓－ ）２；
（３）狓２＋３２狓＋ ＝（狓＋ ）２；
（４）狓２－２５狓＋ ＝（狓－ ）２；
（５）狓２＋犫狓＋ ＝（狓＋ ）２；
（６）狓２＋犫犪狓＋ ＝（狓＋ ）２．
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第２１章一元二次方程
２．用配方法解下列方程：
（１）狓２＋８狓－２＝０；
（２）狓２－狓－１＝０；
（３）２狓２－５狓＋１＝０；
（４）４狓２－２狓－１＝０．
３．乐乐在解方程狓２－４狓－２＝０时出现了错误，他的解答过程如下：
解：①移项，得狓２－４狓＝－２．
②配方，得（狓－２）２＝２．
③两边开平方，得狓－２＝ 槡２或狓－２＝－ 槡２．
④所以狓１＝２＋ 槡２，狓２＝２－ 槡２．
（１）乐乐的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是
；
（２）请写出正确的解答过程．
３．一元二次方程的求根公式
问题５ 对于任意给定的一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０），如何用
配方法求解？
观察前面“配方”的过程，可以知道这种方法对任意的一元二次方程都是
适用的．下面我们利用配方法来解一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）．
把原方程的常数项移到方程右边，得
犪狓２＋犫狓＝－犮．
方程两边同除以二次项系数，得
狓２＋犫犪狓＝－犮犪．
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２１．２ 一元二次方程的解法７３
方程两边同加上（犫２犪）
２，把左边配成完全平方式，得
（狓＋犫２犪）
２＝－犮犪＋（犫２犪）
２．
整理，得
（狓＋犫２犪）
２＝犫２－４犪犮
４犪２．
对上面这个方程进行分类讨论：
因为犪≠０，所以４犪２＞０．
（１）当犫２－４犪犮≥０时，犫２－４犪犮
４犪２≥０．
通过开平方，可得
狓＋犫２犪＝± 犫２－４犪犮
４犪２
槡
，
则
狓＝－犫２犪± 犫２－４
槡
犪犮
２犪，
即
狓＝－犫± 犫２－４
槡
犪犮
２犪
．
（２）当犫２－４犪犮＜０时，犫２－４犪犮
４犪２＜０．这时，在实数范围内，狓取任何数都
不能使方程（狓＋犫２犪）
２＝犫２－４犪犮
４犪２左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．
由上述讨论可以得到：
对一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０），当犫２－４犪犮≥０时，它的实
数根可以写成狓＝－犫± 犫２－４
槡
犪犮
２犪
的形式．这个式子叫作一元二次方程
犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的求根公式．
在求根公式中，如果犫２－４犪犮＝０，那么狓１＝狓２＝－犫２犪，即方程有两个相
等的实数根（重根）．
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第２１章一元二次方程
在解一元二次方程时，把方程化成一般形式犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０），如
果犫２－４犪犮≥０，那么把犪、犫、犮的值代入求根公式，就可以求得方程的实数
根；如果犫２－４犪犮＜０，那么原方程没有实数根．这种解一元二次方程的方法
称为公式法．
公式法适用所有的一元二次方程．
例７ 用公式法解下列方程：
（１）５狓２＋６狓＋１＝０；
（２）狔（狔＋４）＝８．
用公式法解一元二
次方程时，应根据方程
的一般形式确定犪、犫、
犮的值，特别要注意犪、
犫、犮的符号．
解 （１）原方程中，犪＝５，犫＝６，犮＝１．
犫２－４犪犮＝６２－４×５×１＝１６．
由求根公式，得狓＝－６±槡１６
２×５＝－６±４
１０，
即
狓＝－１５或狓＝－１．
所以，原方程的根是狓１＝－１５，狓２＝－１．
（２）把原方程化成一般形式，得
狔２＋４狔－８＝０，
其中犪＝１，犫＝４，犮＝－８．
犫２－４犪犮＝４２－４×１×（－８）＝４８．
由求根公式，得
狔＝－４±槡４８
２×１＝－４±４槡３
２
，
即
狔＝－２＋２槡３或狔＝－２－２槡３．
所以，原方程的根是狔１＝－２＋２槡３，狔２＝－２－２槡３．
例８ 用公式法解下列方程：
（１）狓２－２（槡５狓－３）＝１；
（２）２狓２＋４＝－５狓．
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２１．２ 一元二次方程的解法７５
解 （１）把原方程化成一般形式，得
狓２－２槡５狓＋５＝０，
其中犪＝１，犫＝－２槡５，犮＝５．
犫２－４犪犮＝（－２槡５）２－４×１×５＝０．
由求根公式，得
狓＝－犫２犪＝－－２槡５
２×１＝槡５．
所以，原方程的根是狓１＝狓２＝槡５．
（２）把原方程化成一般形式，得
２狓２＋５狓＋４＝０，
其中犪＝２，犫＝５，犮＝４．
犫２－４犪犮＝５２－４×２×４＝－７＜０．
所以，原方程没有实数根．
回到第２１．１节中的“问题”，这块长方形绿地的宽狓满足方程
狓２＋１０狓＝１２００，
即
狓２＋１０狓－１２００＝０．
用公式法解这个方程，得
狓＝－１０± １０２－４×１×（－１２００
槡
）
２×１
＝－１０±槡４９００
２
＝－１０±７０
２
，
即
狓１＝３０，狓２＝－４０．
在列方程解决应用
问题时，要检验方程的
根是否符合实际意义．
经检验，在这两个根中，只有狓１＝３０符合实际
意义，因此这块长方形绿地的宽为３０ｍ，它的长为
４０ｍ．
围绕方程狓２＋１０狓＝１２００，我们一共探索了几种解法？你能说说
这几种解法各自的特点吗？
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７６
第２１章一元二次方程
课堂练习２１．２（４）
１．用公式法解下列方程：
（１）２狓２＋狓－６＝０；
（２）狓２－２槡３狓－４＝０；
（３）３２狓２－１２狓＝６；
（４）２狓２＋３狓＋１０＝８狓－１．
２．用公式法解下列方程：
（１）狓２＋２＝２槡２狓；
（２）９狓２－１２狓＋４＝０；
（３）狓（狓－５）＝（２狓－３）２－６； （４）狔－狔２－１
２＝－１２．
３．欢欢在解方程狓２－５狓＝１时出现了错误，她的解答过程如下：
解：①原方程中，犪＝１，犫＝－５，犮＝１．
②犫２－４犪犮＝－５
（）２－４×１×１＝２１＞０．
③由求根公式，得狓＝５± 槡２１
２．
④所以，原方程的根是狓１＝５＋ 槡２１
２，狓２＝５－ 槡２１
２．
（１）欢欢的解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是
；
（２）请写出正确的解答过程．
习题２１．２
１．解下列方程：
（１）狓２＝１２１； （２）４狓２－６４＝０；
（３）（狓－５）２＝１８；
（４）３（５０＋狔）２－１２＝０．
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２１．２ 一元二次方程的解法７７
２．用因式分解法解下列方程：
（１）４狓２－２狓＝０；
（２）狓２＋２狓－３＝０；
（３）－狓２＋３狓＋１８＝０；
（４）狓２－１２狓＝４狓．
３．用配方法解下列方程：
（１）狓２－４狓－２１＝０；
（２）狓２＋３狓＋１＝０；
（３）３狓２＋６狓－１＝０；
（４）１２狓２－３狓－５＝０．
４．用公式法解下列方程：
（１）狓２＋７狓＋３＝０；
（２）２狓２－５狓＋１＝０；
（３）－３狓２－５狓＋７＝０；
（４）６狓２－３＝狓．
５．用适当的方法解下列方程：
（１）２（狓＋１）２＝３；
（２）（２狓－１）２
３＝１－２狓
４；
（３）４狓（狓＋１）＝１５；
（４）２槡３狓＝槡２（狓２＋１）；
（５）（狓＋２）２＝－２狓；
（６）３２狔（狔－８３）＝３狔－４．
６．解关于狓的方程：狓２－４狓－犽２＝０（犽是已知数）．
７．已知二次三项式狓２－６狓＋５．
（１）当狓为何值时，这个二次三项式的值为零？
（２）当狓为何值时，这个二次三项式的值等于狓＋４的值？
８．三个连续整数中，第一个与第三个整数的平方和正好是１００．求这三个
连续整数．
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７８
第２１章一元二次方程
由前面的公式法我们知道，根据犫２－４犪犮的符号可以判断一元二次方程
犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的根的情况，我们把犫２－４犪犮叫作该一元二次方程的判
别式，通常用符号“Δ”（读作“／犱犲犾狋／”）来表示，记作Δ＝犫２－４犪犮．
利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，
以及有实数根时两根是否相等．
对一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）：
当Δ＝犫２－４犪犮＞０时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝犫２－４犪犮＝０时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＝犫２－４犪犮＜０时，方程没有实数根．
上述判断反过来说也是正确的，即
当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞０；
当方程有两个相等的实数根时，Δ＝０；
当方程没有实数根时，Δ＜０．
例１ 不解方程，判断下列方程的实数根的情况：
（１）４狓２－５狓－３＝０；
（２）２狓２＋４狓＋３＝０；
（３）２狓２＋３＝２槡６狓．
解 （１）因为Δ＝（－５）２－４×４×（－３）＝７３＞０，所以此方程有两个不相
等的实数根．
（２）因为Δ＝４２－４×２×３＝－８＜０，所以此方程没有实数根．
（３）把原方程变形为
２狓２－２槡６狓＋３＝０．
２１．３一元二次方程的判别式
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２１．３ 一元二次方程的判别式７９
因为Δ＝（－２槡６）２－４×２×３＝０，所以此方程有两个相等的实数根．
例２ 关于狓的方程狓２＋（犿－１）狓－犿＝０（犿是实数）一定有实数根
吗？为什么？
一元二次方程有实
数根指的是方程有两个
不相等的实数根或有两
个相等的实数根．
解 Δ＝（犿－１）２－４×１×（－犿）
＝犿２＋２犿＋１＝（犿＋１）２．
因为犿是实数，所以（犿＋１）２≥０，即Δ≥０．
所以此方程一定有实数根．
课堂练习２１．３（１）
１．不解方程，判断下列方程的实数根的情况：
（１）６４狓２－５狓－４＝０； （２）１４狓２－３狓＋９＝０；
（３）０．２狓２＋０．６狓＋０．０５＝０；
（４）３狓（狓－２）＝－７；
（５）９狓２＝４（３狓－１）； （６）槡３２狓２－槡２２狓＋１＝０．
２．关于狓的方程犿狓２＋（犿＋１）狓＋１＝０（犿≠０）一定有实数根吗？
为什么？
例３ 当犿分别满足什么条件时，关于狓的方程狓２＋（犿－２）狓＋
１４犿２－１＝０的根的情况如下：
（１）方程有两个不相等的实数根？
（２）方程有两个相等的实数根？
（３）方程没有实数根？
解 Δ＝（犿－２）２－４（１４犿２－１）＝－４犿＋８．
（１）当Δ＝－４犿＋８＞０，即犿＜２时，方程有两个不相等的实数根．
（２）当Δ＝－４犿＋８＝０，即犿＝２时，方程有两个相等的实数根．
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８０
第２１章一元二次方程
（３）当Δ＝－４犿＋８＜０，即犿＞２时，方程没有实数根．
例４ 已知关于狓的方程狓２－４犽狓＋（２犽－１）２＝０有实数根，求犽所满足
的条件及方程的根（用含犽的代数式表示）．
解 Δ＝（－４犽）２－４（２犽－１）２＝１６犽－４．
因为方程有实数根，所以１６犽－４≥０，即犽≥１４．
方程的根是
狓＝４犽± １６犽
槡－４
２
，
即
狓１＝２犽＋４犽
槡－１，狓２＝２犽－４犽
槡－１．
例５ 已知关于狓的方程４狓２－（犽＋２）狓＋犽＝１有两个相等的实数根，
求犽的值及方程的根．
解 把原方程变形为４狓２－（犽＋２）狓＋犽－１＝０．
Δ＝［－（犽＋２）］２－４×４×（犽－１）＝犽２－１２犽＋２０．
因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝０．
由
犽２－１２犽＋２０＝０，
得
（犽－２）（犽－１０）＝０．
解得
犽＝２或犽＝１０．
把犽＝２代入原方程，得
４狓２－４狓＋１＝０，
即
（２狓－１）２＝０．
原方程的根是狓１＝狓２＝１２．
把犽＝１０代入原方程，得
４狓２－１２狓＋９＝０，
即
（２狓－３）２＝０．
原方程的根是狓１＝狓２＝３２．
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２１．３ 一元二次方程的判别式８１
课堂练习２１．３（２）
１．当犽取何值时，关于狓的方程狓２－犽（狓＋１）＋狓＝０有两个相等
的实数根？
２．当犿分别满足什么条件时，关于狓的方程狓２＋２犿狓＋（犿－２）２＝
狓的根的情况如下：
（１）方程有两个不相等的实数根？
（２）方程有两个相等的实数根？
（３）方程没有实数根？
（４）方程有一个根为０？
习题２１．３
１．判断下列语句是否正确，正确的在括号里打“”，错误的在括号里打
“×”：
（１）方程狓２－８＝０有两个相等的实数根；
（ ）
（２）方程５狓２＝－２狓没有实数根；
（ ）
（３）如果关于狓的一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个实数根，那么
Δ＞０；
（ ）
（４）如果犪、犮异号，那么关于狓的一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个
不相等的实数根．
（ ）
２．填空题：
（１）关于狓的一元二次方程狓２＋狆狓＋狇＝０的判别式是 ；
（２）如果关于狓的方程４狓２－犿狓＋１＝０有两个相等的实数根，那么犿的
值是 ；
（３）如果关于狓的方程（狓＋１）２＝１－犽没有实数根，那么犽所满足的条
件是 ；
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８２
第２１章一元二次方程
（４）如果关于狓的方程２狓２－３狓＋２犿＝０有两个实数根，那么犿所满足
的条件是 ．
３．不解方程，判断下列方程的实数根的情况：
（１）３狓２－２５狓＋１０＝０； （２）１２狓２＋７狓＋２８＝０；
（３）１６狓２＋９＝２４狓；
（４）狓２＋２（槡３＋１）狓＋２槡３＝０．
４．当犿分别满足什么条件时，关于狓的一元二次方程（犿＋１）狓２＋２狓＝１
（犿是实数）的根的情况如下：
（１）方程有两个不相等的实数根？
（２）方程有两个相等的实数根？
（３）方程没有实数根？
５．已知关于狓的方程狓２＋２狓－犪＋１＝０没有实数根，试判断关于狓的方
程狓２＋犪狓＋犪＝１是否一定有两个不相等的实数根，并说明理由．
６．已知关于狓的方程（２－犽）狓２－２犽狓＋１＝０有两个相等的实数根，求犽
的值及方程的根．
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２１．４ 一元二次方程的根与系数的关系８３
我们知道一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的根的情况完全是由系数
犪、犫、犮确定的，判别式Δ＝犫２－４犪犮的符号与其实数根的情况有密切关系，
当Δ≥０时，求根公式狓１＝－犫＋犫２－４
槡
犪犮
２犪
，狓２＝－犫－犫２－４
槡
犪犮
２犪
表达了方程
的每一个根与系数之间的关系．现在我们进一步研究一元二次方程的两个根与
系数之间的关系．
我们试着计算两根之和与两根之积．
一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的两个根狓１、狓２满足
狓１＋狓２＝－犫＋犫２－４
槡
犪犮
２犪
＋－犫－犫２－４
槡
犪犮
２犪
＝－２犫
２犪＝－犫犪，
狓１·狓２＝－犫＋犫２－４
槡
犪犮
２犪
·－犫－犫２－４
槡
犪犮
２犪
＝（－犫）２－（犫２－４
槡
犪犮）２
４犪２
＝犮犪．
由此得到下述关于一元二次方程的根与系数关系的定理：
韦达定理 如果一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的两个实数根
分别是狓１、狓２，那么
狓１＋狓２＝－犫犪， 狓１·狓２＝犮犪．
例１ 已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积：
（１）狓２－４狓＋槡５＝０； （２）２狓２－槡３狓－３＝０；
（３）１２狓２＋２狓＝０； （４）－槡２狓２＝狓－４．
解 设一元二次方程的两个实数根分别是狓１、狓２．
（１）由韦达定理，得狓１＋狓２＝－（－４）＝４，狓１·狓２＝槡５．
（２）由韦达定理，得狓１＋狓２＝－－槡３
２＝槡３２，狓１·狓２＝－３２＝－３２．
２１．４一元二次方程的根与系数的关系
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８４
第２１章一元二次方程
（３）由韦达定理，得狓１＋狓２＝－２１２
＝－４，狓１·狓２＝０１２
＝０．
（４）将原方程变形为槡２狓２＋狓－４＝０，由韦达定理，得
狓１＋狓２＝－１槡２＝－槡２２，狓１·狓２＝－４
槡２＝－２槡２．
例２ 已知关于狓的方程２狓２－５狓＋狆＝０的一个根为１２，求此方程的另
一个根及狆的值．
解 设此方程的另一个根是狓１，由韦达定理，得
狓１＋１２＝５２，
狓１·１２＝狆２．
烅
烄
烆
①
②
由①，得狓１＝２．
把狓１＝２代入②，得２×１２＝狆２．
解得狆＝２．
所以，此方程的另一个根是狓１＝２，狆的值是２．
课堂练习２１．４（１）
１．（口答）已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积：
（１）狓２－２狓－２＝０； （２）１２狓２＋８狓＝０；
（３）２狓２－３狓＋１２＝０；
（４）２狓２－７＝０；
（５）狓２＋２＝２槡２狓；
（６）３２狓２－１２狓＝６．
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２１．４ 一元二次方程的根与系数的关系８５
２．（１）已知方程２狓２－５狓－３＝０的一个根是３，不解方程，求此方
程的另一个根；
（２）已知方程２狓２－２狓－１＝０的一个根是１＋槡３
２，不解方程，求此
方程的另一个根．
３．（１）已知关于狓的方程２狓２＋犽狓＋３＝０的一个根是１２，求此方程
的另一个根及犽的值；
（２）已知关于狓的方程３狓２＋１５狓＋犿＝０的一个根为１，求此方程
的另一个根及犿的值．
例３ 已知方程２狓２＋６狓－３＝０有两个实数根狓１、狓２，利用韦达定理求
下列各式的值：
利用韦达定理求关
于狓１、狓２的代数式的
值时，通常先把代数式
化为由狓１＋狓２和狓１·
狓２表示的形式，再代入
求值．
（１）１狓１＋１狓２；
（２）狓２１＋狓２２；
（３）（狓１－狓２）２．
解 由韦达定理，得
狓１＋狓２＝－３，狓１·狓２＝－３２．
（１）１狓１＋１狓２＝狓２＋狓１
狓１狓２＝－３
－３２
＝２．
（２）狓２１＋狓２２＝（狓１＋狓２）２－２狓１狓２＝（－３）２－２×（－３２）＝１２．
（３）（狓１－狓２）２＝（狓１＋狓２）２－４狓１狓２＝（－３）２－４×（－３２）＝１５．
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８６
第２１章一元二次方程
例４ 已知关于狓的方程狓２－（犿－３）狓＋犿＋８＝０的两个实数根的平方
和等于１３，求犿的值及此方程的两根．
解 设方程狓２－（犿－３）狓＋犿＋８＝０的两个实数根分别为狓１、狓２，那么
Δ≥０，且狓１＋狓２＝犿－３，狓１·狓２＝犿＋８．
根据题意，得
狓２１＋狓２２＝１３．
因为狓２１＋狓２２＝（狓１＋狓２）２－２狓１狓２
＝（犿－３）２－２（犿＋８）
＝犿２－８犿－７，
所以
犿２－８犿－７＝１３，
即
犿２－８犿－２０＝０．
解得
犿１＝１０，犿２＝－２．
当犿＝１０时，方程狓２－（犿－３）狓＋犿＋８＝０，即
狓２－７狓＋１８＝０，
这时，Δ＝（－７）２－４×１８＜０，不符合题意．
当犿＝－２时，方程狓２－（犿－３）狓＋犿＋８＝０，即
狓２＋５狓＋６＝０，
这时，解得狓１＝－２，狓２＝－３．
所以，犿的值为－２，方程的两根分别为狓１＝－２，狓２＝－３．
课堂练习２１．４（２）
１．已知方程２狓２＋４狓－３＝０有两个实数根狓１、狓２，利用韦达定理
求下列各式的值：
（１）狓２１狓２＋狓１狓２２； （２）（狓１－２）（狓２－２）；
（３）狓２１＋狓１狓２＋狓２２；
（４）１狓２１＋１狓２２．
２．已知关于狓的方程狓２＋（犽－５）狓－（犽＋４）＝０有两个实数根狓１、
狓２，且（狓１＋１）（狓２＋１）＝－８．求犽的值及此方程的两根．
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２１．４ 一元二次方程的根与系数的关系８７
习题２１．４
１．（１）已知方程２狓２－７狓－４＝０的一个根是－１２，不解方程，求此方程
的另一个根；
（２）已知方程狓２＋２狓－１＝０的一个根是－１＋槡２，不解方程，求此方程
的另一个根．
２．（１）已知关于狓的方程狓２＋狆狓＋１＝０的一个根是槡２－１，求此方程的
另一个根及狆的值；
（２）已知关于狓的方程３狓２＋５狓－犽２＋１＝０的一个根是１，求此方程的
另一个根及犽的值．
３．设狓１、狓２是方程２狓２－２狓－１＝０的两个实数根，利用韦达定理求下列
各式的值：
（１）狓２１狓２＋狓１狓２２； （２）１狓１＋１狓２；
（３）狓２１－狓１狓２＋狓２２；
（４）（狓１－狓２）２；
（５）（狓１－３）（狓２－３）；
（６）狓１狓２＋狓２狓１．
４．已知狓１、狓２是关于狓的方程狓２＋２（犿－１）狓＋２犿２－２３＝０的两个实
数根，且狓２１＋狓２２＝２６．求犿的值及此方程的两根．
５．已知关于狓的方程（犪＋１）狓２＋３狓＋犪２＋３犪＝０的一个根为０，求此方
程的另一个根及犪的值．
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８８
第２１章一元二次方程
１．二次三项式的因式分解
我们曾经在有理数范围内讨论过整式的因式分解．现在，我们将在实数范
围内讨论二次三项式犪狓２＋犫狓＋犮的因式分解．
在解一元二次方程２狓２－１０狓＋１２＝０时，可以先把方程左边因式分解，
得２（狓－３）（狓－２）＝０，从而解得方程的两个根狓１＝３，狓２＝２．
反过来，也可以通过求出一元二次方程的根把二次三项式因式分解．
设一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两个根是狓１、狓２，那么根据韦达定理
可以知道：狓１＋狓２＝－犫犪，狓１狓２＝犮犪，即犫犪＝－（狓１＋狓２），犮犪＝狓１狓２．
所以犪狓２＋犫狓＋犮＝犪（狓２＋犫犪狓＋犮犪）
＝犪［狓２－（狓１＋狓２）狓＋狓１狓２］
＝犪（狓－狓１）（狓－狓２）．
这就是说，要将二次三项式犪狓２＋犫狓＋犮因式分解，如果犫２－４犪犮≥０，可
以用求根公式求出方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两个根狓１、狓２，然后得到
犪狓２＋犫狓＋犮＝犪（狓－狓１）（狓－狓２）．
但如果犫２－４犪犮＜０，那么二次三项式犪狓２＋犫狓＋犮在实数范围内就不能因
式分解．
例１ 在实数范围内因式分解：
（１）３狓２－１０狓＋７；
（２）２狓２＋４狓－３．
解 （１）对于方程３狓２－１０狓＋７＝０，
Δ＝（－１０）２－４×３×７＝１６＞０．
２１．５一元二次方程的应用
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２１．５ 一元二次方程的应用８９
此方程的两个实数根是
狓１＝７３，狓２＝１．
所以３狓２－１０狓＋７＝３（狓－７３）（狓－１）．
（２）对于方程２狓２＋４狓－３＝０，
Δ＝４２－４×２×（－３）＝４０＞０．
此方程的两个实数根是
狓１＝－２＋槡１０
２
，狓２＝－２－槡１０
２
．
所以２狓２＋４狓－３＝２（狓－－２＋槡１０
２）（狓－－２－槡１０
２）．
课堂练习２１．５（１）
１．在实数范围内因式分解：
（１）狓２－８＝
；
（２）４狓２－７＝
；
（３）狓２＋３狓－２８＝
；
（４）３狓２－１１狓＋１０＝
．
２．在实数范围内因式分解：
（１）２狓２＋４狓＋１； （２）狓２－２犪狓－犪２．
２．列方程解应用题
例２ 某建筑工程队利用一段长８０ｍ的旧墙，用铁栅栏靠墙围一个所占
地面为长方形的建筑垃圾临时堆放点．如果所使用的铁栅栏总长为１２０ｍ，且
只围三边，那么是否可以围出符合下列要求的长方形堆放点？如果可以，分
别求出长方形的两条邻边的长．
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９０
第２１章一元二次方程
（１）长方形的面积是２０００ｍ２；
（２）长方形的面积是１８００ｍ２；
（３）长方形的面积是１１５２ｍ２．
图２１５１
分析 如图２１５１，只围三边的长方形，其中有
两边垂直于墙，一边平行于墙．不妨设垂直于墙的一边
长为狓ｍ，则平行于墙的一边长为（１２０－２狓）ｍ．
解 设长方形垂直于墙的一边长为狓ｍ，则平行于
墙的一边长为（１２０－２狓）ｍ．
（１）根据题意，得方程
（１２０－２狓）狓＝２０００．
整理，得
狓２－６０狓＋１０００＝０．
这是一个一元二次方程，因为Δ＝－４００＜０，所以此方程没有实数根．
答：仅用１２０ｍ长的铁栅栏围三边，围不出面积为２０００ｍ２的长方形堆
放点．
（２）根据题意，得方程
（１２０－２狓）狓＝１８００．
整理，得
狓２－６０狓＋９００＝０．
解得
狓１＝狓２＝３０．
当狓＝３０时，１２０－２狓＝６０．
经检验，狓＝３０符合实际意义．
答：用１２０ｍ长的铁栅栏围三边，可以围出面积为１８００ｍ２的长方形堆
放点，长方形垂直于墙的一边长为３０ｍ，平行于墙的一边长为６０ｍ．
（３）根据题意，得方程
（１２０－２狓）狓＝１１５２．
整理，得
狓２－６０狓＋５７６＝０．
解得
狓１＝１２，狓２＝４８．
当狓＝１２时，１２０－２狓＝９６；
当狓＝４８时，１２０－２狓＝２４．
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２１．５ 一元二次方程的应用９１
经检验，旧墙只有８０ｍ，而９６＞８０，不符合实际意义，狓＝１２应舍去；
狓＝４８符合实际意义．
答：用１２０ｍ长的铁栅栏围三边，可以围出面积为１１５２ｍ２的长方形堆
放点，长方形垂直于墙的一边长为４８ｍ，平行于墙的一边长为２４ｍ．
例３ 有一张边长为１０ｃｍ的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去
四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子（图２１５２）．如果这个
长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长．
图２１５２
分析 长方体盒子的底面是正方形，四个侧面是相同的长方形，底面正
方形的边长是侧面长方形的一边，侧面长方形的另一边是长方体盒子的高，
也就是剪去的小正方形的边长．
解 设剪去的小正方形的边长为狓ｃｍ，则长方体盒子底面正方形的边长
为（１０－２狓）ｃｍ．
根据题意，得方程
（１０－２狓）２＝（１０－２狓）狓．
整理，得
（１０－２狓）（１０－３狓）＝０．
解得
狓１＝５，狓２＝１０３．
经检验，当狓１＝５时，正方形硬纸板直接被剪成四个小正方形，不能折
叠成盒子，不符合实际意义，狓１＝５应舍去；狓２＝１０３符合实际意义．
答：剪去的小正方形的边长为１０３ｃｍ．
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９２
第２１章一元二次方程
课堂练习２１．５（２）
１．用１００ｃｍ长的铁丝弯折出一个长方形的模型，要使铁丝恰好用
完．问：是否可以折成符合下列要求的长方形？如果可以，分别求出长
方形的两条邻边的长．
（１）长方形的面积是５２５ｃｍ２；
（２）长方形的面积是６２５ｃｍ２；
（３）长方形的面积是７００ｃｍ２．
２．一张长方形图片的长和宽分别为２５ｃｍ和２０ｃｍ，在它四周外围镶
上宽度相等的边框．已知边框的面积为１９６ｃｍ２，求边框的宽度．
３．已知两个相邻正奇数的积是１４３，求这两个数!
例４ 小华将２０００元人民币按一年定期存入某银行，到期后取出１０００
元购买图书和文具，剩下的１０００元及利息又全部按一年定期存入该银行．如
果这两年存款的年利率不变，那么到期后本金和利息共１０４５．４５元．求这种存
款方式的年利率．
分析 存款到期后的利息＝本金×利率×存期．
本利和＝本金＋利息．
由此可得：如果将这种存款方式的年利率用狓表示，那么第一年到期后
的本利和为２０００（１＋狓），第二年的本金为２０００（１＋狓）－１０００
［
］．
这样，可列出方程求解．
解 设这种存款方式的年利率为狓．根据题意，得方程
［２０００（１＋狓）－１０００］（１＋狓）＝１０４５．４５．
整理，得 ２０００（１＋狓）２－１０００（１＋狓）－１０４５．４５＝０．
记狔＝１＋狓，得２０００狔２－１０００狔－１０４５．４５＝０．
解得狔＝１．０１５或狔＝－０．５１５．
于是
狓＋１＝１．０１５或狓＋１＝－０．５１５，
即狓＝０．０１５或狓＝－１．５１５（负值不符合实际意义，舍去）．
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２１．５ 一元二次方程的应用９３
答：这种存款方式的年利率为１．５％．
如果第一年到期后直接转存，那么怎样计算第二年期满后的本利
和呢？
例５ 某商场每副护目镜的进货价为２０元，售价在２５元至４０元之间．
调查表明：如果每副护目镜售价为２５元，平均每月能售出８００副；如果售价每
上涨１元，月销售量会减少１０副．已知某月该护目镜的销售利润为１０５００元，
求每副护目镜的售价．
分析 每月的销售利润＝单个货品的销售利润×货品的月销售量．
由此可得：护目镜的每月销售利润＝（护目镜的售价－进货价）×护目镜
的月销售量．而护目镜的售价＝原售价（２５元）＋售价上涨部分．
如果将每副护目镜售价上涨的部分用狓元表示，那么每副护目镜的销售
利润为（２５＋狓－２０）元，护目镜的月销售量为（８００－１０狓）副．
这样，可列出方程求解．
解 设每副护目镜售价上涨狓元．根据题意，得方程
（２５＋狓－２０）（８００－１０狓）＝１０５００．
整理，得
狓２－７５狓＋６５０＝０．
解得狓１＝１０，狓２＝６５（售价超出２５元至４０元的范围，不符合题意，
舍去）．当狓＝１０时，２５＋狓＝３５．
答：每副护目镜的售价为３５元．
例６ 学校组织围棋比赛，比赛中，每名选手都与其他选手恰好比赛一
局，每局赢的选手记２分，输的选手记０分；如果平局，两名选手各记１
分．最终，统计得到所有参赛选手的总得分为２０７０．求这次比赛共有多少名
选手参加．
分析 如果共有狓名选手参加比赛，那么每名选手都要与（狓－１）名选手
比赛一局，因此实际比赛总局数应为狓（狓－１）
２．由于每局共计２分，因此全部
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９４
第２１章一元二次方程
选手总得分为狓（狓－１）．
解 设这次比赛共有狓名选手参加．根据题意，得方程
２·狓（狓－１）
２＝２０７０．
整理，得
（狓－４６）（狓＋４５）＝０．
解得狓１＝４６，狓２＝－４５（不符合实际意义，舍去）．
答：这次比赛共有４６名选手参加．
课堂练习２１．５（３）
１．某种产品原来每件价格为８００元，经过两次降价，且每次降价的
百分率相同，现在每件售价为５７８元．求每次降价的百分率．
２．某学校１１６１名学生在操场上列队，已知每列人数都相同，且每
列人数比总列数少１６．求每列人数．
在七年级学习“分式”这一章时，我们认识了分式方程，讨论了可化为一
元一次方程的分式方程的解法．例如，分式方程２
狓＋１＝３和１狓＝３
狓－１，通过
去分母都可转化为一元一次方程求解．
问题 学校组织“爱心义卖”活动，八（１）班与八（２）班各得义卖款
１２００元与１１２０元．在计算各班人均义卖款时发现：八（１）班比八（２）班
人均义卖款多５元，八（１）班的人数比八（２）班少２．问：两个班人均义卖
款分别是多少？
如果设八（１）班人均义卖款是狓元，那么八（２）班人均义卖款是（狓－５）元，
而两个班的人数可以分别表示为１２００
狓与１１２０
狓－５．
于是，可列出方程
１２００
狓＝１１２０
狓－５－２．
这是分式方程，可按照已掌握的解分式方程的方法求它的解．
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２１．５ 一元二次方程的应用９５
方程两边同乘狓（狓－５），去分母得
１２００（狓－５）＝１１２０狓－２狓（狓－５）．
整理，得
狓２＋３５狓－３０００＝０．
这是一元二次方程，利用本章学习的知识可解得，狓１＝４０，狓２＝－７５．
代入上面的分式方程检验，可知狓１＝４０，狓２＝－７５都是其根，但－７５不
符合实际意义，应舍去．
所以，八（１）班与八（２）班人均义卖款分别是４０元和３５元．
在求解上面的分式方程时，去分母后所得到的整式方程是一个一元二次
方程，所以上面的分式方程是可化为一元二次方程的分式方程，其求解步骤
与解可化为一元一次方程的分式方程类似．
例７ 解方程：狓
狓－１＝
２
狓－１
（
）狓＋１
（
）．
解 方程两边同乘狓－１
（
）狓＋１
（
），去分母得
狓（狓＋１）＝２．
整理，得
狓２＋狓－２＝０．
解这个整式方程，得狓１＝－２，狓２＝１．
检验：当狓＝－２时，代入原方程，等式成立；当狓＝１时，代入原方程，
右端分母为０，无意义，即狓＝１为增根，应舍去．
所以，原方程的根是狓＝－２．
例８ 解方程：２狊
狊２＋２狊－３＋１
狊＋３＝１．
解 原方程可变形为
２狊
狊－１
（
）狊＋３
（
）＋１
狊＋３＝１．
方程两边同乘（狊－１）（狊＋３），去分母得
２狊＋狊－１＝（狊－１）（狊＋３）．
整理，得
狊２－狊－２＝０．
解这个整式方程，得狊１＝２，狊２＝－１．
检验：当狊分别为２与－１时，代入原方程，等式均成立．
所以，原方程的根为狊１＝２，狊２＝－１．
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９６
第２１章一元二次方程
在用“去分母”的方法解分式方程时，为什么可能产生增根？在“验
根”时，如果只检验整式方程的根是否使“去分母”时方程两边同乘的代
数式的值为０，可以吗？
课堂练习２１．５（４）
１．下列方程中，哪些是分式方程？
（１）１狓＝２狓；
（２）１２狓＋２狓＝１；
（３）狓２－１
５＋狓２＝３；
（４）４狓－１
狓－１＝１．
２．解下列方程：
（１）２狓－狓＝１；
（２）狔２
狔－４－２＝１６
狔－４；
（３）狓－２
狓＋２＝３
狓－３；
（４）１
狋－２－４
狋２－４＝１；
（５）狔＋１
狔２－１－１３狔＝１
３狔－３．
例９ 某市交通部门对一条长１５ｋｍ的主干道进行综合整治，整治后该
路段车辆通行的平均速度提高了３ｋｍ／ｈ，车辆通过该路段的平均时间比整治
前少１５ｍｉｎ．问：整治后车辆通过该路段的平均时间是多少？
分析 行程问题有三个基本量：时间狋、速度狏与路程狊，它们间的基本
关系是
狊＝狏狋．
题中涉及整治前后两种状态，路程都是１５ｋｍ，如果设整治后车辆通过该
路段的平均时间为狋ｈ，那么整治前的平均时间为（狋＋０．２５）ｈ，利用整治前后
的速度关系可列出方程．
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２１．５ 一元二次方程的应用９７
解 设整治后车辆通过该路段的平均时间是狋ｈ．根据题意，可列方程
１５狋＝１５
狋＋０．２５＋３．
去分母并整理，得
４狋２＋狋－５＝０．
解得
狋１＝１，狋２＝－５４．
经检验，狋１＝１，狋２＝－５４都是原方程的根，但负值不符合实际意义，应
舍去．答：整治后车辆通过该路段的平均时间是１ｈ．
例１０ 某市为了美化环境，计划在一定的时间内增加２００ｋｍ２绿化面
积．后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加
２０％，而且要提前１年完成任务．经测算，要完成新的计划，平均每年的绿化
面积必须比原计划多２０ｋｍ２．求原计划平均每年的绿化面积．
分析 根据题意，可知
完成原计划２００ｋｍ２
绿化面积所需时间－完成新计划２００（１＋２０％）ｋｍ２
绿化面积所需时间
＝
↓
提前的时间
↓
↓
２００
原计划平均
每年绿化面积
２００（１＋２０％）
新计划平均
每年绿化面积
１年
↓
２００（１＋２０％）
原计划平均
每年绿化面积＋２０
解 设原计划平均每年的绿化面积为狓ｋｍ２．根据题意，可列方程
２００狓－２００（１＋２０％）
狓＋２０＝１．
去分母并整理，得
狓２＋６０狓－４０００＝０．
解得
狓１＝４０，狓２＝－１００．
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９８
第２１章一元二次方程
经检验，狓１＝４０，狓２＝－１００都是原方程的根．但因为绿化面积不能为负
数，所以取狓＝４０．
答：原计划平均每年的绿化面积为４０ｋｍ２．
课堂练习２１．５（５）
１．某校组织学生步行到科技展览馆参观．学校与展览馆相距６ｋｍ，
返回时，由于步行速度比去时平均每小时少１ｋｍ，结果时间比去时多用
了半小时．求学生返回时步行的速度．
２．小华到一文具店用１２元买某款练习本若干本．隔了一段时间
再去该店，发现这种练习本正在“让利销售”中，每本降价０．２元，
这样用１２元可以比上次多买３本．问：小华第一次买了多少本这款
练习本？
３．为了落实“十分珍惜、合理利用土地和切实保护耕地”的基本国
策，某地区计划若干年内经开发改造后可利用土地的面积达到３６０ｋｍ２．
实际改造中，第一年比原计划每年开发的土地面积多２ｋｍ２，如果按此
进度继续开发，预计可提前６年完成任务．求实际改造中每年开发土地
的面积．
习题２１．５
１．填空题：
（１）方程狓２－３狓＋１＝０的根是狓１＝ ，狓２＝ ，把二次三
项式狓２－３狓＋１因式分解，得 ；
（２）方程３狓２－７狓－１＝０的根是狓１＝ ，狓２＝ ，把二次
三项式３狓２－７狓－１因式分解，得
；
（３）把二次三项式４狓２－１２狓＋１因式分解，得
．
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２１．５ 一元二次方程的应用９９
２．选择题：
（１）将方程狓－３
狓２－狓＋２
狓－１＝１去分母后所得的方程是
（ ）
Ａ．狓－３＋２狓＝１；
Ｂ．狓－３＋２＝狓２－狓；
Ｃ．狓－３＋２狓＝狓２－狓；
Ｄ．狓（狓－３）＋２狓＝狓－１．
（２）甲、乙两组志愿者参加植树造林．已知甲组每天比乙组多种５棵树，
且甲组种１２０棵树所用的天数比乙组种７０棵树所用的天数多１．如果设乙组每
天种树狓棵，那么列出的方程是
（ ）
Ａ．１２０
狓－５＝７０狓＋１；
Ｂ．１２０狓＝７０
狓＋５＋１；
Ｃ．１２０
狓＋５＝７０狓＋１；
Ｄ．１２０狓＝７０
狓－５＋１．
（３）一列火车到某站已经晚点６ｍｉｎ，如果将速度每小时加快１０ｋｍ，那么
继续行驶２０ｋｍ刚好正点到达下一站．设这列火车原来行驶的速度为狓ｋｍ／ｈ，
则所列出的方程是
（ ）
Ａ．２０狓－２０
狓＋１０＝６；
Ｂ．２０狓－２０
狓＋１０＝６６０；
Ｃ．２０
狓＋１０－２０狓＝６；
Ｄ．２０
狓＋１０－２０狓＝６６０．
３．在实数范围内因式分解：
（１）狓２＋２狓－４；
（２）狓２－４狓－１．
４．解下列方程：
（１）１０狓＋３＝狓；
（２）２
狔－３＋１＝３
狔２－９；
（３）
狓
狓２＋４狓＋３－２
狓＋３＝１；
（４）１
狔＋２＋４狔
狔２－４＋２
２－狔＝１．
５．已知一个长方形的长是一个正方形边长的２倍，宽比正方形的边长少
２ｃｍ，且面积比正方形的面积大９６ｃｍ２．求正方形的边长及长方形的长和宽．
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１００
第２１章一元二次方程
（第６题）
６．如图，要建一个面积为１４０ｍ２的仓库，仓库的一
边靠墙，这堵墙长１６ｍ；在与墙平行的一边，要开一扇
２ｍ宽的门．已知需要新建的墙总长为３２ｍ，求这个仓库
的长和宽．
７．一件商品由原售价连续两次降价，每次下降的百分率相同．已知原售
价是８７５元，降价两次后的售价是５６０元．问：每次下降的百分率是多少？
８．将一块长方形铁皮的四个角截去四个相同的小正方形，然后把四边折
起来做成一个无盖的盒子．已知长方形铁皮长２５ｃｍ、宽１５ｃｍ，做成盒子的
底面积为２３１ｃｍ２．求这个盒子的容积．
９．某教育设备厂原计划用６ｍ３的木材为希望小学制作学生使用的课桌椅
若干套．由于改进了技术，每套课桌椅可以节约１５５ｍ３的木材，因此多做了３
套．问：实际做了多少套？
１０．在实数范围内因式分解：
（１）２狓２＋３狓－１；
（２）－犪２＋５犪＋２．
１１．将一根长为５６ｃｍ的铁丝剪成两段，将两段各做成一个正方形，在不
考虑接口、不计损耗的前提下，能使两个正方形的面积之和等于２０ｃｍ２吗？
如果能，请说明怎么剪；如果不能，请说明理由．能使两个正方形的面积之和
分别等于１００ｃｍ２、１９６ｃｍ２吗？
１２．先验证下列结论的正确性：
①方程狓－１狓＝２－１２的根是狓１＝２，狓２＝－１２；
②方程狓－１狓＝３－１３的根是狓１＝３，狓２＝－１３；
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２１．５ 一元二次方程的应用１０１
③方程狓－１狓＝３＋３４的根是狓１＝４，狓２＝－１４；
④方程狓－１狓＝４＋４５的根是狓１＝５，狓２＝－１５．
再观察上述方程及其根的特征，猜想方程狓－１狓＝８８９的根，并验证你的猜想．
１３．下面分别是小海和小华解分式方程１
狓＋２＝
２
狓２＋３狓＋２的具体过程．
小海的解题过程：
狓２＋３狓＋２＝２狓＋４．
狓２＋狓－２＝０．
狓１＝－２，狓２＝１．
检验：狓＝－２为增根．
所以，原方程的根为狓＝１．
小华的解题过程：
１
狓＋２＝
２
（狓＋２）（狓＋１）．
狓＋１＝２．
狓＝１．
检验：狓＝１非增根．
所以，原方程的根为狓＝１．
请先判断小海和小华的解法是否正确，再谈谈你对他们两人解法的看法．
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１０２
第２１章一元二次方程
一元高次方程的求解之路
“未知数参与运算”，这个现在看来很自然的事，在数学发展史上却是一
种经历长期摸索才产生的数学思想．同样，解方程也经历了不断发展完善的过
程．同学们都知道一元一次方程、一元二次方程的一般解法，但一元三次方
程、一元四次方程怎么解呢？
１６世纪时，意大利数学家塔尔塔利亚（Ｔａｒｔａｇｌｉａ，原名为ＮｉｃｃｏｌòＦｏｎｔａｎａ，
约１４９９—１５５７）和卡尔达诺（ＧｅｒｏｌａｍｏＣａｒｄａｎｏ，１５０１—１５７６）等人发现了一元三
次方程的求根公式．１５４５年，在《大术》（犃狉狊犕犪犵狀犪）一书中，卡尔达诺指出了一
元三次方程有三个根并给出了一个实数根的表达式．之后，卡尔达诺的学生费
拉里（ＬｕｄｏｖｉｃｏＦｅｒｒａｒｉ，１５２２—１５６５）找到了一元四次方程的求解方法．自一元四
次方程的一般解公式公布之后，数学家们曾非常乐观，以为马上就可以写出五
次方程、六次方程，甚至更高次方程的一般解公式了．然而，在之后几百年的
时间里，人们一直没有找出这样的公式．１８２４年，２２岁的挪威学者阿贝尔
（ＮｉｅｌｓＨｅｎｒｉｋＡｂｅｌ，１８０２—１８２９）严格地证明了高于四次的一般代数方程不可能
有一般形式的代数解．不过，他没有指出哪些特殊的方程存在着代数解．这个问
题被同时期的法国年轻数学家伽罗瓦（?ｖａｒｉｓｔｅＧａｌｏｉｓ，１８１１—１８３２）所解决，伽
罗瓦不仅证明了高于四次的代数方程一般不能用根式求解，而且还建立了代数
方程是否可用根式求解的判别准则．
在一元三次方程求根公式与解法的探索过程中，我国的数学家也作出了
巨大的贡献．在１２４７年成书的数学巨著《数书九章》中，南宋数学家秦九韶（约
１２０８—约１２６１）发表了一元三次方程与任何高次方程的解法———正负开方术．
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内容提要１０３
１．基本概念：一元二次方程，判别式．
２．求根公式：
当犫２－４犪犮≥０时，一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两个实数根为
狓＝－犫± 犫２－４
槡
犪犮
２犪
．
３．判别式：
一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的判别式为Δ＝犫２－４犪犮．
当Δ＞０时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝０时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜０时，方程没有实数根．
上述判断反过来说也是正确的．
４．韦达定理：
如果一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两个实数根分别是狓１、狓２，那么
狓１＋狓２＝－犫犪，狓１·狓２＝犮犪．
５．实数范围内二次三项式的因式分解：
如果一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两个实数根分别是狓１、狓２，那么
犪狓２＋犫狓＋犮＝犪（狓－狓１）（狓－狓２）．
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１０４
第２１章一元二次方程
１．选择题：
（１）下列方程中，是一元二次方程的是
（ ）
Ａ．２狓＋１＝３；
Ｂ．狓２＋狔＝２；
Ｃ．３狓２＋２狓＝４；
Ｄ．狓２＋１狓＝１．
（２）已知关于狔的方程（２狔＋犿）（狔－３）＝０有一个根是－５２，那么犿的
值等于
（ ）
Ａ．－５；
Ｂ．５；
Ｃ．２５；
Ｄ．５２．
（３）如果关于狓的二次三项式犪狓２＋３狓＋４在实数范围内不能因式分解，
那么犪所满足的条件是
（ ）
Ａ．０＜犪＜９１６或犪＜０；
Ｂ．犪≠０；
Ｃ．犪＞９１６；
Ｄ．犪＜３４且犪≠０．
２．填空题：
（１）方程２狓２＋狓＋１＝０实数根的情况是
；
方程（狓－４）２＋２（狓－１）－５＝０实数根的情况是
；
方程狓２＋２狓－４＝０实数根的情况是
．
（２）方程６狓２＋狓＝０的两根之和是 ，两根之积是
；
方程－槡２狓２＋４狓＝２的两根之和是 ，两根之积是
．
（３）在实数范围内因式分解：
狓２＋４狓＋２＝ ；
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复习题１０５
２狓２＋３狓－６＝ ．
３．解下列方程：
（１）狓２＋３狓－１８＝０；
（２）（２狓＋１）２－４＝０；
（３）狓２－４槡２狓－１＝０；
（４）３狓２－（狓－２）２＝１２；
（５）（４狓－１）２－１０（４狓－１）－２４＝０；
（６）１
狓＋１＋２
狓－２＝－８
狓２－４．
４．小海与小华分别在解下面的方程：
小海：
（１）狓（３狓＋２）－６（３狓＋２）＝０．
解：（３狓＋２）（狓－６）＝０．
３狓＋２＝０或狓－６＝０．
解得狓＝－２３或狓＝６．
所以，原方程的根是狓１＝－２３，
狓２＝６．
小华：
（２）（狓＋３）（狓－１０）＝１．
解：狓＋３＝１或狓－１０＝１．
解得狓＝－２或狓＝１１．
所以，原方程的根是狓１＝－２，
狓２＝１１．
你认为他们的解法正确吗？如果正确，请在框内打“”；如果不正确，
请找出错误的地方，指出错误原因，并写出正确的解法．
５．当犽满足什么条件时，关于狓的方程狓２－（２犽－１）狓＋犽２＝０有两个不
相等的实数根？
６．无论犿取何值，关于狓的方程２狓２－（４犿－１）狓－犿２－犿＝０一定有两
个不相等的实数根吗？为什么？
７．如果关于狓的方程狓２＋（犿＋２）狓＋２＝０的一个根为－１，求此方程的
另一个根及犿的值．
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１０６
第２１章一元二次方程
８．请尝试解决南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，
只阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”（其大意为：长方形的面积是８６４平
方步，宽比长少１２步．求这个长方形的长和宽．）
９．一块长方形空地的长是２４ｍ，宽是１２ｍ，现要在它的中央划一个小长
方形区域种植花卉，四周植草．已知四周所留的宽度相同，小长方形面积是原
长方形面积的５９．求小长方形的长和宽．
１０．某木器厂今年一月份生产了课桌５００张；后因管理不善，二月份的产
量减少了１０％；从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到６４８
张．如果三、四月份的月增长率相同，求这个增长率．
１１．已知关于狓的方程２狓２－槡３狓＋犿＝０没有实数根，那么犿可取的最
小整数值是多少？
１２．已知方程２狓２＋４狓＋１＝０的两根是狓１、狓２，利用韦达定理，求下列
各式的值：
（１）（狓１－３）（狓２－３）；
（２）狓１狓２＋狓２狓１；
（３）狓２１＋狓２２－狓１狓２；
（４）（狓１－狓２）２．
（第１３题）
１３．如图，在宽为２０ｍ、长为３２ｍ的长方形耕地
上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横
向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块实验
田．为使实验田总面积为５７０ｍ２，道路的宽应为多少？
１４．某工厂在第一季度的生产中，一月份的产值是２５０万元，二、三月份
产值的月增长率相同．已知第一季度的总产值是８４３．６万元，求二、三月份的
月增长率．
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复习题１０７
１５．某工程队中甲、乙两组承包一段路基的改造工程，规定在若干天内完
成．已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的２倍多４天，乙组单独
完成这项工程所需时间比规定时间的２倍少１６天，而甲、乙两组合做需要２４
天完成．问：甲、乙两组合做能否在规定时间内完成？
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第２２章
直角三角形
直角三角形是一类特殊而重要的三角形．著名的勾股定理定量
地反映了直角三角形三边之间的关系，是人类理性文明的结晶，
在数学上有着重要的地位与作用．
在本章中，我们还要学习直角三角形的性质、判定、全等的
判定等知识，并得到角平分线的性质．它们将为进一步学习四边
形、平面直角坐标系和三角初步做必要的准备．
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２２．１ 直角三角形１０９
１．直角三角形的性质
直角三角形有一个角是直角，根据三角形的内角和定理，可推出直角三
角形的一个性质定理：
定理 直角三角形的两个锐角互余．
其逆命题也是正确的，即得到直角三角形的一个判定定理：
定理 两个锐角互余的三角形是直角三角形．
A
D
B
C
图２２１１
请自行证明上面两个定理．
下面我们来研究直角三角形的另一些性质．
如图２２１１，在Ｒｔ△犃犅犆中，作射线犆犇与边犃犅交
于点犇，将∠犃犆犅分成两个角，使∠犃犆犇＝∠犃，就有
∠犅犆犇＝∠犅，可见Ｒｔ△犃犅犆被分成了两个等腰三角形．
基于上面的分析，可以得到直角三角形的另一个性质定理：
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图２２１２，已知：在Ｒｔ△犃犅犆中，犆犇是斜边犃犅上的中线．
求证：犆犇＝１２犃犅．
A
D D′
B
C
图２２１２
证明 如图２２１２，过点犆作射线犆犇′交边犃犅于
点犇′，使∠犃犆犇′＝∠犃，根据题意，可知∠犃犆犇′＋
∠犅犆犇′＝９０°，由“直角三角形的两个锐角互余”，可得
∠犃＋∠犅＝９０°，从而推出∠犅犆犇′＝∠犅．
所以，犆犇′＝犃犇′＝犅犇′，即线段犃犅的中点犇与点犇′重合．因此，
２２．１直角三角形
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１１０
第２２章直角三角形
犆犇＝犃犇＝犅犇，即犆犇＝１２犃犅．
用反证法证明上述定理．如果犃犇＞犆犇可推出什么矛盾？如果
犃犇＜犆犇呢？
A
D
B
C
图２２１３
例１ 如图２２１３，已知：犆犇是△犃犅犆的边
犃犅上的中线，且犆犇＝１２犃犅．
求证：△犃犅犆是直角三角形．
证明 ∵ 犆犇是边犃犅上的中线，且犆犇＝１２犃犅，
∴ 犆犇＝犃犇＝犅犇．
∴ ∠犃＝∠犃犆犇，∠犅＝∠犅犆犇．
∵ ∠犃＋∠犅＋∠犃犆犅＝１８０°，
∴ ∠犃＋∠犅＋∠犃犆犇＋∠犅犆犇＝１８０°．
∴ ∠犃＋∠犅＝１２×１８０°＝９０°．
∴ △犃犅犆是直角三角形（两个锐角互余的三角形是直角三角形）．
例２ 如图２２１４，已知：在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，∠犃＝３０°．
求证：犅犆＝１２犃犅．
A
B
C
图２２１４
D
A
B
C
图２２１５
证明 如图２２１５，作斜边犃犅上的中线犆犇．
∵ ∠犃犆犅＝９０°，∠犃＝３０°，
∴ ∠犅＝６０°（直角三角形的两个锐角互余）．
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２２．１ 直角三角形１１１
∵ 犆犇是斜边犃犅上的中线，
∴ 犆犇＝犃犇＝犅犇＝１２犃犅（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴ ∠犇犆犅＝∠犅＝６０°．
∴ ∠犅犇犆＝６０°．
∴ △犆犇犅是等边三角形．
∴ 犅犆＝犆犇＝１２犃犅．
课堂练习２２．１（１）
A
B
C
M
E
N
D
（第３题）
１．如图，已知犇为线段犃犅的中点，犈犃⊥犃犅，犆犅⊥犃犅，垂足分
别为犃、犅，犃犈＝犃犅＝２犅犆，那么下列结论中不正确的是
（ ）
Ａ．犇犈＝犃犆；
Ｂ．∠犈＋∠犆＝９０°；
Ｃ．∠犆犃犅＝３０°；
Ｄ．∠犈犃犉＝∠犃犇犈．
A
D
B
C
F
E
（第１题）
A
D
F
B
C
E
（第２题）
２．如图，已知：在△犃犅犆中，犃犇⊥犅犆，垂足为犇，犈、犉分别是
边犃犅、犃犆的中点，且犇犈＝犇犉．求证：犃犅＝犃犆．
３．如图，已知：犅犇、犆犈分别是△犃犅犆的高，
犕、犖分别是犅犆、犇犈的中点．求证：犕犖⊥犈犇．
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１１２
第２２章直角三角形
２．直角三角形全等的判定
在“三角形”一章中，我们已经知道，在两个三角形中如果仅已知两边分
别相等且一组等边的对角相等，一般不能判定这两个三角形全等．但如果这两
个三角形对应相等的角是直角，它们全等吗？
c
b
图２２１６
如图２２１６，已知线段犫、犮（犮＞犫）．
求作Ｒｔ△犃犅犆，使∠犃犆犅＝９０°，犃犅＝犮，
犃犆＝犫．
作法
（１）作线段犃犆＝犫；
B
M
N
A
C
a
b
c
图２２１７
（２）过点犆作直线犕犖⊥犃犆；
（３）以点犃为圆心、以犮的长为半径
作弧，交直线犕犖于点犅；
（４）连接犃犅．
△犃犅犆就是所求的直角三角形（图２２
１７）．
上面以点犃为圆心、以犮的长为半径作弧，还可交直线犕犖于另一
点犅′，从而作出了满足要求的另一个直角三角形△犃犅′犆（图２２１８），
它与△犃犅犆全等吗？为什么？
B
B′
M
N
A
C
a
b
c
c
图２２１８
如图２２１８，△犃犅犅′是等腰三角形，
从而∠犅＝∠犅′．又由∠犃犆犅＝∠犃犆犅′，
犃犅＝犃犅′，即可证得△犃犅犆≌△犃犅′犆．
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２２．１ 直角三角形１１３
进一步可以证明直角三角形全等的判定定理：
定理 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这
两个直角三角形全等．
如图２２１９，已知：在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犃′犅′犆′中，∠犆＝∠犆′＝９０°，
犃犆＝犃′犆′，犃犅＝犃′犅′．
求证：Ｒｔ△犃犅犆≌Ｒｔ△犃′犅′犆′．
A
B
C
A′
B′
C′
图２２１９
A
B
C
D
图２２１１０
证明 如图２２１１０，延长犅犆到点犇，使得犆犇＝犆′犅′，连接犃犇．又因
为∠犃犆犇＝∠犃′犆′犅′＝９０°，犃犆＝犃′犆′，所以△犃犆犇≌△犃′犆′犅′．由此得
犃犇＝犃′犅′．
又因为犃犅＝犃′犅′，所以犃犅＝犃犇．于是，△犃犅犇是等腰三角形，由
“等腰三角形三线合一”，因为犃犆是△犃犅犇的高，所以犆犅＝犆犇．又因为
∠犃犆犅＝∠犃犆犇＝９０°，犃犆是公共边，所以△犃犆犅≌△犃犆犇．
根据“三角形全等的传递性”，得△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
A
D
E
B
C
图２２１１１
例３ 如图２２１１１，已知：在△犃犅犆中，犅犇⊥
犃犆，犆犈⊥犃犅，垂足分别为犇、犈，犅犇＝犆犈．
求证：△犃犅犆是等腰三角形．
证明 在Ｒｔ△犈犅犆和Ｒｔ△犇犆犅中，
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１１４
第２２章直角三角形
∵ 犆犈＝犅犇，
犅犆＝犆犅，
烅烄
烆
∴ Ｒｔ△犈犅犆≌Ｒｔ△犇犆犅（直角三角形全等的判定定理）．
∴ ∠犈犅犆＝∠犇犆犅．
∴ 犃犅＝犃犆，
即△犃犅犆是等腰三角形．
例４ 证明：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形
全等．
如图２２１１２，已知：在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犃′犅′犆′中，∠犃犆犅＝∠犃′犆′犅′＝
９０°，犃犆＝犃′犆′，犆犇⊥犃犅，犆′犇′⊥犃′犅′，垂足分别为犇、犇′，犆犇＝犆′犇′．
求证：△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
D
C
B
A
D′
C′
B′
A′
图２２１１２
证明 在Ｒｔ△犃犆犇与Ｒｔ△犃′犆′犇′中，
∵ 犃犆＝犃′犆′，
犆犇＝犆′犇′，
烅烄
烆
∴ Ｒｔ△犃犆犇≌Ｒｔ△犃′犆′犇′（直角三角形全等的判定定理）．
∴ ∠犃＝∠犃′．
在△犃犅犆与△犃′犅′犆′中，
∵
∠犃＝∠犃′，
犃犆＝犃′犆′，
∠犃犆犅＝∠犃′犆′犅′，
烅
烄
烆
∴ △犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
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２２．１ 直角三角形１１５
课堂练习２２．１（２）
１．如图，已知：犈犆⊥犃犅，犉犇⊥犃犅，垂足分别为犆、犇，犃犉＝
犅犈，犉犇＝犈犆．求证：犃犆＝犅犇．
A
D
E
F
B
C
（第１题）
A
D
E
B
C
1
2
（第２题）
２．如图，已知：犃犅⊥犅犆，犃犈⊥犈犇，垂足分别为犅、犈，犃犅＝犃犈，
∠１＝∠２．求证：犅犆＝犈犇．
习题２２．１
１．如图，犆犇是Ｒｔ△犃犅犆的中线，∠犃犆犅＝９０°，∠犆犇犃＝１３０°．求∠犅
的度数．
A
D
B
C
（第１题）
A
D
E
B
C
（第２题）
２．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犅犃犆＝９０°，∠犅＝５６°，犃犇⊥犅犆，垂足为
犇，犇犈∥犃犆，交边犃犅于点犈．求∠犃犇犈的度数．
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１１６
第２２章直角三角形
３．如图，已知：犃犇是△犃犅犆的角平分线，犅犈⊥犃犇，犅犈交犃犇的延
长线于点犈，犉是边犃犅的中点．求证：犉犈∥犃犆．
A
D
F
E
B
C
（第３题）
A
E
M
O
D
B
C
（第４题）
４．如图，△犃犅犆的高犅犇与犆犈相交于点犗，犗犇＝犗犈，犃犗的延长线交
边犅犆于点犕．求证：犃犅＝犃犆．
５．如图，已知：∠犃犅犆＝∠犃犇犆＝９０°，犕、犖分别是犃犆、犅犇的中点．
求证：犕犖⊥犅犇．
A
D
M
N
B
C
（第５题）
A
E
F
B
D
C
（第６题）
６．如图，已知：犃犆⊥犅犆，犃犇⊥犅犇，垂足分别为犆、犇，犃犇＝犅犆，
犆犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犅，垂足分别为犈、犉．求证：犆犈＝犇犉．
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２２．２ 角平分线１１７
我们知道，角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线．
已知一个角，你能用直尺和圆规作出它的平分线吗？
O
A
B
图２２２１
如图２２２１，已知∠犃犗犅，求作∠犃犗犅的平分线．
作法
（１）以点犗为圆心、以任意长度犪为半径作弧，
分别交犗犃、犗犅于点犇、犈；
（２）分别以点犇、犈为圆心，以犇犈的长为半径作
弧，两弧相交于∠犃犗犅内的一点犆；
（３）作射线犗犆．
射线犗犆就是∠犃犗犅的平分线（图２２２２）．
O
E
D
C
A
B
图２２２２
O
E
D
C
A
B
图２２２３
证明 如图２２２３，连接犆犇、犆犈．
在△犗犆犇和△犗犆犈中，
∵
犗犇＝犗犈，
犗犆＝犗犆，
犆犇＝犆犈，
烅
烄
烆
∴ △犗犆犇≌△犗犆犈．
２２．２角平分线
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１１８
第２２章直角三角形
∴ ∠犆犗犇＝∠犆犗犈，
即犗犆平分∠犃犗犅．
如图２２２４，设犗犆是∠犃犗犅的平分线，在犗犆上任取一个不与点犗重
合的点犘，过点犘分别向犗犃、犗犅作垂线段，那么这两条垂线段的长相等．
研究角平分线有关
问题时，约定所涉及的
角小于平角．
O
C
D
E
B
P
A
2
1
图２２２４
归纳上述事实，得到角平分线的性质定理：
定理 角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等．
显然，角平分线的端点到这个角的两边所在直线的距离相等，都为０．
如图２２２４，已知：犗犆是∠犃犗犅的平分线，犘是犗犆上一点（点犘不与
点犗重合），犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，垂足分别为犇、犈．
求证：犘犇＝犘犈．
证明 因为犗犆是∠犃犗犅的平分线，所以∠１＝∠２．因为犘犇⊥犗犃，
犘犈⊥犗犅，所以∠犘犇犗＝∠犘犈犗＝９０°．又因为∠１＝∠２，∠犘犇犗＝∠犘犈犗，
犗犘为公共边，所以△犘犇犗≌△犘犈犗．由此推出犘犇＝犘犈．
反过来，则得到：
定理 在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个
角的平分线上．
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２２．２ 角平分线１１９
如图２２２５，已知：犙为∠犃犗犅内部一点，犙犇⊥犗犃，犙犈⊥犗犅，垂足
分别为犇、犈，犙犇＝犙犈．
求证：点犙在∠犃犗犅的平分线上．
O
D
Q
E
B
A
图２２２５
O
D
Q
E
B
A
21
图２２２６
证明 如图２２２６，作射线犗犙．因为犙犇⊥犗犃，犙犈⊥犗犅，所以
∠犙犇犗＝∠犙犈犗＝９０°．又因为犙犇＝犙犈，犗犙为公共边，根据直角三角形全
等的判定定理，得Ｒｔ△犙犇犗≌Ｒｔ△犙犈犗．由此推出∠１＝∠２，即犗犙是
∠犃犗犅的平分线，由此可见点犙在∠犃犗犅的平分线上．
课堂练习２２．２（１）
１．如图，已知∠犃犗犅，用尺规四等分∠犃犗犅．
O
B
A
（第１题）
O
P
D
N
M
A
B
（第２题）
２．如图，已知：点犘、犇在∠犃犗犅的平分线上，犗犃＝犗犅，犘犕⊥
犅犇，犘犖⊥犃犇，垂足分别是犕、犖．求证：犘犕＝犘犖．
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１２０
第２２章直角三角形
例１ 如图２２２７，已知：在△犃犅犆中，犃犗、犅犗分别是∠犅犃犆、
∠犃犅犆的平分线，犗犇⊥犅犆，犗犈⊥犃犅，垂足分别为犇、犈．
求证：点犗在∠犆的平分线上．
B
D
O
E
A
C
图２２２７
B
D
O
F
E
A
C
图２２２８
证明 如图２２２８，过点犗作犗犉⊥犃犆，垂足为犉．
∵ 犃犗是∠犅犃犆的平分线，犗犈⊥犃犅，犗犉⊥犃犆，
∴ 犗犈＝犗犉（角平分线的性质定理）．
同理，可得犗犈＝犗犇．
∴ 犗犇＝犗犉．
又∵ 犗犇⊥犅犆，犗犉⊥犃犆，
∴ 点犗在∠犆的平分线上（在角的内部，到角的两边所在直线距离相等
的点，均在这个角的平分线上）．
本题结论表明：三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作
三角形的内心．
例２ 如图２２２９，已知：在△犃犅犆中，犃犇是∠犅犃犆的平分线，且
犅犇＝犆犇．
求证：∠犅＝∠犆．
A
D
B
C
图２２２９
A
D
E
F
B
C
图２２２１０
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２２．２ 角平分线１２１
证明 如图２２２１０，过点犇作犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，垂足分别为
犈、犉．
∵ 犃犇是∠犅犃犆的平分线，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，
∴ 犇犈＝犇犉（角平分线的性质定理）．
在Ｒｔ△犅犇犈和Ｒｔ△犆犇犉中，
∵ 犇犈＝犇犉，
犅犇＝犆犇，
烅烄
烆
∴ Ｒｔ△犅犇犈≌Ｒｔ△犆犇犉（直角三角形全等的判定定理）．
∴ ∠犅＝∠犆．
例３ 如图２２２１１，已知∠犃犗犅及其内部一点犆．
求作∠犃犗犅内部一点犘，使犘犆＝犘犗，且点犘到直线犗犃、犗犅的距离
相等．
O
C
A
B
图２２２１１
O
P
M
N
D
C
A
B
图２２２１２
分析 假定点犘已经作出，由犘犆＝犘犗，可知点犘一定在线段犗犆的垂
直平分线上．又由点犘在∠犃犗犅内部且到直线犗犃、犗犅的距离相等，可知点
犘在∠犃犗犅的平分线上．因此，犘应是线段犗犆的垂直平分线与∠犃犗犅的平
分线的交点．
作法
（１）连接犗犆，作线段犗犆的垂直平分线犕犖；
（２）作∠犃犗犅的平分线犗犇，犗犇与犕犖相交于点犘．
犘就是所求的点（图２２２１２）．
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１２２
第２２章直角三角形
课堂练习２２．２（２）
１．如图，已知：在四边形犃犅犆犇中，∠犃犅犆＝∠犃犇犆＝９０°，连接
犃犆、犅犇相交于点犈，∠犆犅犇＝∠犆犇犅．求证：犆犃平分∠犅犆犇．
C
E
B
D
A
（第１题）
A
B
C
E
D
O
（第２题）
２．如图，已知：犆犇⊥犃犅，犅犈⊥犃犆，垂足分别为犇、犈，犅犈、
犆犇相交于点犗，且犃犗平分∠犅犃犆．求证：犗犅＝犗犆．
习题２２．２
１．用尺规作∠犃犗犅＝４５°．
２．如图，在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝犅犆，点犇在边犅犆上，犇犈⊥
犃犅，犈为垂足，且犇犈＝犇犆，连接犃犇．求∠犃犇犅的度数．
A
E
D
C
B
（第２题）
M
a
b
O
（第３题）
３．如图，两条公路犪、犫相交于点犗，要在犕区（阴影部分）建一个购物
中心犌，使它到两条公路的距离相等，且与点犗相距１０００ｍ，这个购物中心
应建于何处（在图上标出点犌的位置，比例尺１∶５００００）？
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２２．２ 角平分线１２３
４．如图，已知线段犪及∠犕犗犖，点犌在犗犕上，在∠犕犗犖的内部求作
点犘，使点犘到直线犗犕、犗犖的距离相等，且犘犌＝犪．
a
N
O
G
M
（第４题）
C
F
B
D
E
A
（第５题）
５．如图，已知：在四边形犃犅犆犇中，∠犅犃犇＝∠犅犆犇＝９０°，犅犇平分
∠犃犅犆．点犈在边犃犅上，点犉在边犅犆的延长线上，连接犇犈、犇犉，犇犈＝
犇犉．求证：∠犅犈犇＋∠犇犉犅＝１８０°．
６．如图，已知：犃犅∥犆犇，∠犃＝９０°，犌为线段犃犇的中点，犅犌平分
∠犃犅犆．求证：点犌在∠犅犆犇的平分线上．
C
D
B
A
G
（第６题）
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１２４
第２２章直角三角形
我们来研究直角三角形三边之间的关系．
定理 在直角三角形中，斜边大于直角边．
如图２２３１，已知：在Ｒｔ△犃犆犅中，∠犆＝９０°．
求证：犅犆＜犃犅，犃犆＜犃犅．
A
B
C
图２２３１
证明 根据“直角三角形的两个锐角互余”，可得∠犃＋∠犅＝９０°，进而推出
∠犃＜∠犆．由“在三角形中，大角对大边”，可得犅犆＜犃犅，同理可知犃犆＜犃犅．
如果把直角边犃犆看作点犃到直线犅犆的垂线段，那么根据上述定理，可
以推得
定理 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单地说：垂线段最短．
这样，直线外一点到直线的距离就是连接该点与该直线上各点所得线段
长度的最小值．
如图２２３２，在由边长为１的小正方形构成的方格网中，作出几
个以格点为顶点的直角三角形（两条直角边的长分别记为犪、犫，斜边
长记为犮），分别以三角形的各边为正方形的一边，向三角形外作正方
形．请计算每张图中各小正方形的面积并填写在表２２１中．
２２．３勾股定理
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２２．３ 勾股定理１２５
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
ć
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
܄ᅊ܅
܄ᅋ܅
图２２３２
表２２１
（１）
（２）
（３）
（４）
…
犪２
犫２
犮２
直角三角形斜边的长可由两条直角边的长确定，它们有怎样的关系呢？
在上面的例子中，都有犪２＋犫２＝犮２．一般地，我们有：
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
A
B
C
ᑓ
5
图２２３３
如图２２３３，在我国古代，称直角三角形的直角边
中较短的一边为“勾”，较长的一边为“股”，斜边为“弦”．
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，是几何中
著名的定理，有着极其广泛的应用．
我们可以通过计算图形分、合、移、补前后的面积
来证明勾股定理．关于面积有下面的性质：
（１）如果两个图形全等，那么它们的面积相等；
（２）一个图形的面积等于它的各部分面积的和．
已知：直角三角形的两条直角边长分别为犪及犫，斜边长为犮．
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１２６
第２２章直角三角形
求证：犪２＋犫２＝犮２．
下面是古代数学家的一种巧妙证法：
图２２３４（１）和（２）都是边长为（犪＋犫）的正方形，从中分别去掉四个全等
的直角三角形（蓝色部分），由上述关于面积的性质，可知这两个正方形中剩
余部分的面积一定相等．
图２２３４中每个直角三角形的两直角边长分别为犪及犫．因为这些直角三
角形全等，而直角三角形的两个锐角互余，所以图２２３４（１）中的剩余部分是
边长为犮的正方形，而图２２３４（２）中的剩余部分是边长分别为犪及犫的两个
正方形．因此，
犪２＋犫２＝犮２．
b
b
a
a
a
2
b
2
܄ᅈ܅
܄ᅉ܅
c
图２２３４
例１ 求边长为１的等边三角形的面积．
A
D
B
C
图２２３５
解 如图２２３５，等边三角形犃犅犆的边长为１．过
点犃作犃犇⊥犅犆，垂足为犇．
∵ 犃犅＝犅犆＝犆犃＝１，犃犇⊥犅犆，
∴ 犅犇＝犆犇＝１２．
在Ｒｔ△犃犅犇中，
∵ ∠犃犇犅＝９０°，
∴ 犃犅２＝犃犇２＋犅犇２（勾股定理）．
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２２．３ 勾股定理１２７
∴ 犃犇＝犃犅２－犅犇
槡
２＝１２－（１２）
槡
２＝１－１４
槡
＝槡３２．
∴ 犛△犃犅犆＝１２·犅犆·犃犇＝１２×１×槡３２＝槡３４．
因此，边长为１的等边三角形的面积是槡３４．
如果等边三角形的边长为犪，那么其面积犛是多少（用含犪的代数
式表示）？
课堂练习２２．３（１）
１．已知等边三角形犃犅犆的边长为３ｃｍ，求△犃犅犆的面积．
２．如图，设每个小方格的面积为１，分别画出一条以格点为端点且
长度为槡５、５、２槡５的线段．
（第２题）
a
a
c
c
b
b
（第３题）
３．如图，涂色部分是两个直角边长为犪、犫，斜边长为犮的直角三角
形，且两斜边的夹角是直角．请利用这个图形验证勾股定理．
我们来研究勾股定理的逆命题．
勾股定理的逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的
平方和，那么这个三角形是直角三角形．
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１２８
第２２章直角三角形
如图２２３６，已知：在△犃犅犆中，犅犆＝犪，犃犆＝犫，犃犅＝犮，且犪２＋
犫２＝犮２．
求证：△犃犅犆是直角三角形．
A
a
b
c
B
C
图２２３６
A′
a
b
B′
C′
图２２３７
分析 构造一个直角边长为犪、犫的直角三角形，证明它与△犃犅犆全等．
证明 如图２２３７，作△犃′犅′犆′，使∠犆′＝９０°，犅′犆′＝犪，犃′犆′＝犫，
由勾股定理，可得犃′犅′２＝犅′犆′２＋犃′犆′２＝犪２＋犫２．又因为犪２＋犫２＝犮２，所以
犃′犅′２＝犮２，即犃′犅′＝犮．
因此，△犃犅犆与△犃′犅′犆′的三边对应相等，从而△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
由“全等三角形的对应角相等”，可得∠犆＝∠犆′＝９０°，即△犃犅犆是直角三
角形．
例２ 在△犃犅犆中，犅犆＝８，犃犆＝１５，犃犅＝１７．试判断△犃犅犆是不是
直角三角形．
解 ∵ 犅犆２＋犃犆２＝８２＋１５２＝２８９，犃犅２＝１７２＝２８９，
∴ 犃犅２＝犅犆２＋犃犆２．
∴ △犃犅犆是直角三角形（勾股定理的逆定理）．
我们已经知道，３２＋４２＝５２，８２＋１５２＝１７２，如果正整数犪、犫、犮满足
犪２＋犫２＝犮２，那么犪、犫、犮称为一组勾股数．以勾股数中的三个数为三边长的
三角形一定是直角三角形．
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２２．３ 勾股定理１２９
例３ 图２２３８是一块四边形绿地的示意图，其中犃犅长２４ｍ，犅犆长
１５ｍ，犆犇长２０ｍ，犇犃长７ｍ，∠犆＝９０°．求绿地犃犅犆犇的面积．
A
D
B
C
图２２３８
A
D
B
C
图２２３９
解 如图２２３９，连接犅犇．
在△犅犆犇中，
∵ ∠犆＝９０°，
∴ 犅犇２＝犅犆２＋犆犇２（勾股定理）．
∵ 犅犆＝１５，犆犇＝２０，
∴ 犅犇２＝１５２＋２０２＝２２５＋４００＝６２５．
在△犃犅犇中，
∵ 犃犇＝７，犃犅＝２４，
∴ 犃犇２＋犃犅２＝７２＋２４２＝４９＋５７６＝６２５．
∴ 犅犇２＝犃犇２＋犃犅２．
∴ ∠犃＝９０°（勾股定理的逆定理）．
∴ 犛四边形犃犅犆犇＝犛△犅犆犇＋犛△犃犅犇
＝１２犅犆·犆犇＋１２犃犇·犃犅
＝１２×１５×２０＋１２×７×２４
＝１５０＋８４＝２３４．
答：绿地犃犅犆犇的面积是２３４ｍ２．
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１３０
第２２章直角三角形
课堂练习２２．３（２）
A
D
B
C
（第３题）
１．判断下列说法是否正确，正确的在括号里打“”，错误的在括号
里打“×”：
（１）以０．３、０．４、０．５为三边长的三角形不是直角三角形；（ ）
（２）以５０、１２０、１３０为三边长的三角形是直角三角形．
（ ）
２．以下列犪、犫、犮为边的三角形是不是直角三角形？如果是，那么
哪一个角是直角？
（１）犪＝８，犫＝１３，犮＝１１；
（２）犪＝６．５，犫＝２．５，犮＝６；
（３）犪＝４０，犫＝４１，犮＝７．
３．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犇是边犃犆
上一点，犆犇＝８，犅犆＝１７，犅犇＝１５．求犃犅的长．
A
C
D
B
图２２３１０
例４ 请尝试解决《九章算术》“勾股”章第６题“引葭
（犼犻）赴岸”：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．
引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”该题意是：
有一个水面是正方形的水池，边长为１丈．如图２２３１０，
一棵葭犃犅（竖直）生长在水池中央，葭露出水面的部分
犆犅长１尺．如将葭引向（最近的）岸边（犆犇长为０．５丈，
即５尺），葭尖恰好碰到岸（犃犅＝犃犇）．求水深犃犆、葭长犃犅各是多少（丈、
尺是长度单位，１丈＝１０尺）？
解 根据题意，如图２２３１０，犃犅⊥犆犇，犃犅＝犃犇，犆犇＝５（尺），犆犅＝
１（尺）．
在Ｒｔ△犃犆犇中，犃犇＝犃犆＋１（尺）．由勾股定理，可知犃犆２＋犆犇２＝
犃犇２，即有
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２２．３ 勾股定理１３１
犃犆２＋５２＝（犃犆＋１）２．
解得犃犆＝１２（尺）．
于是犃犅＝犃犇＝１３（尺）．
答：水深１２尺，葭长１３尺．
例５ 给出单位长度１，作长为槡３的线段．
A
C
B1
B2
1
1
1
2
3
图２２３１１
分析 根据勾股定理，可知两条直角边长都为１
的直角三角形，它的斜边长等于 槡２；两条直角边长分
别为 槡２、１的直角三角形，它的斜边长就等于 槡３．
作法 如图２２３１１．
（１）作两条直角边长都为１的直角三角形犃犆犅１，
其中∠犆＝９０°；
（２）以斜边犃犅１为一直角边，作另一直角边长为
１的直角三角形犃犅１犅２．
斜边犃犅２的长度是槡３，它就是所求的线段．
利用勾股定理，给出单位长度１，如何作出长度为 槡狀（狀是大于１
的整数）的线段？
例６ 如图２２３１２，在△犃犅犆中，犃犅＝１０，犅犆＝２４，犃犆＝２６，犕是
边犃犆的中点．
（１）求犅、犕两点的距离；
（２）求点犅到直线犃犆的距离．
A
M
B
C
图２２３１２
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１３２
第２２章直角三角形
分析 运用勾股定理的逆定理可以判断△犃犅犆是直角三角形，于是转化
为“求直角三角形斜边上的中线长和高”的问题．
解 在△犃犅犆中，
∵ 犃犅＝１０，犅犆＝２４，犃犆＝２６，
∴ 犃犅２＋犅犆２＝１０２＋２４２＝１００＋５７６＝６７６．
又∵ 犃犆２＝２６２＝６７６，
∴ 犃犆２＝犃犅２＋犅犆２．
∴ ∠犃犅犆＝９０°（勾股定理的逆定理）．
（１）如图２２３１３，连接犅犕．
∵ 犕是边犃犆的中点，∠犃犅犆＝９０°，
∴ 犅犕＝１２犃犆＝１２×２６＝１３（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即犅、犕两点的距离为１３．
A
M
D
B
C
图２２３１３
（２）如图２２３１３，过点犅作犅犇⊥犃犆，垂足为犇．
∵ 犛△犃犅犆＝１２犃犅·犅犆＝１２×１０×２４＝１２０，
犛△犃犅犆＝１２犃犆·犅犇＝１２×２６×犅犇＝１３犅犇，
∴ １３犅犇＝１２０．
∴ 犅犇＝１２０
１３，
即点犅到直线犃犆的距离等于１２０
１３．
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２２．３ 勾股定理１３３
课堂练习２２．３（３）
１．在△犃犅犆中，犃犆＝２０，犅犆＝２１，犃犅＝２９．求这个三角形的
面积．
２．如图，在△犃犅犆中，犇是边犅犆上一点，犃犅＝１５，犃犆＝１３，
犃犇＝１２，犆犇＝５．求犅犆的长．
A
D
B
C
（第２题）
A
E
D
B
C
（第３题）
３．如图，公路上犃、犅两站相距２５ｋｍ，犆、犇为两村庄，犇犃⊥犃犅，
犆犅⊥犃犅，垂足分别为犃、犅．已知犇犃长为１０ｋｍ，犆犅长为１５ｋｍ，现
要在公路犃犅上建一个商场犈，使得犆、犇两村庄到商场犈的距离相等，
那么商场犈应建在离犃站多远处？
习题２２．３
１．以下列犪、犫、犮为边的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一
个角是直角？
（１）犪＝８，犫＝１５，犮＝１７；
（２）犪＝２４，犫＝２５，犮＝７；
（３）犪＝４１，犫＝９，犮＝４０；
（４）犪＝槡３，犫＝１，犮＝２．
２．在△犃犅犆中，犃犅＝５，犅犆＝１３，犃犆＝１２，犃犇⊥犅犆，垂足为犇．求
犃犇的长．
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１３４
第２２章直角三角形
３．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆＝５，犆犇＝１，犅犇⊥犃犆，垂足为犇．求
犅犆的长．
A
D
B
C
（第３题）
A
D
B
C
（第４题）
４．如图，在四边形犃犅犆犇中，∠犃＝９０°，犃犅＝３，犅犆＝１２，犆犇＝１３，
犇犃＝４．求四边形犃犅犆犇的面积．
A
D
S4
S1
S2
S3
B
C
（第５题）
５．如图，在四边形犃犅犆犇中，∠犇犃犅＝∠犅犆犇＝
９０°，分别以四边形犃犅犆犇的四条边为边向外作四个正
方形，面积分别为犛１、犛２、犛３、犛４．如果犛１＝４８，
犛２＝１１０，犛３＝２５，求犛４的值．
６．在△犃犅犆中，犅犆＝６，犃犆＝３，犃犅＝３槡３．求∠犃、∠犅、∠犆的度数．
A
E
D
B
C
（第７题）
７．如图，一架２．５ｍ长的梯子犃犆斜靠在一面墙
犅犈上，梯子底端犆离墙２ｍ．要将梯子的顶端犃上升
０．９ｍ至犈处（梯子长度不变），求梯子底部犆在水平
方向滑动到犇的距离．
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２２．３ 勾股定理１３５
８．如图，已知：犃犆⊥犅犇，垂足为犗，连接犃犇、犇犆、犆犅、犃犅．求证：
犃犅２－犃犇２＝犆犅２－犆犇２．
A
O
D
B
C
（第８题）
９．设犿、狀都是正整数，且犿＞狀．求证：犿２－狀２、２犿狀、犿２＋狀２是一
组勾股数．
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１３６
第２２章直角三角形
勾股定理简史
勾股定理是人类伟大的科学发现，有十分悠久的历史，是几何中的一个
基本定理．
我国对这一数学定理的认识和应用，可以追溯到公元前一千多年．《周髀
算经》记载了一段史实：在周朝初期（约公元前１１００年），商高回答周公关于
天高地广的问题时，曾说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五．”〔意思是在
方尺上截取勾（短直角边）长为３，股（长直角边）长为４，则这端到那端的径（斜
边）长必为５．〕这实际上是勾股定理的一个特例，是对勾股定理的初步认识，
所以勾股定理又称商高定理．三国时期，赵爽（约３世纪）在为《周髀算经》所作
的注中，把勾股定理描述成“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦”．他利
用“弦图”（图１）给出了勾股定理的证明：“案：弦图又可以勾股相乘为朱实二，
倍之为朱实四，以勾股之差自乘为中黄实，加差实亦成弦实．”
A
c
B
C
a
b
S
ᱞ
ᱞ
ᱞ
ᱞ
图１
A
H
G
L
J
B
F
E
N
C
图２
勾股定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理”（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓｔｈｅｏｒｅｍ）．毕达哥
拉斯（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ，公元前５８０至前５７０之间—约前５００）是古希腊数学家、哲
学家，相传他于公元前５５０年发现了这一定理，当时他的学派宰牛百头，广
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阅读材料１３７
设盛宴，以示庆贺．古希腊数学家欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ，约公元前３３０—前２７５）在
《几何原本》中给出了这个定理的一种证明（图２）．
勾股定理是全人类的共同财富，是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠．千百
年来，许多数学家和数学爱好者对证明勾股定理兴趣盎然，各种证明方法层
出不穷．
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１３８
第２２章直角三角形
１．基本概念：直角三角形，角平分线，三角形的内心．
２．直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
在直角三角形中，斜边大于直角边．
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
３．直角三角形的判定：
两个锐角互余的三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方
和，那么这个三角形是直角三角形．
４．直角三角形全等的判定：
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三
角形全等．
５．角平分线：
（１）性质定理：角平分线上的点到这个角的两边所在直线的距离相等．
（２）在角的内部，到角的两边所在直线距离相等的点，均在这个角的平
分线上．
（３）三角形的三个内角的平分线相交于一点，这个交点叫作三角形的
内心．
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复习题１３９
A
D
B
C
1 2
（第１题）
１．如图，在△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犆犇⊥犃犅，
垂足为犇．下列说法中不正确的是
（ ）
Ａ．若∠犃＝２∠１，则∠犅＝３０°；
Ｂ．点犅到犆犇的距离是线段犅犇的长度；
Ｃ．∠１＝∠犅；
Ｄ．与∠１互余的角只有∠２．
２．一个直角三角形斜边上的中线的长为５，斜边上的高为４．求此三角形
的面积．
３．如图，直角三角形犃犅犆的面积为４，犇是斜边犃犅的中点，过点犇作
犇犈⊥犃犆，犇犉⊥犅犆，垂足分别为犈、犉．求四边形犇犉犆犈的面积．
A
D
E
F
B
C
（第３题）
A
D
E
B
C
（第４题）
４．如图，已知：在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，∠犅犃犆＝１２０°，过点犃作犃犇⊥
犅犃交边犅犆于点犇，过点犇作犇犈⊥犅犆交边犃犆于点犈．求证：犃犈＝犇犈．
A
D
E
B
C
（第５题）
５．如图，已知：在△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，
犆犇是斜边犃犅上的高，犆犈是斜边犃犅上的中线，
∠犃＝３０°．求证：犅犇＝犇犈．
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１４０
第２２章直角三角形
６．如图，已知：犅犘、犆犘分别是△犃犅犆的外角平分线，犘犕⊥犃犅，犘犖⊥
犃犆，垂足分别为犕、犖．
（１）求证：犘犕＝犘犖；
（２）求证：犃犘平分∠犕犃犖．
A
C
B
P
M
N
（第６题）
A
D
E
B
C
（第７题）
７．如图，犃犅＝犅犆＝犆犇＝犇犈＝１，犃犅⊥犅犆，犃犆⊥犆犇，犃犇⊥犇犈，垂
足分别为犅、犆、犇．求犃犈的长．
８．如图，已知犃犇⊥犆犇，犅犆⊥犆犇，垂足分别为犇、犆，犃犅的垂直平分
线犈犉交犃犅于点犈，交犆犇于点犉，犅犆＝犇犉．求证：犃犇＝犉犆．
A
D
B
C
F
E
（第８题）
A
D
B
C
（第９题）
９．如图，犃犅、犆犇表示两棵树，树高分别为８ｍ和２ｍ，两树相距８ｍ．
一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞了多远？
A
D
E
F
B
C
（第１０题）
１０．如图，在长方形犃犅犆犇中，犃犅＝４，犅犆＝５，
犉为犆犇上一点，将长方形沿折痕犃犉折叠，点犇恰好
落在犅犆上的点犈处．求△犆犉犈的面积．
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复习题１４１
A
E
F
B
M
C
（第１１题）
１１．如图，在△犃犅犆中，犆犉⊥犃犅，垂足为犉，犕为
犅犆的中点，犈为犃犆上一点，且犕犈＝犕犉．
（１）求证：犅犈⊥犃犆；
（２）若∠犃＝５０°，求∠犉犕犈的度数．
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理财小课堂１４３
理财小课堂
理财能力是现代社会对人的基本要求之
一，掌握基本的理财知识，有助于培养合理的
消费观念和对个人未来、家庭的责任心，为一
生的行稳致远打好基础．
假设你现在有１００００元现金，以下３个理
财方案，你会选择哪个？
方案１：本金１００００元，年利率５％，存
期２年，逐年计息．
方案２：本金１００００元，１年后返回６０００元，２年后返回５０２５元．
方案３：本金１００００元，１年后返回５０００元，２年后返回６０２５元．
活动１ 单利法与复利法
存款金额等于本金加利息，利息计算有两种方式：
单利法：每期依据本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息．例如，
１００元的本金，年利率为５％，存期２年，逐年计息，２年后可取回金额等于
本金加２年的利息，即１００＋１００×５％＋１００×５％＝１１０（元）．
复利法：每期依据本金和前期利息之和计算利息．以上定期存款，按照复
利法，２年后可取回金额为１００＋１００×５％＋（１００＋１００×５％）×５％＝
１１０．２５（元）．
问题１ 请按单利法，逐次计算方案１中的存款在１年、２年后的金额．
问题２ 请按复利法，逐次计算方案１中的存款在１年、２年后的金额．
问题３ 设本金为犘，年利率为狉，请分别写出依据单利法和复利法计算
３年后总金额的公式．
问题４ 设条件与问题３相同，请分别写出依据单利法和复利法计算狀
年后总金额的公式．
通过活动１，可以发现：在年利率相同的情况下，复利法计算金额不少于
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１４４
综合与实践
单利法计算所得．
活动２ 折现
通过活动１我们可以发现，同一笔存款在１年、２年乃至未来狀年后的金
额不同，且逐年增加．这意味着，对于同一理财计划，不宜将不同时刻的金额
直接作比较．例如，理财方案２、３都是分两次取回，且总金额相同，看似没
有区别，但因为每次取回的金额不同，所以两个方案还是不同的．
如何解决以上的矛盾呢？金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一
时间点后，再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．设年利率为５％，本
金为１元，则１年后的总金额１×（１＋５％）＝１．０５（元），相当于当前时刻的
１元．进一步，１年后的１元就相当于当前时刻的１÷（１＋５％）≈０．９５（元）．这
种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其
中的比率则称为折现率，以上我们取折现率为５％．
问题１ 假设折现率为狋，１年后的犘元在当前时刻的价值为多少？２年
后的犘元呢？３年后的呢？狀年后的呢？
问题２ 设折现率为５％，分别计算理财方案２、３所取回金额在当前时
刻的价值．
问题３ 你找到比较三种理财方案优劣的方法了吗？比较结果是什么？
活动３ 基于收益率的理财方案比较
理财方案２和３本身并未规定折现率，活动２中，我们为了比较，假设折
现率等于存款年利率．
对于类似方案２、３这种只规定取回金额，未指定折现率的理财计划，折
现率究竟为多少才合理呢？
金融业务中：合理的折现率应该使取回金额折现后的总金额等于其本金．
此时该折现率也称为理财方案的收益率．以方案２为例，本金为１００００元，设
折现率为狉，１年后取回金额折现等于６０００
１＋狉，２年后取回金额折现等于
５０２５
（１＋狉）２，则该方案的收益率应该满足方程
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理财小课堂１４５
６０００
１＋狉＋５０２５
（１＋狉）２＝１００００．
问题１ 请求解以上方程，得出方案２的收益率．
问题２ 请计算方案３的收益率．
问题３ 方案１的收益率是多少？
问题４ 请根据收益率比较三种方案的优劣，比较结果和活动２一样吗？
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１４６
综合与实践
“勾股定理”证明中的中国智慧
回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛
应用在天体测距、建筑测高等活动中，因而被认为是人类最早发现、最基本
以及应用最广的数学定理之一．
历史上不同时代、不同国家的人士（不仅是数学家）先后给出了各种证明
方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜．下面我们来
领略一二．
活动１ 刘徽（约２２５—约２９５）的证明
将直角三角形的直角边（长）分别记为勾和股，斜边记为弦，以勾、股和
弦为边长制作三个正方形，如图１所示．
5
ᑓ
A
B
C
图１
A
E
F
I
H
C D
B
2
1
3
4
5
图２
A
E
G
F
C D
B
2
2
1
1
3
4
5
5 I
H
图３
步骤１：将以勾和股为边长的正方形按图２排列，则它们的面积和＝
勾２＋股２．
步骤２：如图２，在犃犅上取一点犇，使得犇犅＝犃犆，连接犇犉、犇犈，则
两个正方形被分割成５块（分别用数字１～５标记），它们面积之和＝勾２＋股２．
步骤３：如图３，将５与１看作一个直角三角形，将其与４合成一个三角形；
２自成一个直角三角形，与３合成一个梯形，由此得到一个新的四边形犇犉犌犈．
步骤４：请说明四边形犇犉犌犈是边长为弦的正方形，并由此完成“勾２＋
股２＝弦２”的证明．
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“勾股定理”证明中的中国智慧１４７
活动２ 赵爽（约３世纪）的证明
c
a
a
b
ba
图４
制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为犪、
犫（犫≥犪），斜边长记为犮．将四个直角三角形拼成如图４
所示的四边形．
步骤１：说明图４所得四边形是面积为犮２的正方形．
步骤２：分别求出四个直角三角形的面积之和、中
间小正方形的面积．
步骤３：根据以上两步结果，不难得到勾股定理，
请给出证明过程．
活动３ 李善兰（１８１１—１８８２）的证明
c
c
a
a
b
b
图５
步骤１：在图４的基础上，分别添加以犪和犫为边长
的两个正方形（图５），得到以犪、犫、犮为边长的三个正
方形．
步骤２：请指出步骤１中添加的两个正方形所覆盖
区域和原来的正方形覆盖区域的差别．
步骤３：基于步骤２，请找出并证明图５中三对全等
三角形．
步骤４：以上三对三角形的位置有什么特点？请据此证明犪２＋犫２＝犮２．
总结
以上三个活动中的证明方法看似不同，但本质上都是通过对平面图形作分
割、平移、旋转等操作拼出新的图形，再根据“新图形的面积之和等于原图形的
面积”完成勾股定理的证明．这种思想在中国古代数学文献中称为“出入相补”，
它有别于欧几里得公理体系的证明方法，在世界数学史中彰显了中国智慧．
课外活动
请查阅资料，补充用“出入相补”原理证明数学公式的案例．
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148
19. 实数
算术平方根
principal square root
2
被开方数
radicand
2
平方根，二次方根
square root
5
开平方
extraction of square root
5
立方根，三次方根
cubic root/cube root
7
开立方
extraction of cube root
7
无理数
irrational number
15
实数
real number
17
科学记数法
scientific notation
26
21. 一元二次方程
一元二次方程
quadratic equation with one unknown
59
实数根，实根
real root
60
判别式
discriminant
78
22. 直角三角形
( 三角形的) 内心
incenter (of a triangle)
120
部分中英文词汇索引
附 录
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本套教科书根据教育部颁布的《义务教育数学课程标准（2022 年版）》
编写.
本册教科书是八年级上册. 在主编李大潜的主持下，由王志强任本册主
编，各章的具体分工为：
鲁海燕、王春明、周子翔、朱雁、徐斌艳（第19 章），张海燕、金荣生、周子翔
（第20 章），胡军、徐颖、顾跃平、陈月兰、朱雁、周子翔（第21 章），张海燕、
高洁、金荣生、周子翔（第22 章），朱雁、陆立强（综合与实践）.
感谢编写团队的团结协作和不懈努力，并对王建磐教授的协助表示衷心的
谢忱.
编写过程中，上海市课程教育教学研究基地（中小学课程方案基地）、上海
市心理教育教学研究基地、上海基础教育教材建设重点研究基地、两个上海市
数学教育教学研究基地（分别设在复旦大学和华东师范大学）等上海高校“立
德树人”人文社会科学重点研究基地对教科书编写工作给予了大力支持，在此
表示衷心的感谢.
我们要感谢一直支持、关心和帮助我们工作的同志和朋友们. 大家的热忱
指导和帮助，我们定会铭记于心，并化为我们的工作动力.
欢迎广大师生来电来函提出宝贵意见.
联系电话：021-64319241（内容） 021-64373213（印刷或装订）
电子邮箱：jcjy@seph. com. cn
地 址：上海市闵行区号景路159 弄C 座上海教育出版社（201101）
后 记
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SHUXUE
数学
八年级 上册
定 价： 10.00 元
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